Diseño de Vigas de madera

(1)

CAPITULO 3

DISEÑO DE VIGAS

Una viga es un

Una viga es un elemenelemento estructto estructural que resistural que resiste cargas transe cargas transversalversales. es. GeneraGeneralmentlmente, lase, las car

cargas actúgas actúan en an en ánguángulo recto con resplo recto con respectecto o al eje longital eje longitudiudinal de la nal de la vigviga. a. Las carLas cargasgas aplicadas sobre una viga tienden a flexionarla y se dice que el elemento se encuentra a aplicadas sobre una viga tienden a flexionarla y se dice que el elemento se encuentra a flexión

flexión. Por lo común, los apoyos de las vigas se encuentran en los extremos o cerca de. Por lo común, los apoyos de las vigas se encuentran en los extremos o cerca de ellos y las fuerzas de apoyo hacia arriba se denominan reacciones.

ellos y las fuerzas de apoyo hacia arriba se denominan reacciones.

3.

3.1 1 PR

PROP

OPIE

IEDA

DADE

DES D

S DE L

E LAS

AS SE

SECC

CCIO

IONE

NESS

Además de la resistencia de la madera, caracterizada por los esfuerzos unitarios admisibles, Además de la resistencia de la madera, caracterizada por los esfuerzos unitarios admisibles, el comport

el comportamientamiento de un o de un miembmiembro estrucro estructural tural tambiétambién depende de las dimension depende de las dimensiones y lanes y la forma de su sección transversal, estos dos factores se consideran dentro de las propiedades forma de su sección transversal, estos dos factores se consideran dentro de las propiedades de la sección.

de la sección. 3.

3.1.1.11 CeCentntrroioidedess.-.- El centro de gravedad de un sólido es un punto imaginario en el cualEl centro de gravedad de un sólido es un punto imaginario en el cual se considera que todo su peso está concentrado o el punto a través del cual pasa la se considera que todo su peso está concentrado o el punto a través del cual pasa la res

resultultantante de e de su peso. su peso. El punto en un El punto en un áreárea plana que corra plana que correspesponde al centonde al centro dero de gravedad de una placa muy delgada que tiene las mismas áreas y forma se conoce gravedad de una placa muy delgada que tiene las mismas áreas y forma se conoce como el centroide del área.

como el centroide del área.

Cuando una viga se flexiona debido a una carga aplicada, las fibras por encima de Cuando una viga se flexiona debido a una carga aplicada, las fibras por encima de un cierto plano en la viga trabajan en compresión y aquellas por debajo de este un cierto plano en la viga trabajan en compresión y aquellas por debajo de este plano, a tensión. Este plano se conoce como la superficie neutra. La intersección de plano, a tensión. Este plano se conoce como la superficie neutra. La intersección de

la superficie neutra y la sección transversal de la

la superficie neutra y la sección transversal de la viga se conoce como viga se conoce como elel eje neutro.eje neutro. 3.

3.1.1.22 MoMomementnto o de de ininererciciaa

En la figura 3-1 se ilustra una sección rectangular de ancho

En la figura 3-1 se ilustra una sección rectangular de ancho bb y altoy alto hh con el ejecon el eje horizontal

horizontal X-X X-X que pasa por su centroide a una distancia c =que pasa por su centroide a una distancia c =hh/2 a partir de la cara/2 a partir de la cara superior. En la sección,

superior. En la sección, aa representa un área infinitamente pequeña a una distanciarepresenta un área infinitamente pequeña a una distancia z

z del ejedel eje X-X X-X . . Si se multiSi se multiplica esta área infinitplica esta área infinitesimal por el cuadrado de sesimal por el cuadrado de su distanciau distancia al ej

al eje, se oe, se obtibtiene lene la canta cantidaidad d (( aa xx z z 22). El área completa de la sección estará). El área completa de la sección estará constituida por un número infinito de estas pequeñas áreas elementales a diferentes constituida por un número infinito de estas pequeñas áreas elementales a diferentes

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Entonces, el momento de inercia se define como la suma de los productos que se Entonces, el momento de inercia se define como la suma de los productos que se obtienen al multiplicar todas las áreas infinitamente pequeñas por el cuadrado de sus obtienen al multiplicar todas las áreas infinitamente pequeñas por el cuadrado de sus distancias a un eje. distancias a un eje. cc X X Y Y aa zz Y Y bb X X hh

Los dos ejes principales de la figura son

Los dos ejes principales de la figura son X-X X-X yy Y-Y,Y-Y, pasan por el centroide de la pasan por el centroide de la sección rectangular, con respecto a un eje que pasa por el centroide y es paralelo a la sección rectangular, con respecto a un eje que pasa por el centroide y es paralelo a la base es I

base es I X-X X-X ==bhbh33/12, con respecto al eje vertical, la expresión sería I/12, con respecto al eje vertical, la expresión sería IY-Y Y-Y ==hbhb33/12./12.

3.

3.1.1.33 RRadadio io de de GiGirro.

o.--Esta propiedad de la sección transversal de un miembro estructural está relacionada Esta propiedad de la sección transversal de un miembro estructural está relacionada con el diseño de miembros s

con el diseño de miembros sujetos a compresión. ujetos a compresión. Depende de las dimensiones y deDepende de las dimensiones y de la forma geométri

la forma geométrica de ca de la sección y es la sección y es un índice de la un índice de la rigidrigidez de ez de la sección cuandola sección cuando se usa como columna. El

se usa como columna. Elradio de giroradio de girose define matemáticamente comose define matemáticamente comor=r= I I // A A , , Donde

Donde I I es el momento de inercia yes el momento de inercia y A A el área de la sección. Se expresa enel área de la sección. Se expresa en centímetros porque el momento de inercia está en centímetros a la cuarta potencia y centímetros porque el momento de inercia está en centímetros a la cuarta potencia y el área de la sección transversal está en centímetros cuadrados. El radio de giro no el área de la sección transversal está en centímetros cuadrados. El radio de giro no se usa tan ampliamente en el diseño de madera estructural como en el diseño de se usa tan ampliamente en el diseño de madera estructural como en el diseño de acero estruct

acero estructural. Para las ural. Para las secciosecciones rectangularnes rectangulares que es que se emplean se emplean comúnmecomúnmente ennte en las columnas de madera, es más conveniente sustituir el radio de giro por la las columnas de madera, es más conveniente sustituir el radio de giro por la dimensión lateral mínima

dimensión lateral mínima en los procesos de diseño de columnas.en los procesos de diseño de columnas. FIGURA 3.1

FIGURA 3.1

Ref.: Elaboración Propia Ref.: Elaboración Propia

(3)

3. 3.22 D

DEF

EFLE

LEX

XIO

ION

NES A

ES AD

DM

MIS

ISIIBL

BLE

ESS

Se llama

Se llama flecha flecha oo deflexióndeflexión a la deformación que acompaña a la flexión de una viga,a la deformación que acompaña a la flexión de una viga, vigueta o entablado. La flecha se presenta en algún grado en todas las vigas, y el ingeniero vigueta o entablado. La flecha se presenta en algún grado en todas las vigas, y el ingeniero debe cuidar que la flecha no exceda ciertos lími

debe cuidar que la flecha no exceda ciertos límites establtes establecidosecidos. . Es importaEs importante entender nte entender que una viga puede ser adecuada para soportar la carga impuesta sin exceder el esfuerzo que una viga puede ser adecuada para soportar la carga impuesta sin exceder el esfuerzo flexionante admisible, pero al mismo tiempo la curvatura puede ser tan grande que flexionante admisible, pero al mismo tiempo la curvatura puede ser tan grande que aparezcan grietas en los cielos rasos suspendidos revestidos, que acumule agua en las aparezcan grietas en los cielos rasos suspendidos revestidos, que acumule agua en las depresiones de las azoteas, dificulte la colocación de paneles prefabricados, puertas o depresiones de las azoteas, dificulte la colocación de paneles prefabricados, puertas o ventanas, o bien impida el buen funcionamiento de estos elementos.

ventanas, o bien impida el buen funcionamiento de estos elementos. Las deflexiones deben calcularse para los siguientes casos:

Las deflexiones deben calcularse para los siguientes casos: a.- Combinación más desfavorable de

a.- Combinación más desfavorable de cargas permanentes y sobrecargas de servicio.cargas permanentes y sobrecargas de servicio. b.- Sobrecargas de servicio actuando solas.

b.- Sobrecargas de servicio actuando solas.

