Tema 6: Integración numérica
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña
Octubre 2008, Versión 1.5
Contenido
1. Fórmulas de cuadratura 2. Fórmulas de Newton-Cotes 3. Fórmulas compuestas
1 Fórmulas de cuadratura
• Objetivo
Aproximar la integral
I = Z b
a
f (x) dx
usando una combinación lineal de valores de f (x) en puntos del intervalo [a, b].
Puntos del intervalo (nodos)
a ≤ x0 < x1 < · · · < xn≤ b.
Aproximación Z b
a f (x) dx ' α0f (x0) + α1f (x1) + · · · + αnf (xn).
La fórmula de cuadratura es
F (f ) = α0f (x0) + α1f (x1) + · · · + αnf (xn).
La notación F (f ) indica que los coeficientes αj y los nodos xj son conocidos;
es la función f la que actúa como variable en la fórmula.
• Error
E (f ) = I − F (f)
= Z b
a f (x) dx − [α0f (x0) + α1f (x1) + · · · + αnf (xn)] . 1
Ejemplo 1.1 Consideramos la integral I =
Z 1 0
x sin x dx.
1. Aproxima el valor de I con la fórmula de cuadratura F (f ) = b − a
6
∙
f (a) + 4f
µa + b 2
¶ + f (b)
¸
[a, b] representa el intervalo de integración [0, 1].
2. Calcula el valor exacto de la integral y el valor del error.
1. Valor aproximado. Tenemos
a = 0, b = 1, f (x) = x sin x.
F (f ) = 1 − 0
6 (0 + 4 · (0.5) sin (0.5) + sin 1) = 0. 30005.
2. Valor exacto y error.Calculamos una primitiva de f (x) Z
x sin x dx = integramos por partes
µ u = x du = dx
dv = sin x dx v = − cos x
¶ = −x cos x − Z
(− cos x) dx
= −x cos x + Z
cos x dx
= −x cos x + sin x + c Z 1
0 x sin x dx = [−x cos x + sin x]x=1x=0 = − cos 1 + sin 1 = 0. 30117.
Error.
|E (f)| = |I − F (f)| = |0. 30117 − 0. 30005| = 0.00 112.
Vemos que la fórmula de cuadratura ha producido una aproximación de la integral con 2 decimales exactos. ¤
• Grado de precisión
Dado un intervalo [a, b], una fórmula de cuadratura
F (f ) = α0f (x0) + α1f (x1) + · · · + αnf (xn)
tiene grado de precisión g si es exacta para todos los polinomios de grado
≤ g (y no lo és para alguno de grado g +1). Es decir, si p(x) es un polinomio de grado ≤ g, entonces
Z b a
p(x) dx = α0p(x0) + α1p(x1) + · · · + αnp(xn).
• Determinación del grado de precisión
Puede demostrarse que la fórmula de cuadratura F (f ) tiene grado de pre- cisión g si es exacta para los polinomios
p0(x) = 1, p1(x) = x, p2(x) = x2, . . . , pg(x) = xg y no lo es para
pg+1(x) = xg+1.
Ejemplo 1.2 Consideramos el intervalo [0, 2]. Determina el grado de pre- cisión de la fórmula de cuadratura
F (f ) = 1
3[f (0) + 4f (1) + f (2)]
Tenemos que verificar la exactitud de F (f ) sobre los monomios p0(x) = 1, p1(x) = x, p2(x) = x2, . . .
Z 2 0
1 dx = [x]20 = 2,
F (1) = 13(1 + 4 + 1) = 6 3 = 2.
⎫⎪
⎪⎪
⎬
⎪⎪
⎪⎭
⇒ F (f ) exacta para p0(x) = 1.
Z 2 0
x dx =
∙x2 2
¸2 0
= 2,
F (x) = 13(0 + 4 · 1 + 2) = 63 = 2.
⎫⎪
⎪⎬
⎪⎪
⎭
⇒ F (f ) exacta para p1(x) = x.
Z 2 0
x2dx =
∙x3 3
¸2 0
= 8 3, F¡
x2¢
= 13(0 + 4 · 1 + 4) = 8 3.
