Sistemas de Control y Proceso Adaptativo. Diseño y métodos y estrategias de control

Sistemas de Control y Proceso Adaptativo. Diseño y métodos y estrategias de control

1. Función de transferencia de un sistema.

El control automático está presente en multitud de procesos que se utilizan en la vida cotidiana. El control de la temperatura de edificios, procesos industriales, robots, etc., son ejemplos de sistemas control automático con diferente complejidad.

Ya los griegos, en el 300 a.c. utilizaron sistemas con realimentación para la regulación mediante flotadores. En la actualidad existen un elevado número de procesos o tareas que son controladas de forma automática.

Según R. Dorf, un sistema de control es una interconexión de componentes que forman una configuración del sistema que proporcionará una respuesta deseada.

El primer sistema de control automático que se considera significativo es el regulador centrífugo de Watt (siglo XVIII), que permitía el control de la velocidad de una máquina de vapor utilizando la fuerza centrífuga generada sobre un mecanismo, cuya velocidad de giro dependía de la velocidad a controlar. Con posterioridad otros científicos como Minorsky, Hazen, Nyquist, Evans, etc., describieron métodos para determinar la estabilidad de los sistemas de control, contribuyendo al desarrollo de la teoría de control.

Existen multitud de ejemplos de control automático en la actualidad: máquinas herramienta, robots, equipos biomédicos y biomecánicos, sistemas de transprte inteligentes, sistemas de seguimiento solar, etc..

1.1 Definiciones

Para el análisis de los sistemas de control es conveniente definir los términos principalmente utilizados:

· Variable controlada: es la cantidad o condición que se mide y controla.

· Variable manipulada: es la cantidad o condición que el controlador modifica para afectar al valor de la variable controlada.

· Controlar: medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicarle a este la variable manipulada para corregir o limitar una desviación del valor medido a partir de un valor deseado.

· Planta: cualquier objeto físico que se va a controlar. Puede ser desde un simple actuador hasta un sistema complejo.

· Proceso: cualquier operación que se desea controlar.

En base a estas definiciones, y en relación a la materia que nos ocupa, se podría decir que un sistema de control es aquel conjunto de componentes mediante el cual se desea llevar a cabo el control de un proceso que tiene lugar en una planta.

1.2 Control en lazo abierto y en lazo cerrado

Los sistemas de control pueden ser en lazo abierto o en lazo cerrado. Un sistema de control en lazo abierto lleva al proceso a un punto de consigna determinado, sin tener ninguna referencia de la salida que se obtiene, es decir, la salida no afecta a la señal de control.

Para entender este tipo de control, supongamos un coche en el que se ha determinado que, a unas revoluciones determinadas del motor se alcanzaría una velocidad concreta, por lo tanto, si se desea viajar a esa velocidad, un control automático sin realimentación debería llevar al motor a ese número de revoluciones. Es fácil de entender que sería muy difícil que el coche viajara a la velocidad deseada en cuanto que variase el número de ocupantes del vehículo o la carga transportada o, simplemente variase la pendiente de la carretera. Del mismo modo ocurriría con un control de temperatura que estimara que, para alcanzar una temperatura ambiente determinada, bastara con conectar un calefactor durante un determinado tiempo. Igualmente, la temperatura no se correspondería con la deseada en cuanto se abriera una ventana, o variase el número de ocupantes de la sala.

Sin embargo, si el sistema de control de velocidad antes descrito tuviera conocimiento de la velocidad real a la que circula el vehículo, podría proceder a incrementar o reducir las revoluciones del motor para que esta se ajustara mejor a la velocidad deseada. Lo mismo ocurriría con el sistema de control de temperatura si existiera un sensor que permitiera conocer la temperatura real de la sala.

Los elementos de un sistema de control en lazo abierto, normalmente se reducen al controlador y al sistema controlado, según se muestra a continuación

Aplicado este esquema al ejemplo del control de velocidad, la referencia de entrada sería la velocidad deseada, el controlador traduciría esta consigna a un número de revoluciones, generando una señal de control que actuaría sobre el motor, obteniéndose una velocidad "controlada" a la salida.

