Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou
Lema de Fatou
(un tema del curso “An´
alisis real”)
Egor Maximenko
http://www.egormaximenko.com
Instituto Polit´ecnico Nacional
Escuela Superior de F´ısica y Matem´aticas, M´exico
Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou
Plan
1 Introducci´on
2 Repaso de prerrequisitos
Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou
En esta presentaci´on seguimos el camino de Bartle y Rudin.
Objetivo: demostrar el lema de Fatou usando el teorema de la convergencia mon´otona.
Lema de Fatou
Sea (X , F , µ) un espacio de medida
y sea (fn)n∈N una sucesi´on de funciones de clase M(X , F , [0, +∞]).
Entonces Z X lim inf n→∞ fn dµ ≤ lim inf n→∞ Z X fndµ.
Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou
En esta presentaci´on seguimos el camino de Bartle y Rudin.
Objetivo: demostrar el lema de Fatou usando el teorema de la convergencia mon´otona.
Lema de Fatou
Sea (X , F , µ) un espacio de medida
y sea (fn)n∈N una sucesi´on de funciones de clase M(X , F , [0, +∞]).
Entonces Z X lim inf n→∞ fn dµ ≤ lim inf n→∞ Z X fndµ.
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Kundalini a la medida
Propiedad σ-aditiva de medida Continuidad de medida por abajo Propiedad σ-subaditiva de medida Teorema de la convergencia mon´otona Lema de Fatou
Teorema de la convergencia dominada Completez del espacio Lp
Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou
Prerrequisitos:
el concepto del l´ımite inferior de una sucesi´on;
el teorema de la convergencia mon´otona;
Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou
El l´ımite inferior de una sucesi´
on
Sea (an)n∈N una sucesi´on en R. Entonces
lim inf
n→∞ an:= supk∈N n≥kinf an.
Denotamos por bk el ´ınfimo de la k-´esima cola: bk := inf
n≥kan.
Entonces la sucesi´on (bk)k∈N es creciente, y
lim inf
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El l´ımite inferior de una sucesi´
on
Sea (an)n∈N una sucesi´on en R. Entonces
lim inf
n→∞ an:= supk∈N n≥kinf an.
Denotamos por bk el ´ınfimo de la k-´esima cola: bk := inf
n≥kan.
Entonces la sucesi´on (bk)k∈N es creciente, y
lim inf
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El l´ımite inferior de una sucesi´
on
Sea (an)n∈N una sucesi´on en R. Entonces
lim inf
n→∞ an:= supk∈N n≥kinf an.
Denotamos por bk el ´ınfimo de la k-´esima cola: bk := inf n≥kan. Entonces la sucesi´on (bk)k∈N es creciente, y lim inf n→∞ an= supk∈Nbk = limk→∞bk.
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El l´ımite inferior de una sucesi´
on
Sea (an)n∈N una sucesi´on en R. Entonces
lim inf
n→∞ an:= supk∈N n≥kinf an.
Denotamos por bk el ´ınfimo de la k-´esima cola: bk := inf
n≥kan.
Entonces la sucesi´on (bk)k∈N es creciente, y
lim inf
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El l´ımite inferior de una sucesi´
on
Sea (an)n∈N una sucesi´on en R. Entonces
lim inf
n→∞ an:= supk∈N n≥kinf an.
Denotamos por bk el ´ınfimo de la k-´esima cola: bk := inf
n≥kan.
Entonces la sucesi´on (bk)k∈N es creciente, y
lim inf
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Teorema de la convergencia mon´otona de Lebesgue
Sea (X , F , µ) un espacio de medida
y sea (fn)n∈N una sucesi´on creciente en M(X , F , [0, +∞]).
Denotemos por g : X → [0, +∞] la funci´on l´ımite:
g (x ) := lim n→∞fn(x ). Entonces g ∈ M(X , F , [0, +∞]) y Z X g dµ = lim n→∞ Z X fndµ.
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Monoton´ıa de la integral de Lebesgue respecto a la funci´
on
Proposici´on
Sean f , g ∈ M(X , F , [0, +∞]) tales que f ≤ g . Entonces
Z X f dµ ≤ Z X g dµ.
Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou
La convergencia puntual no garantiza la convergencia de las integrales
Ejemplo. Consideramos el espacio R con la medida de Lebesgue µ. fn(x ) = 1 cosh(x − n)2, g (x ) = 0. f1 f2 f3 f4 f5 1 2 3 4 5 6 0 1 Entonces fn→ g , pero Z R fndµ = 2, Z R g dµ = 0.
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La convergencia puntual no garantiza la convergencia de las integrales
Ejemplo. Consideramos el espacio R con la medida de Lebesgue µ. fn(x ) = 1 cosh(x − n)2, g (x ) = 0. f1 f2 f3 f4 f5 1 2 3 4 5 6 0 1 Entonces fn→ g , pero Z R fndµ = 2, Z R g dµ = 0.
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La convergencia puntual no garantiza la convergencia de las integrales
Ejemplo. Consideramos el espacio R con la medida de Lebesgue µ. fn(x ) = 1 cosh(x − n)2, g (x ) = 0. f1 f2 f3 f4 f5 1 2 3 4 5 6 0 1 Entonces fn→ g , pero Z R fndµ = 2, Z R g dµ = 0.
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La convergencia puntual no garantiza la convergencia de las integrales
Ejemplo. Consideramos el espacio R con la medida de Lebesgue µ. fn(x ) = 1 cosh(x − n)2, g (x ) = 0. f1 f2 f3 f4 f5 1 2 3 4 5 6 0 1 Entonces fn→ g , pero Z R fndµ = 2, Z R g dµ = 0.
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La convergencia puntual no garantiza la convergencia de las integrales
Ejemplo. Consideramos el espacio R con la medida de Lebesgue µ. fn(x ) = 1 cosh(x − n)2, g (x ) = 0. f1 f2 f3 f4 f5 1 2 3 4 5 6 0 1 Entonces fn→ g , pero Z R fndµ = 2, Z R g dµ = 0.
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La convergencia puntual no garantiza la convergencia de las integrales
Ejemplo. Consideramos el espacio R con la medida de Lebesgue µ. fn(x ) = 1 cosh(x − n)2, g (x ) = 0. f1 f2 f3 f4 f5 1 2 3 4 5 6 0 1 Entonces fn→ g , pero Z R fndµ = 2, Z R g dµ = 0.
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Lema de Fatou
Sea (X , F , µ) un espacio de medida y sea (fn)n∈N∈ M(X , F , [0, +∞])N.
Entonces Z X lim inf n→∞ fn dµ ≤ lim inf n→∞ Z X fndµ.
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Inicio de la demostraci´
on: conocemos a los personajes del cuento
gk(x ) := inf
n≥kfn(x ), h(x ) := lim infn→∞ fn(x ).
Para cada x en X , la sucesi´on (gk(x ))k∈N es creciente.
h(x ) = sup
k∈N
gk(x ) = lim
k→∞gk(x ).
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Inicio de la demostraci´
on: conocemos a los personajes del cuento
gk(x ) := inf
n≥kfn(x ), h(x ) := lim infn→∞ fn(x ).
Para cada x en X , la sucesi´on (gk(x ))k∈N es creciente.
h(x ) = sup
k∈N
gk(x ) = lim
k→∞gk(x ).
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Inicio de la demostraci´
on: conocemos a los personajes del cuento
gk(x ) := inf
n≥kfn(x ), h(x ) := lim infn→∞ fn(x ).
Para cada x en X , la sucesi´on (gk(x ))k∈N es creciente.
h(x ) = sup
k∈N
gk(x ) = lim
k→∞gk(x ).
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Inicio de la demostraci´
on: conocemos a los personajes del cuento
gk(x ) := inf
n≥kfn(x ), h(x ) := lim infn→∞ fn(x ).
