Texto Matematicas 3 - 2013

Matemáticas 3:

Relaciones, funciones

y geometría analítica

Alejandro Nava

Alma Vázquez

Juan Cuéllar

Mario Leal

Salvador Rodríguez

Rogelio Garza Rivera Secretario General

Juan Manuel Alcocer González Secretario Académico Alejandro Galván Ramírez

Director de Estudios de Nivel Medio Superior Biblioteca Universitaria “Raúl Rangel Frías”, 4º piso Av. Alfonso Reyes No. 4000 Nte., Col. del Norte C.P. 64440, Monterrey, Nuevo León, México

Tels: (81) 8329 4121 – 8329 4122 Fax: (81) 8329 4000, ext. 6608 e-mail: [email protected]

Título de la obra:

Matemáticas 3: Relaciones, funciones y geometría analítica

Cuarta edición, 2013

© Universidad Autónoma de Nuevo León

© Comercializadora y Editora de Libros S.A. de C.V. © Alejandro Nava Segovia

© Alma Rosa Vázquez Ortiz © Juan Antonio Cuéllar Carvajal © Mario Alberto Leal Chapa © Salvador Rodríguez Vértiz

Portada: © Dirección de Imagen Institucional ISBN (Ediciones DeLaurel): 978-607-7967-68-2

Reservados todos los derechos. Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas, mecánicas o por fotocopia, sin el consentimiento previo y por escrito de la Universidad Autónoma de Nuevo León y el editor.

Impreso en México Printed in México

Ediciones DeLaurel es una marca registrada de

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Cuidado editorial: Equipo DeLaurel Diseño de portada: Claudia Novelo Chavira

En cumplimiento de la Visión 2020 UANL, la Dirección de Estudios de Nivel Medio Superior, a través de la publicación de los libros de texto correspondientes a cada una de las unidades de aprendizaje que conforman el plan de estudios de Bachillerato General, promueve la formación integral del estudiante en la generación y aplicación del conoci-miento como un proceso continuo de mejora en la calidad de la formación universitaria. El Modelo Educativo de la Universidad Autónoma de Nuevo León está constituido por cin-co ejes rectores que promueven la educación centrada en el aprendizaje y la educación basada en competencias, la flexibilidad curricular, la internacionalización y la innovación académica. La concreción del modelo se reproduce en cada nivel de estudios que la ins-titución ofrece a través de estos ejes.

Este modelo integra los programas y proyectos académicos que están orientados a garan-tizar una oferta educativa con alto nivel de calidad y pertinencia, acorde con las necesida-des de la sociedad en los ámbitos económico, social, político y cultural.

El presente texto de Matemáticas 3: Relaciones, funciones y geometría analítica forma

par-te de las unidades de aprendizaje del área de formación propedéutica del plan de estudios del bachillerato general. La primera parte de este curso, llevará al alumno a la compren-sión de lo que es una función matemática, entenderá la relación entre dos variables y con ello identificará diferentes fenómenos y comportamientos naturales tales como el creci-miento de poblaciones, variaciones en los mercados, etc. La segunda parte da una visión más matemática, ya que abordará el tema de las secciones cónicas, con lo que el alumno tendrá un buen marco referencial para la modelación de situaciones del mundo real. Estoy convencido de que la excelencia de los programas educativos que nuestra insti-tución ofrece en todos sus niveles, asegura la formación de ciudadanos con la solidez académica y la capacidad para responder al desafío histórico de nuestra sociedad, con la visión global que amerita la época actual, con la firme convicción de su identidad regio-nal y nacioregio-nal, y con el compromiso para participar con responsabilidad en beneficio de nuestro país.

Dr. Jesús Ancer Rodríguez Rector Educación de clase mundial, un compromiso social

Agradecimiento

Nuestro sincero reconocimiento a los maestros integrantes de los Comités Técnicos Académicos de la Dirección de Estudios de Nivel Medio Superior, quienes colaboraron como autores en las versiones pre-vias a la presente obra.

Gracias por compartir con la comunidad educativa y cada generación de estudiantes de preparatoria, sus conocimientos, creatividad y experiencias al caminar juntos en este devenir de formación académica.

Antonio Montemayor Soto † Blanca María Borghes Alonso Fernando Javier Gómez Triana José Luis Guerra Torres María Elena Padilla Soto Miguel Ángel Torrecillas González Roberto Sánchez Ayala

Presentación

Agradecimiento

Prefacio

Etapa 1.

Relaciones y funciones polinomiales

1.1

Introducción

I. Formas de representar una relación 12

II. Gráficas 14

III. Funciones en el mundo real 22

IV. Gráfica de funciones y relaciones. Criterio de la recta vertical 25

1.2

Funciones y relaciones lineales

I. Función lineal 29

II. Propiedades de la gráfica de una función lineal 31 III. Formas de la función lineal o ecuación de la recta 39 IV. Ecuaciones de funciones lineales a partir de su gráfica 41 Condiciones de paralelismo y perpendicularidad 44

V. Funciones lineales como modelos matemáticos 47

VI. Desigualdades e inecuaciones lineales 56

VII. Desigualdades e inecuaciones lineales en una variable 60 Conjunto solución de una inecuación 60 VIII. Desigualdades e inecuaciones lineales en dos variables 64 IX. Aplicación de desigualdades a modelos matemáticos 70

1.3

Función cuadrática

I. Forma general de la ecuación de la función cuadrática 73

II. Gráfica de una función cuadrática 75

III. Dado un valor de y, calcular x 79

IV. Valores no reales de x, para un valor real dado de y 84 V. Números imaginarios y complejos. Potencias de i 89 Suma y producto de números complejos 96 VI. Dos tópicos importantes de la función cuadrática 99 VII. Bosquejo de la gráfica de la función cuadrática 102 Aspectos importantes de la gráfica 102

VIII. Aplicaciones de la función cuadrática a problemas del mundo real 104 Objeto en movimiento vertical 104 IX. Ecuación de la función cuadrática a partir de su gráfica 112 Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables 112 Determinación de la ecuación particular de una función cuadrática,

conociendo de ella tres puntos coordenados 115

1.4

Función polinómica de grado superior

I. Factorización de polinomios de grado superior. El teorema del factor 121 II. Raíces o soluciones de una función polinómica 125

III. Teorema del residuo 128

IV. División sintética 130

Etapa 2.

Funciones algebraicas racionales e irracionales

2.1

Función algebraicas racionales e irracionales

I. Introducción a las funciones algebraicas racionales 138 II. Introducción a las gráficas de funciones racionales,

discontinuidades y asíntotas 141

III. Más sobre gráficas de funciones algebraicas racionales 147 IV. Introducción a las funciones algebraicas irracionales 154

V. Gráfica de funciones irracionales 155

2.2.

Función variación

Etapa 3

Funciones exponenciales y logarítmicas

I. Introducción a las funciones exponenciales 172

II. Exponenciación para exponentes racionales 174

III. Potencias y radicales sin calculadora 178

IV. Ecuaciones exponenciales 181

Ecuaciones exponenciales resueltas por aproximaciones 181 Ecuaciones exponenciales resueltas por logaritmos 183

V. Logaritmos con otras bases 188

VI. Propiedades de los logaritmos 192

VII. Demostración de las propiedades de los logaritmos 198

VIII. Función logarítmica 202

IX. Gráfica de la función logarítmica 204

4.1.

