Graciela Wagner de Garc´ıa Rosa Mar´ıa M´endez Parra
PRINCIPIOS B ´
ASICOS DE ARITM´
ETICA
c
Derechos reservados
Reproducido y editado por Ediciones Elizcom Primera edici´on, diciembre del 2010
200 ejemplares ISBN: 978-958-99325-8-2 www.elizcom.com [email protected] Cel: 3113340748 Armenia, Quind´ıo
Contenido
1 Naturaleza de la Aritm´etica 1
1.1 Operaciones B´asicas de la Aritm´etica . . . 1
2 Los N´umeros Naturales 5 2.1 Las Nociones de Unidad y Conjunto . . . 5
2.2 La Serie Natural de los N´umeros . . . 7
2.3 Producto Cartesiano . . . 9
2.4 La Adici´on en los N´umeros Naturales . . . 10
2.5 Sustracci´on en los Naturales . . . 12
2.6 Multiplicaci´on en los Naturales . . . 15
2.7 Divisi´on en los N´umeros Naturales . . . 19
2.8 Potenciaci´on en los Naturales . . . 21
2.9 Radicaci´on en los Naturales . . . 23
2.10 Logaritmaci´on en los Naturales . . . 24
3 Los N´umeros Enteros 35 3.1 Divisibilidad en Z . . . 37
3.2 N´umeros Primos . . . 39
3.3 Criterios de Divisibilidad . . . 42
3.4 M´aximo Com´un Divisor (MCD) . . . 43
3.5 M´ınimo Com´un M´ultiplo (M.C.M.) . . . 47
4 Congruencia 59 4.1 Criterios de Divisibilidad . . . 62
4.2 Ecuaciones Lineales de Congruencia . . . 67
5 N´umeros Racionales Q 71 5.1 Valor Absoluto en Q . . . 72
5.2 Operaciones Aritm´eticas en Q . . . 73
5.3 Representaci´on Decimal de Q . . . 77
5.4 Reducci´on de Fraccionarios . . . 80
5.5 Comparaci´on y Orden en los Racionales . . . 81
5.6 Notaci´on Cient´ıfica . . . 84 i
6 Razones y Proporciones 91
6.1 Razones . . . 91
6.2 Proporciones . . . 95
6.3 Magnitudes Proporcionales . . . 97
6.4 Regla de Tres . . . 101
6.5 Magnitudes Proporcionales a Varias . . . 102
6.6 Regla de Tres Compuesta . . . 103
6.7 Reparto Proporcional . . . 104 6.8 Porcentaje . . . 106 6.9 Inter´es Simple . . . 109 7 Coeficientes Binomiales 115 8 Sistemas de Numeraci´on 121 8.1 Origen de la Numeraci´on . . . 121
8.2 Sistema de Numeraci´on Posicional . . . 122
8.3 Sistema de Numeraci´on en Base 2 . . . 124
8.4 N´umeros Octales . . . 126
8.5 Sistema Hexadecimal . . . 128
9 Sistema M´etrico Decimal 133 9.1 Medidas y Magnitudes . . . 133
9.2 Medidas Tradicionales . . . 140
Introducci´
on
Es necesario hacer un recorrido formal y riguroso de la aritm´etica desde sus inicios, para formar un docente bien fundamentado con bases s´olidas desde el estudio de los n´umeros naturales, hasta los n´umeros reales.
Esta propuesta pretende estudiar la matem´atica desde sus inicios para fortalecer al fu-turo docente en el estudio de: los n´umeros naturales, su concepto, operaciones y leyes formales, ampliaci´on de los n´umeros naturales con los enteros, los racionales definiendo nuevamente las operaciones fundamentales y reconociendo la permanencia de las leyes formales, se trabajar´an las leyes de las operaciones mediante demostraciones sencillas, de igual manera se estudiar´an los n´umeros primos, las relaciones de divisibilidad y de proporcionalidad, congruencia entre n´umeros; se incorporar´an los recursos que ofrecen a la resoluci´on de problemas aritm´eticos y a los m´etodos para hallar el m´ınimo com´un m´ultiplo (MCM) y el m´aximo com´un divisor (MCD).
Tambi´en se hace necesario profundizar en temas que le permitan un mayor conocimiento sobre los diferentes conjuntos num´ericos (n´umeros naturales, enteros, racionales e irra-cionales), sus distintas formas de representaci´on y las propiedades y relaciones que los caracterizan, adem´as establecer relaciones entre los conjuntos num´ericos reconociendo sus propiedades espec´ıficas.
Estos elementos le permiten hacer un an´alisis sobre los tipos de problemas de ´ındole arit-m´etico, para obtener la comprensi´on de los m´ultiples usos de las operaciones aritm´eticas para solucionar situaciones cotidianas.
Con el presente material, se pretende que el docente haga un estudio sistematizado y riguroso de los n´umeros y sus operaciones entre ellos adem´as de iniciarse en los diversos m´etodos de demostraci´on usados en aritm´etica para validar operaciones, propiedades y proposiciones.
Cap´ıtulo 1
Naturaleza de la Aritm´
etica
¿Qu´e es la aritm´etica?
La aritm´etica es una rama de las matem´aticas que se ocupa del estudio de los n´umeros y de las reglas que rigen las operaciones entre ellos
¿Qu´e es una operaci´on aritm´etica?
Una operaci´on es una combinaci´on de ciertos n´umeros, siguiendo determi-nadas reglas precisas, para obtener otro nuevo n´umero como resultado ¿Qu´e son las reglas formales de la aritm´etica?
Son reglas que establecen las formas como se deben combinar los n´umeros para que as´ı quede definida una operaci´on entre ellos
Cada operaci´on que se defina entre n´umeros cumplir´a ciertas leyes que son “las reglas de juego” dentro de la operaci´on. Estas son llamadas las leyes formales del c´alculo.
El matem´atico Felix Klein en su magistral obra: “Matem´atica Elemental, desde un punto de vista superior”, dice:
“Hist´oricamente durante mucho tiempo, se ha sumado y multiplicado sin darse cuenta de las leyes formales de estas operaciones. En los a˜nos 20 al 30 del siglo XIX fueron puestas en evidencia, por primera vez, por matem´aticos franceses e ingleses, principalmente, las propiedades formales de aquellas operaciones.” En vista de los conceptos anteriores se puede redefinir la aritm´etica en la siguiente forma:
“La aritm´etica es un conjunto de reglas que establecen c´omo son las operaciones que se pueden ejecutar entre n´umeros”
1.1
§ Operaciones B´asicas de la Aritm´etica §
En aritm´etica se han definido 5 operaciones b´asicas1. Igualdad (=).
2. Suma (+). 3. Resta (−).
4. Multiplicaci´on (×) 5. Divisi´on (÷)
Por lo tanto se tendr´an leyes formales para cada una de ellas.
Tambi´en se ha definido una relaci´on de ordenamiento entre pares de n´umeros y sim-bolizada por el signo (<) y que significa “menor que”.
A continuaci´on relacionamos las leyes formales o fundamentales de las operaciones ar-itm´eticas y posteriormente durante el desarrollo del curso se har´a un estudio m´as pro-fundo de cada una de ellas.
Leyes fundamentales de la igualdad y la ordenaci´on
I. Ley de la Tricotom´ıa
Los n´umeros forman un conjunto ordenado, es decir, entre dos cualesquiera de ellos a y b, por ejemplo, subsiste una y sola una de las tres relaciones
a < b, a = b, a > b II. Ley Id´entica
Todo n´umero es igual as´ı mismo
a = a III. Ley rec´ıproca
Si un n´umero es igual a otro este es igual al primero De a = b se deduce que b = a IV. Ley transitiva
Si un n´umero es igual a otro y este es igual a un tercero, el primero es igual al tercero
De a = b y b = c se deduce que a = c
Si un n´umero es menor o igual a otro y este es menor a un tercero, el primero es menor al tercero
De a≤ b y b < c se deduce que a < c
Si un n´umero es menor a otro y este es menor o igual a un tercero, el primero es menor al tercero
De a < b y b≤ c se deduce que a < c
Leyes fundamentales de la adici´on
Para todo par de n´umeros a y b existe siempre un tercer n´umero s, llamado suma de a y b, que se designar´a por a + b. Esta suma obedece a las siguientes leyes
Operaciones B´asicas de la Aritm´etica 3 I. Ley de uniformidad de la adici´on
De a = a′
y b = b′
se deduce que a + b = a′ + b′ II. Ley conmutativa
Siempre se verifica que
a + b = b + a III. Ley asociativa
Siempre se verifica que
(a + b) + c = a + (b + c) IV. Ley monoton´ıa
De a < b se deduce que a + c < b + c De a > b se deduce que a + c > b + c
Estas leyes parecen triviales pero constituyen el fundamento de toda la ciencia de los n´umeros.
Ley fundamental de la sustracci´on
Para cada par de n´umeros a y b existe siempre un tercer n´umero c tal que se cumple la relaci´on a + c = b.
En esta formulaci´on se ve la precauci´on de considerar la adici´on como la operaci´on pri-maria y a la sustracci´on como la operaci´on inversa de la adici´on.
Siempre puede encontrarse un n´umero c (´unico) que sumado al n´umero a nos d´e el n´umero b. Demostremos que c es ´unico:
Demostraci´on. Supongamos que existen dos n´umeros c y c′
que sumados a a nos dan b. Si esto es cierto entonces: a + c = b y a + c′
= b, entonces, por ley transitiva se obtiene a + c = a + c′
. Esta solo se cumple cuando c = c′
. Si c > c′
, entonces, por Ley de Monoton´ıa se obtiene a + c > a + c′
. Si c < c′
, entonces, tambi´en por Ley de Monoton´ıa, se obtiene a + c < a + c′
. Queda como ´unica opci´on que c = c′
Queda demostrado que un ´unico n´umero c cumple la ley fundamental de la sustracci´on y lo llamaremos la diferencia c = b− a.
