Solucionario Vallejo Zambrano Tomo I

FÍSICA VECTORIAL 1

VALLEJO-ZAMBRANO

SOLUCIONARIO

Por Henry Alvarado

Primera edición

(Edición Realizada en software de ofimática)

Contactos:

http://www.facebook.com/henryalvaradoj

0987867212

Este libro ha sido creado, con la intención de contribuir a los

estudiantes en el interés del estudio de la física, de un modo

mediante el cual puedan recurrir a esta guía para satisfacer sus

dudas en la resolución de problemas del libro “Física Vectorial

1” de los autores Patricio Vallejo y Jorge Zambrano, debo

advertir que este solucionario no constituye una guía práctica

para el aprendizaje de la física, sino es solo un apoyo para la

misma.

El libro “Física Vectorial 1” de Vallejo-Zambrano, es un libro

mediante el cual los lectores pueden aprender de un modo

significativo, sin embargo me permití resolver los ejercicios

propuestos en el mismo, para brindar una mayor facilidad de

comprensión en los problemas de este tipo, he puesto mi

esfuerzo en cada uno de los ejercicios, además de la edición de

los mismos.

El uso de este solucionario es de absoluta responsabilidad del

lector, por tanto aconsejo se utilice debidamente para

desarrollar las destrezas en el estudio de la física.

EJERCICIO Nº 1

1. Representar las siguientes coordenadas rectangulares en el plano:





 









 









 





A . -4, 3 D. 0, 6 G . -2, - 5 B 1, - 8 E . 5, 0 H . 8, - 4 C. -7, - 2 F. 3, 4 I. -1, 7 SOLUCIÓN:

2. Determinar las coordenadas rectangulares que corresponden a los siguientes puntos: SOLUCIÓN:





R . 5, - 6 S. -8, - 3





T. -4, 0





U. 2, 7

 

V. -2, 3





W. -8, 0





 

X. 8, 1 Y. -7,1

 

Z. 7, - 5





3. Sin necesidad de graficar, indicar en qué cuadrante está situado cada uno de los puntos siguientes:





































R . 12, 5 U . -1, 8 X . -11, - 6 S. -7, 4 V . -2, - 7 Y . 9, - 4 T . 4, - 2 W . 10, 3 Z. -4, 9 SOLUCIÓN:





R . 12, 5 Primer Cuadrante S. -7, 4 Segundo Cuadrante









T. 4, - 2 Cuarto Cuadrante U. -1, 8 Segundo Cuadrante









V. -2, - 7 Tercer Cuadrante W. 10, 3 Primer Cuadrante









X. -11, - 6 Tercer Cuadrante Y. 9, - 4 Cuarto Cuadrante









4. Representar las siguientes coordenadas polares en el plano:





































R . 40 cm, 75° U. 15 N, 110° X. 35 m, 200° S. 20 cm, 290° V. 25 N, 330° Y. 50 m, 245° T . 30 cm, 180° W . 10 N, 200° Z. 50 m, 90° SOLUCIÓN:

5. Determinar las coordenadas polares que correspondan a los siguientes puntos: SOLUCIÓN:





Q. 5cm, 65° R . 10 cm, 112°





S. 9 cm, 165°





T. 11cm, 225°





U. 7 cm, 305°









V. 9 N, 70° W. 7 N, 115°





X. 10 N, 210°





Y. 5 N, 260°





Z. 8 N, 325°





6. Sin necesidad de graficar, indicar en qué cuadrante está situado cada uno de los puntos siguientes:





































R . 90 m, 119° U. 47 m, 25° X. 91N, 272° S. 35 m, 213° V. 63 N, 192° Y. 113 N, 89° T . 87 m, 300° W . 56 N, 94° Z. 83 N, 165° SOLUCIÓN:





R . 90 m, 119° Segundo Cuadrante S. 35 m, 213° Tercer cuadrante









T. 87 m, 300° Cuarto Cuadrante U. 47 m, 25° Primer Cuadrante









V. 63 N, 192° Segundo Cuadrante W. 56 N, 94° Primer Cuadrante









X. 91N, 272° Cuarto Cuadrante Y. 113 N, 89° Primer Cuadrante









Z. 83 N, 165° Segundo Cuadrante

7. Representar las siguientes coordenadas en el plano:





































R . 12 m, SE _{U . 7 m, S55° O X. 11cm, S10° E} S. 8 m, N12° O V . 9 m, N 80° O Y . 8 cm, S Z. 7 cm, S15° O T . 10 m, N 35° E W . 10 cm, N

SOLUCIÓN:

8. Determinar las coordenadas geográficas que corresponden a los siguientes puntos:

SOLUCIÓN:





Q. 10 m, N 55° E R . 12 m, N 5° E





S. 8 m, N 65°O





T. 11m, S50°O





U. 10 m, SE









V. 10 N, N 40° E W. 8 N, N 32°O





X. 9 N, N80°O





Y. 12 N, S33°O









9. Sin necesidad de graficar, indicar en qué cuadrante está situado cada uno de los puntos siguientes:





































R . 70 km, SE U. 55 km, N 20 E ° X. 75 m, N 73° O S. 45 km, N 23O ° V. 80 m, S35° E Y. 40 cm, N 80° E T. 60 km, S80° O W . 29 m, S10° O Z. 89 cm, NE SOLUCIÓN:





R . 70 km, SE Cuarto Cuadrante S. 45km, N 23O° Segundo Cuadrante









T. 60 km, S80°O Tercer Cuadrante U. 55 km, N 20 E ° Primer Cuadrante









V. 80 m, S35° E Cuarto Cuadrante W. 29 m, S10° O Tercer Cuadrante









X. 75 m, N 73°O Segundo Cuadrante Y. 40cm, N80° E Primer Cuadrante









Z. 89 cm, NE Primer Cuadrante 10. En el triángulo GHI, hallar:

a) g en términos de I, h b) i en términos h, g c) G en términos i, g d) h en términos G, g e) i en términos G, h f) I en términos i, h SOLUCIÓN: a) b) c) g cosI = h g = h cosI  2 2 2 2 2 h = i + g i = h - g  -1 g tanG = i g G = tan 2    _{ }   d) e) f) g senG = h g h = senG  i cosG = h i = h cosG  -1 i senI = h i I = sen h    _{ }  

11. En el triángulo JKL, hallar: a) j en términos de L, l b) l en términos J, k c) J en términos j, l d) k en términos j, l e) k en términos j, L f) l en términos k, L SOLUCIÓN: a) b) c) l tanL = j l j = tanL  l cosJ = k l = k cosJ  -1 j tanJ = l j J = tan l    _{ }   d) e) f) 2 2 k = j + l j cosL = k j k = cosL  l senL = k l = k senL 

12. En el triángulo MNO, hallar: a) M en términos de o, m b) N en términos o, m c) n en términos o, m d) m en términos M, n e) o en términos N, n f) o en términos N, m

SOLUCIÓN: a) b) c) -1 m senM = o m M = sen o    _{ }   -1 m cosN = o m N = cos o    _{ }   2 2 2 2 2 o = m + n n = o - m  d) e) f) m tanM = n m = n tanM  n senN = o n o = senN  m cosN = o m o = cosN 