Un sistema de control en lazo cerrado se caracteriza por que existe una unión entre la salida y la entrada del sistema, llamada realimentación, que permite que el control pueda actuar en función de cómo se desvía la salida controlada del valor deseado. Si se hace que la señal actuadora sea proporcional a la diferencia entra la salida obtenida y la salida deseada, a mayor diferencia mayor corrección habrá, por lo que esta diferencia se reducirá más rápidamente. El diagrama de bloques correspondiente a un sistema de control en lazo cerrado, trasladado al ejemplo de control de velocidad de un vehículo, podría ser el siguiente:

En el ejemplo descrito en la figura anterior aparece un bloque denominado transductor de velocidad. Este transductor tiene la función de adaptar la señal de realimentación a las condiciones que se necesitan en la entrada, pudiendo ser la propia señal de salida o bien una función proporcional a esta o a sus derivadas y/o integrales.

Como es lógico, el sistema de control puede tener más de una entrada de referencia que permitan obtener un resultado más preciso y fiable.

La reducción del error del sistema de control es solo uno de los efectos de la realimentación, pudiéndose obtener beneficios en cuanto a estabilidad, ancho de banda, ganancia, impedancia o sensibilidad. Del mismo modo, el sistema de control realimentado lo hace menos sensible a las perturbaciones externas y a las variaciones internas del sistema. Sin embargo, los sistemas de control realimentados, si no están bien ajustados, pueden tender a sobrecorregir errores, provocando oscilaciones en la salida que terminen por desestabilizar el sistema.

Desde el punto de vista de la estabilidad, un sistema de control en lazo abierto es más fácil de diseñar, mientras que en un sistema en lazo cerrado es un aspecto esencial a tener en cuenta en su desarrollo.

1.3 Tipos de control

La clasificación de los sistemas de control puede hacerse en función de diversos aspectos.

· Realimentación: como ya se ha indicado, los sistemas de control se clasifican en lazo abierto o lazo cerrado.

· Comportamiento de la señal de referencia: se clasifican en

- Sistemas seguidores: aquellos en los que la entrada cambia frecuentemente, por ejemplo los servomecanismos.

- Sistemas de regulación automática: son aquellos en los que la señal de referencia es o bien constante o varía lentamente. Su misión principal es mantener la salida dentro de unos determinados valores a pesar de las perturbaciones que puedan existir. Ejemplos de este tipo de control son los seguidores solares, sistemas de calefacción, etc.

· Tipo de señal de control:

- Analógicos: considerados sistemas de control continuos. La señal de control es continua en el tiempo.

- Digitales: denominados sistemas de control discretos, la señal de control no es continua en el tiempo.

· Control en el tiempo: en este caso la clasificación se hace en función de la continuidad de control, aunque el sistema de control pueda ser mecánico.

- Control continuo: imaginemos un depósito de agua en el que se controla constantemente el nivel y se actúa o no sobre una válvula de salida.

-Control discreto: en el ejemplo del depósito de agua, en lugar de controlar constantemente el nivel, supongamos que el control se realiza mediante dos sondas de máximo y mínimo nivel, de forma que la detección se realiza de forma no continua.

· En función de la aplicación: se podrían considerar aplicaciones domésticas o industriales. Dentro de las aplicaciones industriales se podrían hacer otras clasificaciones (control de procesos, control de máquinas, etc.)

1.4 Función de transferencia

Para poder trabajar con un sistema y realizar los cálculos pertinentes es necesario conocer su modelo matemático. En la teoría de control se utilizan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones entre las entradas y salidas de los sistemas.

La función de transferencia de un sistema nos da la relación entre la salida y la entrada de un bloque de un sistema lineal invariante en el tiempo. Se define como la relación entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, considerando las condiciones iniciales nulas.

Un sistema de control suele estar compuesto por un elevado número de elementos, por lo que, para simplificar los cálculos necesarios, los sistemas se dibujan en base a bloques que sustituyen a los elementos. estando definidos por sus respectivas funciones de transferencia.

Sea un sistema con n variables de estado, m variables de entrada y p variables de salida

) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

t Du t Cx t y

t Bu t Ax t x

+

=

+

=



y considérense U(s), X(s) e Y(s) transformadas de Laplace de u(t), x(t) e y(t) respectivamente. Aplicando la transformada de Laplace de las ecuaciones anteriores se tiene:

) ( )

( ) (

) ( ) ( )

0 ( ) (

s DU s CX s Y

s BU s AX x

s sX

+

=

+

=

− de donde resulta

) 0 ( ) ( ) ( ) )

( ( ) (

) 0 ( ) (

) ( ) ( ) (

1 1

1 1

x A sI C s U D B A sI C s Y

x A sI s BU A sI s X

−

−

−

−

− +

+

−

=

− +

−

=

A G(s) se le llama función de transferencia de un sistema D B A sI C s

G( )= ( − )⁻¹ + resultando

) ( ) ( )

(s G s U s Y =

donde U(s) es la transformada de Laplace de la entrada.