Existencia del Cero. Existe un n´umero llamado el“cero” con la propiedad de per-manecer neutral frente a la adici´on y por consiguiente frente a la sustracci´on, es decir que al agregar el cero a a no se produce ninguna variaci´on.
Busquemos el cero y veamos que es ´unico
Demostraci´on. Supongamos que para a existe un cero,
→ a + 0 = a (1.1)
Supongamos que para a′ existe un cero, → a′ + 0′ = a′ → a′ = a′ + 0′ (1.2) sumando (1.1) y (1.2) se obtiene: a + 0 + a′ = a + a′ + 0′ de donde (a + a′ ) + 0 = (a + a′ ) + 0′ y as´ı 0 = 0′ Entonces existe el cero y es ´unico.
Leyes fundamentales de la multiplicaci´on
Para cualquier par de n´umeros a y b siempre existe un tercer n´umero p al que llamaremos producto de a y b y designaremos por a× b ´o ab. Esta multiplicaci´on obedece a las siguientes leyes: I. Ley de uniformidad Si a = a′ y b = b′ → ab = a′ b′ II. Ley conmutativa
Siempre se cumple que
ab = ba III. Ley asociativa
Siempre se verifica que
a(bc) = ab(c) IV. Ley distributiva respecto a la suma
Siempre se verifica que
(a + b)c = ac + bc V. Ley distributiva respecto a la resta
Siempre se verifica que
(a− b)c = ac − bc VI. Ley de monoton´ıa
Si a < b y c > 0 → ac < bc Si a > b y c > 0 → ac > bc
Ley fundamental de la divisi´on
Para todo par de n´umeros a y b existe siempre un tercer n´umero c, tal que bc = a. Con esta formulaci´on se concluye que la divisi´on es la operaci´on inversa de la multi-plicaci´on.
Cap´ıtulo 2
Los N´
umeros Naturales
2.1
§ Las Nociones de Unidad y Conjunto §
Se dice que en las matem´aticas las ideas m´as primarias son las ideas de unidad y de conjunto y por lo tanto se les llama nociones y no necesitan ser definidas o que su definici´on es evidente.
“Cualquier objeto es una unidad” “Una agrupaci´on de objetos es un conjunto”
Todo razonamiento que se haga en matem´aticas sobre conjuntos no tiene nada que ver con la naturaleza f`ısica de sus elementos. Es completamente igual para las matem´aticas que un conjunto sea de piedras, ´arboles o animales.
Definici´on 2.1. Conjuntos Coordinables
Dos conjuntos cualesquiera A y B son coordinables, cuando a cada ele-mento de A le corresponde un eleele-mento de B y a cada eleele-mento de B le corresponde un elemento de A.
Para expresar que dos conjuntos A y B son coordinables, los separamos por el signo ⊼ (signo de coordinabilidad). As´ı, la expresi´on A ⊼ B, se lee: “A coordinable con B”.
Ejemplo Sea A el conjunto de personas que hay en una sala, y sea B el conjunto de sombreros que hay en la sombrerera. Al marcharse cada persona toma su sombrero, del siguiente modo:
A ={ Pedro, Jaime, Carlos, Juan }
l l l l
B ={ Caf´e, Verde, Negro, Azul }
En este caso se dice que entre los conjuntos A y B existe una correspon-dencia biun´ıvoca es decir, un´ıvoca (uno a uno) en dos sentidos.
Ejemplo Si cada alumno de la clase lleva un l´apiz, y s´olo uno, puede afirmarse que los conjuntos de alumnos y de l´apices son coordinables pues a cada alumno corresponde un l´apiz y, rec´ıprocamente a cada l´apiz corresponde su due˜no
Ejemplo Las butacas de un teatro, que no est´a lleno, no son coordinables con los espectadores, pues a cada espectador corresponde su butaca, pero la rec´ıproca no es cierta, al no estar completa la sala, habr´ıa butacas sin espectador correspondiente. Estos conjuntos se podr´ıan esquematizar as´ı:
Espectadores ={ △, △, △, }
l l l
Butacas ={ ∗, ∗, ∗, ∗, ∗ }
Definici´on 2.2. Cardinal de un Conjunto
El n´umero de elementos de un conjunto finito A se llama el cardinal del conjunto y se simboliza con #A o #(A)
Cuando se establece el cardinal de un conjunto se est´a estableciendo una correspondencia biun´ıvoca entre los elementos del conjunto y los n´umeros naturales.
Definici´on 2.3. Conjuntos Equipotentes
Dos conjuntos son equipotentes cuando tienen el mismo cardinal
Definici´on 2.4. Natural de un Conjunto
El n´umero natural de un conjunto es lo que tienen en com´un todos los conjuntos que son coordinables con ´el
Cuando contamos para conocer la cantidad de elementos en un conjunto, nosotros uti-lizamos los n´umeros naturales como n´umeros cardinales. Por lo tanto, el acto de contar implica el deseo de conocer la cantidad de objetos de un conjunto. El deseo de tener con-trol sobre el n´umero de elementos en un conjunto puede haber sido la principal motivaci´on de los seres humanos para contar.
¿Qu´e tan viejo es el acto de contar? ¿Otras especies no humanas tambi´en cuentan?
Uno podr´ıa sentirse tentado a decir que contar no puede ser anterior al lenguaje, ya que usualmente utilizamos n´umeros para contar, pero se sabe que algunas sociedades prim-itivas utilizaron una especie de conteo con varas u objetos en el que estos se asignan f´ısicamente a los objetos que se van a contar. La persona que cuenta con ese m´etodo no
La Serie Natural de los N´umeros 7 concluye su operaci´on con una palabra adecuada para el n´umero de objetos sino m´as bien con un grupo de objetos que representa la cantidad de elementos en el conjunto.
Un nativo Wedda de la isla de Sri Lanka podr´ıa contar un mont´on de cocos asign´andole una concha de almeja a cada uno. Cuando termina, ´el no puede decir cu´antos cocos tiene porque en su lenguaje no existe una palabra para designar dicho n´umero, pero si puede se˜nalar su pila de conchas y decir “as´ı de tantos”. Si le roban un coco, cuando el realice nuevamente la correspondencia de cocos y conchas, descubrir´a que tiene una concha que no puede asignarse a un coco, el sabe de inmediato que hay un coco faltante.
Un postulado es una verdad tan simple que se pide que sea admitida sin demostraci´on. El postulado fundamental de la aritm´etica dice:
Postulado Fundamental de la Aritm´etica
El n´umero de elementos de un conjunto no depende del orden de colocaci´on
Ejemplo El n´umero de sillas de un sal´on no cambiar´a aunque se coloquen todos en fila, en un rinc´on ´o unas sobre otras.
2.2
§ Serie Natural de los N´umeros §
Si partimos de un elemento cualquiera, que representamos por x, le agregamos otro, y as´ı sucesivamente, obtenemos una sucesi´on de conjuntos, llamado la sucesi´on natural de conjuntos.
{∗}, {∗, ∗}, {∗, ∗, ∗}, {∗, ∗, ∗, ∗}, . . .
Como cada uno de estos conjuntos tiene un cardinal entonces, a esta sucesi´on natural de conjuntos le corresponde la sucesi´on de n´umeros que representan sus cardinales y que representamos por 1, 2, 3, 4, . . . y que recibe el nombre de sucesi´on natural de los n´umeros. Si al conjunto vac´ıo{} le asignamos el cardinal 0 entonces la serie natural de los n´umeros es 0, 1, 2, 3, 4, . . .. Si estos n´umeros se agrupan y se consideran como un conjunto entonces se obtiene el conjunto de los n´umeros naturales que se simboliza como
N ={0, 1, 2, 3, 4, . . .}
Propiedad Fundamental
La sucesi´on natural de conjuntos no tiene fin, pues se puede seguir agregando elementos al conjunto, uno a uno, en forma infinita, por lo tanto, la serie natural de los n´umeros que est´an en correspondencia con ella, tampoco tendr´a fin
“La seria natural de los n´umeros es infinita”
Representaci´on Geom´etrica de N
La serie natural de los n´umeros puede representarse mediante la sucesi´on natural de seg-mentos iguales. al n´umero 1 corresponde el segmento unidad, al n´umero 2 corresponde el segmento de 2 unidades, y as´ı sucesivamente
Postulados o Axiomas de Peano
En 1895 George Peano estableci´o una forma axiom´atica para construir los n´umeros na-turales mediante los siguientes axiomas:
1. El 1 es un n´umero.
2. El sucesor de cualquier n´umero es otro n´umero. 3. No hay dos n´umeros que tengan el mismo sucesor. 4. El 1 no es sucesor de alg´un n´umero.
5. Si el n´umero 1 tiene cierta propiedad y el sucesor de cada n´umero tiene la misma propiedad, entonces todo n´umero tiene dicha propiedad.
Refiri´endonos a los naturales estos Axiomas se pueden escribir en la siguiente forma: A1. Uno (1) es un n´umero natural o m´as estrictamente, el sistema de los n´umeros
naturales contiente un elemento especial llamado uno y denotado por 1. A2. A un n´umero natural n le corresponde otro n´umero n∗
llamado el sucesor inmediato de n.
