TRABAJO FINAL DE GRADO

(1)

FACULTAD DE EDUCACIÓN

TRABAJO FINAL DE GRADO

AINHOA CORREAS TUR TUTORA: MAR MORENO

(2)

2

ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN ... 3

2. MARCO TEÓRICO ... 4

3. OBJETIVOS ... 16

4. METODOLOGÍA ... 17

4.1. RECOGIDA DE DATOS ... 17

4.2. ANÁLISIS DE LOS DATOS ... 23

5. RESULTADOS ... 23

7. CONCLUSIONES ... 39

8. LIMITACIONES Y EXPECTATIVAS FUTURAS ... 40

9. BIBLIOGRAFÍA ... 40

(3)

3

1. INTRODUCCIÓN

El aprendizaje de las matemáticas no es lineal ni homogéneo. Está claro que durante todo el proceso de aprendizaje de las matemáticas pasamos por una serie de niveles que indican la evolución, el proceso y el conocimiento que tenemos de las mismas. Este proceso de aprendizaje se podría comparar de una forma hipotética con una estructura piramidal, donde la base sería el comienzo del aprendizaje, el primer nivel, y la cúspide el conocimiento más amplio de las matemáticas, el nivel más alto. Pero dentro de cada uno de estos niveles no todos tenemos el mismo conocimiento de las matemáticas, a esto me refiero con la heterogeneidad existente en el aprendizaje de las matemáticas, puesto que puede haber personas que, estando en el mismo nivel que otras, tengan más o menos conocimiento de las matemáticas adquirido.

(4)

4

Todas estas diferencias entre el alumnado de un mismo nivel se comienzan a percibir a partir del primer ciclo de Educación Primaria con los problemas de estructura aditiva y multiplicativa. Esto se consigue gracias a que estos problemas poseen una amplia variedad de estrategias de resolución, las cuales ofrecen una información muy valiosa sobre el nivel cognitivo y de desarrollo del alumno/a que permite identificar los errores y las dificultades que se tienen a la hora de resolver estos problemas.

Es toda esta diversidad de conocimientos, dificultades y estrategias lo que me promueve mi interés y motivación por el tema a tratar y lo que me lleva a adentrarme en un grupo de alumnado para investigar toda esta heterogeneidad existente y poder observar de primera mano si la teoría sobre el tema se confirma o se desmiente en la realidad escolar. Asimismo, analizar si existen otras estrategias de resolución de problemas todavía sin descubrir para los problemas de estructura aditiva y multiplicativa.

2. MARCO TEÓRICO

El presente trabajo de investigación está fundamentado en algunas ideas claves de ciertos autores y documentos que interesa resumir en esta introducción general.

1. Según (Castro, 2008), actualmente, la clasificación que observamos de los problemas de estructuras aditiva y multiplicativa está basada en la relación semántica de las cantidades:

 PROBLEMAS DE ESTRUCTURA ADITIVA:  Tipo problema: Cambio creciente

 Incógnita: cantidad final

“María tenía 5 caramelos. Sus amigos le dieron 9. ¿Cuántos caramelos tiene ahora?”

 Incógnita: cantidad de cambio

“María tenía 5 caramelos. Sus amigos le dieron algunos. Ahora tiene 14 caramelos. ¿Cuántos caramelos le dieron sus amigos?”

(5)

5

 Incógnita: cantidad inicial

“María tenía algunos caramelos. Sus amigos le dieron 9 caramelos. Ahora tiene 14 caramelos. ¿Cuántos caramelos tenía antes?”

 Tipo de problema: cambio decreciente  Incógnita: cantidad final

“María tenía 14 caramelos. Dio 9 a Roberto. ¿Cuántos caramelos le quedan?”

 Incógnita: cantidad de cambio

“María tenía 14 caramelos. Dio algunos a Roberto. Ahora le quedan 5 caramelos. ¿Cuántos caramelos le dio a Roberto?”

 Incógnita: cantidad inicial

“María tenía algunos caramelos. Dio 9 caramelos a Roberto. Ahora le quedan 5 caramelos. ¿Cuántos caramelos tenía antes?

 Tipo de problema: combinación  Incógnita: todo

“5 chicos y 9 chicas hacían un obra de teatro. ¿Cuántos niños estaban actuando en total?

 Incógnita: parte

(6)

6

 Tipo de problema: comparación creciente “más que”  Incógnita: diferencia

“Ana tiene 13 canicas. Juan tiene 5 canicas. ¿Cuántas canicas tiene Ana más que Juan?”

Cantidad comparada (Ana) = 5 Cantidad referente (Juan) = 13 Diferencia = ?

 Incógnita: cantidad comparada

“Ana tiene algunas canicas. Juan tiene 5 canicas. Ana tiene 8 más que Juan. ¿Cuántas canicas tiene Ana?”

Cantidad comparada (Ana) = ? Cantidad referente (Juan) = 5 Diferencia = 8

 Incógnita: cantidad de referencia

“Ana tiene 13 canicas. Ana tiene 8 más que Juan. ¿Cuántas canicas tiene Juan?”

Cantidad comparada (Ana) = 13 Cantidad referente (Juan) = ? Diferencia = 8

 Tipo de problema: comparación decreciente “menos que”  Incógnita: diferencia

“Pablo tiene 13 caramelos. Javier tiene 5 caramelos. ¿Cuántos caramelos tiene Javier menos que Pablo?”

Cantidad comparada (Javier) = 13 Cantidad referente (Pablo) = 5 Diferencia = ?

 Incógnita: cantidad comparada

(7)

7

Cantidad comparada (Javier) = ? Cantidad referente (Pablo) = 13 Diferencia = 8

 Incógnita: cantidad de referencia

“Pablo tiene algunos caramelos. Javier tiene 5 caramelos. Javier tiene 8 caramelos menos que Pablo. ¿Cuántos caramelos tiene Pablo?

Cantidad comparada (Javier) = 5 Cantidad referente (Pablo) = ? Diferencia = 8

Para todos estos tipos de problemas de estructura aditiva, no hay una sola forma de solución, sino que podemos observar distintas estrategias de resolución que el alumnado utilizará a su libre albedrío según su conveniencia, su capacidad o su nivel cognitivo y de desarrollo.

 ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN  Estrategias de modelización:

 Juntar todo: se utilizan objetos o dedos para representar cada uno de los sumandos y se cuentan los objetos o dedos de la unión de los dos conjuntos.  Añadir hasta: se forma un conjunto equivalente a la cantidad inicial y se le

añaden objetos hasta que la nueva colección de objetos es igual al total dado. El número de objetos añadidos es la respuesta.

