Los software de Geometría dinámica en el proceso de enseñanza aprendizaje de la Geometría sintética plana

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(1)UNIVERSIDAD DE CIENCIAS PEDAGÓGICAS “FÉLIX VARELA MORALES” Facultad de Ciencias Departamento de Matemática Física. LOS SOFTWARE DE GEOMETRÍA DINÁMICA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA SINTÉTICA PLANA. Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas.. JORGE FRANCISCO GONZÁLEZ CONCEPCIÓN. Santa Clara 2014.

(2) UNIVERSIDAD DE CIENCIAS PEDAGÓGICAS “FÉLIX VARELA MORALES” Facultad de Ciencias Departamento de Matemática Física. LOS SOFTWARE DE GEOMETRÍA DINÁMICA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA SINTÉTICA PLANA. Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas.. Autor: MSc. JORGE FRANCISCO GONZÁLEZ CONCEPCIÓN Tutor: Prof. Tit. Nancy Mesa Carpio, Dr. C. Tutor: Prof. Tit. Guillermo Soler Rodríguez, Dr. C.. Santa Clara 2014.

(3) DEDICATORIA. A: Claudia Beatriz, César Javier, Reyddi Luís, Laura Beatriz, Amanda Mercedes y Valeria.. Con esfuerzo y dedicación se puede..

(4) AGRADECIMIENTOS: A mis padres, su lucha, educación y ejemplo contribuyeron a estos tiempos. A mi esposa y a todos los hijos, su existencia y presencia fue un acicate para esforzarme y llegar hasta aquí. A mis tutores, Nancy Mesa Carpio y Guillermo Soler Rodríguez, dos doctores y amigos que me orientaron, aconsejaron y apoyaron en este proceso de formación. A mi amigo Dr. Tomás Crespo Borges, tutor de mi Maestría, que me inició en estos avatares de la investigación, por su colaboración y ayuda. A todos los compañeros que en este ir y venir de talleres, predefensa y correcciones, me dieron valiosas opiniones que contribuyeron a mejorar los resultados y presentación del trabajo realizado. A mi departamento docente de Matemática Física, por escucharme, criticarme y alentarme en esta investigación. A la universidad de Ciencias Pedagógicas “Félix Varela”, por formarme y acogerme en su claustro, cuando era muy joven. A la Revolución, gracias a la cual estoy aquí..

(5) SÍNTESIS El objetivo de esta investigación es proponer una concepción didáctica para la utilización de software de geometría dinámica en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría sintética en la formación inicial del profesor de Matemática, en correspondencia con las condiciones de informatización de la escuela cubana. A partir de la sistematización de la experiencia de intervención en dicho proceso con los software Geómetra y Geogebra y atendiendo a las características comunes que tienen estos software se presenta la concepción para el trabajo con tareas docentes sustentadas en software de geometría dinámica, la cual se caracteriza por estar fundamentada en la didáctica cubana, utilizar el mínimo posible de herramientas del software y basar el trabajo con las tareas en la exploración guiada para el redescubrimiento de las propiedades objeto de estudio; la exploración guiada y el redescubrimiento son esenciales en la contextualización que se realiza de la definición de softarea; también se aporta una clasificación por niveles de las tareas docentes sustentadas en software de geometría dinámica, de acuerdo con la profundidad con que se utilicen las herramientas del software..

(6) ÍNDICE Pág. INTRODUCCIÓN………………………………………………………………. 1. 1. FUNDAMENTOS DE LA UTILIZACIÓN DE SOFTWARE DE GEOMETRÍA. DINÁMICA. EN. LA. FORMACIÓN. INICIAL. DE. PROFESORES DE MATEMÁTICA………………………………………….. 11. 1.1 La enseñanza de la geometría en Cuba…………………………. 11. 1.1.1 En la Educación General……………………………………. 12. 1.1.2 La disciplina Geometría en la formación inicial de profesores…………………………………………………………....... 1.2. 16. Los software de geometría dinámica o procesadores. geométricos……………………………………………….………………. 21. 1.2.1 Elementos comunes de los software de geometría dinámica…….………………………………………………………….. 25. 1.3 Los software de geometría dinámica en el proceso de enseñanza aprendizaje………............................................................. 27. 1.4 El enfoque profesional de la tarea docente con la utilización de software de geometría dinámica…………………………………... 35. 2. SISTEMATIZACIÓN DE LA EXPERIENCIA DE UTILIZACIÓN DE SOFTWARE. DE GEOMETRÍA DINÁMICA EN EL PROCESO DE. ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA SINTÉTICA EN LA FORMACIÓN INICIAL DEL PROFESOR DE MATEMÁTICA……….……. 42. 2.1 El concepto de sistematización, su definición y elementos metodológicos como investigación……………………………………. 42. 2. 1.1 Antecedentes de la investigación………………………….... 45.

(7) 2.2 Reconstrucción de las experiencias……………………………….. 51. 2.2.1 Primer momento…………………………………………………. 51. 2.2.2 Segundo momento…………………………………………….... 66. 2.2.3 Tercer momento…………………………………………………. 76. 3. CONCEPCIÓN DIDÁCTICA PARA EL TRABAJO CON TAREAS DOCENTES DE GEOMETRÍA SUSTENTADAS EN SOFTWARE. DE. GEOMETRÍA DINÁMICA………………………………………………………. 82. 3.1 Sobre la concepción como resultado científico…………………. 82. 3.2 Concepción didáctica para el trabajo con tareas docentes sustentadas en software de geometría dinámica……………………. 84. 3.2.1 Puntos de vista y objetivo de la concepción……………... 85. 3.2.2 Los fundamentos de la concepción didáctica…………. 87. 3.2.3 Las categorías y conceptos de la concepción didáctica. 92. 3.2.4 Exigencias de la concepción didáctica……………………. 99. 3.2.5 Caracterización del trabajo con las tareas docentes sustentadas en software de geometría dinámica …………….. 101. 3.2.6 Posibilidades de uso de las tareas de la concepción didáctica ………………………………………………………………. 105. 3.3 Evaluación de la concepción didáctica……………………………. 109. CONCLUSIONES………………………………………………………………. 117. RECOMENDACIONES…………………………………………………………. 119. BIBLIOGRAFÍA ANEXOS.

(8) Introducción. INTRODUCCIÓN El desarrollo acelerado de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC), comenzado a finales del siglo XX es una realidad indiscutible que se amplifica con la llegada del XXI; cada día aumenta la dependencia de la vida cotidiana de los medios informáticos, pues ese desarrollo ha irrumpido en todas las esferas de la vida humana; la educación consecuentemente, no es una excepción, en ella se aplican las más diversas formas de estas TIC, que cada día se perfeccionan más. El avance de la tecnología también trae aparejada la profundización de la brecha digital, por cuanto este avance en modo alguno disminuye el costo, luego las diferencias socioeconómicas tienen un peso más destacado en las posibilidades de acceder a las TIC y al uso de Internet. En América Latina se han hecho esfuerzos en cuanto a la introducción de las tecnologías en la educación, aunque de manera no uniforme; al respecto, es importante considerar las ideas de Bárcenas (2012) cuando expresa: “Las mejoras observadas se relacionan sobre todo con aspectos de la primera brecha digital, tales como el acceso. Queda por abordar la segunda brecha digital, referida al uso y apropiación de estas tecnologías para el aprendizaje. Es importante avanzar en la capacitación docente para el uso pedagógico de las TIC, tema todavía ausente en políticas públicas de educación” (p.12). Cuba no es una excepción, a pesar de los esfuerzos realizados como resultado del perfeccionamiento continuo del sistema de educación, es necesario seguir avanzando en la preparación de los docentes, para que puedan salir airosos del reto que representan las nuevas tecnologías y su implicación en el desarrollo social. Respecto a la importancia de la computación en la sociedad el comandante Ernesto Guevara expresó: "es imposible imaginar el desarrollo de un país sin el uso de la computación…el mundo camina hacia la era de la electrónica…todo indica que estas ciencias se constituirán en algo así con una medida de desarrollo; quien las domine será un país de vanguardia. Vamos a volcar nuestros esfuerzos en este sentido en la audacia revolucionaria” (Guevara, 1962: 5 – 6). En el año 1971 se comenzó la tarea de introducir la computación en el Sistema Nacional de Educación, “... pero no es hasta el curso escolar 1986-1987 que se inicia. 1.