A3. Dados dos n´umeros naturales n y m, si n∗ = m∗
entonces n = m.
A4. No existe ning´un n´umero natural cuyo sucesor inmediato sea el 1; es decir, que 1 es el primer n´umero natural.
A5. Si un conjunto S de n´umeros naturales satisface las siguientes condiciones: (a) El 1 pertenece a S .
(b) Si n∈ S, entonces n∗ ∈ S.
Entonces S contiene a todos los n´umeros naturales.
Este Axioma (A5) se conoce con el nombre de “Axioma de inducci´on” y juega papel primordial en las demostraciones por “Inducci´on Matem´atica”.
El n´umero inmediatamente posterior a 1 es decir 1∗
, se denota por 2, el n´umero in-mediatamente posterior a 2 es 2∗
, se denota por 3 etc, as´ı sucesivamente se obtiene el sistema de los n´umeros naturales que se designan por la letra N.
Nota:
Es absurda la discusi´on acerca de la inclusi´on o no del n´umero cero en el sistema de los n´umero naturales. Los n´umeros naturales que comienzan en uno han sido utilizados por los hombres desde hace m´as de 5000 a˜nos, en cambio el descubrimiento del cero como n´umero es muy reciente, introducido por los ind´ues. Peano axiomatiz´o la intuici´on humana que a´un los cavern´ıcolas ten´ıan para contar: uno es el primero, uno y uno es dos, dos y uno es tres, tres y uno es cuatro, . . .: as´ı se forman todos los n´umeros
Producto Cartesiano 9
2.3
§ Producto Cartesiano §
Definici´on 2.5. Producto CartesianoSi X e Y son dos conjuntos entonces el producto cartesiano de X por Y es el conjunto de todos los pares ordenados con el primer componente perteneciente a X y el segundo componente perteneciente a Y.
Simb´olicamente:
X× Y = {(x, y)|x ∈ X y y ∈ Y }
Ejemplo Si X ={a, b, c} y Y = {3, 7}, entonces
X× Y = {(a, 3), (a, 7), (b, 3), (b, 7), (c, 3), (c, 7)} Y × X = {(3, a), (7, a), (3, b), (7, b), (3, c), (7, c)} Ejemplo Si M ={m, n, s}, entonces M× M = {(m, m), (m, n), (m, s), (n, m), (n, n), (n, s), (s, m), (s, n), (s, s)} Representaci´on Gr´afica Sea A ={a, b, c}, B = {1, 2} A× B B× A
Obs´ervse que el producto cartesiano no es conmutativo A× B 6= B × A.
Definici´on 2.6. Cardinal del producto Cartesiano
El cardinal de un producto cartesiano es igual al n´umero de parejas que conforman el producto
Ejemplo Sea A ={5, 6}, B = {a, b, c}
A× B = {(5, a), (5, b), (5, c), (6, a), (6, b), (6, c)} −→ #A × B = 6 B× A = {(a, 5), (b, 5), (c, 5), (a, 6), (b, 6), (c, 6)} −→ #B × A = 6 Obs´ervese que el orden de los conjuntos en el producto no afecta el cardinal.
2.4
§ La Adici´on en los N´umeros Naturales §
Definici´on 2.7. SumaDados dos naturales a y b, si A y B son dos conjuntos tales que : #A = a, #B = b y A∩ B = ∅, se llama suma de a y b al n´umero natural s tal que
s = #(A∪ B) = #A + #B s = a + b si A∩ B = ∅
Lo anterior indica que a la pareja (a, b) se le asocia un ´unico valor que es s; (a, b) → s
Ejemplo Sea A ={a, b} y B = {c, d, e}; sabemos que
A∪ B = {a, b, c, d, e} y que #(A) = 2, #(B) = 3 De donde
#(A∪ B) = 5
Luego 5 est´a dado por el par ordenado (2, 3), es decir: (2, 3) +
−−−−−−−→5 Cuando A y B son el conjunto N se tiene:
N× N + −−−−→ N (a, b) + −−−−→ s = a + b Por ejemplo N× N + −−−−→ N (1, 2) + −−−−→ 3 (5, 7) + −−−−→ 12 .. . ... (20, 10) + −−−−→ 30
La Adici´on en los N´umeros Naturales 11 En conclusi´on podemos decir que
“La operaci´on adici´on entre n´umeros naturales es una aplicaci´on deN× N en N que a cada par ordenado (a, b) ∈ N × N llamados sumandos, le asocia un ´
unicos∈ N llamado suma”
La adici´on entre n´umeros naturales es una funci´on de N x N −−−→ N, mediante la cual se hace corresponder un par ordenado (a, b)∈ N x N llamados sumandos, con un tercero s∈ N llamado suma.
Propiedades de la adici´on en N
I. Propiedad clausurativa
si (a, b)∈ N × N → a + b ∈ N
La adici´on de n´umeros naturales es una operaci´on que a cada par de n´umeros naturales asocia necesariamente otro n´umero natural. Tambi´en se dice que el conjunto N es cerrado con respecto a la operaci´on adici´on
II. Propiedad conmutativa
si (a, b)∈ N × N, → a + b = b + a.
Como a y b son naturales porque representan la cantidad de elementos de A y B, entonces cambiando el orden de los sumandos se obtiene la misma suma III. Propiedad de la uniformidad de la adici´on
si a = b→ a + c = b + c
Si a dos miembros de una igualdad se les suma un mismo n´umero c ∈ N se obtiene otra igualdad.
IV. Propiedad o ley de la monoton´ıa Sean a, b, c ∈ N
si a > b→ a + c > b + c si a < b→ a + c < b + c
Si a dos miembros de una desigualdad se les suma un mismo n´umero c∈ N se obtiene otra desigualdad del mismo sentido
a > b a < b
c > d c < d
a + c > b + d a + c < b + d
Si se suman miembro por miembro dos o m´as desigualdades del mismo sentido, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido a las dadas
¿Qu´e se puede afirmar si las desigualdades no son del mismo sentido? P´ongase ejemplos num´ericos y concluya
V. El conjunto extendido de los n´umeros naturales
Si el conjunto N se une con el cero, se obtiene una extensi´on de los naturales que se simboliza con No
No = N∪ {0}
No tambi´en es llamado el conjunto de los n´umeros cardinales VI. Propiedad modulativa
En N no hay elemento neutro o elemento identidad para la adici´on, porque no existe un n´umero natural c tal que∀a ∈ N se verifique que
a + c = c + a = a
Si se considera el conjunto de No el m´odulo o elemento identidad para la adici´on es el cero porque
a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ No VII. Propiedad asociativa
Si a, b, c, pertenecen al conjunto de los N, entonces a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
Asociando sumandos de modos distintos se obtiene la misma suma
2.5
§ Sustracci´on en los N´umeros Naturales §
La operaci´on que permite calcular la diferencia de dos n´umeros se llama sustracci´on. La sustracci´on de n´umeros naturales es la operaci´on inversa a la adici´on. Siempre existe un n´umero natural d∈ N de tal manera que d + b = a con a, b ∈ N, si a > b. Esto significa que d sumado con b produce a.
Definici´on 2.8. Diferencia
Si a > b existe un ´unico n´umero d tal que a = b + d, entonces la diferencia entre a y b es p = a− b. En otras palabras:
Dados dos naturales a y b tales que
a = #A y b = #B B⊂ A y A− B 6= ∅
entonces se llama diferencia de a y b al n´umero d tal que d = a− b = #(A − B)
Sustracci´on en los Naturales 13
Ejemplo Sea A ={a, b, c, d, e} y B = {a, b, c}. Sabemos que A− B = {d, e}, #(A) = 5 #(B) = 3 De donde #(A− B) = 2 En general, si (a, b)∈ N × N, y a > b −→ (a, b) − −−−−−−−→c Dados el par (7, 4) existe d∈ N tal que d + 4 = 7?
Es claro que si existe d ∈ N, el cual es igual a 3. El n´umero 3 es entonces la dife-rencia entre 7 y 4 y se escribe 3 = 7− 4.
La expresi´on d + b = a y a− b = d son equivalentes y sus t´erminos son: d es la di-ferencia, a es el minuendo y b es el sustraendo.
La sustracci´on no es una operaci´on binaria en el conjunto de los naturales, dado que no es posible encontrar para todo par (a, b) de naturales, un d∈ N tal que: b + d = a o lo que es lo mismo d = a− b.
Propiedades de la sustracci´on en N
La sustracci´on en el conjunto de los N, no es clausurativa, no es conmu-tativa, ni asociativa
I. Propiedad de la uniformidad
La sustracci´on cumple la ley de uniformidad porque restando miembro a miem-bro dos igualdades (si la resta es posible), se obtiene otra igualdad.
∀a, b, c, d ∈ N
a = b
c = d
a− c = b− d II. Ley de la Monoton´ıa
La ley de la monoton´ıa de la sustracci´on presenta 3 formas
1. Si a los dos miembros de una desigualdad se les resta un mismo n´umero (siendo posible la resta) se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.
si a > b→ a − c > b − c si a < b→ a − c < b − c
2. Si a los dos miembros de una igualdad se les resta (si es posible) respec-tivamente los miembros de una desigualdad, se obtiene otra desigualdad
pero de sentido contrario a la dada a = b c > d a− c < b− d a = b c < d a− c > b− d
3. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, se obtiene una desigualdad de sentido igual a la primera (en caso de que se pueda efectuar la resta)
a < b c > d a− c < b− d a > b c < d a− c > b− d Ejemplo 7 = 7 7 = 7 3 > 2 2 < 3 7− 3 < 7− 2 7− 2 > 7− 3 Ejemplo 17 > 9 7 < 10 4 < 8 3 > 5 17− 4 > 9− 8 7− 3 < 10− 5 Nota:
Si las dos desigualdades son del mismo sentido nada puede concluirse La siguiente afirmaci´on es una consecuencia de la propiedad uniforme de la adici´on:
“Si el minuendo se aumenta en una cantidad, la diferencia queda aumentada en dicha cantidad”
Demostraci´on.