13. Resolver los siguientes triángulos rectángulos: B = 90° - 35° B = 55° c sen 35° = d c = d sen 35° c = 10 sen 35° = 5, 74 m b cos 35° = d b = d cos 35° b = 10 cos 35° = 8,19 m c b R = 90° - 42° R = 48° q sen 42° = p q p = sen 42° 73cm p = = 109, 09 cm sen 42° q tan 42° = r q r = tan 42° 73cm r = = 81, 07 cm tan 42°

ECD  E = 90° - 28° E = 62° 2 EC = 47 cm EC = 23, 5 cm EC sen 28° = DE EC DE = sen 28° 23, 5 cm DE = = 50, 05 cm sen 28° EC tan 28° = DC EC DC = tan 28° 23, 5 cm DC = = 44,19 cm tan 28° AB = DC = 44,19 cm ABC  ABC  A = 90° - 38° A = 52° AB sen 38° = AC AB AC = sen 38° 53cm AC = = 86, 09 cm sen 38° AB tan 38° = BC AB BC = tan 38° 53cm BC = = 67,84 cm tan 38° BCD  1 1 = 90° - 38° 1 = 52°   DC cos 38° = BC DC = BCcos 38° 53cm DC = cos 38° = 53, 46 cm tan 38° BD sen 38° = BC BD = BCsen 38° 53cm BD = sen 38° = 41, 76 cm tan 38° 2 2 2 2 AC = BC + AB AC = 47 + 44,19 AC = 64, 51cm -1 -1 AB tanC = BC AB C = tan BC 44,19 C = tan = 43, 24° 47             A = 90° - 43, 24° A = 46, 76°

ABC  C = 90° - 40° C = 50° BC sen 40° = AC BC = ACsen 40° BC = 90 km sen 40° = 57,85 km AB cos 40° = AC AB = ACcos 40° AB = 90 km cos 40° = 68, 94 km EDB  2 2 EB = DB = AB = 68, 94 km = 45, 96 km 3 3 2 2 DE = 45, 96 + 45, 96 DE = 65 km Triangulo isósceles E = 45° D = 45° ED C  1 = 90° - 67° 1 = 23°D = 67   DE sen 23° = DC DE = DCsen 23° DE = 71m sen 23° = 27, 74 m EC cos 23° = DC EC = DCcos 23° EC = 71m cos 23° = 65, 36 m ABC 





AC EC = 2 AC = 2 EC = 2 65, 36 m = 130, 72 m A = 90° - 37° A = 23° AB sen 67° = AC AB = AC sen 67° AB = 130, 72 m sen 67° = 120, 33 m BC cos 67° = AC BC = AC cos 67° BC = 130, 72 m cos 67° = 51, 08 m 1

EJERCICIO Nº 2

1. Determinar cuáles de los siguientes vectores son unitarios:

a)



0, 5 i+ 0, 5 j 



b)



0,8 i+ 0, 6 j 



c)



0,37 i 0,929 j 



d)



0, 7 i+ 0,55 j 



e)



0, 235 i 0,972 j 



f)



0,3 i+ 0, 4 j 



g)



0,33 i 0,943 j 



h)



0,5 i+ 0,866 j 



i)



0, 707 i 0, 707 j 



SOLUCIÓN: a) 2 2 0, 5 + 0, 5 = 0, 707No es unitario b) 2 2 0,8 + 0, 6 = 1E s unitario c) 0, 37 + 0, 929 = 12 2 Es unitario d) 0, 7 + 0, 55 = 0,8902 2  No es unitario e) 0, 235 + 0, 972 = 12 2 E s unitario f) 0, 3 + 0, 4 = 0, 52 2  No es unitario g) 0, 33 + 0, 943 = 12 2 Es unitario h) 0, 5 + 0,866 = 12 2 Es unitario i) 0, 707 + 0, 707 = 12 2 Es unitario

2. Determinar los vectores unitarios de los siguientes vectores:

a) A = 150 N, 140°





b) B = 27 N, N 37° E





c) C = 45 N, 225°





b) D = -9 i+ 4 j N



 



e) E = 400 N, S 25° O





f) F = 235 i- 520 j m



 



c) G = 28 m, S





h) H = 40 m, 335







i) I = 12 m, NO





SOLUCIÓN: a) X X A = 150 cos140° A = -114,91 Y Y A = 150sen140° A = 96, 42 A = -114, 91 i+ 96, 42 j N





  





A A A = A -114, 91 i+ 96, 42 j N =         150 N





A = -0, 77 i+ 0, 64 j    

b) X X B = 27 sen 37° B = 16, 25 Y Y B = 27 cos 37 B = 21,56 





B = 16, 25 i+ 21, 56 j N   





B B B = B 16, 25 i+ 21, 56 j N =         27 N





B = 0, 60 i+ 0, 79 j     c) X X C = 45cos 225° C = -31,82 Y Y C = 45sen 225° C = -31,82 C = -31,82 i+ -31,82 j N





  





C C C = C -31,82 i+ -31,82 j N =         45 N





C = -0, 707 i- 0, 707 j     d) 2 2 D = 9 + 4 N D = 9,85 N  





D D D = D -9 i+ 4 j N =         9,85 N





D= -0, 91 i- 0, 40 j     e) X X E = -400sen 25° E = -169, 05 Y Y E = -400 cos 25° E = -362,52 E = -169, 05 i- 362, 52 j N





  





E E E = E -169, 05 i- 362, 52 j N =         400 N





E = 0, 42 i+ 0, 91 j     f) g) 2 2 F = 235 + 520 m F = 570, 64 m  





F F F = F = 235 i- 520 j m =         570, 64 m





F = 0, 41 i- 0, 91 j    

 

G = 0 i- j     h) X X H = 40 cos 335° H = 36, 25 Y Y H = 40sen 335° H = -16,90 H = 36, 25 i+ -16, 90 j m





  





H H H = H 36, 25 i+ -16, 90 j m =         40 m





H= 0, 91 i- 0, 42 j     i) X X I = -12sen 45° I = -8, 49 X X I = 12 cos 45° I = 8, 49 I = -8, 49 i 8, 49 j m







  





I I I = I -8, 49 i 8, 49 j m =          12 m





I = -0, 707 i+ 0, 707 j    

Nota: también se puede resolver en función de los ángulos directores y cosenos directores.

3. Determinar los ángulos directores de los siguientes vectores:





R = -4 i+ 8 j m  S = 5 i- 9 j m



 



T = -11 i- 7 j m



 



U = 120 m, 120°









V = 45 N, 229° W = 57 N, 280°





X = 78 N, N 29° O





Y = 45 N, S 72° E









Z = 20 N,S 45° O SOLUCIÓN: R: X -1 X -1 2 2 R cos = R R = cos R -4 = cos = 116, 57 4 + 8                 Y -1 Y -1 2 2 R cos = R R = cos R 8 = cos = 26, 57 4 + 8                 S: X -1 X -1 2 2 S cos = S S = cos S 5 = cos = 60, 95 5 + 9                 Y -1 Y -1 2 2 S cos = S S = cos S -9 = cos = 150, 95 5 + 9                 T: X -1 X -1 2 2 T cos = T T = cos T -11 = cos = 147, 53 11 + 7                 Y -1 Y -1 2 2 T cos = T T = cos T -7 = cos = 122, 47 11 + 7                 U:  = 120°  = 120° - 90° = 30° V:  = 360° - 229 = 131   = 229° - 90° = 139° W:  = 360° - 280 = 80   = 90° 80 = 170°  X:  = 29° 90 = 119    = 29° Y:  = 90° - 72 = 18   = 180° - 72 = 108° Z:  = 90° 45 = 135    = 90° 45 = 135  

