Integral triple en coordenadas esféricas

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Integral triple en

coordenadas esféricas

Integrantes:

•

Argoti Cristina

•

Torres Sandra

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Las coordenadas esféricas de definen mediante tres parámetros ρ,θ y φ donde:

ρ: es la distancia del punto al origen

θ: es el mismo angulo usado usado en coordenadas polares

φ: es el angulo entre el eje z y la recta que el origen y el punto.

Integral triple en coordenadas esféricas

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Un punto P en coordenadas esfericas, en el espacio es especificado como (ρ,θ,φ), donde

1. ρ es la distancia del origen 0 al punto P; por tanto, p 0.

2. θ es el angulo polar (como en coordenadas polares); por tanto, 0 θ 2.

3. φ es el angulo medido de la parte positiva del eje Z al rayo OP; por tanto,

0 φ .

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Cordenadas esfericas de un punto P donde:

P (ρ senφ cosθ , ρ senφ senθ , ρ cosθ) .

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Las coordenadas esféricas se usan cuando

algún tipo de simetría esférica esta presente;

así algunas situaciones físicas en que se

presenta simetría esférica son las siguientes:

•

El campo gravitacional de un cuerpo simple

•

el campo eléctrico de una carga puntual

Las formula usadas en estas situaciones casi siempre involucran r,θ, φ y no x,y ,z.

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Fórmula de cambio de variable

Calculemos el jacobiano para el cambio de variables de coordenadas cartesianas a

coordenadas esféricas. Si recordamos que

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Análogamente a integrales dobles, ahora una integral triple encondiciones especiales puede ser expresada de la siguiente forma:

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Ejemplo:

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Evaluando

(15)

Aplicaciones

de las integrales

múltiples

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Integrales multiples

Aplicaciones de integrales multiples.

•

Se utiliza integrales multiples para calcular el volumen, el área, centros de masa y momentos de inercia de ciertos cuerpos en el espacio.

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Integrales múltiples

Ejemplo1:

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Ejemplo 2.

(21)

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(23)

Integrales múltiples Ejemplo 3.

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GRACIAS

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Bibliografía:

•

Marsden.Tromba"Calculo.Vectorial".

(3 Edición) pág 356-371.

•

Geraldine,Cisneros"Integrales Multiples y sus Aplicaciones"

•

http://www.youtube.com/watch?v=RuAy6tQ0 zcc