Matemáticas Financieras

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Matem´

aticas Financieras

Dr. Daniel A. Jaume

Prof. Gonzalo Molina

Esta versi´

on: December 16, 2012

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Valor tiempo del dinero

1.1 Introducci´

on

El tema de este libro es el valor-tiempo del dinero: escencialmente un peso hoy no vale lo mismo que un peso dentro de un a˜no, en el sentido de la cantidad de bienes y servicios que podemos adquirir es diferente. Esto se debe principalmente a dos factores: el costo de oportunidad y la inflaci´on.

Pero, ¿Qu´e es el dinero?

Definici´on 1.1 El dinero es todo aquello que constituye un medio de cambio o de pago com´unmente aceptado.

Caracter´ısticas:

1. Carece de valor intr´ınseco: nos interesa porque podemos usarlo para adquirir bienes y servicios.

2. El estado es el ´unico que puede imprimirlo: moneda de curso legal. 3. No son s´olo monedas y billetes:

(a) Monedas y billetes,

(b) Depósitos a la vista o cuentas corrientes (cheques y tarjetas débito) y tarjetas de crédito,

(c) Bonos y acciones, (d) Dep´ositos a plazos.

(e) Rentas (sueldos, jubilaciones, becas, etc.),

(f) Instrumentos financieros (futuros, opciones, seguros, etc.), (g) Bienes (casas, autos, propiedades, muebles, etc.)

Los tipos de “dinero” listados arriba, están ordenado de másl´ıquidosa menos l´ıquidos. Un valor es más l´ıquido cuanto más fácil sea intercambiarlo por bienes y servicios.

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2 CHAPTER 1. VALOR TIEMPO DEL DINERO

1.1.1 Funciones del dinero

Las funciones que cumple el dinero son tres:

1. Es un dep´osito de valor.

2. Es una unidad de medida o cuenta. 3. Es un medio de cambio.

Decimos que el dinero es undepósito de valorpues nos permite transferir poder adquisitivo espacial y temporalmente. El dinero que ganamos en un lugar puede ser usado para adquirir bienes y servicios en otro lugar, y el dinero ganado hoy puede ser intercambiado por bienes y servicios en algún momento del futuro. Decimos que el dinero es una unidad de medida o cuenta pues es en términos de dinero que se expresan los precios y las deudas. El dinero es el patron con el que medimos las transacciones económicas.

Decimos que el dinero es un medio de cambio, todas las personas e insti-tuciones aceptan intercambiar bienes y servicios por dinero.

Es claro que no todos los bienes conservan su valor el tiempo, por ejemplo las manzanas recién cosechadas tienen claramente un valor (pueden ser intercambi-adas por otros bienes y servicios), pero después de un tiempo es poco probable que alguién acepte intercambiar sus bienes por lo que quede de nuestras vie-jas manzanas. Por otro lado si deseamos adquirir algún bien en algún punto lejano a nuestro lugar de residencia, algunos bienes son más transportables que otros, por ejemplo, es más fácil mover oro que sandias (considereando la relación peso/valor).

Es claro que podr´ıamos usar oro como dep´osito de valor, pero este es muy incomodo como unidad de medida y cuenta, pues todos deber´ıamos disponer de equipos (balanzas) y conocimientos de metalurg´ıa (pues el oro viene con distintos grados de pureza), para poder intercambiar la cantidad adecuada de oro por los bienes y servicios que deseamos adquirir.

1.1.2 Trueque

La mejor forma de entender las funciones del dinero es imaginar como era el mundo antes de su aparición, lo que se conoce como econom´ıa de intercambio o trueque. El dinero es una eficaz herramienta que surgió de manera natural a medida que las sociedades fueron desarrollando econom´ıas cada vez más com-plejas. Las primeras sociedades ten´ıan una econom´ıa de trueque: los bienes eran intercambiados directamente por otros bienes. La principal desventaja de este tipo de econom´ıas es que requiere de una doble coincidencia de deseos (tem-poral y espacial) para que dos agentes intercambien bienes. Por ejemplo, si yo hoy tengo peras y deseo cuchillos, debo hallar (espacial) alguién que hoy quiera peras y que hoy tenga cuchillos (temporal). Esto lleva de manera natural a:

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1.1. INTRODUCCI ´ON 3 2. una econom´ıa sencilla: s´olo se pueden hacer transacciones muy sencillas.

3. es dific´ıl trasladar valor temporalmente, e inclusve espacialmente.

El dinero permite transacciones indirectas, y en este sentido es muy superior al trueque, donde debe existir una doble coincidencias de deseos para realizar intercambios.

1.1.3 Un esquema del surgimiento del dinero fiduciario

El dinero que no tiene valor intr´ınseco se denominadinero fiduciario, ya que se establece como dinero por decreto. Esto es lo normal en casi todos los paises de mundo, aunque hist´oricamente las econom´ıas utilizaron durante mucho tiempo mercanc´ıas con valor intr´ınseco a modo de dinero: semillas de cacao, conchas de mar, aceite de oliva, sal, plata, oro, etc.. Estos son ejemplos de lo que se denominadinero mercanc´ıa.

No es dif´ıcil de entender como surje un dinero mercanc´ıa como el oro: facilita el intercambio (todo el mundo esta dispuesto a aceptarlo por su valor intr´ınseco), es fácil de transportar (con respecto a la relación peso/valor) y además sirve para trasladar valor en el tiempo al conservar generalmente su valor en el tiempo. Es más dificil entender como surje el dinero fiduciario. ¿Qué hizo que la gente comenzara a valorar algo que carece de valor intr´ınseco: esos pedazos de papel que llamamos dinero? En realidad el proceso tomo varios siglos, pero se puede resumir al siguiente esquema. En una econom´ıa que usa oro como dinero mer-canc´ıa, la gente debe llevar consigo bolsas con oro. Para efectuar una transacción comprador y vendedor deben concordar en el peso y la pureza del oro a ser in-tercambiado por el servicio o mercanc´ıa. Este proceso de pesado y verificación de la pureza lleva su tiempo y requiere de conocimientos de metalurg´ıa. Para simplificar la operación y reducir sus costes el gobierno decide acuñar monedas de oro de un peso y pureza conocidos. Están monedas son más fáciles de llevar y usar que el oro en bruto. Al poco tiempo todo el mundo usa las monedas y casi no circula oro sin acuñar. Luego, el gobierno y los bancos empiezan a emitir certificados de oro: trozos de papel que dicen que Juan Perez tiene 12 kg. de oro el banco tal o cual, o certificados de oro del gobierno que dicen, por ejemplo, vale por medio kilo de oro. La gente empieza a aceptar estos papeles, y los van a canjar por oro (al banco o al ayuntamiento). Una vez que la gente comienza a verificar la veracidad de estas promesas de pago, y al ser más fáciles de guardar y llevar, estos certificados se vuelven tan valiosos como el mismo oro y a la larga nadie lleva oro, sino estos certificados oficiales respaldados por oro: los certificados se convierten en el patron monetario. Ya solo resta un paso para el surgimiento del dinero fiduciario: si nadie se molesta en canjear los billetes por oro, el respaldo del oro deja de ser relevante. Mientras todo el mundo continue aceptando los billetes de papel, estos tendrán valor y servirán de dinero.

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1.2 Valor-tiempo del dinero

La matem´atica financiera se ocupa de modelar el efecto del tiempo sobre el valor nominal del dinero. Es lo que llamaremos elvalor-tiempodel dinero. El siguiente par de ejemplos clarifica la cuesti´on:

Ejemplo 1.2 Tener hoy$ 1.000 es mejor que tener (hoy) s´olo$ 50.

Ejemplo 1.3 Es mejor tener$ 100 hoy que tener$ 100 dentro de un a˜no.

De este par de ejemplos podemos concluir:

Conclusi´on 1.4 De dos montos disponibles al mismo instante de tiempo, prefe-rimos el mayor.

Conclusi´on 1.5 De dos montos iguales disponibles en diferentes momentos, preferimos el monto disponible antes.

Problema 1.6 En base a las conclusiones anteriores. ¿Qu´e es mejor? $ 100 hoy o$ 75 dentro de un a˜no.

El problema surge al comparar montos distintos disponibles en diferentes momentos del tiempo (donde el monto futuro es mayor que el monto presente):

¿Qu´e es mejor, $1.000 hoy, o $1.350 dentro de un a˜no?

Todo depende del agente considerado y de su costo de oportunidad. El costo de oportunidad hace referencia al hecho de que cada vez que optamos por una cosa, hay un universo de alternativas que desechamos. La alternativa desechada de mayor rendimiento es el costo de oportunidad en el que incurrimos al tomar una decisi´on.

Volviendo a nuestro problema de decidir que es mejor, si $ 1.000 hoy o $ 1.350 dentro de un año. Si el agente puede invertir los $ 1.000 de hoy y ganar con certeza $ 500 extras al cabo de un año, a fin de año tendrá $ 1.500, lo que es mejor que los $ 1 350. Para este agente $ 1.000 pesos hoy son mejores que $ 1.350 dentro de un año (su costo de oportunidad es mayor que el rendimieno ofrecido al agente). Para otro agente los $ 1.000 hoy son lo mismo que $ 1.350 dentro de un año, en el sentido de que el puede invertir estos $ 1.000 en alguna otra opción de inversión y obtener la misma ganancia de $ 350 al cabo de un año. Este agente es indiferente entre $ 1.000 hoy o $ 1.350 a fin de año. Para finalizar, para un tercer agente $ 1.000 hoy es una peor inversión que recibir $ 1.350 a fin de año, pues todas las otras alternativas de inversión que posee le reportan al cabo de un año menos de $ 350 de ganancia.