⎫⎪
⎪⎪
⎪⎬
⎪⎪
⎪⎪
⎭
⇒ F (f ) exacta para p2(x) = x2
Z 2 0
x3dx =
∙x4 4
¸2 0
= 16 4 = 4, F¡
x3¢
= 13(0 + 4 · 1 + 8) = 12 3 = 4.
⎫⎪
⎪⎪
⎪⎬
⎪⎪
⎪⎪
⎭
⇒ F (f ) exacta para p3(x) = x3.
Z 2 0
x4dx =
∙x5 5
¸2 0
= 32 5 , F¡
x4¢
= 13(0 + 4 · 1 + 16) = 20 3 .
⎫⎪
⎪⎪
⎪⎬
⎪⎪
⎪⎪
⎭
⇒ F (f )no exacta para p4(x) = x4
La fórmula de cuadratura tiene grado de precisión 3, y es exacta para todas
las integrales Z 2
0
p(x) dx
con p(x) polinomio de grado ≤ 3. Por ejemplo, tomemos p(x) = x3− x,
Z 2 0
¡x3− x¢ dx =
∙x4 4 −x2
2
¸2 0
= 16 4 −4
2 = 4 − 2 = 2, F (p) = 1
3[0 + 4· (1 − 1)
| {z }
p(1)
+ (8 − 2)
| {z }
p(2)
] = 6
3 = 2. ¤
2 Fórmulas de Newton-Cotes
Las fórmulas de Newton-Cotes se obtienen integrando el polinomio interpo- lador construido con nodos igualmente espaciados.
• Estrategia
1. Dividimos [a, b] en n subintervalos de longitud h = b − a
n ,
los puntos de división son de la forma x0 = a, x1 = a + h,
x2 = a + 2h, ... xj = a + jh,
...
xn = a + nh = b.
2. Calculamos el polinomio pn(x) que interpola f (x) en los nodos x0, x1, x2, . . . , xn.
3. Tomamos Z b
a f (x) dx ' Z b
a
pn(x) dx.
2.1 Fórmula del trapecio y de Simpson
• Fórmula del Trapecio
Es la fórmula de Newton-Cotes de 2 puntos
Z b a
p1(x) dx = f (a) + f (b)
2 (b − a) . La fórmula del trapecio es
FT (f ) = b − a
2 [f (a) + f (b)] . Si tomamos h = b − a, obtenemos la siguiente expresión
FT (f ) = h
2[f (x0) + f (x1)] , x0 = a, x1 = a + h, h = b − a.
• Fórmula de Simpson
Es la fórmula de Newton-Cotes de 3 puntos h = b − a
2 ,
x0= a, x1 = a + h, x2 = a + 2h = b.
Puede demostrarse que Z b
a
p2(x) dx = b − a 6
∙
f (a) + 4f
µa + b 2
¶ + f (b)
¸
= h
3[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)] . La fórmula de Simpson es
FS(f ) = h
3[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)] , x0= a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, h = b − a
2 .
Ejemplo 2.1 Consideramos la integral I =
Z 2 1
1 xdx.
1. Aproxima el valor de I usando la fórmula del trapecio.
2. Aproxima el valor de I usando la fórmula de Simpson.
3. Calcula los errores.
1. Aproximación con la fórmula del trapecio. Tenemos a = 1, b = 2, f (x) = 1
x, FT(f ) = 2 − 1
2 µ
1 +1 2
¶
= 1 2 ·3
2 = 3
4 = 0.75.
2. Aproximación con la fórmula de Simpson. Tenemos h = 2 − 1
2 = 0.5, x0 = 1, x1 = 1.5, x2 = 2, FS(f ) = 0.5
3 µ
1 + 4 1 1.5+1
2
¶
= 0. 69444.
3. Valor exacto y errores. Calculamos la integral exacta Z 2
1
1
xdx = [ln x]21= ln 2 = 0. 69315.
Error para la fórmula del trapecio
|ET(f )| = |I − FT(f )| = |0. 69315 − 0.75| = 0.0 5685.
Error para la fórmula de Simpson
|ES(f )| = |I − FS(f )| = |0. 69315 − 0. 69444| = 0.00 129.