 Quitar: se representa la cantidad mayor que aparece en el problema y, a continuación, se quita la menor. La respuesta es el número de objetos que queda.

 Quitar hasta: Se representa la cantidad mayor que aparece en el problema y, a continuación, se van quitando objetos hasta que el número de éstos coincida con el menor número dado. La respuesta es el número de objetos que se han quitado.

(8)

8

 Ensayo y error: se realiza a través de distintas estimaciones y comprobaciones.

 Estrategias de conteo:

 Contar desde el primero: se inicia la secuencia desde el primer sumando que aparece utilizando los dedos como punto de apoyo, no como representación. El conteo finaliza cuando el número de palabras recitadas coincide con el segundo sumando. La solución es la última palabra pronunciada.

 Contar desde el mayor: se comienza a contar a partir del mayor sumando que aparece utilizando los dedos como punto de apoyo. El conteo finaliza cuando el número de palabras recitadas coincide con el menor sumando. La solución es la última palabra pronunciada.

 Contar hasta: se inicia el conteo progresivo desde el número más pequeño utilizando los dedos. Este finaliza cuando el último número de la secuencia coincide con el mayor sumando. La solución es el número de palabras recitadas.

 Conteo regresivo (contar hacia atrás): la secuencia de conteo regresivo se inicia desde el número mayor. El conteo finaliza cuando el número de palabras recitadas coincide con el número menor. La solución es la última palabra recitada.

 Conteo regresivo hasta (contar hacia atrás hasta): la secuencia de conteo regresivo se inicia desde el número mayor. El conteo finaliza cuando se alcanza el número más pequeño. La solución es el número de palabras recitadas.

 Hechos numéricos:

 Uso de dobles: utilizan el doble de uno de los números del enunciado y añaden o quitan los que sobran o faltan para obtener la respuesta.

 Sumas con resultado 10: desde una cantidad del enunciado suman hasta llegar a 10 y después añaden la diferencia (14  8+2=10 , 10+4=14).

(9)

9

Ahora bien, aunque haya a disposición del alumnado diferentes estrategias de resolución, es imposible que los niños no tengan ciertos errores y dificultades que hacen que los problemas de estructura aditiva y multiplicativa sean una de las más complejas tareas de la etapa educativa.

Según (Castro, 2008), los problemas de estructura aditiva se pueden clasificar en distintos niveles de dificultad según la incógnita que se plantee. Así lo demuestra en la siguiente tabla:

Tipo de problema Incógnita Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4 Cambio creciente Cantidad final X

Cambio decreciente Cantidad final X

Cambio creciente Cantidad de cambio X

Cambio decreciente Cantidad de cambio X*

Cambio creciente Cantidad inicial X

Cambio decreciente Cantidad inicial X

Combinación Todo X

Combinación Parte X

Comparación creciente Diferencia X*

Comparación decreciente Diferencia X*

Comparación creciente Cantidad comparada X

Comparación decreciente Cantidad comparada X

Comparación creciente Cantidad de referencia X*

Comparación decreciente Cantidad de referencia X*

* Puede estar en ese nivel o en el anterior

En esta tabla se representa los distintos niveles de dificultad que tienen los niños y las niñas a la hora de resolver los problemas de estructura aditiva. Podemos observar que el nivel 1 es el nivel más bajo, es decir, los problemas que les son más fáciles de resolver, que son los de cambio cuando se les pregunta por la cantidad final y los de combinación cuando se les pregunta por el conjunto total, como por ejemplo:

(10)

10

El nivel 2 les sigue siendo fácil de resolver. Este se da sólo en los problemas de cambio cuando se les pregunta por la cantidad de cambio, por lo que no supone un gran esfuerzo mental, tanto es así que incluso se pueden considerar en el nivel 1. Por ejemplo:

“Andrés tenía 59 euros y se ha comprado un libro de chistes y otro de adivinanzas. Si ahora le quedan 38 euros, ¿cuánto ha gastado?”

En este nivel 2 también se podría contar con los problemas de comparación cuando se pregunta por la diferencia, ya que, en definitiva, es prácticamente lo mismo que en los de cambio, aunque sean un poco más complicados. Por ejemplo:

“Ana tiene 13 canicas y Juan tiene 5. ¿Cuántas canicas tiene Ana más que Juan?”

El nivel 3 es el que más tipos de problemas abarca, razón por la que se puede confirmar que los problemas de estructura aditiva y multiplicativa son complicados para el alumnado. En este nivel encontramos la cantidad inicial de los problemas de cambio, cuando se pregunta por una parte en los de combinación o la cantidad comparada en los de comparación, como estos ejemplos respectivamente:

“Raúl va a celebrar su fiesta de cumpleaños y necesita 75 globos para decorar su casa. Si solo le faltan 15 globos, ¿cuántos globos tiene?”, “Un disfraz de Halloween con la máscara cuesta 57 euros. Si el disfraz cuesta 33 euros, ¿cuánto cuesta la máscara?” o “Pablo tiene 8 rotuladores menos que Ana, que tiene 26. ¿Cuántos rotuladores tiene Pablo?”

Por último, el nivel 4 cuenta con los problemas de comparación cuando se pregunta por la cantidad de referencia, aunque estos se pueden considerar también del nivel 3. Por ejemplo:

“Susana y Paula quieren intercambiar sus cromos de moda, pero Paula tiene 13 cromos más que Susana. Si Paula tiene 28 cromos, cuántos cromos tiene Susana?”

(11)

11

 PROBLEMAS DE ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA:  Tipo de problema: proporcionalidad simple

 Multiplicación: Total (agrupamiento) Incógnita: total de objetos

“Benjamín tiene 4 cajas de lápices. Hay 6 lápices en cada caja. ¿Cuántos lápices tiene Benjamín en total?”

 División – partitiva: Reparto

Incógnita: número de objetos en cada grupo

“Benjamín tiene 24 lápices en 4 cajas con el mismo número de lápices en cada caja. ¿Cuántos lápices hay en cada caja?”

 División – medida: Agrupamiento Incógnita: número de grupos

“Benjamín tiene 24 lápices. Hay 6 lápices en cada caja. ¿Cuántas cajas de lápices tiene Benjamín?”

 Tipo de problema: comparación multiplicativa  “veces más que”

 Incógnita: cantidad comparada

“Juan tiene 18 canicas. Pedro tiene 3 veces más. ¿Cuántas canicas tiene Pedro?”

