Análisis Espectral

Análisis Espectral

Econometría II

Capítulo VII

2

Análisis Espectral



Es una forma alternativa de tratar el análisis de series temporales



En lugar de trabajar en el dominio del tiempo ahora se hace en el de las frecuencias



El punto de partida es el Análisis Armónico, cuya afirmación básica es que cualquier serie estacionaria puede ser perfectamente

aproximada por un polinomio trigonométrico.

Análisis espectral

 Es decir, el AA, periódico o de Fourier, afirma que,

 donde,

 T es el tamaño de la serie

 w₀ es la frecuencia fundamental, definida por w₀=2/T

 p es el orden del armónico, siendo éste un movimiento

compuesto por una onda de seno y una de coseno en la misma frecuencia

 t es una serie que toma valores enteros entre 1 y T

 a_p y b_p son parámetros a estimar

/ 2

0 0 0

1

( cos sin )

p T

t p p

p

X a a pw t b pw t





 



Análisis espectral

 Estimados los a_p y b_p se puede calcular la capacidad explicativa de cada ciclo teórico a partir de

 Cuya suma explica la varianza total de la serie de acuerdo con el teorema de Parseval

 La representación gráfica de (R_p²)en ordenadas y p en abcisas, es lo que denominamos Periodograma

 El periodograma es pues la representación gráfica de la contribución a la varianza de cada uno de los T/2 ciclos teóricos

2 2

2

2

p p

p

a b

R 



Análisis espectral

 El Análisis Espectral (AE) es una generalización probabilística del AA, básicamente determinista

 En concreto se emplea ahora un concepto nuevo, el de espectro, del que el periodograma no sería más que un estimador.

 El espectro es el equivalente al concepto de población o, en el contexto del análisis de series temporales, al PGD.

 La serie concreta de datos sería entonces una muestra aleatoria de aquella población y, a partir de ella,

trataríamos de encontrar el PGD, es decir el espectro.

Análisis espectral

 El AA distribuye toda la varianza de la serie entre los T/2 armónicos definidos a partir de las denominadas

frecuencias de Fourier, w₀, 2w₀, …, (T/2)w₀ (=)

 Pero si en la expresión básica del AA, hacemos tender k a infinito, es decir, si en lugar de considerar

exclusivamente las frecuencias de Fourier consideramos infinitas frecuencias, se tiene,

 donde u(w) y v(w) son procesos continuos incorrelados con incrementos infinitesimales

0

cos ( )

sin ( )

X

 

wt du w  

wt dv w

Análisis espectral

 La expresión anterior es la representación espectral del proceso, pero es complicada y difícil de manejar

matemáticamente.

 Se recurre por ello a una formulación alternativa, basada en un teorema de Wienner Khintchine, según el cual

para todo proceso estocástico estacionario con función de autocovarianza c(u), existe una función monótona creciente F(w), tal que,

 Si u=0, dado que toda la variación está entre 0 y ,

0 , con ( ) 0 si 0

( ) cos

( )

c u  

w dF w

0 0

(0) cos 0 ( ) ( ) ( ) (0) ( )

c 







Análisis espectral

 La función F tiene una interpretación inmediata: es la contribución a la varianza de la serie X, de las

frecuencias comprendidas entre 0 y w.

 Como es lógico en el intervalo (0, ) debe estar

comprendida toda la variación, como reza la expresión anterior, F(w)₀^ = c(0).

 La función de densidad espectral o simplemente el espectro, no es más que la derivada de la función de distribución F(w),

( ) dF w ( )

f w  dw

Análisis espectral



f(w) explica la contribución a la varianza en el rango de frecuencias (w+dw) (picos)



Llevando esta expresión a la original para c(u),

0

( ) cos

u ( ) ( )

c u w f w d w

 

Estimación del espectro

 A partir de una muestra concreta de datos, hemos de estimar su espectro.

 El estimador natural es el periodograma

 El periodograma solo considera las frecuencias de Fourier, mientras que el espectro asigna una señal a

“todas” las frecuencias en el rango (0, )

 Ello lleva a modificar el periodograma en tanto que estimador del espectro.

 Puede por ejemplo usarse la expresión

2 2

2 2 2

( )

( ) 2

2 2 4

p p

p p p

p

a b

R T a b

I w

T T

  

 

  

Estimación del espectro

Relación entre I _w y c _u



Puesto que tanto el periodograma como la función de autocovarianza son funciones cuadráticas de los datos, puede hallarse una relación entre ambos.



Ésta viene dada por,





(

) 1 2

cos

k

I w c c w u





  

Distribución del periodograma



Interesa analizar las propiedades de I

en cuanto estimador del espectro.



Dados los supuestos de partida, se tiene que los estimadores a

y b

son N(0, 2 

/T), y,



Esta expresión puede escribirse como,

2 2

2 2

2 2

ˆ ˆ

2 2

p p

X X

a b

T T

 ^  ^

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

2 2

2

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

( ) ( ) 4 4 ( ) 4

( )

2 2 4 2 4 2

ˆ ˆ 2

p p p p p p

p

X X

p p

X

T a b T a b T a b

a b I w

T

   

     



   

    

2 2

( ) 2 p 2

I w

 





Inconsistencia del periodograma

 Por tanto será también una Ji cuadrada con 2 gl.

 Es posible demostrar que,

 Pero el I_w es un estimador inconsistente:

 Puesto que es una ² con 2 gl, por definición su varianza será 4 (2*nº gl), i.e.

2

2 I w( _p)



( _p) ( )

TE I w f w

  

2

4 ( )

2 I w^p



 

2

2 4

4 4

2 2

2 4

var ( ) var ( ) 4

var ( ) 4

4

p p

X X

X X

p

I w I w

I w

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Espectro de ruido blanco

 Puesto que un proceso RB se caracteriza por presentar una función de autocovarianza nula para todo u distinto de cero, de

 Se deduce que el espectro será constante y su valor c₀/

 Es decir que todas las frecuencias han de explicar la misma porción de varianza (ausencia de picos).

 De ello se deduce también su inconsistencia puesto que al no depender de n entonces la varianza no tiende a cero cuando T tiende a infinito.





( _p) 1 2^T _u cos _p

k

I w c c w u





  

Espectro de un MA(1)

 Viene dado por la expresión,

 Su trazado depende del valor del parámetro 

2

1 2 cos

*( ) 1 1

f w  w

 

 

    

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Espectro de un MA(1)



Espectro de un AR(1)



Viene dado por,



Dependiendo su trazado del valor del parámetro



Para un AR(2) es

 

2 2

*( ) 1

1 2 cos( ) f w

w



  

  

.0 .1 .2 .3 .4 .5 .6

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Espectro de un AR(1)



.0 .1 .2 .3 .4 .5 .6

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Espectro de un AR(1)



2

2 2

1 2 1 2 2

( ) 1 2 (1 ) cos 2 cos 2

f w      w  w

 ^{ }

       

Estimación consistente

 Puede obtenerse suavizando bien el periodograma o bien la función de autocovarianza.

 La expresión permite obtener I_w a partir de la función de autocovarianza muestral c(u). Pero la precisión de c(u) disminuye a medida que aumenta u

 Por tanto podemos emplear un sistema de ponderaciones que otorgue más peso a los primeros valores de c(u). Por ejemplo,

 Donde M_u es un conjunto de ponderaciones arbitrario con M<T

 La elección de un determinado M es lo que define la denominada ventana espectral.





( _p) 1 2^T _u cos _p

k

I w c c w u





  





ˆ( ) 1 2 cos

M

u u p

k

f w M c M c w u

 ^

  

Estimación consistente

 Una regla general consiste en elegir 0.05<M/T<0.34

 Un M elevado haría que el espectro estimado siguiese siendo errático (inconsistente) mientras que si M es pequeño, la varianza se reducirá pero a costa de un sesgo mayor.

 En la literatura se mencionan diversas posibilidades o ventanas: la de Barlett, la de Tukey o la de Parzen.

 Si se usa directamente el periodograma, el estimador consistente se obtiene suavizando los valores I_w

Estimación consistente

-6 -4 -2 0 2 4 6

250 500 750 1000

AR(1), X=0.8*X(-1)+u

.00 .01 .02 .03 .04 .05 .06

100 200 300 400 500

Periodograma

Estimador consistente

.00 .01 .02 .03 .04 .05 .06

100 200 300 400 500

Estimador consistente Periodograma

Ejemplo, Paro (1982.1-2009.12)

Periodograma (insesgado pero inconsistente) Z

= dd

Paro

0 1e+009 2e+009 3e+009 4e+009 5e+009

0 20 40 60 80 100 120 140 160

323,0 12,0 6,1 4,1 3,1 2,5 2,1

frecuencia escalada Espectro de sd_d_Paro

meses

omega frecuencia periodos densidad

0,0195 1 323,00 2,6329e+08 0,0389 2 161,50 6,0981e+08 0,0584 3 107,67 1,3722e+09 0,0778 4 80,75 7,9326e+08 0,0973 5 64,60 1,2143e+09 0,1167 6 53,83 1,5597e+09 0,1362 7 46,14 7,5460e+08 0,1556 8 40,38 4,1099e+08 0,1751 9 35,89 4,4170e+09 0,1945 10 32,30 2,1860e+09 0,2140 11 29,36 1,4444e+09

• Donde se aprecia multitud de picos.

• En Gretl, seleccionar variable, espectro, periodograma muestral

0 2e+008 4e+008 6e+008 8e+008 1e+009 1,2e+009 1,4e+009 1,6e+009

0 20 40 60 80 100 120 140 160

323,0 12,0 6,1 4,1 3,1 2,5 2,1

frecuencia escalada

Espectro de sd_d_Paro (Ventana de Bartlett, anchura 36) meses

omega frecuencia escalada periodos densidad espectral

0,0195 1 323,00 7,2612e+08 0,0389 2 161,50 7,7453e+08 0,0584 3 107,67 8,5322e+08 0,0778 4 80,75 9,5787e+08 0,0973 5 64,60 1,0805e+09 0,1167 6 53,83 1,2092e+09 0,1362 7 46,14 1,3290e+09 0,1556 8 40,38 1,4242e+09 0,1751 9 35,89 1,4811e+09 0,1945 10 32,30 1,4918e+09 0,2140 11 29,36 1,4553e+09

Paro (1982.1-2009.12)

Espectro (sesgado pero consistente) Z

= dd

Paro

• Donde se han suavizado el periodograma y se aprecian menos picos.

• En Gretl, seleccionar variable, espectro, ventana de Bartlett (36)

Paro (Predicción 2010)

Análisis espectral: (6 ciclos teóricos) «35,89» «8,12» «4,78» «3,42» «2,69» «2,14».

Análisis Univariante: (1-B)(1-B¹²)W_t = Z_t = a + 0,23Z_t-1 + 0,20Z_t-2 – 0,86V_t-12

3900000 4000000 4100000 4200000 4300000 4400000 4500000 4600000 4700000

Paro efectivo

Predicción espectral Predicción ARIMA

Empleo (predicción 2010)

Análisis Espectral: (8 ciclos teóricos) «162,5» «9,56» «8,12» «4,64» «3,49» «3,04» «2,29» «2,06»

Análisis univariante: (1-B)(1-B¹²)Ln(W_t)=Z_t=V_t–0,40V_t-1–0,48V_t-12–0,19V_t-24+0,37Z_t-1+0,13Z_t-2+0,30Z_t-3

17300000 17400000 17500000 17600000 17700000 17800000

17900000 Empleo efectivo

Predicción espectral Predicción ARIMA

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Capítulo VII