Con la fórmula Simpson, hemos obtenido 2 decimales exactos. ¤ 2.2 Errores
• Fórmula del trapecio Sea f (x) de clase C2[a, b]
x0= a, x1 = b, h = b − a, se cumple
I = Z b
a
f (x) dx =
FT(f )
z }| {
h
2 [f (x0) + f (x1)] −h3
12f(2)(t) , t ∈ (a, b) . Valor absoluto del error
|ET(f )| = |I − FT(f )| = h3 12
¯¯
¯f(2)(t)
¯¯
¯ , t ∈ (a, b) .
Cota superior de error
|ET(f )| ≤ h3
12M2, M2 = max
x∈[a,b]
¯¯f(2)(x)¯
¯ .
• Fórmula de Simpson Sea f (x) de clase C4[a, b]
x0 = a, x1 = a + h, x2 = b, h = b − a 2 , se cumple
I = Z b
a
f (x) dx =
FS(f )
z }| {
h
3 [f (x0) + 4f (x1) + f (x2)] −h5
90f(4)(t) , t ∈ (a, b) . Valor absoluto del error
|ES(f )| = |I − FS(f )| = h5 90
¯¯
¯f(4)(t)
¯¯
¯ , t ∈ (a, b) . Cota superior de error
|ES(f )| ≤ h5
90M4, M4= max
x∈[a,b]
¯¯f(4)(x)¯
¯ .
Ejemplo 2.2 Consideramos la integral I =
Z 2 1
x ln x dx.
1. Aproxima el valor de I usando la fórmula del trapecio; calcula una cota superior de error.
2. Aproxima el valor de I usando la fórmula de Simpson; calcula una cota superior de error.
3. Calcula el valor exacto de la integral y verifica los resultados.
1. Aproximación trapecio. Tenemos
a = 1, b = 2, h = 2 − 1 = 1, f (x) = x ln x, Valor de la aproximación
FT(f ) = 1
2(1 ln 1 + 2 ln 2) = ln 2 = 0. 69315.
La cota de error es
|ET(f )| ≤ h3
12M2, M2 = max
x∈[1,2]
¯¯f(2)(x)¯
¯ .
Calculamos las derivadas para determinar M2. f0(x) = ln x + 1,
f00(x) = 1 x.
Observamos que f00(x) es positiva si x ∈ [1, 2], la función objetivo en el cálculo de M2 es
g(x) =
¯¯
¯f(2)(x)
¯¯
¯ = 1 x, g0(x) = −1
x2.
Vemos que g0(x) es negativa, por lo tanto g es decreciente en el intervalo y resulta
M2 = max
x∈[1,2]
¯¯
¯f(2)(x)¯¯¯ = g(1) = 1.
Finalmente, obtenemos la cota de error
|ET(f )| ≤ h3
12M2 = 1
12 = 0.083333.
2. Aproximación por Simpson. Tenemos h = 2 − 1
2 = 0.5, x0 = 1, x1 = 1.5, x2 = 2.
Valor de la aproximación FS(f ) = 0.5
3 (1 ln 1 + 4 · 1.5 ln (1.5) + 2 ln 2) = 0. 63651.
La cota de error es
|Es(f )| ≤ h5
90M4, M4 = max
x∈[1,2]
¯¯f(4)(x)¯
¯ .
Calculamos las derivadas para determinar M4. f000(x) = −1
x2, f(4)(x) = 2
x3.
Vemos que f(4)(x) es positiva si x ∈ [1, 2], la función objetivo es g(x) =
¯¯
¯f(4)(x)
¯¯
¯ = 2 x3, g0(x) = −6
x4.
La derivada g0(x) es negativa, por lo tanto g es decreciente y resulta M4 = max
x∈[1,2]
¯¯
¯f(4)(x)
¯¯
¯ = g(1) = 2.
Finalmente, obtenemos la cota de error
|ES(f )| ≤ h5
90M4= (0.5)5
90 2 = 0.0006 9444.
Por lo tanto, podemos asegurar que el valor obtenido usando la fórmula de Simpson aproxima el valor de la integral con (al menos) 2 decimales exactos.