Se recomienda que para construcciones residenciales estas no excedan los límites indicados Se recomienda que para construcciones residenciales estas no excedan los límites indicados en la

en la siguiente Tablsiguiente Tabla:a:

C

Caarrgga a AAccttuuaanntte e ((aa) ) ccoon n cciieello o ((bb) ) ssiin n cciieelloo rraasso o dde e yyeessoo rraasso o dde e yyeessoo C

Caarrggaas s ppeerrmmaanneennttees s + + ssoobbrreeccaarrggaass LL//330000 LL//225500 S

Soobbrreeccaarrgga a L//3L35500 LL//335500

L es la luz entre caras de apoyos o la distancia de la cara del apoyo al extremo, en el caso L es la luz entre caras de apoyos o la distancia de la cara del apoyo al extremo, en el caso de volados.

de volados. Los valores indicados en la Los valores indicados en la columna (a) deben ser utilizados cuando se columna (a) deben ser utilizados cuando se tengantengan cielos rasos de yeso u otros acabados que pudieran ser afectados por las deformaciones: en cielos rasos de yeso u otros acabados que pudieran ser afectados por las deformaciones: en otros casos deben utilizarse los valores de la

otros casos deben utilizarse los valores de la columna (b).columna (b).

Aunque las consideraciones para definir la flecha pueden ser importantes, la determinación Aunque las consideraciones para definir la flecha pueden ser importantes, la determinación precisa de la flecha es un objetivo inalcanzable por las siguientes razones:

precisa de la flecha es un objetivo inalcanzable por las siguientes razones:



 La determinación de las cargas siempre incluye algún grado La determinación de las cargas siempre incluye algún grado de aproximación.de aproximación. 

 El módulo de elasticidad de cualquier pieza individual de madera siempre es unEl módulo de elasticidad de cualquier pieza individual de madera siempre es un

valor aproximado. valor aproximado.



 ExExisisteten n didifefererentntes es rereststriricciccioneones s en en la la defdeforormamacición ón esestrtructucturural al debdebidido o a a lala Ref.: TABLA 8.1 de Pág. 8-3 del “

Ref.: TABLA 8.1 de Pág. 8-3 del “Manual de Diseño para Maderas del Manual de Diseño para Maderas del Grupo AndinoGrupo Andino””

T

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distribución de cargas, resistencias en las uniones, rigidez debida a elementos no distribución de cargas, resistencias en las uniones, rigidez debida a elementos no estructurales de la construcción, etc.

estructurales de la construcción, etc.

Las deflexiones en vigas deben ser calculadas con el módulo de elasticidad E

Las deflexiones en vigas deben ser calculadas con el módulo de elasticidad Eminmin del grupodel grupo

de la madera estructural especificado. de la madera estructural especificado. Para entablados debe utilizarse el E

Para entablados debe utilizarse el E promedio promedio, las deflexiones en viguetas y elementos similares, las deflexiones en viguetas y elementos similares

pueden también determinarse con el E

pueden también determinarse con el E promedio promedio, siempre y cuando se tengan por lo menos, siempre y cuando se tengan por lo menos

cuatro elementos similares, y sea posible una redistribución de la

cuatro elementos similares, y sea posible una redistribución de la carga.carga.

Los módulos de elasticidad para los tres grupos de maderas estructurales considerados se Los módulos de elasticidad para los tres grupos de maderas estructurales considerados se indican en la tabla 3.2.: indican en la tabla 3.2.: G GRRUUPPO O AA GGRRUUPPO O BB GGRRUUPPO O CC E Emínimomínimo 9955,,000000 7575,,000000 5555,,000000 E Epromediopromedio 113300,,000000 101000,,000000 9900,,000000

3. 3.33 R

REQ

EQUI

UISI

SIT

TOS

OS DE

DE RE

RESI

SIST

STEN

ENCI

CIA

A

33..33..11 FFlleexxiióónn..-- El momento flexionante es una medida de la tendencia de las fuerzasEl momento flexionante es una medida de la tendencia de las fuerzas externas que actúan sobre una viga, para deformarla. Ahora se considerará la acción externas que actúan sobre una viga, para deformarla. Ahora se considerará la acción dentro de la viga que

dentro de la viga que resiste flexión y que se llamaresiste flexión y que se llamamomento resistente.momento resistente.

Para cualquier tipo de viga se puede calcular el momento flexionante máximo Para cualquier tipo de viga se puede calcular el momento flexionante máximo generado por la carga.

generado por la carga. Si se desea diSi se desea diseñar una viga para resisseñar una viga para resistir esta cartir esta carga, se debega, se debe seleccionar un miembro con una sección transversal de forma, área y material tales, seleccionar un miembro con una sección transversal de forma, área y material tales, que sea capaz de producir un momento resistente igual momento flexionante que sea capaz de producir un momento resistente igual momento flexionante máximo; lo anterior se logra usando la

máximo; lo anterior se logra usando la fórmula de lafórmula de la flexión. flexión. Por lo común la fórmula de la flexión se escribe como: Por lo común la fórmula de la flexión se escribe como:

II yy M M

⋅⋅

==

σ σ

Donde el tamaño y la forma de la sección transversal están representados por la Donde el tamaño y la forma de la sección transversal están representados por la inercia (I) y el material del cual está hecha la viga está representado por σ, la inercia (I) y el material del cual está hecha la viga está representado por σ, la distancia del plano neutro a cualquier fibra de la sección esta representa por “y”, el distancia del plano neutro a cualquier fibra de la sección esta representa por “y”, el esfuerzo en la fibra más alejada del eje neutro se le llama

esfuerzo en la fibra más alejada del eje neutro se le llama esfuerzo de la fibraesfuerzo de la fibra TABLA 3.2: MODULO DE ELASTICIDAD (kg/cm

TABLA 3.2: MODULO DE ELASTICIDAD (kg/cm22₎₎

Ref.: TABLA 8.2 de Pág. 8-3 del “

(5)

Para vigas rectangulares: Para vigas rectangulares:

b b yy EJE NEUTRO EJE NEUTRO c= c=hh22 c= c=hh₂₂ Mc Mc My My II II

Sustituyendo los datos para una viga rectangular y para obtener el esfuerzo de la Sustituyendo los datos para una viga rectangular y para obtener el esfuerzo de la fibra extrema tendremos:

fibra extrema tendremos:

12 12 hh b b 22 hh M M II cc M M 33

⋅⋅

==

⋅⋅

==

σ σ

Los esfuerzos de compresión y de tensión producidos por flexión (σ), que actúan Los esfuerzos de compresión y de tensión producidos por flexión (σ), que actúan sobre la sección transversal de la viga, no deben exceder el esfuerzo admisible, f sobre la sección transversal de la viga, no deben exceder el esfuerzo admisible, f mm,,

para el grupo de madera especificado. para el grupo de madera especificado.

G GRRUUPPOOAA 221100 G GRRUUPPOOBB 115500 G GRRUUPPOOCC 110000 ]]

Estos esfuerzos pueden incrementarse en un 10% al diseñar entablados o viguetas si Estos esfuerzos pueden incrementarse en un 10% al diseñar entablados o viguetas si hay una acción de conjunto garantizada.

hay una acción de conjunto garantizada.

33..33..22 CCoorrttee..-- Como mencionamos en el capítulo anterior, se produce unComo mencionamos en el capítulo anterior, se produce un esfuerzoesfuerzo cortante

cortante cuando dos fuerzas iguales, paralelas y de sentido contrario tienden a hacer cuando dos fuerzas iguales, paralelas y de sentido contrario tienden a hacer resbalar

resbalar, una sobre otra, las superficies , una sobre otra, las superficies contiguas de un miembro. contiguas de un miembro. En la figura 3.3aEn la figura 3.3a

2 2 max max f f h h b b M M 6 6 σ σ ⋅⋅ ⋅⋅ = = T

TABLA 3.3: ESFUERZO ABLA 3.3: ESFUERZO MAXIMO ADMISIBLE EN FLEXION, MAXIMO ADMISIBLE EN FLEXION, fm(kg/cmfm(kg/cm22₎₎

FIGURA

FIGURA 3.2 3.2 SECCION TRANSVERSAL, SECCION TRANSVERSAL, DISTRIBUCION DE ESFUERZOSDISTRIBUCION DE ESFUERZOS NORMALES PRODUCIDOS POR FLEXION

NORMALES PRODUCIDOS POR FLEXION

(6)

se

se reprepresresententa a una una vigviga a con con una una carcarga ga uniuniforformemmementente e disdistritribuibuida. da. ExiExiste ste unauna tendencia en la viga a fallar colapsándose entre apoyos, como se indica en la figura tendencia en la viga a fallar colapsándose entre apoyos, como se indica en la figura 3.3b. éste es un ejemplo de cortante vertical.

3.3b. éste es un ejemplo de cortante vertical. En la figura 3.3c se muestra, en formaEn la figura 3.3c se muestra, en forma exagerada, la flexión de una viga y la falla de partes de la viga por deslizamiento exagerada, la flexión de una viga y la falla de partes de la viga por deslizamiento horizontal, este es un ejemplo de cortante horizontal. Las fallas por cortante en las horizontal, este es un ejemplo de cortante horizontal. Las fallas por cortante en las vigas de mader

vigas de madera se deben al esfuerzo cora se deben al esfuerzo cortante horitante horizontalzontal, no al vertical. , no al vertical. Esto esEsto es verdad debido que la resistencia al esfuerzo cortante de la madera es mucho menor verdad debido que la resistencia al esfuerzo cortante de la madera es mucho menor en el sentido paralelo a las fibras que

en el sentido paralelo a las fibras que en el transversal a éstas.en el transversal a éstas.

((aa)) ((bb)) ((cc))

Los esfuerzos cortantes unitarios horizontales no están uniformemente distribuidos Los esfuerzos cortantes unitarios horizontales no están uniformemente distribuidos sobre la sección transversal de una viga. El esfuerzo de corte en una sección sobre la sección transversal de una viga. El esfuerzo de corte en una sección transversal de un elemento a una cierta distancia del plano neutro puede obtenerse transversal de un elemento a una cierta distancia del plano neutro puede obtenerse mediante: mediante: II b b SS V V

⋅⋅

==

τ τ En esta expresión se tiene:

En esta expresión se tiene:

τ= esfuerzo cortante unitario horizontal, en cualquier

τ= esfuerzo cortante unitario horizontal, en cualquier punto específico de la sección.punto específico de la sección. V= fuerza cortante vertical total en la

V= fuerza cortante vertical total en la sección elegidasección elegida S= momento estático con respecto al eje

S= momento estático con respecto al eje neutro del área de la neutro del área de la sección transversal.sección transversal. I= momento de inercia de la sección transversal de la viga con respecto a su eje I= momento de inercia de la sección transversal de la viga con respecto a su eje

neutro. neutro.

b= ancho de la viga en el punto en el que se calcula τ. b= ancho de la viga en el punto en el que se calcula τ.

Para una viga de sección

Para una viga de sección rectangular el máximo esfuerzo de corectangular el máximo esfuerzo de corte resulta al sustituir:rte resulta al sustituir:

12 12 hh b b II ;; 88 hh b b 44 hh 22 hh b b SS



××

==

⋅⋅

22

==

⋅⋅

33











 ××

==

b b 12 12 // bh bh 88 // bh bh V V b b II SS V V 33 22

××

==

⋅⋅

==

τ τ Q Q 3 3 ττ == ⋅⋅ maxmax FIGURA

FIGURA 3.3 3.3 GENERACGENERACION DEL ION DEL ESFUERESFUERZO CORZO CORTTANTEANTE

FIGURA 3.4

(7)

hh 22 bb hh 44 xx hh V V bh bh 33 22

Los esfuerzos cortantes, τ, no deben

Los esfuerzos cortantes, τ, no deben exceder el esfuerzo máximo admisible paraexceder el esfuerzo máximo admisible para corte paralelo a las fibras, f

corte paralelo a las fibras, f vv, del grupo de madera estructura especificado., del grupo de madera estructura especificado.

G GRRUUPPOOAA 1155 G GRRUUPPOO BB 1122 G GRRUUPPOO CC 88

Estos esfuerzos pueden incrementarse en un 1

Estos esfuerzos pueden incrementarse en un 10% al diseñar entablados o viguetas si0% al diseñar entablados o viguetas si hay una acción de conjunto garantizada.

hay una acción de conjunto garantizada.

33..44 E

ESSC

CU

UA

AD

DR

RÍÍA

A Ó

ÓP

PT

TIIM

MA

A

x x xx y y y y h h b b yy x x R R R R

R : Radio promedio de tronco R : Radio promedio de tronco

Se desea establecer una relación entre la base y la altura de una viga de sección rectangular, Se desea establecer una relación entre la base y la altura de una viga de sección rectangular,

TABLA 3.4: ESFUERZO MAXIMO ADMISIBLE PARA CORTE TABLA 3.4: ESFUERZO MAXIMO ADMISIBLE PARA CORTE

PARALELO A LAS FIBRAS, fv(kg/cm PARALELO A LAS FIBRAS, fv(kg/cm22₎₎

FIGURA 3.5 FIGURA 3.5

(8)

puede utilizar un tronco de madera con el menor desperdicio. puede utilizar un tronco de madera con el menor desperdicio.

Como la deformación gobierna el diseño, entonces debe encontrarse dimensiones que Como la deformación gobierna el diseño, entonces debe encontrarse dimensiones que generen el mayor momento de inercia posible.

generen el mayor momento de inercia posible.

12 12 h h b b II 3 3

⋅⋅

=

22 22 22 _xx _yy R R == ++ )) 1 1 ...( ...( ... ... x x R R y y == 22 −− 22 12 12 (2y) (2y) 2x 2x II 3 3 ⋅⋅ = = 3 3 2 2 2 2 )) x x R R (( x x 3 3 4 4 II == ⋅⋅ ⋅⋅ −− 33 22 22 _xx ₎₎ (R (R xx 33 44 II

₌₌

_⋅⋅

₋₋

33 22 22 22 _(R_(R _xx ₎₎ xx 33 44 II

==

⋅⋅

−−

Derivando la inercia en función de x: Derivando la inercia en función de x:

[

xx (R (R xx ))

]

{ {

[

xx (3(3 (R (R xx )) )) (( 2x)2x)

]

[

(R (R xx )) (2x)(2x)

]]

}}

2 2 1 1 3 3 4 4 I' I' 22 22 22 22 22 22 22 33 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2 x x



⋅⋅

−

⋅⋅

−

+

−

⋅⋅











−

⋅⋅

=

− − Simplificando la expresión: Simplificando la expresión:

[

]

[

]]

{ {

}}

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x )) x x (R (R x x 2 2 (2x) (2x) )) x x (R (R 2x) 2x) (( )) )) x x (R (R (3 (3 x x 3 3 4 4 I' I'

−

⋅⋅

−

+

−

⋅⋅

−

⋅⋅

=

Ahora se iguala a cero l

Ahora se iguala a cero la expresión derivada, esto con el a expresión derivada, esto con el fin de encontrar el fin de encontrar el punto crítico, punto crítico, oo sea para maximizar la inercia:

sea para maximizar la inercia:

[

]

[

]]

{ {

}}

0 0 )) x x (R (R x x 2 2 (2x) (2x) )) x x (R (R 2x) 2x) (( )) )) x x (R (R (3 (3 x x 3 3 4 4 I' I' 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x

=

−

⋅⋅

−

+

−

⋅⋅

−

⋅⋅

=

Simplificando la expresión: Simplificando la expresión: 2 2 2 2 2 2 x x R R y y == −−

(9)

0

0 ))

x

(R

))

x

(R

(3

x

''

II

_x_x == −− 22 ⋅⋅ ⋅⋅ 22 −− 22 22 ++ 22 −− 22 33 ==

0

0 ))

x

(R

3x

''

II

_x_x == −− 22 ++ 22 −− 22 == 2 2 2 2

4x

R

== 2 2 R R x x ==

R

b

== ∴ ∴ Reemplazando x en ecuación (1): Reemplazando x en ecuación (1): 4 4 R R R R y y 2 2 2 2 ₋₋ = = 2 2 R R 4 4 3 3 y y

=

⋅⋅

4 4 3 3 R R y y

=

⋅⋅

R R 866 866 .. 0 0 y y== Ahora como

Ahora como hh==2y2yentonces:entonces:

1.73R 1.73R h h == Y también como b = R: Y también como b = R: 73 73 .. 1 1 b b h h

₌

33..55 V

VIIG

GA

AS

S C

CO

OM

MP

PU

UE

ESST

TA

ASS

Toda vez que se asume una escuadría para el diseño de una viga se Toda vez que se asume una escuadría para el diseño de una viga se

debe procurar que la altura sea 1.73 veces de la base. debe procurar que la altura sea 1.73 veces de la base.

(10)

3.5.

