Universidad De Santiago De Chile Algebra B-08

Universidad De Santiago De Chile Algebra B-08

Prof: Eugenio Rivera M.

Ayud: Alejandro Salazar S.

Control N

^o

3 A˜ no 2009

1. Considere T : R

³

→ R

₂

[x] funci´on definida por:

T (a, b, c) = (a + 2b + 3c)x

²

+ (2a + 5b − 4c)x + (3a + 7b + 8c) a) Determine imagen de T .

b) Determine si T es biyectiva. Si su respuesta es afirmativa determine T

⁻¹

.

2. Sea f : M

R

(2) 7−→ R tal que f

µ x

11

x

12

x

₂₁

x

₂₂

¶

= 2x

11

+ 5x

12

− x

21

− x

22

a) Demuestre que f es un homomorfismo de grupos b) Determine ker(f )

c) Determine Img(f )

Soluci´ on Control N ^o 3.

1. Considere T : R

³

→ R

₂

[x] funci´on definida por:

T (a, b, c) = (a + 2b + 3c)x

²

+ (2a + 5b − 4c)x + (3a + 7b + 8c)

a) Determine imagen de T . La soluci´on es una consecuencia del an´alisis de la parte b).

b) Determine si T es biyectiva. Si su respuesta es afirmativa determine T

⁻¹

. An´alisis de Inyectividad: Supongamos que T (a, b, c) = T (d, e, f ) entonces:

(a+2b+3c)x

²

+(2a+5b−4c)x+(3a+7b+8c) = (d+2e+3f )x

²

+(2d+5e−4f )x+(3d+7e+8f ) Esta igualdad equivale al sistema dado por

a + 2b + 3c = d + 2e + 3f (1)

2a + 5b − 4c = 2d + 5e − 4f (2) 3a + 7b + 8c = 3d + 7e + 8f (3) Sumando las ecuaciones (1)+(2) tendremos

3a + 7b − c = 3d + 7e − f (4)

3a + 7b + 8c = 3d + 7e + 8f (3)

Restando (3)−(4), y se obtiene que 9c = 9f ⇔ c = f . Con este resultado el sistema se reduce a

a + 2b = d + 2e (1) 2a + 5b = 2d + 5e (2) 3a + 7b = 3d + 7e (3)

Ahora si calculamos (2) − 2 · (1), tenemos que b = e, con lo cual es inmediato que a = d.

En resumen:

T (a, b, c) = T (d, e, f ) ⇒ (a, b, c) = (d, e, f ) As´ı, T es inyectiva.

An´alisis de sobreyectividad: Debemos probar que, para cada px

²

+ qx + r ∈ R

₂

[x], existe un (a, b, c) ∈ R

³

tal que T (a, b, c) = px

²

+qx+r. La condici´on anterior equivale la igualdad siguiente

(a + 2b + 3c)x

²

+ (2a + 5b − 4c)x + (3a + 7b + 8c) = px

²

+ qx + r Esta igualdad equivale al sistema dado por

a + 2b + 3c = p (1)

2a + 5b − 4c = q (2)

3a + 7b + 8c = r (3)

Sumando las ecuaciones (1)+(2) tendremos

3a + 7b − c = p + q (4)

3a + 7b + 8c = r (3)

Restando (3)−(4), se obtiene que 9c = −p − q + r ⇔ c = −p − q + r

9 . Ahora, si tomamos las ecuaciones

a + 2b = p − 3c (1) 2a + 5b = q + 4c (2) Y calculamos (2) − 2 · (1), se obtiene que b = −28p − q + 10r

9 , y al tomar la ecuaci´on (1) el c´alculo de a es

a = p − 2b − 3c = 68p + 5q − 23r 9

En resumen: (verificar esto !!)

T (a, b, c) = T

µ 68p + 5q − 23r

9 , −28p − q + 10r

9 , −p − q + r 9

¶

= px

²

+ qx + r As´ı, T es sobreyectiva.

Con estos an´alisis tenemos que:

La imagen de T es R

2

[x].

La funci´on T es biyectiva y, por lo tanto, existe su inversa que corresponde a T

⁻¹

(ax

²

+ bx + c) =

µ 68a + 5b − 23c

9 , −28a − b + 10c

9 , −a − b + c 9

¶

Observaci´on: En este problema se podr´ıa preguntar si T es un homomorfismo de grupo.

La verificaci´on de esto es f´acil, veamos:

Consideremos (a, b, c) ∈ R

³

y (d, e, f ) ∈ R

³

. Entonces (a, b, c)+(d, e, f ) = (a+d, b+e, c+f ), luego

T (a + d, b + e, c + f ) = ¡

(a + d) + 2(b + e) + 3(c + f ) ¢ x

²

+ ¡

2(a + d) + 5(b + e) − 4(c + f ) ¢

x + ¡

3(a + d) + 7(b + e) + 8(c + f ) ¢

= (a + 2b + 3c)x

²

+ (2a + 5b − 4c)x + (3a + 7b + 8c) + (d + 2e + 3f )x

²

+ (2d + 5e − 4f )x + (3d + 7e + 8f )

Por lo tanto

T (a + d, b + e, c + f ) = T (a, b, c) + T (d, e, f ), y T es homomorfismo.

