Dado un valor de y, calcular

Determinar las coordenadas de cualquier punto de la función a partir de su ordenada y reconocer:

a) En qué forma influye el discriminante en el comportamiento de la gráfica de una pa-

rábola.

b) Que para cada y de la gráfica le corresponden dos valores de x, excepto para el vér-

tice. Determinar las coordenadas del vértice.

Objetivo

f) ¿Cuánto vale la coordenada x de la intersección y ? g) ¿Cuánto vale la coordenada y de la intersección x ?

h) ¿Cuál es la causa de que los lados de la gráfica de una función cuadrática se cierren o se abran?

i) ¿Cuál es la causa de que la gráfica se abra hacia arriba o hacia abajo?

j) En la ecuación general, ¿qué constante te indica el valor de y, donde la gráfica corta el eje Y ?

Para un valor dado de x es muy fácil calcular el valor de y. simplemente sustituye en la ecuación dada de la función cuadrática, el valor de x, y calcula directamente el valor correspondiente de y, obteniendo así las coordenadas de un punto en el plano coordenado (x, y ).

El proceso inverso es calcular los valores de x, para un valor dado de y. Para esto, sustituye el valor dado de y en la ecuación, y se resuelve para calcular los valores buscados de x.

En esta ecuación que vamos a resolver, a = 1, b = -4 y c = -5, por lo tanto: -(-4) ± (-4)2 _{- 4 (1) (-5)} x = –––––––––––––––––––––––– 2(1) 4 ± 16 + 20 4 ± 36 x = –––––––––––– = –––––––– 2 2 4 ± 6 x = ––––– 2 4 + 6 10 4 - 6 -2 x₁ = ––––– = ––– = 5 _{2 2} x _{2 22} = ––––– = ––– = -1 x₁ = 5 y x₂ = -1

Los puntos cuya ordenada es y = 8 son dos: el primero tiene una coordenada x = 5 (5, 8) y el otro tiene una coordenada x = -1 (-1, 8). Comprueba en la gráfica de la figura 35 los resultados obtenidos. Como puedes ver, esto es muy fácil. En sentido figurado podríamos decir que “preguntamos” a la ecua- ción lo que deseamos saber, y la misma ecuación nos conduce al resultado buscado.

Actividad

Los puntos donde la gráfica corta el eje X, es decir, las intersecciones x, son puntos donde la coordenada y es igual a cero. En la ecuación y = x 2 _{- 4x + 3.}

a) Encuentra las coordenadas de esos puntos.

b) Comprueba los resultados en la gráfica de la figura 35 de la etapa 1.

Si tienes dudas consulta con tu maestro.

Tomemos como ejemplo la ecuación y = x 2 _{- 4x + 3, de la cual ya tienes la gráfica en la figura 35; ahora}

encontremos los valores de “x ” dada y = 8: y = x 2 _{- 4x + 3; si y = 8, entonces:}

8 = x 2 _{- 4x + 3}

0 = x 2 _{- 4x - 5 Pasa el 8 al lado derecho de la ecuación y simplifica.}

x 2 _{- 4x - 5 = 0 Propiedad de simetría de la igualdad.}

Esta es una ecuación cuadrática que puedes resolver por factorización o empleando la fórmula general cuadrática:

- b ± b 2 – 4ac

x = –––––––––––––––

Vamos a examinar enseguida un caso especial: el vértice de la parábola.

La coordenada y del vértice de la gráfica de la función y = x 2 _{-4x + 3 es: y = -1 (figura 35). Encuentra}

el valor de la coordenada x para el valor dado de y = -1. Si y = -1, tenemos:

-1 = x 2 _{- 4x + 3}

0 = x 2 _{- 4x + 4}

x 2 _{- 4x + 4 = 0}

Usando la fórmula general cuadrática para calcular x, se tiene: -(-4) ± (-4)2 _{- 4(1) (4)} x = ––––––––––––––––––––––– 2(1) 4 ± 16 - 16 4 ± 0 x = –––––––––––– = ––––––– 2 2 4 x = — = 2 2

Obtuvimos un solo valor de x; era algo que debíamos esperar, pues sabemos que el punto del vértice es el único de todos los puntos de la gráfica tal que para un valor de y existe un solo valor de x.

Observa que se obtiene un solo valor de x, si la expresión dentro del radical en la fórmula general cuadrá- tica es igual a cero; vamos a examinar con más cuidado el comportamiento de esta expresión.

-b ± b 2 _{- 4ac}

En la fórmula general cuadrática: x = –––––––––––––– 2a

a la expresión dentro del radical b2 _{– 4ac se le llama “discriminante”. Examinaremos su comportamiento} en los dos casos anteriores.