3.5.11 VVigas rigas refoeforzarzadas ldas lateateralralmentmente con pere con perfilfiles de acees de aceroro

h h b b Madera Madera 1 1 h h Madera Madera b b 2 2 Planchas Planchas Pernos Pernos Pernos Pernos

Cuando las cargas que actúan sobre las vigas de madera son grandes, y fundamentalmente Cuando las cargas que actúan sobre las vigas de madera son grandes, y fundamentalmente cuando la longitud de las vigas es de 7.5 a 8 metros (esto ocurre en los puentes), es cuando la longitud de las vigas es de 7.5 a 8 metros (esto ocurre en los puentes), es necesario reforzar la escuadría de la viga con perfiles de acero colocados lateralmente en necesario reforzar la escuadría de la viga con perfiles de acero colocados lateralmente en ambas caras tal como se

ambas caras tal como se observa en la figura. Algunas veces las condiciones arquitecobserva en la figura. Algunas veces las condiciones arquitectónicastónicas de una estructura, obligan también

de una estructura, obligan también a utilizar este procedimiento de refuerzo.a utilizar este procedimiento de refuerzo.

Lo más importante del método constructivo es el aumento de la rigidez y la mejoría de la Lo más importante del método constructivo es el aumento de la rigidez y la mejoría de la estabilidad dimensional, en especial con respecto a la flecha producida por cargas de larga estabilidad dimensional, en especial con respecto a la flecha producida por cargas de larga duración, que son posiblemente las más significativas.

duración, que son posiblemente las más significativas.

Los componentes de una viga reforzada con acero se sujetan firmemente entre si con pernos Los componentes de una viga reforzada con acero se sujetan firmemente entre si con pernos que los atraviesan, de modo que los elementos actúen como una sola unidad.

que los atraviesan, de modo que los elementos actúen como una sola unidad. Espesores de las planchas:

Espesores de las planchas:

 

ee

No es conveniente usar mayores espesores de plancha, debido a su mayor peso propio. No es conveniente usar mayores espesores de plancha, debido a su mayor peso propio.

  1/4’’1/4’’   1/8’’1/8’’   1/16”1/16”   1/32”1/32” FIGURA 3.6 FIGURA 3.6

(11)

Principio:

Principio:“La deformación vertical de ambos materiales debe ser la misma”“La deformación vertical de ambos materiales debe ser la misma”..

Cuando las vigas de madera se refuerzan por medio de perfiles de acero dispuestos Cuando las vigas de madera se refuerzan por medio de perfiles de acero dispuestos lateralmente, habrá que tener en cuenta para efectos de cálculo, los distintos módulos de lateralmente, habrá que tener en cuenta para efectos de cálculo, los distintos módulos de elasticidad, del acero E

elasticidad, del acero Eaa y de la madera Ey de la madera Emm. Bajo la hipótesis de que tanto los perfiles de. Bajo la hipótesis de que tanto los perfiles de

acero como la viga de madera experimentan la misma deformación vertical, esto ocurre acero como la viga de madera experimentan la misma deformación vertical, esto ocurre siempre y cuando el elemento de unión (perno) este adecuadamente apretado.

siempre y cuando el elemento de unión (perno) este adecuadamente apretado.

Entonces siguiendo el principio, y para una viga simplemente apoyada con una carga Entonces siguiendo el principio, y para una viga simplemente apoyada con una carga

qq

uniformemente distribuida se tiene:

uniformemente distribuida se tiene: Flecha para la madera: Flecha para la madera:

m m m m 4 4 m m mad mad II E E 384 384 L L q q 5 5 f f

⋅⋅

=

Flecha para el acero: Flecha para el acero:

aa aa 4 4 aa ac ac

II

E

384

384 L

L

q

5

5 f

f

⋅⋅

=

Entonces por el principio: Entonces por el principio:

ac ac mad mad

f

=

Entonces: Entonces: aa aa aa m m m m m m

II

E

q

II

E

q

⋅⋅

=

⋅⋅

aa aa m m m m aa m m

II

E

II

E

q

⋅⋅

=

_{, donde}_{, donde} aa m m TOTAL TOTAL

q

=

+

3.5.2 Vigas acopladas mediante cuña horizontal de madera 3.5.2 Vigas acopladas mediante cuña horizontal de madera

La figura 3.7. muestra el acoplamiento de 2 vigas mediante un grupo de cuña-perno. Estos La figura 3.7. muestra el acoplamiento de 2 vigas mediante un grupo de cuña-perno. Estos acoplamientos se utilizan especialmente en la construcción de puentes. Con el acoplamiento acoplamientos se utilizan especialmente en la construcción de puentes. Con el acoplamiento se pretende construir grandes basas de altura “h” comprendidas entre 60 cm y 80 cm: se pretende construir grandes basas de altura “h” comprendidas entre 60 cm y 80 cm: 60<h<80 cm.

(12)

a a t t CUÑA CUÑA e e σ σaa T T33 1 1 T T T T22 Ø Ø h h 2 2 h h 2 2 b b h h PERNO PERNO 10 10 [cm] [cm] b b ;; 1" 1" 20 20 --15 15 [cm] [cm] hh ee t;t; 55 dd ;; 20 20 --12 12 [cm] [cm] hh tt

⇔

≥≥

⋅⋅

⇔

≥≥

φ φ

≅≅

El estudio de estos acoplamientos no obedece a desarrollos teóricos (teoremas, etc.), Estos El estudio de estos acoplamientos no obedece a desarrollos teóricos (teoremas, etc.), Estos valores referenciales han sido determi

valores referenciales han sido determinados experimentalmente nados experimentalmente (Norma (Norma Alemana DIN)Alemana DIN) La separación “e” se

La separación “e” se deja para permitir aireacdeja para permitir aireación entre las ión entre las vigas evitandvigas evitando de o de esta forma laesta forma la putrefacción de ellas, sin embargo debe procederse a su mantenimiento y limpieza cuando putrefacción de ellas, sin embargo debe procederse a su mantenimiento y limpieza cuando

sea necesario. sea necesario.

La madera de la cuña debe ser por lo menos del mismo grupo que la madera de las vigas y La madera de la cuña debe ser por lo menos del mismo grupo que la madera de las vigas y el acero del perno no debe ser corrugado.

el acero del perno no debe ser corrugado.

Ante la acción de las cargas, las vigas que intervienen en el acoplamiento tienden a Ante la acción de las cargas, las vigas que intervienen en el acoplamiento tienden a deslizarse las unas respecto a las otras. Entonces se origina la fuerza “T

deslizarse las unas respecto a las otras. Entonces se origina la fuerza “T11” de aplastamiento” de aplastamiento

sobre la penetración de la cuña en la madera. sobre la penetración de la cuña en la madera.

tt b b T T₁₁ ==σ σ _aa ⋅⋅ ⋅⋅ Donde: σ

Donde: σaa= Esfuerzo de aplastamiento de la madera en la cuña, (30 k/cm= Esfuerzo de aplastamiento de la madera en la cuña, (30 k/cm22 - 50 k/cm- 50 k/cm22).).

Cuando se apr

Cuando se apretan etan los pernlos pernos se generos se generan las fueran las fuerzas “Tzas “T22” sobre la cabeza de las cuñas,” sobre la cabeza de las cuñas,

experimentalmente se ha determinado que “T

experimentalmente se ha determinado que “T22” ” depende del depende del diámetro diámetro ((

φφ

) del perno:) del perno: 0.6) 0.6) --(0.5 (0.5 ;; f f 4 4 ;; A A f f T T _ss 2 2 p p ss 2 2 ⋅⋅ == ⋅⋅ ⋅⋅ ⇔ ⇔ ⋅⋅ ⋅⋅ = =_µ_µ _µ_µ π π φ φ _µ_µ

Ante la acción de cargas los pernos presionan sobre el hueco que se ha hecho en la madera Ante la acción de cargas los pernos presionan sobre el hueco que se ha hecho en la madera para introducir los pernos, está presión esta representada por “T

para introducir los pernos, está presión esta representada por “T33”.”.

cm. cm. en en Donde Donde ;; 170) 170) --(150 (150 T T 22 33

==

⋅⋅

φ φ φ φ

Entonces la capacidad de carga (de resistencia) del grupo cuña-perno será: Entonces la capacidad de carga (de resistencia) del grupo cuña-perno será:

T=T

T=T11+T+T22+T+T33

En esta suma T

En esta suma T11 es dominante y muchas veces solamente se toma éste, dejando Tes dominante y muchas veces solamente se toma éste, dejando T22 y y TT33

(13)

como factores de seguridad. como factores de seguridad.

