Conjunto solución de una inecuación
Efecto 2 sobre la forma de la gráfica
V. Números imaginarios y complejos Potencias de
Cuando estudiamos las soluciones de una función cuadrática utilizando la fórmula general cuadrática, en ocasiones obtenemos soluciones “no reales”. La razón es que la solución indica la raíz cuadrada de un número negativo, como era el caso de -4. Hay que recordar que un número elevado al cuadrado es siempre un número positivo(o cero en el caso del 0). Para darle sentido a estas soluciones donde inter- vienen raíces cuadradas de números negativos, es necesario “crear” una denominación para esta nueva clase de números. Para esto definimos la unidad de los números imaginarios.
Familiarizarse con la forma de las soluciones no reales, así como con el valor de la unidad imaginaria y sus diferentes potencias. Conocer que las operaciones con números com- plejos se realizan siguiendo las reglas básicas de la multiplicación algebraica, para que pueda efectuarlas de presentarse el caso.
Objetivo Objetivo
i es la unidad de números imaginarios.
i es un número que elevado al cuadrado es igual a -1. i 2 = -1, por lo tanto, i = –1.
Definición
Ahora podemos definir -4 en términos de i.
-4 = (-1)(4) = -1 4 = i 4 = 2i Al número 2i se le llama número imaginario.
Un número imaginario es el producto de un número real y la unidad de los números imaginarios: -x = i x, si x ≥ 0
Conclusión
Encontremos ahora las soluciones de x 2 - 4x + 8 = 0
Procedimiento
4 ± - 16 Aplicando la fórmula cuadrática x = ––––––––––
2 4 ± i 16 4 ± 4i
x = ––––––––– = –––––– 2 2
Solución
x = 2 ± 2i, las soluciones son: x = 2 + 2i y x = 2 - 2i. Hemos obtenido números que llamaremos complejos.
Número complejo
Un número complejo es la suma de un número real y uno imaginario, y tiene la forma general a + bi, donde a y b son números reales e i es la unidad de los números imaginarios.
Número complejo conjugado
A los números complejos a + bi y a - bi, que difieren sólo en el signo de la parte imaginaria, se les llama complejos conjugados, uno respecto del otro.
Definición
El conjunto de los números complejos, es el sistema numérico general de álgebra, pues con este sistema podemos expresar todas las soluciones posibles que se pueden obtener de las diferentes operaciones algebraicas.
Los conjuntos de números reales y de números imaginarios son subconjuntos del conjunto de números complejos, ya que son casos especiales:
Si en un número complejo a + bi, la parte imaginaria (bi) es cero, obtenemos un número real a, y si la parte real a es cero, obtenemos un número imaginario bi.
El coeficiente de un número imaginario puede ser positivo, negativo o cero, por lo tanto, podemos crear un eje para representar los números imaginarios, al igual que lo hacemos para los números reales.
3i 1i –1i 0 –2i 2i Figura 38
Ahora podemos representar los números complejos como puntos en un plano, en el cual el eje horizontal represente números reales y en el eje vertical vayan los números imaginarios.
El número complejo 2 + 3i quedaría representado por el punto con coordenadas 2 y 3i.
0 1 2 3 4 5 6 x y –2 –1 –3 –4 0 3i 1i –1i –2i 2i Figura 39
Un número complejo se representa gráficamente como un punto en un plano. A este sis- tema coordenado se le da el nombre de plano de números complejos.
Actividad
Representa gráficamente los siguientes números complejos:
1 1
a) 3 - 4i b) -7.5 + 5i c) - — - i d) 1 +
(
—)
i2 3
Resuelve la ecuación x 2 - 10x + 50 = 0
Procedimiento
Resolvamos la ecuación x 2 - 10x + 50 = 0, por fórmula:
-(-10) ± 100 - 4 (1)(50) x = –––––––––––––––––––––––– 2(1) 10 ± -100 10 ± i 100 x = –––––––––––– = ––––––––––– 2 2 10 ± 10i x = –––––––– = 5 ± 5i 2 Solución x 1 = 5 + 5i y x 2 = 5 - 5i
Como puedes observar las soluciones son números complejos conjugados.