En el primer caso cuando y = 8, donde se obtuvieron dos valores de x reales y diferentes, la expresión dentro del radical era un número positivo, es decir, b 2 _{- 4ac > 0, en el segundo caso, cuando y = 1, se}

obtuvo un solo valor real de x, la expresión dentro del radical fue b 2 _{- 4ac = 0; de esto podemos concluir}

Si examinamos la fórmula general cuadrática en el caso en que el discriminante b 2 _{-4ac = 0, tenemos:}

-b ± b 2 _{- 4ac b}

x = –––––––––––––– cuando b 2 _{-4ac = 0: x}

v = – –––

2a 2a

Como puedes observar, obtuvimos un solo valor para x, por lo tanto, podemos concluir que la fórmula anterior es una forma fácil y directa de calcular la coordenada x_v del vértice de la grafica de la función cuadrática.

Si conoces el valor de la coordenada x del vértice, sustituye su valor en la ecuación de la función dada, y obtendrás directamente el valor de la coordenada y del vértice de la gráfica.

Determina las coordenadas del vértice de la parábola que es gráfica de la función cuadrática y = 2x 2 _{-4x + 3.}

Procedimiento

Aplicamos la fórmula para obtener la coordenada x del vértice: -(-4) 4

x_v = ––––– = — = 1 2(2) 4

La coordenada x del vértice es entonces x = 1.

Si en la fórmula general cuadrática el discriminante b2 _{- 4ac > 0, es un número positivo, los valores que}

se obtienen para x son dos números reales y diferentes, para el valor dado de y.

Si b2 _{- 4ac = 0, se obtiene una respuesta única: un solo valor de x, para el valor dado de y. El vértice es}

el único punto donde para un valor de y existe un solo valor de x, en la gráfica de la función cuadrática.

Conclusión

Cuando para un valor dado de y, la fórmula general cuadrática nos da un solo valor de x, podemos concluir de lo dicho anteriormente, que el valor dado de y, junto con el valor calculado de x, son las coordenadas del vértice.

Ahora sustituye este valor de x en la ecuación dada y calcula la coordenada y. y = 2(1)2 _{- 4(1) + 3}

y = 2 - 4 + 3 y_v = 1

Solución

El vértice de la gráfica de la ecuación y = 2x 2 _{- 4x + 3 se ubica en el punto (1, 1): V(1,1).}

1. Contesta las siguientes preguntas en forma oral o escrita como tu maestro lo indique:

a) Dada la ecuación de una función cuadrática y un valor de y: ¿Cuál es el número máximo de valores de x que satisfacen la ecuación dada para el valor de y dado?

b) ¿Cuál es el único punto de una función cuadrática, donde para un valor de y dado, existe un solo valor de x que satisface la ecuación de la función?

c) En la fórmula general cuadrática, ¿a qué expresión se le llama discriminante?

d) Si el discriminante es positivo, ¿cuál es la cantidad y la naturaleza de las respuestas que se obtienen?

e) Si el discriminante es igual a cero, ¿qué puedes decir acerca de la cantidad y naturaleza de las respuestas obtenidas?

f) ¿Cómo calculas la coordenada x del vértice de la gráfica de una función cuadrática? g) ¿Cómo calculas la coordenada y del vértice de la gráfica?

2. En las siguientes ecuaciones calcula el valor de y para los valores de x: a) x = 2, b) x = 0. a) y = x 2 _{- x + 6 c) y = x} 2 _{+ 3}

b) y = 2x 2 _{+ 12x + 20 d) y - 4 = 2(x - 2)}2

3. En las siguientes ecuaciones de las funciones cuadráticas, determina la intersección en y, es decir, las coordenadas del punto donde las gráficas de cada una de ellas corta el eje Y.

a) y = x 2 _{- 6x + 8 e) y = x} 2 _{+ 2x}

b) y = 3x 2 _{f) y = x} 2 _{- 9}

c) y = x 2 _{+ 4x + 7 g) y = (x + 1)}2

d) y - 2 = 3(x + 2)2 _{h) y = (x + 2) (x - 3)} Ejercicios

4. En las siguientes ecuaciones de funciones cuadráticas, calcula los valores de x, para los valores de y: y = 1, y = 0.

a) y = (x + 2)(x - 1) d) y = (x + 2)2 _{- 3}

b) y - 3 = -2(x -1)2 _{e) y = x} 2 _{+ 2x - 3}

c) y = -x 2 _{+ 4x f) y = x} 2 _{- 4x + 1}

5. En las siguientes ecuaciones de funciones cuadráticas, determina las intersecciones de x. (re- suelve por factorización donde sea posible).

a) y = x 2 _{+ 4x d) y = 2x} 2

b) y = x 2 _{- 9 e) y = x} 2 _{+ 2x - 3}

c) y = 0.5x 2 _{- 1.25x + 0.5 f) y = x} 2 _{+ 0.1x - 1.65}

6. Calcula las coordenadas del vértice de las gráficas de las siguientes funciones cuadráticas y da la ecuación del eje de simetría.

a) y = x 2 _{- 2x - 8 d) y = x} 2 _{+ x - 0.75}

7

b) y = (x + 2)2 _{e) y = 7x} 2 _{– — x + 1}

2

c) y = -x 2 _{+ 5x - 6 f) y = 0.32x} 2 _{+ 0.4x - 6}