PROBLEMARIO DE ESTADÍSTICA APICADA Y ESTADÍSTICA II

PROBLEMARIO DE

ESTADÍSTICA APICADA Y

ESTADÍSTICA II

Prof. (Ing.) Andrés Scott Velásquez

Problemas Resueltos de Estadística II y Estadística Aplicada

Lapso 01 de Estadística II y Estadística Aplicada

Problemas experimentos probabilísticos

1) Una moneda previamente calibrada se lanza 5 veces. ¿Cuál será la probabilidad de qué:

a) Caigan exactamente 2 caras.

b) Caigan 3 caras o 5 caras.

c) No menos de 4 caras.

d) No más de 3 caras

Solución

5

5 2

5 3 5 5

5 0, 3125 16

1 2 32

) 10 10

32

) 11 1

0, 3438 32

P

A

B

EPO Q EPO

a EFA P A

P B

b EFA

5 4 5 5

5 0 5 5 5 2 5 3

) 6 6

32

3 0,1875 16

13 0

) 26 26

32 ,8125

16

C

D

P C

c EFA P C

d EFA P D

2) Un dado previamente calibrado se lanza. ¿Cuál será la probabilidad de que:

a) Caiga un 2 ó 5?

b) Caiga un número menor o igual a 4?

c) Caiga un número par ó mayor o igual a 4?

Solución

6

) 1 1 2 2

6

) 1 1 1 1 4 4

6

) 1 1 1 1 1 1 1 4

1 0,3333 3

2 0, 6667 3

2 0, 6667 1 4 3

6

P

A

B

C

EPO Q EPO

a EFA P A

b EFA P B

c EF

P A

B

C

A C

P

P

P

3) Se lanzan 2 dados previamente calibrados. ¿Cuál será la probabilidad de que al sumar sus dos caras, luego de la caída:

a) Éstas sumen exactamente 7?

b) Que sumen igual o mayor a 9?

c) Que sumen valores menores o 5?

d) Que sumen valores entre 4 y 6 inclusive o que sumen entre 5 y 9 inclusive?

Solución

6

36

1 0,

) 6 6

3 1667

6 6

P

A

EPO Q EPO

a EF A P A

Dado 1 1 2 3 4 5 6 Dado 2 6 5 4 3 2 1

EFAA= 6

) 10 10

3

5 0, 2778

6 18

B

B

b EFA P

Dado 1 3 4 5 6 4 5 6 5 6 6 Dado 2 6 5 4 3 6 5 4 6 5 6

EFAB= 10

) 6 6

36

1 0,1667

A P

6

c EFA P C

Dado 1 1 1 2 1 2 3 Dado 2 1 2 1 3 2 1

EFAA= 6

3 0, 75

) 12 15 27 27

6 4

3 00

d EFAD P D P D

Dado 1 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 Dado 2 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1

EFAA= 12

Dado 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 3 4 5 6 Dado 2 4 3 2 1 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 6 5 4 3

EFAA= 15

4) En un recipiente se meten 8 bolitas azules, 14 bolitas blancas y 10 bolitas coloradas.

Experimento A.- Se extrae una sola bolita. ¿Cuál será la probabilidad de que:

a) Sea azul.

b) Sea una blanca o una colorada.

Solución

32 1

8 1

32 ) 8

3

1 0, 2500 4

2

Azul

N r

A n r A

EPO EPO

a EFA EFA P A P A

14 1 10 1

3 0

) 14 10

24

32 , 7500

4

Blancas Coloradas

B n r n r A

b EFA EF

P

A

B A

P

Experimento B.- Se extraen 3 bolitas con reposición o con reemplazamiento. ¿Cuál será la probabilidad de que:

a) Sean una azul, azul y colorada.

b) Sean blanca, colorada y colorada c) Sean blanca, azul y blanca

Solución

32 1

1 2

32

Re : ...

8 8 10

) 32 32

5 0, 0195 256

32

N r

n

EPO EPO

Fórmula de la gla Especial la Multiplicación P A P A P A P A

a P A

14 10 10

) 32 32 3

175 0, 0427 4.09

2 6

b P B

14 8 14

) 32 32 3

49 0, 0479 1.02

2 4

c P C

Experimento C.- Se extraen 3 bolitas sin reposición o sin reemplazamiento. ¿Cuál será la probabilidad de que:

a) Sean una azul, azul y colorada.

b) Sean blanca, colorada y colorada c) Sean blanca, azul y blanca

Solución

32 1

2 3 1

1 2

1

32

Re :

N r

EPO EPO

A Fórmula de la gla General la Multiplicación P A P A P A P

A A

A

8 7 10

) 32 31 30

7 0, 0188

a P A

372

14 10 9

) 32 31 30

21 0, 0423

496

b P B

14 8 13

) 32 31 3

91 0, 0489 1.86

0 0

c P C

Experimento D.- Se extraen de una sola vez 3 bolitas. ¿Cuál será la probabilidad de que : a) Todas sean del mismo color?

b) 2 sean azules y una colorada o 2 blancas y una azul?

c) Que no todas sean del mismo color?

d) Que todas sean de color diferente?

Solución

32 3

8 3 14 3 10 3

8 2 10 1 14 2 8 1

27 0,1089 2

4960

) :

56 364 120 540 540

4960

) 2 1 2 1 :

48

Azul Blanca Colorada

N r

A n r n r n r A

A

B

EPO EPO

a Todas del mismo color EFA EFA

EFA P A

b azules y colorada o blancas y azul EFA EF

P A

8 1 14 1 10 1

63 0, 2032 310

221 0,89 1.008

280 728 1.008

4.960

) : 1 27

248

) : 8

248 11

7 0, 2258 3

14 10 1.120 1.120

9 1

4. 60

B

D

A P B

c No todas del mismo color Por Complemento P C d Todas de colores diferentes EFA

P

P B

P C

P D

D

5) Se tiene un juego de barajas españolas, después de barajadas de manera uniforme se extrae una carta para garantizar la pureza del experimento. Cuál será la probabilidad de que sea:

a) Un As de espadas?

b) Un As?

c) Un caballo o una copa?

d) Una espada o un oro?

e) Una figura o un 5 de oro?

f) Una figura o un basto?

Solución

1 1

0, 0250 0,1000

40 10

13 1

0, 3250 0, 5000

40 2

13 19

0, 3250 0, 4750

40

) 1 ; ) 4 4 ;

40

) 4 10 1 13 ; ) 10 10 20

40

) 12 1 13 ; ) 1

2 10 4

3 19 0

A B

c D

E F

P A P B

P C P D

P E P F

a EFA b EFA P B

c EFA d EFA P D

e EFA f EFA

6) En una partida de domino. Cuál es la probabilidad de que el primer jugador que escoge las 7 fichas de las 28: a) Tenga 7 blancas. b) Tenga 4 cincos. c) 4 fichas de la misma pinta.

Solución

28 7 1.184.040 EPO

a) _{7 7 21 0}

1

1 1.184.04

1 0, 00000084 1.184.040

A

0

EF E P A

b) _{7 4 21 3}

46.550

46.550

1.184.

4.655

0, 0393 118

0 4

04 .40

B P B

EFE P B

c) _{7 4 21 3}

325,850

7 325.850

1.184.0

32.585

0, 2752 1

4 0 18 .40 4

C P C

EFE P C

Problema de Probabilidades de la regla General de la Suma

1) De 200 turistas llegados a Venezuela, 120 viajaron a la Isla de Margarita y 100 a la Sierra Nevada de Mérida, se sabe además que 60 de ellos fueron ambas regiones. Si de manera aleatoria se selecciona a una de esas personas, ¿Cuál será la probabilidad de que haya ido a la Isla de Margarita o la Sierra Nevada de Mérida?

Solución Evento A = Turistas que visita a la Isla de Margarita

Evento B = Turistas que visitan a La Sierra Nevada de Mérida.

Evento A∩B = Visita a ambos regiones.

120 3 100 1 60 3

; ;

200 5 200 2 200 10

3 1 3

5 2 10

4 5

P A P B P A B

P A ó B P A ó B

Problemas de Probabilidades con tabla de Contingencia

1) La tabla de contingencia incompleta que se presenta al final refleja la condición de eficiencia de bueno, regular y malo de 200 estudiantes de Recursos Humanos, Mercadeo y Publicidad y Contabilidad y Finanzas. Se pide responder las siguientes preguntas:

PARTE A

a) Completar la Tabla de Contingencia PARTE B

Si de manera aleatoria se selecciona uno de los 200 estudiantes. ¿Cuál será la probabilidad de que:

a) Sea un estudiante de Mercadeo y Publicidad?

b) Que su rendimiento sea malo?

c) Que sea de Mercadeo y Publicidad y su rendimiento sea bueno?

d) Que sea de Recursos Humanos o sea de Contabilidad y Finanzas?

e) Que sea de Recursos Humanos o tenga un rendimiento regular?

PARTE C

a) Si de manera aleatoria selecciona a un estudiante de Mercadeo y Publicidad.

¿Cuál será la probabilidad de que su rendimiento sea bueno?

b) Si se selecciona un estudiante cuyo rendimiento es malo. ¿Cuál será la probabilidad de que sea de Recursos Humanos?

Rendimiento Carrera

BUENO (B1)

REGUL AR (B2)

MALO (B3)

∑Ai Recursos Humanos

(A1)

25 80

Mercadeo y Publicidad

(A2) 15 75

Contabilidad y Finanzas

(A3) 10 5

∑Bi 65 85 U=

Solución PARTE A.-

Rendimiento

Carrera BUENO

(B1) REGULAR

(B2) MALO

(B3) ∑Ai Recursos Humanos

(A1)

20 25 35 80

Mercadeo y Publicidad (A2)

15 50 10 75

Contabilidad y Finanzas (A3)

30 10 5 45

∑Bi 65 85 50 U=200

PARTE B.-

a) Mercadeo y Publicidad:

75

75 20

3 0,3

0 750

A P

8

EFA P A

b) Rendimiento Malo: 50

50 20

1 0, 2

0 500

B P 4

EFA P B B

c) Merc. y Pub. y Rend. Bueno:

15

15 200

3 0, 0750

C P C

40

EFA P C

d) R. H. o de C. y F.:

125

80 45 12 5

0, 6250 5 8

D

200

EF A P C

e) R. H. o Rend. Reg,:

140

80 85 25 1 7

0, 7000 40 10

E

200

EFA P D

PARTE C.-

a) Si M. P./Rend. Bueno: ^{2 2}

2

1 2

1

1

15 0, 2

5 0

7 0 0

5

A B

P

A

P A

A

b) Si Rend. Malo/R. H.: ^{1 1}

3

3 3

3

3 7

0, 7000 1

5

50 0

A B

P B

A B

P B

2) Los profesores de Estadística Instrumental: Andrés Scott, Maritza García, Carlos Casañas y Lenelba Alemán para sus clases recomienda estudiarlas en tres textos los cuales identificaremos con los nombres de Texto 01, Texto 02 y Texto 05. Del profesor Scott, 28 estudiantes estudian por el Texto 01, 35 por el Texto 02 y 22 por el Texto 03. De la profesora García, 22 estudiantes estudian por el Texto 01, 30 por el Texto 02 y 13 por el Texto 03. Del profesor Casañas, 13 estudiantes

estudian por el Texto 01, 20 por el Texto 02 y 12 por el Texto 03 y de la profesora Alemán, 10 estudiantes estudian por el Texto 01, 14 por el Texto 02 y 11 por el Texto 03.

Se pide:

PARTE “A”.- Con estos datos elaborar la Tabla de Contingencia.

PARTE “B”.- Si de manera aleatoria se selecciona un estudiante de Estadística Instrumental que estudie con esos profesores, ¿Cuál será la probabilidad de que:

a) Haya estudiado por el texto 01, b) Haya estudiado por el Texto 02 y sea alumno del Profesor Casañas, c) Haya estudiado por el Texto 02 ó el Texto 03 y d) Haya estudiado por el Texto 03 o sea alumno de la Profesora Alemán.

PARTE “C”.- a) Si de manera aleatoria se selecciona un estudiante que estudie por el Texto 02; ¿Cuál será la probabilidad que sea alumno del Profesor Scott y b) Si de manera aleatoria se selecciona un estudiante de la Profesora García; ¿Cuál será la probabilidad de que haya estudiado por el Texto 03?

Solución PARTE “A”.-

Tabla de Contingencia:

Profesores Textos

Scott (B1)

García (B2)

Casañas (B3)

Alemán (B4)

∑Ai

Texto 01 (A1) 28 22 13 10 73

Texto 02 (A2) 35 30 20 14 99

Texto 03 (A3) 22 13 12 11 58

∑Bi 85 65 45 35 230

PARTE “B”.-

1

2 3

1

2 3

2 3

4

3 4 3

2 3

) 73

230 ) 20

230

99 58 157

) 230 2

73 0,3174 230

2 0, 0870 23

157 0, 6826

30 230

41 0,3565 1

230

58 35 11 82

) 230 230 230 230 15

a P A P A

b P B P A B

c P C P A A

d P

P A

P A B

P A A

P A

D P A B

PARTE “C”.-

2 1

2

3 2

2

35 0, 3535 ) 35

99 ) 13

65

99

1 0, 2000 5

A B

a P A P A

A B

b P B

P A

P

P B

Lapso 02 de Estadística II y Estadística Aplicada

Problemas de Distribución de Probabilidades Discretas Generales

1) Un dado previamente calibrado se lanza 140 veces y el resultado de la caída se presenta al final. Se pide:

a. Desarrollar la distribución de probabilidades respectiva.

b. Calcular la Esperanza Matemática.

c. Calcular la Varianza y la Desviación Estándar

Solución Distribución de

Frecuencias

Dist. de Prob.

a)

Esperanza Matemática

i i

X P X b)

Varianza

2 2

i i

X P X

Desviació n Estándar

c) ²

Xi fi hi Xi P(Xi) 0,164 1,048

2,803

1 23 0,164 1 0,164 0,258 0,301

2 18 0,129 2 0,129 0,621 0.058

3 29 0,207 3 0,207 0,744 0,041

4 26 0,186 4 0,186 0,715 0,310

5 20 0,143 5 0,143 1,026 1,045

6 24 0,171 6 0,171 ²

∑ 140 1,000 ∑ 1,000 3,528 2,803 1,674

2) De manera aleatoria se seleccionan las notas de ocho estudiantes de Estadística Instrumental las cuales fueron: 11 09 12 12 15 09 11 12. Con estos datos se pide desarrollar una Distribución de Probabilidades y de allí obtener: a) La Esperanza Matemática o Valor Esperado, la Varianza y la Desviación Estándar o Desviación Típica; b) Si seleccionamos de manera aleatoria una de esas ocho notas; ¿Cuál es la probabilidad de que sea: i.- Exactamente 12? y ii.- No más de 11

Solución

P E EFA

EPO

CARA 1 2 3 4 5 6

EVENTOS 23 18 29 26 20 24

) a

x

f

x

P x

ESPERANZA

MATEMÁT. VARIANZA DESVIAC.

ESTÁND.

i i

x P x

2

2

i i

x P x

2

09 2

EFA

3, 234

EFA

12 3

EFA

15 1

EFA

EPO 8 15 0,125 1,875 1,643

∑ 1,00 11,375 ²

3, 234 1, 798

) 12 11

; ) 0, 2

0,3 75 5 0, 25 0,50

b Evento B Exactamente igual a y Evento C no más de

y c P C

P B

3) Una moneda previamente calibrada se lanza 5 veces. Se pide: a) Desarrollar una Distribución de Probabilidades, y Calcular la Esperanza Matemática o Valor Esperado, la Varianza y la Desviación Estándar o Desviación Típica, b) ¿Cuál será la probabilidad que caigan exactamente 2 caras? y c) ¿ Cuál es la probabilidad de que caiga no menos de 4 caras?

Solución

; 2

32

P E EFA EPO EPO

EPO

x

f

x

P x

ESPERANZA MATEMÁT.

VARIANZA DESVIAC.

ESTÁND.

i i

x P x

2

2

i i

x P x

2

0 1

EFA

1, 25

1 5

EFA

EFA

3 10

EFA

4 5

EFA

5 1

EFA

EPO

∑ 1,00 2,500 ²

1, 250

) 2 4

; ) 0,1562

0,3125 5 0, 03125 0,1 875

P B

b Evento B Exactamente y Evento no menos de

y c P C

4) Al final se presentan tres distribuciones diferentes. Diga: ¿Cuál de las tres es una Distribución de Probabilidades? Si alguna de ella resultarse ser de probabilidades calcular la Esperanza Matemática, la Varianza y la Desviación Típica.

x

P(x

) x

P(x

) x

P(x

)

1 0,20 2 0,18 1 0,42

3 0,25 4 0,28 4 -0,20

5 0,18 6 0,20 6 0,38

7 0,36 8 0,34 9 0,40

Solución

Las probabilidades de la primera suma 0,99; la segunda 1 (Uno) con todos valores positivos y la tercera 1 (Uno) pero con un valor negativo, como los valores probables de un espacio muestral deben sumar 1 (Uno) con todos los valores positivos, se concluye que: la Distribución de Probabilidades es la segunda.

x

P x

ESPERANZA

MATEMÁT. VARIANZA DESVIAC.

ESTÁND.

i i

x P x

2

2

i i

x P x

2

5

2 0,18 0,36 2,081

4 0,28 1,12 0,549

6 0,20 1,20 0,072

8 0,34 2,72 2,298

∑ 1,00 5, 400 ²

5, 000

Problemas de Distribución de Probabilidades Discretas Binomiales

1) El 75% de los estudiantes del IUGT a duras penas logran aprobar las materias. Si se

selecciona una muestra de 7 estudiantes; ¿Cuál será la probabilidad de que:

a) Exactamente 5 aprueben la materia?

b) No menos de 6 aprueben la materia?

c) No más de 4 aprueben la materia?

d) Calcular la esperanza matemática, la varianza y la desviación estándar.

Solución

2

5 7 5

7 5

6 7 6 7 7 7

7 6 7 7

5 0,

: 0, 75 0, 25; 7

: ; ; ;

) 5 5 0, 75 0, 25

) 6 7 6 7 0, 75 0, 25 0, 75 0, 25

) 0,...., 4 0,.... , 4 1 (0,3115 0, 4449

3115

6 7 0, 4449

x n x

n x

Datos p q n

F

P x

P x o

órmulas p q np npq npq

a x P x

b x o P x o

c x o P x o

2 2

)

) 7 0, 75 ; 5, 25 0, 25 ; 1,

0,.... , 4 0, 2436

5, 25 1,313 3 13 1,14 6

P x o

d

2) Realizado un estudio de las calificaciones obtenidas en las evaluaciones por los estudiantes de Estadística Instrumental del Profesor Scott en el período de clases 2013-1N, se concluyó que aprobaron la materia el 62%. Si de manera aleatoria se seleccionan 6 de esos estudiantes; ¿Cuál será la probabilidad de qué: a) Exactamente 2 hayan aprobado la materia? b) Exactamente 3 ó 4 hayan aprobado la materia? c) No menos o al menos 2 hayan aproado la materia? y d) Calcular la Esperanza Matemática o Valor Esperado, la Varianza y la Desviación Típica o Desviación Estándar

Solución

3)

2

2 6 2

6 2

3 6 3

6 3

4 6 4

6 4

: 0, 62; 0, 38; 6;

: ; ; ;

:

) 2 2 0, 62 0, 38

) 3 4, 3 4 3 4 0, 62 0, 38

0, 62 0, 38 0, 2616 0, 32

2 0,1202

3 4 0

01

X n X

n X

Datos p q n

Fórmulas P X p q np npq npq

Desarrollo

a Para X P X b Para X

P

ó P X ó

P

P

X

P X X

X

ó

2 6 2 3 6 3 4 6 4

6 2 6 3 6 4

5 6 5 6 6 6

6 5 6 6

) 2 2,...,5 6 2,...,5 6 2 3 4

5 6 0, 62 0, 38 0, 62 0, 38 0, 62 0, 38

0, 62 0, 38 0, 62 0, 38 0,1202 0, 2616 0, 3201 0, 2089 0, 0 , 5817

2,...