Sea m− s = d Definici´on de sustracci´on (1)
Queremos demostrar que (m + h)− s = d + h (2)
De (1) tenemos m = s + d Transposici´on de t´erminos (3) Sumando h a (3) tenemos m + h = s + d + h Propiedad uniforme de la adici´on (4) (m + h) = s + (d + h) Propiedad asociativa de la suma
Multiplicaci´on en los Naturales 15
Demostrar:
Si el minuendo se disminuye en una cantidad, la diferencia queda disminuida en dicha cantidad.
Si (m− n) = 8, cu´anto valdr´a (m − 5) − n?
Qu´e le pasa a la diferencia cuando el sustraendo aumenta o dis-minuye en una cantidad?
Transposici´on de T´erminos de una Desigualdad
Si un n´umero se desea cambiar o transponer de un miembro a otro de una desigualdad, basta transponerlo sumando si est´a restando ´o restando si est´a sumando
si x + a < b→ x < b − a si x− a < b → x < b + a
Ejemplo Resolvamos la desigualdad x− 7 > 4
x− 7 > 4 −→ x > 7 + 4 −→ x > 11 Resolvamos x + 12 < 28
x + 12 < 28 −→ x < 28 − 12 −→ x < 16
2.6
§ Multiplicaci´on en los N´umeros Naturales §
Definici´on 2.9. ProductoDados dos n´umeros naturales a, b si A y B son dos conjuntos tales que #(A) = a y #(B) = b, se llama producto de los n´umeros a y b al n´umero natural p tal que p = #(A×B) y se denota p = a∗b = a·b. Podemos afirmar que la multiplicaci´on es una suma abreviada o simplificada, es decir,
a× b = a + a + . . . + a
| {z }
b veces
= p
Esta definici´on indica que el producto de dos n´umeros naturales es igual al cardinal del producto cartesiano de los conjuntos A y B que a su vez tienen como cardinal a a y b respectivamente.
Consideremos los conjuntos
A ={a, b, c} y B = {d, e} Sabemos que
A× B = {(a, d), (a, e), (b, d), (b, e), (c, d), (c, e)} −→ #(A × B) = 6 Luego, 6 est´a dado por el par ordenado (3, 2); es decir
(3, 2) ×
−−−−−−−→ 6
3∗ 2 = 6
A cada par ordenado (a, b) le corresponde un tercer n´umero llamado producto (p) La operaci´on de multiplicaci´on entre n´umeros naturales es una aplicaci´on de N× N en N, tal que a cada par ordenado (a, b)∈ N × N le asocia p ∈ N donde a = #(A), b = #(B),
p = #(A× B) y A y B son subconjuntos no vac´ıos de N.
En esta operaci´on de multiplicaci´on, a, b se llaman factores y p se denomina producto.
Propiedades de la multiplicaci´on en N
Para cualquier par de n´umeros a y b siempre existe un tercer n´umero p al que llamare-mos producto de a y b y designarellamare-mos por a∗ b ´o ab. Esta multiplicaci´on obedece a las siguientes leyes:
I. Propiedad clausurativa
Si a, b∈ N −→ p = a · b ∈ N
El producto de dos n´umeros naturales siempre ser´a otro n´umero natural II. Propiedad Conmutativa
Sean A y B dos conjuntos no vac´ıos cuyos cardinales son #A = a y #B = b. Adem´as sabemos que A× B y B × A son dos conjuntos de parejas los cuales son equipotentes, por lo tanto tienen el mismo cardinal, es decir,
#(A× B) = #(B × A) por lo tanto #A · #B = #B · #A a· b = b · a
En la multiplicaci´on de n´umeros naturales el orden de los factores no altera el producto
III. Propiedad Asociativa
Multiplicaci´on en los Naturales 17 Demostraci´on. Sean A, B, C conjuntos no vac´ıos. Entre los conjuntos (A× B)× C y A × (B × C) se puede establecer una biyecci´on por lo tanto se cumple que #[(A× B) × C] = #[A × (B × C)] Si #A = a, #B = b y #C = c, entonces #[(A× B) × C] =#(A × B) · #C =(#A· #B) · #C = (a · b) · c #[A× (B × C)] =#A · #(B × C) =#A· (#B · #C) = a · (b · c)
IV. Existencia del Elemento Identidad (Modulativa)
El natural 1 es el elemento identidad o m´odulo para la multiplicaci´on en N porque: ∀a ∈ N, 1 · a = a · 1 = a
Demostraci´on. Sean A y B conjuntos no vac´ıos tales que #A = 1 y #B = b. Adem´as sabemos que #(A× B) = #(B × A) = #B por lo tanto #A · #B = #(A× B) = #(B × A) = #B · #A = #B = b, entonces 1 · b = b · 1 = 1 V. Propiedad Distributiva
La multiplicaci´on en N es distributiva respecto a la adici´on, es decir: ∀a, b ∈ N, a · (b + c) = a · b + a · c Demostraci´on. a· (b + c) = (b + c) + (b + c) + . . . + (b + c) | {z } a veces Por definici´on = b + c + b + c + . . . + b + c | {z } a veces Suprimiendo par´entesis = b + b + . . . + b | {z } a veces + c + c + . . . + c | {z } a veces
Prop. conmutativa suma = (b + b + . . . + b | {z } a veces ) + (c + c + . . . + c | {z } a veces
) Prop. asociativa suma = a· b + a · c Def. de Multiplicaci´on
La Multiplicaci´on en N es distributiva respecto a la sustracci´on, es decir: ∀a, b ∈ N, a · (b − c) = a · b − a · c
VI. Extensi´on de la multiplicaci´on al conjunto No
La multiplicaci´on en No es una aplicaci´on de No×No en No tal que a cada pareja (a, b)∈ No × No se le asocia un elemento p ∈ No representado por p = a · b en donde
1. (a, 0) ×
−−−−−−−→0, (0, a)−−−−−−−→× 0, (0, 0)−−−−−−−→× 0, ∀a ∈ No 2. (a, b) ×
−−−−−−−→p = a· b si (a, b) ∈ No × No
Esta definici´on indica que para extender la multiplicaci´on del conjunto N al conjunto No solo hace falta determinar los productos 0· a, a · 0, 0 · 0
Para determinar estos productos consideremos dos conjuntos A y B tales que #A = a y #B = 0 es decir B =∅. Ahora #(A× B) = #A × #B, y como B =∅ A× B = A × ∅ = ∅ por lo tanto #(A× B) = #(A × ∅) = #(∅ × A) = #∅ entonces #A· #B = #A · #∅ = #∅ · #A = #∅ a· 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ No
como∀a ∈ No, a · 0 = 0, en el caso particular de que a = 0 se tiene que 0 · 0 = 0 VII. Ley de Uniformidad
Si m = n−→ m · a = n · a ∀a ∈ No
Si multiplicamos los dos miembros de una igualdad por un mismo n´umero na-tural, obtenemos otra igualdad
(a = b)· (c = d) −→ a · c = b · d
Si multiplicamos miembro por miembro varias igualdades obtenemos otra igual-dad
VIII. Ley de Monoton´ıa
si a < b−→ a · c < b · c si a > b−→ a · c > b · c
Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo n´umero natural, se obtiene una desigualdad del mismo sentido
a < b c < d a· c < b· d a > b c > d a· c > b· d
Si se multiplican miembro por miembro dos o m´as desigualdades del mismo sentido, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido
Divisi´on en los N´umeros Naturales 19
2.7
§ Divisi´on en los N´umeros Naturales §
Dados dos n´umeros naturales cualesquiera a y b, ¿Existe otro n´umero natural c tal que multiplicado por a se obtenga como producto el n´umero b?
Si tal n´umero c existe, entonces la operaci´on que permite calcular dicho c se denom-ina divisi´on exacta y se indica con b÷ a = c
Al n´umero c ∈ N se le llama cociente exacto entre a y b. El n´umero b ∈ N se llama dividendo. El n´umero a∈ N se llama divisor.
Definici´on 2.10. Cociente Exacto
Dados dos n´umeros naturales a y b decimos que c ∈ N es el cociente exacto entre b y a si b = ac, es decir b÷ a = c
Propiedades de la Divisi´on Exacta en N
La divisi´on exacta no es clausurativa o cerrada porque no siempre ocurre que la divisi´on entre dos naturales de como resultado otro n´umero natu-ral; no es conmutativa ni asociativa; no existe elemento identidad para la divisi´on exacta. No existe un n´umero natural e tal que ∀a ∈ N se verifique que
a÷ e = e ÷ a = a
Pero si se puede afirmar que existe un elemento neutro para la divisi´on en N que es el 1 porque
∀a ∈ N, a÷ 1 = a
I. Distributiva respecto a la adici´on
∀a, b, c ∈ N, (a + b) ÷ c = (a ÷ c) + (b ÷ c) II. Distributiva respecto a la sustracci´on
∀a, b, c ∈ N, (a − b) ÷ c = (a ÷ c) − (b ÷ c) III. Ley de uniformidad
Si a = b y c = d−→ a ÷ c = b ÷ d si a ÷ c ∈ N y b ÷ d ∈ N IV. Ley de Monoton´ıa
1. Si a, b, c∈ N y a < b −→ a c < b c 2. Si a, b, c∈ N y a > b −→ a c > b c
Definici´on 2.11. Divisi´on Inexacta
La divisi´on inexacta entre dos enteros es aquella que produce un cociente entero m´as un residuo
Dados D, d ∈ N tales que no existe cociente exacto en la divisi´on D÷ d entonces
D = d· c + r, con r ∈ N, r < d y c ∈ N0 Donde D es el dividendo, d el divisor, c cociente y r el residuo
La siguiente afirmaci´on es consecuencia directa de las propiedades uniforme y distributiva de la mutltiplicaci´on respecto de la suma:
“Si el dividendo y el divisor se multiplican por un mismo n´umero, el cociente no var´ıa pero el residuo queda multiplicado por dicho n´umero”
Demostraci´on.