4. Determinar los vectores unitarios para los vectores opuestos a los descritos en el literal anterior. SOLUCIÓN:









- R - R = - cos116, 57° i- cos 26, 57° j = 0, 45 i- 0,89 j        









-S -S = - cos 60, 95° i- cos150, 95° j = -0, 49 i- 0,87 j        









-T -T = - cos147, 53° i- cos122, 47° j = 0,84 i 0, 54 j         









- U - U = - cos120° i- cos 30° j = 0, 50 i- 0,87 j        









- V - V = - cos131° i- cos139° j = 0, 66 i 0, 75 j         









- W - W = - cos 80° i- cos170° j = -0,17 i- 0, 98 j        









- X - X = - cos119° i- cos 29° j = 0, 48 i- 0,87 j        









- Y - Y = - cos18° i- cos108° j = -0, 95 i 0, 31 j         









- Z - Z = - cos135° i- cos135° j = 0, 71 i 0, 71 j         

5. Un vector R parte del origen y llega al punto



12, 7 cm;



determinar: a) Las componentes rectangulares del vector R

b) El módulo del vector R



c) La dirección del vector R

d) Los ángulos directores del vector R e) El vector en función de sus vectores base f) El vector unitario SOLUCIÓN: a) b) c) X Y R = 12 cm R = 7 cm 2 2 12 + 7 cm = 13,89 cm -1 12 = tan = 59, 74° 7 N 59, 74 E  _ _    

d) e) f) 90 - 59, 74 30, 26 59, 74          R = 12 i+ 7 j cm





  





R R R = R 12 i+ 7 j cm =         2 2 12 7 cm





R = 0, 96 i- 0, 5 j    

6. Un vector S cuya magnitud es de 54N y forma un ángulo de 213° en sentido antihorario con el eje positivo en Y, determinar:

a) Las componentes rectangulares del vector S b) Las coordenadas del punto externo del vector S c) Los ángulos directores del vector S

d) El vector en función de sus vectores base e) El vector unitario SOLUCIÓN: a) b) X X S = 54 N cos 213° S = -45, 29 N Y Y S = 54 N sen 213° S = -29, 41N S -45, 29; - 29, 41 N





c) d) e) = 360° - 213° = 147° = 213° - 90° = 123°   S = -45, 29 i- 29, 41 j N





  









S S = cos147° i+ cos123° j = -0,84 i- 0, 54 j        

7. Si el ángulo director de α de un vector K es 125°, y su componente en el eje X es de -37cm; determinar:

a) La componente en el eje Y b) El ángulo director β c) El módulo del vector K d) El vector unitario

e) El vector en función de los vectores base f) El punto extremo del vector

a) b) c) Y Y 37 cm tan125° = K 37 cm K = = -52,84 cm tan 35 = 180° - 35° = 145° 

 

37 cm sen 35° = K 37 cm K = = 64, 51cm sen 35°   d) e) f)









K K = cos125° i+ cos145° j = -0, 57 i- 0,82 j         K = -37 i- 52,84 j cm



 



K -37; -52,84 j cm







8. Para el vector A = -34 i+ 67 j cm/ s;





   determinar: a) Las componentes rectangulares del vector b) El vector en coordenadas polares

c) El vector en coordenadas geográficas d) El módulo del vector A

e) Los ángulos directores del vector A f) El vector unitario SOLUCIÓN: a) b) X Y R = -34 cm/ s R = 67 cm/ s -1 2 2 -34 = cos 34 + 67 = 116, 91         





2 2 A = 34 + 67 = 75,13 A = 75,13cm/ s; 116, 91°   c) d)





= 116, 91° - 90° = 26, 91° A = 75,13cm/ s; N 26, 91° O   2 2 A = 34 + 67 = 75,13cm/ s  e) f) 116, 91 26, 91      









S S = cos116, 91° i+ cos 26, 91° j = -0, 45 i 0,89 j         

9. El rumbo de un vector E es S68°E y el valor de la componente en el eje de las X es 87N, determinar:

a) Los ángulos directores b) La componente en el eje Y c) El módulo del vector E

d) Las coordenadas en el punto extremo del vector e) El vector unitario

f) Un vector F



de dirección opuesta al vector E



, cuyo módulo es el mismo del E

 SOLUCIÓN: a) b) c) = 90° - 68° = 22° = 180° - 68° = 112°   Y Y 87 N tan 68° = -E 87 N E = - = -35,15 N tan 68°

 

87 N sen 68° = E 87 N E = = 93,83 N sen 68°   d) e) f)





E 87; - 35,15 N









E E = cos 22° i+ cos112° j = 0, 93 i- 0, 37 j         F = -87 i+ 35,15 j N





  

10. El módulo del vector C es 84m y su dirección está dada por el vector unitario

C

U = m i+ nj,

  

el vector C está en el primer cuadrante; determinar: a) El valor de m y n, si n=2m

b) Los ángulos directores del vector C c) El vector en función de los vectores base d) Las componentes rectangulares del vector C e) Las coordenadas del punto extremo del vector C f) La dirección del vector C

g) El vector unitario

a) b)

 

2 2

2

En un vector unitario el módulo es siempre 1 = m + 2 m 5 m = 1 1 5 2 5 m = = y n = 5 5 1, entonces : 5 -1 -1 5 = cos = 63, 43° 5 2 5 = cos = 26, 57° 5                   c) d) e)





5 2 5 C = 84 m i+ j 5 5 C = 37, 57 i+ 75,13 j m               X Y C = 37,57 m C = 75,13m C 37, 57; 75,13 m





f) g) N 26, 57° O





C C 5 2 5 = i+ j 5 5 = 0, 45 i+ 0,89 j                

11. La componente de un vector B en el eje X es -27cm, si sus ángulos directores son

α=145° y β=125°, determinar:

a) La componente del vector en el eje Y b) El módulo del vector B

c) Las coordenadas del punto extremo del vector B d) La dirección del vector B

e) El vector en coordenadas polares f) El vector unitario SOLUCIÓN: a) b) Y Y -27 cm tan 55° = B 27 cm B = - = -18, 91cm tan 55° -27 cm cos145° = B -27 cm B = = 32, 96 cm cos145°  

c) d) e)





B -27; -18, 91 cm S 55° O B = 32,86 cm; 215°





f)









B B = cos145° i+ cos125° j = -0,82 i- 0, 57 j        

12. La componente de un vector J en el eje Y es -45km y el ángulo formado respecto al eje positivo de X es 207° en dirección antihoraria, determinar:

a) La componente del vector en el eje X b) Los ángulos directores

c) El módulo del vector J

d) Las coordenadas del extremo del vector

e) El vector en función de sus componentes rectangulares f) El vector unitario SOLUCIÓN: a) b) X X = 270° - 207° = 63° J tan 63° = -45 km J = -45 km tan 63° = -88, 32 km  = 360° - 207° = 153° = 207° - 90° = 117°   c) d) e) -45 km cos117° = J -45 km J = = 99,12 km cos117°   J -88, 32; - 45 km





J = -88, 32; - 45 km





 f)









J J = cos153° i+ cos117° j = -0,89 i- 0, 45 j        

13. El módulo de un vector E es 68cm y tiene como ángulos directores α=115° y β=25°; determinar:

a) La dirección

b) Las componentes rectangulares del vector c) Las coordenadas del punto extremo del vector d) El vector en función de los vectores base e) El vector unitario SOLUCIÓN: a) b) c) N 25° O X X E = 68cm cos115° E = -28, 74 cm X X E = 68cm sen115° E = 61, 63cm E -28, 74; 61, 63 cm





d) e)





E = -28, 74 i+ 61, 63 j cm  









E E = cos115° i+ cos 25° j = -0, 42 i 0, 91 j         

EJERCICIO Nº 3

1. Expresar en coordenadas rectangulares los siguientes vectores: a) A



15i20j



m b) B = 130 N, 125º





c) C = 37 cm, N 37º E





d) D = 25 kgf -0, 6 i- 0,8 j



 



SOLUCIÓN: a)





A = 15, - 20 m  b) x x x B = B cos B = 130 Ncos125º B = -74, 56 N      y y y B = B sen B = 130 Nsen125º B = 106, 49 N     









x y B = B , B B = -74, 56; 106, 49 N   c) x x x B = B sen B = 37 cm sen 37º B = 22, 27 cm      y y y B = B cos B = 37 cmcos 37º B = 29, 55cm     









x y B = B , B B = 22, 27; 29, 55 cm   d)









D = 25 kgf -0, 6 i- 0,8 j D = -15 i- 20 j kgf       D = -15, - 20 kgf







2. Expresar en coordenadas polares los siguientes vectores: a) A = -14 i+ 8 j m





   b) B = 87, 91 N





c) C = 45 kgf 0, 707 i- 0, 707 j



 



d) D = 22 N,S 28º O





SOLUCIÓN: a)



2 2



A = 14 + 8 A = 16,12 m   1 8 tan 14 8 tan 14 29, 74º         _{ }    180º 180º 29, 74 150, 26º         





A = 16,12 m; 150, 26º  b)



2 2



B = 87 + 91 B = 125,90 N   1 91 tan 87 91 tan 87 46, 29º         _{ }   





B = 125, 90 N; 46, 29º  c) 1 1 1 1 0, 707 tan 0, 707 0, 707 tan 0, 707 45º         _{ }    1 270º 270º 45º 315º         





C = 45 kgf; 315º  d) 270º 270º 28º 242º         





D = 22 N, 242º 

3. Expresar en coordenadas geográficas los siguientes vectores: a) A = 52, -25 N





b) B = 47 N, 245º





c) C = -32 im+ 21 jm   d) D = 35cm 0,866 i+ 0,5 j





   SOLUCIÓN: a) 2 2 A = 52 + 25 A = 57, 7 N   1 52 tan 25 52 tan 25 64, 32º         _{ }   





A = 57, 7 N; S64, 32º E  b) 270º 245º 25º      B = 47 N, S 25º O





 c) 2 2 C = 32 + 21 C = 38, 28 m   1 32 tan 21 32 tan 21 56, 73º         _{ }   





C = 38, 28 m; N 56, 73O  d) 1 0, 5 tan 0,866 0, 5 tan 0,866 30º         _{ }   





D = 35 cm; N 30º E 

4. Exprese en función de sus módulos y vectores unitarios los siguientes vectores: a) A = 44 m, 340º





b) B = 25 km, S14º O





c) C = -21, 45 N





d) D = 17 i+ 9 j kgf



 



SOLUCIÓN: a) x x x A = A cos A = 44 mcos 340º A = 41, 35 m   y y y A = A sen A = 44 msen 340º A = 15, 05 m   





A = 41, 35 i-15, 05 j m   









A A A A = A 41, 35 i-15, 05 j m = 44 m = 0, 94 i 0, 34 j             





A = 44 m 0, 94 i- 0, 34 j    b) 270º 14º 284º      x x x B = B cos B = 25 km cos 284º B = 6, 05 km   y y y B = A sen B = 25 km sen 284º B = 24, 26 km   





A = 6, 05 i- 24, 26 j km   









B B B B = B 6, 05 i- 24, 26 j km = 25 km = 0, 24 i 0, 97 j             





B = 25 km 0, 242 i- 0, 97 j   

c) 2 2 C 21 45 C 49, 66º N     









C C C C C -21 i+ 45 j N 49, 66 N -0, 42 i+ 0, 90 j               





C49, 66 N -0, 42 i+ 0, 90 j    d) 2 2 D = 17 9 D = 19, 24 kgf   









D D D D D 17 i+ 9 j kgf 19, 24 kgf 0,88 i+ 0, 47 j               





D19, 24 kgf 0,88 i+ 0, 47 j   

5. Expresar el vector R = -13, -27 m





en: a) Coordenadas polares

b) Función de los vectores base c) Coordenadas geográficas

d) Función de su módulo y unitario

SOLUCIÓN: a) 2 2 R = 13 + 27 R = 29, 97 m   1 1 1 1 27 tan 13 27 tan 13 64, 29º         _{ }    64, 29º 180º 244, 29º     





R = 29, 97 m; 244, 29º  b) c)





R = -13 i- 27 j m   _{270º 244, 29º} 25, 71º     





R = 29, 97 m; S 25, 71º O 

d)









R R R R R -13 i- 27 j m 29, 97 m -0, 43 i- 0, 9 j               

_

_

R = 29, 97 m -0, 43 i- 0, 9 j    6. Expresar el vector V = 200 km, 318º





en : a) Coordenadas geográficas b) Coordenadas rectangulares c) Función de los vectores base d) Función de su módulo y unitario

SOLUCIÓN: a) 318º 270º 48º      V = 200 km, S 48º E





 b) x x x V = V cos 318º V = 200 kmcos 318º V = 148, 63 km  y y y V = V sen 318º V = 200 kmsen 318º V = -133,83 km 





V = 148, 63; -133,83 km  c)





V = 148, 63 i-133,83 j km    d)









V V V V V 148, 63 i-133,83 j km 200 km 0, 743 i- 0, 669 j               





V = 200 km 0, 743 i- 0, 669 j   

7. Expresar el vector K = 20 N, N 47º O





en: a) Coordenadas polares

b) Coordenadas rectangulares c) Función de su módulo y unitario d) Función de los vectores base

SOLUCIÓN: a) 90º 47º 137º      K = 20 N; 137º





 b) x x x K = K cos K = 20 Ncos137º K = -14, 63 N   y y y K = K sen K = 20 Nsen137º K = 13, 64 N  





K = -14, 63; 13, 64 N  c)









K K K K K -14, 63 i 13, 64 j N 20 N 0, 73 i 0, 68 j                  





K20 N 0, 73 i 0, 68 j    d)





K = -14, 63 i 13, 64 j N  

8. Expresar el vector L = 147 cm mi- nj



 



; Si m = 3 n , en: a) Coordenadas geográficas

b) Coordenadas polares c) Coordenadas rectangulares d) Función de los vectores base









 





L L 2 ₂ 2 2 m i- nj m 3 n 3 n i- nj 1 3 n n 9 n n 1 10 n 1 1 n 10 n 0, 316                  

















L L L L mi- nj m 3 n 3 n i- nj 3 0, 316 i- 0, 316 j 0, 948 i- 0, 316 j                       a) 1 0, 948 tan 0, 316 0, 948 tan 0, 316 71, 57º         _{ }   