Ahora comprobaremos que los valores obtenidos son realmente soluciones de la ecuación dada. Si sustituimos x1 = 5 + 5i en la ecuación x 2 - 10x + 50 = 0, tenemos lo siguiente:
x 2 - 10x + 50 = 0
(5 + 5i )2 - 10 (5 + 5i) + 50 = 0
25 + 50i + 25i 2 - 50 - 50i + 50 = 0
25 + 25i 2 = 0
25 + 25(-1) = 0 25 - 25 = 0
Como puedes observar la solución si satisface la ecuación dada. Lo importante es no olvidar que i 2 = -1.
Actividad
a) Comprueba que x 2 = 5 - 5i también es solución de la ecuación del ejemplo anterior. b) Resuelve la ecuación x 2 - 6x + 13 = 0 y comprueba soluciones.
Potencias de i
Ahora veamos el comportamiento de i cuando se eleva a una potencia de n, es decir, “i n”. Hacemos lo
siguiente: i = -1 (por definición) entonces: i = -1 = i i 2 = -1 13 = 12· i = (-1) 1 = - i i 4 = i 2· i 2 = (-1) (-1) = 1
Recuerda que i 2 = -1 y que i 0 = 1.
Sabiendo ahora que i 2 = -1, i 3 = -1 y que i 4 = 1. ¿Cómo podríamos encontrar el resultado de i n, si n es
mayor que cuatro?
Calcula i 13
Procedimiento
i 13 = i 12 + 1 Leyes de los exponentes.
i 12 + 1 = i 12i Leyes de los exponentes.
i 12 i = i 4 i 4 i 4i Leyes de los exponentes.
i 13 = (1) (1) (1) i Sustituyendo el valor de i 4.
Solución i 13 = i
Calcula i 14 Procedimiento i 14 = i 12· i 2 i 12 i 2 = i 4 i 4 i 4 i 2 i 12 i 2 = (1) (1) (1) i 2 i 12 i 2 = i 2 Solución i 14 = i 2 = –1 Calcula i 15 Procedimiento i 15 = i 12· i 3 i 12 i 3 = i 4 i 4 i 4 i 3 i 12 i 3 = (1) (1) (1) (i 3) i 12 i 3 = i 3 Solución i 15 = i 3 = –i
¿Qué conclusión podemos obtener de estos ejemplos? Podemos concluir que para elevar el número i a una potencia dada n > 4, se debe expresar como el producto de dos potencias de “i ”: una con un ex- ponente que es múltiplo de 4, cuyo valor siempre será igual a la unidad, como se pudo observar en los ejemplos anteriores; la otra tiene un exponente que siempre será menor o igual a 3, es la que nos da la respuesta buscada.
El procedimiento es equivalente a dividir el exponente de la potencia a la cual se va a elevar el número i, entre 4, y el residuo será el exponente de la potencia a la cual tenemos que elevar el número i para obtener el resultado.
Ejemplo
Calcula i138 Procedimiento 34 4 138 18 2 Solución El residuo es 2, entonces; i 138 = i 2 = –1
Esta es una forma muy fácil de obtener cualquier potencia del número i; recordemos cómo llegamos a esto y escribimos:
i 138 = i 136· i 2
i 136 es igual a 1, pues el exponente es múltiplo de 4, por lo tanto,
i 138 = i 2 = -1 Calcula i 1 503 Procedimiento 375 4 1503 30 23 3 Solución
El residuo es 3, por lo tanto: i 1 503 = i 3 = i 2 i = –i
Ejemplo Ejemplo
Calcula i 16 Procedimiento 4 4 16 0 Solución
El residuo es cero, por lo tanto: i 16 = i 0 = 1
Recuerda que todo número distinto de cero elevado al exponente cero da como resultado la unidad; en otras palabras, si el exponente de i es un múltiplo de 4, el valor numérico de esa potencia de i es 1. Para terminar este tema, mostraremos cómo operan los números complejos: