Distribució dels estadístics mostrals

4.1. Distribució de la mitjana mostral 4.2. La distribució t-Student

4.3. Intèrval de confiança 1-α per la µ 4.4. La llei de Chi-Quadrat

4.5. Distribució de la variança mostral 4.6. Intèrval de confiança 1-α per la σ

²

En acabar aquest tema seràs capaç de:

1. Deduir la distribució de la mitjana mostral i de la variança mostral i saber identificar les seves implicacions.

2. Calcular probabilitats sobre la mitjana o la variança mostral.

3. Estimar puntualment i per interval de confiança la mitjana i la variança de la població a partir de les dades d'una mostra.

4. Enumerar les característiques de les distribucions t-student, Chi-quadrat i F-Snedecor.

5. Demostrar com es distribueix la diferència de dos mitjanes o el

quocient de dues variances.

Concepte intuitiu de mostra aleatòria simple (m a s ) Distribució d’estadístics mostrals en m.a.s

na

Concepte intuitiu de mostra aleatòria simple (m.a.s.)

strial de Barcelon

Població Mostra

Enginyeria Indusstica de l’ETS d’E

m.a.s.: Tot element de la població té la mateixa probabilitat de ser escollit per formar part de la mostra

fessors d’estadís

Y₁, Y₂, ..., Y_n són INDEPENDENTS

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 2

Distribució de mitjanes i variances  ^y

f

na

Població

y

Mostres aleatòries



strial de Barcelon y

1n 12

11

, Y , ..., Y Y

2n 22 21

, Y , ..., Y Y

2

S

1 2

S

2

Y1

o Y2

o

Enginyeria Indus







2n 22 21

, , ,







2 2

stica de l’ETS d’E

Kn K2 K1

, Y , ..., Y Y

?

2

S

K

?

YK

o

fessors d’estadís

0 ?  ?

S2 S2

?

?



?



?

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 3

S2 S2

?



?

_{y y}

Exemple introductori: distribució de l’alçada de persones

M t 1 M t 2 M di t l

na

Muestra 1 Muestra 2 Medias muestrales

183,7 171,9 170,9

178,5 188,5 172,8

160,0 168,3 169,5

171,9 176,4 168,8

176,6 173,0 171,1

160 0 171 0 171 1

strial de Barcelon 160,0 171,0 171,1

174,3 161,8 172,5

160,0 169,2 170,4

170,1 169,0 170,5

170,1 177,6 170,7

160,3 165,5 172,4

165 5 171 7 169 6

Enginyeria Indus 165,5 171,7 169,6

172,3 181,9 ... 169,7

176,5 173,7 166,7

175,5 185,5 170,6

173,8 169,1 169,8

181,1 184,0 171,2

166,7 163,0 169,4

stica de l’ETS d’E , , ,

166,3 153,8 170,4

174,0 186,5 168,7

173,4 167,9 170,7

171,6 176,0 173,6

174,0 171,0 168,2

173,2 177,5 171,5

fessors d’estadís

162,2 165,7 170,7

Mitjana = 170,9 Mitjana = 172,8

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 4

Exemple introductori: distribució de l’alçada de persones

na

Les mitjanes de mostres de 25 individus

strial de BarcelonEnginyeria Indus

160 170 180

Els 25 valors d’una de les mostres

stica de l’ETS d’E Els 25 valors d una de les mostres

Hi ha més dispersió en els valors individuals que en

fessors d’estadís Hi ha més dispersió en els valors individuals que en

les mitjanes mostrals

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 5

Exemple introductori: distribució de l’alçada de persones

na

Distribució de l’alçada mitjana de mostres de tamany 25

strial de Barcelon

25

Y₂₅~ N(170; 1,6)

Enginyeria Indus 20

15

Distribució d’alçades individuals Y ~ N(170; 8)

stica de l’ETS d’E

10

5

fessors d’estadís

2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 0

Altura

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 6

Si i (Y Y Y Y ) d

Distribució de la mitjana mostral

 ^{ ; } 

N

~ Y

na

Sigui (Y₁, Y₂, Y₃, ..., Y_n) una m.a.s. de

Com que sóc una c.l. de v.a. que segueixen una normal també

 

i

1 Y + Y + + Y

Y =

= Y ¦

 ^{ ; } 

N

~ Y

strial de Barcelon segueixen una normal, també

sóc normal



1 2 n



i

Y + Y + ... + Y

= n

= n Y ¦

Enginyeria Indus

Esperança matematica de Y

P P



 P



P ... ) n (

) 1 Y ( E

n cops

stica de l’ETS d’E

n

Variança de Y _{n cops}

fessors d’estadís

n n ) ...

n ( ) 1 Y (

V

_Y

2 2

2 2 2

V V V Ÿ

V



 V

 V

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 7

Distribució de mitjanes i variances  ^y

f

na

Població m.a.s. (tamany n)

Fins i tot si  ^y

f



strial de Barcelon Fins i tot si

les dades originals no

1 1n

12

11

, Y , ..., Y Y

Y o

Y Y

Y

Y o



Enginyeria Indus







segueixen una normal, les mitjanes

2 2n

22

21

, Y , ..., Y Y

Y o

stica de l’ETS d’E

sí (a partir d’un cert valor de n),

K Kn

K2

K1

, Y , ..., Y Y

Y o

¸¹

¨ ·

©

§ n

; 

 N

~ Y

fessors d’estadís valor de n),

pel teorema central del límit

n V



© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 8 límit



Activitat: Cas Mercamona (1ª part)

Mercamona produeix sacs de terra per a gats amb un pes que es distribueix segons una llei N(10kg; 0.25kg) on els sacs passen un estricte control de qualitat. El control

consisteix en prendre una mostra de 4 sacs a l’atzar de cada lot produït i pesar-los. Es produeix un lot cada hora, així es van recollint mostres de 4 sacs cada hora.

Quina és la probabilitat de que el pes promig dels quatre sacs estigui per sobre de 10.38 kg.?

I la probabilitat de que més d’una mitjana del pes dels quatre sacs de 5 mostres consecutives estigui per sota de 9.755 Kg o per sobre de 10.245 Kg?

Distribució de la mitjana mostral

·

§

na

és el millor estimador puntual de

Y 

El barret indica que

¸ ¹

¨ ·

©

§ n

; 

 N

~ Y Y

=

 ˆ

strial de Barcelon

és un estimador

Per què?

Y

=



Enginyeria Indus Per què?

1. És no esbiaixat.

^{E   Y = }

stica de l’ETS d’E

2. És consistent

^lim

_nof

^{V   Y = lim}

_nof

^ _n

²

^{= 0}

fessors d’estadís© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 12

La distribució t-Student

Jo em vaig

na

Jo em vaig inventar la distribució t-Student

   

 Y



1

; 0 N

 ~

 -

= Y Z



;

 N

~ Y

·

§

o

strial de Barcelon

William Gosset (1876 – 1937)

  ^{0 ; 1}

N

~ n



 -

= Y Z n

;  N

~

Y ¸ o

¹

¨ ·

©

§

Enginyeria Indus

Si V es desconeguda i s’estima mitjançant una mostra de tamany n:

 

²

stica de l’ETS d’E

 

1 - n

y -

= y llibertat de

graus

quadrats de

= suma s

2

¦

i

fessors d’estadís

Quina és la distribució de i de ? s

 -

= Y t

n s

 -

= Y t

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 13

n

4.2 La distribució t-Student

La distribució t-Student

na

3REODFLµ ^S’estima mitjançant s, ^V calculada en una

d t

V

 ^y

f

strial de Barcelon

<_

<

m.a.s. de tamany n

<_ W_

W P

s

 -

=Y t₁ ¹

 Y

y

Enginyeria Indus





<_{ <}



W_

s

 -

=Y t₂ ²

  ^t

f

stica de l’ETS d’E 

<_.

"

s

 -

=Y t_K ^K

Y

t

fessors d’estadís

Les Y_ii s són independents

s

 -

=Y

t ⁱ

t

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 14

Tenim una mostra de 5 elements: 3 4 5 6 7

Per què els graus de llibertat es diuen graus de llibertat?

na

Tenim una mostra de 5 elements: 3, 4, 5, 6, 7

Sempre s’acompleix:

y - y = 0

n

1 i

㺌

i

strial de Barcelon

0

= 5) - (7 + 5) - (6 + 5) - (5 + 5) - (4 + 5) - (3 0

= y - y

n

㺌

㹢

1

= i

Enginyeria Indus

0 = 5) - (7 + 5) - (6 + 5) - (5 + 5) - (4 + 5) - (3 0 = y - y

1

= i

i 㹢

㺌

Es pot “tapar” qualsevol dels números

stica de l’ETS d’E Es pot tapar qualsevol dels números

amb el cercle vermell (però només un), i recuperar-lo.

Els altres 4 es poden “moure” lliurement.

fessors d’estadís Els altres 4 es poden moure lliurement.

Per això tenim 4 graus de llibertat.

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 15

La distribució t-Student

 Y

na 1-n

1 - n

Student -

t s ~

 -

= Y t

Student -

t s ~

 -

=Y t

strial de Barcelon

Com més g.l., més s’assembla

a la normal n

s

Enginyeria Indus a la normal

estandaritzada

stica de l’ETS d’E

t-Student amb Q graus de llibertat

2 1 1

1 ¸

¹

¨ ·

©

§ Q

*

f o

Q ^f(t)

o

^Normal

0

= E(t)

fessors d’estadís

2 1

t2

1 1 2

1 2

f(t) _Q

¸¹

¨ ·

©

§

 Q

˜

¸¹

¨ ·

©

*§ Q

¹

˜ ©

QS

> 2

2

= - Var(t)

0 E(t)

Q Q Q

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 16

Distribució de Y quan V és desconeguda

Y

na

t-Student amb Q graus de llibertat (Q = n-1)

~ n s

 -

= Y t

strial de Barcelon

Quan no coneixemV i l’estimem a

n

Enginyeria Indus Quan no coneixem V i l estimem a

partir d’una mostra (tenim s, per tant), la normal estandaritzada es converteix en un t-Student

stica de l’ETS d’E

També hi ha taules amb converteix en un t Student

fessors d’estadís taules amb

àrees de cua per la t-Student

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 17

Interval de confiança (IC) 1 –D per la P

1 -D Distribució de

na

Prenem valors de la

distribució de les mitjanes.

Sumem i restem

Distribució de les mitjanes

mostrals n

; N

~

Y ¸

¹

¨ ·

©

§

strial de Barcelon

D/ 2 D/ 2

aquest segment a cada punt.

Una proporció 1-D d’intervals n

z_/2 

¹

©

Enginyeria Indus Una proporció 1-D d intervals

contenen el veritable valor de P

 y/2

stica de l’ETS d’E

y/2 és el valor de que deixa una àrea de cua a la dreta deD/2

Y

fessors d’estadís a la dreta de D/2

n z 

=

 - Y n



 -

=Y

z_/2 ^/2 Ÿ _{/2 /2}

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 18 n

Interval de confiança (IC) 1 –D per la P z 

=

 -

 Y -

=Y

z ^/2 Ÿ

Distribució de les mitjanes

na -1=

z +



 Y z -

 Prob

z n

=

 - Y n

=  z

/2

/2

/2

/2

/2

¸¹

¨ ·

©

§ d d

Ÿ

les mitjanes mostrals

n

; N

~

Y ¸

¹

¨ ·

©

§

strial de Barcelon





 - 1 n = z  + Y -

 n - z  - Y - Prob

n n

/2

/2

/2

/2

·

§

¸¹

¨ ·

©

§ d d

¹

©

1

y



y

Enginyeria Indus

 - 1 n = z  - Y n  z  + Y

Prob _{/2 /2} ¸

¹

¨ ·

©

§ t t

-2

1



2

y

stica de l’ETS d’E

IC 1- per μ

quan coneixem V

»¼ º

«¬ ª 

z + Y

 ; z -

Y

_{/2 /2}

fessors d’estadís

quan V és desconeguda, i l’estimem amb s

»¼ º

«¬ ª

»¼

«¬

n t s

+ Y n ; t s

- Y

; n n

/2 1;

- n

/2 1;

- n

/2

/2

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 19

¼

¬ n n

Interval de confiança (IC) 1 –D per la P

Q è i l é fi i ll d l’IC d l 95%

na

Què passa si vols més confiança, i en lloc de l’IC del 95%

trobes l’IC del 97%, o del 99%?

strial de Barcelon

Quanta més confiança, més ample és l’intèrval, i menys ens informa d’on és el veritable valor de P

Enginyeria Indus

IC 95%

Y

stica de l’ETS d’E

IC 97%

IC 99%

fessors d’estadís

IC 99%

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 20

Exemple

Tenim una mostra del temps de caiguda de 8 helicòpters de

na

Tenim una mostra del temps de caiguda de 8 helicòpters de paper:

2,06 2,03 2,01 2,12 1,94 1,76 2,08 2,01

°

°®

­

0 012 0,11

= s

2,00

= y

2

strial de Barcelon

> Quin és el millor estimador puntual de μ?  = y = 2,00ˆ

°¯s²=0,012

Enginyeria Indus

> Entre quins valors es troba μ amb una confiança del 95%?

IC del 95% per a μ: 1 –  = 0,95  =  0,05   /2 = 0,025

stica de l’ETS d’E

taules

2,365

= t

=

t

_{8-1;0,025 8-1;0,025} t s

+ Y s ; t

-

Y _{n1;/2 n1;/2} »¼ºŸ

«¬ª

fessors d’estadís

>

^1,91;2,09

@

8 2,3650,11 + 2,00 8 ; 2,3650,11 - 2,00

; n

n ^n-1;/2

/2 1;

- n

»¼Ÿ

«¬ º ª

»¼

«¬

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 21

 

f y f y 

La llei de Chi-quadrat

  f y

2

F

Q

na

N (0;1)

ȝ ı

y _ȝ^ı y N (0;1) _ȝ^ı y N (0;1)

strial de Barcelon



12 11

Y Y



22 21

Y Y



2 1

Y Y

Q Q



¦

^Yi21

¦ ^Y

ⁱ²²

Enginyeria Indus



i

Y

1



i

Y

2



Y

_Qi



¦

^YiQ2

stica de l’ETS d’E

  ^0;1

N

~ Y

_i

¦

^{Q 2}

2

Y

 

²

f F

_Q

fessors d’estadís

i independents

^F

^Q

¦

1

= i

2 i

2

= Y

  F

Q

0 ²

F

Q

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 22

La llei de Chi-quadrat

F

²Q

 

²

f

na

 

²

f F

_Q

Q

2

Q

20

strial de Barcelon

20

Q

Enginyeria Indus

2

F

Q

stica de l’ETS d’E

 ^{Q Q} 

o

F

²

N ; 2

La forma de la densitat de ²depèn de  QuanQ Æ  aleshores

fessors d’estadís

  ^{Q Q o F}

Q

2 ; N

  

Q

= ^Q =  V   

Q

= 2 ^Q

E

^{2 2}

Quan Q Æ aleshores

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 23

Taules de la llei de Chi-quadrat

na Q 

 

^2f QF

strial de Barcelon





2

FQ

Enginyeria Indusstica de l’ETS d’E

Valors que deixen l’àrea de cua indicada en

fessors d’estadís de cua indicada en

funció dels graus de llibertat.

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 24

Aproximacions de la llei de Chi-quadrat F²Q

na

Per Q 200  taules

strial de Barcelon

Per 30 Q < 200 

 

Q _¨¨©^{§ Q} _{Q ¸¸¹}^·

; 2 ln N

~

 ln ²

Enginyeria Indus

Per Q > 200 

^

^Q2

^{~ N} 

^Q

^{; 2}

^Q



stica de l’ETS d’E

A b d d “ ’ t ”

fessors d’estadís

Amb dades que “s’apreten” cap a l’esquerra, transformar-les amb el logaritme sovint les converteix en normals. És una altra possibilitat.

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 25

Distribució de la variança mostral s²

na <_ <_  <_Q

 

2 2

s1

1

n ˜

^{N  ; } 

strial de Barcelon <_<_<_Q

<_<_<_Q

 

V2

 

2

2

s2

1 n ˜V

 ^{; } 

N

Enginyeria Indus







 ^{1 s2k}

stica de l’ETS d’E

<_N<_N<_NQ   2

sk

1 n ˜V

 

2 n

1 i

2 i 2

 y s y

1)

(n

¦

^

  ^{n 1 s}

²

fessors d’estadís 2

1 2 n

1 i

2 ~

 1)

(n _

 

2

1  - n

Si tinguessim

 

2 n

1 i

2 i



~



¦

y ^

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 26

2 ~n

 Tranparència 20

Per què la distribució de la variança mostral és la que és?