Para calcular la función de transferencia de un sistema mecánico, se sustituye el sistema por el sistema eléctrico equivalente, a continuación se le aplica a la entrada un impulso δ.

) ) (

( ) ) (

( 1 ) ( )

( )

( Y s

s X

s s Y

G s

X t

t

x =δ →^L = ⇒ = =

Por ser el sistema lineal

) ( )

( )

( G s

s s A Y e

A t

y ^t =

= +

⇒

⋅

= ⁻

α

α

La forma normalizada en la representación de la función de transferencia será:

)...

1 )(

1 )(

1 (

)...

1 )(

1 )(

1 ) (

( _'

3 '

2 '

1

3 2

1

s T s T s T s

s T s T s K T

s

G m + + +

+ +

= +

donde los polos y ceros de esta función de transferencia son:

⋅⋅

⋅

−

=

−

=

−

=

≡ 1 ;

1 ; 1 ;

3 3 2 2 1

1 s T

s T s T

ceros

⋅⋅

⋅

−

=

−

=

−

=

=

≡ 1 ;

1 ; 1 ;

) (

0 _'

3 ' ' 3 2 ' ' 2 1 ' 1

1 s T

T s

T s

mveces s

polos

1.4.1 Función de transferencia de sistemas eléctricos

Los sistemas eléctricos están compuestos por resistores, bobinas y condensadores, cuyos parámetros son R, L y C. Las variables que intervienen son la tensión y la intensidad (e, i).

· Resistencia: e=R⋅i i=G⋅e

· Bobina: e i LD Di

L

e 1

=

⋅

=

· Condensador: i i CDe e=CD1 =

1.4.2 Función de transferencia de sistemas mecánicos

Los sistemas mecánicos están compuestos por diversos tipos de componentes, realizando diversas funciones. En función del tipo de movimiento que realizan se pueden clasificar en dos tipos: rotación y traslación

1.4.2.1 Sistemas mecánicos de traslación

Estos sistemas se caracterizan por realizar movimientos lineales. Los parámetros que se utilizan en este tipo de movimientos son la masa (M), resorte o elasticidad (K) y rozamiento (B). Las variables son la fuerza (F), la velocidad (V) y la aceleración (a).

Las ecuaciones del movimiento de traslación son:

MDV x

MD a M

F = ⋅ = ² = F V MD1

=

Para el caso de los muelles se tiene:

DV x K K

F = ⋅ = DF V = K1

En el caso de que los dos extremos del muelle estuviesen libres se consideraría el alargamiento del muelle

) (x₂ x₁ K

F = −

En el caso del rozamiento:

BDx V

B

F = ⋅ = F V = B1 o bien

) (v₂ v₁ B

F= −

Como se aprecia, los parámetros son similares a los obtenidos en el sistema eléctrico. La analogía directa en función de las variables fundamentales son:

i x M S

i q E S

⋅

→

⋅

→ . .

.

.

e F

i V Dx V

Dq i

→

⇒ →





=

=

Teniendo en cuenta esta analogía y trasladándola a los sistemas mecánicos se tendrá:

· Masa:

⇒



=

= LDi e

MDV

F La masa es análoga a una bobina

· Elactancia:

⇒







=

= CDi e

DV F K

1 La eleactancia es análoga a un condensador

· Rozamiento:

⇒



=

= Ri e

BV

F El rozamiento equivale a una resistencia

Si se realiza la analogía inversa, es decir, V análoga a e, F análoga a i, se tendrá que la masa corresponde a un condensador, la eleactancia a una bobina y el rozamiento a una resistencia

Trasladando esta equivalencia entre los sistemas mecánicos y los sistemas eléctricos, se pueden representar circuitos mecánicos como eléctricos, con lo que se facilita su tratamiento, ya que se pueden resolver como estos últimos.

1.4.2.2 Sistemas mecánicos de rotación

Las magnitudes equivalentes que se suelen utilizar son:

ω ϑ

→

→

→

v T f x

J equivale a la masa del sistema mecánico de traslación. La ecuación que relaciona el momento del par aplicado (T) con la velocidad es

ϑ ω JD² JD

T = =

de donde se obtiene que:

JDT

= 1 ω

en el caso de que los ángulos de rotación no coincidan se tiene que:

) (

)

(ϑ₁−ϑ₂ = ω₁−ω₂

= D

k k T

) (

)

(ω₁−ω₂ = ϑ₁−ϑ₂

=B BD

T

1.4.2.3 Sistemas mecánicos mixtos

En este caso aparecerán movimientos lineales y angulares, con lo que aparecerán fuerzas, momentos de par, etc.

Para hacer el estudio de este tipo de sistemas se divide el momento del par en dos componentes.

t

r T

T T = +

La componente Tr será la empleada para vencer la resistencia del sistema de rotación y la componente Tt es la que se empleará para vencer la resistencia del sistema lineal. Si el radio de la rotación es r, se tendrá:





⋅

=

⋅

= r x

r f T_{t t}

ϑ

1.4.2.4 Sistemas mecánicos con palancas

En este caso igualmente se descompondrá la fuerza en dos componentes, f1 que será la fuerza empleada en vencer la resistencia del brazo 1 y f2 la empleada en vencer la resistencia del brazo 2. Como consecuencia de f2 aparecerá f'2, que vendrá afectada por la relación de transformación de la palanca







=

= b f a f

b y a x

' 2 2

Para ser más exactos, los desplazamientos x e y deberían ser considerados como angulares, aunque normalmente las diferencias son despreciables frente a la longitud de la palanca.

1.4.2.5 Sistemas mecánicos con engranajes

Considerando dos engranajes con número de dientes D1 y D2, se tiene que la relación con los radios de los engranajes viene determinada por:

2 1

2 1

r r DD =

Los desplazamientos lineales son iguales por lo que, llamando x1 y x2 a los desplazamientos de cada engranajes, se tendrá:

2

1 x

x =

1 2

1 2

2 1 2 2 1

1 D

D r r r

r = ⇒ = =

ω ω ω

ω

Para el estudio se llamará T1 al momento del par aplicado en el primer engranaje. Como consecuencia de T1 aparecerá en el segundo engranaje un momento de par llamado T2. En el punto de contacto aparecerán dos fuerzas f1 y f2 que son iguales y de signo contrario.







=

=

=

2 1

2 2 2

1 1 1

f f

f r T

f r T

2 1

2 1

2 1

D D r r T

T = =

1.5 Diagramas de bloques

Para facilitar el estudio de los sistemas se suelen representar mediante bloques con una determinada función de transferencia. Esto permite obviar el contenido del bloque y ser tratado en función de su comportamiento dentro del sistema.

1.5.1 Conexiones entre bloques

• Conexión en cascada: también denominada conexión en serie, equivale al producto de las funciones de transferencia de los distintos bloques.

Sea al sistema compuesto por los bloques de funciones de transferencia G1 y G2.

) ( ) ( ) ( ) ) (

( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

1 2

1 Z s G s G s X s

s Y s G s Z

s X s G s Y

s ⋅

⋅

 =



⋅

=

⋅

=

En este caso el esquema parece más simplificado, sin embargo se ha perdido información sobre la señal intermedia. Esta simplificación se podrá hacer siempre que un sistema no cargue al otro, es decir, cuando las variables de un bloque no dependan del otro.

• Conexión en paralelo: equivale a la suma de las funciones de transferencia de los diferentes bloques.

(

)

) ) (

( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

2 1

2 2

1

1 Y s G s G s X s

s X s G s Y

s X s G s

Y = + ⋅





⋅

=

⋅

=

• Conexión en realimentación: en este tipo de conexión la salida va a influir en la entrada, o lo que es lo mismo, tendremos un bucle cerrado.

La variable de entrada suele ser llamada señal de referencia, la señal e(t) es la señal de error o señal actuadora; la señal c(t) es la variable controlada; la señal b(t) es la señal de realimentación, es decir, una muestra de la señal de salida. A la funcione de transferencia G(s) se le llama función de avance y a H(s) función de realimentación. Al producto de G(s)·H(s) se le llama función de transferencia en lazo abierto.