Ahora determinaremos el número de cuñas: Ahora determinaremos el número de cuñas:

bb hh 22 hh hh 22 estático) estático) (Momento (Momento Q Q escuadría) escuadría) la la toda toda de de inercia inercia de de Momento Momento (( II Z Z

₌₌

cgcg h h 3 3 2 2 4 4 h h 2 2 h h b b 12 12 h h b b Z Z 3 3 ⋅⋅ = = ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = =

Con este valor es posible calcular la fuerza horizontal que origina el deslizamiento entre Con este valor es posible calcular la fuerza horizontal que origina el deslizamiento entre vigas: vigas: Z Z M M H H

₌₌

MAXMAX

Entonces el número de cuñas será: Entonces el número de cuñas será:

T T H H nn

≅≅

Es conveniente, para estar del

Es conveniente, para estar del lado de la seguridad sustituir T por Tlado de la seguridad sustituir T por T11..

Finalmente en el punto medio entre 2 cuñas adyacentes se ubicará un perno. Finalmente en el punto medio entre 2 cuñas adyacentes se ubicará un perno.

(14)

Ejemplo 1

Ejemplo 1: Encontrar la escuadría de una viga de 6.5 metros de longitud, que se encuentra: Encontrar la escuadría de una viga de 6.5 metros de longitud, que se encuentra simplemente apoyada, y soporta una carga uniformemente distribuida de 0.3 toneladas por simplemente apoyada, y soporta una carga uniformemente distribuida de 0.3 toneladas por metro. metro. El esquema es el siguiente: El esquema es el siguiente: 6.5m 6.5m q = 0.3 t/m q = 0.3 t/m A A BB

Se debe elegir el grupo al cual pertenece

Se debe elegir el grupo al cual pertenece la madera a utilizar; en esla madera a utilizar; en este caso se usará maderate caso se usará madera del GRUPO A, que será el ALMENDRILLO.

del GRUPO A, que será el ALMENDRILLO.

••

Grupo A (Almendrillo)Grupo A (Almendrillo)

Para hallar la carga debido al peso propio se debe asumir la base y la altura de la sección de Para hallar la carga debido al peso propio se debe asumir la base y la altura de la sección de la madera; para asumir una sección

la madera; para asumir una sección aproximada se debe recurrir a las siguientes ecuaproximada se debe recurrir a las siguientes ecuaciones:aciones:

••

hh

==

11 ..

73

73 ⋅⋅

b

••

Z

M

ad

σσ

_f_f

==

Donde la primera ecuación es la

Donde la primera ecuación es la relacirelación de ón de escuadescuadría óptima, y la ría óptima, y la segunda ecuacisegunda ecuación es ón es lala ecuación de flexión, donde M es el momento por carga viva y Z es el módulo de la sección, ecuación de flexión, donde M es el momento por carga viva y Z es el módulo de la sección, entonces: entonces: 2 2 2 2 f f h h b b M M 6 6 6 6 h h b b M M Z Z M M ad ad ⋅⋅ = = ⋅⋅ = = = = σ σ

Sustituyendo la el valor de la altura de la escudaría óptima: Sustituyendo la el valor de la altura de la escudaría óptima:

M M 2 2 M M 6 6 ad adσσ == == ⋅⋅ f f ad adσ σ 210 k/cm210 k/cm22

ττ

ad ad 15 k/cm15 k/cm22 E E 95000 k/cm95000 k/cm22

f

ad ad 275 275 (cm) (cm) L L

γ

800 k/m800 k/m33

(15)

Entonces: Entonces: 3 3 f f ad ad M M 2 2 b b σ σ ⋅⋅ = =

Ahora se halla el momento producido por la carga viva: Ahora se halla el momento producido por la carga viva:

m m k k 38 38 .. 1584 1584 8 8 5 5 .. 6 6 300 300 8 8 L L C C M M 2 2 2 2 T T ⋅⋅ == ⋅⋅ == ⋅⋅ = =

Pero además se debe hacer incidir el coeficiente de seguridad a flexión (se tomará el valor Pero además se debe hacer incidir el coeficiente de seguridad a flexión (se tomará el valor de 2).Entonces la base será:

de 2).Entonces la base será:

cm cm 45 45 .. 14 14 2 2 210 210 158438 158438 2 2 b b 3 3 = = ⋅⋅ = = cm cm 25 25 45 45 .. 14 14 73 73 .. 1 1 h h == ⋅⋅ ==

Pero como por lo general la comercialización de la madera se realiza en pulgadas, se ve por Pero como por lo general la comercialización de la madera se realiza en pulgadas, se ve por conveniente redondear las dimensiones de la sección, y además aumentarla un poco debido conveniente redondear las dimensiones de la sección, y además aumentarla un poco debido a que no se tomó en cuenta el peso propio:

a que no se tomó en cuenta el peso propio:

El peso propio será: El peso propio será:

h h b b_⋅⋅ ⋅⋅ = = γ γ p p P P PP p p= 800 k/m= 800 k/m33 ..0.15 m0.15 m..0.25 m = 30 k/m0.25 m = 30 k/m

La carga total será:

La carga total será: CC_T_T ==qq++PpPp

C

CTT= 330 k/m= 330 k/m

Las reacciones serán: Las reacciones serán:

2 2 L L q q R R _A_A == ⋅⋅ k k 5 5 .. 1072 1072 2 2 5 5 .. 6 6 650 650 R R _A_A == ⋅⋅ == k k 5 5 .. 1072 1072 R R _B_B ==   b =15 cm b =15 cm   h =25 cmh =25 cm ESCUADRÍA: ESCUADRÍA:

(16)

Los esfuerzos internos serán los que se presentan en el siguiente diagrama; el momento Los esfuerzos internos serán los que se presentan en el siguiente diagrama; el momento máximo se calcula con:

máximo se calcula con:

m m k k 81 81 .. 1742 1742 8 8 5 5 .. 6 6 330 330 8 8 L L C C M M 2 2 2 2 T T MAX MAX == ⋅⋅ ⋅⋅ = = ⋅⋅ = = Diagrama de esfuerzos internos: Diagrama de esfuerzos internos:

6.5m 6.5m q = 0.3 t/m q = 0.3 t/m Pp Pp 1072.5 k 1072.5 k 1072.5 k1072.5 k Mmax=1742.81 k.m. Mmax=1742.81 k.m. AA BB 1072.5 k 1072.5 k 1072.5 k 1072.5 k 3.25m 3.25m CORTANTES CORTANTES MOMENTOS MOMENTOS M M m m a a x x FLEXIÓN :

FLEXIÓN : f f maxmax₂₂

h h b b M M 6 6 σ σ ⋅⋅ ⋅⋅ = = 2 2 2 2 f f 111111..5454 k k //cmcm 25 25 15 15 174281 174281 6 6 σ σ == ⋅⋅ ⋅⋅ = =

Como este valor es menor al admisible, entonces cumple. Como este valor es menor al admisible, entonces cumple.

(17)

El coeficiente de seguridad a

El coeficiente de seguridad a la flexión será:la flexión será:

88 88 .. 1 1 54 54 .. 111 111 210 210 C.Seg C.Seg f f f f f f ad ad = = = = = = σ σ σ σ

Este coeficiente es muy bajo, debe salir mayor o igual a 2, entonces se sospecha que se Este coeficiente es muy bajo, debe salir mayor o igual a 2, entonces se sospecha que se deberá cambiar de escuadría, pero por razones académicas se continuara el ejercicio. deberá cambiar de escuadría, pero por razones académicas se continuara el ejercicio.

CORTE: CORTE: h h b b Q Q 2 2 3 3 ττ maxmax ⋅⋅ ⋅⋅ = = 2 2 cm cm // k k 29 29 .. 4 4 25 25 15 15 2 2 5 5 .. 1072 1072 3 3 = = ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = = τ τ

Como este valor es menor al admisible, entonces cumple. Como este valor es menor al admisible, entonces cumple. El coeficiente de seguridad al corte

El coeficiente de seguridad al corte será:será:

50 50 .. 3 3 29 29 .. 4 4 15 15 C.Seg C.Seg == adad == ==

ττ

Este coeficiente es un valor aceptable. Este coeficiente es un valor aceptable.

DEFORMACION: DEFORMACION:

La deformación admisible será La deformación admisible será::

f

ad ad == 22..3636 cmcm 275 275 650 650 275 275 (cm) (cm) L L = = = =

La flecha que produce la carga será: La flecha que produce la carga será:

cm cm 13 13 .. 4 4 12 12 25 25 15 15 95000 95000 384 384 650 650 3 3 .. 3 3 5 5 II E E 384 384 ll q q 5 5 f f ₃₃ 4 4 4 4 = = ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = = ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = =

Como este valor es mayor al admisible, entonces

Como este valor es mayor al admisible, entonces falla,falla,∴∴CAMBIAR CAMBIAR ESCUADRIA! ESCUADRIA!