3. Valor exacto y errores. Calculamos una primitiva de f (x) Z
x ln x dx = integramos por partes
⎛
⎜⎝
u = ln x du = 1 xdx dv = x dx v =x2
2
⎞
⎟⎠
=x2 2 ln x −
Z x2 2
1 xdx
=x2
2 ln x −1 2
Z x dx
=x2
2 ln x −x2 4 + c.
Z 2 1
x ln x dx =
∙x2
2 ln x −x2 4
¸x=2 x=1
= (2 ln 2 − 1) − µ1
2ln 1 −1 4
¶
= 2 ln 2 − 1 + 1/4 = 0. 63629.
Error trapecio.
|ET (f )| = |I − FT(f )| = |0. 63629 − 0. 69315| = 0.0 5686, cota calculada para el error trapecio
|ET(f )| ≤ 0.083333.
Error Simpson
|ES(f )| = |I − FS(f )| = |0. 63629 − 0. 63651| = 0.000 22, cota error Simpson
|ES(f )| ≤ 0.0006 94.
Vemos que, en ambos casos, los errores son inferiores a las cotas calcula- das. También observamos que con la fórmula Simpson hemos obtenido 3 decimales exactos. ¤
Importante: recuerda que la distancia entre nodos es
• h = b − a para la fórmula del trapecio,
• h = b − a
2 para la fórmula de Simpson.
3 Fórmulas compuestas
Las fórmulas compuestas permiten obtener mejores aproximaciones divi- diendo el intervalo de integración en varios tramos y aplicando una fórmula simple a cada uno de los tramos.
3.1 Trapecio compuesto
• Estrategia
1. Dividimos el intervalo [a, b] en n tramos de longitud h = b − a
n , obtenemos n + 1 puntos
x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, . . . , xn= a + nh = b, los n tramos son
A1 = [x0, x1], A2= [x1, x2] , . . . , Aj = [xj−1, xj] , . . . , An= [xn−1, xn] . 2. Aplicamos la fórmula del trapecio a cada tramo
A1= [x0, x1] ⇒ FT(1) = h
2[f (x0) + f (x1)] ,
... ...
Aj = [xj−1, xj] ⇒ FT(j) = h
2[f (xj−1) + f (xj)] ,
... ...
An= [xn−1, xn] ⇒ FT(n) = h
2[f (xn−1) + f (xn)] . 3. Tomamos como aproximación global la suma de las aproximaciones
sobre los tramos
FT C(n)= FT(1)+ FT(2)+ · · · + FT(j)+ · · · + FT(n).
• Fórmula de trapecio compuesto con n tramos.
FT C(n)= h
2[f (x0) + 2f (x1) + · · · + 2f (xj) + · · · + 2f (xn−1) + f (xn)] , h = b − a
n .
Si agrupamos términos, obtenemos
FT C(n)= h
2[f (x0) + f (xn)] + h
n−1X
j=1
f (xj) , h = b − a n .
• Cota de error
Si f (x) es de clase C2[a, b], se cumple
¯¯
¯ET C(n)
¯¯
¯ =
¯¯
¯¯ Z b
af (x)dx − FT C(n)
¯¯
¯¯ ≤ b − a
12 h2M2, h = b − a n donde
M2= max
x∈[a,b]
¯¯
¯f(2)(x)
¯¯
¯ .
• Demostración de la cota de error Tenemos
Z b a
f (x) dx = Z x1
x0
f (x) dx + Z x2
x1
f (x) dx + · · · + Z xn
xn−1
f (x) dx
= Z
A1
f (x) dx + Z
A2
f (x) dx + · · · + Z
An
f (x) dx
= I1+ I2+ · · · + In.
