Transformaciones geométricas con azulejos
En pleno centro limeño se encuentra el convento de Santo Domingo. Entre sus paredes vivieron personajes tales como San Martín de Porres, San Juan Macías y en su interior se encuentra el sepulcro de Santa Rosa de Lima.
Cuando accedimos al convento pudimos observar, en la decoración del patio, esplendidos azulejos que fueron traídos a Lima desde Sevilla, ciudad en la que los fabricó el taller de Hernando de Valladares. Los azulejos sevillanos fueron colocados utilizando algunas
transformaciones geométricas.
El enorme claustro está decorado con azulejos en todas sus paredes hasta una altura de 240 cm., que culminan en una cenefa en la que se representan los grandes personajes de la orden dominica. En los amplios paneles de azulejos sevillanos se intercalan algunos de tipo limeño, que se caracterizan por una superficie más porosa y sin el vidriado de los españoles.
Responde las siguientes preguntas:
1. ¿Cómo son las figuras que ves en los azulejos?
_______________________________________________________________________ 2. ¿Se pueden observar cambios de posición con respecto a una figura determinada en los
diseños de los azulejos?
_______________________________________________________________________ 3. ¿Qué se entiende por transformaciones geométricas?
_______________________________________________________________________
Eje de simetría
4. ¿Qué transformaciones geométricas se han aplicado en las paredes del convento de Santo Domingo?
_______________________________________________________________________ 5. ¿Conoces otros tipos de transformaciones geométricas?
____________________________________________________________________
APRENDEMOS
Respecto de la situación planteada sobre los azulejos del convento de Santo Domingo en Lima, se observa que los diseños utilizados en las paredes están formados por cuatro azulejos, con los cuales, para la decoración de toda la superficie, se aplican las siguientes transformaciones geométricas: simetría, traslación y rotación.
Transformaciones geométricas T R A S L A C IÓ
N Es una transformación geométricaque se realiza en el plano. En ella,
las figuras solo cambian su posición; es decir, solo varía el lugar. Su orientación, tamaño y formas se mantienen. R O T A C IÓ N O G IR O
Es una transformación en la que se efectúan movimientos de la figura alrededor de un punto fijo en el plano. En las rotaciones, las figuras
S IM E T R IA
Son aquellas transformaciones que invierten los puntos y figuras del plano, puede ser respecto de un punto (simetría central o puntual) o respecto de una recta (simetría axial)
La cancha de fútbol es simétrica
H O M O T E C IA Es la transformación geométrica que no tiene una imagen congruente, ya que, a partir de una figura dada, se obtienen una o varias figuras en tamaño mayor o menor que la figura inicial. Para ello se parte de un punto escogido arbitrariamente, el cual se llama centro de homotecia (O). Desde él se trazan tanto segmentos de recta
Figura Inicial
ANALIZAMOS
1. Señala el centro (o) y la razón de homotecia en los siguientes casos.
RESOLUCIÓN 3 Ampliación Reducción K= razónde homotecia=¿ O 0 < k K= razónde homotecia= 1 2 k> Fig. (2) Fig. (1) Fig. (4) Fig. (3)
(d) (c)
(a) (b)
Se considera a los cuadrados ABCD como la figura original y los cuadrados A’B’C’D’ como figura transformada, de acuerdo con una razón.
Para determinar el centro de homotecia, trazamos rectas que pasen por los vértices A y A’, B y B’, y así, sucesivamente; el punto de intercepción será el centro de homotecia. La razón de homotecia (k) se calcula:
Entonces:
En la figura 1: la razón de homotecia es: ________ porque: _____________________ En la figura 2: la razón de homotecia es: ________ porque: _____________________ En la figura 3: la razón de homotecia es: ________ porque: _____________________ En la figura 4: la razón de homotecia es: ________ porque: _____________________ 2. Observa la siguiente figura:
¿Cuál de las siguientes figuras se obtiene al aplicar una rotación de
centro O y ángulo de giro de 90° a la figura inicial?
Si los vértices están a un mismo lado del centro de homotecia (O), se dice que la homotecia es directa, por lo tanto la razón será positiva.
Si los vértices están a distinto lado del centro de homotecia (O), se dice que la homotecia es inversa, por lo tanto la razón será negativa.
RESOLUCIÓN:
3. Se desea enchapar el piso del parque municipal con el siguiente diseño. ¿Podrías determinar qué tipo de transformación geométrica se realizó para ubicar las piezas desde la A hasta la F?