Introducción a la geometría analítica

I. Sistemas de coordenadas cartesianas 214

II. Fórmula de la distancia entre dos puntos 218

III. Punto medio de un segmento de recta 221

IV. Ángulo de inclinación de la recta. Pendiente 226

V. Pendiente de una recta dadas las coordenadas de dos puntos 226

VI. Ecuación de la recta en el plano 229

Ecuación de la recta en forma punto-pendiente 230 Ecuación de la recta en la forma pendiente-intersección 231

Ecuación simétrica de la recta 231

VII. Distancia de un punto a una recta 233

4.2

La circunferencia

I. Las secciones cónicas 237

II. La circunferencia 238

III. Ecuación de la circunferencia en la forma general 244

4.3

La parábola

I. Introducción 253

II. Ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en F (a, 0) 253 III. Ecuación en una parábola con el vértice en el origen, eje focal sobre el eje X

y foco en F (–a, 0 ) 260 IV. Ecuación de una parábola con vértice en el origen, eje focal sobre el eje Y

y foco en F (0, a) 263

V. Traslación de ejes 270

Ecuaciones de transformación cuando se realiza una traslación de ejes coordenados 271 VI. Ecuación de una parábola con vértice en el punto V (h, k), distinto al origen 272

VII. Ecuación de una parábola en forma general 275

4.4

La elipse

I. Introducción 283

II. Ecuación de una elipse con centro en el origen, cuyo eje focal está sobre el eje X. 284 Simetría 286 Dominio y rango de la ecuación de la elipse 287

Coordenadas de los vértices 288

Relación entre las cantidades a, b y c de una elipse 289

III. Excentricidad de una elipse 290

IV. Ecuación de la elipse con centro en el origen, cuyo eje focal está sobre el eje Y 294 V. Ecuación de la elipse con centro en el punto C (h, k) y eje focal paralelo al eje X 298 VI. Ecuación de una elipse con el centro en el punto C (h, k) y cuyo eje focal es

paralelo al eje Y 300

VII. Ecuación general de la elipse 302

4.5

La Hipérbola

I. La hipérbola 305

Relación entre las cantidades a, b y c de una hipérbola 309 Dominio y rango de la relación x 2

a 2 – y 2

b 2 5 1 309

Excentricidad de la hipérbola 310

Asíntotas de una hipérbola 310

Ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola x 2 a 2 – y

2

b 2 5 1 311

II. Ecuación de una hipérbola con centro en el origen y cuyos focos están en el eje Y 317 III. Ecuación en la forma reducida de una hipérbola con el centro C (h, k) y cuyo

eje focal es paralelo al eje X 321 IV. Ecuación de una hipérbola con centro C (h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje Y 322

El texto de Matemáticas 3: Relaciones, funciones y geometría analítica fue diseñado

como un curso de matemáticas intermedia para alumnos del tercer semestre de bachillerato, con una estructura más formal como libro de aplicaciones, con soporte de álgebra.

Las primeras 3 etapas están dedicadas a lo que es llamado “precálculo” en el que las aplicaciones fueron tomadas de modelos matemáticos de fenómenos del mundo real. El alumno debe seleccionar una clase de función que se ajuste a la situación dada y derivar la ecuación correspondiente que se acomode a la información del problema. La ecuación, entonces, es utilizada para predecir valores cuando una de las dos variables es conocida. Algunas veces el alumno debe usar los resultados de los problemas para hacer interpretaciones acerca del mundo real, por ejemplo, el significado de pendiente, etc. Los problemas requieren que el alumno utilice varios conceptos matemáticos en un mismo problema. Esto contrasta con los “problemas expresados con palabras” tradicionales de álgebra elemental, en los cuales un mis-mo concepto es usado en varios problemas.

En la etapa 4 se exponen los principios y conceptos básicos de la Geometría analíti-ca, tan necesarios para el estudiante de Nivel Medio Superior que desee seguir cur-sos de matemática superior o de ingeniería, sin embargo, las enseñanzas expuestas en esta parte también son de gran utilidad para aquellos que decidan tomar cursos no tan ligados con las matemáticas puras, ya que podrán desarrollar sus habilida-des en el diseño de situaciones que requieran habilidahabilida-des espaciales y analíticas, además de la adquisición de una cultura general más amplia, ya que se hace una complementación de los temas más selectos de matemáticas en este nivel.

Junio de 2013 Atentamente

El concepto de función es uno de los más importantes en la Matemática. El vasto número y la variedad de sus aplicaciones no sólo justifican, sino que hacen necesario su estudio. Una función, en matemáti-cas, es el término usado para indicar cierta relación o correspondencia entre dos o más cantidades. Las funciones y relaciones son importantes porque pueden ser utilizadas para describir la relación entre dos variables en el mundo, entre otras cosas.

Cuando vamos al mercado o algún centro comercial, siempre relacionamos un conjunto de determina-dos objetos (por ejemplo, productos alimenticios) con el costo en pesos, para así saber cuánto podemos comprar. Una persona que confecciona uniformes debe saber cuánto tiempo se lleva en cada uno para calcular el número de uniformes que puede confeccionar en un lapso determinado.

Veamos las siguientes citas en donde es utilizado el concepto de función:

“La utilización de anticonceptivos es desigual entre distintos países y dentro de un mismo país. Varía en función del ingreso, la educación, el grupo étnico, la proximidad a las clínicas y la fortaleza de los programas de planificación familiar”.1

“El tiempo requerido para el trabajo doméstico se calcula en función de tres variables: número de

miembros del hogar, presencia de menores de 10 años y un índice de la intensidad del trabajo doméstico…” 2

Ahora veamos situaciones relacionadas con nuestro ámbito escolar, situaciones que pueden expresarse en términos de dependencia:

1 _{El estado de la población mundial, http:/www,unfpa.org/swp/index_ spa.htm}

2 _{La pobreza en México (2000-2004), http:/www.jornada.unam.mx/2005/11/25/034oleco.php} Expresiones de “dependencia” entran al campo de las funciones y las relaciones.

“La calidad en el aprendizaje depende del tiempo y la calidad del estudio realizado”.

“La distancia recorrida por un vehículo depende de su velocidad”.

Etapa

1

Relaciones y funciones

Actividad

Las funciones y relaciones son de mucho valor y utilidad para comprender y resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de anatomía, de geología y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.

En esta etapa presentaremos una panorámica general del tema Relaciones y funciones polinomiales, el cual iremos desarrollando a detalle a lo largo del curso.

Las relaciones y funciones pueden ser expresadas además en términos de una ecuación que nos dice cómo dos variables están relacionadas: por medio de tablas de valores, conjuntos de pares ordenados, y diagramas de Venn.

I. Formas de representar una relación

1.1

Introducción

El concepto de relación (o de función) involucra la existencia de variables dependientes e independien-tes. Así, dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y; se dice que Y es una relación o función de X.

En una ecuación se llama variable independiente a la que se asignan libremente valores, mien-tras que la variable cuyos valores dependen de aquella, se llama variable dependiente.

Definición

Reconocer las diferentes formas de representación de las relaciones y funciones.

Objetivo

Veamos la siguiente afirmación: “Todo número tiene su doble”.

Identifica la(s) variable(s) independiente(s) y la variable dependiente en cada una de las siguientes ecuaciones.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N .. . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N .. .

A cada número del primer conjunto se le asigna un número del segundo conjunto. La relación descrita la podríamos representar como parejas de números:

{

}

Donde el primer número de cada par está donde se inicia la correspondencia y el segundo número de cada par donde termina la correspondencia.

Puede expresarse el mismo ejemplo mediante una tabla de valores, denominando a los elementos del primer conjunto como x y a los elementos del segundo conjunto como y.

x 1 2 3 4 5

y 1 4 6 8 10

La relación que estamos mostrando sigue una cierta “regla”, que es precisamente que cada elemento se corresponde con su doble, lo cual puede expresarse de la siguiente manera:

r: N ¶ N

x ¶ 2x

Si nos centramos en el conjunto de los números naturales, podríamos representar la afirmación dada como una correspondencia entre números, tal como sigue:

Esto es, la relación r, va del conjunto de los números naturales al conjunto de los naturales, y a cada elemento x del conjunto de salida, le asigna 2x, que es su doble, en el conjunto de la llegada. Tal como lo señalamos en la tabla de valores, a los elementos del segundo conjunto, podemos llamarlos y; entonces la regla se escribe como la ecuación y = 2x.

r: N ¶ N

Nótese que la gráfica es el conjunto de puntos y no la línea que los une, porque la relación hace referen-cia al conjunto de los números naturales solamente.