La fórmula de trapecio compuesto se obtiene sumando el valor del trapecio simple en cada uno de los tramos, es decir
FT C(n)= FT(1)+ FT(2)+ · · · + FT(n),
donde FT(j) es el valor de la fórmula simple del trapecio sobre el tramo Aj = [xj−1, xj] . Entonces
¯¯
¯ET C(n)
¯¯
¯ =
¯¯
¯¯ Z b
a f (x) dx − FT C(n)
¯¯
¯¯
=
¯¯
¯(I1+ I2+ · · · + In) −³
FT(1)+ FT(2)+ · · · + FT(n)´¯¯¯
=
¯¯
¯³
I1− FT(1)
´ +
³
I2− FT(2)
´
+ · · · +
³
In− FT(n)´¯¯¯
≤
¯¯
¯I1− FT(1)
¯¯
¯ +
¯¯
¯I2− FT(2)
¯¯
¯ + · · · +
¯¯
¯In− FT(n)
¯¯
¯
≤
¯¯
¯ET(1)
¯¯
¯ +¯¯¯ET(2)
¯¯
¯ + · · · +¯¯¯ET(n)
¯¯
¯ donde
¯¯
¯ET(j)
¯¯
¯ representa el error del trapecio simple en el tramo Aj. Sabemos que se cumple
¯¯
¯E(j)T
¯¯
¯ ≤ h3
12M2(j), M2(j)= max
x∈Aj
¯¯
¯f(2)(x)
¯¯
¯ , entonces ¯¯¯ET C(n)
¯¯
¯ ≤ h3
12M2(1)+h3
12M2(2)+ · · · +h3 12M2(n). Si tomamos
M2= max
x∈[a,b]
¯¯
¯f(2)(x)
¯¯
¯ , se cumple para todos los tramos
M2(j)= max
x∈Aj
¯¯
¯f(2)(x)
¯¯
¯ ≤ max
x∈[a,b]
¯¯
¯f(2)(x)
¯¯
¯ = M2, por lo tanto
¯¯
¯ET C(n)
¯¯
¯ ≤ h3
12M2+h3
12M2+ · · · +h3
12M2 = nh3
12M2 = nb − a n
h2 12M2
≤ b − a
12 h2M2. ¤
Ejemplo 3.1 Calcula el valor de la integral Z 2
1
x ln x dx
con 2 decimales exactos usando la fórmula del trapecio compuesto.
1. Cálculo del número de tramos. Tenemos
a = 1, b = 2, f (x) = x ln x, la cota de error es
¯¯
¯ET C(n)
¯¯
¯ ≤ b − a
12 h2M2, h = b − a n , donde
M2= max
x∈[a,b]
¯¯
¯f(2)(x)
¯¯
¯ .
En el Ejemplo 2.2 hemos obtenido el valor de la cota de la derivada M2 = max
x∈[1,2]
¯¯
¯f(2)(x)
¯¯
¯ = 1, entonces la cota de error toma la forma
¯¯
¯ET C(n)
¯¯
¯ ≤ 1 12h2. Exigimos
1
12h2≤ 0.5 × 10−2 y determinamos h
h2 ≤ 12 ·¡
0.5 × 10−2¢
= 0.0 6, h ≤√
0.0 6 = 0. 24495.
Finalmente, como
h = 2 − 1 n = 1
n, resulta
1
n ≤ 0. 24495 ⇒ n ≥ 1
0. 24495 = 4. 0825.
Es decir, para garantizar 2 decimales exactos en la aproximación, necesita- mos n = 5 tramos.
2. Valor de la aproximación. Con n = 5, resulta h = 1
5 = 0.2, los nodos son
x0 = 1, x1= 1.2, x2= 1.4, x3= 1.6, x4= 1.8, x5= 2.
La fórmula del trapecio con 5 tramos es
FT C(5) = h
2[f (x0) + f (x5)] + h X4 j=1
f (xj) ,
en concreto FT C(5) = 0.2
2 (1 ln 1 + 2 ln 2) + (0.2) (1.2 ln 1.2 + 1.4 ln 1.4 + 1.6 ln 1.6 + 1.8 ln 1.8)
= 0. 13863 + 0. 49997 = 0. 63860.
3. Error exacto. El valor de la integral es I =
Z 2 1
x ln x dx = 0. 63629, de donde resulta el error
¯¯
¯ET C(5)
¯¯
¯ =
¯¯
¯I − FT C(5)
¯¯
¯ = |0. 63629 − 0. 63860| = 0.00 231.
Vemos que, efectivamente, la fórmula de trapecio compuesta con 5 tramos aproxima el valor de la integral con 2 decimales exactos. ¤
3.2 Fórmula de Simpson compuesto
• Estrategia
La idea es dividir el intervalo [a, b] en m tramos de igual longitud A1, A2, . . . , Am
y aplicar la regla simple de Simpson a cada tramo. Para centrar ideas, expondremos el caso m = 3.
1. Para aplicar la regla de Simpson, debemos tomar el punto medio de cada tramo. Por lo tanto, tendremos una distancia entre nodos
h = b − a 2m . Los nodos son
x0= a, x1= a + h, x2= a + 2h, . . . , xn= a + 2mh = b.
Si m = 3, la distancia entre nodos será h = b − a
6 y tendremos 2m + 1 = 7 nodos
en este caso, los tramos son
A1 = [x0, x2], punto medio x1, A2 = [x2, x4], punto medio x3, A3 = [x4, x6], punto medio x5. 2. Aplicamos la fórmula de Simpson simple a cada tramo
A1 = [x0, x2] ⇒ FS(1) = h
3 [f (x0) + 4f (x1) + f (x2)] , A2 = [x2, x4] ⇒ FS(2) = h
3 [f (x2) + 4f (x3) + f (x4)] , A3 = [x4, x6], ⇒ FS(3) = h
3 [f (x4) + 4f (x5) + f (x6)] . 3. Tomamos como aproximación global la suma de las aproximaciones
sobre los tramos
FSC(m)= FS(1)+ FS(2)+ · · · + FS(m), en el caso m = 3
FSC(3) = h
3[f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + 4f (x3) + 2f (x4) + 4f (x5) + f (x6)]
La fórmula puede reorganizarse como sigue:
FSC(3) = h
3{f (x0) + f (x6)
| {z }
nodos extremos
+2 [f (x2) + f (x4)]
| {z }
nodos pares interiores
+4 [f (x1) + f (x3) + f (x5)]
| {z }
nodos impares
}
• Fórmula de Simpson compuesto
La expresión general para la fórmula de Simpson compuesta con m tramos es
FSC(m) = h 3
⎡
⎣f(x0) + f (x2m) + 2
m−1X
j=1
f (x2j) + 4 Xm j=1
f (x2j−1)
⎤
⎦ , h = b − a 2m .
• Cota de error
Si f (x) es de clase C4[a, b], se cumple
¯¯
¯ESC(m)
¯¯
¯ =
¯¯
¯¯ Z b
af (x)dx − FSC(m)
¯¯
¯¯ ≤ b − a
180 h4M4, h = b − a 2m . M4= max
x∈[a,b]
¯¯
¯f(4)(x)
¯¯
¯ .
• Demostración de la cota de error Tenemos
Z b a
f (x) dx = Z
A1
f (x) dx + Z
A2
f (x) dx + · · · + Z
Am
f (x) dx
= I1+ I2+ · · · + Im.
La fórmula de Simpson compuesta de m tramos es FSC(m)= FS(1)+ FS(2)+ · · · + FS(m)
donde FS(j) es el valor de la fórmula simple de Simpson sobre el tramo Aj = [x2j−2, x2j] . Entonces, el error global no supera la suma de los errores en los tramos, en efecto
¯¯
¯ESC(m)
¯¯
¯ =
¯¯
¯¯ Z b
a f (x) dx − FSC(m)
¯¯
¯¯
=
¯¯
¯(I1+ I2+ · · · + Im) −³
FS(1)+ FS(2)+ · · · + FS(m)´¯¯¯
=
¯¯
¯³
I1− FS(1)
´ +
³
I2− FS(2)
´
+ · · · +
³
Im− FS(m)´¯¯¯
≤
¯¯
¯I1− FS(1)
¯¯
¯ +
¯¯
¯I2− FS(2)
¯¯
¯ + · · · +
¯¯
¯Im− FS(m)
¯¯
¯
≤
¯¯
¯ES(1)
¯¯
¯ +
¯¯
¯ES(2)
¯¯
¯ + · · · +
¯¯
¯ES(m)
¯¯
¯ , donde
¯¯
¯ES(j)
¯¯
¯ representa el error de Simpson simple en el tramo Aj. Para cada tramo, sabemos que se cumple
¯¯
¯E(j)S
¯¯
¯ ≤ h5
90M4(j), M4(j)= max
x∈Aj
¯¯
¯f(4)(x)
¯¯
¯ , entonces ¯¯¯ESC(m)
¯¯
¯ ≤ h5
90M4(1)+h5
90M4(2)+ · · · + h5 90M4(m). Obviamente, el valor máximo de ¯
¯f(4)(x)¯
¯ sobre cualquiera de los tramos M4(j) no puede superar al valor máximo sobre el intervalo completo [a, b]; es decir, si tomamos
M4= max
x∈[a,b]
¯¯
¯f(4)(x)
¯¯
¯ ,
se cumple para todos los tramos M4(j)= max
x∈Aj
¯¯
¯f(4)(x)
¯¯
¯ ≤ max
x∈[a,b]
¯¯
¯f(4)(x)
¯¯
¯ = M4. por lo tanto
¯¯
¯ESC(m)
¯¯
¯ ≤ h5
90M4(1)+h5
90M4(2)+ · · · +h5 90M4(m)
≤ h5
90M4+h5
90M4+ · · · + h5 90M4
≤ mh5
90M4 = mhh4
90M4= mb − a 2m
h4 90M4
≤ b − a
180 h4M4. ¤ Ejemplo 3.2 Calcula el valor de la integral
Z 2 1
x ln x dx
con 4 decimales exactos usando la fórmula de Simpson compuesto.
1. Cálculo del número de intervalos. Tenemos a = 1, b = 2, f (x) = x ln x,
la cota de error para la fórmula de Simpson con m tramos es
¯¯
¯ESC(m)
¯¯
¯ ≤ b − a
180 h4M4, h = b − a 2m , M4= max
x∈[a,b]
¯¯
¯f(4)(x)
¯¯
¯ . Hemos visto en el Ejemplo 2.2 que
M4 = max
x∈[1,2]
¯¯
¯f(4)(x)
¯¯
¯ = 2, entonces resulta la cota de error.
¯¯
¯ESC(m)
¯¯
¯ ≤ 1
180h4· 2.
Exigimos
1
180h4· 2 ≤ 0.5 × 10−4
y determinamos h
h4 ≤ 180 ·¡
0.5 × 10−4¢
2 = 0.00 45,
h ≤√4
0.0 045 = 0. 259.
Finalmente, como
h = 2 − 1 2m = 1
2m, resulta
1
2m ≤ 0. 259 ⇒ m ≥ 1
2 · 0. 259 = 1. 9305.
Necesitamos tomar m = 2. Se trata de Simpson doble. Observa que, como cada Simpson simple contiene dos subintervalos, el número de subintervalos es 2m = 4.
2. Valor de la aproximación. Con m = 2, la distancia entre nodos es h = 1
4 = 0.25, nodos
x0= 1, x1 = 1.25, x2 = 1.5, x3 = 1.75, x4 = 2.
La fórmula compuesta de Simpson con 2 tramos tiene la siguiente forma FSC(2) = h
3
⎡
⎣f (x0) + f (x4) + 2 X1 j=1
f (x2j) + 4 X2 j=1
f (x2j−1)
⎤
⎦
= h
3{f (x0) + f (x4) + 2f (x2) + 4 [f (x1) + f (x3)]} . Sustituyendo, obtenemos el valor de la aproximación
FSC(2) = 0.25
3 [(1 ln 1 + 2 ln 2) + 2 (1.5 ln 1.5) + 4 (1.25 ln 1.25 + 1.75 ln 1.75)]
= 0.25
3 7. 635718 = 0. 6363098.
3. Error exacto. Podemos tomar como valor exacto de la integral I =
Z 2 1
x ln x dx = 0. 63629 44, el error es
¯¯
¯ESC(2)
¯¯
¯ =¯¯¯I − FSC(2)
¯¯
¯ = |0. 63629 44 − 0. 63630 98| = 0.154 × 10−4. ¤ Importante: recuerda que la distancia entre nodos es
• h = b − a
n para la fórmula compuesta del trapecio con n tramos,
• h = b − a
2m para la fórmula compuesta de Simpson con m tramos.
