TEOREMA DE PITÁGORAS
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
a = Hipotenusa, b = Cateto, c =Cateto.
Aplicaciones del teorema de Pitágoras
1 Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa.
Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente.
¿Cuánto mide la hipotenusa?
2 Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m.
¿Cuánto mide otro cateto?
3 Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo
Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.
Determinar si el triángulo es rectángulo.
EJERCICIOS DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
1.Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
2. Hallar el área del triángulo equilátero:
3. Hallar la diagonal del cuadrado:
4.Hallar la diagonal del rectángulo:
5. Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo:
P = 8 + 6 + 12 + 6.32 = 32.32 cm
6. El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.
7. Hallar el área del pentágono regular:
8. Calcular el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.
9. En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro.
Calcular el área del círculo.
SEMEJANZA TEOREMA DE THALES
1. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.
2. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.
3. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.
Ejercicios
1. Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.
2. Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?
FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE AREAS Y PERÍMETROS DE FIGURAS PLANAS
NOMBRE FIGURA FÓRMULAS
RECTÁNGULO
h b
A = b · h
P = 2 · b + 2 · h
A = área P = perímetro b = base h = altura
CUADRADO
l
A = l2
P = 4 · l
l = lado
ROMBOIDE
h b b
A = b · h
b = base h = altura
TRIÁNGULO
h
b
A =
2
·h b
b = base h = altura
ROMBO
l
D d
A =
2
·d D
P = 4 · l
D = diagonal mayor d = diagonal menor
TRAPECIO
b h B
A = B b h
2 · +
B = base mayor b = base menor h = altura
POLÍGONO REGULAR
a
A =
2
·a P
P = perímetro a = apotema
CÍRCULO
r
A =
π
·r2
π (pi) = 3,14 r = radio
SECTOR CIRCULAR
nº
r
A =
360 º
·
·r2 n
π
r = radio
nº = número de grados
CORONA CIRCULAR
R r
A = π·R2 −π·r2
A = π·
(
R −2 r2)
R = radio mayor r = radio menor
PERÍMETRO DE UN POLÍGONO
REGULAR
l
l
P = n · l
P = perímetro n = número de lados
l = longitud del lado
LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
r
L = 2·π·r
L = π·d
L = longitud de la circunferencia.
r = radio d = diámetro
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE FIGURAS PLANAS
1. Hallar la diagonal, el perímetro y el área del cuadrado:
2. Hallar la diagonal, el perímetro y el área del rectángulo:
3. Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo:
4. Hallar el perímetro y el área del trapecio isósceles:
5. Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero:
6. Hallar el perímetro y el área del pentágono regular :
7. Hallar el área de un hexágono inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.
8. Hallar el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.
9. Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.
10. Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.
11. En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.
12. El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.
13. Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del trapecio.
14. El área de un cuadrado es 2304 cm². Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.
15. En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.
16. A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.
17. En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.
18. Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
19. Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.
20. Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.
21. Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.
Respuestas:
1. Hallar la diagonal, el perímetro y el área del cuadrado:
P = 4 · 5 = 20 cm A = 52 = 25 cm2
2. Hallar la diagonal, el perímetro y el área del rectángulo:
P = 2 · ( 10 + 6) = 32 cm A = 10 · 6 = 60 cm2 3. Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo:
P = 8 + 6 + 10 + 6.32 = 30.32 cm
Se utiliza el teorema de Pitágoras.
c2 = a2 +b2 En este caso c = d d
Se utiliza el teorema de Pitágoras.
c2 = a2 +b2 En este caso c = d d
5 cm
El perímetro lo constituye lo que bordea la figura en cuestión, es decir, en este caso es un cuadrado, por lo tanto:
P = L1+ L2+ L3 + L4 = 4.L = 4.5 = 20 cm
I
6 cm
8 cm
4. Hallar el perímetro y el área del trapecio isósceles:
P = 2 · 5 + 4 + 10 = 24 cm
5. Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero:
P = 3 · 10 = 30 cm
6. Hallar el perímetro y el área del pentágono regular:
P = 6 · 5 = 30 cm
7. Hallar el área de un hexágono inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.
8. Hallar el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.
A = 7.072 = 50 cm2
9. Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.
El centro de la circunferencia es el baricentro. Por tanto:
10. Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 cm.
11. En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.
12. El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.
13. Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del trapecio.
14. El área de un cuadrado es 2304 cm². Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.
15. En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.
16. A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.
17. En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.
18. Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
19. Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.
20. Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.
21. Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.
El centro de la circunferencia es el baricentro. Por tanto:
