ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

TEMA 4

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

4.1. INTRODUCCIÓN

En este tema se verán procedimientos para resolver ecuaciones en derivadas parciales que surgen con frecuencia en problemas donde aparecen vibraciones, potenciales y distribuciones de temperatura. Se llaman problemas de valores en la frontera y se describen mediante ecuaciones en derivadas parciales de primer o segundo orden, que son relativamente simples. En el caso de las ecuaciones de segundo orden, lo que se hace es hallar las soluciones particulares de una ecuación en derivadas parciales reduciéndolas a dos o más ecuaciones diferenciales ordinarias. Se comenzará con el método de separación de variables para ecuaciones en derivadas parciales lineales. La aplicación de este método recordará conceptos de temas anteriores como valores propios, funciones propias y el desarrollo de una función en una serie infinita de funciones ortogonales.

4.2. ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERIOR

Definición 1. Un espacio vectorial real es un conjunto V (cuyos elementos se llamarán vectores), con una operación binaria de adición y una multiplicación escalar que satisfacen las siguientes propiedades: ( ,α β ∈R)

a. Dado cualquier par de vectores x, y∈V, existe un único vector x+ ∈y V, llamado la suma de x y y

b. ∀x, y∈V, x+(y+z)=(x+y)+z c. ∀x, y∈V, x+y = y+x

d. ∃ ∈0 V x∀ ∈V , x+0=0+x= x e. ∃ −( x)∈V x∀ ∈V , x+ −( x)=0

f. Dado cualquier vector x∈V y cualquier número real α, existe un único vector

x V

α ∈ llamado el producto de α y x g. α(x+y)= α + αx y

h. (α + β)x= α + βx x i. (αβ)x= α β( x) j. 1.x=x

Definición 2. Se dice que un subconjunto S≠ φ de un espacio vectorial V, es un subespacio de V, si x y∀ , ∈S y ∀α β ∈, R el vector xα + β ∈y S.

Observación 1. Es claro que

{ }

0 y V son subespacios de V.

Definición 3. Se dice que un producto interior está definido en un espacio vectorial real V, si con cada par de vectores x e y en V se asocia un número real x y• tal que a. x•y = •y x

b. (αx)• = αy (x•y) para cada número real α c. (x₁+x₂)•y = x₁• +y x₂ •y

d. x•x≥0 y x x• =0 si, y solamente si, x=0.

Definición 4. Un espacio vectorial con un producto interior se conoce como un espacio euclidiano o espacio vectorial con producto interior.

Si se aplica (a) a (b) y a (c), se ve que un producto interior también satisface las propiedades x• α( y)= α(x•y) y x•(y₁ +y₂)= x•y₁+ •x y₂. En general

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

x x y y x y x y x y x y

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

(α + α ) (• β + β )= α β ( • )+ α β ( • )+ α β ( • )+ α β ( • ) donde α₁, α₂, β₁ y β₂ son escalares arbitrarios.

Ejemplo 1. Sean x=(x ,..., x )_{1 n} y y=(y ,..., y )_{1 n} vectores en R , y defínase a x yⁿ • por x y• =x y_{1 1} +...+x y_{n n}. Entonces R se convierte en un espacio euclidiano y, como ⁿ tal, se llama espacio euclidiano de dimensión n. En R y ² R este producto interior ³ no es otro que el “producto punto” usado en física, donde la definición generalmente se expresa geométricamente como el producto de la longitud de x por la longitud de y por el coseno del ángulo que forman ambos.

Ejemplo 2. Considere el espacio C a,b  de todas las funciones continuas en a,b  , con f•g definido por

f g

b a

f(x)g(x)dx

• =

∫

^.

Pruebe que f g• define un producto interior.

Solución.

No es difícil demostrar que satisface todas las exigencias de un producto interior: Se tiene que

b b

a a

f(x)g(x)dx f(x)g(x)dx

α = α

∫ ∫

^,

siendo α un número real, y

b b b

1 2 1 2

a a a

f (x)+f (x) g(x)dx= f (x)g(x)dx+ f (x)g(x)dx

 

 

∫ ∫ ∫

^.

Finalmente, al recordar que la integral de una función no negativa es no negativa, y que la integral de una función continua no negativa es cero si, y solamente si, la función es idénticamente cero se ve que

f f

b 2

a

(f(x)) dx 0

• =

∫

≥ ^,

y que f f• =0 si, y solamente si, f =0.

En adelante, siempre que se haga referencia a R o a C a,bⁿ   como espacios euclidianos, se considerará que se están utilizando los productos interiores definidos en los ejemplos anteriores, a menos que se mencione expresamente lo contrario.

Ejemplo 3. Sea r una función no negativa en C a,b  que se anula, cuando más, en un número finito de puntos en el intervalo a,b . Entonces

f g

b a

f(x)g(x)r(x)dx

• =

∫

también define un producto interior en C a,b .

La función r se llama la función peso para este producto interior, y se observará que cuando r es idénticamente igual a 1 se tendrá la fórmula definida en el ejemplo anterior. Se encontrará este producto interior nuevamente cuando se estudien problemas de valor en la frontera, para ecuaciones diferenciales.

4.3. LONGITUD. MEDIDA ANGULAR. DISTANCIA

Se definirá longitud, medida angular y distancia, en términos del producto interior de un espacio euclidiano. Cada uno de estos conceptos tiene un significado bien definido en el espacio euclidiano, de dimensión 2, y es razonable exigir que cualquier definición que se adopte, se reduzca a la ya usual en R . ²

Sea x=(x , x )_{1 2} cualquier vector en R . Entonces, la longitud de x indicada por ² x , es el número real no negativo x = x²₁ +x²₂. Esta expresión puede replantearse en términos del producto interior en R como x² = x•x y se tiene la siguiente definición:

Definición 5. La longitud (o norma) de un vector x en un espacio euclidiano, se define como el número real no negativo x = x•x.

Así, la longitud de un vector x=(x ,..., x )_{1 n} en R , es xⁿ = x²₁ +...+x²_n , mientras que la longitud de un vector f en C a,b  es

f

1 / 2

b 2

a (f(x)) dx

 

=  



∫

 ^.

A continuación, se observa que si x y y son dos vectores no nulos cualesquiera, en R , la fórmula ²

x y x y

cosθ = • , 0≤ θ ≤ π,

es una consecuencia inmediata de la ley de los cosenos. La expresión

x y x y

•

también es significativa en un espacio euclidiano arbitrario, hecho que sugiere considerarla como un candidato razonable para la definición general del cosθ. Sin embargo, antes de proceder, debe establecerse la desigualdad

x y 1 x y• 1

− ≤ ≤

para cada par de vectores no nulos en un espacio euclidiano, ya que, por supuesto, cualquier definición de cosθ debe satisfacer la desigualdad 1− ≤ cosθ ≤1. Este hecho surgirá como una consecuencia del siguiente resultado importante, conocida como la desigualdad de Schwarz o de Cauchy-Schwarz.

TEOREMA 1. (Desigualdad de Schwarz) Si x y y son dos vectores cualesquiera en un espacio euclidiano, entonces x y( • )² ≤(x•x y)( •y).

Demostración.

Primero se observa que esta desigualdad es inmediata si x o y, es el vector cero, ya que entonces ambos miembros de la desigualdad son cero. Así, es suficiente considerar el caso en que x y y son no nulos. Aquí se usan propiedades del producto interior para desarrollar (α − βx y) (• α − βx y) donde α y β son números reales arbitrarios. Por la propiedad d de la definición 3 se tiene

x y x y ² x x x y ² y y

0≤ α − β( ) (• α − β )= α ( • ) 2− αβ( • )+ β ( • ),

de donde 2αβ(x•y)≤ α²(x•x)+ β²(y•y). Ahora si α = y•y y β = x•x se obtiene

x x y y x y x x y y

2 • • ( • )≤2( • )( • ) que es equivalente a x y• ≤ x•x y•y. Ahora bien, si se eleva al cuadrado, se obtiene lo que se quería demostrar. ■

En R la desigualdad de Schwarz toma la forma ⁿ

n 2 n n

2 2

i i i i

i 1 i 1 i 1

x y x y

= = =

     

  ≤   

     



∑

 

∑

 

∑



y en C a,b  se convierte en

b 2 b b

2 2

a a a

f(x)g(x)dx (f(x)) dx (g(x)) dx

     

≤

     



∫

 

∫

 

∫

^.

La primera de estas desigualdades es válida para cualquier colección x ,..., x , _{1 n}

1 n

y ,..., y de números reales, y generalmente se le llama la desigualdad de Cauchy.

Es importante recordarla ya que es frecuentemente útil en la deducción de otras desigualdades aritméticas.

En la notación de la definición 5, la desigualdad de Schwarz se convierte en x•y ≤ x y , y afirma que el valor absoluto del producto interior de dos vectores no excede el producto de las longitudes de los vectores. Así

x y x y• 1

≤ ,

siempre que x y y sean no nulos.

Ejemplo 4. Sean a ,..., a números reales positivos. Use la desigualdad de Cauchy _{1 n} para demostrar que

2

1 n

1 n

1 1

(a ... a ) ... n

a a

 

+ +  + + ≥

  .

Solución.

Sean

x _{1 n} y

1 n

1 1

( a ,..., a ) ,...,

a a

 

 

= = 

 

. De modo que

x•x =a₁ +... a+ _n, y y x y

1 n

1 1

... , n

a a

• = + + • =

y aplicando la desigualdad de Cauchy se obtiene lo que se quería demostrar.

Ejemplo 5. Sean a, b y c, números reales positivos, tales que a+ + =b c 1. Utilice la desigualdad de Cauchy para demostrar que

1 1 1

1 1 1 8

a b c

     

− − − ≥

     

      .

Solución.

Sean

x y 1 1 1

( a, b, c) , ,

a b c

 

= = 

 .

De modo que

x•x = + + =a b c 1, y y 1 1 1 x y

, 3

a b c

• = + + • =

y aplicando la desigualdad de Cauchy

1 1 1

a+ + ≥b c 9. Por lo tanto manipulando se tiene

bc ac ab bc ac ab bc ac ab abc (1 a)(1 b)(1 c)

9 1 8 8 8

abc abc abc abc

1 a 1 b 1 c 1 1 1

8 1 1 1 8

a b c a b c

+ + ≥ ⇒ + + − ≥ ⇒ + + − ≥ ⇒ − − − ≥

− − −

           

⇒      ≥ ⇒ −   −   − ≥

           

Ejemplo 6. Demuestre que la desigualdad

2 2 2

1 n 1 n

a ... a a ... a

n n

+ + + +

 

  ≤

 

persiste para cualquier colección de números reales a ,..., a . _{1 n} Solución.

Sean

x y a¹ aⁿ

(1,...,1) ,...,

n n

 

= = 

 .

Entonces

x x y y

2 2

1 n

2

a ... a

n, n

+ +

• = • = , x y a¹ ... aⁿ

n

+ +

• =

y aplicando la desigualdad de Cauchy se obtiene lo que se quería demostrar.

Ejemplo 7. Sea f∈C 0,1¹  . Pruebe que

1 / 2

1 1

1 1 2 2

2 4 15

0 0

( t)f(t)dt  f '(t) dt

− ≤    

 

∫ ∫

^.

Solución.

Integrando por partes: u=f(t)⇒du=f '(t)dt , dv = −¹₂ t⇒ v= −₂^{t t}₂².

1 1 t t2 1 1 t t2 1 t2 t

2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

( −t)f(t)dt=( − )f(t) − ( − )f '(t)dt= ( − )f '(t)dt

∫ ∫ ∫

^.

Aplicando la desigualdad de Schwarz:

1 / 2 1 / 2

1 t2 t 1 t2 t 2 1 2

2 2 2 2

0( )f '(t)dt  0( ) dt  0(f '(t)) dt

− ≤ −   

   

∫ ∫ ∫

^.

1 t2 t 2 1 t4 t3 t2 t5 t4 t3 1 1 1 1 6 15 10 1

2 2 4 2 4 20 8 12 20 8 12 120 120

0 0 0

( − ) dt = ( − + )dt =( − + ) = − + = ^{− +} =

∫ ∫

^.

Por lo tanto:

1 / 2

1 t2 t 2 1 1 / 2 1 2 1 2

2 2 120 2 2 15 4 15 4 15

0

( ) dt ( )

 

− = = = =

 



∫

 ^.

En consecuencia se demuestra que:

1 / 2

1 1

1 1 2 2

2 4 15

0 0

( t)f(t)dt  f '(t) dt

− ≤    

 

∫ ∫

^.

Definición 6. Si x y y son vectores no nulos en un espacio euclidiano, se define el coseno del ángulo entre ellos como

x y cosθ = x y• .

Queda finalmente pendiente por definir la distancia entre dos puntos cualesquiera (esto es, vectores) en un espacio euclidiano. Nuevamente esto se hace sencillamente copiando la definición de R donde la distancia entre x y y es la longitud ² del vector x−y. Así se establece la definición de distancia:

Definición 7. La distancia entre dos vectores x y y en un espacio euclidiano es, por definición, d( , )x y = x−y .

Pero ¿es ésta una definición razonable del término “distancia”? Con objeto de contestar esta pregunta, primero debe decidirse qué propiedades se requieren de la distancia, en general. En ese aspecto, los matemáticos están de acuerdo, y lo han decidido como sigue: la distancia entre dos puntos debe ser un número real no negativo que es cero si, y solamente si, los puntos coinciden. Debe ser independiente

del orden en el que se consideren los puntos y, finalmente, la desigualdad del triángulo, famosa en la geometría plana, debe satisfacerse.

Así, con el objeto de justificar el uso del término “distancia” en la definición 7 se debe demostrar que d(x,y) es un número real que satisface las siguientes propiedades:

a. d( , )x y ≥0

b. d( , )x y =0 si, y solamente si, x =y c. d( , )x y =d( , )y x

d. d( , )x y +d( , )y z ≥d( , )x z , x, y y z tres vectores cualesquiera.

Las tres primeras de estas propiedades se deducen inmediatamente de la definición de longitud y de los axiomas que gobiernan un producto interior. La última, sin embargo, no es tan obvia. Para demostrarla, primero se establecerá una desigualdad que es de cierta importancia por sí misma.

LEMA 1. Si x y y son vectores arbitrarios en un espacio euclidiano, entonces x+y ≤ x + y .

Demostración.

( )

x y x y x y x x x y y y

x x x x y y y y x x y y x x y y

x y

1 / 2 1 / 2

1 / 2 2 1 / 2

( ) ( ) ( ) 2( ) ( )

( ) 2 ( )

+ = + • +  = • + • + • 

 

 

≤ • + • • + •  = • + •  = • + •

≤ +

■ La desigualdad del triángulo sigue inmediatamente de este resultado. En efecto, x−z = (x−y) (+ y−z) ≤ x−y + y−z , que precisamente es lo que se tenía que demostrar. Finalmente, se observa que la función distancia definida antes también goza de las propiedades notables siguientes:

a. d(α αx, y)= α d( , )x y para todo número real α b. d(x+z y, +z)=d( , )x y

4.4. ORTOGONALIDAD. ORTOGONALIZACIÓN

Definición 8. Se dice que dos vectores en un espacio euclidiano son ortogonales o perpendiculares, si el coseno del ángulo que forman, vale cero.

En seguida se generalizará algo más la noción de ortogonalidad, pero primero se probará un teorema particularmente notable.

TEOREMA 2. (Pitágoras) Dos vectores x y y en un espacio euclidiano se dice que son ortogonales si, y solamente si, x+y² = x² + y².

Demostración.

x+y² =(x+y) (• x+y)=x• +x 2(x•y)+ •y y = x² +2(x•y)+ y² Así x+y² = x²+ y² si, y solamente si, x y• =0, como se afirmó. ■

Ejemplo 8. Sean x₁, ..., x_n vectores mutuamente perpendiculares en un espacio euclidiano. Demuestre que x₁ +...+x_n ² = x₁ ²+...+ x_n ².

Solución. Se sabe que

1 n 1 n 1 n

i i i j i i j

x x x x x x

x x x x x x x

2

n n n n n n

2

i 1 i 1 j 1 i 1 i 1 j 1

i j i j

... ( ... ) ( ... )

( ) ( ) ( )

= = = = = =

≠ ≠

+ + = + + • + +

=

∑

• +

∑∑

• =

∑

+

∑∑

•

Así

1 n i 1 n

x x x x x

2 n 2 2 2

i 1

... ...

=

+ + =

∑

= + +

ya que x_i •x_j =0, i≠ j.

Dicho esto, se continúa la discusión, dando la siguiente definición:

Definición 9. Se dice que un conjunto de vectores x₁,x₂,...,x_i,... en un espacio euclidiano, es un conjunto ortogonal si x_i ≠0 para todo i, y que x_i•x_j =0 siempre que i≠ j. Si, además, x_i•x_i =1 para cada i, se dice que el conjunto es ortonormal.

Así, un conjunto ortogonal es un conjunto de vectores no nulos perpendiculares entre sí, mientras que un conjunto ortonormal es un conjunto ortogonal en el cual cada uno de los vectores es de longitud unitaria. Por economía de notación, cuando se discutan conjuntos ortonormales, las propiedades anteriores se combinarán frecuentemente escribiendo

i j

x x

ij

0 si i j 1 si i j

≠

• = δ =

 = .

El símbolo δ_ij que se introduce aquí, se le llama la delta de Kronecker.

TEOREMA 3. Un conjunto ortogonal de vectores

{

x1,x2,...,xn

}

es linealmente independiente.

Demostración.

Se sabe de cursos anteriores de Álgebra Lineal que un conjunto de vectores

{

x1,x2,...,xn

}

es linealmente independiente si

1 2 n

x x x 0

1 2 ... n 1 2 ... n 0

α + α + + α = ⇔ α = α = = α = .

Se tiene una combinación lineal de los vectores ortogonales:

1 2 n

x x x 0

1 2 ... n

α + α + + α =

Haciendo producto escalar en la expresión anterior por un vector del conjunto x se _i tiene

1 i 2 i i i n i i

x x x x x x x x x ²

1 2 ... i ... n 0 i 0

α • + α • + + α • + + α • = ⇒α = .

De modo que α =i 0 ∀ ∈i

{

1, 2,...,n

}

. Esto implica que el conjunto ortogonal de vectores

{

x1,x2,...,xn

}

es linealmente independiente (forman una base) por lo tanto forman un sistema completo.

Ejemplo 9. En R los vectores ³ (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 1 / 2)− forman un conjunto ortogonal, mientras que los vectores de base canónica (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) forman un conjunto ortonormal. En forma más general, el conjunto que consiste de los vectores de la base en R es ortonormal. ⁿ

Ejemplo 10. Se define un polinomio trigonométrico de grado 2n 1+ como una expresión de la forma

0

1 2 n 1 2 n

f(x) a a cos(x) a cos(2x) ... a cos(nx) b sen(x) b sen(2x) ... b sen(nx)

= 2 + + + + + + + +

donde a ,...,b son números reales, y _{0 n} a_n ≠0 o b_n ≠0 o ambos. Sea T el conjunto de _n todos los polinomios trigonométricos de grado ≤2n 1+ , junto con el polinomio cero.

Haciendo que T sea un espacio euclidiano al definir la adición y la multiplicación _n escalar de los polinomios trigonométricos, término a término como con los polinomios ordinarios y un producto interior dado por

f g ^π f(x)g(x)dx

• =

∫

−π ^,

el conjunto de funciones 1, cos(x), sen(x), ..., cos(nx), sen(nx) es un conjunto ortogonal en T ya que, para enteros m y n no negativos _n

sen(mx)sen(nx)dx 0,

π

−π =

∫

^π sen(mx) cos(nx)dx 0,

−π =

∫

cos(mx) cos(nx)dx 0, si m n

π

−π = ≠

∫

^.

