1 RELACIÓN DE TRIGONOMETRÍA
1. Considerando las coordenadas de los puntos asociados a los respectivos ángulos, relaciona las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de los ángulos
𝜋 − 𝛼 , 𝜋2 − 𝛼 , 𝜋2+ 𝛼, 𝜋 + 𝛼 con las del ángulo 𝛼 del primer cuadrante.
2. Indica si puede existir un ángulo ∝ en los siguientes casos:
a. 𝒔𝒆𝒄 ∝ =𝟐𝟑 b. 𝒕𝒈 ∝ = −𝟐𝟑
c. 𝒔𝒆𝒏 ∝=𝟏𝟑 y 𝒄𝒐𝒔 ∝=√𝟐𝟑
3. Considerando un sistema de referencia goniométrico representa, mediante segmentos, las razones trigonométricas para un ángulo α del cuarto cuadrante e indica el signo en su caso.
2 4. Campo de variabilidad de las razones trigonométricas.
5. Calcular 𝒔𝒆𝒏 (𝟑𝒙) 𝒚 𝒄𝒐𝒔 (𝟑𝒙) en función de 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝑥 6. Calcular 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝒙 en función de 𝒕𝒈 (𝒙𝟐) = 𝒕
7. Sean los ángulos ∝ ∈ 𝑰𝑰 𝒚 𝛃 ∈ 𝐈𝐕 𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 ∝ =√𝟏𝟑 𝒚 𝐭𝐠 𝛃 = −√𝟓
a) Calcular para los ángulos ∝ 𝑦 β el resto de razones trigonométricas.
b) Calcular: 𝑐𝑜𝑠 (𝜋+∝) 𝑡𝑔 (𝜋2−∝) cosec(2𝜋 − 𝛼) tg (𝜋2+∝) c) Calcular: sen(∝ − β) cos(∝ + β) tg(∝ − β) sen(4α) tg ( β4) (5
ptos)
8. Sabiendo que sen ∝=16 y que sec β = −52 con ∝ y β ∈ II cuadrante, hallar:
sen(∝ + β) cos(∝ − β) tg(∝ + β) tg( 2 ∝) sen( 4β)
9. Sabiendo que tg ∝= −7 y que sen β = −14 con ∝∈ IV y β ∈ III cuadrante, hallar:
sen(∝ − β) tg(∝ − β) cos(2 ∝) sen ( ∝2)
10. Sean los ángulos ∝ ∈ II 𝑦 β ∈ III 𝑐𝑜𝑛 co𝑠𝑒𝑐 ∝ = 4 𝑦 ctg β = √6 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟: cos(∝ − β) tg(2 β) sen(4β) cos ( ∝2)
11. Sean los ángulos ∝ ∈ III , β ∈ IV con sec ∝ = −3 , cosec β = −√5 Calcular:
sen(∝ − β) tg(∝ + β) cos(4β) sen ( ∝2)
12. Sabiendo que: 2𝛼 ∈ 𝐼𝑉 𝑦 𝑡𝑔 (2𝛼) = √5 −2 𝛽 ∈ 𝐼𝐼 𝑦 𝑐𝑜𝑠 (𝛽) = −1
3
a. Calcular la 𝑡𝑔 (𝛼) (1,5 pto)
b. Calcular 𝑠𝑒𝑛(𝛼 − 𝛽) 𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) c. Calcular cos (3𝛽) − cos (𝛽) d. Calcular sen (3𝛽2) + sen (𝛽2)
13. Sabiendo que: 2𝛼 ∈ 𝐼𝐼𝐼 𝑦 𝑡𝑔 (2𝛼) = 3√5 2 2𝛽 ∈ 𝐼𝐼 𝑦 𝑐𝑜𝑠 (2𝛽) = −1
3
a. Calcular 𝑡𝑔 (𝛼) y 𝑐𝑜𝑠 (𝛽) b. Calcular 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) , 𝑠𝑒𝑛 4𝛼
14. Transforma en sumas los siguientes productos:
a) sen 4 ∝ ∙ cos ∝ ∙ 𝑠𝑒𝑛 5 ∝ b) cos 4𝑥 ∙ cos 6𝑥 ∙ cos 4𝑥 c) sen 𝑥 ∙ sen 2𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
15. Calcula, razonadamente, el valor numérico de la siguiente expresión:
𝑠𝑒𝑛(1200)∙𝑡𝑔(930)−𝑐𝑜𝑠(180)
𝑡𝑔(705)−𝑠𝑒𝑛(270)
=
16. Resolver las ecuaciones trigonométricas:
a. sen ∝ ∙ cos ∝=√34 b. sen 5 ∝ − sen ∝= 0 c. cos 4𝑥 − cos 2𝑥 = 0
3 d.
cos 2 x 5 cos x 3 0
e. sen2xcosx f. cos 2𝑥 = sen 𝑥
g. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = −12 h. cos 𝑥 − √3 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 1 i. sen 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1
j. cos 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + cos 3𝑥 = 0 k. sen 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + sen 3𝑥 = 0
l. cos 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 6𝑥 = sen 3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 m. sen 𝑥 − √3 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1
n. 2sen2 𝑥2+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0
o. 4 ∙ sen (𝑥2) + 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 3
p. sen 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 − sen 5𝑥 − 𝑠𝑒𝑛7𝑥 = 0 q. cos 5x − sen 6x = sen 2x + cos 3x
r. √2 ∙ sen 𝑥 − √2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −1
s. cos 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 = sen 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 t. 2cos2 𝑥2+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1
u. √3 ∙ sen 𝑥 −∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −1
v. 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 ∙ cos 𝑥 − 6 ∙ 𝑠𝑒𝑛3𝑥 = 0 w. 4 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥2) − 3 ∙ cos 𝑥 = 7
x. 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + cos 3𝑥 = cos 𝑥 − sen 𝑥
y. −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥2) + 5 ∙ cos 𝑥 = −7
17. Demuestra que si ∝ +𝛽 + 𝛾 = 𝜋 entonces se verifica:
𝑡𝑔 ∝ +𝑡𝑔 𝛽 + 𝑡𝑔 𝛾 = 𝑡𝑔 ∝∙ 𝑡𝑔 𝛽 ∙ 𝑡𝑔 𝛾
𝑐𝑡𝑔 ∝∙ 𝑐𝑡𝑔 𝛽 + 𝑐𝑡𝑔 𝛽 ∙ 𝑐𝑡𝑔 𝛾 + 𝑐𝑡𝑔 𝛾 ∙ 𝑐𝑡𝑔 𝛼 = 1 18. Demuestra que si ∝ +𝛽 + 𝛾 =𝜋2 entonces se verifica:
𝑡𝑔 ∝∙ 𝑡𝑔 𝛽 + 𝑡𝑔 𝛽 ∙ 𝑡𝑔 𝛾 + 𝑡𝑔 ∝∙ 𝑡𝑔 𝛾 = 1 𝑐𝑡𝑔 ∝ +𝑐𝑡𝑔 𝛽 + 𝑐𝑡𝑔 𝛾 = 𝑐𝑡𝑔 ∝∙ 𝑐𝑡𝑔 𝛽 ∙ 𝑐𝑡𝑔 𝛾
19. Demuestra que si ∝ − 𝛽 + 𝛾 =𝜋
2 entonces se verifica:
𝑡𝑔 ∝∙ 𝑡𝑔 𝛾 − 𝑡𝑔 𝛽 ∙ 𝑡𝑔 𝛾 + 𝑡𝑔 ∝∙ 𝑡𝑔 𝛽 = 1 20. Demuestra que si ∝ + 𝛽 + 𝛾 = 2𝜋 entonces se verifica:
𝑡𝑔 ∝ +𝑡𝑔 𝛽 + 𝑡𝑔 𝛾 = 𝑡𝑔 ∝∙ 𝑡𝑔 𝛽 ∙ 𝑡𝑔 𝛾
4 PROBLEMAS DE APLICACIÓN: TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y TRIÁNGULOS EN
GENERAL (TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO)
1. Construye, siempre que sea posible, los triángulos con los datos que se dan en cada caso y luego resuelve el triángulo analíticamente, esto es, calculando los valores numéricos que faltan:
LADO c = 8 ÁNGULOS A = 30° y B = 100°
LADOS a = 10, b = 9 ÁNGULO C = 70°
LADOS a = 4, b = 8 ÁNGULO B = 40°
LADOS a = 6, b = 7, c = 8
LADOS a = 8, b = 12, c = 20
LADOS b = 10, c = 6 ÁNGULO C = 45°
LADO b = 10 ÁNGULOS A = 45° y B = 75°
LADOS a = 9, c =6 ÁNGULO B = 130°
LADOS a = 7, b = 6, c = 4
LADO c = 6 ÁNGULOS A = 102° y B = 33°
LADOS b = 7, c =4 ÁNGULO C = 40°
LADOS c = 7, b =4 ÁNGULO B = 30°
2. Un barco está anclado en un punto del mar, equidistante del faro y de la torre de telecomunicaciones, y los ve bajo un ángulo de 45°. Si la torre dista del faro 4 Km, ¿a qué distancia se encuentra el barco?.
3. Dos móviles parten de un mismo punto y al mismo tiempo por carreteras rectas que forman ángulo de 120 entre si con velocidades 3 m/s y 5 m/s. ¿Al cabo de cuánto tiempo se habrán apartado entre si un hectómetro?.
4. De un pantano salen dos tuberías de agua de 1500 m y 2750 m hacia los pueblos A y B. Los tubos forman un ángulo de 38°. ¿Cuál es la distancia que separa los pueblos?.
5. Arrastramos una piedra, aplicando a la misma dos fuerzas de 25 y 40 Nw, formando entre ellas un ángulo de 14°. Hallar el módulo de la fuerza resultante.
6. Desde un punto del valle se ven los picos de dos montañas bajo un ángulo de 39°. La distancia entre el punto y cada una de las cimas es de 290 y 350 m respectivamente. ¿Qué distancia hay entre los dos picos de las dos montañas?.
7. Un cruce de dos carreteras rectas forma un ángulo de 35°. Desde el cruce parten simultáneamente dos motos, una por cada carretera. Si la primera lleva una velocidad de 70 Km/h y la segunda de 95 Km/h, ¿qué distancia les separa después de 45 minutos?.
5 8.
9.
6 10. La resultante de dos fuerzas concurrentes de 7 y 10 Nw vale 5 Nw. Hallar el
ángulo que forman dichas fuerzas.
11. Dos montañeros han ascendido en fines de semana sucesivos a dos picos, A y B, y querrían saber la distancia entre dichos picos. Para ello han medido desde las bases de las montañas los ángulos indicados en la figura. Sabiendo que la distancia entre las bases dichas es de 6800m, ¿qué distancia hay entre los picos?
12. Demostrar que si se conocen los tres lados a, b y c de un triángulo y el radio R de la circunferencia circunscrita, entonces el área del triángulo viene dada por 𝑆 =𝑎∙𝑏∙𝑐4𝑅
13. Un paracaidista de acrobacias en una exhibición sabe que, en su caída libre desde el avión tiene que abrir el paracaídas cuando su altímetro le indique que le quedan 300 m para llegar al suelo. Suponemos que en el momento que se lanza el avión se encuentra en suspensión (sin
movimiento) y lo observamos con un ángulo de 15°, cuando abre el paracaídas le vemos con un ángulo de 5°. Se pide calcular la altura desde la que se ha lanzado y la distancia que recorreremos para encontrarnos con él.
7
17. En una orilla de un rio hay un pedestal de 60 m de altura sobre el que se apoya una estatua de 9 m de alzada. Halla la anchura x del rio, sabiendo que desde un punto A, situado en la orilla opuesta al pedestal, se ve la estatua bajo el mismo ángulo que se vería a un hombre de 1,80 m de altura situado delante del pedestal.
8 18. Desde un punto se observa el pie y la punta de una torre de televisión situada sobre una montaña bajo ángulos de 48° y 51°, respectivamente. Si retrocedemos 500 m, los ángulos de observación son de 33° y 40°. ¿Cuánto mide la torre?
19. Acaban de colocar una antena de 7 metros en lo alto de un edificio. Observas el extremo superior de la antena con un ángulo de 85°, mientras que su base la observas con ángulo de 80°. Calcular la altura del edificio y la distancia que te separa de él.
20. El suelo de un cine tiene una inclinación de 20°, nuestra butaca se encuentra a 10 m de la pared de la pantalla, medida sobre el suelo, y nosotros la vemos bajo un ángulo de 30°. Si la pantalla se encuentra a 3 m del suelo. ¿Cuál es su altura?.
21. La anchura de un campo de futbol es 50 m y la de la portería 8 m. ¿Bajo qué ángulo ve la portería un jugador situado en un punto de la banda lateral que está a 30 m de la línea de fondo?
48°
51°
33° 40°
500 m
3 m 20°
30°
(butaca) B
9 22. Un faro tiene 40 m de altura, hallándose
situado sobre una roca. Situados en un punto A de la playa, hemos comprobado que la distancia que hay hasta la base del faro es 60 m, y la distancia que le separa de la cúpula del faro es 80 m. Hállese la altura de la roca sobre la que se encuentra el faro.
23. Expresa el ángulo x bajo el que se ve el anuncio de la figura en función de la distancia d que nos separa de la pared donde se halla.
