Funciones algebraicas racionales e irracionales
V. Gráfica de funciones irracionales
1. Resuelve los siguientes problemas.
a) Tu peso expresado en libras es directamente proporcional a tu peso expresado en kilogra- mos. Maria se sube a una báscula y ésta marca 50 kilogramos, si ella sabe que pesa 110 libras.
• Escribe una ecuación particular que exprese las libras en términos de kilogramos. • Escribe cuántas libras pesaría una persona si lees:
i) 100 kilogramos. ii) 25 kilogramos. iii) 150 kilogramos.
• ¿Cuántos kilogramos pesaría María si pesara 165 libras? • ¿Cuántas libras pesas tú?
• Dibuja la gráfica de esta función.
• ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en el mundo real?
b) Cuando buceas, la presión en tus oídos varía directamente proporcional con la profundidad a la que bajas. A los 10 pies, la presión es cerca de 4.3 libras por pulgada cuadrada (psi). • Escribe una ecuación que exprese la presión en términos de la profundidad.
• Predice la presión a 50 pies.
• Es inseguro para un novato bucear si la presión es mayor que 65 psi, ¿qué profundidad es esa?
• Dibuja la gráfica de la presión contra la profundidad.
c) La cantidad de fuerza que debes hacer para apretar un tornillo con una llave de tuercas depende de la longitud de la llave. Supón que para determinado tornillo, una llave de 7 pul- gadas de longitud requiere una fuerza de 270 libras y una llave de 21 pulgadas requiere de una fuerza de 90 libras.
• ¿Cómo varía la fuerza con la longitud? • Escribe la ecuación particular.
• ¿Cuál es la unidad de la constante de proporcionalidad (torque)?
• Encuentra la fuerza necesaria para llaves de 3, 10, 15, 30 y 60 pulgadas de longitud. • ¿Cuál sería el tamaño de la llave para una persona que aplica una fuerza de 300 libras? • ¿Y para una persona que aplica 50 libras?
• Dibuja una gráfica de fuerza contra longitud de la llave con un dominio de 3 a 69 pulgadas. d) El número de casas que pueden ser servidas por una tubería de agua, varía directamente
proporcional con el cuadrado del diámetro de la tubería. Supón que una tubería de 10 cm de diámetro abastece 50 casas.
• Escribe una ecuación particular para esta función.
• ¿Cuántas casas pueden abastecerse de una tubería de 30 cm, 43 cm y un metro? • Una colonia de 1 500 casas, ¿qué diámetro de tubería necesita?
e) Cuando un bote va a alta velocidad, la mayoría del poder generado por el motor se va en la formación de la estela de agua. La cantidad de poder usada para generar la estela es direc- tamente proporcional a la séptima potencia de la velocidad del bote. Supón que un bote que va a 10 nudos usa 0.1 caballos de fuerza para la generación de la estela.
• Escribe la ecuación particular de esta función.
• ¿Cuánto poder se va en la estela cuando un bote va a 30 y a 40 nudos? • ¿Por qué es tan difícil para un bote ir muy rápido?
f) En Química, la Ley de Boyle establece que el volumen de una cantidad de gas es inversa- mente proporcional a la presión del gas.
• Escribe una ecuación particular que exprese el volumen en términos de presión, si una presión de 46 psi comprime el gas a un volumen de 360 pies cúbicos.
• Dibuja la gráfica de volumen contra presión en un dominio de 10 a 100 psi.
• ¿Qué presión sería necesaria para comprimir el gas a un volumen de 276 pies cúbicos? • De acuerdo con tu modelo, ¿podrías comprimir el gas a volumen cero?
• Prueba que el producto de la presión por el volumen es constante. (Esta es la manera en que la Ley de Boyle es establecida en algunos libros de Química).
g) Parkinson establece (como broma) que la cantidad de tiempo que una agencia gasta en discutir un artículo en su presupuesto, es inversamente proporcional a la cantidad de dinero involucrado. Supón que cierto comité de la Universidad gasta 15 minutos discutiendo un ar- tículo de $ 1 000 000. Acorde con la Ley de Parkinson cuánto tiempo gastarían discutiendo: • Un artículo de $ 30 000 000.
• Otro de $1 000.
h) La fuerza de una señal de radio recibida por un transmisor, varía inversamente con el cua- drado de la distancia del transmisor.
• Deriva la ecuación particular que exprese la fuerza en términos de la distancia, si la fuer- za es de 1 000 unidades a una distancia de 2 kilómetros.
• Predice la fuerza a 10 km del transmisor. • Predice la fuerza 100 m del transmisor.
i) El ingreso de dinero (R) que obtienes al llevar a reciclar latas de aluminio, varía directamente con el número de latas que obtengas. Si el precio es de 40 centavos la libra (23 latas): • Escribe una ecuación particular que exprese el número de centavos en términos de las
latas que llevas a reciclar. • ¿Cuánto recibes por 100 latas?