En el análisis anterior la noción suyacente es la deequivalencia finaciera: Definición 1.7 Dos capitales C1 y C2, impuestos en momentos t1 y t2,

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1.2. VALOR-TIEMPO DEL DINERO 5

agente es indiferente entre ellos: el valor del capital C1 al momento t2 es igual

aC2 (rec´ıprocamente el valor del capital C2 al momentot1 es igual a C1):

C2 al momentot1 = C1 C1 al momentot2 = C2 C1 t1 (C1, t1) C2 t2 (C2, t2) equivalentes

Nota 1.8 Cada cantidad de dinero debe ser informada junto con el instante de tiempo en que esta disponible, i.e., en matem´aticas financieras (impl´ıcitamente) trabajamos con pares

(monto,tiempo)

Para medir el rendimiento de una inversión introducimos otro concepto fun-damental ,la noción de tasa de interés. Recordemos que una tasa es una medida de la magnitud relativa de cambio: Si una cantidad cambia deCi aCf en un per´ıodo de tiempo dado, la tasa de cambio es

t:= Cf−Ci Ci . Graficamente t=Cf−Ci Ci Ci Cf

Cuando pasamos deCi aCf, podemos pensar que cada unidad pasa de 1 a 1 +tpues

(1 +t)Ci=Cf. (1.1) Ejemplo 1.9 Al invertir$1.000, obtenemos una ganancia de$1.350, tenemos que la tasa de rendimiento asociada es

t=1.350−1.000

1.000 = 0,35

Observe que la tasa es una magnitud adimensional, aunque impl´ıcitamente est´a asociada a una unidad de tiempo:

el per´ıodo de tiempo entreCi yCf.

Ejemplo 1.10 Continuando con el ejemplo anterior, si los$ 1.000 pasan a$

1.350, en un d´ıa, o en un mes, o en un a˜no, son tres situaciones muy distin-tas, aunque les corresponda la misma tasa. Por eso agregaremos la informaci´on temporal y hablaremos de una tasa 0,35 diaria, o de una tasa 0,35 mensual, o de una tasa 0,35 anual.

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6 CHAPTER 1. VALOR TIEMPO DEL DINERO t= 0.35 $1000 $1350 1 d´ıa t= 0.35 $1000 $1350 1 mes t= 0.35 $1000 $1350 1 a˜no

Definici´on 1.11 Unk-per´ıodode tiempo, es una unidad temporal que cabek

veces el a˜no.

Por ejemplo, un 12-per´ıodo es un mes: 12 meses hacen un año, un 365-per´ıodo es un d´ıa: pues en un año caben 365 d´ıas, un 6-per´ıodo es un bimestre: 6 bimestres hacen un año, etc.

k-per´ıodo tiempo 1-per´ıodo a˜no, 2-per´ıodo semestre, 3-per´ıodo cuatrimestre, 4-per´ıodo trimestre, 6-per´ıodo bimestre, 12-per´ıodo mes, 52-per´ıodo semana, 360-per´ıodo d´ıa comercial, 365-per´ıodo d´ıa civil. Nota 1.12 Observe que ent a˜nos entran

k·t k-per´ıodos,

por ejemplo, en 3 a˜nos hay 12·3 = 3612-per´ıodos, i.e., 36 meses; en 2.5 a˜nos hay52·2,5 = 13052-per´ıodos, i.e., 130 semanas.

Definici´on 1.13 Una tasa k-per´ıodica t, es una tasa t que actua sobre un

k-per´ıodo, i.e., nos dice cuanto cambia una unidad en unk-per´ıodo de tiempo.

Diremos que una tasak-per´ıodica capitaliza kveces en un año. También se suele decir que la tasa tiene frecuencia de capitalizaciónk. Por ejemplo una tasa

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1.2. VALOR-TIEMPO DEL DINERO 7 mensual, capitaliza 12 veces en el a˜no o, lo que es lo mismo, tiene frecuencia de capitalizaci´on 12.

En el d´ıa a d´ıa, las tasas son informadas como porcentajes (i.e.,numeradores de cocientes de denominador 100) junto con una unidad temporal. Por ejemplo una tasa mensual del 22,3 % hace referencia a una tasa 0,223 12-per´ıodica. Para hallar la tasa asociada a una tasa tporcentual informada porcentualmente

hacemos

t=tporcentual 100

En matem´atica financieras usaremosi(k)_{para denotar una tasa}_k_{-per´ıodica.}

Las m´as usadas son:

i anual, i(2) _semestral, i(3) _{cuatrimestral,} i(4) trimestral, i(6) _bimestral, i(12) _mensual, i(52) _semanal, i(360) diaria comercial, i(365) _{diaria civil.}

Nota 1.14 Observar que en lugar dei(1)_{para la tasa anual se usa simplemente}

i.

Definici´on 1.15 Dados un capital original Co en un instante de tiempo to y

un capital finalCf en un instante de tiempo posteriortf. Llamaremosinter´es

I a la diferencia

I:=Cf−Co

Sitf−to es unk-per´ıodo, hay una tasak-per´ıodica asociada:

i(k)= Cf−Co

Co

De donde se deduce una relaci´on inmediata entre el inter´esIy la tasak-per´ıodica

i(k):

I=Coi(k)

Sea i(k) _{la tasa}_k_{-per´ıodica que podemos obtener, para cualquier capital} _C

disponible el d´ıa de hoy podemos hallar un capital equivalente unk-per´ıodo en el futuroCf o unk-per´ıodo hacia el pasadoCp.

Cf = 1 +i(k)C Cp = C 1 +i(k)

Cuando movemos un capital hacia el futuro en matemáticas financeras se habla de capitalización. Mientras que si lo movemos hacia el pasado se habla de actualización.

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C Cf

Capitalizaci´

on

unk-per´ıodo hacia el futuro

Cp C

Actualizaci´

on

unk-per´ıodo hacia el pasado

Pero t´ıpicamente debemos movermos más de un per´ıodo, hacia atrás o hacia adelante. Cuando debemos calcular los intereses de varios per´ıodos surge un interrogante natural: Los intereses de un per´ıodo deben ser considerados o no para el cálculo de los intereses del per´ıodo siguiente. El cómo se hace esto recibe el nombre deley financiera.

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Chapter 2

Sistemas de capitalizaci´

on

simple

2.1 Sistema de capitalizaci´

on simple

El sistema de capitalizaci´on simple es la ley financiera que establece que los intereses generados en un per´ıodo dado no son considerados para el c´alculo de los intereses del per´ıodo siguiente.

Definici´on 2.1 Se llama capitalizaci´on simple a la ley financiera que es-tablece que los intereses de cada per´ıodo se calculan sobre el mismo capital inicial oprincipal.

Dado un capital inicial C0, una tasa de capitalizaci´on p-per´ıodica i(p) y n

p-per´ıodos tenemos que los intereses de cada per´ıodo son iguales:

I1=I2=· · ·=In=C0i(p)

El inter´es totalIT es, por definici´on, la suma de los intereses de cada uno de los per´ıodos considerados:

IT := n X h=1 Ih = nC0i(p)

Dadoh∈ {1, ..., n}, el capital acumulado hasta el momentoh, es el capital acumulado hasta el per´ıodo anterior,h−1, m´as los intereses generados:

Ch=Ch−1+C0i(p),

con la condici´on inicial C0 :=Co (a la izquierda es capital a momento cero, a la derecha tenemos el capital inicial u original). Por lo que usando la teor´ıa de

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10 CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACI ´ON SIMPLE

relaciones recursivas ya desarrollada, caso g(k) = cte, con A = 1, concluimos que: Ch = C0+C0i(p)h = C0 1 +hi(p) (2.1) para 0≤h≤n. tiempo $ 0 1 2 3 n−1 n C0 C0 C0 C0 C0 C0 I1 I1 I1 I1 I1 I2 I2 I2 I2 I3 I3 I3 In−1 In−1 In

C

0

C

1

C

2

C3

C

n−1

C

n

I

T En particular Cn=C0 1 +ni(p) (2.2)

la cual es la f´ormula habitual en la literatura.