Para normalizar este conjunto se observa que 1dx 2

π

−π = π

∫

^y

∫

_−π^{π sen (mx)dx2 =}

∫

_−π^{π cos (mx)dx2 = π, si m>0.}

Por tanto, las funciones

1 cos(x) cos(nx)

, ,..., ,

2π π π

sen(x) sen(nx) ,...,

π π

forman un conjunto ortonormal en T . _n

Ejemplo 11. Se deduce del ejemplo precedente que el conjunto (infinito) 1, cos(x), sen(x), …, cos(nx), sen(nx), … es ortogonal en C−π π, .

En lugar de empezar con la situación más general, se introducirá el proceso de ortogonalización con dos ejemplos. El primero es extraído de R donde se considera ² un par de vectores linealmente independientes x y ₁ x . Entonces ₂ x y ₁ x forman ₂ una base para R y, en este caso, el problema se convierte en la sustitución de ² x y ₁ x por una base ortogonal 2 e y ₁ e construida en términos de ₂ x y ₁ x de alguna ₂ manera razonable. Una forma sencilla de resolver el problema es simplemente tomar

1= 1

e x y luego se expresa e en la forma ₂ e₂ = x₂ − αe₁, y luego se determina α de

modo que la condición de ortogonalidad e₂ •e₁ =0 quede satisfecha. Esto da la ecuación x₂•e₁ − α(e₁•e₁)=0, y en consecuencia, el valor de α es

2 1

1 1

x e

e e

α = •

• .

Con esto e se ha determinado en términos de ₂ x₁(=e₁) y x , y la base ₂ x y ₁ x en ₂ R se ha ortogonalizado. 2

Ejemplo 12. Si x₁ =(1,1) y x₂ =(0,1), entonces

(0,1) (1,1) 1 (1,1) (1,1) 2

α = • =

• ,

y así e₁ =(1,1), e₂ = −( ¹₂, )¹₂ .

Como otro ejemplo, se ortogonaliza una base arbitraria x , ₁ x y ₂ x en ₃ R . El ³ procedimiento esencialmente es el mismo usado antes en R , y se inicia eligiendo ²

1 1

e =x . El segundo paso consiste en determinar e de acuerdo con el par de ₂ ecuaciones e₂ •e₁ =0, e₂ =x₂ − αe₁, lo que da nuevamente

2 1

1 1

x e

e e

α = •

• .

Está claro que e no es el vector cero, y también lo es que ₂ e y ₁ e ₂ pertenecen al subespacio de R generado por ³ x y ₁ x . En consecuencia ₂ δ(e₁,e₂) es un subespacio de δ(x₁,x₂). Más aún, ya que los vectores ortogonales e y ₁ e son ₂ linealmente independientes, δ(e₁,e₂) tiene la misma dimensión que δ(x₁,x₂). Así,

1 2 1 2

e e x x

( , ) ( , )

δ = δ .

Combinado con el hecho de que x , ₁ x y ₂ x forman una base para ₃ R , esta ³ igualdad implica que x no pertenece al subespacio de ₃ R generado por ³ e y ₁ e . El ₂ proceso de ortogonalización debe completarse aceptando que e sea la componente ₃ de x , perpendicular al subespacio ₃ δ(e₁,e₂). Así, se hace e₃ = x₃ − α₁e₁ − α₂e₂, y se encuentran α₁ y α₂ por medio de las condiciones de la ortogonalidad e₁•e₂ =e₁•e₃

2 3

e e 0

= • = . Ellas dan el par de ecuaciones dadas por 0= x₃•e₁ − α₁(e₁•e₁),

3 2 2 2

x e ₂ e e

0= • − α ( • ) de donde

3 1 3 2

1 1 2 2

x e x e

e e e e

1 • , 2 •

α = α =

• • .

Con esto se completa el proceso de ortogonalización de la base x , ₁ x y ₂ x . ₃ Ahora se puede disponer de la situación general requerida para ortogonalizar un conjunto arbitrario de vectores linealmente independientes x₁, x₂, ... en un espacio euclidiano. Se va a presentar un teorema que puede resumir este proceso de generalización.