Per què ² ? S b

2

s ~ ) 1 n

(

F

¦

ⁿ



^yi-



²

¦

^{n z2}

na

Per què ? Sabem que

on z~ N(0;1), segueix una

1 2

~

n

) 1 n

(

F _

 V

¦

_{i=1 }²

¦

_i=1^z

2

F

n

strial de Barcelon

     

      

^2º

ª

»¼º

«¬ª

¦

¦

¦

¦

¦

¦

1

 - y + y -

 y 1



 - y + y - y



 - y

n n

n 2

n

1

= i

2 2 i

n

1

= i

2 2 i

n

1

= i

2 2 i

Enginyeria Indus

      

       

²

2

2 2

»Ÿ

« º

ª  

»¼º

«¬ª  

¦

¦

¦

¦

¦

¦

 - y y

- y

 - y y - 1 y

 - y

 - y y - y y

-

 y 1

n n

i

n 2

i

1

= i 1

= i

i 1

= i

2 2 i

stica de l’ETS d’E

       

   

^{2 2}

2

¸¸·

¨¨§

¸·

¨§

¸·

¨§

»¼Ÿ

«¬  

¦ ¦

¦

¦

¦

¦

 - + y 1)s - (n

 - y

 - y y

-

 y - y

 y y

y

 y y

 y

n 2 i 2

n

1

= i

2

n 2 i

i

1

= i 1

= i

i 1

= i 2 i

0

fessors d’estadís

 

¸¸

¨ ¹

¨

©

¸¹

¨ ·

©

Ÿ §

¸¹

¨ ·

©

 §

Ÿ

¦ ¦

n



 + y

 )

=(



 y



 n y





 y

2 1

= i

i 2

1

= i 1

= i

2 i

1)s2

- (n

2

 - x

¸¸

¸·

¨¨

¨§ 2

F F

²

F

²

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 27

2 _¨¨©^ _n¸¸¹

F

n

F

n1

F

1

Activitat: Cas Mercamona (2ª part)

Reprenem el cas de Mercamona. (Repassa la 1ª Part)

Mercamonadecideix també monitoritzar la variança del pes de les mostres que es prenen de cada lot. Recordeu que el pes d’un sac segueix una N(10kg; 0.25kg.).

Quina és la probabilitat de que la variança d’una mostra de 4 sacs estigui per sobre de 0.1948?

Distribució de la variança mostral s²

na

s²és el millor estimador puntual de V²

2 1 2 n

2

s ~ ) 1 n

( F

_

 V

2 2

= s

 ˆ

strial de Barcelon

Per què?

1. És no esbiaixat.

Enginyeria Indus

  ^s

²

^{= E} _n

²ⁿ

_-

^-1

₁ ^

²

⁼ _n ^ _-

²

₁ ^E  

^n2-1

⁼ _n ^ _-

²

₁  ^{n - 1  = }

²

E

¸ F

¹

¨ ·

©

§ F

2 É i t t

stica de l’ETS d’E

2. És consistent

( ) ( ) ^{( )}

1 n

= 2

1) (n

 1 - n

= 2 1)

(n

=  1 

V n

= V

4 2

4 2

1 n- 2 4 2

2 1 n-

2  V 

s

fessors d’estadís

1 - n 1) - (n 1) - (n 1 - n

  ^{s =} _n ^2 _{- 1} ^{lim V   s = 0}

V

²

n 4 2

f

Ÿ

o

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 30

1 n

Interval de confiança (IC) 1 –D per la V^

2

na

2 1 2 n

2

s ~ ) 1 n

( F

_

 V

2 1 n

F

strial de Barcelon

D/ 2

D/ 2 Prob ² =1-

2 1; - n 2

1 - n 2

2 - 1;1 -

n ¸¸¹·

¨¨©§F dF dF

Enginyeria Indus 2

2 - 1;1 -

Fn ²

2 1; -

Fn

 

^=1-

 1 s - n Prob

2 2

2

2 1; - 2 n 2 2

2 - 1;1 - n

¸·

¨§ F F

¸¸¹·

¨¨©§F d dF

stica de l’ETS d’E

IC 1- per V²

» º

« ª

_{2 2}

s s

 - 1 1)s = - (n

 1 1)s -

Prob (n ² ₂

1; - n 2 2 2 - 1;1 - n

·

§

¸¸

¸

¹

·

¨¨

¨

©

§ F

d d F

fessors d’estadís

» »

»

« ¼

« «

¬ F F

²

2 - 1;1 - n 2

2 1; - n

1) s - (n s ; 1) - (n

 - 1 1)s = -

 (n 1)s -

Prob (n ₂

2 1; - n

2 2

2

2 - 1;1 - n

2

¸¸

¸

¹

·

¨¨

¨

©

§

t F F t

© Prof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 31

2

2 ¹

©

4.6 Interval de confiança per la variança poblacional