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2.1. SISTEMA DE CAPITALIZACI ´ON SIMPLE 11 capitales Cn y C0. Esta en el futuro (a la derecha) del capitalC0 z}|{ Cn = C0 |{z} Esta en el pasado (a la izquierda) del capitalCn 1 +ni(p)

Nota 2.3 Se puede deducir de la formula (2.2) con un argumento inductivo: El capital al final del primer per´ıodo,C1, es la suma deC0, el capital al inicio del

per´ıodo, m´asC0i(p), los intereses generados durante este per´ıodo:

C1=C0+C0i(p)

Similarmente C2, el capital al final del segundo per´ıodo, es la suma de C1, el

capital al inicio del per´ıodo, m´as C0i(p), los intereses generados durante este

per´ıodo

C2=C1+C0i(p)

pero como C1=C0+C0i(p), obtenemos

C2 = C0+C0i(p)+C0i(p)

= C0+ 2C0i(p)

An´alogamente C3, el capital al finalizar el tercer per´ıodo, es la suma deC2, el

capital al comienzo del per´ıodo, m´asC0i(p), los intereses generados durante este

per´ıodo:

C3=C2+C0i(p)

y ya queC2=C0+ 2C0i(p), obtenemos

C3=C0+ 3C0i(p)

De estas expresiones podemos inferir inductivamente que el capital acumulado al momenton ser´a Cn=C0+nC0i(p) (2.3) tiempo Cn−1 n−1 Cn n i(k) (modificar dibujo)

La f´ormulas (2.1) y (2.2) nos indican como se traslada un capital de un in-stante de tiempo dado a otro de forma financieramente equivalente. Por ejemplo,

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a una tasa mensual del 1,2 %, $ 200 pesos son financieramente equivalentes a $ 216,8 en 7 meses (usando capitalizaci´on simple):

216,8 = 200 (1 + 7·0,012)

Nota 2.4 En la f´ormula (2.2) aparecen 4 variables relacionadas: capital inicial C0

capital final Cn

tiempo n

tasa i(p)

Unas observaciones al respecto:

1. El problema tipo es: dadas tres magnitudes hallar la cuarta. Por lo que tenemos problemas donde debemos hallar el capital final Cn (se les suele

llamar problemas de capitalización), una variación de este tipo de proble-mas es hallar el interés total generado. Problemas donde debemos hallar el capital inicial C0 (se les suele llamar problemas de actualización).

Prob-lemas donde debemos hallar el tiempo n, y finalmente problemas donde debemos hallar la tasa i(p)_.

2. Dimensionalmente hablando,C0yCnson dinero. El tiempo y la tasa deben

ser dimensionalmente compatibles: si la tasa esk-per´ıodica, el tiempo debe estar dado en p-per´ıodos, por ejemplo, si la tasa es mensual, n debe ser una cantidad de meses. Similarmente si nes una cantidad de trimestres, la tasa debe ser trimestral: una i(4).

Ejemplo 2.5 Calcular el capital final o montante de$2.500.000 al 15 % anual, colocado durante a) 20 d´ıas, b) 3 meses, c) 4 cuatrimestres, d) 5 a˜nos, e) t p -per´ıodos.

Todo el problema es compatibilizar las unidades temporales de los intervalos de tiempo y la tasa. Por ahora s´olo podemos convertir los distintos per´ıodos de tiempo a a˜nos:

Ejemplo 2.6 a) 20 d´ıas son ₃₆₅20 a˜nos, por lo que al cabo de 20 d´ıas tendremos

C20d´ıas=C20 365 a˜nos = 2.500.000 1 + 20 365 0,15 = 2520547,9452 pesos. b) 3 meses son ₁₂3 a˜nos, por lo que al cabo de 3 meses tendremos

C3meses=C3 12 años= 2.500.000 1 + 3 12 0,15 = 2593750pesos. c) 4 cuatrimestres son 4₃ años, por lo que al cabo de 4 cuatrimestres ten-dremos C4cuatrimestres=C4 3 años= 2.500.000 1 + 4 3 0,15 = 3.000.000pesos.

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2.1. SISTEMA DE CAPITALIZACI ´ON SIMPLE 13

d) Al cabo de 5 a˜nos tendremos

C5a˜nos = 2.500.000 (1 + 5·0,15) = 4.375.000 pesos.

e) En general si tenemost p-per´ıodos, tenemos t

p a˜nos, por lo que tendremos

Ct p−per´ıodos=Ct k a˜nos=C0 1 + t pi

Ejemplo 2.7 Hoy extraemos del banco$281.300. ¿Cu´al fue el capital original, o principal, si nos han pagado una tasa mensual del 32% y el dep´osito fue pactado a 15 meses? Sabemos que Cn =C0 1 +ni(p) de donde C0= Cn 1 +ni(p) (2.4)

y como hay compatibilidad temporal entre la tasa y la unidad temporal, ambas son mensuales:

C0 =

281.300 1 + 15·0,32 = 48.500

i.e., debimos depositar hace 15 meses la suma de $ 48.500 a una tasa mensual del 32% para poder extraer hoy $ 281.300.

Ejemplo 2.8 Determinar el inter´es total obtenido al depositar$15.000 a plazo fijo por el t´ermino de 6 bimestres a una tasa bimestral del 14%.

Otra forma de definir el inter´es total: es la diferencia entre el capital final y el capital inicial.

IT =Cfinal−Coriginal

Veamos que esta definici´on es equivalente a la dada previamente:

IT = Cn−C0 = C0 1 +ni(p)−C0 = C0ni(p) (2.5) Reemplazando IT = 15.000·6·0,14 = 12.600

Esto nos dice que un plazo fijo de $ 15.000 a 6 bimestres, a una tasa bimestral del 14% producen un inter´es total de $ 12.600.

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Ejemplo 2.9 Hallar el capital que produce unos intereses de$12.787,5 al cabo de 75 d´ıas, a una tasa diaria del 0,31%.

Del problema anterior sabemos que

IT =C0ni(p)

(dondenes una cantidad dep-per´ıodos). Luego

C0= IT ni(p) (2.6) reemplazando C0 = 12.787.5 75·0,0031 = 55.000

Por lo tanto unos $ 55.000 producen un inter´es de $ 12.787,5 al cabo de 75 d´ıas, a una tasa diaria del 0,31%.

Ejemplo 2.10 Depositamos en un banco $ 450.000 y al cabo de 18 meses nos entregan$ 820.601,52. ¿Cu´al es la tasa mensual que nos pag´o el banco?

Como Cn=C0 1 +ni(p) tenemos que i(p)=Cn−C0 nC0 (2.7) Luego i(12) = 820.601,52−450.000 18·450.00 = 0.045753274

i.e., el banco nos pag´o una tasa mensual del 4,5753274%.

Ejemplo 2.11 Durante cuantos d´ıas hay que imponer un capital de$3.500.000 a unai(4)_{= 0}_,₂₄₅₅_{, para obtener no menos de}_$_5.100.000.

Como Cn=C0 1 +ni(p) de donde depejamosn n= Cn−C0 C0i(p) (2.8) Ahora nosotros deseamos

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2.1. SISTEMA DE CAPITALIZACI ´ON SIMPLE 15 luego

n ≥ 9.100.000−3.500.000

3.500.000·0,2455

≥ 6.517311609 luego debemos imponer el capital al menos 7 d´ıas.

Nota 2.12 El sistema de capitalización simple esta prácticamente en desuso. En la actualidad la capitalización compuesta es el sistema más usado (en sus versiones discreta y continua), el cual será estudiado en los capitulos subsigu-ientes.

Ejercicio 2.13 Calcular el capital final o montante que se obtendr´a al colocar$

25.500 a 6 meses a una tasa anual del 12,5%. ¿A cu´anto ascienden los intereses totales?

Ejercicio 2.14 Calcular el montante que producir´a un capital de $ 724.230, colocado al 7% semestral durante 4 a˜nos.

Ejercicio 2.15 Determinar el interés obtenido por una empresa que efectuó un depósito a plazo fijo por el término de 30 d´ıas, con excedentes de fondos por$

80.000 a una tasa del 11 % anual.

Ejercicio 2.16 Obtenga los intereses totales que produce un capital de$22.300.000 impuestos al 3% trimestral durante 36 meses.

Ejercicio 2.17 Hallar el capital necesario para producir un inter´es de$ 1.030 en una colocaci´on por un plazo de 50 d´ıas en una entidad bancaria al 18 % anual.

Ejercicio 2.18 Los intereses al cabo de un año, calculados según el año civil, de un C capital ascienden a $ 784.720 ¿A cuánto ascenderán según el año comercial (suponer i(360)=i(365))?

Ejercicio 2.19 Hace 87 d´ıas invertimos una cierta suma de dinero al 0,02% diario a inter´es simple. Hoy nos entregan $ 75.420,50 ¿Cu´al fue el monto in-vertido originalmente?

Ejercicio 2.20 Depositamos en un banco $ 150.000 y al cabo de 8 meses nos entregan$ 160.672,50. ¿Cuál es la tasa de interés que nos pagó el banco?

Ejercicio 2.21 Un inversor reembolsar´a$ 499.500,50 por un dep´osito concer-tado a 90 d´ıas por $300.700. Averiguar la tasa anual pactada.

Ejercicio 2.22 Hallar la tasa anual necesaria para que un depósito por$11.000 reditúe al inversor en 180 d´ıas, la mitad de la colocación.

Ejercicio 2.23 ¿Cu´al es la tasa de inter´esp-per´ıodica que nos permite duplicar el capital al cabo de n p-per´ıodos?

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Ejercicio 2.24 ¿Cu´anto tiempo es necesario que transcurra para triplicar un capital al 5% bimestral?

Ejercicio 2.25 ¿Cu´antos per´ıodos son necesarios para duplicar un capital a una tasap-per´ıodicai(p)_{? Y para triplicarlo. Y para obtener un m´}_{ultiplo dado.}

Ejercicio 2.26 Una empresa con excedentes de fondos por $ 200.000 efectúa dos colocaciones para cubrir necesidades futuras. Una durante 45 d´ıas al 1,5% mensual, y otra durante 15 d´ıas al 1,25% mensual. Averiguar los importes de los depósitos, sabiendo que las inversiones producen igual interés.