Cantidad comparada (Pedro) = ? Cantidad referente (Juan) = 18 Escalar = 3 veces más

 Incógnita: cantidad referente

“Juan tiene algunas canicas. Pedro tiene 54 canicas, que son 3 veces más canicas que las de Juan. ¿Cuántas canicas tiene Juan?

Cantidad comparada (Pedro) = 54 Cantidad referente (Juan) = ? Escalar = 3 veces más

 Incógnita: escalar

“Juan tiene 18 canicas. Pedro tiene 54 canicas. ¿Cuántas veces más canicas tiene Pedro que Juan?

(12)

12 Escalar = ?

 “veces menos que”

 Incógnita: cantidad comparada

“Pedro tiene 48 canicas. Juan 4 veces menos canicas que Pedro. ¿Cuántas canicas tiene Juan?”

Cantidad comparada (Juan) = ? Cantidad referente (Pedro) = 48 Escalar = 4 veces menos

 Incógnita: cantidad referente

“Juan tiene 12 canicas, que son 4 veces menos canicas que las de Pedro. ¿Cuántas canicas tiene Pedro?”

Cantidad comparada (Juan) = 12 Cantidad referente (Pedro) = ? Escalar = 4 veces menos

 Incógnita: escalar

“Pedro tiene 48 canicas. Juan tiene 12 canicas. ¿Cuántas veces menos canicas tiene Juan que Pedro?”

Cantidad comparada (Juan) = 12 Cantidad referente (Pedro) = 48 Escalar = ?

 Tipo de problema: producto cartesiano  Incógnita: cantidad compuesta

“Tengo 5 camisetas y 4 pantalones. ¿De cuántas maneras diferentes me puedo vestir?”

 Incógnita: componente

(13)

13

Para los problemas de estructura multiplicativa, al igual que para la aditiva, también hay distintos métodos para solucionarlos.

 ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN  Estrategias de modelización:

 Agrupamiento: los niños resuelven los problemas de multiplicación modelizando cada uno de los grupos (utilizando fichas, marcas escritas u otro tipo de representación) y contando a continuación el número total de objetos.  Reparto: los niños resuelven problemas de división – partitiva repartiendo

los objetos uno por uno en el número de grupos determinado hasta repartir todos los objetos.

 Medida: los niños resuelven los problemas de división – medida formando grupos, cada uno de los cuales contiene el número especificado de objetos, y a continuación cuentan el número de grupos que han formado.

 Estrategias de conteo:

 Para problemas de multiplicación: se utiliza el conteo a saltos de 2 en 2, de 3 en 3, de n en n. Los niños tienen un mayor dominio del conteo a saltos con números como 2, 3 y 5, que con otros como el 7. El resultado es el último número que ha dicho.

 Para problemas de división – medida: también se utiliza el conteo a saltos. El resultado es el número de dedos que ha levantado.

 Para problemas de división – partitiva: se utiliza el ensayo y error para calcular qué número deben utilizar para contar a saltos o para sumar, es decir, de cuántos en cuántos deben saltar o sumar.

 Hechos numéricos: usan los conocimientos que tienen de las tablas de multiplicar.

A diferencia de los problemas de estructura aditiva, no se puede elaborar un cuadro de dificultades para los problemas de estructura multiplicativa al no haber suficientes estudios que avalen estas dificultades. No obstante, se podría decir que algunos estudios indican que para los niños es más difícil identificar:

(14)

14

 Un problema multiplicativo de combinación que de los otros dos tipos.

 Un problema de división – medida que de división – partitiva.

A parte de esta clasificación de los niveles de dificultad que apunta Castro, (Vergnaud, 2001) expone otra serie de dificultades relacionadas con el enunciado de los problemas:

a) Los conceptos utilizados: Todos aquellos conceptos que sean palpables para los niños y niñas o que sean cotidianos en su día a día les parecerán más fáciles a la hora de escoger la operación adecuada para resolver el problema, ya que, por ejemplo, la velocidad de la luz es algo que no están acostumbrados a trabajar y por lo tanto no sabrán qué tipo de algoritmo deben realizar para resolver el problema. Además, hay conceptos que, aunque los conozcan y sean cotidianos, hacen que el problema sea más o menos accesible para el alumnado, por ejemplo, la ampliación de una figura o la relación tiempo-espacio les es más difícil que el precio de los lápices o de las golosinas. De esta misma forma, operar con números enteros comprendidos entre el 0 y el 100 les son más fáciles a la hora de elegir y realizar las operaciones que si se les pregunta por números decimales.

b) El exceso de informaciones: Si una información no es relevante para el problema, sobre todo las cantidades, es mejor omitirla, ya que puede causar la desorientación del alumnado para resolver el problema, porque, normalmente, los niños tienden a utilizar todas las cantidades que se le presentan en el enunciado como datos relevantes para la resolución, aunque no lo sean. Por este motivo es mejor facilitarles la tarea omitiendo cualquier cantidad o información que no sea relevante para el problema, al menos, en las primeras etapas de la enseñanza de las matemáticas.

(15)

15

Vergnaud (2001) clasifica los problemas teniendo en cuenta la relación que se da entre las cantidades:

- ESTRUCTURAS ADITIVAS

 Relación estado – transformación – estado:

Las distintas cantidades que vienen en el enunciado se diferencian como: estado inicial, transferencia positiva o negativa y estado final. El primero, como su nombre indica, es la cantidad con la que se parte para realizar la operación; el segundo, es la modificación que se hace a la cantidad inicial, siendo positiva cuando la transformación es de aumento y negativa cuando es de disminución sobre el estado inicial; y el último es la cantidad resultante después de realizar la operación.

 Relación partes – partes – todo:

Esta relación tiene dos variantes según la cantidad que se esté buscando: el todo (para ello se debe conocer las dos partes) o una parte (para la que se debe conocer la otra parte y el todo). Refiriéndose con “parte” a las distintas cantidades o grupos que componen el problema y “todo” a la cantidad total de los dos o más grupos anteriores.

 Relación referido – comparación – referente:

Por referido y referente se entiende las dos cantidades o grupos principales en las que se basa el enunciado, y por comparación, la diferencia que hay entre las dos cantidades. Aquí, según explica Vergnaud, se dan dos casos: uno cuando el referido es más grande que el referente y, otro, cuando el referido es más pequeño que el referente. En estos dos casos se pueden encontrar distintas variantes según la cantidad que se busque para resolver el problema (referido, relación o referente).