(9) Introducción. el programa gubernamental de introducción de la informática educativa con carácter masivo en este sector” (Santana, 1998: 15) y se ha mantenido como un objetivo priorizado a través de todos estos años, se han realizado diferentes esfuerzos para lograr la utilización de la computadora en el proceso de enseñanza aprendizaje. En la actualidad los laboratorios de computación son una realidad en todas las escuelas del Sistema Nacional de Educación. A través de todos estos años la educación ha tratado las tres formas fundamentales que se reconocen al uso de la computadora: como objeto de estudio, como herramienta de trabajo y como medio de enseñanza. Los software educativos “A jugar”, la colección “Multisaber”; la colección “El Navegante” y la colección “Futuro”, para las educaciones Preescolar, Primaria, Secundaria Básica y Preuniversitaria respectivamente, son ejemplos de los esfuerzos en este sentido. En todos estos casos los software son curriculares, pues tienen los contenidos que se abordan en los programas del nivel. Las diferentes colecciones tienen software específicos para la enseñanza de la Matemática, en el caso de la Secundaria Básica, “Elementos Matemáticos” y de Preuniversitario, “Eureka”, que se basan en la misma filosofía de uso y permiten recorrer la Matemática de esas educaciones de manera agradable con numerosos hipervínculos, videos, animaciones y explicaciones habladas, también cuentan con ejercicios para el desarrollo de habilidades. Además, traen adjunto un software, en Inglés en el Preuniversitario y en español en Secundaria Básica, the Geometry y el Geómetra respectivamente para esos niveles, también en el de Preuniversitario aparece otro software: el Cabri. Tanto el Geómetra como el Cabri son llamados genéricamente Software de geometría dinámica (SGD) y se utilizan desde finales de los 80 del siglo XX con un propósito didáctico: explorar la geometría sintética 1, una característica general de estos software es “… poseer una pantalla gráfica sobre la que el usuario puede dibujar objetos geométricos primitivos (puntos, rectas, segmentos, etc.) y registrar relaciones geométricas entre ellos (perpendicularidad, paralelismo, etc.) a partir de 1. Geometría que se puede construir a partir de un sistema de axiomas y conceptos iniciales mediante un tratamiento lógico – deductivo y que no incluye como aspecto fundamental la utilización de métodos algebraicos. 2.

(10) Introducción. un repertorio prefijado” (González-López, 2008: 4). Teniendo en cuenta las potencialidades de estos software se configura el concepto didáctico – matemático de geometría dinámica según el cual “las construcciones geométricas pueden ser manipuladas manteniéndose invariantes las relaciones geométricas intrínsecas con la cuales fue realizada” (Bernard y Ecke, 2002: 5). Respecto al Cabri se plantea: “… es una herramienta de construcción de figuras geométricas basada en la metáfora del dibujo en papel con regla y compás, pues la mayor parte de las construcciones básicas se pueden hacer de la misma manera que se harían con una regla y un compás reales, salvando la diferencia entre estos instrumentos y la pantalla de un ordenador con sus menús o el ratón. La principal característica de este programa (y de otros parecidos) es su dinamismo: Cabri posee la característica de mantener las propiedades matemáticas de una figura cuando se desplazan sobre la pantalla los objetos (puntos, rectas, etc.) iniciales sobre los que ha sido creada la figura. Así, es posible recorrer de manera instantánea una infinidad de posiciones y configuraciones diferentes de una figura geométrica, logrando una visión dinámica de esa figura mucho más rica, interesante y atractiva que la obtenida en el contexto tradicional de la pizarra o el papel” (Gutiérrez, 2005: p. 8). La referencia, a otros software parecidos, no es casual, pues esta metáfora de la regla y el compás es utilizada también en el Geómetra, Geogebra, Cinderella y Regla y Compás entre otros, los cuales con más o menos facilidades y potencialidades, también resultan clasificados como SGD, la experiencia inicial del autor se refiere fundamentalmente al Geómetra y al Cabri. Los software mencionados son ampliamente utilizados internacionalmente desde hace algunos años para la enseñanza de la geometría y de manera general con defensores y detractores, se les reconocen diferentes posibilidades que los hacen deseables para contribuir a elevar la calidad del proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría . Por ejemplo, autores como Barroso (2003) hacen referencia al uso de estos software en la resolución de problemas, poniéndolos como aspectos centrales en la búsqueda de soluciones, otros como Gravina y Santa Rosa (1998) y Valdés (2003), le dan un enfoque completamente constructivista al uso de los SGD, en especial, al Cabri,. 3.

(11) Introducción. pues consideran al profesor solo un mediador en el proceso, que elabora los problemas y controla su ejecución; algunos consideran que el uso de Cabri hace que en el estudiante se reduzca el criterio de la necesidad de realizar demostraciones formales; por su parte, De Villiers (1998), citado por González-López (2000), se refiere al modelo constructivista en el cual generalmente se inserta el uso de los SGD; lo anterior, sin lugar a dudas expresa la importancia que en la enseñanza de la geometría se le da a estos software en los tiempos actuales y la necesidad de promover su empleo desde la propia formación inicial de profesores. Algunos autores cubanos como Estrada (2002) y Fonseca…[et al] (2003) han elaborado trabajos sobre el uso del Geómetra y el Cabri mediante la exploración de propiedades geométricas, donde mediante una extensa guía se dan instrucciones para realizar cada una de las construcciones necesarias y realizar diferentes acciones a partir de lo realizado. Otros autores como Capistrous y Rizo (2007), abogan por la exploración libre utilizando software de geometría dinámica, en este caso, el trabajo está caracterizado por la construcción y manipulación de la figura y la consideración de las estrategias heurísticas. Un importante aporte en esta temática lo realiza León (2007), en su tesis de doctorado aborda la temática de la enseñanza aprendizaje de la geometría en la Educación Primaria con medios de enseñanza dinámicos (Con utilización del Geoplano con ligas y electrónico), mediante una concepción que aporta importantes elementos teóricos que deben ser tenidos en cuenta en cualquier trabajo, en este caso, son considerados los elementos heurísticos con énfasis, por su importancia en el aprendizaje de la geometría en todos los niveles. Estos trabajos para implementar en la práctica escolar los SGD son muy encomiables, como se describe, se basan en las habilidades que tengan los alumnos para trabajar con los software y para realizar construcciones geométricas a partir de las construcciones básicas, aspecto que requiere de un tiempo que no está incluido en los programas escolares, lo cual hace sumamente difícil obtener resultados elementales a partir de los SGD.. 4.

