Tema 1. Números reales

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Conceptos previos



Errores absoluto y relativo



La recta real, semirrectas, intervalos y entornos

Notación científica



Ejercicios

CONCEPTOS PREVIOS

Resuelve los siguientes tres ejercicios iniciales sin hacer uso de la calculadora

1. Un carpintero tiene una tabla de 6 metros. Tiene que dividirlo en 3 partes, ¿cuánto mide cada trozo? ¿Y si son 9 partes? ¿Y si son 7 partes?

2. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado de 5 dm2 de área?

3. Averigua las dimensiones de un rectángulo de 1 m2 de área y tal que si lo dividimos por la mitad resulta otro rectángulo semejante al primero.

Conjuntos numéricos. Los conjuntos numéricos que debes conocer son: Naturales (N), Enteros (Z), Racionales (Q) y Reales (R).

Los números racionales son aquellos que pueden expresarse mediante una fracción de números enteros con denominador distinto de cero. También pueden expresarse por medio de un número decimal que será exacto o periódico.

x  Q  existen m, n  Z tales que n m x (n≠0)

Los números irracionales no pueden expresarse mediante una fracción de números enteros. Su expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas.

El conjunto formado por los números racionales y por los irracionales se denomina conjunto de los números reales (R).

Ejercicios: 1, 2, 3 y 4

Potencias de números reales

de exponente natural: an = a · a · ...· a (n veces) a1 = a de exponente entero: añadimos: a–n =

n

a 1

a0 = 1

de exponente racional: Definimos n n m m

a a 

Si el exponente es un número irracional calculamos la potencia por aproximaciones sucesivas del número.

Ejercicio: 5 a, d, g)

Propiedades de las potencias Producto de potencias de la misma base: am·an amn

Cociente de potencias de la misma

base: m n n m a a a _ 

Potencia de una potencia:

n m n m _a a ) · (  Potencia de un producto: n n n _{a b} b a· ) · (  Potencia de un cociente: n n n b a b a _      

La raíz enésima de un número real a (n

a) es un número real b tal que bn=a Ejemplos:

 

Introducir factores en un radical:·5·42454·42454·241250

Suma y diferencia de radicales semejantes:

20 27 45

12   =2 33 53 32 5= 5 3

Ejercicios: 5, 6 y 7

ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO

Valor absoluto de un número real: Dado un número real x su valor absoluto | x | coincide con él si es positivo y con su opuesto si es negativo.















0

si

0

si

x

x

x

x

x

Aproximaciones de un número real: La mayoría de los números racionales y todos los irracionales tienen infinitas cifras decimales, lo que plantea dificultades a la hora de operar con ellos. En el caso de los números racionales siempre queda la solución de operar con su expresión exacta en forma de fracción, no así en los irracionales.

En la práctica para operar con números reales se utilizan aproximaciones (que pueden ser por defecto o por

exceso) con un número determinado de cifras decimales. Redondear un número es tomar la mejor

aproximación, por defecto o exceso. Ejemplo: Dado el número racional

3 2

, si tomamos dos cifras decimales, una aproximación por defecto será 0’66, una por exceso será 0’67 y una por redondeo 0’67. Siempre que aproximamos cometemos cierto error.

Errores

El error absoluto que se comete al utilizar una aproximación de un número real es el valor absoluto de la diferencia entre el verdadero valor y la aproximación. Ea = | Valor verdadero – aproximación |

El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el verdadero valor del número. Er =

adero Valor verd

E_a

El error absoluto puede tener unidades, si el número las tiene. No así el error relativo, que al ser un cociente de las mismas magnitudes, queda sin unidades. A veces el error relativo se expresa en forma de porcentaje.

Por otra parte, cuando aproximamos un número irracional, como por ejemplo el número pi, es imposible calcular el error absoluto y el relativo de forma exacta, pues no podemos operar con el valor exacto. Por ello lo que se hace es utilizar acotaciones del error.

Ejemplos: Si tomamos para

3 2

el valor 0’67 el error absoluto es | 3 2 – 0’67| = | 3 2 100 67  | = | 300 1  | = 300 1 o 0’0033333… y el error relativo será

300 1 : 3 2 = 200 1 o 0’005 o también el 0’5%

Si tomamos 3’1416 como valor de , el error absoluto no puede calcularse pero será menor que la diferencia entre la aproximación por defecto y la aproximación por exceso.

Propiedades de los radicales Producto de radicales de igual índice:

n n

n _{A· B  A·B}

Cociente de radicales de igual índice:

n n n B A B A _ Potencia de un radical: n pm m n _Ap_{) A} · (  Raíz de un radical: m n p n m_Ap _ · _A Radicales equivalentes: n p A = n·mAp·m

Ea = |– 3’1416| < |3’1415 – 3’1416| = 0’0001 entonces decimos que el error

es menor que una diezmilésima.