- ESTRUCTURAS MULTIPLICATIVAS  Proporcionalidad:

(16)

16

 Comparación:

Cuando se compara se pueden dar dos casos diferentes: cuando la cantidad es “n veces más que” o cuando es “n veces menos que”. En cualquiera de los dos casos las respuestas que se pueden pedir al alumnado siempre serán las mismas: encontrar al referido, al referente o a la relación.

Se puede observar en esta explicación que existen varias incógnitas para cada tipo de problema, pues bien, la dificultad que tiene el alumnado para resolver los problemas radica en estas incógnitas, siéndoles unas más fáciles de resolver que otras. Por ejemplo, los problemas de estructura aditiva siempre van a ser más fáciles que los de estructura multiplicativa, y dentro de los primeros, es más fácil cuando se pregunta por una cantidad final o el conjunto de varias partes que los demás casos.

A modo de conclusión de este apartado, todas estas consideraciones matemáticas que he ido enunciando (los diferentes tipos de problemas, las distintas estrategias de resolución y las dificultades existentes), son la única forma de comprender de una manera profunda, concreta y acertada cómo resuelven los niños los distintos problemas matemáticos de estructura aditiva y multiplicativa así como los errores y dificultades que tienen.

Sin embargo, para realizar el análisis de todos los datos recopilados y a la hora de interpretar los resultados obtenidos, me voy a centrar en el apartado del marco teórico correspondiente a Castro debido a que esta clasificación es la más completa y la que más refleja todas las posibilidades a la hora de la resolución y las estrategias utilizadas por los y las discentes.

3. OBJETIVOS

(17)

17

4. METODOLOGÍA

4.1. RECOGIDA DE DATOS

Durante todo el proceso de investigación se ha trabajado con alumnos y alumnas de Tercer y Cuarto Curso de Educación Primaria del C.E.I.P. Fernando de Loaces de Orihuela, es decir, discentes de entre 8 y 10 años de edad. Estos cursos se han escogido con el fin de centrarnos más en la estructura aditiva con el alumnado de Tercero y en la estructura multiplicativa con el alumnado de Cuarto, ya que los más pequeños no tienen afianzado los algoritmos de la multiplicación y la división, al contrario de los más mayores, que tienen la adición y la sustracción perfectamente superada y están trabajando con el resto de algoritmos.

Para llevar a cabo este trabajo de investigación de una forma concreta y detallada hemos llevado a cabo dos fases:

 Fase 1: Prueba objetiva de diagnóstico

 Fase 2: Pruebas específicas. Identificación de estrategias de resolución.

FASE 1: PRUEBA OBJETIVA DE DIAGNÓSTICO

Para realizar esta fase, primeramente, se envió un comunicado a los padres y madres solicitando permiso para realizar el estudio a sus hijos e hijas. Una vez recogidas todas las autorizaciones firmadas se procedió a hacer la prueba a todos estos/as discentes permitidos, siendo un total de 13 en Tercer Curso y 15 en Cuarto Curso.

(18)

18

Los objetivos son:

1. Recopilar información sobre los conocimientos del alumnado.

2. Conocer las diferentes estrategias de resolución que utilizan los discentes.

Esta selección de los/as discentes se realiza en base a una tabla (Anexo 3), donde se recoge de forma esquemática los resultados obtenidos de la prueba, centrándonos en el porcentaje de aciertos que tienen además de las distintas peculiaridades encontradas en la resolución de los problemas, escogiendo así a tres alumnos/as de cada curso de la siguiente manera:

- Más del 90% de aciertos

- Entre el 50 y el 90% de aciertos - Menos del 50% de aciertos

FASE 2: PRUEBAS ESPECÍFICAS. IDENTIFICACIÓN DE ESTRATEGIAS

Para realizar esta fase ya se ha escogido los alumnos y alumnas con los que se va a trabajar, y ahora se procede a estudiar cada caso minuciosamente para realizar las preguntas más óptimas para la entrevista personal.

Las pruebas específicas a los alumnos de Tercer Curso se han centrado fundamentalmente, en base a los resultados de la prueba anterior, en los problemas de estructura aditiva, debido a que el tema de estructura multiplicativa, en el momento en que se ha realizado la prueba, prácticamente se estaba iniciando y más del 80% han tenido dificultades en los problemas multiplicativos y, por lo tanto, los resultados obtenidos en la prueba objetiva no eran del todo significativos para este trabajo de investigación.

(19)

19

Para las pruebas específicas (vídeos Anexo 5 - CD) todos los alumnos/as tienen a su disposición la hoja con el enunciado donde pueden responder, folios aparte, lápices de colores y fichas de colores para poder utilizarlos en sus respuestas pudiendo trabajar con distintas estrategias de resolución.

Respecto a las preguntas realizadas en las pruebas específicas, tanto para el alumnado de Tercer Curso como para el de Cuarto Curso se ha utilizado la misma metodología:

 Realizar el problema como supieran.  Otra forma de resolverlo.

 Cambio del enunciado o de los datos (a aquellos que tenían dificultades).  Otra vez el problema inicial (a aquellos que tenían dificultades).

Para el alumnado de Tercer Curso se han escogido dos problemas de estructura aditiva (los problemas 3 y 8 de la prueba objetiva) y para los de Cuarto Curso se han escogido tres problemas de estructura multiplicativa (problemas 2, 4 y 10 de la prueba objetiva) debido a que había disparidad de respuestas entre los seleccionados. A los alumnos se les pedía que volvieran a resolver el problema y, si lo resolvían igual que en la prueba se les pedía que lo resolviesen de alguna otra forma, incluso ayudándose con materiales y recursos (dibujos, fichas, dedos, otros algoritmos…); y si lo resolvían de alguna otra forma diferente a como lo habían resuelto en el problema inicial de su prueba objetiva, entonces intentaba que me explicaran por qué lo habían resuelto así. En el caso de los alumnos que tenían dificultades para resolverlo, yo les cambiaba el enunciado o los datos de este de manera que les resultase más fácil, por ejemplo, en el caso del Niño 11 de Tercero en el problema 8 se le cambió el enunciado donde se detectó que no lo entendía quedando:

“Susana y Paula quieren intercambiar sus cromos de moda. Paula tiene 28 cromos y Susana tiene 13 cromos menos que Paula. ¿Cuántos cromos tiene Susana?”

O en el caso del ejercicio de “3 veces más que” se les cambiaba la expresión por “el

triple” de forma que lo entendiesen mejor o se les cambiaban las cantidades por otras

menores como el 12, que es un número fácil para reconocer la tercera parte. Después, si lo hacían bien con el nuevo enunciado, les volvía a pedir que resolviesen el problema inicial para ver si habían comprendido el proceso.

(20)

20

hecho unas fichas que identifican todas las posibles estrategias que se pueden utilizar junto con un ejemplo de cómo se haría y qué se haría.

PROBLEMA 2

ESTRATEGIA CÓMO SE HARÍA QUÉ SE HARÍA

MODELIZACIÓN: Agrupamiento oooooo oooooo oooooo oooooo Darío tiene 24 cromos. oooo oooo oooo oooo oooo oooo Raquel tiene 24 cromos.

Hace los montones y después cuenta todas las fichas.

CONTEO: Para problemas de multiplicación 6, 12, 18, 24. Darío tiene 24 cromos. 4, 8, 12, 16, 20, 24. Raquel tiene 24 cromos. Cuentan de n en n. HECHOS NUMÉRICOS

4 x 6 = 24 Darío tiene 24 cromos. 6 x 4 = 24 Raquel tiene 24 cromos.

(21)

21

PROBLEMA 3

ESTRATEGIAS CÓMO SE HARÍA QUÉ SE HARÍA

MODELIZACIÓN:

Añadir hasta 33, 34, 35, 36, …, 56,

57.

La máscara cuesta 24 euros.

Pone la otra parte como una cantidad inicial y va añadiendo hasta llegar al total. Luego cuenta las que ha añadido.

Quitar 57 menos 33. La máscara cuesta 24 euros.

Representa la cantidad mayor y quita la menor. Luego cuenta lo que ha quedado.

Quitar hasta 57, 56, 55, …, 34, 33.

Representa la cantidad mayor y luego va quitando la cantidad menor. La respuesta es el número de fichas que ha quitado.

Ensayo y error 33 + 10 = 43 ; 33 + 20 = 53 ; 33 + 24 = 57 ;…

Va haciendo diferentes estimaciones hasta conseguir el número apropiado.

CONTEO:

Contar desde el primero 57, 56, 55, …, 25, 24.

Cuenta desde el primer número que aparece en el enunciado hasta que la cantidad de números recitados coincide con el segundo.

Contar desde el mayor 57, 56, 55, …, 25, 24.

Cuenta desde el mayor hasta que la cantidad de números recitados coincide con el número menor.

Contar hasta 33, 34, 35, …, 56, 57.

Desde el más pequeño hasta el mayor. La solución es la cantidad de números recitados.

Conteo regresivo 57, 56, 55, …, 25, 24.

Desde el mayor hasta que la cantidad de números recitados coincide con el menor.

Conteo regresivo hasta 57, 56, 55,…, 34, 33.

(22)

22

PROBLEMA 8

ESTRATEGIAS CÓMO SE HARÍA QUÉ SE HARÍA MODELIZACIÓN:

Añadir hasta

13, 14, 15,…, 28. Susana tiene 15 cromos.

Representa 13 como cantidad inicial y va añadiendo hasta el total. Después cuenta los añadidos.

Quitar

28, 27, 26,…., 13, Susana tiene 25 cromos.

Representa el total y quita 13. Después cuenta las fichas que quedan.

Quitar hasta

Representa la cantidad mayor y va quitando hasta tener la cantidad menor. Después cuenta la cantidad quitada

Ensayo y error

CONTEO:

Contar desde el mayor

El conteo termina cuando la cantidad de números recitados coincide con el menor sumando.

Contar hasta

El conteo termina cuando la cantidad de números recitados coincide con el mayor sumando.

Conteo regresivo

Desde el mayor hasta que la cantidad de números recitados coincide con el menor.

Conteo regresivo hasta

Desde el mayor hasta el menor. la solución es la cantidad de números recitados.

HECHOS NUMÉRICOS:

Uso de dobles

13 y 13 son 26 y 2 más son 15. Tiene 15 cromos.

Utiliza el doble de uno de los números del enunciado y añade lo que falta para saber la respuesta.

(23)

23

4.2. ANÁLISIS DE LOS DATOS

Las pruebas objetivas se han analizado con una tabla de doble entrada (Anexo 3) en la que se identifica todos los problemas, ya que eran los mismos para los alumnos de los dos cursos, diferenciando los de estructura aditiva y multiplicativa y ordenados por orden de dificultad, y todos los niños del Tercer y Cuarto Curso, de forma que me permitía observar globalmente cada resultado de cada niño e, incluso, poder comparar entre cursos para ver si había una gran diferencia entre las estructuras aditiva y multiplicativa.

Por otra parte, las pruebas específicas se han analizado observando minuciosamente los vídeos realizados durante estas pruebas (Anexo 5 - CD), lo cual me posibilitaba ampliar la información de los datos recogidos, a su vez, en una tabla de doble entrada (Anexo 6) en la que se identifica todos los problemas realizados por cada uno de los niños en las pruebas específicas, y todas las estrategias de resolución posibles, según el marco teórico, para la resolución de los problemas de estructura aditiva y multiplicativa. De esta forma, me ofrecía una visión global sobre las diferentes estrategias de resolución que había utilizado cada niño para cada problema. Además, me permitía diferenciar y comparar las diferentes estrategias utilizadas entre los niños de Tercer y Cuarto Curso.

5. RESULTADOS

1. Resultados procedentes del análisis de las pruebas objetivas:

(24)

24

estructura aditiva la tenían completamente asentada ya que el 100% del total han superado la parte sin haber apenas diferencia de porcentajes entre los diferentes problemas, al contrario que en la parte de estructura multiplicativa, la cual han superado el 40% del total, aunque sí se puede apreciar una disparidad bastante importante entre los diferentes problemas. Estos porcentajes argumentan el porqué de mi decisión sobre trabajar la estructura aditiva en las pruebas específicas de Tercero y la estructura multiplicativa en las pruebas específicas de Cuarto Curso.

Centrándonos ahora en cada problema de la prueba objetiva, los problemas que han resultado más sencillos para el Tercer Curso son:

 En la parte de estructura aditiva:

 Cambio decreciente con incógnita en cantidad de cambio (problema 9): El 92% ha respondido correctamente.

Andrés tenía 59 euros y se ha comprado un libro de chistes y otro de adivinanzas. Si ahora le quedan 38 euros, ¿cuánto ha gastado?

Nivel 2

 Cambio creciente con incógnita en cantidad inicial (problema 1): El 92% ha respondido correctamente.