Ahora.. un comentario sobre la inyectividad de T . La transformaci´on T es homomorfismo y ser´a inyectiva si probamos que el ´unico elemento (a, b, c) ∈ R

³

que llega (mediante la trasformaci´on T ) al neutro de R

₂

[x], es el neutro de R

³

, es decir (0, 0, 0); ´esta idea no es otra cosa que analizar el Ker(T ) .

En efecto

Ker(t) = {(a, b, c) ∈ R

³

: T (a, b, c) = 0x

²

+ 0x + 0}

En resumen, se debe estudiar el sistema de ecuaciones dado por:

a + 2b + 3c = 0 (1) 2a + 5b − 4c = 0 (2) 3a + 7b + 8c = 0 (3) Sumando las ecuaciones (1)+(2) tendremos

3a + 7b − c = 0 (4) 3a + 7b + 8c = 0 (3)

Restando (3)−(4), se obtiene que 9c = 0 ⇔ c = 0. Ahora, si tomamos las ecuaciones a + 2b = 0 (1)

2a + 5b = 0 (2) Y calculamos (2) − 2 · (1), se obtiene que b = 0 y a = 0 As´ı el kernel de T es

Ker(T ) = {(0, 0, 0)}

por lo tanto T es inyectiva.

2. Sea f : M

_R

(2) 7−→ R tal que f

µ x

₁₁

x

₁₂

x

21

x

22

¶

= 2x

₁₁

+ 5x

₁₂

− x

₂₁

− x

₂₂

a) Demuestre que f es un homomorfismo de grupos.

Consideremos

µ x

11

x

12

x

₂₁

x

₂₂

¶

∈ M

R

(2) y

µ a

11

a

12

a

₂₁

a

₂₂

¶

∈ M

R

(2), entonces µ x

11

x

12

x

₂₁

x

₂₂

¶ +

µ a

11

a

12

a

₂₁

a

₂₂

¶

=

µ x

11

+ a

11

x

12

+ a

12

x

₂₁

+ a

₂₁

x

₂₂

+ a

₂₂

¶

, luego f

µ x

11

+ a

11

x

12

+ a

12

x

₂₁

+ a

₂₁

x

₂₂

+ a

₂₂

¶

= 2(x

11

+ a

11

) + 5(x

12

+ a

12

) − (x

21

+ a

21

) − (x

22

+ a

22

)

= (2x

₁₁

+ 5x

₁₂

− x

₂₁

− x

₂₂

) + (2a

₁₁

+ 5a

₁₂

− a

₂₁

− a

₂₂

)

= f

µ x

11

x

12

x

₂₁

x

₂₂

¶ + f

µ a

11

a

12

a

₂₁

a

₂₂

¶

f es Homomorfismo.

b) Determine ker(f ) Ker(f ) =

½µ x

₁₁

x

₁₂

x

₂₁

x

₂₂

¶

∈ M

_R

(2) : f

µ x

₁₁

x

₁₂

x

₂₁

x

₂₂

¶

= 0

¾

. Esto es:

Ker(f ) =

½µ x

₁₁

x

₁₂

x

₂₁

x

₂₂

¶

∈ M

_R

(2) : 2x

₁₁

+ 5x

₁₂

− x

₂₁

− x

₂₂

= 0

¾

Ker(f ) =

½µ x

₁₁

x

₁₂

x

₂₁

x

₂₂

¶

∈ M

_R

(2) : x

₂₁

= 2x

₁₁

+ 5x

₁₂

− x

₂₂

¾

Si reemplazamos esta condici´on en la matriz obtenemos µ x

₁₁

x

₁₂

x

21

x

22

¶

=

µ x

₁₁

x

₁₂

2x

11

+ 5x

12

− x

22

x

22

¶

. Note que esto se puede escribir como:

µ x

₁₁

x

₁₂

2x

11

+ 5x

12

− x

22

x

22

¶

=

µ x

₁₁

0 2x

11

0

¶ +

µ 0 x

₁₂

5x

12

0

¶ +

µ 0 0

−x

22

x

22

¶

µ x

₁₁

x

₁₂

2x

11

+ 5x

12

− x

22

x

22

¶

= x

₁₁

µ 1 0 2 0

¶ + x

₁₂

µ 0 1 5 0

¶ + x

₂₂

µ 0 0

−1 1

¶

Finalmente el ker(f ) est´a generado por

ker(f ) =

¿½µ 1 0 2 0

¶ ,

µ 0 1 5 0

¶ ,

µ 0 0

−1 1

¶¾À

c) Determine Img(f )

a ∈ Img(f ) ⇐⇒ a ∈ R ∧ f

µ x

₁₁

x

₁₂

x

₂₁

x

₂₂

¶

= 2x

₁₁

+ 5x

₁₂

− x

₂₁

− x

₂₂

= a

De lo anterior se deduce que la Img(f ) = R, ya que, se puede “construir” cualquier a ∈ R a partir de la transformaci´on de alguna matriz A ∈ M

_R

(2). Por ejemplo, si queremos el n´umero 7, basta con tomar la matriz

µ 0 0 0 −7

¶

, cuya transformaci´on es f

µ 0 0 0 −7

¶

= 7. Aqu´ı debe notar, que la matriz anterior es “una” de muchas matrices

cuya transformaci´on es 7, lo mismo ocurrir´a con todo n´umero real a.