Ejercicio 2.27 Ud. posee $ 355.000. Decide invertilos en dos proyectos que le pagarán respectivamente el 1,2 % bimestral y el 2,1% trimestral. Qué porcentaje de sus ahorros debe invertir en cada proyecto, para recibir el mismo monto en concepto de intereses al cabo de 6 meses. Si ahora deseamos que ambos proyectos nos paguen los mismos intereses totales a lo largo de 1 año ¿cuánto deberemos poner en cada uno de los proyectos?

Ejercicio 2.28 Un capital por$ 38.000 se impuso a inter´es simple durante 7 d´ıas al 11,2%; luego el mismo capital por el t´ermino de 15 d´ıas al 11,7%; y por ´

ultimo se consiguió colocarlo 30 d´ıas al 13,5%. Calcular el interés total y la tasa real de la operación citada.

Ejercicio 2.29 Una empresa coloca excedentes de fondos en las siguientes al-ternativas:

1. Mercado de financiamiento oficial,$ 86.000 al 12%. 2. Mercado de financiamiento marginal,$ 72.000 al 18,5%.

Determinar el plazo de las colocaciones que le permiten percibir montos iguales.

Ejercicio 2.30 Se desea saber cómo influirá una comisión de gastos fija sobre el rendimiento de una inversión. A este efecto se nos comenta que, cualquiera sea la inversión, la comisión ascenderá a $ 3.000. ¿Qué incidencia tendrá so-bre nuestra inversión de$ 2.000.000 al 12%?, i.e., ¿Cuál es la tasa real de la operación?. ¿Y si la inversión fuera de $500.000 al mismo tipo?

2.2 Equivalencia de tasas

Consideremos las siguientes operaciones: colocar $ 100 al 12% anual durante un año, colocar los mismos $ 100 al 1% mesual también durante un año. Ambas producen idéntico capital final o montante.

100 (1 + 0,12) = 112 = 100 (1 + 12·0,01).

Este es un ejemplo de tasa equivalentes, uno de los conceptos fundamentales de matem´aticas financieras:

(23)

2.2. EQUIVALENCIA DE TASAS 17 Definici´on 2.31 Diremos que dos tasasi(p)_y_i(q)_{, son}_equivalentes_{, bajo una}

ley financiera dada, si aplicadas a un mismo capital inicial, producen id´entico capital final durante un mismo intervalo de tiempo, aunque tengan distinta fre-cuencia de capitalizaci´on (p6=q).

ta˜nos

C0 Cf

ip

iq

Ahora podemos deducir la ecuaci´on fundamental de equivalencia de tasas en el sistema de capitalizaci´on simple: Supongamos que un capital inicialC0es

impuesto durante t a˜nos, donde t > 0 es un n´umero real (no necesariamente entero). La tasa p-per´ıodica i(p) _{y la tasa} _q_{-per´ıodica} _i(q)_{, con} _{p, q} _∈

Z+, son

equivalentes si producen id´entico capital final:

C0

1 +tpi(p)=Cf=C0

1 +tqi(q),

Al simplificar nos queda

pi(p)=qi(q).

Por lo tanto:

Proposici´on 2.32 Dados p, q ∈ _Z+_{, en el sistema de capitalizaci´}_{on simple}

dos tasas i(p) _y _i(q)_{, son financieramente equivalentes si cumplen la siguiente}

relaci´on de proporcionalidad:

pi(p)=qi(q). (2.9) Ejemplo 2.33 ¿Cu´al es la tasa mensual equivalente a una tasa trimestral del 7%?

Una tasa mensual es unai(12), mientras que una trimestral es unai(4) (recor-dar que hay 4 trimestres en un a˜no). Usando la ecuaci´on (2.9) de equivalencias de tasas: 12i(12) = 4i4, 12i(12) = 4·0,07 i(12) = 0,28 12 i(12) = 0,02333333. . .

Esto nos dice que es lo mismo poner $ 1.000 durante 6 meses a una tasa trimestral del 7%, que ponerlos a una tasa mensual del 2.33333...%.

(24)

O que es lo mismo poner $ 500 durante 8 meses con cualquiera de estas dos tasas: 500 1 + 8 30,07 = 593.33333. . .= 500 (1 + 8·0,02333333. . .)

Nota 2.34 Como muestra el ejemplo anterior y como puede concluirse de la propia dedución de fórmula (2.9), la equivalencia de tasas en capitalización sim-ple es independiente del intervalo de tiempo considerado: Si dos tasas producen igual montante al cabo det1años, producirán igual montante al cabo det2años.

Ejercicio 2.35 Dada unai(2)= 0,03, hallar lai(k)equivalente parak∈ {1,3,4,6,12,52,360,365}.

Ejercicio 2.36 Dada una tasa de inter´es anual del 25%. Hallar las tasas subper´ıodicas equivalentes, i.e., hallar i(k) _{equivalente a la tasa dada para}

k∈ {2,3,4,6,12,52,360,365}. Expresar los resultados usando porcentajes.

Ejercicio 2.37 Demostrar que si i(365) _y _i(360) _{son equivalentes (a}

capital-izaci´on simple) entonces

i(365) i(360) =

72 73

Ejercicio 2.38 Dadosp, q∈Z+, y un n´umero realc >0. Si i(p)=c=i(q),

para cualquier C0 >0 (dinero) y cualquier t >0 (tiempo en a˜nos) demostrar

que C0 1 +tpi(p)< C0 1 +tqi(q), si y s´olo si p < q.

Es decir, dadas dos tasas de igual nominal, la que capitaliza con mayor frecuen-cia produce mayor montante.

Un problema habitual es comparar entre diferentes inversiones, y decidir cual tiene mayor rendimiento. Consideremos las siguientes inversiones:

1. Invertir $ 1.000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un mes. 2. Invertir $ 1.000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un a˜no. 3. Invertir $ 5.000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un mes. 4. Invertir $ 900 nos da una ganacia de $ 450 al cabo de 2 meses.

(25)

2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 19 Es facil concluir que la inversión 1 rinde más que la inversión 2 y que la inversión 3, pero es más dificil decidir si rinde más o menos que la inversión 4. En general, lo mejor es comparar tasas de rendimiento de cada una de las operaciones consideradas. La inversión 1 tiene una tasa mensual de rendimiento

t(12)₁ = 0,25

mientras que la tasa de rendimiento de la inversi´on 4 es bimestral

t(6)₄ = 0,5

Para decidir cual es mejor, hayamos la mensual equivalente at(6)₂

6t(6)₄ = 12t(12)₄

6·0,5 = 12t(12)₄

luego

t(12)₄ = 0,25

Como ambas operaciones tienen el mismo rendimiento mensual (medido por sus respectivas tasas mensuales de rendimiento)

t(12)₁ = 0.25 =t(12)₄ ,

Decimos que ambas inversiones rinden lo mismo. Ejercicio 2.39 Cu´al inversi´on es mejor

Opci´on 1 Opci´on 2 1) $ 1.100 producen una ganacia

de$ 250 un mes.

$ 850 producen una ganacia de$ 460 en dos meses. 2) $ 1.200 producen una ganacia

de$ 450 un a˜no.

$ 6.500 producen una ganania de$500 en 20 semanas

Ejercicio 2.40 ¿Qu´e oferta es m´as conveniente para una persona que desea comprar una casa: $ 40.000 iniciales y $ 60.000 al cumplirse los 6 meses o $

60.000 iniciales y$40.000 al cumplirse el a˜no? La tasa a usar es del 6% anual.

2.3 Equivalencia financiera de dos series de

cap-itales

Una vez que sabemos calcular el equivalente financiero de un capital para dis-tintos momentos, podemos verificar cuando dos series de capitales son financier-amente equivalentes, este ´ultimo es el segundo concepto fundamental de las matem´aticas financieras.

(26)

Definici´on 2.41 Una serie de capitales A1, A2, . . . , An disponibles en los

mo-mentosta

1, ta2, . . . , tan, es equivalente a la serie de capitalesB1, B2, . . . , Bmdisponibles

en los momentostb

1, tb2, . . . , tbm, a unafecha focalf, para un agente dado (tasa),

bajo una ley financiera dada (sistema), si

n X j=1 Aj al momentof = m X j=1 Bj al momentof. (2.10) A1 A2 A3

f

An B1 B2 B3 Bm Pm j=1Bj al momentof Pn j=1Aj al momentof

El equivalente financiero de un capital dado, a la fecha focalf y a una tasa

p-per´ıodicai(p) en el sistema de capitalizaci´on simple es

Aj al momentof =Aj

1 +|f−tj|i(p)

sgn(f−tj)

Nota 2.42 Definimos la funci´on signo como:

sgn(x) :=    1 si x >0 0 si x= 0 −1 si x <0 De donde, si f > tj (capitalizaci´on)

Aj al momentof =Aj 1 + (f−tj)i(p) sif =tj Aj al momentof =Aj y sif < tj (actualizaci´on) Aj al momentof = Aj 1 + (tj−f)i(p)

En todas las f´ormulas anterioresf ytjestan expresados enp-per´ıodos, para que sean compatibles con la tasa usada.