Raúl va a celebrar su fiesta de cumpleaños y necesita 75 globos para decorar su casa. Solo le faltan 15 globos. ¿Cuántos globos tiene?

Nivel 3  En la parte de estructura multiplicativa:

 Proporcionalidad simple de multiplicación (problema 2): El 69% ha respondido correctamente.

(25)

25

Los problemas que les han resultado más complejos son:

 Comparación creciente “más que” con la incógnita en la cantidad de referencia (problema 8): El 61% ha respondido correctamente.

Susana y Paula quieren intercambiar sus cromos de moda, pero Paula tiene 13 cromos más que Susana. Si Paula tiene 28 cromos, ¿cuántos cromos tiene Susana?

Nivel 4  En la parte de estructura multiplicativa:

 Comparación multiplicativa “veces más que” con la incógnita en la cantidad referente (problema 4): El 0% ha respondido correctamente.

Juan tiene algunas canicas y Pedro tiene 54 canicas, que son 3 veces más que las de Juan. ¿Cuántas canicas tiene Juan? (Dificultad mayor)

En el caso de Cuarto Curso, los problemas que les han resultado más sencillos son:

 Cambio decreciente con incógnita en cantidad de cambio (problema 9): El 100% ha respondido correctamente.

Andrés tenía 59 euros y se ha comprado un libro de chistes y otro de adivinanzas. Si ahora le quedan 38 euros, ¿cuánto ha gastado?

Nivel 2

 Combinación con incógnita en la parte (problema 3): El 100% ha respondido correctamente.

Un disfraz de Halloween con la máscara cuesta 57 euros. Si el disfraz cuesta 33 euros, ¿cuánto cuesta la máscara?

(26)

26

 Comparación decreciente “menos que” con incógnita en la cantidad comparada (problema 5): El 100% ha respondido correctamente.

Pablo tiene 8 rotuladores menos que Ana, que tiene 26. ¿Cuántos rotuladores tiene Pablo?

Nivel 3

 En la parte de estructura multiplicativa:

 Proporcionalidad simple de multiplicación (problema 2): El 93% ha respondido correctamente.

Darío ha colocado sus cromos de animales en 4 montones de 6 cromos cada uno, y Raquel ha agrupado los suyos en 6 montones de 4 cromos cada uno. ¿Cuántos cromos tiene Darío y cuántos tiene Raquel? (Dificultad menor)

Por otro lado, los que les han resultado más complicados han sido:

 Comparación creciente “más que” con la incógnita en la cantidad de referencia (problema 8): El 73% ha respondido correctamente.

Susana y Paula quieren intercambiar sus cromos de moda, pero Paula tiene 13 cromos más que Susana. Si Paula tiene 28 cromos, ¿cuántos cromos tiene Susana?

Nivel 4  En la parte de estructura multiplicativa:

 El problema de comparación multiplicativa “veces menos que” con incógnita en el escalar (problema 7): El 7 % ha respondido correctamente.

(27)

27

Todos estos porcentajes confirman la teoría de Castro (2008), quien clasifica el problema 9 en un nivel 2 de dificultad, de ahí los tan buenos resultados en las pruebas, los problemas 1, 3 y 5 en un nivel 3 y el problema 8 en un nivel 4 de dificultad, con lo cual se entiende la varianza en los resultados entre estos problemas en el Tercer Curso y la absoluta destreza en el Cuarto Curso. Y en el caso de la estructura multiplicativa, el problema 2 como el de menor dificultad, de ahí que despunte el porcentaje de aciertos en los dos cursos, sobre todo en Tercero; el problema 6, de proporcionalidad simple de división – medida, en un nivel medio, por lo que ronda el 50% en los dos cursos, por debajo con un 46% en Tercero y por encima con un 67% en Cuarto, y los problemas 4, 7 y 10, este último de producto cartesiano con la incógnita de cantidad compuesta, como los de mayor dificultad por lo que los porcentajes de aciertos no sobrepasa del 40% en el mejor de los casos en ambos cursos.

b) Grosso modo, ya que en una prueba escrita donde la mayoría del alumnado responde con un algoritmo simple sin dar explicaciones de su respuesta y sin un indicio con el que se pueda identificar la estrategia que ha utilizado, las estrategias de resolución más utilizadas han sido, en el caso de la estructura aditiva, la estrategia de conteo “contar hasta”

(28)

28

Esta visualización global de las estrategias utilizadas para la prueba objetiva, aunque no sea una información objetiva y específica de las estrategias que realmente utilizan puesto que esto se identifica con la explicación de los pasos que siguen, se confirma, en primera instancia, los argumentos de Castro (2008) que indican que mientras en la estructura aditiva sí se pueden identificar ciertas estrategias de resolución, en los problemas de la estructura multiplicativa, en su mayoría, no se da ninguna estrategia de resolución concreta, sino que los discentes se apoyan en sus conocimientos previos de las tablas de multiplicar, lo cual no es una estrategia en sí , sino un apoyo matemático para resolver un algoritmo.

c) Hay ciertas cuestiones que me han llamado la atención a la hora de analizar las pruebas objetivas:

(29)

29

- Muchos alumnos entienden el concepto “veces más/menos que” como “más/menos que”, realizando una suma o una resta en vez de una multiplicación o una división.

- Sólo una niña entre los dos cursos utiliza distintas estrategias de resolución en diferentes problemas, incluso, explicando lo que realiza. Por ejemplo: en el problema 2 ha hecho una mezcla entre modelización y uso de dobles (hechos numéricos) representando con imágenes y flechas lo que ha ido haciendo;

(30)

30

2. Resultados procedentes del análisis de las pruebas específicas:

a) Después de analizar las pruebas objetivas, se han llevado a cabo las pruebas específicas realizadas a tres niños seleccionados de cada curso. En el transcurso de las mismas se ha podido visualizar si todo aquello que habíamos analizado anteriormente se confirmaba o se desmentía con el análisis específico y detallado de algunos de los problemas más complicados de la prueba anterior.

(31)

31

Los alumnos de Tercero, en el problema 3 no han tenido ninguna dificultad en esta ocasión identificando rápidamente la operación que debían hacer y realizándola, incluso, con diferentes estrategias: quitar y contar hasta.

A: Un disfraz de Halloween con la máscara cuesta 57 euros. Si el disfraz cuesta 33 euros, ¿cuánto cuesta la

máscara? […]

A: Con las fichas sí que sé.