Para cada x en X , la sucesi´on (gk(x ))k∈N es creciente.
h(x ) = sup
k∈N
gk(x ) = lim
k→∞gk(x ).
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Demostraci´
on
gk(x ) := inf n≥kfn(x ) ∀n ≥ k fn ≥ gk ∀n ≥ k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ inf n≥k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ lim k→∞ inf n≥k Z X fndµ ≥ lim k→∞ Z X gkdµ = Z X lim k→∞gkdµ ∀k ∈ N gk ≤ gk+1 TCMIntroducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou
Demostraci´
on
gk(x ) := inf n≥kfn(x ) ∀n ≥ k fn ≥ gk ∀n ≥ k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ inf n≥k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ lim k→∞ inf n≥k Z X fndµ ≥ lim k→∞ Z X gkdµ = Z X lim k→∞gkdµ ∀k ∈ N gk ≤ gk+1 TCMIntroducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou
Demostraci´
on
gk(x ) := inf n≥kfn(x ) ∀n ≥ k fn ≥ gk ∀n ≥ k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ inf n≥k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ lim k→∞ inf n≥k Z X fndµ ≥ lim k→∞ Z X gkdµ = Z X lim k→∞gkdµ ∀k ∈ N gk ≤ gk+1 TCMIntroducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou
Demostraci´
on
gk(x ) := inf n≥kfn(x ) ∀n ≥ k fn ≥ gk ∀n ≥ k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ inf n≥k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ lim k→∞ inf n≥k Z X fndµ ≥ lim k→∞ Z X gkdµ = Z X lim k→∞gkdµ ∀k ∈ N gk ≤ gk+1 TCMIntroducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou
Demostraci´
on
gk(x ) := inf n≥kfn(x ) ∀n ≥ k fn ≥ gk ∀n ≥ k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ inf n≥k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ lim k→∞ inf n≥k Z X fndµ ≥ lim k→∞ Z X gkdµ = Z X lim k→∞gkdµ ∀k ∈ N gk ≤ gk+1 TCMIntroducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou
Demostraci´
on
gk(x ) := inf n≥kfn(x ) ∀n ≥ k fn ≥ gk ∀n ≥ k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ inf n≥k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ lim k→∞ inf n≥k Z X fndµ ≥ lim k→∞ Z X gkdµ = Z X lim k→∞gkdµ ∀k ∈ N gk ≤ gk+1 TCMIntroducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou
Demostraci´
on
gk(x ) := inf n≥kfn(x ) ∀n ≥ k fn ≥ gk ∀n ≥ k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ inf n≥k Z X fndµ ≥ Z X gkdµ lim k→∞ inf n≥k Z X fndµ ≥ lim k→∞ Z X gkdµ= Z X lim k→∞gkdµ ∀k ∈ N gk ≤ gk+1 TCMIntroducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou
El caso particular cuando existe el l´ımite puntual
En muchas aplicaciones, la sucesi´on (fn)n∈N converge puntualmente a una funci´on h.
En este caso, lim inf
n→∞ fn coincide con h, y el lema de Fatou afirma que
Z X h dµ ≤ lim inf n→∞ Z X fndµ.
A´un en este caso, la desigualdad puede ser estricta. Revise el mismo ejemplo:
X = R, fn(x ) =
1
Introducci´on Repaso de prerrequisitos Lema de Fatou
Otros ejemplos con desigualdad estricta
Ejemplo. X = N, con la medida de conteo, fn=1{n}. En otras palabras,
fn(m) = δm,n.
En los siguientes ejemplos, consideramos R con la medida de Lebesgue.
Ejemplo. X = R, fn=1[n,n+1).
Ejemplo. X = R, fn= n1(0,1/n).
Ejemplo. X = R, fn=1[n,2n).
Ejemplo. X = R, fn(x ) = 1 (x − n)2+ 1.