• Si quieres ganar $100, ¿Cuántas latas tendrías que recolectar?
j) En una tormenta, el intervalo de tiempo entre el rayo y el trueno es directamente proporcional a la distancia entre tú y el rayo.
• Define las variables que te gustaría usar para la distancia y el intervalo de tiempo.
• Escribe una ecuación particular si un rayo que cae a 50 km de distancia, se escucha su trueno 15 segundos después.
• Calcula el tiempo del trueno si un rayo cae a 1, 2, 5 y 10 km de donde estás. • Dibuja la gráfica de tiempo contra distancia.
• Si el intervalo de tiempo es de 29 s. ¿Qué tan lejos cayó el rayo? • ¿Qué pasaría si ves el rayo y oyes el trueno al mismo tiempo?
k) Cuando un barco se desplaza a alta velocidad sobre el agua, la mayor potencia generada por los motores se transforma en la formación de la estela (las ondas que se forman atrás del barco). Esta velocidad del barco es proporcional a la raíz séptima de la potencia generada por los motores, supón que el barco va a 30 nudos (30 millas náuticas por hora) y los motores generan una potencia de 45 000 caballos de fuerza.
• Escribe la ecuación particular, expresando la velocidad en términos de potencia.
• Los motores del barco son capaces de producir 90 000 caballos de fuerza. ¿Qué tan rá- pido se desplazaría el barco si el capitán da la orden : “a toda velocidad”?
• ¿Se duplicaría la potencia al duplicar la velocidad?
l) La aceleración con que se desplaza un objeto varía directamente proporcional con la magni- tud de la fuerza aplicada. Si la aceleración de un objeto es de 3 m/seg2 cuando se le aplica
una fuerza de 240 N, entonces encuentra:
• La aceleración del objeto si la fuerza aplicada es de 280 N.
m) De acuerdo con la información del libro de Ecología de J. M Emien. Titulado Una aproxima- ción evolucionaria, el número de acres en los cuales un animal restringe sus movimientos es directamente proporcional al peso de su cuerpo elevado a la 1.41.
• Encuentra la ecuación particular para esta función, si un venado de 80 kg se restringe en un rango de 2 000 acres.
• Predice el rango de hábitat de:
i) Un elefante africano de 6 000 kg. ii) Una musaraña de 0.002 kg.
• Supón que localizas un demonio de Tasmania extendido en un rango de 300 acres. ¿Qué peso crees que tiene el demonio de Tasmania?
n) El número de minutos que tarda en cocinarse el tocino en un horno de microondas, depende de cuántas rebanadas se colocan al mismo tiempo. Una marca popular de hornos especifica 1. 75 minutos por dos rebanadas, 2.5 min por 4 rebanadas.
• Se asume que el número de minutos varía directamente con alguna potencia del número de rebanadas (no necesariamente un valor entero). Usa los datos para derivar la ecua- ción particular, expresando el número de minutos en términos del número de rebanadas (el sistema de ecuaciones que obtienes al sustituir los valores puede ser resuelto para las dos constantes desconocidas). Debes ser capaz de figurártelo.
• Explica por qué el número de minutos no varía en forma directamente proporcional con el número de rebanadas.
• ¿Cuántos minutos necesitarías para cocinar 8 rebanadas, 6 rebanadas y una rebanada en cada caso?
• El tiempo en este horno puede programarse hasta 30 minutos. ¿Cuál sería el número máximo de rebanadas que se pueden cocinar a la vez?
• ¿Cuál es el dominio y rango de esta función?
ñ) La policía puede estimar algunas veces la velocidad con la que se desplazaba un automóvil antes de frenar, a partir de la longitud de las marcas de las llantas sobre el pavimento. Supón que en una superficie seca la longitud de las marcas al frenar fue de 9 m cuando la velocidad es de 50 km/h. Considerando que la velocidad es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud de las marcas.
• Escribe la ecuación particular.
Las funciones polinomiales con las que has trabajado hasta ahora se han construido elevando a exponentes constantes enteros y positivos. A éstas se le llaman “funciones algebraicas”. Si una función no es algebraica se dice que es “trascendente”. En esta etapa estudiarás dos tipos de funciones trascendentes, a saber, las funciones exponen- ciales y logarítmicas. Estas funciones aparecen cuando una constante es elevada a un exponente variable.
Las funciones exponenciales y logarítmicas tienen muchas aplicaciones. En esta etapa se incluyen problemas relacionados con el crecimiento de bacterias, la intensidad del sonido, el interés compuesto, la presión atmosférica, el crecimiento de la población, la ley de enfriamiento, la escala de Richter en los terremotos, etcétera.