L 147 cm; S71, 57º O  b) 270º 71, 57º 341, 57º      L



147 cm; 341, 57º



 c) d)









L = 147 cm 0, 948; -0, 316 L = 139, 36; -19, 99 cm  

_

_

L = 139, 36 i-19, 99 j cm   

9. Expresar el vector H = -29 i+ 35 j m s



 



en: a) Coordenadas rectangulares

b) Función de su módulo y unitario c) Coordenadas polares

d) Coordenadas geográficas

a)





H = -29; 35 m s  b) 2 2 H 29 35 H 45, 45 m/ s     









H H H H H -29 i+ 35 j m s = 45, 45 m s = 0, 64 i+ 0, 77 j              





H45, 45 m/ s 0, 64 i+ 0, 77 j  c) 1 0, 64 tan 0, 77 0, 64 tan 0, 77 39, 73º         _{ }    90º 39, 73º 129, 73     





H 45, 45 m/ s; 129, 73º  d)





H 45, 45 m/ s; N 39, 73º O

10. Expresar el vector E = 9 i+12 j m s



 



2 en: a) Coordenadas rectangulares

b) Coordenadas polares c) Coordenadas geográficas

d) Función de su módulo y unitario

SOLUCIÓN:

a)





2

b) 2 2 2 E = 9 +12 E = 15 m/ s   1 12 tan 9 12 tan 9 53,13º         _{ }   



2



E = 15 m/ s ; 53,13º  c) 90º 53,13º 36,87º     





2 E = 15 m/ s ; N 36,87º E  d)









E 2 E 2 E E E 9 i+12 j m s 15 m s 0, 6 i+ 0,8 j               





2 E = 15 m/ s 0, 6 i+ 0,8 j   

11. Exprese en función de sus vectores base los siguientes vectores: a) A = 65 km/ h, 121º





b) B = 70 N, NE





c) C = 120 km 0,873 i- 0, 488 j



 



d) D = -13, 40 N





SOLUCIÓN: a) x x x A = A cos A = 65 km/ hcos121º A = 33, 48 km/ h    y y y A = A sen A = 65 km/ hsen121º A = 55, 72 km/ h  





A = -33, 48 i+ 55, 72 j km/ h   

b) x x x B = B cos B = 70 Ncos 45º B = 49, 5 N  





B = 49, 5 i 49, 5 j N    c)





C = 104, 76 i- 58, 56 j km   d)





D = -13 i 40 j N  

EJERCICIO Nº 4

1. Si la magnitud de los vectores F y G son 40m y 30m respectivamente, determinar: a) La magnitud máxima del vector resultante de la suma vectorial de F + G 

b) La magnitud mínima del vector resultante de la suma vectorial de F + G 

c) La magnitud del vector resultante de la suma vectorial en caso de que F y G sean perpendiculares

d) La magnitud máxima del vector resultante de la resta vectorial de F - G 

SOLUCIÓN: a) b)













F = 40 i+ 0 j m G = 30 i+ 0 j m R = 70 i+ 0 j m          2 R = 70 = 70 m 













F = 40 i+ 0 j m G = -30 i+ 0 j m R = 10 i+ 0 j m          2 R = 10 = 10 m  c) d)













F = 40 i+ 0 j m G = 0 i+ 30 j m R = 40 i+ 30 j m          2 2 R = 40 30 = 50 m 













F = 40 i+ 0 j m -G = 30 i+ 0 j m R = 70 i+ 0 j m         









2 F = 40 i+ 0 j m G = -30 i+ 0 j m R = 70 = 70 m       

2. Dados los vectores F = 4 i+ 6 j   y G = -6 i- j  , encontrar: a) El ángulo formado por los vectores

b) El área del paralelogramo formado por los vectores F y G c) El vector unitario en la dirección de



F - 2G 



a) 1 1 F • G cos F G 4× -6 + 6× -1 cos 52 37 133,15º            _       _{ }         2 2 F = 4 + 6 F 7, 21   2 G = 6 +1 G = 6, 08   b)





2 4 6 Á rea = = -4 + 36 = 32 u -6 -1 c) F = 4 i+ 6 j   G = -6 i- j   2G = -12 i- 2 j  







 











F - 2G = 4 i+ 6 j - -12 i- 2 j F - 2G = 16 i+ 8 j          





F 2G _{2 2} F 2G 16 i+ 8 j 16 8 0,89 i 0, 45 j              

3. Dado el vector Q = 3, - 5 m





, encontrar:

a) Un vector P perpendicular a Q, de modo que su módulo sea de 17m y la coordenada Y sea positiva

b) El área del paralelogramo formado por Q y P c) La proyección de Q sobre P SOLUCIÓN: a)









x y x y x y Q • P = 0 Q • P = 3× P - 5× P 3× P - 5× P = 0 3× P 5× P    













P _{2 2} P P = 5 i+ 3 j m 5 i+ 3 j m 5 3 0,86 i+ 0, 51 j              









P = 17 m 0,86 i+ 0, 51 j P = 14, 62 i 8, 67 j m      

b)





2 3 -5 Área = = 26, 01+ 73,1 = 99,11m 14, 62 8, 67 c)

Los vectores son perpendiculares por lo tanto la proyección es cero 4. Dados los vectores P = 12 i- 8 j m s



 



Q = 15 m s , 120º





, encontrar:

a) P - Q  b) Q + P  c) 3 / 2P d) Q • P 

e) El ángulo formado entre Q y P f) P × Q  SOLUCIÓN: x x x Q = Q cos Q = 15 m/ scos120º Q = -7, 5 m/ s   y y y Q = Q sen Q = 15 m/ s sen120º Q = 12, 99 m/ s  





Q = -7,5 i+12,99 j m/ s    a) b)













P = 12 i - 8 j m s - Q = 7, 5 i-12, 99 j m/ s P - Q 19, 5 i- 20, 99 j m/ s          













Q = -7, 5 i 12, 99 j m/ s P = 12 i - 8 j m s Q P 4, 5 i 4, 99 j m/ s                c) d)









3 3 P = 12 i- 8 j m s 2 2 3 P = 18 i-12 j m s 2      





Q • P = -7, 5×12 +12, 99× -8 m/ s Q • P = -193, 92 m/ s     e) f)













-1 2 2 -7, 5×12 +12, 99× -8 = cos 15 m/ s 12 + 8 = 93, 56º            





12 -8 P× Q = = 155,88 + 60 k = 215,88 k -7,5 12,99    

5. Dados los vectores M = 37, 25 m





N = 41m, 213º





, hallar: a) M + N 

b) N - M  c) -2N d) N • M 

e) La proyección de N sobre M

f) El área del paralelogramo formado por los dos vectores

SOLUCIÓN: a) x x x N = N cos N = 41mcos 213º N = -34, 39 m   y y y N = N sen N = 41msen 213º N = -22, 33 m  





N = -34,39 i- 22,33 j m   













M = 37 i + 25 j m N = -34, 39 i- 22, 33 j m M + N = 2, 61 i+ 2, 67 j m           b) c)













N = -34, 39 i- 22, 33 j m - M = - 37 i - 25 j m N - M = - 71, 39 i- 47, 33 j m          









-2N = -2 -34, 39 i- 22, 33 j m -2N = 68, 78 i+ 44, 66 j m       d)





N • M = -34, 39×37 - 22, 33× 25 N • M = -1830, 68     e)













M M M _{2 2 2 2} M N • M N = × M 37 i+ 25 j m -34, 39× 37 - 22, 33× 25 N = × 37 + 25 37 + 25 N = -33, 97 i- 22, 95 j m                     2 2 M M N = 33, 97 + 22, 95 N = 40, 99 m   f)





2 37 25 Área = = -826, 21+ 934, 75 = 33,54 m -34,39 -22,33

6. Dados los vectores E = 15 N mi+ 0, 48 j





   ; I = 21 N, SE





y F = 12 N, 312º





, hallar: a) E + I + F   b) 2 / 3I - 3E + 5 / 2F   c) 2 / 5 F • E

 

  d)



3I× 2F 



e) La proyección de E sobre el vector resultante de

 

I + F  f) El ángulo comprendido entre los vectores F y E

SOLUCIÓN:





E = 15 N mi+ 0, 48 j   I = 21 N, SE







2



m = 1- 0, 48 m = 0,88 270º 45º 315º     









E = 15 N 0,88 i+ 0, 48 j E = 13, 2 i+ 7, 2 j        x x x I = I cos I = 21Ncos 315º I = 14,85   y y y I = I sen I = 21Nsen 315º I = -14,85  





I = 14,85 i-14,85 j N   





F = 12 N, 312º x x x F = F cos F = 12 Ncos 312º F = 8, 03   y y y F = F sen F = 12 Nsen 312º F = -15, 60  





F = 8, 03 i-15, 60 j N   a)

















E = 13, 2 i+ 7, 2 j N I = 14,85 i-14,85 j N F = 8, 03 i-15, 60 j N E + I + F 36, 08 i- 23, 25 j N               b)









2 2 / 3I = 14,85 i-14,85 j N 3 2 / 3I = 9, 9 i- 9, 9 j N      









-3E = -3 13, 2 i+ 7, 2 j N -3E = -39, 6 i- 21, 6 j N      









5 5 / 2F = 8, 03 i-15, 60 j N 2 5 / 2F = 20, 08 i- 39 j N      

















2 / 3I = 9, 9 i- 9, 9 j N - 3E = -39, 6 i- 21, 6 j N 5 / 2F = 20, 08 i- 39 j N 2 / 3I - 3E + 5 / 2F = -9, 62 i- 70, 5 j N               c)

 

2





2 / 5 F • E = 8, 03×13, 2 -15, 60× 7, 2 5 F • E = -2, 53     d)









3I = 3 14,85 i-14,85 j N 3I = 44, 55 i- 44, 45 j N      









2F = 2 8, 03 i-15, 60 j N 2F = 16, 06 i- 31, 2 j N      





44,55 -44,55 3I× 2F = k = -1389,96 + 715, 47 k = -674, 49 k 16, 06 -31, 2     

e) La proyección de E sobre el vector resultante de

 

I + F 













I = 14,85 i-14,85 j N F = 8, 03 i-15, 60 j N I + F 22,88 i- 30, 45 j N          













I+F I F I+F _{2 2 2 2} I+F E • I F E = × I F 22,88 i- 30, 45 j 13, 2× 22,88 7, 2× 30, 45 E = × 22,88 + 30, 45 22,88 + 30, 45 E = 1, 30 i-1, 73 j m        _{ }                2 2 I+F I+F E = 1,30 1, 73 E = 2,16    f) 1 8, 03 13, 2 15, 60 7, 2 cos 15 12 92, 01º          _{ }    

7. Dados los vectores A = 31m s 0, 2 i+ mj



 



; B = 43 m s , 172º





y C = 55, -12 m s





, hallar:

a) A - B + C   b) 1 2 A + B - 2C  

c) El área del paralelogramo formado por 2Ay 2C 3

d) La proyección de



A + B



  sobre C e)



A × C + A × B 

 

 



f) A • B× C



 



SOLUCIÓN:





A = 31m s 0, 2 i+ mj   B = 43 m s , 172º





 

2 m = 1- 0, 2 m = 0, 98 x x x B = B cos B = 43 m/ scos172º B = -41, 59   y y y B = B sen B = 43 m/ ssen172º B = 5, 98  









A = 31m s 0, 2 i+ 0, 98 j A = 6, 2 i+ 30, 38 j m s        B = -41,59 i+ 5,98 j m/ s





  





C = 55 i-12 j m s   a)

















A = 6, 2 i+ 30, 38 j m s - B = 41, 59 i- 5, 98 j m/ s C = 55 i -12 j m s A - B + C 102, 79 i 12, 4 j m s               b)









1 1 / 2A = 6, 2 i+ 30, 38 j m s 2 1 / 2A = 3,1 i+15,19 j m s      









-2C = -2 55 i-12 j m s -2C = -110 i+ 24 j m s      

















1 / 2A = 3,1 i+15,19 j m s B = -41, 59 i+ 5, 98 j m/ s - 2C = -110 i+ 24 j m s 1 2 A + B - 2C -148, 49 i+ 45,17 j m s              

c)









2A = 2 6, 2 i+ 30, 38 j m s 2A = 12, 4 i+ 60, 76 j m s      









2 2 / 3C = 55 i-12 j m s 3 2 / 3C = 36, 66 i- 8 j m s       12, 4 60, 76 Área = = -99, 2 - 934, 75 = 2326, 66 36, 66 -8 d) La proyección de



A + B



  sobre C













A = 6, 2 i+ 30, 38 j m s B = -41, 59 i+ 5, 98 j m/ s A + B = -35, 39 i+ 36, 36 j m/ s          





C = 55 i-12 j m s   







 















C C C 2 2 2 2 C A+ B • C A+ B = × C 55 i-12 j -35, 39× 55 + 36, 36× -12 A+ B = × 55 +12 55 +12 A+ B = -41, 35 i+ 9, 02 j                    









2 2 C C A+ B = 41, 35 9, 02 A+ B = 42, 32    e)





6, 2 30,38 A × C = = -74, 4 -1670,9 k = -1745,3k 55 -12    





6, 2 30,38 A × B = = -37, 08 +1263,5 k = 1226, 42 k -41,59 5,98    



 





 



A × C + A × B = -1745, 3k+1226, 42 k A × C + A × B = -518,88 k            f)

B× C  es producto cruz por tanto es perpendicular al vector A entonces A • B× C





0   

8. Tomando en consideración los vectores R = 20 m, N 25º O





; S = 15 i+ 9 j m





  





T = 30 m, 260º y U = 17 m 0,5 i- 0,866 j



 



, hallar: a) 3 4 S - 2R + U

 

   b) 5U -1 2 T + R - 2S    c)

   

R • S + T • U     d)



T × U + R ×S 

  

  e)

   

3R • 2 T  f) La proyección de



R + S



  sobre

 

T - U  

g) El área del paralelogramo formado por

 

R - T  y



S + U 



SOLUCIÓN:





R = 20 m, N 25º O T = 30 m, 260º





90º 25º 115º      x x x R = R cos R = 20 mcos115º R = -8, 45 m   y y y R = R sen R = 20 msen115º R = 18,13 m   x x x T = T cos T = 30 mcos 260º T = -5, 21m   y y y T = T sen T = 30 msen 260º T = -29, 54 m  





R = -8, 45 i+18,13 j m   





T = -5, 21 i- 29,54 j m   









U = 17 m 0,5 i- 0,866 j U 8,5 i-14, 72 j m       a)