En particular para el sistema de capitalizaci´on simple tenemos que la definici´on de equivalencia de capitales toma la forma

(27)

2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 21 Definici´on 2.43 Una serie de capitalesA1, A2, . . . , An disponibles en los

mo-mentosta

1, ta2, . . . , tan, es equivalente a la serie de capitalesB1, B2, . . . , Bmdisponibles

en los momentos tb

1, tb2, . . . , tbm, a una fecha focal f, para una tasa p-per´ıodica

i(p)_{, en el sistema de capitalizaci´}_{on simple si}

n X j=1 Aj 1 +f−ta_j i(p) sgn(f−taj) = m X h=1 Bh 1 +f−tb_h i(p) sgn(f−tbh) . (2.11)

Nota 2.44 Es claro que despejar f de la ecuación (2.12) es casi siempre im-posible, y son necesarios métodos numéricos para hallarf, en particular suele ser útil usar soft mátematico como Matlab, Maple V, Mathematica, o Derive, en cualquiera de sus versiones. (los valores def1 y f2 se obtubieron con Maple

V Release 4, version 4.00c (1996), student edition).

El problema t´ıpico (el cual no implica el uso de computadoras) es: dada una serie de capitales, hallar una segunda serie financieramente equivalente. En el sistema de capitalización simple, lo matemáticamente correcto es llevar todos los capitales al origen de la serie conocida, porque no se deben usar los intereses en los cálculos, lo cual no siempre es posible, ya que muchas veces desconoceremos la fecha de origén de la operación.

Ejemplo 2.45 Debemos realizar 3 pagos, el primero de $ 400 dentro de tres meses, el segundo de$ 300 dentro de 6 meses y ´ultimo de$ 500 a los 9 meses. Por razones de flujo de caja (disponibilidad de efectivo) queremos sustituir estos 3 pagos por 2: uno de $ 500 dentro de 5 meses y otro de monto a determinar a los 10 meses. Se conviene una tasa de 2.5% mensual. Calcular el monto del ´

ultimo pago usando la siguientes fechas focales: el origen, a los 6 meses, a los 10 meses.

Debemos igualar los valores de ambas operaciones a la fecha focal dada:

valor de la operaci´on original a la fecha focalf = valor de la operaci´on nueva a la fecha focalf

(28)

22 CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACI ´ON SIMPLE meses 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $ 400 $ 300 $ 500 $ 500 C fecha focal

Serie (operaci´on) original

Serie (operaci´on) nueva

Nota 2.46 Convendremos en dibujar las series originales debajo del eje tem-poral, y pondremos las series nuevas sobre el mencionado eje.

Tenemos que actualizar todos los capitales al momento cero: 400 1 + 3·0.025 + 300 1 + 6·0.025 + 500 1 + 9·0.025 = 500 1 + 5·0.025 + C 1 + 10·0.025 1041.125854 = 444.4444445 + C 1.25,

de donde concluimos que

C= 745.8517624.

Fecha focal a los seis meses:f = 6

meses

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$ 400 $ 300 $ 500

$ 500 C

fecha focal

Ahora debemos llevar todos los capitales a los seis meses, por lo que algunos serán capitalizados (los que están disponibles antes de los 6 meses), otros serán actualizados (los disponibles en fechas posteriores), y los disponibles a los 6

(29)

2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 23 meses no cambian 400 (1 + 3·0.025) | {z } Capitalizaci´on + 300 |{z} Sin cambios + 500 1 + 3·0.025 | {z } Actualizaci´on = 500 (1 + 0.025) + C 1 + 4·0.025 1195.116279 = 512.500 + C 1.1, de donde C= 750.877907

Ejemplo 2.47 Finalmente tomaremos como fecha focal a los 10 meses:f = 10.

meses

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$ 400 $ 300 $ 500

$ 500 C

fecha focal

Todos los capitales, salvoC, deben ser capitalizados:

400 (1 + 7·0.025) + 300 (1 + 4·0.025) + 500 (1 + 0.025) = 500 (1 + 5·0.025) +C

1312.5 = 562.500 +C,

de donde

C= 825.

Ejercicio 2.48 ¿Con qué cantidad se cancela hoy d´ıa, un préstamo que se con-siguió dos meses antes habiéndose firmado dos documentos; uno con valor nom-inal de $ 600 que vence en dos meses a partir de ahora y otro por $ 750 de valor nominal y vencimiento a 5 meses del préstamo?. Suponga intereses del 20% anual. (Respuesta: $ 1 296.63).

Ejercicio 2.49 Una deuda de $ 2 000 con intereses del 5% anual vence en un a˜no. Si el deudor paga$600 a los 5 meses y$800 a los 9 meses. Hallar el saldo de la deuda en la fecha de vencimiento. (Respuesta:$ 573.22).

Ejercicio 2.50 El señor X debe$500 con vencimiento en 2 meses,$1 000 con vencimiento en 5 meses y$ 1 500 con vencimiento en 8 meses. Si desea saldar las deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento en 6 meses y otro con vencimiento en 10 meses. Determinar el importe de dichos pagos suponiendo un interés del 6% anual, tomando como fecha focal la fecha del último pago: 10 meses.

(30)

Problemas con almanaque

Ejercicio 2.51 El 10 de enero del corriente año se otorga un préstamo am-parado con dos pagarés con vencimientos al 15 de marzo y al 3 de mayo, por

$ 1 300 y$ 800 respectivamente. Poco después, se conviene en cancelarlo con tres pagos: el primero por $ 500 el 20 de febrero, el segundo por$ 1 000 el 30 de abril y el tercero el d´ıa 10 de junio, ¿De qué cantidad es este último pago si se cargan intereses del 30% mensual y se establece el 15 de marzo como fecha de referencia?, ¿A cuánto asciende el monto del préstamo?.

Ejercicio 2.52 Sea desea sustituir el pago de 3 capitales de $ 12 725, $ 11 022 y$ 8 774, con vencimiento los d´ıas 15 de mayo, 4 de junio y 25 de junio, respectivamente, por uno único el d´ıa 1 de junio; ¿a cuánto ascenderá el capital si se aplica un 6% anual a la operación? Año civil. Fecha de operación: 15 de mayo. (Respuesta:$ 32 516).

Ejercicio 2.53 Deseamos sustituir dos pagares de $ 14 500 y $ 12 300, con vencimientos el 12 de abril y el 15 de junio, respectivamente, por otros tres de igual monto, con vencimientos 10 de mayo, 10 de junio y 10 de agosto. Resolver el problema usando:

fecha focal tasa

1) 8 de enero 1.2% mensual, 2) 12 de abril 1.2% mensual, 3) 10 de junio 1.2% mensual, 4) 10 de agosto 1.2% mensual, 5) 15 de septiembre 1.2% mensual, 6) 8 de enero 0.05% diario (365), 7) 8 de enero 0.05% diario (360), 8) 12 de abril 2.4% mensual, 9) 12 de abril 0.6% mensual.

De la f´ormula (2.11) es claro que en el sistema de capitalizaci´on simple dos series de capitales pueden ser equivalentes para algunas fechas focales y para otras no.

Ejemplo 2.54 Usando una tasa anual i = 0.45 (es decir una tasa del 45 % anual), veamos a que fechas focales la serie de capitales:$ 130 000 hoy, $ 100 000 a los dos años y$ 150 000 a los 4 años, es equivalente a la serie de $ 350 000 a los 3 años y$ 400 000 a los 5 años.

El esquema de las series de capitales es

a˜nos

0 1 2 3 4 5

$ 130000 $ 100000 $ 150000 $ 350000 $ 400000

(31)

2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 25 El valor de la serie de capitales: $ 130 000 hoy, $ 100 000 a los 2 años y $ 150 000 a los 4 años, a la fecha focal f (en años) usando la tasa anuali= 0.45 esV1(f) :=

130000 (1 + 0.45|f|)sgn(f)+ 100000 (1 + 0.45|f −2|)sgn(f−2) +150000 (1 + 0.45|f−4|)sgn(f−4)

El valor de la serie de capitales: $ 250 000 dentro de 3 años y $ 450 000 dentro de 5 años, a la fecha focalf (en años) usando la tasa anuali= 0.45 esV2(f) :=

350000 (1 + 0.45|f−3|)sgn(f−3)+ 400000 (1 + 0.45|f −5|)sgn(f−5)

Por ejemplo, si escogemos como fecha focal dos a˜nos hacia adelante a partir de hoy,f = 2,tenemos el siguiente flujo

a˜nos

0 1 2 3 4 5

$ 130000 $ 100000 $ 150000 $ 350000 $ 400000

f = 2

De donde deducimos los siguientess valores paraV1 yV2

V1(2) = 130000 (1 + 0.45|2|) sgn(2) + 100000 (1 + 0.45|2−2|)sgn(2−2) +150000 (1 + 0.45|2−4|)sgn(2−4) = 130000 (1 + 2·0.45) + 100000 + 150000 1 + 2·0.45 = 425947.3684 V2(2) = 350000 (1 + 0.45|2−3|) sgn(2−3) + 400000 (1 + 0.45|2−5|)sgn(2−5) = 350000 1 + 0.45+ 400000 1 + 3·0.45 = 411592.0763

La siguente gr´afica muestra los valores de las funciones V1 y V2, en rojo la

primera y en azul punteada la segunda, para fechas focales entre 0 y 6 a˜nos. Notar que las unidades del eje y son cientos de miles de pesos.