(12) Introducción. Por otra parte, los resultados obtenidos en las evaluaciones de contenidos geométricos en el nivel medio son bajos, constatados en los exámenes de ingreso a la Educación Superior. También los diagnósticos iniciales aplicados a los estudiantes de primer año de la carrera de Licenciatura en Educación que se han preparado como profesores de Matemática a través de los años, han revelado que el nivel de estos futuros profesores 2 para comenzar su formación geométrica es insuficiente. Lo anterior permite afirmar que existen dificultades en el aprendizaje de la geometría sintética escolar. Si se tiene en cuenta que el uso de SGD puede contribuir a mejorar esos resultados, se debe realizar un estudio que permita introducir los mismos en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría sintética en las condiciones de la escuela cubana, por lo que se han de dedicar esfuerzos investigativos en este sentido. Es importante considerar que es una constante en los lineamientos para la asignatura Matemática en la escuela, la orientación de utilizar las tecnologías de la información y la comunicación, así como la particularización en los programas de Matemática, en los temas de geometría , de utilizar específicamente los SGD, en especial el Geogebra, en el proceso de enseñanza aprendizaje con el fin de obtener conjeturas sobre propiedades geométricas. Lo anterior conlleva a la exigencia de que los profesores incluyan la utilización de SGD en su actividad docente. El análisis de la situación respecto a las posibilidades de utilización de los SGD en la escuela cubana, permitió detectar las dificultades siguientes: 1. Poca divulgación en Cuba de bibliografía referida al uso de este tipo de software o también llamados asistentes matemáticos. 2. Desconocimiento por parte del personal docente de las potencialidades y posibilidades de uso de los referidos asistentes. 3. El paradigma de utilización de estos software está basado fundamentalmente en el uso extensivo de la computadora, a partir de un alto desarrollo de habilidades en el manejo de este asistente, como fue la tendencia inicial del autor y de otros autores cubanos.. 2. En lo adelante los futuros profesores se nombran como estudiantes 5.

(13) Introducción. 4. El currículo base de la formación inicial del estudiante para profesor de Matemática en el plan de estudios D, no incluye la enseñanza de estos software, aunque sí su utilización. 5. No se han encontrado resultados científicos, en el campo de la didáctica, que fundamenten el uso de este tipo software, de acuerdo con el modelo de la educación cubana. Además, se puede constatar que, internacionalmente dentro de las barreras para la implementación de las TIC, se encuentra “…la resistencia (con frecuencia inconsciente) de muchos educadores a la intromisión de la tecnología, que amenaza con alterar drásticamente prácticas y costumbres establecidas y veneradas desde hace mucho tiempo; y la falta de docentes capacitados para explotar el potencial de las TIC de forma competente” (UNESCO, 2006:188). Del análisis realizado se observa que es necesaria la diversificación de las posibilidades de que deben disponer los profesores para enfrentar su labor profesional, para poder actuar sobre las deficiencias que existen en el aprendizaje de la geometría , que dentro de estas posibilidades se encuentra el uso de software, sin embargo, se puede precisar que aun cuando se ha venido trabajando en esta dirección, son discretas y limitadas las aportaciones a la didáctica, especialmente en empleo de los SGD en el proceso de enseñanza aprendizaje, aspectos que generan una contradicción entre la aspiración de lograr un egresado de Matemática preparado en el empleo de los recursos tecnológicos para su futura actividad profesional y la situación que se manifiesta en su formación, donde la didáctica en uso aporta poco a la utilización de esos modernos medios de enseñanza. En consecuencia, se impone la necesidad de que el profesor obtenga en su formación inicial las bases teóricas y prácticas que le permitan apropiarse de los contenidos geométricos vinculados al nivel para el cual se prepara, así como de modos de actuación para utilizar las TIC y, en especial, los SGD de manera efectiva en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría , para lo cual se hace necesario la estructuración de las posibilidades de uso de este tipo de software, en correspondencia con los objetivos expresados en el modelo del profesional, de acuerdo con esto se formula el problema científico:. 6.

(14) Introducción. ¿Cómo concebir la utilización de los software de geometría dinámica en el proceso de enseñanza aprendizaje de. la geometría sintética en la formación inicial del. profesor de Matemática? Donde el objeto de investigación es: El proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría sintética. El campo de acción es: El proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría sintética con el uso de software de geometría dinámica en la formación inicial del profesor de Matemática. El objetivo de la investigación: Construir una concepción didáctica para la utilización de software de geometría dinámica en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría sintética en la formación inicial del profesor de Matemática. Preguntas Científicas: 1. ¿Qué referentes teóricos fundamentan el uso de los software de geometría dinámica en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría sintética en la formación inicial del profesor de Matemática? 2. ¿Cuál es el estado actual del proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría sintética de la formación inicial del profesor de Matemática en Cuba? 3. ¿Qué resultados se obtienen a partir de la sistematización del proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría sintética en la formación inicial del profesor de Matemática con la utilización de los software de geometría dinámica? 4. ¿Qué concepción didáctica adoptar para el uso de los software de geometría dinámica en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría sintética en la formación inicial del profesor de Matemática? 5. ¿Cómo valoran los expertos la concepción didáctica para la utilización de los software de geometría dinámica en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría sintética? El proceso de investigación se estructuró a través de la proyección y cumplimiento de las siguientes tareas científicas: 1. Fundamentación teórica de la investigación a partir de la valoración de diferentes fuentes de información acerca de: el proceso de enseñanza aprendizaje de la. 7.

(15) Introducción. geometría. y su presencia en la formación inicial de profesores y sus. fundamentos, el uso de los medios de enseñanza enfatizando en los SGD. 2. Determinación del estado en que se encuentra el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría sintética de la formación inicial del profesor de Matemática en Cuba 3. Sistematización de la experiencia del desarrollo del proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría sintética en la formación inicial del profesor de Matemática con la utilización de los software de geometría dinámica 4. Elaboración de una concepción didáctica para la utilización de los software de geometría dinámica en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría sintética de la formación inicial profesor de Matemática. 5. Evaluación de la concepción didáctica para la utilización de los software de geometría dinámica en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría sintética mediante el criterio de expertos. La investigación es predominantemente cualitativa, fue realizada mediante la sistematización de la experiencia de desarrollar el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría sintética plana en la formación inicial del profesor de Matemática con la utilización de software de geometría dinámica. Para el desarrollo de la investigación se asumió la dialéctica materialista como enfoque de la investigación científica, armonizando diversos métodos, que permiten revelar y sistematizar las relaciones entre los elementos de la concepción didáctica que se propone y las interrelaciones dialécticas entre sus categorías, principios y exigencias para su funcionamiento en el proceso de enseñanza aprendizaje. Métodos del nivel teórico: Histórico-lógico: para la determinación de las tendencias en el desarrollo de la enseñanza de la geometría a partir de la década del 40 del siglo XX y para el estudio de la evolución de la disciplina Geometría a partir del plan de estudio A de la formación inicial de profesores. Analítico-sintético: para analizar la información tanto teórica como empírica sobre el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría sintética en la formación inicial. 8.