D = d· c + r Por definici´on de divisi´on
D· h = (d · c + r) · h Prop. uniformidad de la multiplicaci´on D· h = d · c · h + r · h Prop. distributiva de la multiplicaci´on D· h = d · h · c + r · h Prop. conmutativa de la multiplicaci´on (D· h) = (d · h) · c + r · h Prop. asociativa de la multiplicaci´on
N´umero de cifras del cociente entero
El cociente de una divisi´on de n´umero naturales tiene tantas cifras enteras como ceros se deben agregar al divisor para que sea mayor que el dividendo.
Ejemplo 5714 14
r c −→ El cociente c tiene 3 cifras porque 14 000 |{z} 3 > 5718 En Efecto, 5714 14 0118 408 ←− 3 cifras
Potenciaci´on en los Naturales 21
2.8
§ Potenciaci´on en los N´umeros Naturales §
Definici´on 2.12. Potencia de un N´umeroSe llama potencia de un n´umero natural a al producto que se obtiene al multiplicar el n´umero a por si mismo cualquier n´umero de veces La potenciaci´on es una multiplicaci´on abreviada, es decir, un pro-ducto de factores iguales
Sea a, n∈ N. Si multiplicamos el n´umero a por si mismo n veces obtenemos el producto a· a · a · . . . a
| {z }
n veces
y lo simbolizamos con an
En general, si (a, n)∈ N × N y n ≥ 2, entonces (a, n) ∧
−−−−−−−→an
Podemos afirmar entonces que la potenciaci´on es una operaci´on que hace corresponder a cada par ordenado de n´umeros naturales (a, n) su potencia an, donde n
≥ 2
Si a, n ∈ N −→ an es la en´esima potencia de a Llamamos base al n´umero a que se repite. Llamamos exponente al n´umero n que indica cu´antas veces se repite el n´umero a Ejemplo 24= 2 × 2 × 2 × 2 a1= a Propiedades de la potenciaci´on en N y No Si a, b, m, n∈ N, entonces I. Propiedad clausurativa p = ab∈ N
El resultado de elevar un n´umero natural a una potencia es otro n´umero natural II. Propiedad modulativa
a1= a, 1 es el m´odulo de la potenciaci´on Todo n´umero elevado a 1 es igual al mismo n´umero natural III. Propiedad uniforme
Si a = b −→ an= bn
Elevando los dos miembros de una igualdad a una misma potencia se obtiene otra igualdad
IV. Leyes de monoton´ıa
1. Respecto de la base: Elevando los dos miembros de una desigualdad a una misma potencia, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido
a < b −→ an< bn
2. Respecto del exponente : de dos potencias de la misma base es mayor la de mayor exponente
Si n < m −→ an< am
Nota:
· Si las bases y los exponentes son distintos, nada puede asegurarse de como son entre s´ı las potencias
· La potenciaci´on no es conmutativa
· La potenciaci´on no es distributiva respecto de la suma o de la diferencia
Reglas del c´alculo con potencias
Si a, b, m, n∈ N, entonces • Casos de exponente cero
Si n = 0 −→ a0= 1 (pero 00no definido) • Potencia de un producto (a· b)n = an · bn (20)3= (2× 10)3= 23× 103= 8× 1000 = 8000 • Potencia de un cociente Si a b ∈ N −→ a b n = a n bn 2 5 3 =2 3 53 = 8 125 • Producto de potencias de la misma base
an· am= am+n 23
× 24= 23+4= 27= 128 • Cociente de potencias de la misma base
Si (n− m) ∈ N −→ an÷ am= a n am = a n−m 25 23 = 2 5−3 = 22= 4 23 25 = 1 25−3 = 1 22 = 1 4
Radicaci´on en los Naturales 23 • Potencia de una potencia
(am)n= amn (23)4= 23×4= 212= 4096 • a−n b−m = bm an y a b −m = b a m
2.9
§ Radicaci´on en los N´umeros Naturales §
Definici´on 2.13. Radicaci´onEl proceso de radicaci´on es inverso al proceso de la potenciaci´on y se define de la siguiente forma
Si an = b
−→ a = √n
b
Donde b recibe el nombre de radicando, n es el ´ındice radical, √ es el s´ımbolo radical y a es la ra´ız en´esima
Propiedades de la radicaci´on
I. Propiedad fundamental
n
√ an = a II. Ra´ız de un producto
n √ a× b = √n a×√n b 2 √ 25× 4 =√2 25×√2 4 = 5× 2 = 10 III. Ra´ız de un cociente
n r a b = n √a n √ b 2 r 25 4 = 2 √ 25 2 √ 4 = 5 2 = 2.5 IV. Ra´ız de una Ra´ız
n q m√ a = mn√ a 3 q 2 √ 64 = 3·2√ 64 =√6 64 = 2 · La radicaci´on no es conmutativa n √a 6= √a n
· No es distributiva respecto de la suma o la resta
n
√
a± b 6= √n
a±√n
b
En las dos ´ultimas operaciones que hemos analizado, vimos que la potenciaci´on es una operaci´on directa, es decir, dada una base a y un exponente n, para hallar la potencia respectiva an basta con multiplicar a por ella misma n veces (an = a
× a · · · × a | {z } n veces = b). Por ejemplo 54= 5× 5 × 5 × 5 = 625
Ahora bien, si en la expresi´on an = b conocemos el exponente n y la potencia b, para hallar la base a, debemos aplicar la operaci´on radicaci´on que es inversa a la potenciaci´on (a = √n
b). Por ejemplo
a4= 625 −→ a =√4
625 = 5 pues 54= 625
Es decir, la radicaci´on es la operaci´on inversa a la potenciaci´on con la cual podemos hallar la “base”. Pero si en la expresi´on an = b conocemos la base a y la potencia b y lo que debemos hallar es el exponente, la radicaci´on no sirve en tal caso y debemos recurrir a otra operaci´on inversa de la potenciaci´on conocida como la logaritmaci´on (en realidad podr´ıa llamarse exponenciaci´on pues nos permite hallar el exponente) y que definiremos en seguida.
2.10
§ Logaritmaci´on en los Naturales §
Si bien el estudio completo de los logaritmos se reserva para el ´Algebra, la introducci´on del concepto de logaritmo y de sus primeras propiedades pueden darse en los comienzos del estudio de las matem´aticas, con el fin de que el alumno fije bien el esquema completo de las operaciones fundamentales, directas e inversas, entre n´umeros.
Se explicar´a el concepto de logaritmo mediante un ejemplo
Ejemplo En la igualdad 24 = 16 aparecen tres n´umeros. Como ya sabemos el 2 llamado la base, el 4 llamado el exponente y el 16 llamado la potencia. Si lo que conocemos es la potencia y la base, podemos determinar el exponente con la operaci´on llamada logaritmaci´on. El exponente que hay que hallar se llama logaritmo de la potencia en la base dada. En este ejemplo la operaci´on se indica as´ı: 4 = log216 (l´ease: 4 igual al logaritmo de 16 en base 2)
Definici´on 2.14. Logaritmo
Se llama logaritmo de un n´umero, b, en una base dada, a, al exponente n al que hay que elevar la base para obtener el n´umero b. Si
an= b −→ logab = n
n se llama el logaritmo, a es la base y b es el n´umero al que se le halla el logaritmo
Logaritmaci´on en los Naturales 25
Propiedades de los Logaritmos
I. Propiedades Fundamentales
• El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a cero logb1 = 0
• El logaritmo en base a de a siempre ser´a 1 logaa = 1 II. Logaritmo de un Producto y un Cociente
• El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de cada factor logb(u· v) = logbu + logbv
• El logaritmo de un cociente es igual a la resta del logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador
logb u
v
= logbu− logbv
III. Logaritmo de una potencia: el logartimo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base
logaPn = n logaP IV. Cambio de base
logab = logca logcb
Problemas
1. Establecer la relaci´on adecuada entre los n´umeros 3 y 5; 9 y 7 2. Qu´e significa que el n´umero m es igual a n; que m > n; m < n?
3. En un colegio hay x dormitorios e y estudiantes. ¿Cu´ando ser´a x = y, cu´ando x > y y cuando x < y, de acuerdo con la coordinaci´on de los conjuntos que ellos representan?
4. a es un n´umero de hombres y b es un n´umero de mujeres. ¿Qu´e relaciones se podr´an escribir si al formar parejas sobran j´ovenes; si sobran muchachas; si no sobran j´ovenes ni muchachas?
5. ¿Por qu´e cierto n´umero de l´apices es igual a cierto n´umero de naranjas?