El error relativo se acota de la misma forma dividiendo por la aproximación por defecto. Er = | 3_'1416|< 1415 ' 3 0001 ' 0 Ejercicios: 8 y 9.

Visita la siguiente página de wikipedia:

http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada_de_dos

Las estimaciones que se realizan en la vida corriente, sin ánimo de que sean muy precisas, tienen como mucho dos cifras significativas. Con tres o cuatro cifras se afina mucho. Solamente mediciones altamente científicas superan las cuatro cifras significativas.

Ejemplos:

CONCEPTO MEDIDA EXACTA APROXIMACIÓN

Capacidad de un pantano 42.509.619.000 litros 42.500 mill. de litros o 42,5 hm3

Altura de un árbol 47.949 mm 48 metros

Asistentes a una manifestación 247.508 personas 250.000 personas (1/4 de millón) Presupuestos de un estado 202.521,16 millones de euros 0,2 billones de euros o 200.000 mill €

Ejercicios: 10

LA RECTA REAL, SEMIRRECTAS, INTERVALOS Y ENTORNOS

La recta real. Tomamos una recta en la que marcamos un punto como origen, que representa al número 0. A su derecha tomamos otro punto cualquiera que representa al número 1. La distancia entre ambos puntos se toma coma unidad.

Podemos representar cada número real por un punto a la izquierda del cero si es negativo y a la derecha si es positivo y cuya distancia al cero sea el valor absoluto del número. A cada punto de la recta le corresponde un único

número real y a cada número real un único punto de la recta, que recibe el nombre de recta real.

No todos los números reales se pueden representar de forma exacta en la recta real utilizando sólo regla y compás, sin embargo si es posible hacerlo con los números enteros, con los racionales y con algunos irracionales que sean raíces cuadradas de números naturales. En este último caso recurrimos al teorema de Pitágoras.

Ejemplo: Para representar el número 5 tenemos en cuenta que 5 = 22 + 12 , es decir que si construímos un triángulo rectángulo de catetos 2 y 1, su hipotenusa medirá 5. Esto nos permite hacer la construcción del margen.

Intervalo abierto de extremos a y b (a < b) es el

conjunto de números reales que son mayores que a y menores que b. Se representa por (a, b). Observa que a y b no están incluidos en el intervalo.

Intervalo cerrado de extremos a y b (a < b) es el conjunto de números reales que son mayores o iguales que a y menores o iguales que b. Se representa por [a, b]. Observa que a y b están incluidos en el intervalo.

[-2, 2] = {números reales x tales que -2 ≤ x ≤ 2} = {xR / -2 ≤ x ≤ 2}

Los intervalos que incluyen solo a uno de los extremos, reciben el nombre de semiabiertos (o semicerrados) [-3, 0) = {números reales x tales que -3 ≤ x < 0} = {xR / -3 ≤ x < 0} semiabierto por la derecha (-5, -2] = {números reales x tales que -5 < x ≤ -2} = {xR / -5 < x ≤ 2} semiabierto por la izquierda Los conjuntos de números reales que sólo tienen un extremo se denominan semirrectas y pueden ser de 4 tipos, según que vayan a la izquierda o a la derecha y que sean abiertas o cerradas.

Ejemplos: {x  R / x ≤ 5} se representa por (-∞, 5] {x  R / x < 2} se representa por (-∞, 2) {xR / -3 ≤ x} se representa por [-3, ∞) {xR / 1 < x} se representa por (1, ∞) Llamamos entorno abierto de centro el número real a y radio r>0 y se denota por E(a, r) al conjunto de todos los números reales que distan de a menos que r. Equivale al intervalo abierto (a-r, a+r).

E(3, 1) = { xR / distan de 3 menos de 1 unidad} = (3-1, 3+1) = (2, 4) = xR / 2< x < 4} Observación: hay una clara relación entre los entornos y el valor absoluto. El entorno E(3, 1) descrito

anteriormente se podría haber indicado como {x  R / |x – 3| < 1}

Igualmente llamamos entorno cerrado de centro el número real a y radio r>0 y se denota por E[a, r] al conjunto de los números reales cuya distancia al centro a es menor o igual que r. Equivale al intervalo cerrado [a-r, a+r]

E[-1, 2] = [-1-2, -1+2] = [-3, 1] Todo entorno abierto (o cerrado) equivale a un intervalo abierto y viceversa. Ejercicios: 11, 12, 13 y 14.

NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica se utiliza para expresar cantidades muy grandes, como las dimensiones astronómicas, o muy pequeñas, como las atómicas.

Un número escrito en notación científica se compone de dos factores:

 Un número decimal con un número finito de cifras decimales y cuya parte entera tiene una única cifra no nula.