(

)

) ( ) ( )

( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

s C s H s R s G s C s

B s R s E

s C s H s B

s E s G s C

⋅

⋅

=

⇒





=

⋅

=

⋅

=





) ( ) ( 1

) ( )

( ) (

s H s G

s G s

R s C

⋅

= ±

Por lo tanto, esta conexión podrá sustituirse por su equivalente:

1.5.2 Simplificación del diagrama de bloques

En ocasiones los diagramas de bloques presentan una cierta complejidad que impide realizar cálculos de un modo sencillo, por lo que es conveniente simplificarlos. Se podrán realizar simplificaciones de los diagramas de bloques siempre que no se pierda información que afecte al resto de bloques.

Las reglas de simplificación pueden usarse de forma sucesiva para simplificar bloques complejos, incluso para los que tienen más de una variable de entrada. Debido a la linealidad, el efecto de una entrada sobre la salida es independiente de la presencia de cualquier otra entrada y, por tanto, puede evaluarse igualando a cero todas las demás.

Además de las simplificaciones ya indicadas sobre la simplificación de bloques en serie, paralelo y en realimentación, se pueden realizar otras operaciones de simplificación:

• Cambio de variable de entrada al quitar un bloque: al eliminar el bloque hay que multiplicar la variable de entrada por la función de transferencia del bloque.

• Cambio de variable de entrada al introducir un bloque: es similar al caso anterior, procediéndose a dividir la variable de entrada por la función de transferencia del bloque.

• Desplazamiento de un bloque delante de un sumador: en este caso se deben multiplicar por la función de transferencia del bloque todas las variables de entrada al sumador.

• Desplazamiento de un bloque detrás de un sumador: similar al caso anterior, habría que dividir todas las variables de entrada por la función de transferencia del bloque.

1.6 Diagramas de flujo o flujogramas de señal

En el caso de que el sistema sea excesivamente complejo para su simplificación por diagramas de bloques, se puede utilizar otro sistema denominado diagramas de flujo. Un diagrama de flujo es una red que conecta nudos con unas ramas mediante direcciones y sentidos determinados. Son, por tanto, una representación gráfica de las ecuaciones diferenciales del sistema.

Los nudos representan cada una de las variables del sistema. Las ramas que conectan los nudos se comportarán como multiplicadores de señal por un factor que se indicará sobre la rama. Las señales solo avanzarán en el sentido indicado por la flecha de la rama. Cada bloque corresponderá a una rama.

Se denominan nudos fuente o de entrada a aquellos en los que solo hay ramas salientes. Se llaman nudos sumideros a aquellos en los que todas las ramas son de llegada. Los nudos mixtos son aquellos en los que hay ramas que entran y ramas que salen.

1.6.1 Conexiones y simplificaciones

Las conexiones entre nudos pueden ser de tipo serie, paralelo, mixto, en realimentación, y todas ellas se simplifican del mismo modo que las conexiones entre bloques.

• Método de la distensión de nudos: mediante este método se procede a eliminar nudos (variables del sistema) expresándolo en función del resto, con lo que se elimina una ecuación del sistema.

1.6.1.1 Fórmula de Mason

Mediante esta fórmula se puede hallar su diagrama de mando, por complicado que sea el sistema. Se definen los siguientes términos:

• Camino: se llama camino o trayecto a las ramas conectadas siguiendo el sentido de estos.

• Camino directo: un camino se llamará directo cuando parte del nudo de entrada y llega al de salida, es decir, parte de un nudo fuente y llega a un nudo sumidero, con la condición de que no pase dos veces por el mismo nudo.

• Lazo: se llama lazo al trayecto al trayecto cerrado que empieza y acaba en el mismo nudo.

• Lazos disjuntos: se llama así a aquellos lazos que no tienen ningún nodo común.

La fórmula de Mason dice que la transmitancia total, es decir, la relación entre la entrada y la salida se expresa como:

∆

=

∑

donde:

Tm: es la ganancia de cada trayecto directo

Δ:es igual a 1 menos el sumatorio de todos los lazos más el sumatorio de todos los lazos disjuntos tomados dos a dos, menos el sumatorio de todos los lazos disjuntos tomados de tres en tres y así sucesivamente.

...

1⁻

∑

∑

∑

=

∆

def d e f bc b c

a

L L L L L L

Δn: su valor será igual al determinante del diagrama de flujo resultante al eliminar ese trayecto directo del diagrama.