Si la relación está definida en los números reales, entonces la gráfica estará compuesta no sólo por unos puntos, sino por la unión de estos por medio de una línea.

La forma más usual y práctica de representar y trabajar con relaciones y funciones es cuando éstas están dadas en forma de ecuación y se representan en el plano cartesiano.

II. Gráficas

Representar en el plano cartesiano la ecuación de una función o relación.

Objetivo

Dada la ecuación de una función o relación la gráfica podrá ser trazada más fácil, si primero transfor-mas la ecuación de tal forma que la variable y quede de un solo lado de la ecuación. La gráfica de una ecuación puede ser trazada al hallar suficientes puntos para obtener cierto patrón. Una vez trazada la gráfica tú podrás decidir si la relación es o no una función, basado en las explicaciones que daremos en este capítulo. 10 y x 5 0 0 1 2 3 4 5

x + 2y = 8 Escribe la ecuación.

2y = – x + 8 Resta x en ambos lados de la ecuación.

1

y = – — x + 4 Divide todo por 2. 2

Todo lo que necesitas para obtener pares ordenados es dar todos los valores que quieras a x. Hay algunos que resultan más prácticos que otros, por ejemplo, en esta ecuación donde los valores de x deben ser divi-didos entre 2, es recomendable asignarle a esta variable valores que sean números múltiplos de 2.

Si haces tu tabla de valores y marcas los puntos en un sistema de coordenadas encontrarás una gráfica como la que se muestra en la figura 1.

x y 2 3 4 2 6 1 8 0 y x

Podemos observar que en la ecuación x + 2y = 8, para cada valor que le damos a x obtendremos un único valor de y; y ésta es la variable dependiente porque el valor que obtienes depende de los valores que hayas escogido de la variable x, la cual es la variable independiente. La variable dependiente se marca en el eje vertical.

La gráfica de la figura 1 es una línea recta; muchas funciones y relaciones tienen gráficas que no son rectas, como lo podemos ver en el siguiente ejemplo:

Figura 1

y x 6 4 2 0 0 5 –2 –4 –6 Figura 2

Veamos ahora algunas definiciones de conceptos básicos:

1

Grafica y = — x 2

2

Procedimiento

Haz una tabla de valores y luego marca los puntos como se muestra en la figura 2.

Solución x y – 3 4.5 – 2 2 – 1 0.5 0 0 1 0.5 2 2 3 4.5 4 — 3 8 — 9 2 1 1 y = — x 2 _{Escribe la ecuación.} 2 1 y = — (–3)2 _{Sustituye x por –3.} 2 y = 4.5 1 y = — (–2)2 _{Sustituye x por –2.} 2 4

y = 2 Hazlo así para los siguientes valores de x = –1, 0, 2, 3, —, 2

3

Observa que en los ejemplos 1 y 2 puedes darle a x cualquier valor real. Algunas veces no todos los 2

lores de x son permitidos. Por ejemplo, en la ecuación y = –––––, x no puede tomar el valor 2, porque se 2 – x

tendría una división por cero, la cual no está definida; entonces se calculará el valor de y para valores de x diferentes de 2. En este caso, el dominio es el conjunto de valores distintos de 2. Al conjunto de todos los valores que pueden obtenerse para y por sustitución de todos los valores permisibles de x se llama rango.

El dominio* de una función o relación es el conjunto de valores permitidos en la variable indepen-diente.

El rango de una función es el conjunto de valores de la variable dependiente correspondiente a todos los valores de la variable independiente en el dominio.

Definición Definición

En el siguiente dibujo mostramos lo que serían el dominio y el rango gráficamente.

* La palabra dominio proviene del latín Domus que significa “casa”. Así que el dominio de una relación o función es donde la variable independiente “vive”.

y

x

Rango

Dominio

Relación es cualquier conjunto de pares ordenados o cualquier correspondencia entre conjuntos. Función es una clase especial de relación para la cual hay exactamente un valor de la variable dependiente (y) y para cada valor de la variable independiente (x) en el dominio.

Tenemos entonces que los dos ejemplos mencionados antes son relaciones, pero también funciones. Ahora veamos ejemplos de relaciones que no son funciones.

Figura 3

Haz la tabulación y gráfica de la ecuación: y = ± x

Procedimiento

La x sólo puede tomar valores no negativos, ya que las raíces de números negativos no son núme-ros reales, por lo tanto, la tabulación incluiría valores como los siguientes:

Solución x y 0 0 0.5 ± 0.7 1 ± 1 2 ± 1.4 4 ± 2 9 ± 3 y x 2 2 0 0 –2 –2 4 6 8

La definición de función requiere que a cada elemento x del dominio le corresponda un único valor y del rango, lo cual no se cumple en este ejemplo, por lo tanto, tenemos una relación que no es función.

Figura 4

Actividad

Discute con tus compañeros y maestro el dominio y el rango de la relación del ejemplo anterior. Ejemplo

Actividad

Grafica la relación dada del siguiente conjunto de pares ordenados y señala si se trata de una función o no.

{

}

Solución

¿A cada elemento x le corresponde una única y?

Vemos que a cada elemento x (el 0) le corresponden tres valores diferentes de y, por lo tanto, esta rela-ción no es una funrela-ción.

y x 1 1 0 0 –1 –2 2 –1 –2 –3 3 Figura 5

1. Discute con tus compañeros y maestro cuál de los siguientes casos son funciones y cuáles no lo son: a) {(1, 2), (2, 1)} d) {(–3, 5), (3, –5), (2, 3), (–2, 6)}

b) {(a, b), (a, c), (c, d ), (e, f )} e) {(3, 2), (3, –2), (4, 1), (4, –1)} c) {(x, 1), (y, 1), (z, 1)} f) {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)}

_{Traza la gráfica de y = — para valores de x que están entre 1 y 5 incluyéndolos, y determina el}5

x

rango. Señala si se trata de una función. Ejemplo

Procedimiento

Haz tu tabla de valores sustituyendo algunos valores del dominio dado para que encuentres los valores correspondientes en el rango.

Solución

5

La gráfica y = — pasa por los puntos que se muestran en la tabla. x x y 1 5 2 2.50 5/2 2 3 1.66 4 1.25 5 1 5

La ecuación y = — es una función. x y x 5 0 –5 –5 0 5 Figura 6

1. En este ejemplo el domino se ha restringido a valores de x entre 1 y 5 incluyéndolos, pero de hecho la x puede tomar todos los valores reales, excepto el cero.