 Una potencia de 10 cuyo exponente es un número entero que se denomina orden de magnitud (que será positivo para números grandes o negativo para números pequeños).

Ejemplos: Velocidad de la luz: 3·108 m/s Diámetro de una molécula de agua: 3·10-10 m. Ejercicios: 15, 16 y 17

EJERCICIOS

Conceptos previos

1. Indica a qué conjuntos numéricos pertenecen los números siguientes: -5, 2  , 25’4, 23, 7 2 , 1, 4 1  , 25 9 1 , 12’12131415..., 2’23123123123... 2. Calcula las expresiones decimales de las siguientes fracciones:

a) 25 23 b) 12 22 c) 7 12 d) 11 3

3. Encuentra la fracción irreducible de cada uno de los siguientes decimales: a) 4'5 b) -3’7 c) 2'37 d) 10’1010... 4. Calcula de forma exacta:

a) 1'20'23 b) 0'72:0'916

5. Opera y simplifica (sin hacer uso de la calculadora) a) 4 2 3 1 2 2 2 2       b) 3 2 3 · 2 2 c) 3 3 3 d) 4 3 4 1 2 ) 2 ( 16    e) 18 4 1 8 2 3 2  f) 49 1 1 14  g) 5 5 7 15 9 · 16 18 · 12   h) 2·34 i) 2 3 3 2_ 6. Calcula: a) (35 2)(2 21) b) ( 3 2)(5 22 3)

7. Entra en Youtube y sigue con atención el siguiente video:

https://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA

a) ¿Cómo se construye la sucesión de números que aparece? Divide cada número por el anterior, ¿qué observas? ¿a qué número se acerca el cociente? b) En la escena del caracol se construye un rectángulo, partiendo de un

cuadrado. Si el lado del cuadrado es 1, ¿cuánto mide la base del rectángulo?

c) ¿Qué se ha hecho para llegar al ángulo de 137,5º? Errores absoluto y relativo

8. Da las aproximaciones por defecto, por exceso y redondea los siguientes números con dos, tres y cuatro cifras decimales:

a) 7 12 b) 1 2 c) 2 5 1

9. Acota el error relativo cometido al tomar 1’73 como valor de 3 y el cometido

1. (No se indica la solución) 2. a) 0’92 c) ¿Es periódico? b) 1´83 d) 0’272727... 3. a) 9 41 c) 45 107 b) 10 37  d) 99 1000 4. 5. a) 2 b) 3 6 o 54 c) 837 d) -6 e) 4 2 13 f) 10 2 g) 23 _{· 3}11 h) 262 i) 6 6 5 6. a) 17 2 b) 3 64 7. (En clase) 8. Calculadora 9. Er < 0,00578 y Er < 0,00318

al tomar

7 22

como valor de .

10. Transmite a un amigo la siguiente información con un nº de cifras razonable: a) Visitantes anuales a un museo: 1.345.589 personas.

b) Asistentes a una manifestación ecológica: 125.341 personas. c) Bacterias en 1 dm3 de cierto preparado: 203.305. 123 bacterias. d) Número de gotas de agua que hay en una piscina: 8.249.327.741 gotas. e) Número de granos en un saco de arena: de 50 Kg: 2.957. 248 granos. f) Distancia media de Saturno al Sol: 1.428.100.000.000 metros.

g) Calcula los errores absoluto y relativo que has cometido al aproximar en los apartados anteriores.

La recta real, semirrectas, intervalos y entornos 11. Representa 13 y 18 en la misma recta real. 12. Calcula AB y AB en los siguiente casos:

a) A=(-1, 4) y B=[0, 5] b) A=(2, ∞) y B=(-∞, 3] 13. Expresa mediante un entorno los siguientes conjuntos:

a) (-2, 10) c) [ 2 1

, 3] b) |x – 2| < 5 d) (-a, a)

14. Expresa en forma de intervalo y de entorno los siguientes conjuntos reales: a) |x + 3| ≤ 0’25 b) |x – 2 1 | < 4 3 c) |x + 2| < 3 2 Notación científica

15. Realiza las siguientes operaciones y da el resultado en notación científica: a) 0’000225 · 0’0032 c) 0’000001863 e) 2’34·1021 + 3’2·1022 b) 52’510 d) 52’510 + 8.000.000 f) 4’88·10-14 + 7’92·10-12 16. La longitud media de un paramecio es de 2·10-4 m. Un cultivo de 250 cm3

contiene 6000 paramecios por cm3. ¿Qué longitud en km se alcanzaría si se pudieran poner todos los paramecios en línea recta?