A: Diez, veinte, treinta, cuarenta, cincuenta. Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis y siete. Aquí tengo 57 y le tengo

que quitar 33.

P: ¿A ver cómo son 57?

A: Pues son, las rojas son de diez y las azules son de uno. P: Ahh vale.

[…]

A: Sí. Veinte, treinta, cuarenta, cincuenta… Sí, aquí tengo cincuenta y siete.

A: Le quito aquí diez, otros diez y otros diez, que me daría treinta, y le quito tres. Una, dos y tres. Me queda

diez, veinte, (pausa) veintiuno, veintidós, veintitrés y veinticuatro. Sí, ahora sí. […]

A: Pues me colocaría en mi cabeza 57 menos 33 y después haría, […]de 3 a 7 van 4, y de 3 a llegar a 5 son dos. Y me da 24.

En el problema 8, dos de ellos no han tenido ninguna dificultad para resolverlo mediante diferentes estrategias, lo contrario a la prueba objetiva donde no lo habían sabido resolver, pero hay uno que ha seguido teniendo el mismo error entendiendo la expresión “más que” de los problemas de comparación como una suma. El hecho de que este último niño haya tenido errores en la resolución del problema 8 me lleva a confirmar, aunque quizá no sea demasiado objetivo, que el problema 8, del nivel 4 en la tabla de dificultad de Castro (2008), es el problema de la parte de estructura aditiva que más errores y dificultades plantea al alumnado, de ahí el menor porcentaje de aciertos en la prueba objetiva.

(32)

32

Prueba específica:

Los alumnos de Cuarto, por el contrario, me han permitido valorar con más exactitud cuáles han sido los problemas que mayor y menor dificultad les han supuesto. Estos han tenido en cada problema los mismos errores y dificultades que en la prueba objetiva (los cuales veremos en el siguiente párrafo), lo que me lleva a confirmar la dificultad de los mismos, a excepción de uno de los tres alumnos, quien ha resuelto en las dos pruebas todos los problemas correctamente, por lo que con él no he pretendido analizar los errores y dificultades, sino las estrategias utilizadas. El problema 2 lo han respondido correctamente todos ellos en esta prueba, lo cual confirma que sea el problema de menor dificultad y el elevado porcentaje de aciertos.

(33)

33

Prueba específica niño 6:

(34)

34

En cambio, los problemas 4 y 10 sí han supuesto bastantes dificultades para los discentes, incluso después de guiarlos con cambios de enunciados y de datos y con distintas estrategias de resolución, lo cual, al igual que el anterior, también confirma que sean dos de los problemas de mayor dificultad.

Prueba específica niño 11:

P: ¿De qué otra forma lo podríamos hacer? Lo puedes hacer con las fichas o con lo que tú quieras.

A: Con las fichas. Tendría una camiseta azul, una roja, una verde y una amarilla. Y las faldas serían dos

verdes, una roja, una amarilla y una azul. Y Nerea le puede poner la camiseta […]

P: Entonces de cuántas formas se puede vestir? Cuéntalas.

A: Esta camiseta con esta falda, esta otra con esta falda, esta con esta, y esta con esta, y me sobra una camiseta

que la puedo poner otro día con otra falda.

P: Entonces ¿cuántas formas serían en total? A: Cinco formas.

Niño 2:

Prueba objetiva:

Prueba específica:

A: 54 por 3. Porque dice que tiene tres veces más que Juan […] Y luego le quito a 162, 54, porque Juan tiene

(35)

35

Niño 11:

Prueba objetiva:

Prueba específica:

A: 54 menos 30, (le pregunto por qué) ahh no, menos 3. (lee el problema otra vez) Ahh, que a 54 le tendría que

sumar 3.

P: Si yo te digo que tres veces más es el triple, […] entonces ¿cuántas tiene Juan?

A:84, porque como tú has dicho 3, entonces sería que cada uno de esos tres tiene diez, las tres veces. (lo hacemos con números más pequeños y luego volvemos al ejercicio y realiza 54 menos 30)

(36)

36

realiza varias estrategias, sobre todo de conteo, con el fin de intentar llegar a la solución correcta, pero no como conocimiento asentado de diferentes estrategias.

1. Como Paula tiene 28 y tiene 13 más que

Susana, entonces se suma. (estrategia: contar

desde el mayor)

2. (le doy la vuelta al enunciado) Paula tiene

28 cromos, y Susana tiene 13 cromos menos que Paula ¿Cuántos cromos tiene Susana?

(responde correctamente) 28 menos13

(estrategia: contar hasta)

3. (le expongo el problema con números pequeños) Yo tengo 4 cromos, que son 2 más

que los tuyos. ¿Cuántos cromos tienes tú?

(Primero realiza una suma pero después rectifica y realiza una resta) (se lo expongo con fichas) Si tú tienes dos más que yo y tú tienes 4,

yo tengo 2.

(volvemos al ejercicio principal realizándolo con fichas. Esta vez sí comprende, aunque después de varios intentos, que se realiza una resta) Yo: Entonces ¿qué hemos hecho? Alumno: Restar 13 de los que tiene Paula

(37)

37

Alumno: 6 y 6, 12, y otros dos 6 igual a 12. 12 más 12 igual a 24.

En el caso de los problemas 4 y 10, todos los niños utilizan varias estrategias para cada ejercicio, ya sea que lo hayan resuelto bien pero con diferentes estrategias (niño 6): con hechos numéricos y por modelización utilizando las fichas en el caso de problema 10 para explicar las combinaciones; o que hayan utilizado diferentes estrategias para intentar realizarlo de forma correcta, ya que los otros dos han fallado en ambos problemas. Entre las diferentes estrategias utilizadas para estos dos últimos problemas destacan, sobre todo, la de modelización: correspondencia uno a uno para el problema 10 realizada por todos los discentes, la de conteo: contar desde el primero para el problema 4 (estas dos correspondientes a la estructura aditiva según el marco teórico) y la de modelización: agrupamiento.

(38)

38

numéricos, es decir, los conocimientos previos sobre las tablas de multiplicar y los algoritmos de multiplicación y división. Pero se ha podido comprobar que sí utilizan otras estrategias para la resolución de los problemas, como por ejemplo diferentes estrategias de modelización y el ensayo y error.

c) Los errores más comunes que se han podido observar a lo largo de las pruebas específicas son algunos como:

 Tal y como expone Castro (2008) en la tabla de niveles de dificultad para los problemas de estructura aditiva, los problemas de comparación creciente y decreciente “más que” y “menos que” tienen una clara diferencia de dificultad (comparación creciente del nivel 4 y comparación decreciente del nivel 3) según se ha podido observar tanto en las pruebas objetivas como en las específicas, debido a que, en el caso del problema de comparación decreciente se entendía la expresión “más que” como una suma sin entender de ninguna forma el significado real del enunciado.