Los

Los tretres s fenfenómeómenos nos (fl(flexiexión, ón, cortcorte e y y defdeformormaciación) ón) no no son son aisaisladlados, os, se se prepresensentantan simultáneamente. En general en las maderas la deformación es el fenómeno más simultáneamente. En general en las maderas la deformación es el fenómeno más peligroso, mas que la flexión, mas que el corte. Por eso se exige en las maderas un peligroso, mas que la flexión, mas que el corte. Por eso se exige en las maderas un

coeficiente de seguridad para la deformación entre 1.5 a 2. coeficiente de seguridad para la deformación entre 1.5 a 2. Como la escuadría asumida es insuficiente:

Como la escuadría asumida es insuficiente: AFINAMIENTO

(18)

h h b b P P_p_p ==γ γ ⋅⋅ ⋅⋅ PP p p= 800 k/m= 800 k/m33 ..0.15 m0.15 m..0.35 m = 42 k/m0.35 m = 42 k/m

La carga total será: La carga total será:

Pp Pp q q C C_T_T == ++ C CTT= 342 k/m= 342 k/m DEFORMACION : DEFORMACION :

cm cm 56 56 .. 1 1 12 12 35 35 15 15 95000 95000 384 384 650 650 42 42 .. 3 3 5 5 3 3 4 4

=

⋅⋅

=

⋅⋅

=

I I E E 384 384 l l q q 5 5 f f 4 4

Como este valor es menor al admisible, entonces cumple. Como este valor es menor al admisible, entonces cumple. El coeficiente de seguridad a la deformación será:

El coeficiente de seguridad a la deformación será:

51 51 .. 1 1 56 56 .. 1 1 36 36 .. 2 2 f f f f f f

=

ad ad C.Seg C.Seg

Este valor de coeficiente de seguridad a la deformación entra en el rango recomendado Este valor de coeficiente de seguridad a la deformación entra en el rango recomendado de 1.5 a 2, por lo tanto la escuadría asumida cumple.

de 1.5 a 2, por lo tanto la escuadría asumida cumple.

Nota.-Nota.- La deformación gobierna el diseño La deformación gobierna el diseño (es el efecto más desfavorable para maderas).(es el efecto más desfavorable para maderas). Los coeficientes de seguridad sirven para asegurar la estructura ante cargas que no Los coeficientes de seguridad sirven para asegurar la estructura ante cargas que no hubiesen sido consideradas, o algunos defec

hubiesen sido consideradas, o algunos defectos de la madera que se tos de la madera que se va a emplear.va a emplear.

Otra alternativa del ejercicio anterior hubiese sido modificar las condiciones de apoyo, Otra alternativa del ejercicio anterior hubiese sido modificar las condiciones de apoyo, como por ejemplo en vez de ser simplemente apoyado, que fuese empotrado-empotrado como por ejemplo en vez de ser simplemente apoyado, que fuese empotrado-empotrado para así disminuir la deformación.

para así disminuir la deformación.

Ejemplo 2

(19)

puente transita el tren que se o

puente transita el tren que se observa en la figura. Determine la escuadría bserva en la figura. Determine la escuadría de la viga.de la viga. El esquema es el siguiente: El esquema es el siguiente: A A Pp Pp B B 6.0 [m] 6.0 [m] 1.5 [m] 1.5 [m] 0.2 t 0.2 t 0.2 t0.2 t

Se asumirá los siguientes datos

Se asumirá los siguientes datos del GRUPO A.del GRUPO A.

o

o Grupo AGrupo A

Para predimensionar la sección (lo explicado en

Para predimensionar la sección (lo explicado en el anterior ejemplo):el anterior ejemplo):

3 3 f f ad ad M M 2 2 b b σ σ ⋅⋅ = =

Ahora se halla el momento producido por la carga viva, para esto se ubica la carga en la Ahora se halla el momento producido por la carga viva, para esto se ubica la carga en la posición más desfavorable (análisis de línea de influencia):

posición más desfavorable (análisis de línea de influencia):

A A 0.2t 0.2t 0.2t0.2t B B 2.25m 2.25m

De los formularios de los anexos del ca

De los formularios de los anexos del capitulo 3:pitulo 3: MM ==PP⋅⋅aa == 200200⋅⋅22..2525== 450450 k k ⋅⋅mm Pero además se debe hacer incidir el coeficiente de seguridad a flexión (se tomará el valor Pero además se debe hacer incidir el coeficiente de seguridad a flexión (se tomará el valor de 2).Entonces la base será:

cm cm 50 50 .. 9 9 2 2 210 210 45000 45000 2 2 b b 3 3 = = ⋅⋅ = = cm cm 435 435 .. 16 16 50 50 .. 9 9 73 73 .. 1 1 h h == ⋅⋅ == f f ad adσ σ 210 k/cm210 k/cm22

ττ

f

ad ad 275 275 (cm) (cm) L L

γ

750 k/m750 k/m33

(20)

conveniente redondear las dimensiones de la sección, y además aumentarla un poco debido conveniente redondear las dimensiones de la sección, y además aumentarla un poco debido a que no se tomó en cuenta el peso propio:

PP p p= 750 k/m= 750 k/m33 ..0.125 m0.125 m..0.25 m = 23.44 k/m0.25 m = 23.44 k/m PP p p=25 k/m=25 k/m

ESTÁTICA:

ESTÁTICA: Debe posicionarse el tren de tal manera que esa posición genere losDebe posicionarse el tren de tal manera que esa posición genere los esfuerzos máximos

esfuerzos máximos (Flexión, cortante y (Flexión, cortante y deformación).Se colocan las deformación).Se colocan las dos cargas sdos cargas simétricasimétricas respecto el centro de la

respecto el centro de la viga (análisis de línea de influencia).viga (análisis de línea de influencia). FLEXIÓN :

FLEXIÓN : La sección crítica para el momento máximo es el centro del tramo por La sección crítica para el momento máximo es el centro del tramo por tanto debe situarse el tren de manera

tanto debe situarse el tren de manera compartida respecto al centro.compartida respecto al centro.

A A BB 0.2 t 0.2 t 0.2 t 0.2 t 275 k 275 k 275 k275 k x x ( ( 2.252.25 3.753.75)) 200200 66 VV 150150 33 00 00 M M_A_A

==

⇒

++

⋅⋅

−−

⋅⋅

_B_B

++

⋅⋅

==

∑

k k 275 275 V V V V k k 275 275 V V_B_B == ⇒⇒ _A_A == _B_B == 22 xx 25 25 --xx 275 275 22 2.25 2.25 xx 00

M

⋅⋅

==

<< << ( ( 22..2525)) 200 200 22 xx 25 25 --xx 275 275 22 33 xx 2.25 2.25

M

−−

⋅⋅

−−

⋅⋅

==

<< << x x 2 2 max max f f h h b b M M 6 6 σ σ ⋅⋅ ⋅⋅ = = 55 555.5.46 46 kk ۰۰ mm 0 0 kk ۰  m۰  m 56 562.2.50 50 kk ۰۰ mm 55 555.5.46 46 kk ۰۰ mm   b =12.5 cm b =12.5 cm   h =25 cmh =25 cm ESCUADRÍA: ESCUADRÍA:

(21)

BIEN BIEN ad ad k/cm k/cm 2 2 .. 43 43 25 25 12.5 12.5 6250 6250 5 5 6 6 σ σ_f_f ₂₂ == 22 << _f_f ⇒⇒ ⋅⋅ ⋅⋅ = = σ σ CORTE: CORTE:

La sección crítica para el cortante máximo es en el extremo del tramo (cualquier extremo), La sección crítica para el cortante máximo es en el extremo del tramo (cualquier extremo), por tanto el tren de cargas debe situarse:

por tanto el tren de cargas debe situarse:

0.2 t 0.2 t A A 425 k 425 k 0.2 t 0.2 t B B 125 k 125 k 00 V V 66 33 150 150 200 200 .5 .5 11 00 M M_A_A

₌₌

_⇒

_⋅⋅

₊₊

_⋅⋅

₋₋

_⋅⋅

_B_B

₌₌

∑

k k 125 125 V V_B_B

==

00 150 150 33 --200 200 4.5 4.5 --200 200 66 --V V 66

⋅⋅

_A_A

⋅⋅

==

MAX MAX A A 425425k k QQ V V

==

⇒

h h b b Q Q 2 2 3 3 ττ maxmax ⋅⋅ ⋅⋅ = = →→ 22..0404 k/cmk/cm adad BIENBIEN 25 25 12.5 12.5 425 425 2 2 3 3 22 ⇒ ⇒ < < = = ⋅⋅ ⋅⋅ = = τ τ τ τ DEFORMACIÓN: DEFORMACIÓN:

A A BB A A BB AA BB 0.2 t 0.2 t 0.2 t0.2 t 0.2 t0.2 t 0.2 t0.2 t ( ( )) cm cm 27 27 .. 0 0 12 12 25 25 5 5 .. 12 12 95000 95000 384 384 600 600 25 25 .. 0 0 5 5 II E E 384 384 L L q q 5 5 f f ₃₃ 4 4 4 4 1 1 _⋅⋅ == ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = = ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = = ;;

( (

33 600600 44 225225

))

11..0606cmcm 12 12 25 25 12.5 12.5 000 000 5 5 9 9 24 24 225 225 200 200 )) aa 4 4 L L (3 (3 II E E 24 24 aa P P f f ₂₂ 22 22 ₃₃ ⋅⋅ ⋅⋅ 22 −− ⋅⋅ 22 == ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = = ⋅⋅ − − ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = =

(22)

cm cm 33 33 .. 1 1 06 06 .. 1 1 27 27 .. 0 0 f f f f f f _T_T == ₁₁ ++ ₂₂ == ++ == BIEN BIEN adf adf f f cm cm 2.4 2.4 250 250 600 600 250 250 L(cm) L(cm) adf adf

==

⇒

_T_T

<<

⇒

COEFICIENTES DE SEGURIDAD (HOLGURA): COEFICIENTES DE SEGURIDAD (HOLGURA):

Flexión: Flexión: 86 86 .. 4 4 2 2 .. 43 43 210 210 C.Seg C.Seg f f f f f f ad ad = = = = = = σ σ σ σ Cortante: Cortante: 35 35 .. 7 7 04 04 .. 2 2 15 15 C.Seg C.Seg == adad == == τ τ τ τ τ τ Deformación Deformación 81 81 .. 1 1 33 33 .. 1 1 40 40 .. 2 2 C.Seg C.Seg == adad == == f f f f f f La

La esescuacuadrdría ía enenconcontrtrada ada se se enencuecuentntra ra dedentntro ro lo lo acacepeptatablble e dedentntro ro dedel l mamarcrco o de de lala seguri

seguridad(perdad(pero o eses antieconómicoantieconómico, , en en lo lo poposisiblble e prprococururar ar afafininar ar lo lo mamas s cecercrcanano o alal coeficiente de seguridad de 1.5), los coeficientes de seguridad respecto a la flexión y el coeficiente de seguridad de 1.5), los coeficientes de seguridad respecto a la flexión y el cortante son mayores que el coeficiente de seguridad de la deformación, eso prueba una vez cortante son mayores que el coeficiente de seguridad de la deformación, eso prueba una vez más que la deformación en las maderas es el fenómeno más peligroso (Esto no ocurre en el más que la deformación en las maderas es el fenómeno más peligroso (Esto no ocurre en el concreto ni en el acero).

(23)

Ejemplo 3: DINTEL DE VENTANA Ejemplo 3: DINTEL DE VENTANA Madera Grupo: B Madera Grupo: B Luz Libre = 2m Luz Libre = 2m 2.30 m 2.30 m 30 cm 30 cm 2.70 m 2.70 m Piso Superior Piso Superior Entrega o Descanso Entrega o Descanso (minimo 30 cm) (minimo 30 cm) Dintel de Madera Dintel de Madera Mamposteria de Ladrillo Mamposteria de Ladrillo Gambote de Carga Gambote de Carga

A diferencia de los anteriores ejercicios ahora la carga no esta dada, debe el ingeniero A diferencia de los anteriores ejercicios ahora la carga no esta dada, debe el ingeniero procurar estimar la carga con la mayor precisión posible. De nada servirá cualquier procurar estimar la carga con la mayor precisión posible. De nada servirá cualquier

afinamiento aritmético o algebraico si la carga no h

afinamiento aritmético o algebraico si la carga no ha sido adecuadamente estimada.a sido adecuadamente estimada. Existen dos posibilidades para estimar la carga:

Existen dos posibilidades para estimar la carga:

α α α α X X 1m 1m 2.30m 2.30m 2.0m 2.0m

Se considerará el efecto arco con: Se considerará el efecto arco con:

°°

<<

α

<<

°°

65

50

(24)

Cálculo de h: Cálculo de h: Con un Con un

α

= 60º:= 60º: 2 2 // 30 30 .. 2 2 )) ºº 60 60 tan( tan( == hh

m

00 ..

22 m

m

99

99 ..

11 hh

==

≅≅

Cálculo del área: Cálculo del área:













_⋅⋅

==

11 ..

15

22

11

22 A

A

22

m

33 ..

22 A

A

==

Cálculo de x: Cálculo de x:

xx

11

15

15 ..

11

22 ==

m m 0575 0575 .. x x == Para el ladrillo: Para el ladrillo: 2 2 m m .. und und 130 130 Ladrillos Ladrillos # # ≅≅

kg

55 ..

22 Ladrillo

Ladrillo

cada

//

p

Peso

==

kg

748

748 kg

kg

55 ..

747

33 ..

22

55 ..

22

130

130 Ladrillo

Ladrillo

de

total

Peso

==

⋅⋅

==

≅≅

Para el mortero: Para el mortero: 33

m

006

006 ..

00

16

16 ..

11

25

25 ..

00

02

02 ..

00 mortero

mortero

de

hilera

una

de

Volumen

==

⋅⋅

==

30

30 Hileras

Hileras

##

==

33

m

18

18 ..

00

006

006 ..

00

30

30 mortero

mortero

de

total

Volumen

==

⋅⋅

==

33

m

kg

2200

mortero

del

especifico

Peso

==

kg

396

396 2200

2200

18

18 ..

00 mortero

mortero

del

total

Peso

==

⋅⋅

==

Peso total:

PP

_T_T

==

PP

_lad_lad

++

PP

_mort_mort

==

748

748 ++

396

396 ==

1144

kg

Ahora, distribuyendo el Peso total en la longitud:

m m k k 44 .. 497 497 30 30 .. 22 1144 1144 L L PP qq TT T T

==

(25)

Ahora, lo que falta es asumir la escuadría del dintel: Ahora, lo que falta es asumir la escuadría del dintel: Entonces: Entonces: 3 3 f f ad ad M M 2 2 b b σ σ ⋅⋅ = =

Ahora se halla el momento p

Ahora se halla el momento producido por la sobrecarga:roducido por la sobrecarga:

m m k k 91 91 .. 328 328 8 8 3 3 .. 2 2 40 40 .. 497 497 8 8 L L C C M M 2 2 2 2 T T ⋅⋅ ₌₌ ⋅⋅ ₌₌ _⋅⋅ = =

Pero además se debe hacer incidir el coeficiente de seguridad a flexión (se tomará el valor Pero además se debe hacer incidir el coeficiente de seguridad a flexión (se tomará el valor de 2).Entonces la base será:

cm cm 57 57 .. 9 9 2 2 150 150 32891 32891 2 2 b b 3 3 = = ⋅⋅ = = cm cm 55 55 .. 16 16 57 57 .. 9 9 73 73 .. 1 1 h h == ⋅⋅ ==

Pero como por lo general la comercialización de la madera se realiza en pulgadas, se ve por Pero como por lo general la comercialización de la madera se realiza en pulgadas, se ve por conveniente redondear las dimensiones de la sección, y además aumentarla un poco debido conveniente redondear las dimensiones de la sección, y además aumentarla un poco debido a que no se tomó en cuenta el peso propio:

Peso propio de la madera: Peso propio de la madera:

m

k

25

25 ..

12

700

175

175 ..

00

10

10 ..

00 PP

_mad_mad

==

⋅⋅

==

Carga total: Carga total:

m

kg

65

65 ..

509

25

25 ..

12

44 ..

497

497 qq

_Total_Total

==

++

==

FLECHA: FLECHA:

cm cm 52 52 .. 0 0 12 12 5 5 .. 17 17 10 10 75000 75000 384 384 230 230 097 097 .. 5 5 5 5 3 3 4 4 = = ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = = ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = = I I E E 384 384 L L q q 5 5 f f 4 4

Como este valor es menor al admisible, entonces cumple. Como este valor es menor al admisible, entonces cumple.

  b =10 cm b =10 cm   h =17.5 cmh =17.5 cm ESCUADRÍA: ESCUADRÍA:

(26)

El coeficiente de seguridad a la deformación será: El coeficiente de seguridad a la deformación será:

77 77 .. 1 1 52 52 .. 0 0 92 92 .. 0 0 C.Seg C.Seg f f f f ad ad f f

=

Este valor de coeficiente de seguridad a la deformación entra en el rango recomendado Este valor de coeficiente de seguridad a la deformación entra en el rango recomendado de 1.5 a 2, por lo tanto la escuadría asumida cumple (se puede afinar aun más, en busca de 1.5 a 2, por lo tanto la escuadría asumida cumple (se puede afinar aun más, en busca de

de bajar los costosbajar los costos).).