3 3 / 4S = 15 i+ 9 j m 4 3 / 4S = 11, 25 i+ 6, 75 j m      









-2R = -2 -8, 45 i+18,13 j m -2R = 16,9 i- 36, 26 j m      

















3 / 4S = 11, 25 i+ 6, 75 j m - 2R = 16, 9 i- 36, 26 j m U 8, 5 i-14, 72 j m 3 4S - 2R + U 36, 65 i- 44, 23 j m                 b)









5U 5 8, 5 i-14, 72 j m 5U 42, 5 i- 73, 6 j m        









1 -1/ 2T = - -5, 21 i- 29,54 j m 2 -1/ 2T = 2, 6 i+14, 77 j m      









-2S = -2 15 i+ 9 j m -2S = -30 i-18 j m      





















5U = 42,5 i- 73, 6 j m -1/ 2T = 2, 6 i+14, 77 j m R = -8, 45 i+18,13 j m - 2S = - 30 i -18 j m 5U -1 2 T + R - 2S = 6, 65 i- 58, 7 j m                   c)





R • S = -8, 45×15 +18,13×9 R • S = 36, 42     T • U = -5, 21×8, 5 - 29, 54× -14, 72





T • U = 390, 54    

   

   

R • S + T • U = 36, 42 + 390,54 R • S + T • U = 426,96         d)





-8, 45 18,13 R ×S = = -76, 05 - 271,95 k = -348 k 15 9    





-5, 21 -29, 54 T × U = = 76, 69 + 251, 09 k = 327, 78 k 8, 5 -14, 72    



  



  

T× U + R ×S = 327, 78k- 348k T× U + R ×S = -20, 22 k            e)









3R = 3 -8, 45 i+18,13 j m 3R = -25,35 i+ 54,39 j m      









2T = 2 -5, 21 i- 29,54 j m 2T = -10, 42 i- 59, 08 j m      

   





   

3R • 2 T = -25,35× -10, 42 + 54,39× -59, 08 3R • 2 T = -2949, 21     f)













R = -8, 45 i+18,13 j m S = 15 i+ 9 j m R + S 6,55 i+ 27,13 j m          













T = -5, 21 i- 29,54 j m - U = -8,5 i+14, 72 j m T - U = -13, 71 i-14,82 j m          

























T-U T-U T-U _{2 2 2 2} T-U R+ S • T- U R+ S = × T- U -13, 71 i-14,82 j 6, 55× -13, 71+ 27,13× -14,82 R+ S = × 13, 71 +14,82 13, 71 +14,82 R+ S = 16, 54 i+17,88 j                    









2 2 T-U T-U R+ S = 16, 54 17,88 R+ S = 24, 36    g)













R = -8, 45 i+18,13 j m - T = 5, 21 i+ 29,54 j m R - T = -3, 24 i+ 47, 67 j m          













S = 15 i+ 9 j m U 8, 5 i-14, 72 j m S + U 23, 5 i- 5, 72 j m            

3, 24 47, 67

Área = = 18,53 -1120, 24 = 1101, 71 23,5 -5, 72



9. Considérese los vectores A = 46 cm mi- 0, 23 j



 



; B = 81cm, 155º





,





C = 57 cm, N 21º E y D = -32 i- 29 j m







, determinar: a) 1 2 A + 2C - B    b) 2D - 3A +1 3C - 2 5B    c)



3B + 2 3A • -C - 3 4 D

 



    d)



D - 3C × 3 2 B + 4A 

 

 



e)

   

B • A + C • D     f)



2A × C + 5B× D 

 

 



g) El ángulo formado por



D - A 



y



B + C 



SOLUCIÓN:





A = 46 cm mi- 0, 23 j   





B = 81cm, 155º 



2



m = 1- 0, 48 m = 0,88 x x x B = B cos B = 81cmcos155º B = -73, 41cm   y y y B = B sen B = 81cmsen155º B = 34, 23cm  









A = 46 cm 0,88 i- 0, 23 j A = 40, 48 i-10,58 j        B = -73, 41 i+ 34, 23 j cm



 







C = 57 cm, N 21º E 90º 21º 69º     

x x x C = C cos C = 57 cmcos 69º C = 20, 43cm   y y y C = C sen C = 57 cmsen 69º C = 53, 21cm  





C = 20, 43 i+ 53, 21 j cm    a)









1 1 / 2A = 40, 48 i-10, 58 j cm 2 1 / 2A = 20, 24 i- 5, 29 j cm      









2C = 2 20, 43 i+ 53, 21 j cm 2C = 40,86 i+106, 42 j cm      





B = -73, 41 i+ 34, 23 j cm  

















1 / 2A = 20, 24 i- 5, 29 j 2C = 40,86 i+106, 42 j - B = 73, 41 i- 34, 23 j 1 2 A + 2C - B = 134, 51 i+ 66,89 j               b)









2D = 2 -32 i- 29 j 2D = -64 i- 58 j    









-3A = -3 40, 48 i-10, 58 j -3A = -121, 44 i+ 31, 74 j      









1 1/ 3C = 20, 43 i+ 53, 21 j 3 1/ 3C = 6,81 i+17, 73 j      









2 -2 / 5B = - -73, 41 i+ 34, 23 j 5 -2 / 5B = 29, 36 i-13, 69 j      





















2D = -64 i- 58 j - 3A = -121, 44 i+ 31, 74 j 1 / 3C = 6,81 i+17, 73 j - 2 / 5B = 29, 36 i-13, 69 j 2D - 3A +1 3C - 2 5 B 149, 27 i- 22, 22 j                  c)









3B = 3 -73, 41 i+ 34, 23 j 3B = -220, 23 i+102, 69 j      









2 2 / 3A = 40, 48 i-10, 58 j 3 2 / 3A = 26, 99 i- 7, 05 j      









4 -4 / 3D = - -32 i- 29 j 3 -4 / 3D = 42, 66 i+ 38, 66 j     













3B = -220, 23 i+102, 69 j 2 / 3A = 26, 99 i- 7, 05 j 3B + 2 3 A = -193, 24 i+ 95, 64 j          













- C = -20, 43 i- 53, 21 j - 4 / 3D = 42, 66 i+ 38, 66 j -C - 4 3D = 22, 23 i-14,55 j          



 









 



3B + 2 3A • -C - 4 3D = -193, 24× 22, 23 + 95, 64×-14,55 3B + 2 3A • -C - 4 3D = -5687, 28         d)









-3C = -3 20, 43 i+ 53, 21 j -3C = -61, 29 i-159, 63 j      









3 3 / 2B = -73, 41 i+ 34, 23 j 2 3 / 2B = -110,12 i+ 51, 35 j      









4A = 4 40, 48 i-10, 58 j 4A = 161, 92 i- 42, 32 j      













D = -32 i- 29 j - 3C = -61, 29 i-159, 63 j D - 3C = -93, 29 i-188, 63 j          













3 / 2B = -110,12 i+ 51, 35 j 4A = 161, 92 i- 42, 32 j 3 2 B + 4A 51,8 i 9, 03 j          



D - 3C × 3 2 B + 4A =

 



-93, 29 -188, 63 = -842, 41+ 9771, 03 k = 8928, 62 k





51,8 9, 03       e)





B • A = -73, 41× 40, 48 + 34, 23× -10, 58 B • A = -3333, 79     C • D = 20, 43× -32 + 53, 21× -29





C • D = -2196,85    

   

