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23dejuniode2020 http://www.egormaximenko.com EgorMaximenko LemadeFatou(untemadelcurso“An´alisisreal”)

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(1)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

Lema de Fatou

(un tema del curso “An´

alisis real”)

Egor Maximenko

http://www.egormaximenko.com

Instituto Polit´ecnico Nacional

Escuela Superior de F´ısica y Matem´aticas, M´exico

(2)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

Plan

1 Introducci´on

2 Repaso de prerrequisitos

(3)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

En esta presentaci´on seguimos el camino de Bartle y Rudin.

Objetivo: demostrar el lema de Fatou usando el teorema de la convergencia mon´otona.

Lema de Fatou

Sea (X , F , µ) un espacio de medida

y sea (fn)n∈N una sucesi´on de funciones de clase M(X , F , [0, +∞]).

Entonces Z X  lim inf n→∞ fn  dµ ≤ lim inf n→∞ Z X fndµ.

(4)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

En esta presentaci´on seguimos el camino de Bartle y Rudin.

Objetivo: demostrar el lema de Fatou usando el teorema de la convergencia mon´otona.

Lema de Fatou

Sea (X , F , µ) un espacio de medida

y sea (fn)n∈N una sucesi´on de funciones de clase M(X , F , [0, +∞]).

Entonces Z X  lim inf n→∞ fn  dµ ≤ lim inf n→∞ Z X fndµ.

(5)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

Kundalini a la medida

Propiedad σ-aditiva de medida Continuidad de medida por abajo Propiedad σ-subaditiva de medida Teorema de la convergencia mon´otona Lema de Fatou

Teorema de la convergencia dominada Completez del espacio Lp

(6)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

Prerrequisitos:

el concepto del l´ımite inferior de una sucesi´on;

el teorema de la convergencia mon´otona;

(7)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

El l´ımite inferior de una sucesi´

on

Sea (an)n∈N una sucesi´on en R. Entonces

lim inf

n→∞ an:= supk∈N n≥kinf an.

Denotamos por bk el ´ınfimo de la k-´esima cola: bk := inf

n≥kan.

Entonces la sucesi´on (bk)k∈N es creciente, y

lim inf

(8)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

El l´ımite inferior de una sucesi´

on

Sea (an)n∈N una sucesi´on en R. Entonces

lim inf

n→∞ an:= supk∈N n≥kinf an.

Denotamos por bk el ´ınfimo de la k-´esima cola: bk := inf

n≥kan.

Entonces la sucesi´on (bk)k∈N es creciente, y

lim inf

(9)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

El l´ımite inferior de una sucesi´

on

Sea (an)n∈N una sucesi´on en R. Entonces

lim inf

n→∞ an:= supk∈N n≥kinf an.

Denotamos por bk el ´ınfimo de la k-´esima cola: bk := inf n≥kan. Entonces la sucesi´on (bk)k∈N es creciente, y lim inf n→∞ an= supk∈Nbk = limk→∞bk.

(10)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

El l´ımite inferior de una sucesi´

on

Sea (an)n∈N una sucesi´on en R. Entonces

lim inf

n→∞ an:= supk∈N n≥kinf an.

Denotamos por bk el ´ınfimo de la k-´esima cola: bk := inf

n≥kan.

Entonces la sucesi´on (bk)k∈N es creciente, y

lim inf

(11)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

El l´ımite inferior de una sucesi´

on

Sea (an)n∈N una sucesi´on en R. Entonces

lim inf

n→∞ an:= supk∈N n≥kinf an.

Denotamos por bk el ´ınfimo de la k-´esima cola: bk := inf

n≥kan.

Entonces la sucesi´on (bk)k∈N es creciente, y

lim inf

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Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

Teorema de la convergencia mon´otona de Lebesgue

Sea (X , F , µ) un espacio de medida

y sea (fn)n∈N una sucesi´on creciente en M(X , F , [0, +∞]).