 En el caso del problema 4: comparación multiplicativa “veces más que”, la mayor parte del alumnado entiende “tres veces más” como “tres más” o “tres decenas más”, sin comprender, incluso cambiándole la expresión por “el triple”, que deben multiplicar por tres la cantidad que se les muestra.

 A este caso anterior se le añade una dificultad mayor cuando se le pregunta por el escalar, problema en el cual solo tres alumnos entre los dos cursos han sabido responder correctamente.

d) En estas pruebas específicas ha habido ciertos aspectos que me han llamado la atención en lo que se refiere a la forma de la resolución de los problemas:

 El caso de una niña que para realizar la estrategia de modelización con las fichas, utiliza los distintos colores de estas para diferenciar entre decenas y unidades al hacer el recuento, al contrario del resto de sus compañeros quienes utilizaban cada ficha como una unidad.

(39)

39

7. CONCLUSIONES

Con los resultados obtenidos en base a las estrategias de resolución utilizadas por los discentes, se puede concluir en que los niños saben llevar a cabo diferentes tipos de estrategias siempre que se les facilite el material oportuno y necesario. Además, quisiera resaltar que en el caso de la estructura aditiva, el alumnado utiliza las estrategias propuestas por Castro (2008) debido a que hay una gran variedad entre la que elegir o, más bien, que abarca todas las posibilidades que se pueden realizar para resolver un problema de esta índole. Pero en el caso de la estructura multiplicativa discrepan la realidad escolar y la teoría puesto que, según Castro (2008), para la mayoría de los problemas de esta estructura ni existen diferentes estrategias de resolución, pero se ha comprobado con las pruebas objetivas y específicas que en la realidad escolar sí se utilizan una gran variedad de estrategias de resolución. Es más, se puede observar claramente que, en ocasiones, no existe diferencia alguna entre las estrategias de resolución de la estructura aditiva y multiplicativa, es decir, que se utilizan ambas estrategias para resolver los problemas de estructura multiplicativa ya que estos, a veces, son sumas o restas reiteradas, con lo que también estamos ante una estructura aditiva y por lo tanto ante toda la variedad de sus estrategias.

(40)

40

8. LIMITACIONES Y EXPECTATIVAS FUTURAS

A lo largo de este trabajo de investigación se han surgido algunas líneas abiertas de investigación que pueden resultar interesantes para futuros trabajos como, por ejemplo, el uso de materiales tangibles en las aulas de Educación Primaria como punto de apoyo en los problemas matemáticos, o el condicionamiento de la estructura de los enunciados en los problemas matemáticos para la resolución de los mismos.

Pero, a parte de estas expectativas futuras, a lo largo del presente trabajo de investigación ha habido ciertas limitaciones y dificultades que, en caso contrario, hubieran supuesto una mejora en los datos, los análisis y los resultados obtenidos. Algunas de estas son tales como:

 Haber elegido otro tipo de problemas que hubieran enriquecido el trabajo.

 Haber planteado las pruebas específicas de forma que hubiera incentivado a utilizar una mayor variedad de estrategias de resolución.

 Haber tenido más variedad de recursos preparados para los posibles contratiempos en las pruebas específicas como, por ejemplo, otros problemas preparados por si ocurría, como fue el caso, de hacer correctamente y sin utilizar muchas estrategias de resolución, los problemas que en las pruebas objetivas habían realizado con dificultades.

 Algunos de estos problemas, a la vista de las pruebas específicas, han resultado muy sencillos.

 Yo he condicionado mucho a la hora de utilizar diferentes estrategias de resolución en las pruebas específicas individualizadas.

9. BIBLIOGRAFÍA

 Fraile, J. (2009). Matemáticas 3. Segundo Ciclo. Tercer Curso. Barcelona, España: Vicens Vives.

 Fraile, J. (2009). Matemáticas 3. Segundo Ciclo. Tercer Curso. Actividades. Barcelona, España: Vicens Vives.

 García, M., Martínez, M.J., Santiago, M. y Villarino, J.A. Matemáticas. Tercer Curso

(41)

41

 Castro, E., Castro, E., Rico, L., Gutiérrez, J., Tortosa, A., Segovia, I., González, E., Morcillo, N. y Fernández, F. (1998). Problemas aritméticos compuestos de dos relaciones. (Seminario CIEM). Dpto. Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada.

 Castro, E. (2008). Adición y sustracción. En C. Maza. (Ed.), Didáctica de la

matemática en la Educación Primaria. (pp. 177 – 202). Madrid, España: Síntesis Educación.

 Castro, E. (2008). Multiplicación y división. En E. Castros (Ed.), Didáctica de la

matemática en la Educación Primaria. (pp. 203 – 230). Madrid, España: Síntesis Educación.

 Belmonte, J.M., Bolon, J., Chamorro, M.C., D’Amore, B., Ruiz, L., Sánchez, M.V., Vecino, F. y Vergnaud, G. (2001). Problemas aditivos y multiplicativos. En G. Vergnaud. (Ed.), Dificultades del aprendizaje de las matemáticas (pp. 189 – 228). Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, Subdirección General de Información y Publicaciones.

 Dickson, L., Brown, M. y Gibson, O. (1991). El aprendizaje de las matemáticas. Barcelona, España: Editorial Labor, S.A.

10. ANEXOS

 Anexo 1: autorización  Anexo 2: prueba objetiva

 Anexo 3: tabla resultados prueba objetiva

 Anexo 4.1.: resultados prueba objetiva niños seleccionados tercero (niño 8)  Anexo 4.1.: resultados prueba objetiva niños seleccionados tercero (niño 11)  Anexo 4.1.: resultados prueba objetiva niños seleccionados tercero (niño 5)  Anexo 4.2.: resultados prueba objetiva niños seleccionados cuarto (niño 2)  Anexo 4.2.: resultados prueba objetiva niños seleccionados cuarto (niño 6)  Anexo 4.2.: resultados prueba objetiva niños seleccionados cuarto (niño 11)  Anexo 4.3.: resultados prueba objetiva niños no seleccionados tercero  Anexo 4.4.: resultados prueba objetiva niños no seleccionados cuarto  Anexo 5: vídeos pruebas específicas