Ejemplo:

A4 G4 1

R 1 E1 G1 A1 1 E2 G2 A2 E3 G5 C 1 C

-1 H1 G4 1 -1 H2

B1 A3 B2

-1





⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

≡ =

5 4 2 1 2

5 3 2 1 1

G G G G T

G G G G T_m T

2 1 5 2 5 4 2 1 5 3 2 1 2 5 1

1+G2H +G H +GG G G +GG G G +G G H H

=

∆





=

∆

=

≡ ∆

∆ 1

1

2 1 n

1.6.2 Representación del diagrama de flujo a partir de las ecuaciones del sistema

Si se tiene un sistema de n ecuaciones diferenciales con n incógnitas, es decir, con solución, se puede despejar en cada ecuación una variable en función del resto, incluidas las de entrada.

salida x

x x

entrada u

u

→

→

3 2 1

2 1

, ,

,

2 32 1 31 3 33 2 32 1 31 3

2 22 1 21 3 23 2 22 1 21 2

2 12 1 11 3 13 2 12 1 11 1

u b u b x a x a x a x

u b u b x a x a x a x

u b u b x a x a x a x

+ +

+ +

=

+ + +

+

=

+ + +

+

=

Una vez obtenido el diagrama de flujo se aplican las relaciones de Mason para simplificarlo.

Cuando se tienen sistemas con más de una entrada, como ya se indicó anteriormente, debido a la linealidad, el efecto de una entrada sobre la salida es independiente de la presencia de cualquier otra entrada y, por tanto, para hallar la

relación de mando con respecto a una entrada se consideran nulas todas las demás. La relación de mando total o función de transferencia del sistema será igual a la suma de todas.

n u n u u

u u

u

u u u x

u u x u

X x

n n

n ,.., 0

2 0 2 ,.., 1 0 1 ,..,

1 1 1

2

....

=

=

= ₋

+ + +

=

1.7 Sistemas de múltiples variables

Los sistemas más simples que se pueden encontrar son aquellos en los que existe una sola entrada y una sola salida, llamados sistemas SISO (Single Input, Single Output), pero normalmente se presentan sistemas con más de una entrada y más de una salida, denominados sistemas MIMO (Multiple Inputs, Multiple Outputs). En este último caso se recurre a la llamada matriz de transferencia.

Si tenemos un sistema lineal con m entradas y n salidas, se define como X el vector de entrada cuyas componentes serán las m entradas y como Y al vector salida que tendrá por componentes las n salidas. La matriz de transferencia es la que relaciona las transformadas de Laplace del vector de salida y del vector de entrada.

Ejermplo:

2 22 1 21 2

2 12 1 11 1

X G X G Y

X G X G Y

+

=

+

= 



 



⋅



 



=



 





2 1

22 21

12 11

2 1

X X G

G G G Y

Y

De forma general, para una salida yi se tendrá:

m im i

i

i G X G X G X

Y = _{1 1}+ _{2 2}+....+ (donde i = 1, 2, ..., n)

Para calcular Gij se verá la relación entre la entrada j y la salida i considerando el resto de las entradas k nulas.

j k j x i ij

x k

G y

≠

=

=

0

Bibliografía

• K. Ogata: Ingeniería de Control Moderna.

• B. Kuo, F. Golnaraghi: Automatic control systems.

• P. Bolzern: Fundamentos de control automático.

• R. Dorf: Sistemas de control moderno.

Enlaces de interés

· http://www.herrera.unt.edu.ar/controldeprocesos/Tema_1/tp1b.pdf

·

http://www.biblioteca.upibi.ipn.mx/Archivos/Material%20Didactico/Apuntes%20par a%20la%20asignatura%20de%20instrumentaci%C3%B3n%20y%20control/cap3.

pdf

· http://e-

ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio/4750/4925/html/7_ejemplo s_de_simplificacin_de_diagramas_de_bloques.html

· http://ocw.upm.es/ingenieria-de-sistemas-y-automatica/control-de-procesos- industriales/Contenidos/Documentos/8_control_sistemas_multivariables.ppt

· http://www.ie.itcr.ac.cr/einteriano/analisis/clase/1.1.3RegladeMason.pdf

· http://proton.ucting.udg.mx/materias/control/Modulo1/reogramas/index.html