DETALLE CONSTRUCTIVO: DETALLE CONSTRUCTIVO:



 Por razones constructivas : base de dintel = Por razones constructivas : base de dintel = 7.5cm7.5cm 

 Por Por razones razones teóricas teóricas : : base base de de dintel dintel = = 5cm5cm 

 Profundidad Profundidad de de clavo clavo : : prof. prof. = = 18 18 cmcm

7.5 7.5 17.5

17.5 _CLAVO_CLAVO

Eje

Ejemplmplo o 44: : DeDetetermrmininar ar la la esescucuadadríría a de de mamadedera ra papara ra la la viviga ga ABAB, , y y dedetetermrmininar ar sisi corresponde reforzar la escuadría con perfiles de acero. En el sitio los troncos son jóvenes y corresponde reforzar la escuadría con perfiles de acero. En el sitio los troncos son jóvenes y por consiguiente de poco diámetro.

por consiguiente de poco diámetro.

A A q =1 t/m q =1 t/m B B 7.0 m 7.0 m

Se debe elegir el grupo al cual pertenece

(27)

••

Grupo A (Almendrillo)Grupo A (Almendrillo)

Para hallar la carga debido al peso propio se debe asumir la base y la altura de la sección de Para hallar la carga debido al peso propio se debe asumir la base y la altura de la sección de la madera, la máxima escuadría que se puede encontrar en un bosque joven:

la madera, la máxima escuadría que se puede encontrar en un bosque joven:

h h b b_⋅⋅ ⋅⋅ = = γ γ p p P P PP p p= 800 k/m= 800 k/m33 ..0.175 m0.175 m..0.30 m0.30 m≈≈ 42 k/m42 k/m

La carga total será (sin acero): La carga total será (sin acero):

Pp Pp q q q q_T_T == ++ qqTT= 1000 k/m +42 k/m = 1042 k/m= 1000 k/m +42 k/m = 1042 k/m

Ahora se desea saber cuanto de la carga total puede asumir la escuadría de madera: Ahora se desea saber cuanto de la carga total puede asumir la escuadría de madera:

DEFORMACION: DEFORMACION:

La deformación admisible será La deformación admisible será::

f

ad ad == 22..5454 cmcm 275 275 700 700 275 275 (cm) (cm) L L = = = =

El coeficiente de seguridad de deformación es de 1.5 a 2, por l

El coeficiente de seguridad de deformación es de 1.5 a 2, por lo se asume o se asume un valor de 1.6,un valor de 1.6, por lo tanto: por lo tanto: cm cm 59 59 .. 1 1 6 6 .. 1 1 54 54 .. 2 2 C.Seg C.Seg f f f f f f f f C.Seg C.Seg == adad ⇒⇒ == adad == == f f f f f f ad adσ σ 210 k/cm210 k/cm22

ττ

f

ad ad 275 275 (cm) (cm) L L

γ

800 k/m800 k/m33   b =17.5 cm b =17.5 cm   h =30 cmh =30 cm ESCUADRÍA: ESCUADRÍA:

(28)

k/cm k/cm 90 90 .. 1 1 q q 12 12 30 30 5 5 .. 7 7 1 1 5000 5000 9 9 384 384 700 700 q q 5 5 59 59 .. 1 1 II E E 384 384 L L q q 5 5 f f ₃₃ _m_m 4 4 m m m m 4 4 m m _⋅⋅ ⇒⇒ == ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = = = = ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = = ∴ ∴

_qq

_T_T

_{> q}

_m_m___REFORZAR_REFORZAR

qq

aa== 1042 – 190 = 8521042 – 190 = 852 k/mk/m

Necesariamente debe reforzarse la escuadría, pues ella sola no es capaz de resistir a la carga Necesariamente debe reforzarse la escuadría, pues ella sola no es capaz de resistir a la carga total. Continuaremos el ejercicio solamente por motivos académicos, pues que es tan total. Continuaremos el ejercicio solamente por motivos académicos, pues que es tan grande la carga que debe asumir

grande la carga que debe asumir el acero en proporción a la el acero en proporción a la madera (relación aproximadamadera (relación aproximada de 4 a 1) que sería preferible construir la viga de otro material (Concreto puro o acero de 4 a 1) que sería preferible construir la viga de otro material (Concreto puro o acero puro)

puro). . GeneraGeneralmente un buen reflmente un buen refuerzo de acero debe cubuerzo de acero debe cubrir como máxirir como máximo el 50% de lamo el 50% de la carga total.

carga total.

Elegimos el uso de planchas para el refuerzo: Elegimos el uso de planchas para el refuerzo:

Madera Madera Pernos Pernos Planchas Planchas 3 3 0 0 17.5 17.5

Ahora se debe elegir espesor de plancha:

Ahora se debe elegir espesor de plancha: ee

==

11₄₄""

==

00..6464 cmcm

El momento de inercia es afectado por cada una de las planchas de acero. El momento de inercia es afectado por cada una de las planchas de acero.

cm cm 30 30 h h cm cm 53 53 h h 12 12 h h 64 64 .. 0 0 2 2 10 10 1 1 .. 2 2 384 384 700 700 52 52 .. 8 8 5 5 59 59 .. 1 1 II E E 384 384 L L q q 5 5 f f ₃₃ _aa _m_m aa 6 6 4 4 aa 4 4 aa aa ⇒⇒ == >> == ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ × × ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = = = = ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = =

La altura del acero supera a la altura de la madera e imposibilita o por lo menos dificulta el La altura del acero supera a la altura de la madera e imposibilita o por lo menos dificulta el proceso constructivo, además de que todavía no esta considerado el peso del acero.

proceso constructivo, además de que todavía no esta considerado el peso del acero.

3 3 ACERO ACERO ==78507850k/mk/m γ γ

(29)

PP p p= 2= 2..0.0064 m0.0064 m..0.53 m0.53 m.. 7850 k/m7850 k/m33 ==53.25 k/m53.25 k/m

qqTOTALTOTAL≈≈1100 k/m1100 k/m

Entonces nos vemos en la necesidad de cambiar de escuadría de la viga de madera, para eso Entonces nos vemos en la necesidad de cambiar de escuadría de la viga de madera, para eso diremos inicialmente que la madera soportará el 50% de la anterior carga total y con esta diremos inicialmente que la madera soportará el 50% de la anterior carga total y con esta aproximación sacaremos los valores de la b

aproximación sacaremos los valores de la base y la altura de la viga.ase y la altura de la viga.

4 4 3 3 3 3 aa 4 4 m m 4 4 m m m m 113834113834..2424cmcm 12 12 h h b b 12 12 h h b b 95000 95000 384 384 700 700 50 50 .. 5 5 5 5 59 59 .. 1 1 II E E 384 384 L L q q 5 5 f f ⇒⇒ ⋅⋅ == ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = = = = ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = =

Sustituyendo la relación de escuadría óptima: Sustituyendo la relación de escuadría óptima:

cm cm 22.66 22.66 b b cm cm 24 24 .. 113834 113834 12 12 b) b) (1.73 (1.73 b b

⋅⋅

33

₌₌

44

_⇒

₌₌

Entonces: Entonces: PP p p= 800 k/m= 800 k/m33 ..0.25 m0.25 m..0.45 m = 90 k/m0.45 m = 90 k/m

La carga total será (sin acero): La carga total será (sin acero):

Pp Pp q q q q_T_T == ++ qqTT= 1000 k/m +90 k/m = 1090 k/m= 1000 k/m +90 k/m = 1090 k/m

k/cm k/cm 17 17 .. 9 9 q q 12 12 45 45 25 25 5000 5000 9 9 384 384 700 700 q q 5 5 59 59 .. 1 1 II E E 384 384 L L q q 5 5 f f ₃₃ _m_m 4 4 m m m m 4 4 m m _⋅⋅ ⇒⇒ == ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = = = = ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = = ∴ ∴

_qq

_T_T

_{> q}

_m_m___REFORZAR_REFORZAR

qq

aa== 1090 – 917 = 1731090 – 917 = 173 k/mk/m

Para la escuadría de la basa la madera resiste el 84.12% de la carga total sin tomar en Para la escuadría de la basa la madera resiste el 84.12% de la carga total sin tomar en cuenta todavía el peso del acero.

cuenta todavía el peso del acero.

  b =25 cm b =25 cm   h =45 cmh =45 cm ESCUADRÍA ESCUADRÍA