17. Expresa las siguientes cantidades en notación científica: a) Masa de la Luna: 74.000.000.000.000.000.000 toneladas. b) Tamaño de un virus: 0,000000015 metros.

c) Masa de un protón: 0,0000000000000000000000000167 kg. Ejercicios del tema

18.

a) Halla un número fraccionario comprendido entre

31 21

y

31 22

b) Halla tres números fraccionarios comprendidos entre

11 7

y

11 8

c) Escribe el número siguiente de 2'3 y de

5 3

19. El ayuntamiento de un pueblo en el que viven 600 jóvenes de edades comprendidas entre 16 y 20 años ha realizado una encuenta a algunos de ellos sobre las actividades culturales que les interesaban. Sabiendo que el 81’818181…% contestó que le interesaba el cine y que el 14’583333…% contestó que no le interesaba el fútbol, calcula el número de jóvenes que contestaron a la encuesta.

20. El área de un cuadrado mide 10’25 m2. Calcula, aproximando a los decímetros, la diagonal del cuadrado y las áreas de los círculos inscrito y circunscrito.

10. Depende de la aproximación de cada

alumno. 11. 12. a) AB = (-1, 5] y AB = [0, 4) b) AB = R y AB = (2, 3] 13. a) E(4, 6) c) E[7/4, 5/4] b) E(2, 5) d) E(0, a) 14. a) [-3’25, -2’75] = E[-3, 0’25] b) (-1/4, 5/4) = E(1/2, 3/4) c) (-8/3, -4/3) = E(-2, 2/3) 15. a) 7’2·10-7 b) 1’59·1017 c) 6’435·10-18 d) 1’59·1017 e) 3’434·1022 f) 7’9688·10-12 16. 0’3 km 17. a) 7,4 ·1019 _{T o bien 7,4 ·10}22 _kg b) 1,5 ·10-8 _metros c) 1,67 ·10-26 _kg. 18. No se da la solución. 19. Contestaron 528 jóvenes. 20. d = 45’28 dm. Si = 805’03 dm2 _{y Sc} =1.610’07

21. Al medir la altura de una persona de 180 cm se han obtenido 177 cm. Al medir la altura de un edificio de 39’5 m se han obtenido 40 m. Calcula los errores absoluto y relativo de cada medida e indica razonadamente cuál de las dos es más precisa. 22. Un determinado tipo de protozoo tiene un diámetro de 2·10-5 m. ¿Cuántos habría

que poner en fila y uno al lado de otro para alcanzar una longitud de 1 km? 23. Sabiendo que la velocidad de la luz es de 300.000 km/s, ¿cuánto tiempo tardaría

en llegar a la Tierra la luz emitida por una estrella que se encontrara a 12 mil millones de km de distancia?

24. Se llama Unidad Astronómica (UA) a la distancia media que separa la Tierra del Sol, que equivale a 1’496 · 1011 metros.

a) Sabiendo que la distancia media entre Júpiter y el Sol es de 778 millones de kilómetros, exprésala en Unidades Astronómicas (UA).

b) La distancia a la Tierra del sistema estelar más cercano (Alfa Centauri) es de 4’36 años luz, exprésala en UA

25. Los antiguos babilonios tenían grandes conocimientos de astronomía. Utilizaban en su numeración el sistema de base 60 que todavía conservamos en nuestros días en la medición del tiempo (1 hora son 60 minutos) y de los ángulos (1º son 60´). Conocían también que la relación entre la diagonal y el lado de un cuadrado es 2, al cual daban un valor que traducido a nuestra notación (ellos lo escribían como 1 24;51;10) es 3 2 ₆₀ 10 60 51 60 24 1

2    . Acota el error absoluto y el error relativo cometido por los babilonios al aproximar dicho valor.

26. Lee la siguiente entrada de wikipedia, https://es.wikipedia.org/wiki/DIN_476 y haz tu los cálculos para llegar a las dimensiones de una hoja de papel A4. Mide con una regla una hoja de tamaño A4.

27. Observa la fotografía que se adjunta, ¿hay algo que te llame la atención?

28. En los periódicos, revistas y otros medios de comunicación se suelen producir importantes errores con las grandes cantidades. Busca, a lo largo de una semana, en medios impresos o en internet, incluso en la calle, algún error con cantidades en alguna noticia.

21. El error absoluto es de 3 cm en el caso

de la persona y de 0’5 m en la casa.Para poder comparar estos dos errores, en términos de precisión, usamos el error relativo. En la primera medición es de un 1’7% y en la segunda de un 1’3% por lo que es más precisa la segunda medición, aunque no mucho más.

22. 50 millones de protozoos. 23. 11 horas, 6 minutos y 40 segundos. 24.

a) 5’2 UA b) 275.729’2 UA

25. Ea < |1’41421 – 1’41422| = 0’00001 (Error absoluto menor que una cienmilésima).

Er < 7’07 · 10-6_{. (Error relativo menor} que 7 millonésimas)