(32)

26 CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACI ´ON SIMPLE f en a˜nos 0 1 2 3 4 5 6 $ en 100000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

V

1

(f)

V

2

(

f

)

f

1

f

2

S´olo existen dos fechas focales tales que

V1(f) =V2(f), (2.12)

y ellas son (dadas en a˜nos)

f1 = 0.23877905, f2 = 4.27194599. Pues V1(0.23877905) = 283357.5590 =V2(0.23877905), y V1(4.27194599) = 851621.5493 =V2(4.27194599),

(33)

2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 27 Nota 2.55 En el sistema de capitalizaci´on simple, la equivalencia financiera depende fuertemente de la fecha focal escogida.

2.3.1 Tasa media

Consideremos el siguiente ejemplo

Ejemplo 2.56 Ud. tiene $ 100.000 invertidos al 18% anual, $ 250.000 al 8% semestral y % 75.000 al 2% mensual. ¿Qu´e tasa diaria deber´ıa ofrecerle una entidad financiera para que ud. coloque todo su capital,$425.000, en la misma?

Esto no es m´as que un problema de equivalencia financiera de capitales, donde la incognita es una tasa (en principio, el tiempo tambi´en parece ser una incognita, pero veremos que en sistema simple, este tipo de problemas es inde-pendiente del tiempo).

Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!

Al cabo deta˜nos, las inversiones originales generan la siguiente cantidad de dinero

100.000 (1 +t·0,18) + 250.000 (1 +t·2·0,08) + 75.000 (1 +t·12·0,02) La operaci´on nueva genera al cabo det a˜nos

425.0001 +t·365i(365)

si queremos que ambas produscan igual capital final, tenemos que

100.000 (1 +t·0,18)+250.000 (1 +t·2·0,08)+75.000 (1 +t·12·0,02) = 475.0001 +t·365i(365)

de donde

100.000·0,18 + 250.000·2·0,08 + 75.000·12·0,02 = 425.000·365i(365)

Por lo que la tasa que buscamos, conocida como la tasa media diaria de la operaci´on, es

i(365) = 100.000·0,18 + 250.000·2·0,08 + 75.000·12·0,02 425.000·365

= 0,000489927477841

Por lo tanto, la entidad financiera debe ofrecerle al menos un 0,0489927477841% diario para que ud. reciba el mismo monto final. Veamos que efectivamente, ambas operatorias producen el mismo ingreso. Por ejemplo en un a˜no, sus in-versiones originales le reportan $ 501.000 pues

100.000 (1 + 0,18) + 250.000 (1 + 2·0,08) + 75.000 (1 + 12·0,02) = 501.000 Obtendr´a la misma suma con la segunda operatoria

(34)

Se invita al lector a calcular el ingreso de ambas operatorias a 2, 2,5, 3 y 5 a˜nos (o cualquier otro intervalo de tiempo), los ingresos producidos por ambas operatorias deberian ser iguales (si no fuera el caso, ¡cometi´o un error!).

Es interesante comparar la tasa media de la operaci´on, contra la tasa prome-dio de la misma. En este caso la tasa promeprome-dio diaria se consigue promediando las tasas diarias equivalentes a las tasas originales

365i(365)₁ = 1·0,18 =⇒ i(365)₁ =0,18 365 = 0,0004931506849 365i(365)₂ = 2·0,08 =⇒ i(365)₂ =0,16 365 = 0,0004383561643 365i(365)₃ = 12·0,02 =⇒ i(365)₃ =0,24 365 = 0,0006575342465 Luego la tasa promedio diaria de la operaci´on es

i(365)₁ +i(365)₂ +i(365)₃

3 =

0,0004931506849 + 0,0004383561643 + 0,0006575342465 3

= 0,0005296803651

En este caso se observa que la tasa promedio de la operaci´on es ligeramente superior a la tasa media de la misma.

La operaci´on financiera anterior ocurre con relativa frecuencia, por lo que amerita el desarrollo de f´ormulas generales.

En general una serie ncapitalesCj, con j= 1, . . . , n, colocados a las tasas

qj-per´ıodicasi(qj)_{, con}_j_{= 1}_{, . . . , n}_{, durante}_t_a˜_{nos, es equivalente a una colocar}

la suma de todos los capitales

C= n X

j=1

Cj

a latasa media equivalentep-per´ıodicai(_mediap)

Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

n X j=1 Cj 1 +tqji(qj) =C1 +tpi(_mediap) de donde n X j=1 Cj+t n X j=1 Cjqji(qj) = C+tCpi (p) media n X j=1 Cjpji(pj) = Cpi (p) media

despejando la tasa media obtenemos

i(_mediap) = n X j=1 qjCji(qj) pC (2.13)

(35)

2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 29 Nota 2.57 Observe que la f´ormula para la tasa media de una serie de capitales es independiente del tiempo t. Depende de los capitales Cj y de las tasas qj

-per´ıodicasi(qj)_{, con}_j_{= 1}_{, . . . , n}_.

Si se observa con atenci´on la f´ormula anterior, se puede concluir que la tasa media es un promedio pesado de las tasas p-per´ıodicas equivalentes a las tasas dadas: i(_mediap) = n X j=1 Cj C qj pi (qj)

donde cada factor qj

pi

(qj)_{es la tasa}_p_{-per´ıodica equivalente a la tasa}_i(qj)_{, y los}

pesos son los factores Cj

C, los cuales suman 1 n X j=1 Cj C = 1 C n X j=1 Cj= 1

Por lo que es inmediato que min 1≤j≤n _q j pi (qj) ≤i(_mediap) ≤ max 1≤j≤n _q j pi (qj)

En el caso del ejemplo 2.56 tenemos min 1≤j≤n _q j pi (qj) = min ₀_,₁₈ 365, 2·0,08 365 , 12·0,02 365 = min{0,0004931506849,0,0004383561643,0,0006575342465} = 0,0004383561643 max 1≤j≤n _q j pi (qj) = max ₀_,₁₈ 365, 2·0,08 365 , 12·0,02 365 = max{0,0004931506849,0,0004383561643,0,0006575342465} = 0,0006575342465 y se verifica que 0,0004383561643≤i(_mediap) = 0,000489927477841≤0,0006575342465 Nota 2.58 Adem´as, dadosq1, q2∈Z, es evidente que las tasas mediasi(mediap) y

i(_mediaq) (calculadas con respecto a una misma serie de capitales) son equivalentes:

pi(_mediap) = n X j=1 Cjqji(qj) C =qi (q) media (2.14) En general una serie de n capitales Cj, con j = 1, . . . , n, a las tasas qj -per´ıodicas i(qj)_{, con} _j _{= 1}_{, . . . , n}_{, tambi´}_{en tiene un tasa promedio} _p_{-per´ıodica}

(36)

asociada la cual no es otra cosa que el promedio de las tasasp-per´ıodicas equiv-alentes a las tasas dadas:

i(_promediop) = 1 n n X j=i qj pi (qj)

Para el ejemplo anterior la tasa mensual promedio es

i(12)_promedio= 1 2 1 120,07 + 4 120,041 = 0,00975

En este caso la tasa media, 0,010925, resulta ser mayor que la tasa promedio, 0,00975. La pregunta que surge de manera natural es ¿Existe alguna relaci´on entre tasa media y tasa promedio? Veremos que en realidad la tasa media (en sistema simple) es un promedio pesado (o ponderado) de las tasas originales, donde los pesos vienen dados por los tama˜nos relativos de losCjrespecto deC. Por ejemplo, veremos que la tasa media y la tasa promedio coinciden en el caso

Cj= 1_nC.

Dada una serie de operaciones consistentes de colocar n capitales Cj, con

j= 1, . . . , n, a las tasasqj-per´ıodicasi(qj)_{, con}_j_{= 1}_{, . . . , n}_{, si llamamos}_C

min:=

min{C1, . . . , Cn}, yCmax:= max{C1, . . . , Cn}, como para todoj= 1, . . . , n

Cmin≤Cj≤Cmax tenemos que i(_mediap) = n X j=1 qjCji(qj) pC = n X j=1 qj p Cj Ci (qj) ≥ Cmin C n X j=1 qj pi (qj) Como n X j=1 qj pi (qj)₌_ni(p) promedio Tenemos que i(_mediap) ≥nCmin C i (p) promedio

De manera similar se puede probar que

i(_mediap) ≤nCmax C i

(p) promedio

(37)

2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 31 Por lo que siempre se cumple que

nCmin C i (p) promedio≤i (p) media≤n Cmax C i (p) promedio

de donde se deduce con facilidad que si C1=C2=· · ·=Cn =C/n, entonces

i(_mediap) =i(_promediop) .

En el caso del ejemplo 2.56 tenemos

nCmin C i (p) promedio = 3· 75.000 425.000 ·0,0005296803651 = 0,0002804190168 nCmax C i (p) promedio = 3· 250.000 425.000 ·0,0005296803651 = 0,0009347300559

Ejercicio 2.59 Consideremos la siguiente modificaci´on del ejemplo 2.56: Ud. tiene$140.000 invertidos al 18% anual,$142.000 al 8% semestral y % 143.000 al 2% mensual. Se pide calcular: Tasa media diaria, tasa diaria m´ınima, tasa diaria m´axima, tasa promedio diar´ıa,3Cmin

C i (365) promedio, y3 Cmax C i (365) promedio. Ordenar

estas cantidad de mayor a menor.