RESOLUCIÓN:
5
Cuando no se indica el sentido de giro, se entiende que es antihorario (+).
Desde el punto O, se hace el giro de 90° con ayuda del transportador.
Por tanto, la respuesta es la figura C.
Desde la posición A hasta la posición F, la transformación geométrica utilizada ha sido la rotación, con respecto a un punto.
Desde A hasta B: rotación 60° antihorario Desde B hasta C: _______________________ Desde C hasta D: _______________________ Desde C hasta E: _______________________ Desde E hasta D: _______________________ Desde E hasta F: _______________________ Desde E hasta F: _______________________
4. Cristian investiga para la clase de CTA sobre la formación de las imágenes en el ojo, y ha encontrado la siguiente información:
A partir de la imagen, se da cuenta de que el árbol observado se refleja en nuestra retina de forma invertida. ¿Qué transformación geométrica se presenta en la formación de las imágenes en el ojo? ¿Serán semejantes los dos árboles mostrados en la imagen?
RESOLUCIÓN
La transformación geométrica es la ____________________________
Los objetos observados son semejantes porque ___________________________ y __________________________________________________________________.
PRACTICAMOS
1. Observa la siguiente imagen y colorea las figuras que tienen una misma letra en su parte interior, de acuerdo con la transformación geométrica correspondiente: traslación de color verde, rotación de rojo y simetría de amarillo.
2. Usa la siguiente cuadricula y dibuja el mosaico mostrado, sombrea de modo que el conjunto sombreado reproduzca la composición dada.
a) ¿Qué tipo de transformación geométrica has empleado en el sector A? ___________________________________________________________ b) ¿Qué tipo de transformación geométrica has empleado en el sector B?
___________________________________________________________ 7 Sector A Sector C Sector B
3. Considere la siguiente figura:
I) Q es una traslación de P
II) R es una rotación en 180° de P III)S es un rotación en 180° de R.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a) Sólo II b) Sólo III c) Sólo I y II d) Sólo II y III
4. Por aniversario de la I.E. Juan Pablo II, se convocó al concurso de diseños artísticos, y
quedaron tres finalistas. Relaciona con una línea los diseños finalistas con el tipo de
transformación geométrica utilizado.
5. A partir del diseño mostrado, completa toda la cuadricula utilizando las trasformaciones geométricas más convenientes.
6. La figura muestra las medidas del campo de futbol de una asociación comunal. Felipe
quiere realizar la representación reduciendo las medidas a su tercera parte. Grafica el campo de futbol y responde: ¿cuánto mide el perímetro del campo reducido?
90 metros
a) 60 m b) 90 m c) 135 m d) 270 m
8. Observa la siguiente figura:
d) c) b) a) b) c) d) a)
¿Cuál es la figura rotada de la figura anterior?
9. Encuentra el patrón con el que fueron generadas las figuras. ¿Cuál sería la figura que sigue?
10. Si a la siguiente figura le haces una homotecia cuyo centro sea O y su razón sea -2, representa la figura que obtendrías dentro de la cuadricula y determina su perímetro. Considerar
a) 100 cm b) 150 cm c) 180 cm d) 200 cm
Homotecia y tecnología
Al fotocopiar la fotografía de Albert Einstein, con la finalidad de colocarla en el periódico mural del aula de 2do grado de secundaria, se pidió una ampliación, pero la encargada de fotocopiar dicha foto, por error, programó la fotocopiadora con un zoom de 70%.
13
15cm
Con esta información, responde las preguntas 11 y 12.
11. ¿Cuáles son sus dimensiones?
a) 10,5 cm x 7 cm b) 9 cm x 6 cm c) 7,5 cm x 5 cm d) 6 cm x 5 cm
12.Si se programa la fotocopiadora a 150%. ¿cuáles serían las dimensiones de la fotografía obtenida?
a) 30 cm x 20 cm b) 25 cm x 8 cm c) 22,5 cm x 15 cm d) 20 cm x 10 cm
13.¿Cuál de las siguientes alternativas representa una rotación de la figura en 45º con
centro P?
14.Con el transportador, determina el ángulo de giro de las figuras mostradas. Relaciona con una línea las figuras y la medida de dicho ángulo.
15.El siguiente grafico muestra la reproducción de una imagen realizada con un pantógrafo, que es un dispositivo mecánico empleado para hacer ampliaciones o reducciones de dibujos.
¿Cuál es el factor de escala de la homotecia?
a) 13 b) 12 c) 2 d) 3 15 45 ° 135° 60°