2. La utilización de los símbolos de desigualdad (<, ≤, >, ≥) es para indicar el intervalo de valores permisibles que puede tomar la variable, por ejemplo (–3 ≤ x < 4), “x” es igual o mayor a –3, pero menor a 4. Esto es: los valores están entre –3 y 4, incluido solamente el –3. Notas Dominio: D = {x / 1 ≤ x ≤ 5} Rango: R = {y / 1 ≤ y ≤ 5}

1. Para los siguientes problemas traza la gráfica de la relación, señala su rango e indica si se trata o no de una función.

a) y = – 0.5x; dominio = {números reales} b) y = x – 5; dominio = {enteros positivos} 5

c) y = — ; dominio = {x / – 5 ≤ x ≤ – 1} x

d) y = 0. 4x + 5; dominio = { x / –2 ≤ x ≤ 10} e) y = | x + 2 | ; dominio = {números reales} f) y = x 2 _{+ 5.4x + 1; dominio = {números positivos}}

2. De las figuras siguientes determina el dominio y el rango de la función representada.

Ejercicios y x 10 0 –10 –5 –10 0 5 10 15 5 0 2 –2 –4 0 2 4 –2 El punto o círculo negro (•) indica ≤ , ≥ ; esto es, que el punto sí pertenece a la gráfica. El hueco ( ) indica <, >; esto es, que el punto no pertenece a la gráfica. Nota a) b)

3. Haz un bosquejo de una gráfica que tenga cada una de las siguientes características. a) Dominio = {x / –1 ≤ x ≤ 4}, rango = { y / –1 ≤ y ≤ 10}

III. Funciones en el mundo real

Dada una situación del mundo real, en la cual el valor de una variable depende del valor de la otra, bosquejar una gráfica razonable mostrando esta relación.

Objetivo

5 En la sección anterior trazaste gráficas de funciones que tenían ecuaciones tales como y = —.

x

En situaciones del mundo real hay, casi siempre, dos cantidades variables que están relacionadas de tal forma que el valor de una variable depende del valor de la otra. Por ejemplo:

1. La posición de una aguja del velocímetro depende de lo rápido que se desplace el automóvil. 2. La distancia que hayas recorrido depende de qué tiempo has estado viajando (y qué tan rápido

vayas también).

3. El peso de una persona depende, entre otras variables, de su estatura.

En casos como el ejemplo 2 puedes decir que la distancia recorrida es una función del tiempo. Si tienes nociones de la relación entre distancia y tiempo, puedes ser capaz de escribir una ecuación que vincule las dos variables. Aun si no supieras lo suficiente como para desarrollar una ecuación, puedes dibujar una gráfica razonable que representa dicha relación. En esta sección bosquejarás esta clase de gráficas.

El tiempo que te toma llegar a casa desde el parque de fútbol y la velocidad a la que te desplazas están relacionadas mutuamente (El desplazamiento puede ser en diversos medios de transporte: caminando, en bicicleta, autobús o automóvil). Bosqueja una gráfica razonable mostrando esta relación.

Procedimiento

Como todavía no sabemos cuál variable depende de la otra, tu primer trabajo será determinar esta situación. Debes preguntarte cuál de las siguientes sugerencias es más razonable:

“El tiempo que me toma llegar a casa depende de qué tan rápido me desplace”.

“Qué tan rápido viaje, depende de cuánto me toma llegar a casa”.

La mayoría de la gente piensa que el primer planteamiento es más razonable y escogen el tiempo como la variable dependiente. Así, la velocidad es la variable independiente. Traza la variable de-pendiente en el eje vertical y marca las coordenadas en la figura 7.

La gráfica puede mostrarnos cómo escoger una velocidad moderada para un tiempo moderado como en la figura 7. Entonces piensa en lo que ocurre; si varías la velocidad el tiempo es variable; a mayor velocidad, menor tiempo y a menor velocidad mayor tiempo.

Solución T V Velocidad (v, t) T iempo Figura 7

Cuando tengas los suficientes puntos que digan lo que la gráfica quiere mostrar, únelos con una línea curva. La figura 8 muestra la gráfica completa. Te toma siempre cierta cantidad de tiem-po no imtiem-porta qué tan rápido te desplaces, tiem-por lo tanto, la gráfica nunca toca el eje horizontal. Similarmente, nunca llegarías a casa si la velocidad fuera cero, la gráfica no toca el eje vertical. Una línea recta que se acerca a la gráfica, pero nunca la toca como lo hacen los ejes horizontal y vertical en la figura 8 se llama asíntota. La palabra viene del griego y significa “no están juntos”.

T V Velocidad T iempo Figura 8

Una asíntota es una recta fija a la cual la gráfica de una función tiende a unirse; en otras pa-labras, la distancia entre un punto de la gráfica y la recta llamada asíntota tiende a cero. Para los casos que vamos a estudiar en este curso basta con pensar que la gráfica nunca va a tocar a la asíntota.

En el ejemplo 1 la velocidad debe ser siempre positiva. La velocidad negativa no tiene significado. Así, el dominio de esta función es: dominio = {v / v > 0}. Solamente los valores positivos del tiempo tienen sentido en este ejemplo. No puedes llegar a casa antes de que inicies o en el instante que empiezas. Así el rango de la función es: rango = {t / t > 0}.

Si tomas una chuleta del refrigerador y la metes al horno caliente, el cocimiento de la carne de-pende el tiempo que ésta haya estado en el horno. Diseña una gráfica razonable.

Procedimiento

La figura 9 muestra una gráfica razonable. Cuando el tiempo es menor que cero, la carne aún está en el refrigerador. Para el tiempo mayor que cero, la carne se calienta, rápidamente al principio, después más lentamente y finalmente aprovecha la temperatura del horno muy gradualmente. Es discutible si la carne realmente alcanza la temperatura del horno, ya que éste está cerrado y na-die puede notar la diferencia. Así, la línea punteada de la temperatura del horno es una asíntota.

Solución

El dominio en este caso incluye ambos valores, positivos y negativos, del tiempo.

El rango es el conjunto de temperaturas entre la temperatura del refrigerador y la temperatura del horno.

En los ejercicios que siguen desarrollarás práctica en el diseño razonable de gráficas de situaciones co-tidianas de acuerdo con el objetivo de esta sección. Muchas de estas situaciones reales aparecerán en capítulos posteriores cuando estudies relaciones que tienen gráficas como éstas.

Tiempo Temperatura Temperatura del horno Temperatura del refrigerador Dentro del

refrigerador Dentro delhorno

Figura 9

IV. Gráfica de funciones y relaciones.

Criterio de la recta vertical

1. Para cada uno de los problemas diseña una gráfica razonable.

a) El número de latas de aluminio que has recolectado está relacionado con la cantidad de di-nero que obtendrás al vender las latas.

b) La altitud que alcance una pelota de fútbol, depende, entre otras cosas, del número de se-gundos que trascurran desde que ésta fue pateada.

c) Cuando llenas el tanque de gasolina de tu carro y empiezas a manejar, la cantidad de gaso-lina que quede en el tanque depende de la distancia que has recorrido.

d) Cuando abres la llave de la bañera, la cantidad de agua acumulada y el número de segundos que transcurren desde que abres la llave están relacionados una con otro.

e) Una mujer desea perder algo de peso; para lograrlo ella reduce su dieta de 5 000 calorías por día a 1 000. Su peso depende del número de días que transcurran desde que redujo la cantidad de calorías de sus alimentos.

f) Tu automóvil se descompuso en la carretera y tienes que empujarlo. La velocidad a la cual se desplace el auto depende qué tanto lo empujes.

g) La calificación que podrías obtener en un examen determinado depende de cuánto hayas estudiado.

h) Cuando abres la llave del agua caliente y ésta corre, su temperatura depende del número de segundos transcurridos desde que la abriste.

Dada una relación, graficar y decir si la relación es o no una función.

Objetivo

Ya has aprendido a graficar la ecuación de una función y has observado que todas tiene un rango en común, para cada valor que le das a x obtienes un único valor de y.

A continuación se muestran algunas gráficas. Rápidamente sabrás si ellas son funciones, si trazas una línea vertical imaginaria a lo largo de toda la figura, si la línea vertical (se muestra con una línea punteada) corta la gráfica sólo una vez, eso quiere decir que para cada valor de x existe un único valor de y. En tal caso el gráfico corresponde a una función. En caso contrario corresponde a una relación.