Ejemplo 2.60 Tenemos dos opciones de inversión: La primera es dividir el capital en dos partes, colocando el 35% del mismo al 7% anual, y el 65% restante al 4,1% trimestral. La segunda consite en colocar todo el capital al 1,25 mensual. ¿Cuál de las opciones es la más ventajosa?

En esta situaci´on debemos comparar dos inversiones, una de las cuales in-volucra m´as de una tasa. Una forma de resolver este problema, es sustituir las dos operaciones por una equivalente: Es decir, dado un intevalo de tiempo de

t a˜nos, queremos hallar unatasa media i(12)_media 12-per´ıodica (mensual), que nos produzca la misma ganancia:

0.35C(1 +t·0,07) + 0.65C(1 + 4t·0,041) =C1 + 12t·i(12)_media

despejando

i(12)_media= 0,35·1·0,07 + 0,65·4·0,041

12 = 0,010925

Se puede observar que el valor de la tasa media (en el sistema de capitalización simple) es independiente del tiempo. Ahora es claro que la segunda opción (no dividir el capital) es la más conveniente:

i(12)₂ = 0,0125>0,010925 =i(12)_media

En el fondo esto no es m´as que sustituir dos rectas (ent) por su suma, la cual es a su vez una recta:

(38)

32 CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACI ´ON SIMPLE t (a˜nos) $ 0.4C 0.40C(1 + 4t·0.041) 0.6C 0.60C(1 +t·0.07) C C(1 +t·i(12)_media)

Ejercicio 2.61 Tenemos $ 100.000 para invertir. Se nos presentan tres op-ciones. La primera es depositarlo todo en un banco que paga en 2,5% mensual. La segunda en comprar$60.000 en bonos del estado que pagan un 8,2% trimes-tral y el resto en el banco al 1,8% mensual. La tercera consiste en comprar obligaciones de empresas privadas: $ 30.000 en opciones de la empresa A, que rinden un 21% semestral, $ 40.000 en opciones de la empresa B, que rinden un 4,8% bimestral y el resto en opciones de la empresa C que rinden un 38,5% anual. ¿Cu´al de las opciones es la m´as ventajosa?

Ejercicio 2.62 Tenemos dos opciones de inversión: La primera es dividir el capital en dos partes, colocando el 30% del mismo al 18% anual, y el 70% restante al 6,5% trimestral. La segunda consite en colocar todo el capital al 0,5% semanal. ¿Cuál de las opciones es la más ventajosa?

Poner m´

as ejercicios!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

2.3.2 Vencimiento medio

Este es un caso particular de equivalencia financiera, en el que sustituimos una serie de capitales por un ´unico pago igual a la suma algebraica de los capitales involucrados.

Dada una tasa p-per´ıodica y una fecha focalf, deseamos hallar la fecham

(39)

2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 33 en los momentost1, t2, . . . , tn, por un ´unico pago

C= n X

j=i

Cj

Dicha fecha focal es conocida comovencimiento medio: n X j=i Cj 1 +|f−tj|i(p) sgn(f−tj) =C1 +|f−m|i(p) sgn(f−m)

En la f´ormula anterior los intervalos de tiempo son medidos enp-per´ıodos, para que sean compatibles con la tasa usada.

Falta poner ejemplos resueltos donde la

incog-nita es un capital (?), o la tasa de inter´es.

Como se puede ver, usando capitalización simple, el vencimiento medio de-pende de cada una de las variables involucradas (salvo en casos excepcionales, no hay simplificación de variables), y para calcular el valor de mtenemos que analizar cada caso, y eventualmente necesitaremos emplear métodos númericos. Razonando financieramente es intuitivo que el vencimiento medio se encuen-tra entre el primero y el último momento en que los capitales vencen, porque se debe dar una compensación de intereses.

Ejemplo 2.63 Deseamos sustituir tres pagos, de $ 200, $ 300 y $ 500, con vencimientos hoy, dentro de 6 meses y dentro de un a˜no, respectivamente, por ´

unico pago de $1000. Hallar el vencimiento medio para fecha focal tasa

1) hoy 2% mensual, 2) hoy 1% mensual, 3) 6 meses 1% mensual, 4) 1 a˜no 1% mensual, 5) 2 a˜nos 32% anual,

6) hoy 1% diario comercial (360), 7) vencimiento medio 1% mensual.

Para resolver este problema planteamos la ecuaci´on de equivalencia financiera en general

200 (1 +|f−0|i)sgn(f)+300 (1 +|f−6|i)sgn(f−6)+500 (1 +|f−12|i)sgn(f−12)= 1.000 (1 +|f −m|i)sgn(f−m) 1) fecha focal:f = 0, tasa: 2% mensual

200 + 300 1 + 6·0,02 + 500 1 + 12·0,02 = 1.000 (1 + 0,02|m1|) sgn(−m1) 871,0829494 1.000 = (1 + 0,02|m1|) sgn(−m1)

(40)

Como

1 + 0,02|m1|>1>871,0829494

1000

entonces el exponentesgn(−m1) debe ser−1, y por lo tanto podemos asegurar

quem1>0, 871,0829494 1000 = 1 1 + 0,02m1 , de donde m1= 7,399814833 meses.

2) fecha focal: f = 0, tasa: 1% mensual

200 + 300 1 + 6·0,01+ 500 1 + 12·0,01 = 1.000 (1 + 0,01|m2|) sgn(−m2) 929,4474394 1000 = (1 + 0,01|m2|) sgn(−m2) Como 1 + 0,01|m2|>1>929,4474394 1.000

el exponentesgn(−m2) debe ser−1, y adem´as podemos asegurar quevm2>0,

por lo tanto 929,4474394 1.000 = 1 1 + 0,01m2 de donde m2= 7,590806926 meses.

Observando los resultados 1) y 2) vemos que en capitalizaci´on simple, el vencimiento medio depende de la tasa usada.

3) fecha focal: f = 6, tasa: 1% mensual

200 (1 + 6·0,01) + 300 + 500 1 + 6·0,01 = 1.000 (1 + 0,01|6−m3|) sgn(6−m3) 983,6981132 1.000 = (1 + 0,01|6−m3|) sgn(6−m3) Como 1 + 0,01|6−m3|>1>983,6981132 1.000

el exponentesgn(6−m3) debe ser−1, y adem´as podemos asegurar que 6−m3<

0, por lo tanto 871,0829494 1.000 = 1 1 + 0,02 (m3−6) , de donde vm3= 7,657204236 meses.

Observando los casos 2) y 3) podemos asegurar que el vencimiento medio de-pende de la fecha focal usada.

(41)

2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 35 7)f =m(fecha focal igual al vencimiento medio), tasa 1% mensual:

200 (1 +|m|i)sgn(m)+300 (1 +|m−6|i)sgn(m−6)+500 (1 +|m−12|i)sgn(m−12)= 1.000 Usando m´etodos n´umericos (y Maple V Release 4, version 4.00c (1996), student

edition):

m= 7,711838862 meses.

Ejercicio 2.64 En el ejemplo anterior hallarm4,m5, y m6.

Ejercicio 2.65 Se desea sustituir 12 pagos mensuales de$ 1.000, por un ´unico pago de$ 12.000. Suponer una tasa anual del 18,5%. Usar como fechas focales: el origen, 6 meses, 1 a˜no y el propio vencimiento medio.

Ejemplo 2.66 Si a los 7,46666666 meses se sustituyeron 3 pagos de $ 1.000, a los cero, seis y doce meses, respectivamente, por un ´unico pago de $ 3.000. Utilizando una tasa del 5% mensual ¿Cu´al fue la fecha focal usada?

Ejercicio 2.67 Si en el problema anterior sabemos que la sustituci´on fue a los 6 meses y se uso el origen como fecha focal.¿Cu´al fue la tasa usada?

(42)

Chapter 3

Descuento Simple

En las operaciones comerciales habitualmente no se usa la actualización para calcular el valor actual de un capital futuro. El método usado se conoce como descuento(comercial). Este es el caso t´ıpico de lo que ocurre con los cheques a fechas. El poseedor de un cheque (documento, plazo fijo, etc.) el cual tiene un nominalN, podrá hacerlo efectivo entaños (esta cantidad no tiene porque ser entera), pero por algún motivo necesita dinero hoy (para pagar una deuda, por una oportunidad de inversión, etc.). Entonces acude a un intermediaro finaciero (banco, financiera, un “prestamista” en el peor de los casos), y cambia el cheque por una suma en efectivoE, donde

E < N.

hoy dentro det a˜nos

E

N D

La diferencia entre elE efectivo que recibe, y el nominalN del documento entregado, recibe el nombre dedescuento

D=N−E. (3.1)

En esta operaci´on se puede pensar que el intermediario financiero se ha cobrado los intereses al principio de la operaci´on. La tasa que se usa es llamada tasa de descuento d, la cual tiene la particularidad que se aplica sobre el nominalN.