(16) Introducción. con el uso de los SGD y sintetizar las mejores experiencias y características de este proceso. Inductivo-Deductivo: para a partir de las diferentes tareas docentes utilizadas durante la experiencia de intervención de la investigación, llegar a generalizar la mejor forma de concebirlas y de ahí elaborar la concepción didáctica. Tránsito de lo abstracto a lo concreto: partiendo de las ideas generales abstraídas de la experiencia de intervención, concretarlas en un proceso de análisis en la propia concepción didáctica. Sistémico-estructural: fundamentalmente utilizado para diseñar la concepción didáctica en general y las relaciones entre sus componentes. Métodos del nivel empírico: Análisis documental: para el estudio de los documentos rectores del Ministerio de Educación en relación con el objeto de investigación y de los diferentes documentos que, de una manera u otra, tienen que ver con el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría y el uso de SGD. Observación participante: con el objetivo de lograr una visión general de las características del trabajo de los estudiantes en las clases donde se utilizan SGD, así como realizar su descripción y análisis. Encuesta: realizada a los expertos para conocer su nivel y sus criterios sobre la concepción didáctica elaborada con el fin de perfeccionarla. Entrevista grupal: realizada a los estudiantes al inicio y final de la intervención en la práctica con el fin de obtener información sobre el estado de opinión respecto a la geometría y su aprendizaje y sobre el impacto de las intervenciones en la práctica. Prueba pedagógica: para analizar el impacto de la experiencia de intervención con la utilización de SGD en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría. Criterio de expertos: para realizar la valoración de la concepción didáctica. Métodos del nivel estadístico matemático: De la estadística descriptiva: Tablas: para organizar las mediciones de las pruebas pedagógicas realizadas y las opiniones de los expertos. Gráficos estadísticos: para el procesamiento del criterio de expertos.. 9.

(17) Introducción. La contribución a la teoría radica en la ampliación de la definición de softarea, al incluir el redescubrimiento y la exploración guiada, como forma de lograrlo, los cuales son esenciales en el concepto de tarea docente sustentada en software de geometría dinámica, que es el núcleo de la concepción didáctica; con este tipo de tarea se logra un aporte al perfeccionamiento del proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría sintética, a la vez que sirve de modelo de actuación profesional a los estudiantes. La principal contribución a la práctica lo constituye el conjunto de tareas docentes sustentadas en SGD que sirvieron de soporte a la intervención en la práctica, a su vez la propia concepción brinda elementos que permiten el trabajo en el aula con SGD cuando se desarrollan contenidos de la geometría sintética plana en las condiciones de la escuela cubana actual. La novedad científica de la tesis estriba en la concepción didáctica para la utilización de tareas docentes sustentadas en los SGD con las características de: - Se fundamenta en la didáctica cubana. - Se dirige hacia el uso racional de un mínimo de las herramientas del software. - El accionar con las tareas se basa en la exploración guiada hacia propiedades esenciales de la geometría sintética plana. La tesis tiene tres capítulos, conclusiones, recomendaciones, bibliografía y anexos. En el Capítulo I se fundamenta teóricamente la necesidad y posibilidad de utilizar SGD en el proceso de enseñanza aprendizaje de los contenidos de geometría sintética plana, en especial, los que son objeto de estudio en la Educación General Media. También se brindan algunos fundamentos sobre la tarea docente, su estructuración didáctica y el enfoque profesional de la misma. En el Capítulo II se realiza una sistematización de la experiencia de la introducción de los SGD en el proceso de enseñanza aprendizaje de contenidos de geometría sintética plana en la formación inicial de profesores, de la cual emergen los elementos que permiten la elaboración de una concepción didáctica para el trabajo con tareas docentes sustentadas en SGD. En el Capítulo III se presenta la concepción didáctica y los resultados de su evaluación por expertos.. 10.

(18) 1. FUNDAMENTOS DE LA UTILIZACIÓN DE SOFTWARE DE GEOMETRÍA DINÁMICA EN LA FORMACIÓN INICIAL DE PROFESORES DE MATEMÁTICA ¿Qué ciencia hay mejor que la que salta a la vista, ni qué biblioteca enseña lo que un rayo de sol, si se ve a lo que ilumina con paciencia para comparar y voluntad para entender? José Martí Pérez.

(19) Capítulo 1 Fundamentos de la utilización de software de geometría dinámica en la formación inicial de profesores de Matemática. 1. FUNDAMENTOS DE LA UTILIZACIÓN DE SOFTWARE DE GEOMETRÍA DINÁMICA EN LA FORMACIÓN INICIAL DE PROFESORES DE MATEMÁTICA En este capítulo se realiza una fundamentación de la utilización de SGD en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría sintética, como el proceso que se considera es en la formación inicial del profesor de Matemática es necesario que se tengan en cuenta las tendencias de la enseñanza de la geometría en el nivel para el que se preparan los estudiantes y también las de la presencia de la geometría en su formación, en primer lugar; a su vez es necesario realizar consideraciones sobre los medios de enseñanza y sobre los SGD como medios modernos surgidos con el desarrollo de la informática y por último realizar consideraciones sobre los fundamentos pedagógicos que sustentan los resultados. Se comienza por analizar los núcleos de contenido geométrico que han estado presente en los programas de Matemática en Cuba a partir de la mitad del siglo XX. 1.1 La enseñanza de la geometría en Cuba Para abordar el análisis del proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría es necesario realizar algunas consideraciones de tipo histórico que revelen el comportamiento de este proceso en los últimos tiempos, tanto en la Educación General Media (EGM) como en la formación de profesores, para lo primero se realizó un estudio basado fundamentalmente en el análisis de los libros de texto que han regido en la enseñanza de la Matemática en los últimos años, también fueron consultados artículos aparecidos en diferentes publicaciones, opiniones de profesores expresadas en prólogos y prefacios de sus obras y programas incluidos en diferentes libros de texto, de acuerdo con los programas oficiales vigentes en cada momento; además algunos planes de clase impresos que son conservados en la Biblioteca provincial de Villa Clara, fundamentalmente para el análisis de la situación antes del primero de enero de 1959.. 11.

(20) Capítulo 1 Fundamentos de la utilización de software de geometría dinámica en la formación inicial de profesores de Matemática. Son representantes de los autores consultados Paz (1951), Fiterre (1958), Miyares y Escalona (s/a), González (1948) y, en especial, los planes de clase que tanto esclarecen, de los profesores Dra. Ofelia Martínez Gómez (1950) y Dr. Pedro de J. Monteagudo (s/a). 1.1.1 En la Educación General Décadas de 1940 y 1950. La. presencia de la geometría. fue estable durante estas dos décadas en los. programas de Secundaria Básica y Preuniversitario, expresado en el hecho de que los libros de texto para los diferentes grados, los programas de ingreso a la segunda enseñanza y los programas oficiales vigentes que fueron publicados a inicios de los años 1940 fueron reimpresos con ese mismo carácter durante varios años hasta finales de la década de 1950. También en este sentido, se debe señalar que los textos de geometría. del Preuniversitario fueron reeditados en varias ocasiones. durante la década del 1960 por poseer una alta calidad científica en el desarrollo de los contenidos. En la Primaria Superior, que corresponde al nivel de Secundaria Básica, la enseñanza de la geometría se basaba en métodos intuitivos y nociones adquiridas por inducción, a partir de las cuales, en ocasiones, se realizaban deducciones simples; todo el trabajo didáctico estaba basado en la observación, las mediciones, la utilización del dibujo, el modelado y el recortado de figuras, es decir, en procedimientos fundamentalmente prácticos, que tendían a propiciar en la mayoría de los casos la utilización de fórmulas y algoritmos para resolver problemas esencialmente de cálculo y construcciones. Era considerable la cantidad de información geométrica que aparecía en los programas y según los textos se hacía hincapié en los problemas de aplicación cotidiana; no obstante, Escalona (1944), planteaba que los estudiantes egresados de la secundaria no contaban con los conocimientos y habilidades mínimas que debían adquirir en este nivel para continuar con la Enseñanza Preuniversitaria, también Ginzo (1955), refería que los alumnos presentaban dificultades para realizar generalizaciones y resolver problemas cuando varían los enunciados o la disposición de los términos y que se enseñaba la materia como un fin y no como un medio para. 12.