6. Explique cu´ando cierto n´umero de personas es menor que cierto n´umero de som-breros
7. Explique por qu´e el n´umero de profesores de un colegio es mayor que el n´umero de aulas del colegio
8. Reparto x l´apices entre los n alumnos de una clase dando uno a cada alumno y quedan alumnos sin l´apices. ¿Qu´e podr´as escribir?
9. En un tranv´ıa de 32 asientos entran x personas y no quedan asientos vac´ıos. ¿Qu´e relaci´on se puede escribir?
10. Reparto m l´apices entre los 18 alumnos de una clase y sobran l´apices ¿Qu´e puede escribir?
11. En un ´omnibus que tiene 20 asientos entran n personas y no quedan personas de pie. ¿Qu´e relaci´on puede escribir?
12. La velocidad x de un autom´ovil que poseo no puede pasar de 140 Kms. por hora. ¿Qu´e puede escribir?
13. Si la velocidad x de un auto no puede bajar de 8 Kms. por hora ¿qu´e puede escribir? 14. Yo no tengo 34 a˜nos de edad. Si mi edad es x a˜nos, ¿qu´e puede escribir?
15. Para contraer matrimonio un hombre necesita tener 14 a˜nos cumplidos. Si Juan que tiene n a˜nos se casa, ¿cu´al es su edad?
16. Aplicar el car´acter rec´ıproco de las igualdades a x = y; a + b = c; p = q + r 17. Mis x a˜nos son tantos como los y hermanos de Enrique. ¿Qu´e puede escribir de
acuerdo con el car´acter rec´ıproco de las igualdades 18. Aplicar el car´acter transitivo a las igualdades siguientes:
m = n y n = p p = q y r = p x = y y n = y a + b = c y x = a + b
19. Mi aula tiene tantos alumnos como a˜nos tengo yo y Mar´ıa tiene tantos primos como alumnos tiene mi aula, luego...¿Qu´e car´acter aplica para ello?
20. m = n + p y n + p = c + d luego... 21. Si m > n resulta n?m
22. Siendo x < y resulta que y?x
23. Qu´e se deriva de cada una de las parejas siguientes de desigualdades de acuerdo con el car´acter transitivo?
7 > 5 y 5 > 2 9 > 3 y 3 > 2 a < b y b < m m < n y n < p
Logaritmaci´on en los Naturales 27 24. De
6 > 3 y 2 < 3 resulta que... 9 < 11 y 9 > 7 resulta que... 20 > 6 y 3 < 6 resulta que...
25. Expresar el car´acter transitivo de la relaci´on de mayor con los n´umeros 8, 3 y 7. 26. Represente gr´aficamente el car´acter transitivo de la relaci´on de menor con los
n´umeros 2, 5 y 9
27. Exprese el car´acter transitivo de la relaci´on de menor con 11, 9 y 7. 28. Yo tengo m´as dinero que t´u y menos que tu primo. ¿Qui´en es el m´as rico?
29. ¿Son coordinables los conjuntos formados por las letras de las palabras Argentina y Venezuela?
30. ¿Qu´e condici´on debe cumplirse para que los alumnos de la clase y el conjunto de sus libros sean coordinables?
31. En la siguiente resta, letras diferentes representan d´ıgitos diferentes:
M O R A
− A M O R
R O M A
¿Cu´al es el valor de cada letra?
32. Sergio tiene 11 a˜nos y Ra´ul tiene 6. ¿Dentro de cu´antos a˜nos tendr´an ambos la misma edad?
33. Si de la suma de dos n´umeros se resta su diferencia, ¿qu´e se obtiene? 34. ¿Qu´e n´umero de la siguiente sucesi´on est´a equivocado?:
60, 52, 45, 38, 34, 30
35. ¿Qu´e modificaciones pueden hacerse a las cantidades del minuendo y del sustraendo de una resta para que la diferencia:
(a) permanezca igual? (b) aumente en 5 unidades?
(c) disminuya en 3 unidades?
36. Si tengo 17 ovejas y se me escapan todas menos 9, ¿cu´antas me quedan?
37. Dados los d´ıgitos 2, 5, 9, y utilizados sin repetici´on, calcule la menor diferencia posible entre los n´umeros de tres cifras que pueden construirse con ellos.
38. ¿Cu´antas hojas de un libro tengo que pasar para llegar a la p´agina 117 desde la p´agina 112? ¿Y de la p´agina 263 a la 268? ¿Es igual en ambos casos?
39. Vamos corriendo 10 atletas. Si soy el 8o por la cola, ¿en qu´e puesto voy en la carrera?
40. Hoy he le´ıdo la novela desde el comienzo de la p´agina 13 hasta el final de la p´agina34 ¿Cu´antas p´aginas he le´ıdo hoy?
41. Las 4 cifras que componen un n´umero son d´ıgitos pares escritos en orden ascendente de izquierda a derecha. Este n´umero, al sumarse con otro, da como resultado 2.989. ¿Con qu´e otro n´umero se ha sumado?
42. ¿Cu´antas veces puede sustraerse 20 de 80?
43. ¿Cu´antos d´ıas tarda un sastre en cortar una pieza de 20 metros de largo en lotes de 2 metros diarios?
44. Si a la suma de dos n´umeros se agrega su diferencia, se obtiene 82. ¿Cu´anto vale el n´umero mayor?
45. En la secuencia num´erica 4, , , , 32, cada t´ermino a partir del 3ose obtiene sumando los dos anteriores. Halle los tres t´erminos faltantes.
46. Carlos tiene la mitad de dinero que Julio. Si Julio le diera 5.000 pesos a Carlos, ´este tendr´ıa 4.000 pesos menos de los que tiene Julio ahora. ¿Cu´anto ten´ıan entre ambos al comienzo?
47. Luisa, Amalia y Miriam tienen 10 caramelos cada una. ¿Cu´antos caramelos deber´ıa dar Amalia a cada una de sus dos amigas para que, luego del reparto, Luisa tenga 13 caramelos m´as que Amalia, y Miriam tenga 2 menos que Luisa?
48. La suma de 4 n´umeros es 3.584. Si el 1o aumenta en 13, el 2o disminuye en 21, el 3odisminuye en 18 y el valor de la suma no se altera, ¿qu´e le pas´o al 4o sumando? 49. La Sra. Tomasa naci´o 17 a˜nos despu´es que el Sr. Ram´on, y muri´o 2 a˜nos antes que
´este. Si el Sr. Ram´on vivi´o 85 a˜nos, ¿cu´antos a˜nos vivi´o la Sra. Tomasa?
50. Cuatro socios han ganado 21.175 pesos. El 1oha de recibir 4.250 pesos m´as que el 2o; ´este, 1.700 m´as que el 3o; y este ´ultimo, 1.175 m´as que el 4o. ¿Cu´anto recibir´a el 1o?
51. Una botella y su tap´on cuestan $1, 10. La botella cuesta $1 m´as que el tap´on. ¿Cu´anto cuesta la botella?
52. A fin de a˜no, los alumnos de la Escuela de F´utbol votan para elegir al mejor compa˜nero. Este a˜no fueron votados 5 alumnos. Cada uno sac´o 6 votos menos que el anterior, y Pedro, que qued´o de 5o, obtuvo 10 votos. ¿Cu´antos alumnos votaron?
53. Dos arrieros tienen un tonel de 8 arrobas lleno de vino, y dos vac´ıos de 3 y 5 arrobas. Al separarse quieren llevar cada uno la mitad del vino. ¿C´omo hacer el reparto por transvases sucesivos?
54. Despu´es de la graduaci´on, todos los estudiantes intercambiaron fotos entre s´ı de tal forma que cada estudiante se qued´o con una foto de cada uno de sus compa˜neros. Si en total se intercambiaron 870 fotos, ¿cu´antos estudiantes se graduaron?
Logaritmaci´on en los Naturales 29 55. Un hombre pesca 60 truchas en un r´ıo. Se supone que 30 son hembras. Cada trucha pone 100 huevos al a˜no. Se supone que 50 huevos dan hembras. ¿Cu´antas truchas m´as tendr´ıa el r´ıo al cabo de tres a˜nos si el pescador no las hubiera pescado? (Se supone que las cr´ıas hembras producen a partir del primer a˜no en la misma cantidad y que ni se mueren ni son pescadas por otros pescadores)
56. Dos trenes salen al mismo tiempo de dos ciudades diferentes, en sentidos opuestos. Uno se mueve a 95 km/h y el otro a 120 km/h (velocidades promedio). Si se cruzan a las 3 horas de haber salido, ¿cu´al es la distancia entre ambas ciudades?
57. Hallar el siguiente t´ermino de la sucesi´on: 9, 18, 15, 30, 27, 54, 51, 102
58. En el mercado mayorista se vende el az´ucar en empaques de 9, 6 y 2 kg, y la harina, en empaques de 15, 8 y 7 kg. El precio del az´ucar es el doble de la harina. La se˜nora Sandra compra cinco de los seis empaques disponibles y paga igual por la harina que por el az´ucar. ¿Qu´e empaque de cu´al de los dos productos no ha comprado? 59. Si A, B, C, D, E representan 5 d´ıgitos diferentes entre s´ı y distintos de cero, hallar
su valor para que se verifique:
A B C D E
× 4
E D C B A
60. Si me das una naranja, tendr´e el doble de las tuyas. Pero si te doy una de las m´ıas, tendremos el mismo n´umero de naranjas. ¿Cu´antas tengo yo?
61. En un conjunto de vacas y de pollos el n´umero de patas es 14 unidades mayor que el de cabezas, que es 6. ¿Cu´antas vacas hay?
62. Una se˜nora tiene 33 a˜nos y su hijo, 7. ¿Dentro de cu´antos a˜nos ser´a la edad de la mam´a tres veces la de su hijo?