5 , 5 6 0,

68

c Para al menos X ó P X ó P X P X P X

P X P

ó

X

P X

0 6 0 6 1

6 0 6

2 2

1

: 2,...,5 6 1 0 1 1 0 1

1 0, 62 0, 38 0, 62 0, 38 1 0, 0030 0, 0294

) 0, 62 6 ; 0, 38 3, 72 ; 1, 41

9676

2,...,5 6 0, 9676

3, 72 1, 4136 3 6 1, 188 9

Por complemento sería P X ó P X ó P x P X

P

d

X ó

Problemas de Distribución de Probabilidades Discretas Hipergeométrica

1) El curso de Estadística Instrumental de Recursos Humanos del nocturno del Profesor Andrés Scott, tiene una matrícula de 43 estudiantes, de los cuales 27 son mujeres. Si se

toma una muestra de 9 de esos estudiantes. ¿Cuál será la probabilidad de que en esa muestra:

a) 6 sean mujeres?

b) 4 sean hombres

Solución

1

1 2 1 2

27 6 16 3 16 4 27 5

1 2

43 9 43 9

6 0, 2

: 43; 9; 6; 4; 27; 1

940 4 0, 2605

6 :

) 6 ; ) 4

i i i i

S x N S n x

i

N n

P x

Datos N n Mujeres x Hombres x S S

Fórmula P x

a P x b P x

2) Se va a seleccionar una comisión de 25 estudiantes en una institución educativa que tiene una matrícula de 417 estudiantes para hacer una evaluación avanzada del sistema educativo del país y presentar una ponencia a objeto de mejorarla. Si en esa matricula están incorporadas 263 mujeres; ¿Cuál será la probabilidad de qué en la referida comisión sean seleccionadas: a) Exactamente 12 mujeres? b) Entre17 ó 20 mujeres inclusive? y c) Calcular la Esperanza Matemática o Valor Esperado, la Varianza y la Desviación Típica o Desviación Estándar.

Solución

2

263 12 417 263 25 12

417 25

1

: 417; 263; 25; : ;

; ;

1 1

:

) 12 12 12

) 1

2 7 2

0, 0470 0

S X N S n X

N n

Datos N S n Fórmulas P X

nS N S N n nS N S N n

nS

N N N N N

Desarrollo

P X

a Para X P X P X

b Entre ó mujeres inclusive X

263 17 417 263 25 17 263 18 417 263 25 18

417 25 417 25

263 19 417 263 25 19 263 20 417 263 25 20

417 25 417 25

17,18,19 20 17,..., 20 17 18

19 20 17,..., 20

0,1510 0,1

ó P X P X P X

P X P X P X

2 2

1

17,..., 20 0, 3655 15, 76

23 0, 0685 0, 0337

25 263 417 263 417 25 25 263

) ;

417 7 4 2.288, 090

47,

17 417 1

2.288, 09 834

P

c

Problemas de Distribución de Probabilidades Discretas de Poisson

1) El número de accidentes que se producen en una empresa manufacturera sigue una distribución de Poisson con una media de 2,6 accidentes por mes. ¿Cuál será la probabilidad de qué: a) No más de 2 accidentes en un mes dado? y b) No menos de 3 accidentes en un mes dado?

Solución

0 2

2,6 2,6 2,6

: 2, 6 ; :

!

) 2 0,1 2 0,1 2

2, 6 2, 6 2, 6

0 1 2 0, 0743 0,1931 0, 2510

0! 1! 2!

X

Datos accidentes por mes Fórmulas P X e X a No más de accidentes mensuales X ó P X ó

P X P X P

P X

X e e e

0,1

2 0,5184

0 2

2,6 2,6 2,6

4,5... 0,

) 3 4,5,..; : 4,5...

2, 6 2, 6 2, 6

1 0,1, 2 3 1

0! 1! 2!

1 0, 0743 0,1931 0, 2510 1 0,5184 481

b No menos de accidentes mensuales X por complemento sería P X

P X ó e

P X

e e

6

2) Un promedio 5 automóviles cada ocho segundos ingresan a la parroquia Coche desde la autopista viniendo del centro de la ciudad. La distribución de ingreso responde a una Distribución de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Ningún automóvil ingrese en ocho segundos? y b) Por lo menos 2 ingresen en ocho segundos?

Solución

0 5

: 5 8 ; :

!

) 0 0 5

0!

) 2 2, 3,..., 2, 3,..., :

0, 0067

X

Datos cada segundos Fórmulas P X e X

a Ninguno automovil ingrese a Coche X P A P X e

b Por lo menos automòviles ingresen a Coche X n P B P X n Por Comp

P

em

A

l

0

5 5 5

5 5

1 1 6 0, 9596

0! 1!

ento P P B e e e

Problemas de Distribución de Probabilidades Continuas

1) Se sabe que los estudiantes del IUGT presenta un promedio global de notas de 11,25 puntos, con una Desviación Estándar de 3,17 puntos. Se supone que la población responde a una distribución es normal. Si de manera aleatoria seleccionamos a un estudiante; ¿Cuál será la probabilidad de que su nota definitiva:

a) Sea menor de 10 puntos?, b) Esté entre 10 y 11,25 puntos?, c) Esté entre 09 y 12 puntos?, d) Sea mayor que 09 puntos? y e) Esté entre 12 y 16 puntos?