Denotemos por g : X → [0, +∞] la funci´on l´ımite:

g (x ) := lim n→∞fn(x ). Entonces g ∈ M(X , F , [0, +∞]) y Z X g dµ = lim n→∞ Z X fndµ.

(13)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

Monoton´ıa de la integral de Lebesgue respecto a la funci´

on

Proposici´on

Sean f , g ∈ M(X , F , [0, +∞]) tales que f ≤ g . Entonces

Z X f dµ ≤ Z X g dµ.

(14)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

La convergencia puntual no garantiza la convergencia de las integrales

Ejemplo. Consideramos el espacio R con la medida de Lebesgue µ. fn(x ) = 1 cosh(x − n)2, g (x ) = 0. f1 f2 f3 f4 f5 1 2 3 4 5 6 0 1 Entonces fn→ g , pero Z R fndµ = 2, Z R g dµ = 0.

(15)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

La convergencia puntual no garantiza la convergencia de las integrales

Ejemplo. Consideramos el espacio R con la medida de Lebesgue µ. fn(x ) = 1 cosh(x − n)2, g (x ) = 0. f1 f2 f3 f4 f5 1 2 3 4 5 6 0 1 Entonces fn→ g , pero Z R fndµ = 2, Z R g dµ = 0.

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Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

La convergencia puntual no garantiza la convergencia de las integrales

Ejemplo. Consideramos el espacio R con la medida de Lebesgue µ. fn(x ) = 1 cosh(x − n)2, g (x ) = 0. f1 f2 f3 f4 f5 1 2 3 4 5 6 0 1 Entonces fn→ g , pero Z R fndµ = 2, Z R g dµ = 0.

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Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

La convergencia puntual no garantiza la convergencia de las integrales

Ejemplo. Consideramos el espacio R con la medida de Lebesgue µ. fn(x ) = 1 cosh(x − n)2, g (x ) = 0. f1 f2 f3 f4 f5 1 2 3 4 5 6 0 1 Entonces fn→ g , pero Z R fndµ = 2, Z R g dµ = 0.

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Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

La convergencia puntual no garantiza la convergencia de las integrales

Ejemplo. Consideramos el espacio R con la medida de Lebesgue µ. fn(x ) = 1 cosh(x − n)2, g (x ) = 0. f1 f2 f3 f4 f5 1 2 3 4 5 6 0 1 Entonces fn→ g , pero Z R fndµ = 2, Z R g dµ = 0.

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Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

La convergencia puntual no garantiza la convergencia de las integrales

Ejemplo. Consideramos el espacio R con la medida de Lebesgue µ. fn(x ) = 1 cosh(x − n)2, g (x ) = 0. f1 f2 f3 f4 f5 1 2 3 4 5 6 0 1 Entonces fn→ g , pero Z R fndµ = 2, Z R g dµ = 0.

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Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

Lema de Fatou

Sea (X , F , µ) un espacio de medida y sea (fn)n∈N∈ M(X , F , [0, +∞])N.

Entonces Z X  lim inf n→∞ fn  dµ ≤ lim inf n→∞ Z X fndµ.

(21)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

Inicio de la demostraci´

on: conocemos a los personajes del cuento

gk(x ) := inf

n≥kfn(x ), h(x ) := lim infn→∞ fn(x ).

Para cada x en X , la sucesi´on (gk(x ))k∈N es creciente.

h(x ) = sup

k∈N

gk(x ) = lim

k→∞gk(x ).

(22)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

Inicio de la demostraci´

on: conocemos a los personajes del cuento

gk(x ) := inf

n≥kfn(x ), h(x ) := lim infn→∞ fn(x ).

Para cada x en X , la sucesi´on (gk(x ))k∈N es creciente.

h(x ) = sup

k∈N

gk(x ) = lim

k→∞gk(x ).

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Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

Inicio de la demostraci´

on: conocemos a los personajes del cuento

gk(x ) := inf

n≥kfn(x ), h(x ) := lim infn→∞ fn(x ).

Para cada x en X , la sucesi´on (gk(x ))k∈N es creciente.

h(x ) = sup

k∈N

gk(x ) = lim

k→∞gk(x ).