(21) Capítulo 1 Fundamentos de la utilización de software de geometría dinámica en la formación inicial de profesores de Matemática. su aplicación. Por su parte Faget (s.a.) escribía que "Las clases de Geometría deben suministrar experiencias activas de trabajo, no solamente para lograr los objetivos inmediatos, sino para la preparación del individuo, necesaria para la solución de problemas y ejercicios que se presentan más tarde"(s.p.). Estas referencias muestran la implicación de los docentes en la calidad del proceso de enseñanza aprendizaje en aquella época. En el nivel Preuniversitario (segunda enseñanza) la enseñanza de la geometría era fundamentalmente deductiva, enfocaba los problemas de construcciones como aplicaciones de las teorías estudiadas a la solución de determinados problemas concretos de construcción. Cada grado presentaba un capítulo correspondiente a la solución de problemas geométricos relacionados con la vida práctica. La geometría analítica se introducía en el quinto curso. Existía un alto grado de formalidad, una tendencia a la reproducción de demostraciones y a la solución de muchos ejercicios de cálculo de magnitudes geométricas. Los libros de texto de la época son útiles hasta los días de hoy y constituyen un fuerte apoyo a la enseñanza de la geometría en todos los niveles. No obstante, se mantenían serias dificultades con el aprendizaje de la geometría, al respecto Escalona (1944), refería entre las posibles causas los métodos de enseñanza, que en esencia reproducían el contenido de los excelentes libros de texto. Década de 1960. Con el triunfo de la Revolución el 1ro de enero de 1959, se produjeron diversas transformaciones sociales que tuvieron implicación directa en el sistema educativo cubano. La Campaña de Alfabetización y la incorporación de miles de maestros a las aulas propiciaron la escolarización generalizada de la población que gradualmente fue ascendiendo de nivel hasta alcanzar el nivel primario. Esto trajo consigo la necesidad de introducir cambios en los planes de estudio: la primaria continuó hasta 6to grado, y sobre geometría eran estudiadas las nociones intuitivas de punto, recta, segmento y ángulo y también se trataban las figuras geométricas de forma fundamentalmente intuitiva. La secundaria básica llegó a extenderse hasta el 10mo grado, ahora con un enfoque nuevo, el de la matemática moderna, que basada en la teoría de conjuntos y la lógica. 13.

(22) Capítulo 1 Fundamentos de la utilización de software de geometría dinámica en la formación inicial de profesores de Matemática. matemática "desterró" de las aulas la matemática clásica. Esto visto en términos de la enseñanza de la geometría significó el abandono de las prácticas intuitivas de obtención de conocimientos a partir de la práctica, ahora todo era obtenido con la realización de deducciones sobre la base de las transformaciones geométricas, tal es el caso del estudio de las propiedades características de triángulos y cuadriláteros en general y la introducción del axioma de las paralelas a partir de los movimientos correspondientes. Es la teoría de Félix Klein 3 (1985), para el estudio de la geometría , aplicado en el nivel medio, que introduce nociones de estructuras algebraicas y las utiliza, por su carácter general, para la obtención de nuevos contenidos geométricos. El Preuniversitario sufrió cambios motivados por la extensión del nivel secundario, la mayoría de los contenidos de la geometría sintética pasaron a Secundaria Básica, quedaron, fundamentalmente, para el Preuniversitario las cónicas, la trigonometría y la profundización en la geometría analítica. Décadas de 1970 y 1980. Con el inicio de la década del 70 se produjeron cambios. sustanciales en la. educación, que iniciando con la nueva concepción de la integración estudio-trabajo en su forma más acabada en las escuelas en el campo, se fue extendiendo a la esfera de los planes de estudio, que en Matemática se caracterizó por la introducción paulatina de nuevos programas correspondientes a los planes de la República Democrática Alemana. La geometría. mantiene su presencia, pero en todos los. niveles se le pretende dar un carácter más deductivo a su enseñanza; el trabajo con las demostraciones comenzaba desde primaria. Contenidos como los movimientos y la igualdad de triángulos son tratados en primaria y no se retoman explícitamente en ningún otro momento; se introducen temas de geometría. descriptiva y la. geometría sintética del espacio se sustituye por la geometría analítica con enfoque vectorial, se tratan en este marco los contenidos de geometría del espacio. La ejercitación en los libros de texto tendía mucho a aplicaciones complejas de los contenidos, en todas las ramas y en especial en la geometría , pero no abundaba el trabajo con las demostraciones. 3. Enunciada en su discurso inaugural como profesor de Matemática de la Universidad de Erlangen, conocido como Programa de Erlangen, publicado en 1892. 14.

(23) Capítulo 1 Fundamentos de la utilización de software de geometría dinámica en la formación inicial de profesores de Matemática. Década del 90 e inicios del siglo XXI. A finales de la década del 80 se producen nuevos cambios. En cuanto a geometría hay un reordenamiento: en 7mo grado se repasan los movimientos y se enfatiza en triángulos, cuadriláteros y con el volumen de cuerpos rectos; en 8vo se trata circunferencia y círculo y el volumen de cuerpos redondos, también en el marco de las funciones se introduce el estudio de la recta y su ecuación en el plano cartesiano; en 9no se estudian las semejanzas, el grupo de teoremas de Pitágoras y la trigonometría del triángulo rectángulo; en 10mo se continúa profundizando en la trigonometría del triángulo y sus aplicaciones, fundamentalmente; en 11º se empieza con la geometría analítica, incluyendo las cónicas y en 12º se estudia la geometría sintética del espacio con base axiomática y se plantea su estudio analítico, también en este caso impera el trabajo con el cálculo de cuerpos donde se sistematizan todos los contenidos anteriores. Existe en este grado una unidad final de repaso y sistematización de toda la geometría estudiada en la Educación General Media. En el párrafo precedente se describe la idea base del último plan de estudio que tiene como características que su impartición no debe ser formal, debe recurrirse oportunamente a la intuición, que consta de libros de texto con una buena ejemplificación y ejercitación variada que permite, utilizada adecuadamente, lograr los objetivos del plan de estudio. Estos planes de estudio en las últimas dos décadas han tenido algunas modificaciones, que, en general, son permutaciones de contenidos o ampliación del alcance en función, fundamentalmente, de la introducción de los temas de estadística que estaban ausentes. Un análisis de los libros de texto de geometría que existían antes de 1959 y de los textos y programas de Matemática después de esa fecha, permitió llegar a la conclusión de que los conceptos y propiedades que son objeto de estudio en la geometría sintética que se estudia en la escuela, se refieren a un número reducido de conceptos y propiedades geométricas que están recogidos en el anexo 1.1, cuya consideración está en la base de este trabajo, pues tenerlos en cuenta puede ayudar a conformar el proceso de enseñanza aprendizaje de dichos contenidos cuando se utilizan SGD.. 15.