Solución

: 11, 25; 3,17 :

Datos Formula Z x

b) E S

a)

10

10 11, 25 3,17 0,39 Z

10

0, 5000 0,1517 10 0, 3483

Menos de

P

A

x

b)

Z

0

10 11,25

10 11, 25 0,151 0,1517 0

7

P x

A

c)

9

12

9 11, 25

0, 71 3,17

12 11, 25

0, 24 3,17

Z Z

9 12

0, 2612 0, 0948 0 9

,3560 12 0,3560

A

P x

d) Z₉ 0, 71 ₉

0, 2612 0,5000 0, 761

9 0, 76

2 12

Más de

P x

A

e) ₁₂

16

0, 24 16 11, 25

1, 50 3,17

Z

Z

0, 4332 0, 0948 0

12 16 0, 338

, 338 4

4

P x

A

2) Realizada una investigación sobre las edades los estudiantes del IUGT de Estadística Instrumental de Recursos Humanos del diurno se concluyó que el promedio de sus edades fue de 21,813; con una Desviación Estándar de 3,483 años. Se supone que la población responde a una distribución normal. Si de manera aleatoria seleccionamos a un estudiante; ¿Cuál será la probabilidad de que su nota definitiva:

a) Sea mayor de 23 años?, b) Esté entre 21,813 y 23 años?, c) Esté entre 19 y 24 años?, d) Sea mayor que 19 puntos? y e) Esté entre 17 y 19 puntos?

Solución

: 21,813; 3, 483 :

Datos Formula Z x

b) E S

a)

23

23 21,813 3, 483 0,34 Z

23

0, 5000 0,13 23 0, 363

1 9

X

3

A

b)

21,813

23

0 0,34 Z

Z

21,813 23

21,81 0

3 23 0,1331

,1331

a

x

A

P c)

19

24

19 21,813 3, 483 0,81 24 21,813

0, 63 3, 483

Z Z

19 24

0, 2910 0, 2387 0

99 24 0,529

,529 7

7

P x

A

d)

Z

0,81

19

0, 2910 0, 5000 0, 791 19 0, 79

0 10

X

P x

A

e) 19

16

0,81 17 21,813

1, 38 3, 483

Z

Z

0, 4162 0, 2910 0,125

17 19 0,12 2

2 5

X

P x

A

Problemas de Distribución de Probabilidad Normal aproximando a la Binomial 1) El70% de los empleados entre obreros, administrativos y académicos que laboran en el I. U.

G.T. poseen títulos académicos. Se seleccionan de manera aleatoria 30 empleados: a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 17 tengan títulos académicos?, b) Más de 26? y c) Menos de 23?

Solución

: 0, 70 0,30; 30

: ; ;

Datos p q n

Fórmulas np npq Z x

30 0, 70 21; 21 0,30 2,51

a)

1 2

1

2

16, 5 17, 5

16, 5 21

1, 79 2, 51

17, 5 21

1, 39 2, 51

c c

c

c

x x x

Z Z

17

0, 4633 0, 4177 0, 0456 17 0, 0456

P x

A

b)

25,5 ;

25,5 21 1, 79 2,51

c

c

x x

Z

0, 5 0, 4633 0, 03

26 0, 036

67 7

x

P X

A

c)

23,5;

23,5 21 1, 00 2,51

c

c

x x

Z

0, 5 0, 3413 0,841

23 0,841

3;

3

x

P x

x

2) El 81% de los estudiantes del profeso Scott aprueban sus materias, si de manera aleatoria seleccionamos 48 de esos estudiantes, ¿Cuál será la probabilidad que: a) Exactamente 34 aprueben la materia?, b) No menos de 37 aprueben la materia? Y c) A lo sumo 35 aprueben la materia?

Solución

: 0,81 0,19; 48

: ; ;

Datos p q n

Fórmulas np npq Z x

48 0,81 38,88; 38,88 0,19 2, 718

a)

1

1

2

33, 5 34, 5 33, 5 38,88

1, 98 2, 718

34, 5 38,8

1, 61 2, 718

c

c

c

x x

Z Z

34

0, 4762 0, 4463 0, 0299 34 0, 0299

P x

A

b)

36,5;

36,5 38,88 2, 718 0,88

c

c

x x

Z

0,5 0,3106 0,81

37 0,810

06 6

x

P X

A

c)

34, 5;

34, 5 38,88

1, 61 2, 718

c

c

x x

Z

0,5 0, 4463 0, 053

35 0, 053

7;

7

x

P x

x

Lapso 03 de Estadística II y Estadística

Problemas de Distribución Muestral

1) Los 314 0breros que trabajan en una empresa automotriz se observa que tienen un promedio de 32 años, con una desviación estándar de 10 años. Si la distribución de estos datos sigue una Distribución Normal; se pide: a) Probabilidad de que la media muestral de 25 de ellos resulte menor de 28 años y b) Probabilidad de que sobrepase los 31 años.