   

B • A + C • D = -3333, 79 - 2196,85 B • A + C • D = -5530, 64         f)



2A × C + 5B× D 

 

 











2A = 2 40, 48 i-10, 58 j 2A = 80, 96 i- 21,16 j      









5B = 5 -73, 41 i+ 34, 23 j 5B = -367, 05 i+171,15 j      





80,96 -21,16 2A × C = = 4307,88 + 432,30 k = 4740,18 k 20, 43 53, 21    

g) El ángulo formado por



D - A 



y



B + C 















D = -32 i- 29 j - A = -40, 48 i+10,58 j D - A = -72, 48 i-18, 42 j         













B = -73, 41 i+ 34, 23 j C = 20, 43 i+ 53, 21 j B + C = -52, 98 i+ 87, 44 j          







-1 2 2 2 2 -72, 48× -52, 98 -18, 42×87, 44 = cos 72, 48 +18, 42 52, 98 + 87, 44 = 73, 05º            

10. Dados los vectores D = 5 km, 63º





, E = -7, -1 km





y F = 4 km; S70º E





, calcular: a) 2D + E + 3F  

b) E - D - 2F   c) D • E 

d) D - E × F

 

 

e) La proyección de E sobre D

g) El área del paralelogramo formado por los vectores D y E SOLUCIÓN: a) x x x D = D cos D = 5 kmcos 63º D = 2, 27 km   y y y D = D sen D = 5 kmsen 63º D = 4, 46 km  





D = 2, 27 i+ 4, 46 j km   





E = -7 i-1 j km    270º 70º 340º      x x x F = F cos F = 4 kmcos 340º F = 3, 76 km   y y y F = F sen F = 4 kmsen 340º F = 1, 37 km   





F = 3, 76 i-1,37 j km  









2D = 2 2, 27 i+ 4, 46 j km 2D = 4, 54 i+ 8, 92 j km      









3F = 3 3, 76 i-1, 37 j km 3F = 11, 28 i- 4,11 j km      

















2D = 4, 54 i+ 8, 92 j km E = - 7 i -1 j km 3F = 11, 28 i- 4,11 j km 2D E 3F 8,82 i 3,81 j km               b) E - D - 2F  









-2F = -2 3, 76 i-1, 37 j km -2F = -7, 52 i+ 2, 74 j km      

















E = - 7 i -1 j km - D = -2, 27 i- 4, 46 j km - 2F = -7, 52 i+ 2, 74 j km E - D - 2F = -16, 79 i- 2, 72 j km               c)





D • E = 2, 27 × -7 + 4, 46 × -1 D • E = -20, 35     d)





-7 -1 E × F = k = 9,59 + 3, 76 k = 13,35k 3, 76 -1,37     









  



D = 2, 27 i+ 4, 46 j+ 0k - E × F = 0 i + 0 j-13, 35k D - E × F  2, 27 i+ 4, 46 j-13, 35k                e)













D E D D E • D E = × D 2, 27 i+ 4, 46 j -7 × 2, 27 1 4, 46 E = × 5 5 E = -1,85 i- 3, 63 j      _{ }                2 2 D D E = 1,85 3, 63 E = 4, 07    f)





E = -7, -1 km y F = 3, 76 i-1,37 j km



 







 





-1 2 -7 × 3, 76 -1× -1, 37 = cos 4 7 +1 = 86, 25º             g)





2 2, 27 4, 46 Área = = -2, 27 + 31, 22 = 28,95 km -7 -1

11. Si la suma de los vectores A y B es 2 i- 4 j  y su diferencia es 6 i-10 j  encontrar el ángulo formado por los vectores A y B

SOLUCIÓN: x x x x A + B = 2...(1) A - B = 6...(2)    x x x x (3) en (1) 6 + B + B = 2 2 B = -4 B = -2 x x x x x De (2) A = 6 + B ...(3) Reemplazando el valor de B en (1) A - 2 = 2 A = 4 } y y y y A + B = -4...(1) A - B = -10...(2)    y y De (2) A = -10 + B ...(3) y y y y (3) en (1) -10 + B + B = -4 2 B = 6 B = 3 y y y Reemplazando el valor de B en (1) A + 3 = -4 A = -7





A = 4 i- 7 j   





B = -2 i+ 3 j   







1 1 2 2 2 2 cos 4 2 7 3 cos 4 7 2 3 176, 05º A B A B       _                  _{ }           

12. Determine las magnitudes de los vectores A y B, para A + B + C = 0  





C = 0 i-16 j N

  

Para que Y=0 A = - C_{y y} A = 16_y Calculando A_x

x x x 16 tan 37º = A 16 A = tan 37º A = 21, 24 como esta en X(-)-21, 24





A = -21, 24 i+16 j N   2 2 A = 21, 24 +16 A = 26, 59 N  Para que X=0 B = - A Þ B = 21, 24_{x x x}





B = 21, 24 i+ 0 j N   B = 21, 24 N 

EJERCICIO Nº5

1. En el reloj de una iglesia el minutero mide 1,2 m y el horero 80 cm determinar la posición relativa del extremo del horero respecto al extremo del minutero, en las siguientes horas:

a) 10H10 b) 12H35 c) 5H40 d) 8H20 e) 9H10

f) 6H50 g) 2H40 h) 11H05 i) 4H00

SOLUCIÓN:

Basados en el siguiente grafico para determinar los vectores:

a)





min Xmin Xmin r = 1, 2 m; 30º r = 1, 2 mcos 30º r = 1, 04 m  Ymin Ymin r = 1, 2 msen 30º r = 0, 6 m





min r = 1, 04 i+ 0, 6 j m   





hor Xhor Xhor r = 0,8 m; 150º r = 0,8 mcos150º r = 0, 69 m  Yhor Yhor r = 0,8 msen150º r = 0, 4 m rhor = -0, 69 i+ 0, 4 j m





  



 







hor/ min hor min hor/ min hor/ min r = r - r r = -0, 69 i+ 0, 4 j m- 1, 04 i+ 0, 6 j m r = -1, 73 i- 0, 2 j m            150º 180º 0º 90º 270º 30º 120º 60º 240º 210º 300º 330º 10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4

b)





min Xmin Xmin r = 1, 2 m; 240º r = 1, 2 mcos 240º r = -0, 6 m  Ymin Ymin r = 1, 2 msen 240º r = -1, 04 m





min r = -0, 6 i-1, 04 j m   





hor r = 0 i+ 0,8 j m   



 







hor/ min hor min hor/ min hor/ min r = r - r r = 0 i+ 0,8 j m- -0, 6 i-1, 04 j m r = 0, 6 i 1,84 j m            c)





min Xmin Xmin r = 1, 2 m; 210º r = 1, 2 mcos 210º r = -1, 04 m  Ymin Ymin r = 1, 2 msen 30º r = -0, 6 m





min r = -1, 04 i- 0, 6 j m   





hor Xhor Xhor r = 0,8 m; 300º r = 0,8 mcos 300º r = -0, 4 m  Yhor Yhor r = 0,8 msen 300º r = 0, 69 m rhor = -0, 4 i- 0, 69 j m





  



 







hor/ min hor min hor/ min hor/ min r = r - r r = -1, 04 i- 0, 6 j m- -0, 4 i- 0, 69 j m r = -0, 64 i- 0, 09 j m            10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4 10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4