(24) Capítulo 1 Fundamentos de la utilización de software de geometría dinámica en la formación inicial de profesores de Matemática. De los elementos precedentes se desprende la necesidad de valorar cómo se ha comportado la formación inicial de profesores de Matemática, en particular, en lo concerniente al proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría sintética, por la influencia que tiene en su ulterior desarrollo profesional, precisamente, el próximo epígrafe se dedicará a este aspecto. 1.1.2 La disciplina Geometría en la formación inicial de profesores Las universidades de ciencias pedagógicas son las instituciones encargadas de formar Licenciados en Educación cuya función es impartir docencia en la especialidad que se estudie, en este caso la tesis se refiere a los que se forman para dar clases de Matemática, es bueno destacar que los graduados de la especialidad de Educación Primaria también tienen esta función en esa educación, aunque en su formación la disciplina Matemática no es muy profunda, una parte de la misma se dedica a la geometría, donde son tratados los contenidos de la geometría plana que se estudian en la Educación Primaria y también en la Secundaria. En el caso que se estudia, se aborda el tema de los contenidos que han estado incluidos en la disciplina Geometría, en las carreras que han formado profesores de Matemática en los diferentes planes de estudio, con el objetivo de lograr una idea de la evolución de esta disciplina, sus tendencias y su correspondencia con el nivel para el cual se forman los profesores. A partir del surgimiento de la Carrera de Licenciatura en Educación especialidad de Matemática, con el plan de estudio A y de acuerdo con el perfeccionamiento continuo del sistema nacional de educación, se han ido produciendo cambios tendentes a responder, en cada caso, a las nuevas condiciones y a resolver las insuficiencias que se han presentado, ello conllevó a que la disciplina Geometría también se haya modificado en cada una de estas transformaciones del plan de estudio. Las ideas centrales de dichos cambios han sido: el plan A centraba la atención en el aspecto académico con una alta profundidad en los contenidos, los cuales se desarrollaban en solo 6 semestres, pues la carrera era de 4 años, con dos semestres íntegros de práctica docente en 3ro y 4to año; este plan dio lugar al plan de estudio B, la carrera con el mismo nombre y con una duración de 5 años, con el último año de práctica docente, en este plan se realizó, en general, una descarga de los. 16.

(25) Capítulo 1 Fundamentos de la utilización de software de geometría dinámica en la formación inicial de profesores de Matemática. programas de todas las disciplinas, excluyendo las de Formación Pedagógica General y la de Metodología de la Enseñanza de la Matemática, que se nutrieron de más horas y mayor tiempo dedicado a la actividad de familiarización con la escuela; todavía centraba la mayor cantidad de tiempo en el componente académico y menos al laboral. Se realizaron de nuevo transformaciones que llevaron al plan de estudio C; este trajo un cambio de nombre, ahora: Licenciatura en Educación, especialidad Matemática – Computación, en esta nueva concepción el tiempo dedicado a la actividad académica y laboral estaban compartidos a un 50%. Evidentemente, la implantación del plan de estudio C conllevó a una profunda descarga de los programas, en correspondencia con la reducción del tiempo dedicado a la actividad académica, y con la necesidad de acercar más al alumno a los contenidos de los diferentes niveles de educación para los cuales se preparaba; su aplicación se extendió por más de una década. En el transcurso de su vigencia se le realizaron multitud de adecuaciones, téngase en cuenta que su aplicación comenzó con el período especial, una etapa de grandes complejidades en la educación en el país; estos cambios fueron acercando cada vez más a la escuela los contenidos que se impartían en cada una de las disciplinas, se mantuvieron solo algunas temáticas que las vinculaban con los contenidos de nivel superior de profundidad. A partir del curso 2003 – 2004 surgió una nueva carrera, Licenciatura en Ciencias Exactas para la Educación Media Superior, con el plan de estudio C modificado, que en lo referido a la matemática aborda contenidos cercanos a los que se estudian en ese. nivel,. pero. con. cierta. profundización. referida,. esencialmente,. a. la. fundamentación de los contenidos matemáticos y a los contenidos que sirven de base a otras disciplinas. Nuevas transformaciones en la formación de profesores se sucedieron en el curso 2010 – 2011 con la aparición del plan de estudio D y con una nueva carrera: Licenciatura en Educación Matemática Física, el cual retoma la formación del profesor para la Educación General Media y tiene nuevas características en cuanto a las disciplinas que lo conforman, incluyendo la Geometría.. 17.

(26) Capítulo 1 Fundamentos de la utilización de software de geometría dinámica en la formación inicial de profesores de Matemática. Todos estos planes, con un perfil más amplio o reducido, tienen la característica común de formar profesores de Matemática; por eso, esta tesis se refiere a profesor(es) de Matemática, independientemente del plan de estudio. El estudio de los programas de las asignaturas de la disciplina Geometría, durante el transcurso de estos planes de estudio, permitió establecer las características de la disciplina a partir del surgimiento de la carrera de Licenciatura en Educación: Plan de estudio A. B. C. D En los planes. Asignatura y objeto de estudio Geometría I: Geometría analítica del plano Geometría II: Geometría analítica del espacio Geometría III: Geometría descriptiva Geometría IV: Geometría axiomática del plano Geometría V: Geometría axiomática del espacio Geometría I: Geometría analítica del plano Geometría II: Geometría analítica del espacio Geometría III: Cónicas y cuádricas Geometría IV: Geometría axiomática del plano Geometría V: Geometría axiomática del espacio Geometría I: Axiomática natural del plano Geometría II: Axiomática natural del plano Geometría III: Método axiomático, axiomática del espacio Geometría IV: Geometría analítica hasta secciones cónicas Geometría V: Transformaciones geométricas y cuádricas. Geometría I: Geometría analítica del plano y espacio Geometría II: Cónicas, cuádricas y transformaciones Geometría III: Geometría axiomática general de estudio A y B la diferencia esencial es que se eliminan los. contenidos de la geometría descriptiva en el plan B y que se reduce el número de horas. En cuanto al trabajo con la geometría sintética de la Educación Secundaria y Preuniversitaria, no aparece reflejada en los programas, por lo que se alejaba de esos niveles para el cual se preparaba el estudiante. En el plan C sí se producen cambios significativos, además de reducir el número de horas de las asignaturas, se cambia el orden, pero lo más importante a consideración del autor es que los contenidos de geometría sintética ahora se aproxima a la escuela con una axiomática natural más fuerte, y se exige el tratamiento de los contenidos de la geometría sintética escolar y la utilización de los textos del nivel.. 18.