Datos: N 314; 32; 10;n 25

Fórmulas:

;

x

1

x

N n Z X

n N

314 25

10 1,922

314 1

x

25

a)

28

28 32

2, 08 1,922

Z

0,5 0, 4812 0, 01

28 0, 0188

X

88

A

X

b)

31

31 32 1,922 0,52

Z

0,1985 0, 5 0, 69

31 0, 6985

X

85

A

X

2) Los 0breros que trabajan en una empresa automotriz se observa que tienen un promedio de 32 años, con una desviación estándar de 10 años. Si la distribución de estos datos sigue una Distribución Normal; se pide: a) Probabilidad de que la media muestral de 25 de ellos resulte menor de 28 años y b) Probabilidad de que sobrepase los 31 años.

Datos: N 314; 32; 10;n 25

Fórmulas:

;

x

Z X

n

10 2, 00

x

25

a)

28

28 32

2, 00

Z 2

0,5 0, 4772 0, 02

28 0, 0288

X

88

A

X

b)

31

31 32 2 0,50

Z

0,1915 0, 5 0, 69

31 0, 6915

X

15

A

X

Problemas de estimación de Intervalos de Confianza

1) Una agencia de turismo tomó muestras de las personas que en vacaciones participaban en cruceros por El Caribe y que visitaban a Puerto Rico. Dentro de un nivel de confianza de 96%, ¿Cuál será el intervalo de confianza para la proporción de vacacionistas venezolanos si de las 1822 personas encuestadas 531 eran venezolanos?

Datos: n 531; N 1.560; NC 96%

Fórmulas:

1

;

p p ;

p n E Z

N n

0, 2914 1 0, 2914

531 0, 2914; 0, 0197; 96% 2, 05

1.822 531

2, 05 0, 0197 0, 0403 0, 2914 0, 0403 0, 251

: 0, 2511 0, 33

1; 0.2914 0.0403 0, 3317

17

p

para NC Z

E x

LIC p E LSC p E

IC de p

2) Una empresa de investigación realizó una encuesta para determinar la cantidad media que los fumadores gastan en cigarrillos durante una semana. Una muestra de 49 fumadores reveló que la media muestral es de Bs. 20 y una desviación estándar muestral de Bs. 5. a)

¿Cuál es el estimador puntual de la media de la población? Explicar que indica y b) Utilizando el nivel de confianza de 95%, determinar el intervalo de confianza para la media poblacional. Explicar que indica.

Datos:

n 49; X 20; S 5; NC 95%

Fórmulas: _x

;

S E Z S S

n

a) “El mejor estimador es la Media Muestral=20, ya que partiendo de ella se puede estimar el rango de valores donde puede ubicarse la Media Poblacional”

b)

5 0, 7143; 95% 1,96 1,96 0, 7143 1, 4

7

20 1, 4 18, 6; 20 1, 4 21,

: 18, 6 21, 4

" , 18, 6 21, 4"

4

x

IC de

Explica que la Media Poblacional con estos dato s debe oscilar entre

S para NC Z E x

LIC X E LSC X E

a

3) Para realizar un estudio de manera aleatoria se selecciona una muestra de 81 trabajadores cuyo ingreso mensual promedio fue de Bs. 3.890,00 conociéndose que para condiciones similares la desviación estándar poblacional es de Bs. 998,00. Se toma un nivel de confianza del 96%, para realizar un estudio de estimación. Se pide: a) ¿Cuál será la media poblacional?

b) ¿Cuál sería el mejor estimador puntual?, c) ¿Qué distribución de variable continua se utilizaría para obtener el error estándar de la muestra, el error de muestro y un intervalo de confianza? ¿Por qué?, d) Calcular el error estándar de la muestra y el error de muestreo, e) Desarrollar el intervalo de confianza para este estudio e interpretar resultados y f) ¿ Se podría afirmar que un ingreso de Bs. 3.800,00 es una media poblacional? ¿Qué tal un ingreso de Bs. 3.650?

Datos:

n 81; X 3.890, 00; 998, 00; NC 96%

Fórmulas: _x

;

S E Z S

n

a) “No se puede considerar una media poblacional como tal en virtud que en el Intervalo de Confianza que se podría desarrollar con esta información existirían infinitos valores que podrían asumir la función de Media Aritmética Poblacional”.

b) “El mejor estimador es la Media Muestral (Bs. 3.890,00) , ya que partiendo de ella se puede estimar el rango de valores donde puede ubicarse la Media Poblacional”

c) “Se utilizará la Distribución Normal o Z, ya que n=81>30, Población Grande.

d)

998

; 96% 2, 05

81 2

110,889 227,

, 05 110,889 322

x x

para NC Z

E

E x

e)

: 3.662, 678 4.117, 322

3.890 227, 322 3.662, 678; 3.890 227, 322 4.1

" ,

3.662, 678 4.117,

17, 3

322

2

"

2

Explica que la Media Poblacional con estos datos debe

LIC X E LSC

oscilar desde a inclusive

X E

f) Como Bs. 3.800,00 está dentro del Intervalo de Confianza se puede considerar como uno de los valores de la Media Aritmética Poblacional; no así Bs. 3.650,00 que está fuera de ese intervalo”