63. Hallar el t´ermino que falta en la serie: 3, 9, , 45, 93, 189
64. Hallar un n´umero de cuatro d´ıgitos menores que 5 tales que, considerados de izquierda a derecha, el 4o es el doble del 1o, el 2o es 3 unidades menor que el 3o, y la suma del 1o y del 4o es el doble del 3o.
65. En un a˜no un carnicero vende 145 kg de carne a un panadero a un costo de 4.300 pesos/kg. En el mismo per´ıodo, el panadero le vende al carnicero 406 kg de pan a un precio de 1.500 pesos/kg. ¿Qui´en de los dos es deudor del otro?
66. Entre billetes de 1.000 y de 2.000 pesos, Carlos tiene 10 billetes. Le faltan 4.000 pesos para comprar un pantal´on. Si el n´umero de billetes de 1.000 fuera el de 2.000 y viceversa, tendr´ıa el dinero exacto para la compra. ¿Cu´anto dinero tiene? 67. En la cooperativa necesitan un tractor para trabajar en la granja. Les han ofrecido
dos alternativas: A) 300.000 pesos por el alquiler + 5.000 pesos por cada hora de trabajo; B) 250.000 pesos por el alquiler + 6.000 pesos por cada hora de trabajo. Si el tiempo de trabajo se estima en algo m´as de 50 horas, ¿qu´e opci´on resulta m´as barata?
68. Juli´an pesa el doble de su esposa, ´esta el doble de su hija, y los tres juntos, 154 kg. ¿Cu´anto pesa la ni˜na?
69. K, E y D representan a tres enteros consecutivos. G y B son otra pareja de enteros consecutivos, diferentes de los anteriores. Se verifica que E x G B = K E D. ¿Cu´al es el valor de cada letra?
70. En este momento, la edad de Marcos triplica a la de Rosaura, pero dentro de 14 a˜nos s´olo ser´a el doble. ¿Cu´antos a˜nos tiene Rosaura actualmente?
71. Acabamos de enviar un paquete por medio de una agencia. La agencia cobra 5.000 pesos por los primeros 5 kg; por cada uno de los siguientes 5 kg, la mitad del costo por kg de los 5 anteriores; y as´ı sucesivamente. Si hemos pagado 8.000 pesos, ¿cu´anto pesa el paquete?
72. Un vendedor tiene seis cestas, unas con huevos de gallina y otras con huevos de codorniz. Los n´umeros de huevos en cada cesta son: 6, 29, 12, 23, 5, 14. El vendedor considera: “Si vendo esta cesta, me quedar´ıa el doble de huevos de gallina que de codorniz”. ¿A qu´e cesta se refiere? ¿Qu´e cestas quedar´ıan conteniendo huevos de codorniz?
73. Sin efectuar la multiplicaci´on, ¿cu´antas cifras enteras y cu´antos decimales tiene el producto de 417, 201× 2, 56?.
74. En unas elecciones, un candidato ganador triplic´o en votos a su oponente, y juntos sacaron 116.000 votos. ¿Cu´antos obtuvo el candidato ganador?
75. ¿Qu´e le ocurre al cociente en una divisi´on exacta si:
(a) el dividendo se multiplica por 7 y el divisor permanece igual? (b) el dividendo se divide entre 3 y el divisor permanece igual? (c) el dividendo permanece igual y el divisor se multiplica por 5? (d) el dividendo permanece igual y el divisor se divide entre 3? (e) el dividendo se multiplica por 3 y el divisor se divide entre 2?
76. ¿Qu´e modificaciones simult´aneas pueden hacerse a las cantidades del dividendo y del divisor de una divisi´on exacta para que el cociente:
(a) permanezca igual? (b) se duplique?
(c) se reduzca a su tercera parte?
77. ¿Qu´e le puede haber ocurrido al dividendo de una divisi´on exacta si:
(a) el divisor ha permanecido igual y el cociente se ha reducido a su mitad? (b) el divisor ha permanecido igual y el cociente se ha triplicado?
(c) el divisor se ha duplicado y el cociente se ha cuadruplicado?
78. En una divisi´on inexacta el divisor es 36 y el cociente 456; se sabe adem´as que el resto es el mayor posible. ¿Cu´al es el dividendo?
Logaritmaci´on en los Naturales 31 80. Un Hortelano lleva naranjas y se encuentra con 3 guardas. Al primero le regala la mitad de las naranjas m´as dos; al segundo la mitad de las que le quedan m´as dos; al tercero la mitad de las sobrantes m´as dos. Se queda con una naranja. ¿Cu´antas llevaba? (Raz´onese del final al principio)
81. Pedro tiene 43,75 pesos entre monedas de 0,25; 0,50; 1; 2 y 5 pesos. Si tiene el mismo n´umero de monedas de cada tipo, ¿cu´antas monedas tiene en total? 82. La diferencia de dos n´umeros naturales es 940 y el cociente exacto del mayor entre
el menor es 11. ¿De qu´e n´umeros se trata?
83. Rafael tiene 40 a˜nos y la suma de las edades de sus tres hijos es 22 a˜nos. ¿Dentro de cu´antos a˜nos la edad de Rafael ser´a igual a la suma de las edades de sus tres hijos?
84. ¿Cu´al es el menor n´umero impar mayor que 1 tal que, al dividirse por 7 ´o por 5, da como resto 1?
85. Se reparten 134 libros en seis cajas A, B, C, D, E y F. En cada caja y siguiendo el orden anterior, se va colocando un libro cada vez. ¿En qu´e caja se depositar´a el ´
ultimo libro?
86. La suma de dos n´umeros enteros es 168; al dividirse el mayor entre el menor se obtiene 7 como cociente y 16 como residuo. ¿Cu´ales son los n´umeros?
87. Un desag¨ue vac´ıa un dep´osito de 1 m3 a raz´on de 20 litros por minuto. ¿Cu´antos desag¨ues iguales al anterior se necesitan para vaciarlo en 10 minutos?
88. Diariamente llegan al aeropuerto un promedio de 6.480 pasajeros. Cada avi´on trae 90 pasajeros. ¿Cu´al es el promedio de aviones que aterrizan cada hora en el aerop-uerto?
89. Se ha dividido un n´umero entre 5. ¿Cu´antas veces el dividendo contiene al cociente? 90. ¿Cu´al es el divisor cuando el cociente contiene al dividendo 4 veces?
91. La edad de una persona al morir era casualmente el cociente de dividir su a˜no de nacimiento entre 31. ¿Qu´e edad ten´ıa esta persona en el a˜no 1921?
92. A y B son dos n´umeros escogidos entre 1 y 45, ambos inclusive, tales que su suma es 45. ¿Cu´al es el mayor valor posible de la expresi´on A× B ÷ (A − B)?
93. Acabo de perder el tren por un minuto. Pero si pasaran 3 trenes m´as cada hora tendr´ıa que esperar al pr´oximo tren 1 minuto menos que lo que tengo que esperar ahora. Y a todo esto, ¿cu´anto es lo que tengo que esperar ahora?
94. Todos los n´umeros naturales desde 8 hasta 2.004 se dividen entre 7. ¿Cu´anto da la suma de los residuos de todas esas divisiones?
95. Un tanque de agua tiene dos grifos. El primero lo llena en 10 minutos y el segundo en media hora. ¿En cu´anto tiempo se llenar´a si se abren los dos grifos a la vez? 96. Deb´ıa multiplicar 78 por un n´umero de dos cifras, cuya cifra de las decenas es el
triple de la de las unidades. Pero me equivoqu´e y multipliqu´e 78 por el n´umero con las dos cifras cambiadas de posici´on. El producto obtenido as´ı es 2.808 unidades menor que el que deber´ıa haberse obtenido. ¿Cu´al era este producto?
97. Un comerciante compra 12 cajas de mercanc´ıa a 87 pesos cada una y vende 4 de ellas por un total de 380 pesos. ¿A c´omo tendr´a que vender cada una de las cajas restantes para que pueda obtener una ganancia de 156 pesos por la venta de las 12 cajas?
98. Divida 45 en cuatro sumandos tales que si al 1o le agrega 2, al 2o le resta 2, al 3o lo multiplica por 2, al 4o lo divide entre 2, y vuelve a sumar estos cuatro nuevos n´umeros, obtiene otra vez 45.
99. Escriba los n´umeros pares hasta el 12 utilizando cada vez 4 cuatros y sirvi´endose de los signos de las operaciones aritm´eticas, incluida la potencia (Vale escribir dos d´ıgitos juntos para constituir un solo n´umero de dos digitos)
100. Un tren de kil´ometro y medio de longitud viaja a una velocidad de 30 km/h. ¿Cu´anto tiempo tardar´a en atravesar un t´unel de kil´ometro y medio de largo? 101. La se˜nora Antonia compr´o un lote de caramelos a raz´on de 270 pesos por cada 9
caramelos y los vendi´o a raz´on de 10 caramelos por 800 pesos. Al venderlos todos obtiene una ganancia de 21.000 pesos. ¿Cu´antos caramelos compr´o?
102. Una prueba comienza a las 8.25 a.m. y debe terminar a las 9.55 a.m. Si ha tran-scurrido la quinta parte del lapso previsto, ¿qu´e hora es?
103. En una ferreter´ıa, 1 cuesta 2.500 pesos y 918 cuesta 7.500 pesos. ¿Qu´e se est´a comprando?
104. Una persona ha vivido hasta ahora 44 a˜nos, 44 meses, 44 semanas, 44 d´ıas y 44 horas. ¿Cu´antos a˜nos y meses cumplidos tiene?