(27) Capítulo 1 Fundamentos de la utilización de software de geometría dinámica en la formación inicial de profesores de Matemática. Este plan no se llegó a concretar por completo y sufrió cambios a partir de su misma implementación, la disciplina Geometría pasó por diversas transformaciones, e incluso la carrera cambió a Ciencias Exactas, pero lo que a los efectos del trabajo interesa es que bajo diferentes denominaciones, se siguió abordando la geometría sintética escolar, con una aproximación a los contenidos del nivel para el cual se preparaban los estudiantes. En el plan de estudio D actual la disciplina está formada por dos asignaturas, la primera, con el tratamiento analítico y la segunda, con el tratamiento axiomático de la geometría, donde de forma breve e intensa se describe una posibilidad de la construcción axiomática de esta ciencia, pero que explícitamente en los objetivos reflejados en el programa, plantea la aproximación a la geometría que se estudia en la escuela. A diferencia del plan de estudios C, los contenidos de la geometría sintética escolar no están incluidos en la disciplina, pero son ampliamente tratados en la disciplina Fundamentos de la Matemática Escolar que antecede a la disciplina Geometría. Respecto a la evolución que ha seguido la disciplina Geometría a través de los diferentes cambios operados se pueden considerar como aspectos positivos: . Se ha eliminado el extremado formalismo que caracterizaba su aparición como disciplina en el plan de estudio A.. . Se han acercado los contenidos geométricos a los de la escuela, sin perder su rigor, pero utilizando el aspecto intuitivo de manera creciente, en correspondencia con la estructuración del estudio de la geometría en el nivel medio. En el plan de estudio D el mayor acercamiento no se produce directamente en la disciplina Geometría, sino que se logra con la disciplina Fundamentos de la Matemática Escolar En las orientaciones metodológicas de los programas siempre se plantea la vinculación con los contenidos escolares.. . Se ha introducido explícitamente en los programas de las asignaturas el trabajo con los software, para el desarrollo de las mismas y también en su función de preparar a los estudiantes para su ulterior aplicación docente.. 19.

(28) Capítulo 1 Fundamentos de la utilización de software de geometría dinámica en la formación inicial de profesores de Matemática. Como factores negativos que influyen en el proceso de enseñanza aprendizaje de la disciplina Geometría en la formación inicial resulta fundamental: . El bajo nivel de entrada en lo que respecta a los contenidos geométricos por parte de los estudiantes, como consecuencia de la preparación precedente.. . El dominio del uso de los software, que tienen los profesores encargados de desarrollar los contenidos de geometría, no es suficiente.. La importancia de la inclusión de la utilización de software en el proceso de enseñanza aprendizaje para desarrollar contenidos matemáticos y, en especial, para los geométricos en la formación inicial de profesores, viene explícita en el modelo del profesional de la carrera Licenciatura en Educación Matemática Física del plan de estudios D , el objetivo 7 se propone determinadas habilidades cuyo cumplimiento se apoya en “el aprovechamiento de las tecnologías de la información y las comunicaciones, que promuevan el desarrollo de la imaginación, de modos de la actividad mental, sentimientos, actitudes y valores acordes con los principios de nuestra sociedad.”(Cuba. Ministerio de educación, 2010: 11) Lo cual corrobora más adelante al referirse a la función docente metodológica del profesor. En lo concerniente a la disciplina Geometría, entre sus orientaciones metodológicas aparece: “se puede disponer de las tecnologías de la información y la comunicación para la construcción de los contenidos de una manera más motivante con la finalidad de lograr los objetivos generales de la disciplina, en particular, el uso de los programas de geometría dinámica” (Cuba. Ministerio de Educación.2010: 7). Por otra parte entre los lineamientos de trabajo de la asignatura Matemática el noveno plantea: “… utilizar las tecnologías, incluidas las de la informática y las comunicaciones, con el objetivo de adquirir conocimientos y racionalizar el trabajo de cálculo, pero también con fines heurísticos.” (Cuba. Ministerio de Educación, 2011:11) y explícitamente cuando se argumenta este lineamiento se refiere a la utilización de “…los asistentes matemáticos como el Geómetra…” (p. 11). Es necesario resaltar que aunque está planteado de manera explícita en el plan de estudio el uso de los SGD, no aparece en las disciplinas, ni en la bibliografía. . Para ingresos a partir del curso 2011 – 2012 20.

(29) Capítulo 1 Fundamentos de la utilización de software de geometría dinámica en la formación inicial de profesores de Matemática. elementos acerca de cómo utilizarlos, de ahí la importancia de desarrollar un estudio sobre el uso de software en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría. 1.2 Los software de geometría dinámica o procesadores geométricos En el ámbito del desarrollo informático, en los últimos 30 años, ha sido creada una serie de programas que son muy útiles para el estudio de la geometría, son conocidos como procesadores geométricos o software de geometría dinámica; dentro de ellos se encuentran algunos comerciales como el The Geometer Sketchpad, conocido en español por el Geómetra y el Cabri, los más representativos y otros libres como el Geogebra, Cinderella y Regla y Compás. De cada uno de ellos han surgido nuevas versiones con relativa rapidez; incluso, algunos tienen variantes para trabajar con la geometría en el espacio como son el Cabri 3D y el Geogebra que comienza recientemente a transitar por este camino. Además algunos han trascendido al estudio de otras ramas de la Matemática: el Álgebra Lineal, las funciones, la Estadística, e incluso del cálculo simbólico, tal es el caso del Geómetra en sus versiones a partir de la 4 y el GeoGebra con gran nivel de uso actualmente. En la tesis se hace referencia a estos software, que son llamados software de geometría dinámica, se considera esencialmente lo correspondiente a las posibilidades de trabajo con el contenido de la geometría sintética plana. Reciben este nombre porque en sus ambientes virtuales se dinamizan los representantes de las figuras geométricas en el sentido de que se pueden mover y deformar, hacerse más grandes o más pequeñas manteniendo las propiedades geométricas que las caracterizan; en contraposición con el estudio de la geometría basado en medios tradicionales, donde los representantes de figuras son tangibles, en cartulina, en papel o cualquier otro material, donde se utilizan diferentes conjuntos de dichos representantes para realizar las comparaciones deseadas sobre ellas; constituyen lo que se ha dado en llamar geometría estática. Los productos de estos software, sean archivos del software o applets  contienen representantes de figuras geométricas que contribuyen al proceso de enseñanza. . Archivos en formato HTML que tienen incrustados archivos del software con los que se puede interactuar en cualquier navegador, necesita del programa Java que es gratuito. 21.

(30) Capítulo 1 Fundamentos de la utilización de software de geometría dinámica en la formación inicial de profesores de Matemática. aprendizaje de la geometría, pues sirven para materializar los entes geométricos que son objeto de estudio, con lo cual responden a la definición de medio de enseñanza, de Castro (1986), que establece que los mismos son: “… los componentes del proceso docente-educativo que actúan como soporte material de los métodos con el propósito de lograr los objetivos planteados.“ (p. 48), y que es la definición de medio de enseñanza que se adopta en este trabajo y también la caracterización de estos SGD como medios de enseñanza. Además, abordan la definición y significado de los medios otros autores como Labarrere y Valdivia (1988), Zilberstein (2000), Addine… [et al] (2007) y Del Toro (2006) entre otros. Al respecto Klingberg (1978 ) escribió: “Como medio de enseñanza se denominan todos los medios materiales necesitados por el maestro o el alumno para una estructuración o conducción efectiva y racional del proceso de educación e instrucción a todos los niveles (…) para todas las asignaturas, para satisfacer las exigencias del plan de enseñanza”(p. 420), lo cual es una característica esencial de los SGD, por cuanto sus productos pueden ser utilizados en el proceso de enseñanza aprendizaje, propiciándose un aprendizaje donde el sujeto debe jugar un papel activo y creador, tanto desde el punto de vista interno como externo, lo cual se logra mediante la manipulación de los archivos de SGD. La actividad del estudiante es imprescindible porque “…las transformaciones necesarias en la educación de estos tiempos debe sustentarse no exclusivamente en la potencialidad técnica de las NTIC, sino en un nuevo modelo de aprendizaje que tenga en cuenta cómo se concibe el proceso docente, el papel activo del sujeto como constructor de su conocimiento, y de la interacción profesor-alumnos y estudianteestudiante en el proceso educativo” (Rosa… [et al], 1999: 37 ). Los autores Labarrere y Valdivia (1988) destacan la función de los medios de enseñanza para lograr el cumplimiento del principio audiovisual de la enseñanza y con ello, una mayor solidez en la apropiación de los contenidos, otro de los principios a tener en cuenta, lo cual es una de las características de estos SGD, permiten objetivar los diferentes entes geométricos, de manera dinámica para poder interactuar con ellos y de esta manera lograr que el conocimiento transcurra de la. 22.