Revisemos el ejemplo de la página 16. Teníamos la ecuación y = ± x , con su gráfica; si pasas una línea vertical imaginaria por cualquier parte de la figura observarás que siempre la corta en dos puntos, excep-to en x = 0. Esexcep-to te indica que para cada valor de “x” estás obteniendo 2 valores deferentes de “y”, lo cual confirma que se trata de una relación. Como ya lo hemos dicho, si para cada valor de “y”, se obtiene un único valor de “x” tenemos una función.

x y 0 0 1 1 ó – 1 4 2 ó – 2 9 3 ó – 3 16 4 ó – 4 y x 2 2 0 0 –2 –2 4 6 8 Figura 11

El dominio en este ejemplo es: {x /x ≥ 0} y el rango es:{y / y ∈ }

Figura 10

Grafica | y | = x Di si la relación es o no una función.

Procedimiento

Los valores convenientes de x deben ser mayores o iguales que cero, porque si le das un valor negativo a x, la ecuación no tiene solución. Si | y | = – 2 la ecuación no tiene solución. La gráfica de | y | = x se muestra en la figura 12. Solución x y 0 0 1 1 ó – 1 2 2 ó – 2 3 3 ó – 3 4 4 ó – 4 Figura 12 y x

Aquí la gráfica no corresponde a una función, puesto que para cada valor de x mayor que cero se obtienen 2 valores diferentes de y.

El dominio de la relación es: {x / x ≥ 0}. El rango de la relación es: {y / y ∈ } Ejemplo

1. En cada uno de los siguientes casos indica si la relación es o no función. Toma, como dominio, al conjunto de todos los valores de x para los cuales hay varios valores correspondientes de y que son números reales.

a) 9y = x 2 _{c) | x | = x + 2 e) 5x - 2y = 10}

b) 2y = x + | x | d) y 2 _{= 4x}

2. Indica si cada una de las siguientes gráficas representa o no una función.

a) e) i) b) f) j) c) g) k) d) h) l) y x y x y x y x y x y x y x y x y x y 5 x –5 0 –5 –5 –5 0 –5 y 5 x –5 –5 –5 –5 –5 0 0 –5 0 0 y 5 x –5 –5 –5 –5 –5 0 0 –5 0 0 Ejercicios

Los científicos acostumbran describir algunas situaciones prácticas con ecuaciones que incluyen dos o más variables; luego con las ecuaciones obtienen gráficas que les permiten una mejor comprensión de estas situaciones y pueden prever el comporta-miento de una variable si sabe como se comportará la otra.

Pongamos como ejemplo el caso de un objeto que se mueve con una velocidad cons-tante de 12 metros por segundo: si llamamos x al tiempo transcurrido y representamos por y la distancia que separa al objeto del punto de partida en un instante x, el científico concluye que el movimiento queda descrito por la ecuación y = 12x. Con esta ecuación se puede establecer exactamente la posición del objeto para cualquier valor permisible de x, y recíprocamente se puede determinar qué tiempo debe de transcurrir para que el objeto móvil se haya desplazado una cierta distancia, así, cuando x = 5 segundos, y = 60 metros: o bien cuando el objeto se encuentra a 90 metros de su punto de partida. Es decir, cuando y = 90 metros, el tiempo transcurrido es: x = 7.5 segundos.

Los pares ordenados (x, y ) que hacen cierta la ecuación, reciben el nombre de solucio-nes de la misma, entonces (5, 60) y (7.5, 90) son dos soluciones de la igualdad y = 12x. El par ordenado (2, 20) no es solución en esta ecuación, porque si x = 2 entonces y = 24 y 24 ≠ 20. Como x puede sustituirse por un número infinito de valores y como a cada x le corresponde una y, la ecuación anterior tiene infinitas soluciones; esto nos impide enlistarlas y para representarlas es necesario obtener su gráfica o parte de ésta.

En la sección anterior aprendiste que una función relaciona dos variables. En esta sección estudiarás una clase especial de función, que probablemente sea las más simple y una de las más útiles: la función lineal.

Pero como también nos toca estudiar relaciones y no sólo funciones, aprovecharemos el momento para estudiar las inecuaciones lineales, a partir de nuestro conocimiento muy básico de las relaciones de desigualdad, que ya las hemos utilizado para las nota-ciones de dominio y rango.

1.2 Funciones y relaciones lineales

I. Función lineal

Reconocer la forma de la ecuación y la gráfica de la función lineal.

Objetivo

A las funciones se les nombra de acuerdo a su ecuación. Por ejemplo, si la ecuación es: y = 3x + 5 se le asigna el nombre de función lineal porque y es igual a un polinomio lineal (o de primer grado) en la variable x.

Actividad

Si una ecuación particular tiene m = 0, como en y = 7, entonces y será igual a un polinomio de grado cero y la ecuación será llamada función constante y no función lineal.

Como la gráfica de una función lineal es una línea recta y una línea recta queda determinada cuando conocemos dos de sus puntos, las gráficas de estas funciones las obtendremos graficando en el plano dos de sus soluciones y trazando después la recta que los contiene.

Una función lineal es una función cuya ecuación general es: y = mx + b, en donde m y b son constantes y m ≠ 0.

La ecuación y = mx + b se conoce como ecuación general, pero si damos valores concretos a m y b como

en y = 3x + 5, entonces la ecuación es llamada ecuación particular.

1. Selecciona valores de x y encuentra los valores correspondientes de y; grafica los puntos y traza las gráficas de las siguientes funciones:

a) y = x + 3 b) y = 2x + 3 c) y = 0.5x + 3 d) x = 0x + 3 e) y = –2x + 3 f) y = –3x + 3 2. A partir de las gráficas anteriores que trazaste, contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Por qué las funciones de primer grado son llamadas funciones lineales?

b) ¿Qué efecto sobre la gráfica produce el cambio de coeficiente de la x si la b permanece fija? 3. Ahora realiza las gráficas de las siguientes funciones:

a) y = 2x b) y = 2x + 1 c) y = 2x + 2 d) y = 2x –1 e) y = 2x –2 f) y = 2x –3

4. ¿Qué efecto sobre la gráfica produce el cambio del término constante si la m permanece fija? 5. ¿En qué se diferencian las gráficas de las funciones de los incisos e y f del problema 1 del resto

de las funciones del presente ejercicio?

6. Elabora tus conclusiones con base en las respuestas que diste para las preguntas 2, 4 y 5. Compártelas con tu grupo y discute los resultados.

La gráfica de cualquier función lineal cortará al eje x. ¿Y al eje de la y?

Definición

II. Propiedades de la gráfica de una función lineal

Identificar elementos básicos de la función lineal: pendiente e intersecciones con ejes, y utilizarlos para una graficación rápida. Reconocer la ecuación de rectas horizontales y verticales e identificar cuál es función y cuál no lo es.

Objetivo

¿Cómo se puede medir lo “inclinado” de una recta? Veamos cómo se realiza esto en la recta cuya ecua-ción es: y = 2x – 3.

Seleccionamos dos valores de x y encontramos los correspondientes valores de y: si x = 1, entonces y = –1

si x = 4, entonces y = –4

graficamos los puntos y trazamos la gráfica.

x desp. = 3 (4, 5) elev. = 6 (1, –1) y Figura 13

La recta pasa por los puntos (1, 1) y (4, 5). Entre estos puntos se “eleva” una distancia vertical de 6 uni-dades y se “desplaza” una distancia horizontal de 3. Se define la pendiente de una recta como sigue:

cambio en la distancia vertical 6 Pendiente de una recta = ––––––––––––––––––––––––––––––––––– = — = 2

cambio en la distancia horizontal 3 Una propiedad de las gráficas de las funciones lineales es que la razón

elevación –––––––––––––––––

desplazamiento

es constante, no importa qué pareja de puntos escojas. Esta razón es el coeficiente del término en x en la ecuación y = mx + b.