4) Suponga que en el problema anterior la muestra seleccionada es de 25 trabajadores y no responde a una Distribución Normal, y que el Nivel de Confianza es de 95%.

a) “No se puede considerar una media poblacional como tal en virtud que en el Intervalo de Confianza que se podría desarrollar con esta información existirían infinitos valores que podrían asumir la función de Media Aritmética Poblacional”.

b) “El mejor estimador es la Media Muestral (Bs. 3.890,00) , ya que partiendo de ella se puede estimar el rango de valores donde puede ubicarse la Media Poblacional”

c) “Se utilizará la Distribución de Student o t, ya que n=25<30, Población Pequeña No Normal.

d)

998 199, 6 ; 95% . . 1 25 1 2

41

4 2, 064

25

2, 064 199, 6 1, 74 9

x

x

para NC y g l n t

x

E

: 3.478, 026 4.301, 974

3.890 411, 974 3.478, 026; 3.890 411, 974 4.3

" ,

3.478, 026 4.301,

01, 9

974

4

"

7

Explica que la Media Poblacional con estos datos debe

LIC X E LSC

oscilar desde a inclusive

X E

f) Tanto Bs. 3.800,00 como Bs 3.650 están dentro del Intervalo de Confianza ambos valores se pueden considerar como Medias Aritmética Poblacionales.”

Problemas para la obtención del tamaño adecuado de una muestra

1) ¿Qué tan grande se requiere que sea el tamaño de una muestra para que proporcione una estimación del 90% del número promedio de graduados de las universidades nacionales con un error de muestreo de 2.000 estudiantes si una muestra piloto reporta una desviación estándar de 8.659?

Datos: E 2000; 8.659; NC 90%

Fórmulas:

Z

n E

1, 65 8.659 2

90% 1, 65; : 51, 0321

2.

2

000 5

n Para NC Z luego n x

2) Para realizar un estudio se requiere un nivel de confianza del 95% para la tasa de rendimiento promedio de una empresa que gana sobre sus proyectos para presupuestar capital. ¿Cuántos proyectos debe tener la muestra, si su supervisor especifica un error máximo de sólo del 5% y una desviación estándar de 0,23?

Datos: E 5%; NC 95%; 0, 23 Fórmulas: Z

n E

1,96 0, 23 2

95% 1,96 81, 2

8

0, 05 883 2

Para NC n x

n Z

3) El comisionado para supervisar el funcionamiento de los institutos de educación universitaria requiere hacer un estudio sobre los graduandos de dichos institutos en esta parte del año. Solo sabe que el año pasado por esta época solo se graduó el 82% de los que tenían opción al grado. Se toma un nivel de confianza del 96%, y se estima un error de muestreo del 3%, para realizar una encuesta sobre la posibilidad que tiene cada estudiante de graduarse. Para hacerla se va a tomar una muestra de manera aleatoria de los 25.683 graduandos. ¿Cuál sería el tamaño mínimo de la muestra para realizar esta investigación?

Datos:

0,82; E 0, 03; NC 96%; N 25.683 Población Finita

2

2 2

1 1

o o

n NZ

NE Z

2

2 2

0,82 0,18 25.683 2, 05

671,198

25.683 0, 03 0,82 0,18 2, 05

672

n

4) El comisionado para supervisar el funcionamiento de los institutos de educación universitaria requiere hacer un estudio sobre los graduandos de dichos institutos en esta parte del año. No teniendo una información referencial para un basamento en el muestreo de los graduandos actuales; se toma un nivel de confianza del 96%, y se estima un error de muestreo del 3%, para realizar una encuesta sobre la posibilidad que tiene cada

estudiante de graduarse. Para hacerla se va a tomar una muestra de manera aleatoria de los 25.683 graduandos. ¿Cuál sería el tamaño mínimo de la muestra para realizar esta investigación?

Datos:

E 0, 03; NC 96% Población No Finita N ; 25.683

Fórmulas:

2

2 2

0, 25 0, 25

o o

n NZ

NE Z

2

2 2

0, 25 25.683 2, 05

1.116, 608

25.683 0, 03 0, 25 1

2, 05

.117

n

Problemas de Prueba de Hipótesis de una o dos Poblaciones Problema de Prueba de Hipótesis de dos colas

1) Una embotelladora de salsa de tomates quiere comprobar que el producto contenido en cada botella tiene un peso promedio de 450 gramos. Para realizar la comprobación se tomó una muestra de 250 botellas, y se le calculó al producto, un peso promedio de 452,75 gramos, con una desviación estándar de 24,55 gramos. Para la comprobación se toma un nivel de significancia del 5%. ¿Será cierto lo que quiere comprobar la embotelladora de salsa de tomates?

Datos:

µ

01. Planteamiento de la Hipótesis:

Hipótesis Nula; H0:

µ

µ

02. Seleccionar un nivel de significancia:

Como

µ

0, 05

0, 025

2 2

o 03. Determinar el estadístico de prueba:

Siendo n=250 > 30, muestra grande, se usa la Distribución Z; por lo que

x

z x

S

y

S S

n , por lo que: 24,55

1,553

x

250

S

452, 75 450

1, 77 1,553

z