(31) Capítulo 1 Fundamentos de la utilización de software de geometría dinámica en la formación inicial de profesores de Matemática. contemplación viva a partir de estos entes matemáticos objetivados en la pantalla de la computadora, al pensamiento abstracto. En tal sentido, Klingberg… [et al] (1970) expresó: “Los medios de enseñanza son medios de objetivación y de trabajo que están vinculados a objetos materiales, sirven de apoyo al proceso de enseñanza y contribuyen decisivamente al logro de los objetivos” (p. 43). Se considera necesario hacer algunas reflexiones sobre estos medios para objetivar los entes geométricos y, de esa manera lograr la manipulación o experimentación geométrica, pues, a diferencia de los medios estáticos, los representantes de objetos geométricos en el ambiente del software de que se trate, pueden ser manipulados mediante el arrastre de ciertos puntos, y producir deformaciones de estos representantes, que según hayan sido concebidos pueden o no orientar de manera adecuada el aprendizaje de ciertos contenidos. En este caso, existen dos aspectos a tener en cuenta, cuáles y cómo se arrastran diferentes elementos de una figura y cómo han sido diseñados estos representantes. Resulta imprescindible destacar que esa posibilidad de cambiar la forma, posición y tamaño de los representantes de diferentes geométricos construidos, sin que cambien sus propiedades esenciales, es la manifestación concreta de la posibilidad de aplicar el principio heurístico de la movilidad, tan difícil de lograr antes del surgimiento de los SGD. Hay que diferenciar los objetos geométricos y sus representaciones, no solamente por ser dos apreciaciones de un mismo fenómeno, sino por la influencia que tienen en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría, puesto que es imprescindible utilizar ilustraciones en este proceso, muchos geómetras reconocen la necesidad de utilizar representaciones de figuras geométricas para su estudio o como expresara Larios, citando a Mariotti (1995): “no es posible presentar un concepto geométrico sin ejemplos proporcionados, lo que significa dibujar figuras o mostrar modelos” (Larios, 2006: 364). Larios se refiere, además, a la necesidad de distinguir entre figuras y dibujos, lo cual es tratado también por otros autores como Parzysz (1988); Laborde y Capponi, (1994); Hölzl, (1995); Goldenberg y Cuoco, (1998); Maracci, (2001). A los efectos del. 23.

(32) Capítulo 1 Fundamentos de la utilización de software de geometría dinámica en la formación inicial de profesores de Matemática. uso de SGD, es importante diferenciar las representaciones de objetos geométricos en el ambiente del software, que pueden ser las que se llaman figura y las que se denominan dibujos, las primeras tienen el componente conceptual, pues se construyen de acuerdo con las propiedades esenciales que caracterizan al objeto geométrico y que se mantienen invariantes por arrastre, los dibujos se realizan por una apreciación visual que se aproxima a la imagen abstracta que se tiene del objeto geométrico, pero solo eso, se aproximan, pues no son estables mediante el arrastre. Ambos tipos de representaciones son útiles de acuerdo con el fin que se persiga. Teniendo en cuenta los componentes figural y conceptual, así como la utilización de representaciones gráficas estereotipadas, el aprendizaje de la geometría ha sido estudiado por Moreira y Scaglia (2003) y Larios, 2006), y han llegado a la conclusión de que muchos factores inciden en que los alumnos del nivel medio tengan más en cuenta uno que otro componente, o que no sean capaces de aplicar lo conceptual a situaciones concretas, o la influencia que tienen las posiciones y formas estereotipadas en dicho aprendizaje, lo que genera respuestas incompletas o elaboradas no teniendo en cuenta la esencia de los objetos geométricos, sino aspectos que tienen que ver con la posición o la forma y no con los aspectos teóricos conceptuales referidos a los objetos. De esta manera, queda enmarcada entonces, la necesidad de analizar formas de trabajo que puedan contribuir a buscar cierta uniformidad en el tratamiento de los componentes de los objetos geométricos con la utilización de SGD, para lograr un mejoramiento del proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría, desde el punto de vista de cómo puede ser la preparación de los estudiantes para que repercuta en una mejor labor profesional cuando de enseñar contenidos geométricos se trata. El análisis realizado se considera necesario, ya que, en ocasiones, cuando se habla de geometría dinámica algunos pueden pensar en una geometría con características diferentes a la clásica geometría euclidiana, y realmente, de lo que se trata es de la posibilidad del estudio de esta geometría con nuevos medios de enseñanza, que tienen como recurso el dinamismo, que permiten deformar convenientemente los representantes de las figuras que se construyan en el ambiente del software; en el trabajo estos representantes serán llamados figuras.. 24.

(33) Capítulo 1 Fundamentos de la utilización de software de geometría dinámica en la formación inicial de profesores de Matemática. 1.2.1 Elementos comunes de los software de geometría dinámica Se considera que los SGD que se han relacionado: Geómetra, Cabri, Geogebra, Regla y Compás están basados en la metáfora de la regla y el compás, pues para la construcción exacta de figuras se siguen los pasos y se utilizan las herramientas que representan estos instrumentos en los respectivos software. El estudio realizado del funcionamiento de algunos de los SGD mencionados, en lo que respecta a las posibilidades de tratamiento de las propiedades geométricas que son objeto de estudio en la geometría sintética de la EGD, permitió establecer algunas de las características comunes a estos software, y que fue corroborado por autores como Blázquez ( 2007 ) y Miranda (2006), este último refiriéndose a los diferentes software afirma: “Si bien existe una gran cantidad de procesadores geométricos, la gran mayoría suele contar con prácticamente los mismos tipos de objetos, como puntos, rectas, segmentos, semirrectas, circunferencias, etc. […] incorporan una gran cantidad de construcciones […] las construcciones de rectas perpendiculares y paralelas, bisectrices y puntos medios, circunferencias con radios dados, etc., son las más comunes” (Miranda, 2006: s.p.). De acuerdo con sus funciones, Resultan características comunes a los SGD, las siguientes: -. Todos tienen una barra de herramientas mediante la cual se construyen entes básicos de la geometría como son puntos, rectas, semirrectas, segmentos, circunferencias, ángulos, perpendiculares, paralelas, mediatrices, bisectrices. Además, permiten incursionar en la construcción de cónicas y, en algunos casos, polígonos regulares, que basados en macros o subprogramas, los construyen directamente, a partir del conocimiento de la longitud del lado y el número de lados.. -. Permiten medir longitudes de segmentos y amplitudes de ángulos, pero también otras magnitudes de figuras planas como el área y el perímetro, así como realizar operaciones algebraicas con estas magnitudes.. -. Es posible deformar la figura construida, moviendo con el ratón determinados elementos como: puntos, segmentos o rectas, dan de esta manera, la posibilidad de analizar las propiedades geométricas de determinado tipo de. 25.