(43)

37

3.0.3 Descuento simple

En el sistema de capitalizaci´on simple lo que nos descuentan por cadap-per´ıodo adelanto es

N d(p)

Supongamos que se quiere adelantar un documento de nominal N, unos n p -per´ıodos con un intermediario financiero que cobra una tasa de descuento p -per´ıodicad(p). Si llamamos Ej al efectivo que recibiremos en el per´ıodo j, ten-emos la siguiente relaci´on recursiva

Ej = Ej+1−N d(p) j < n,

En = N

Donde la condici´on inicial esEn =N (al momentonhacemos efectivo el docu-mento, no necesitamos descontarlo).

0 D=D0 E=E0 1 D1 E1 k Dk Ek k+ 1 Dk+1 Ek+1 n En=N d(k)

Usando la teor´ıa de relaciones recursivas que hemos desarrollado concluimos que la forma para el efectivo en el momento j, paraj < n, es

Ej =h0+jN d(p),

dondeh0 es una constante que se ajusta usando la condici´on inicialEn=N:

N = En=h0+nN d(p) h0 = 1−nd(p)N luego Ej =N 1−(n−j)d(p), paraj≤n,

(44)

38 CHAPTER 3. DESCUENTO SIMPLE

en particular

E=E0=N

1−nd(p) (3.2) La cual es la ecuaci´on fundamental del sistema de descuento simple para una tasa de descuentop-per´ıodicad(p)_.

En t´erminos de la tasa de descuento y el nominal, el descuento es

D=nN d(p) (3.3)

Nota 3.1 Sines suficientemente grande, el descuento comercial puede ser tan grande que anule el efectivo

E=E0= 0 =N 1−nd(p), (3.4) Esto ocurre si n= 1 d(p).

Sin > _d(1p) el efectivo es de hecho negativo.

Ejemplo 3.2 Se desea hacer efectivo hoy un cheque a 5 d´ıas de nominal $ 1 .000. Qu´e efectivo recibiremos si acudimos a un banco que aplica un tasa de descuento diario de 2,1%. ¿Cu´antos d´ıas hay que adelantar el documento para que el efectivo sea nulo?

El efectivo que recibiremos se calcula con (3.4)

E= 1000 (1−5·0,021) = 895 de donde D= 1000−895 = 105 Finalmente nanulaci´on= 1 0.021 = 47,619047619

i.e., si adelantamos un documento más de 47 d´ıas lo único que nos dan son las gracias (de hecho nos piden además del documento, ¡dinero extra!).

Observe que el valor actual de $ 1.000, calculado con una tasa efectiva diaria del 2,1% es

C0=

1000

1 + 5·0,021 = 904,98

Esto no es casualidad, si una tasa de descuento (simple)p-per´ıodicad(p)_{es igual}

(c´omo n´umero real) a una tasa (efectiva simple)p-per´ıodicai(p)

d(p)=x=i(p)

y son aplicadas sobre un capital de nominalN disponible dentro deta˜nos para calcular su valor al d´ıa de hoy

(45)

39

Poner dibu!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

tenemos que N 1 +tpi(p) =C0> E=N 1−tpd(p)

Es claro que si E es no.positivo la desigualdad se cumple trivialmente pues siempre C0 >0. Si E >0, entonces tpd(p)<1. Y la desigualdad se deduce del

siguiente hecho: si 0< ax <1, entonces

1< 1

1−(ax)2

(Pues, si 0< ax <1, entonces 0<(ax)2<1, y por lo tanto

0<1−(ax)2<1 de donde deducimos que

1< 1

1−(ax)2 =

1

(1−ax) (1 +ax) que es la desigualdad requeridad). Lo que implica que

C0 E = 1 1 +tpi(p) 1−tpd(p) = 1 1−(ax)2 >1

donde hacemostp=ayd(p)=x=i(p), y la condici´ontpd(p)<1 garantiza que 0< ax=tpd(p)<1. De donde podemos deducir queC0> E.

Ejercicio 3.3 ¿Cu´al fue el descuento y el efectivo de una letra con vencimiento a 3 meses si se aplic´o una tasa de descuento del 4,5% mensual y su nominal ascend´ıa a $5.000?

Ejercicio 3.4 Sabiendo que el descuento sobre un cheque a 12 d´ıas es de$230. Calcular el nominal si la tasa de descuento diaria aplicada es del 5%.

Ejercicio 3.5 Se desea hacer efectivo hoy un cheque a 60 d´ıas de nominal $

5.000. Que efectivo recibiremos si acudimos a un banco que aplica un tasa de descuento diario de 1%. ¿Cu´antos d´ıas hay que adelantar un documento a esta tasa para que efectivo sea nulo?

Ejercicio 3.6 Adelantamos 10 d´ıas un cheque a fecha de nominal $ 3.500, y nos entregan $ 3.150. ¿Cu´al fue la tasa de descuento diario que nos aplicaron?

(46)

40 CHAPTER 3. DESCUENTO SIMPLE

3.0.4 Equivalencia de tasas de descuento simple.

Con respecto a las tasas de descuento surgen naturalmente dos preguntas, dada una tasa de descuentoq-per´ıodicad(q)_:

1. ¿Cu´al es la tasa de descuentop-per´ıodica equivalente?

2. ¿Cu´al es la tasa efectivap-per´ıodica equivalente?

Por definici´on de equivalencia de tasas, dados un efectivo E, un nominal

N, un per´ıodo de descuento de t a˜nos, y dos tasas descuento d(p) _y _d(q)_{, con}

p, q∈_Z, se dicen que son equivalentes si producen igual efectivo

N1−qtd(q)=E=N1−ptd(p),

de donde concluimos la ecuaci´on fundamental de equivalencia de tasas de des-cuento simple qd(q)=pd(p). (3.5) t a˜nos E N d(p) d(q)

Como antes, usaremos d, en lugar ded(1)_{, para designar una tasa de}

des-cuento anual

Ejemplo 3.7 Dada una tasa de descuento anual del 10% hallar la tasa d(p)_,

parak∈ {2,3,4,6,12,52,360,365}, equivalente.

Por ejemplo, la tasa de decuento cuatrimestral equivalente es

d = 3d(3)

0,10 = 3d(3),

de donde

d(3)= 0,03333333. . .

Ejercicio 3.8 Dada una tasa de descuento bimestral del 3,5% hallar la tasa

d(p), parak∈ {1,2,3,4,12,52,360,365}, equivalente.

(47)

41

3.0.5 Equivalencia entre tasas de descuento y de

capital-iaci´

on simples.

Por definición de equivalencia de tasas, dados un efectivoE, un nominalN, un per´ıodo de descuento det años, yp, q∈Z, la tasa de capitalizaciónp-per´ıodica i(p) y la tasa de descueno q-per´ıodica d(q), se dicen que son equivalentes si producen igual efectivo

N1−qtd(q)=E = N 1 +pti(p)

de donde llegamos a la relaci´on fundamental de equivalencia entre tasas de capitalizaci´on simple y de descuento simple

1−qtd(q) 1 +pti(p)= 1. (3.6) Claramente esta equivalencia no es independiente del tiempot considerado.

t a˜nos

E N

i(p)

d(q)

Ejemplo 3.9 Dada una tasa de descuento mensual del 8% hallar la tasa de capitalizaci´on simple diaria (comercial) i(360) equivalente para una operaci´on a 2 meses. De (3.6) 1−12· 2 12d (12) 1 + 60i(360) = 1. (1−2·0,08)1 + 60i(360) = 1. de donde i(360)= 1 0,84−1 60 = 0,0031746

Ejercicio 3.10 Completar la siguiente tabla de tasa equivalentes tasa 1 tasa 2 tiempo 1) d(2)=? i(6)= 0,06 3 meses, 2) d(2)_=? _i(6)_{= 0}_,₀₆ _{10 meses,} 3) d(12)_{= 0}_,₀₂₃ _i(4)_=? _{6 meses,} 4) d(12)= 0,023 i(4)=? 6 d´ıas, 5) d(365)_{= 0}_,₀₁ _i(360)_{= 0}_,₀₁₁ _{¿? d´ıas,} 6) d(360)_=? _i(360)_{= 0}_,₀₃₅ _{5 d´ıas,} 7) d(360)=? i(360)= 0,035 180 d´ıas, 8) d= 0,18 i=? 1 a˜nos 9) d= 0,18 i=? 1/2 a˜no.

Matemáticas Financieras

Matem´

aticas Financieras

Dr. Daniel A. Jaume

Prof. Gonzalo Molina

Esta versi´

on: December 16, 2012

Contents

Chapter 1

Valor tiempo del dinero

1.1

Introducci´

on

1.1.1

Funciones del dinero

1.1.2

Trueque

1.1.3

Un esquema del surgimiento del dinero fiduciario

1.2

Valor-tiempo del dinero

Capitalizaci´

on

Actualizaci´

on

Chapter 2

Sistemas de capitalizaci´

on

simple

2.1

Sistema de capitalizaci´

on simple

C

C

C

C3

C

C

I

2.2

Equivalencia de tasas

2.3

Equivalencia financiera de dos series de

cap-itales

f

V

(f)

V

(

f

)

f

f

2.3.1

Tasa media

Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!

Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Poner m´

as ejercicios!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

2.3.2

Vencimiento medio

Falta poner ejemplos resueltos donde la

incog-nita es un capital (?), o la tasa de inter´es.

Chapter 3

Descuento Simple

3.0.3

Descuento simple

Poner dibu!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

3.0.4

Equivalencia de tasas de descuento simple.

3.0.5

Equivalencia entre tasas de descuento y de

capital-iaci´

on simples.