Cuando encontramos el cambio en una distancia, por lo general restamos a las coordenadas del primer punto las correspondientes del segundo. Así, si (x₁, y₁) y (x₂ y₂) son dos puntos de una recta, entonces la elevación y el desplazamiento podemos escribirlos como:

Elevación = y₂ - y1, y la denotamos como ∆y (se lee “delta y ”)

Desplazamiento x₂ - x1 , y lo denotamos como ∆x (se lee “delta x ”)

elevación

La pendiente m de una función lineal es la razón ––––––––––––––––, donde el desplazamiento desplazamiento

es la distancia horizontal entre dos puntos de la gráfica y la elevación es la distancia vertical entre ellos (nótese que elevación y desplazamiento pueden ser positivos o negativos).

x Δy = y₂ – y₁ Δx = x₂ – x₁ (x₁, y₁) (x₂, y₂) y Figura 14 Fórmula de la pendiente

Si (x₁, y₁) y (x₂, y₂) son dos puntos de la gráfica de una función lineal, entonces: y₂ – y₁ ∆y

Pendiente = m = ––––––– = ––– con x₂ ≠ x₁ x₂ – x₁ ∆x

y₁ – y₂ también puede escribirse: m = –––––––

x₁ – x₂

Tal y como debes haber respondido en la actividad al inicio de esta sección, la gráfica de la función lineal no constante es una recta que debe cortar el eje y en algún punto. Regresemos a la gráfica de la ecua-ción y = 2x –3. Como lo observaste en los problemas del ejercicio 1 de la página 30, la recta corta el eje y en el punto donde y = –3. A este número se le llama “intersección y ” de la recta, y es el valor del término constante (b) en la ecuación y = mx + b.

De nuevo, tomando la respuesta de la actividad mencionada, cualquier recta (excepto el caso de que sean paralelas al eje x) tendrá que cortar al eje x en algún punto. En este caso la recta corta al eje x en el punto donde x = 1.5. Al número 1.5 se le llama “intersección x ” de la recta.

Se puede encontrar la gráfica de la ecuación de otra forma: determinando las interseccio-nes con los ejes.

Nota

Para encontrar la intersección x, observa que el punto donde la recta corta al eje x es cuando y = 0 en la ecuación y = 2x – 3, obtienes x = 1.5. Así, la intersección x es 1.5 y la gráfica pasa por el punto (1.5, 0) De manera semejante, para encontrar la intersección y, observa que en el punto donde la recta corta al eje y es cuando x = 0. Haciendo x = 0 en la ecuación, obtienes y = – 3. La intersección y es –3 y la gráfica pasa por el punto (0, –3). Ver figura 15.

x (0, –3) (1.5, 0) y = 2x – 3 y Figura 15

Intersecciones con los ejes

La intersección y de una función es el valor de y cuando x = 0. La intersección x de una función es el valor de x cuando y = 0.

Observa la gráfica de la figura 16. b = 3 m = 1 y = x + 3 x y x y x y x y b = 5 m = 2.5 y = 2.5x + 5 b = 5 m = –2 y = –2x + 5 b = 3 m = 0 y = 0x + 3 Figura 16

Actividad

A manera de resumen tenemos:

Contesta lo siguiente:

1. Las gráficas de las funciones lineales son siempre__________ 2. ¿A qué llamamos pendiente de una recta? _________________ 3. ¿La pendiente de una recta está dada por qué parte de la ecuación? 4. El valor de la m determina la inclinación de la recta así:

a) Si m es positiva__________________ b) Si m es negativa __________________ c) Si m = 0 _______________________

5. ¿Cuándo una función recibe el nombre de función constante? ______________

6. El valor del término constante (b) señala el punto donde la gráfica cruza el ___________

Forma pendiente-intersección

Si y = mx + b, entonces m es la pendiente de la recta y b es la ordenada de la intersección con el eje

y (es decir, la intersección y u ordenada al origen).

2

Traza la gráfica de la ecuación: y = — x + 4

3

Ejemplo

Procedimiento

Tenemos que:

2

1. La pendiente es — y la intersección y es igual a 4 (porque y = 4 cuando x = 0).

3

2. Por lo tanto, coloca tu lápiz sobre el eje y, ahora 4 unidades arriba del origen en el punto (0, 4). Avanza 3 unidades hacia la derecha y luego sube 2 unidades para señalar otro punto de la gráfica. Repite el proceso si es necesario para obtener más puntos.

x y 3 2 x y

Figura 17a Figura 17b

Encuentra la intersección y. A partir de ahí encuentra el segundo punto.

Solución

Dibuja la recta uniendo los dos puntos.

x y

Figura 17c

Actividad

Traza la gráfica de la ecuación: 5x + 7y = 14

Procedimiento

Puedes cambiar esta ecuación a la forma y = mx + b. Así: 5x + 7y = 14 7y = –5x + 14 5 y = - — x + 2 7 5 Entonces m = - — y b = 2. 7

Como en este caso la pendiente es un número negativo, uno de los dos, la elevación o el despla-zamiento debe ser negativo (y el otro debe ser positivo). Partiendo del punto (0, 2) de la gráfica, puedes avanzar 7 unidades hacia la derecha y luego bajar 5, o bien desplazarte 7 unidades hacia la izquierda y luego subir 5 para encontrar el otro punto de la recta. La siguiente figura muestra la gráfica de la ecuación anterior.

Solución x y y = –-– x + 2_–75 +7 –5 –7 +5 Figura 18

¿Cuál será la gráfica de la función y = una constante? Por ejemplo:

a) y = 5 b) y = –2 c) y = 0

¿Cuál es la pendiente de una recta horizontal? ¿Cuál es la pendiente de una recta vertical?

Traza la gráfica de la ecuación: x = 6.

Procedimiento

De esta ecuación no se puede despejar y. Pero el trazo de la gráfica es fácil. Como x es siempre 6 sin importar cuál sea y, la gráfica es una recta vertical. Esta relación no es una función, pues existe más de un valor de y cuando x es 6. Como puedes ver, a partir de la fórmula de pendiente, la pendiente de una recta vertical no existe.

Solución x y x = 6 0 2 0 5 4 6 8 Figura 19

Seguramente no tuviste dificultad en resolver la actividad previa, pasamos ahora a resumir:

Rectas horizontales y verticales

Si y es constante, la gráfica es una recta horizontal cuya pendiente tiene un valor 0. Si x es constante, la gráfica es una recta vertical, por lo cual no tiene pendiente.

1. Traza correctamente la gráfica de las siguientes ecuaciones en papel cuadriculado. Utiliza el concepto de pendiente e intersección y, donde sea posible.

5 1 a) y = — x –1 b) y = — x + 3 c) y = 5x – 6 d) y = x + 9 2 4 e) 3x + 3y = 12 f) 4x – 5y = 25 g) y = 2x h) y = 5 i) x = 3 j) x = 0 Ejemplo Ejercicios

Actividad

III. Formas de la función lineal o ecuación de la recta

1. Las relaciones y = -5, x = 3, x = 0, no son llamadas funciones lineales, aunque sus gráficas sean línea rectas. Sin embargo, la razón es diferente en cada caso. Explica por qué a cada una de estas relaciones no se les llama función lineal.

2. Muestra que la relación y - 8 = 3(x -1) es una función lineal convirtiéndola a la forma y = mx + b. Traza la gráfica.

Veamos la relación que tiene como ecuación: y - 4 = 2(x - 5).

Si sustituyes (x, y ) por (5, 4) ambos miembros de la ecuación serán iguales a cero. Así (5, 4) es un punto de la gráfica porque satisface la ecuación. Distribuyendo el 2 nos queda:

y - 4 = 2x - 10 Luego, sumando 4 a ambos miembros, la ecuación queda:

y = 2x - 6

por lo tanto, la relación anterior es una función lineal cuya pendiente es 2. Esto mismo es lo que segura-mente hiciste en el inciso b de la actividad previa.