105. Mar´ıa compra tres piezas de la misma tela, en distintos momentos pero al mismo precio. El costo de la primera pieza fue de 31,05 pesos; la segunda, que ten´ıa 5 metros m´as que la primera, cost´o 36,80 pesos; y la tercera, 85,10 pesos. ¿Cu´antos metros de tela ha comprado en total?
106. Un perro persigue a un conejo que le lleva una ventaja equivalente a 50 saltos de conejo. Si un salto del perro equivale a 3 del conejo, y si el conejo da 8 saltos mientras el perro da 3, ¿en cu´antos saltos alcanza el perro al conejo?
107. Tres ni˜nos est´an jugando. En cada jugada, uno pierde y dos ganan. Los que ganan doblan el puntaje que tra´ıan y el que pierde resta a su puntaje la suma de los puntajes que tra´ıan los dos ganadores. Despu´es de tres jugadas, cada jugador ha ganado dos veces y ha perdido una. Al final, los tres tienen 40 puntos. ¿Cu´antos puntos ten´ıa cada uno al comienzo del juego?
108. A, B y C son tres n´umeros diferentes cuya suma es 28. Si A es la tercera parte de la suma de B y C, ¿cu´anto suman estos dos ´ultimos?
109. ¿Cu´al es el n´umero siguiente en la secuencia: 1, 9, 36, 100, . . .? 110. ¿Qu´e potencia de 10 equivale a diez millones?
111. La diferencia de los cuadrados de dos n´umeros naturales no consecutivos es 93. ¿Cu´ales son los n´umeros?
Logaritmaci´on en los Naturales 33 112. Sup´on que una sustancia decae de tal modo que 1/2 de ella queda despu´es de 1 hora. Si hab´ıa 640 gramos al inicio, ¿cu´anto queda despu´es de 7 horas? ¿Cu´anto queda despu´es de n horas?
113. Si una cuerda tiene 243 pies de longitud, ¿cu´anto queda despu´es de 5 cortes si cada vez se corta la tercera parte? ¿Cu´anto queda despu´es de n cortes?
114. Una empresa tiene un plan de 4 a˜nos para aumentar su personal a la cuarta parte cada uno de esos a˜nos. Si el personal actual es de 2560, ¿cu´antos habr´a al final del plan cuatrienal? Formula una expresi´on exponencial que represente la fuerza laboral despu´es de n a˜nos.
115. Cuando una inversi´on de P d´olares gana el i% de inter´es anual, y el inter´es se compone (capitaliza) anualmente, la formula de la cantidad final, A, despu´es de n a˜nos, es A = P (1+i)n, en la cual i se expresa en forma decimal. Calcula la cantidad A si se invierten $1, 000 al 10% compuesto anualmente durante 3 a˜nos.
116. Usa la f´ormula del problema anterior para calcular el n´umero de a˜nos que tardar´ıa en duplicarse una inversi´on de $1, 000, invertida al 10% de inter´es compuesto an-ualmente.
117. Un terreno cuadrado tiene una superficie de 324 m2 ¿Cu´anto costar´a cercarlo si el metro de valla cuesta 380 pesos?
118. Un propietario tiene un terreno cuyas dimensiones son 32 m de largo por 8 m de ancho, y quiere permutarlo por un terreno cuadrado de la misma superficie. ¿Cu´al debe de ser el lado del terreno cuadrado?
119. Una mesa cuadrada tiene una superficie de 841 dm2¿Cu´anto mide su lado? 120. Un terreno cuadrado tiene una superficie de 635.04 m2 ¿Cu´al es la longitud que
tiene la valla que lo rodea?
121. Un comerciante ha comprado cierto n´umero de pantalones por $256. Sabiendo que el n´umero de pantalones coincide con el precio de cada pantal´on, ¿cu´antos pantalones compr´o?
122. Un terreno cuadrado tiene una superficie de 2,209 m2 y se quiere rodear con una valla que cuesta $3.50 cada metro. ¿Cu´anto cuesta la obra?
123. ¿Cu´ales son las dimensiones de un terreno rectangular de 867 m2 si su longitud es triple que su ancho?
124. Se quieren distribuir los 529 alumnos de una escuela formando un cuadrado. ¿Cu´antos alumnos habr´a en cada lado del cuadrado?
125. Se compra cierto n´umero de bol´ıgrafos por 196 pesos. Sabiendo que el precio de un bol´ıgrafo coincide con el n´umero de bol´ıgrafos comprados, ¿cu´al es el precio de un bol´ıgrafo?
126. Una caja en forma c´ubica tiene un volumen de 125,000 cm3. Si se corta la mitad superior, ¿cu´ales ser´an las dimensiones del recipiente resultante?
127. Un dep´osito en forma c´ubica tiene una capacidad de 1,728 m3. Si el agua contenida en el dep´osito ocupa un volumen de 1,296 m3, ¿qu´e altura alcanza el agua en el dep´osito?
128. Un terreno tiene 500 metros de largo y 45 de ancho. Si se le diera forma cuadrada, ¿cu´ales ser´ıan las dimensiones de este cuadrado?
129. En un dep´osito hay 250047 dms3 de agua, la cual adopta la forma de un cubo. Si el agua llega a 15 dms del borde, ¿cu´ales ser´an las dimensiones del estanque? 130. Se compra cierto n´umero de libros por $729. Si el n´umero de libros comprado es el
cuadrado del precio de un libro, ¿cu´antos libros he comprado y cu´anto cost´o cada uno?
Cap´ıtulo 3
Los N´
umeros Enteros
Antes de empezar el estudio de los n´umeros enteros es conveniente establecer el concepto de sistema num´erico.
Definici´on 3.1. Sistema Matem´atico
Si en un conjunto A se define una o m´as operaciones binarias tenemos un sistema matem´atico
Ejemplo • Los enteros positivos son un sistema matem´atico porque en ´el se han
definido la adici´on y la multiplicaci´on que son operaciones binarias. • Los enteros son un sistema matem´atico porque en ´el se han definido la adici´on, la sustracci´on y la multiplicaci´on que son operaciones binarias.
Definici´on 3.2. Operaci´on Binaria
Una operaci´on binaria en un conjunto S es una regla que asigna a cualquier par de elementos de S, tomados en un orden definido, otro elemento del conjunto S
Nota:
La sustracci´on en N no es una operaci´on binaria, porque no siempre la resta de naturales produce otro natural. Por el contrario, la sustracci´on en Z si es binaria
Definici´on 3.3. Sistema Num´erico
Si en un conjunto A se han definido dos operaciones binarias que verifi-can:
1) Ambas operaciones son conmutativas 2) Ambas operaciones son asociativas
3) Una de ellas es distributiva respecto a la otra 4) Ambas poseen elemento identidad (o neutro)
Entonces A con dichas operaciones constituye un sistema num´erico
Por ejemplo,hN, +, ×i es un sistema num´erico porque: 1. + y× son clausurativas en N ∀a, b ∈ N a + b ∈ N, a × b ∈ N 2. + y× son conmutativas en N ∀a, b ∈ N a + b = b + a, a × b = b × a 3. + y× son asociativas en N ∀a, b, c ∈ N (a + b) + c = a + (b + c), (a × b) × c = a × (b × c) 4. × es distributiva sobre la suma
∀a, b, c ∈ N a × (b + c) = a × b + a × c, (b + c) × a = b × a + c × a 5. Existe un elemento neutro
∀a ∈ No, a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ N, a × 1 = 1 × a = a Si ahora definimos el conjunto de los enteros Z como
Z = N∪ N− ∪ {0}
entonces Z es un sistema num´erico para las operaciones + y× y se nota hZ; +, ×i Es un sistema num´erico porque cumple las anteriores propiedades definidas para N. Adem´as en el se cumplen otras propiedades:
(a) Existencia del inverso aditivo. ∀a ∈ Z, existe un ´unico elemento (−a) ∈ Z tal que a + (−a) = (−a) + a = 0 (b) Clausurativa para la sustracci´on
Divisibilidad en Z 37 (c) Inverso multiplicativo ∀a ∈ Z, a 6= 0, a ×1a =1 a× a = 1 (d) ∀a ∈ Z, n ≥ 0 a−n= 1 an = (a −1)n
3.1
§ Divisibilidad en los N´umeros Enteros §
Definici´on 3.4. DivisibilidadUn entero b es divisible por un entero a6= 0 si existe un entero c tal que b = a× c
Los divisores de un n´umero entero es el conjunto de n´umeros que lo dividen exactamente
En este caso decimos que a divide exactamente a b, que a es un divisor de b, que a es un factor de b o que b es divisible por a
La notaci´on a | b significa que a es un divisor de b. La negaci´on es a ∤ b (a no es un divisor de b).
Propiedades de la Divisibilidad en Z
I. Reflexiva
∀a ∈ Z, a 6= 0 a | a II. Antisim´etrica
Si a, b∈ Z, a, b 6= 0 y si a | b y b | a −→ a = b III. Transitiva
Si a, b, c∈ Z, y si a | b y b | c −→ a | c Demostraci´on.
Si a| b, −→ ∃x tal que ax = b Definici´on de divisibilidad (1) Si b| c, −→ ∃y tal que by = c Definici´on de divisibilidad (2) Reemplazando (1) en (2) se tiene (ax)y = c de donde a(xy) = c y por tanto a| c
Veamos a continuaci´on algunas proposiciones interesantes que se cumplen en los enteros. Proposici´on 1.
0 es divisible por cualquier entero a, a6= 0 G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