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Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

Inicio de la demostraci´

on: conocemos a los personajes del cuento

gk(x ) := inf

n≥kfn(x ), h(x ) := lim infn→∞ fn(x ).

Para cada x en X , la sucesi´on (gk(x ))k∈N es creciente.

h(x ) = sup

k∈N

gk(x ) = lim

k→∞gk(x ).

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Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

Demostraci´

on

gk(x ) := inf n≥kfn(x ) ∀n ≥ k fn ≥ gk ∀n ≥ k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ inf n≥k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ lim k→∞  inf n≥k Z X fndµ  ≥ lim k→∞ Z X gkdµ = Z X lim k→∞gkdµ ∀k ∈ N gk ≤ gk+1 TCM

(26)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

Demostraci´

on

gk(x ) := inf n≥kfn(x ) ∀n ≥ k fn ≥ gk ∀n ≥ k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ inf n≥k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ lim k→∞  inf n≥k Z X fndµ  ≥ lim k→∞ Z X gkdµ = Z X lim k→∞gkdµ ∀k ∈ N gk ≤ gk+1 TCM

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Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

Demostraci´

on

gk(x ) := inf n≥kfn(x ) ∀n ≥ k fn ≥ gk ∀n ≥ k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ inf n≥k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ lim k→∞  inf n≥k Z X fndµ  ≥ lim k→∞ Z X gkdµ = Z X lim k→∞gkdµ ∀k ∈ N gk ≤ gk+1 TCM

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Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

Demostraci´

on

gk(x ) := inf n≥kfn(x ) ∀n ≥ k fn ≥ gk ∀n ≥ k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ inf n≥k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ lim k→∞  inf n≥k Z X fndµ  ≥ lim k→∞ Z X gkdµ = Z X lim k→∞gkdµ ∀k ∈ N gk ≤ gk+1 TCM

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Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

Demostraci´

on

gk(x ) := inf n≥kfn(x ) ∀n ≥ k fn ≥ gk ∀n ≥ k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ inf n≥k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ lim k→∞  inf n≥k Z X fndµ  ≥ lim k→∞ Z X gkdµ = Z X lim k→∞gkdµ ∀k ∈ N gk ≤ gk+1 TCM

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Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

Demostraci´

on

gk(x ) := inf n≥kfn(x ) ∀n ≥ k fn ≥ gk ∀n ≥ k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ inf n≥k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ lim k→∞  inf n≥k Z X fndµ  ≥ lim k→∞ Z X gkdµ = Z X lim k→∞gkdµ ∀k ∈ N gk ≤ gk+1 TCM

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Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

Demostraci´

on

gk(x ) := inf n≥kfn(x ) ∀n ≥ k fn ≥ gk ∀n ≥ k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ inf n≥k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ lim k→∞  inf n≥k Z X fndµ  ≥ lim k→∞ Z X gkdµ= Z X lim k→∞gkdµ ∀k ∈ N gk ≤ gk+1 TCM

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Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

El caso particular cuando existe el l´ımite puntual

En muchas aplicaciones, la sucesi´on (fn)n∈N converge puntualmente a una funci´on h.

En este caso, lim inf

n→∞ fn coincide con h, y el lema de Fatou afirma que

Z X h dµ ≤ lim inf n→∞ Z X fndµ.

A´un en este caso, la desigualdad puede ser estricta. Revise el mismo ejemplo:

X = R, fn(x ) =

1

(33)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou

Otros ejemplos con desigualdad estricta

Ejemplo. X = N, con la medida de conteo, fn=1{n}. En otras palabras,

fn(m) = δm,n.

En los siguientes ejemplos, consideramos R con la medida de Lebesgue.

Ejemplo. X = R, fn=1[n,n+1).

Ejemplo. X = R, fn= n1(0,1/n).

Ejemplo. X = R, fn=1[n,2n).

Ejemplo. X = R, fn(x ) = 1 (x − n)2+ 1.

Referencias

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