Una ecuación lineal como y - 4 = 2(x - 5) se dice que está en forma punto– pendiente, porque en la ecuación aparecen las coordenadas de un punto y la pendiente de la recta.

La forma familiar y = mx + b de la ecuación de una función lineal es llamada forma pendiente –intersec-ción.

Otra forma de la ecuación de una función lineal es Ax + By = C, siendo A, B y C constantes reales y en donde ambas variables están en un solo lado de la ecuación y el término constante en el otro; en este texto a esta ecuación se le llamará forma ordinaria.

Escribir La ecuación de una función lineal en cualquiera de sus formas:

Forma pendiente-intersección.

Forma punto-pendiente.

Forma ordinaria.

Forma intersección o simétrica.

Actividad

La ecuación de una función lineal también puede ser escrita como: x y

— + — = 1 a b

La cual se denomina forma intersección, porque a y b representan las intersecciones de la recta con los ejes horizontal (x) y vertical (y), respectivamente.

Formas de la ecuación general de una función lineal

y = mx + b Forma pendiente-intersección: m es la pendiente de la recta y b es la intersección y de la recta.

y – y₁ = m(x – x₁) Forma punto-pendiente: m es la pendiente de la recta y (x₁, y₁) es un punto de la recta.

Ax + By = C Forma ordinaria. A, B y C son números reales. x y

— + — = 1 Forma intersección o simétrica: a es la intersección x de la recta y b es a _{b la intersección y de la recta.}

A partir de la recta cuya ecuación en la forma punto– pendiente es: 3

y – 8 = – — (x + 4)

2

a) Traza la gráfica.

b) Transforma la ecuación a la forma pendiente– intersección. c) Transforma la ecuación a lo forma ordinaria.

d) Transforma la ecuación a la forma intersección.

1. Para las siguientes ecuaciones, realiza lo que se te pide:

• Determina la pendiente y las coordenadas del punto que aparece en la ecuación. • Traza la gráfica de la recta.

• Transforma la ecuación a la forma pendiente– intersección. • Transforma la ecuación a lo forma ordinaria.

• Transforma la ecuación a la forma intersección. Ejercicios

IV. Ecuaciones de funciones lineales a partir de su gráfica

2 1

a) y - 2 = — (x - 6) b) y + 7 = - — (x - 2) c) y - 5 = -2x

3 2

2. Para las siguientes ecuaciones, realiza lo que se te pide: • Determina la pendiente y la intersección con el eje y. • Traza la gráfica de la recta.

• Transforma la ecuación a la forma punto-pendiente. • Transforma la ecuación a lo forma ordinaria.

• Transforma la ecuación a la forma intersección.

1

a) y = -2(x + 7) b) y = — (x – 8) c) y = -3x + 7

4

3. Escribe la ecuación en la forma punto-pendiente para las funciones lineales descritas. a) Pasa por el punto (1, 7), y tiene pendiente –3.

b) Pasa por el punto (6, 6), y tiene pendiente 5.

9

c) Pasa por el punto (- 1, 0), y tiene pendiente —.

2

-2

d) Pasa por el punto (2, - 8), y tiene pendiente –––.

7

2

e) Pasa por el punto

(

)

5

Graficar funciones lineales a partir de ciertos datos y construir la ecuación de la función.

Objetivo

Suponiendo que alguien dijera “si la ecuación de una función lineal es y = 4x –7, ¿Qué valores tienen la pendiente y la intersección y de dicha recta?” Tú dirías; ¡eso es fácil! Los valores son 4 y –7, respectiva-mente”. También es fácil para ti contestar a la pregunta inversa: si la pendiente y la intersección y de una recta son –3 y 10. ¿Cuál sería la ecuación? La respuesta es: y = – 3x + 10.

En esta sección utilizarás la información dada acerca de la gráfica de una función lineal para que deter-mines su ecuación particular.

Encuentra la ecuación particular de una función lineal cuya gráfica pasa por el punto (5, –7) y

–2

cuya pendiente es –––.

3

Procedimiento

Como los datos son un punto y la pendiente, la forma más sencilla para encontrar el resultado será utilizar la forma punto-pendiente:

2 y – y₁ = m(x – x₁), donde x₁ = 5, y₁ = – 7 y m = – — 3 Por lo tanto la ecuación es:

Solución

2 y + 7 = - — (x –5) 3

No es necesario transformar esta ecuación a cualquier otra forma, a menos que te lo pidan.

Encuentra la ecuación particular de una función lineal cuya gráfica pasa por los puntos (–4, 5) y (6, 10).

Procedimiento

Este tipo de problema se puede reducir al tipo de problema anterior si primero determinas el valor de la pendiente, utilizando la fórmula:

y_{m = ––––––– = ––––––––– = ––– = —2} - y1 10 - 5 5 1

x₂ - x1 6 - (-4) 10 2

Y después escoger cualquiera de los dos puntos dados para utilizar la forma punto– pendiente.

Solución

1 1

y - 5 = — (x + 4) o y - 10 = — (x - 6) _{2 2} Ejemplo

Observa que estas dos ecuaciones son equivalentes, porque si transformaras cada una de ellas a la for-ma pendiente-intersección, ambas quedarían así:

1_{y = — x + 7}

2 Observemos la siguiente gráfica:

x y 3 3 2 2 R_{1 R} 2 2 La figura muestra dos rectas paralelas; la pendiente de ambas rectas es —. 3

3

En la figura de abajo, la pendiente de la recta R₁ es —; la pendiente de la recta R₂, perpendicular a R₁

4 4

es - —. 3

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.

Nota x y –4 3 4 90° 3 R1 R2 Figura 21 Figura 20

Si una de las dos rectas perpendiculares no tiene pendiente significa que la otra recta es horizontal. Estos principios se pueden usar para encontrar ecuaciones particulares.

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad

Dos rectas son perpendiculares si el valor de la pendiente de una de ellas es el “opuesto del recíproco” de la otra.

Nota

Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas: R₁ y R₂ son paralelas si sus pendientes son iguales, m₁ = m₂, o si ambas carecen de pendientes.

1 Dos rectas: R₁ y R₂, son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y opuestas, m₁ = – –––,

m₂ o bien si una es horizontal y la otra vertical.

Encuentra la ecuación particular de la función lineal cuya gráfica pasa por el punto (–1, 5) y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 3x + 4y = 28.

Procedimiento

3

Transformando esta ecuación a la forma pendiente-intersección obtienes que: y = ––– x + 7. -4

3 4

La pendiente de la recta dada es –––, por lo tanto, la pendiente de la recta que buscamos debe ser — -4 3 3

(

)

Encuentra la ecuación particular de la recta horizontal que pasa por el punto (7, 5).

Procedimiento

La manera más sencilla de resolver este problema es darse cuenta que la ecuación de una recta horizontal es de la forma y = constante. Así determinas directamente que la ecuación es:

Solución

y = 5

Este ejemplo también se puede resolver considerando que la pendiente de una recta horizontal es 0, y luego, utilizando la ecuación de la forma punto-pendiente obtienes que: y – 5 = 0 (x – 7), la cual puedes transformar a: y = 5. La gráfica se muestra en la siguiente figura.

x y –2 0 2 4 0 5 (7, 5) 6 8 Figura 22

Encuentra la ecuación particular de una recta vertical que pasa por el punto (7, 5).

Procedimiento

La única manera de resolver este problema es saber que la ecuación de una recta vertical es de la forma x = constante y determinar inmediatamente que la ecuación es x = 7.

Solución

Ya que la pendiente de una recta vertical no existe, entonces no puedes utilizar la forma punto-pendiente ni la forma punto-pendiente intersección. La gráfica se muestra en la siguiente figura.

Ejemplo

x y –2 0 2 4 0 5 (7, 5) 6 8 Figura 23

1. Para los problemas:

• Determina le ecuación de la recta descrita.

• Transforma la ecuación, si es necesario, a la forma pendiente-intersección.

• Transforma la ecuación a la forma ordinaria Ax + By = C. donde A, B y C son constantes reales.

a) Tiene pendiente 8 y la intersección y es -9.

b) Pasa por el punto (2, -6) y tiene una pendiente -1.

8

c) Pasa por el punto (-3, 8) y tiene una pendiente - —.

5

d) Pasa por los puntos (5, 0) y (8, – 11). e) Pasa por los puntos (12, -4) y (-5, -4).

f) Pasa por el punto (7, -2) y es paralela a la recta y = –2x + 13.

g) Pasa por el punto (3, – 5) y es perpendicular a la recta y = – 2x + 13. h) Pasa por el punto (2, – 6) y es paralela a la recta 9x –6x = 11.

–2

i) Tiene pendiente de ––– y la intersección x es -3.

3

j) Su intersección x es de 4 y su intersección y es 4. k) Es horizontal y pasa por el punto (1, -6).

l) Es vertical y pasa por el punto (1, -6). m) Pasa por los puntos (6, 2), (5, 3) y (1, 7).

Actividad

V. Funciones lineales como modelos matemáticos

Introducción a los modelos lineales

José Garza se traslada diariamente en su automóvil de su casa en Monterrey a su trabajo en Saltillo. Mientras va conduciendo, la distancia a la ciudad de Saltillo depende del número de minutos que hayan transcurrido. Cuando lleva manejando 20 minutos se encuentra a 45 km de su destino y cuando ha manejado 32 minutos le faltan 27 km.

Si y es el número de kilómetros que le faltan a José para llegar a Saltillo y x es el número de minutos que ha estado conduciendo. Haz lo siguiente:

a) Escribe la información de relación tiempo-distancia como dos pares ordenados. b) Ubica estos puntos en un sistema de coordenadas cartesianas.

c) Considera que la relación anterior, tiempo-distancia es una función lineal. Traza la gráfica del inciso b en

el sistema coordenado.

d) Determina una ecuación particular para esta función. Transfórmala, si es necesario, a la forma

pendiente-intersección.

e) Utiliza la ecuación anterior para calcular la distancia que le falta recorrer a José para llegar a Saltillo si ha

estado conduciendo 40 minutos.

f) Utiliza la ecuación anterior para predecir el tiempo total que le tomará a José llegar a su destino.

Dada una situación en la cual dos variables del mundo real estén relacionadas lineal-mente.

Bosquejar la gráfica.

Encontrar la ecuación particular.

Utilizar la ecuación para predecir valores de la otra variable.

Comprender el significado del valor de la pendiente y las intersecciones en el mun-do real.

Objetivo

En la sección anterior elaboraste gráficas que relacionaban dos variables del mundo real. Algunas de ellas eran líneas rectas. Ahora has aprendido cómo encontrar la ecuación de una función lineal si tienes cierta información acerca de su gráfica. Esta ecuación la puedes utilizar para calcular valores de una variable si conoces los valores de la otra. Por lo tanto, la ecuación de una función la puedes usar para predecir valores de una variable del mundo real. Cuando una función se utiliza de esta forma se le co-noce como modelo matemático.

Cuando conduces del estadio de fútbol de regreso a tu casa, el número de kilómetros que te faltan para llegar a tu destino depende del número de minutos que has estado conduciendo. Supón que te encuentras a 11 km de tu casa cuando ya has conducido por 10 minutos, y a 8 km de casa cuando has estado manejando por 15 minutos.

Si consideras que la distancia varía linealmente con el tiempo, resuelve: a) Define las variables por el tiempo y la distancia. Bosqueja la gráfica.

b) Encuentra la ecuación particular expresando la distancia en términos de tiempo.

c) Predice la distancia a tu casa cuando has estado conduciendo por 20, 25 y 30 minutos. d) ¿Cuánto tiempo tienes que conducir para encontrarte a 7 km de tu casa?

e) ¿Cuál es el valor de la intersección-distancia y qué significa en el mundo real? f) ¿Cuál es el valor de la intersección-tiempo y qué significa en el mundo real?

g) Para que obtengas respuestas razonables, cuál es el dominio de esta función lineal?

h) ¿Cuáles son las unidades de la pendiente? De acuerdo con estas unidades. ¿Qué supones que representa la pendiente de la recta en el mundo real? ¿Qué significado tiene el hecho de que la pendiente sea negativa?

Procedimiento

a) Sea t = número de minutos que has estado conduciendo. Sea d = número de kilómetros que te encuentras de tu casa.

Para resolver este problema de la forma más sencilla debes escribir la información dada como dos pares ordenados. Como d depende de t, entonces los datos serían (10, 11) y (15, 8).

Solución

Como se considera que las dos variables están relacionadas linealmente, la gráfica será una línea recta. Si realizas la gráfica observarás que no contiene puntos fuera del primer cuadrante porque tanto t como d son mayores o iguales que cero.

20 40 0 0 10 20 Ejemplo

Procedimiento

b) Como los datos del problema son las coordenadas de dos puntos de la recta, puedes utilizar la fórmula de la pendiente y determinarla.

8 - 11 3 m = ––––––– = - —

15 - 10 5

Sustituyendo el valor de la pendiente y las coordenadas de la primera pareja ordenada en la forma punto-pendiente obtienes:

3

d - 11 = - — (t - 10)₅

La pregunta dice que la variable d debe ser expresada en términos de t. Entonces necesitas trans-formar la ecuación anterior a la forma pendiente-intersección.

Solución

3

d = ––– t + 17 - 5

Procedimiento

c) Para predecir la distancia cuando es dado el tiempo, sólo requieres de sustituir los valores dados de t y calcular la d correspondiente.

Solución –3 Para t = 20 min d = ––– (20) + 17 = 12 + 17 = 5 km 5 –3 Para t = 25 min d = ––– (25) + 17 = 15 + 17 = 2 km 5 –3 Para t = 30 min d = ––– (30) + 17 = –18 + 17 = –1 km 5

Observa que sustituyendo t por 30 (minutos) se obtiene un valor negativo para la distancia. Como probablemente no conducirás más allá de tu destino, el dominio de la función debe limitarse antes de que t valga 30 minutos.

Procedimiento

e) Para predecir el tiempo cuando estás a 7 km de distancia de tu casa, sustituye d por 7 y re-suelve la ecuación resultante.

3 7 = ––– t + 17 sustituyendo d por 7 –5 3 3 — t = 10 sumando — y restando 7 5 5 50 5 t = ––– multiplicando por — 3 3 Solución Aproximadamente t = 16.66 s. Procedimiento

e) La intersección d es 17, y es el valor de d cuando t = 0. Cuando t = 0 estás justamente par-tiendo hacia tu casa.

Solución

Por lo tanto la distancia entre el estadio de fútbol y tu casa debe ser de 17 km.

Procedimiento

f ) La intersección t es el valor de t cuando d = 0. Haciendo d = 0 en la ecuación obtienes: –3 0 = ––– t + 17 5 3 — t = 17 5 85 t = ––– 3 Solución t ≈ 28.33 s.

Cuando d = 0 significa que has llegado a tu casa y el tiempo que te lleva es de 28.3 minutos.

Procedimiento

g) El dominio deberá ser {t / 0 ≤ t ≤ 28.33}, que son los valores de t permisibles durante el tra-yecto a tu casa.