TEOREMA 4. Sea x₁, x₂, ... un conjunto (finito o infinito) de vectores linealmente independientes en un espacio euclidiano T. Entonces existe un conjunto ortogonal

1 2

e , e , ... en T tal que para cada entero n, δ(e₁,...,e_n)= δ(x₁,...,x_n). Más aún, el e _n

puede escogerse de acuerdo con la regla e₁ = x₁, y e_{n 1+} = x_{n 1+} − α₁e₁ −...− α_ne_n, donde

n 1 1 n 1 2 n 1 n

1 1 2 2 n n

x e x e x e

e e e e e e

1 ⁺ • , 2 ⁺ • , ... , n ⁺ •

α = α = α =

• • • .

El método de ortogonalización descrito en este teorema, es conocido como el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt.

Ejemplo 13. En este ejemplo se aplica el proceso de ortogonalización a los conjuntos infinitos de vectores, linealmente independientes, 1, x, x , ... en el espacio de ² polinomios P con producto interior definido por

p q

1

1p(x)q(x)dx

• =

∫

− ^.

La ortogonalización va como sigue:

e1 =1 , e₁ e₁

1 1

dx 2

• =

∫

− = ^{, e2 = − αx , donde α =12}

∫

₋¹₁^{xdx =0.}

Así,

e2 =x , e₂ e₂

1 2 2

1 3

− x dx

• =

∫

= ^{, e3 =x2 − α − α1 2x, donde}

1 1

2 3 3

1 1

1 2 3 2 2

1x dx , 1x dx 0

− −

α =

∫

= α =

∫

= ^.

Así,

e3 =x²−¹₃ , e₃ e₃

1 2 1 2 8

3 45

1

(x ) dx

• =

∫

− − = ^.

Continuando de este modo, se obtiene la sucesión ortogonal

2 1

1, x, x −3, x³−₅³x, x⁴−⁶₇x² +₃₅³ , ...

en P. Cuando se presentan con constantes de multiplicación adecuadas, estos polinomios se convierten en los famosos polinomios de Legendre del Análisis.

4.5. EL ESPACIO DE LAS FUNCIONES CONTINUAS POR TRAMOS

Dada la importancia de las diferentes series que están por considerarse, reviste cierto interés expresar la discusión siguiente de tal modo que, de una categoría de funciones, se abarque tanto como sea posible. Desafortunadamente, la mayoría de las generalizaciones que van más allá del espacio de funciones continuas, son sumamente técnicas e inaccesibles en un curso de este nivel. Sin embargo, es posible extender las conclusiones para incluir funciones continuas por tramos, y ya que bien vale la pena hacer esta modesta generalización, esta sección se destina a demostrar cómo el conjunto de todas estas funciones en un intervalo determinado, puede estar dentro de un espacio euclidiano. Por conveniencia, se empieza por recordar la definición de continuidad por tramos.

Definición 10. Se dice que una función de valor real f es continua por tramos, en un intervalo a,b si

(i) f es definida y continua en todos, excepto un número finito, de puntos de a,b y

(ii) los límites _{0 0 0 0}

h 0 h 0

f(x )⁺ lím f(x h) , f(x )⁻ lím f(x h)

+ −

→ →

= + = − existen en cada punto x en ₀

a,b

 

  . (Observar que sólo uno de estos límites es apropiado, si x es un punto 0

extremo de a,b .)

Cuando x es un punto de continuidad de f cada uno de estos límites es igual ₀ al valor de f en x y, entonces, se tiene que ₀ f(x )₀⁺ = f(x )₀⁻ =f(x )₀ . Con mayor generalidad, la exigencia de que ambos límites sean finitos en todas partes de a,b  , implica que las únicas discontinuidades de f son “discontinuidades por salto”. Más aún, la diferencia f(x )₀⁺ −f(x )₀⁻ mide la magnitud del salto de la función f en x . ₀

1. Si f es continua por tramos en a,b , entonces

b a

f(x)dx

∫

existe, y es independiente de los valores que f (si los toma) en sus puntos de discontinuidad. En particular, si f y g son idénticas por todas partes en a,b , salvo en sus puntos de discontinuidad, entonces

b b

a f(x)dx= a g(x)dx

∫ ∫

^.

2. Si f y g son continuas por tramos en a,b  , también lo es su producto f.g.

3. Cada función continua en a,b es continua por tramos.

Dicho esto, ahora se fija la atención en el problema de convertir el conjunto de funciones continuas por tramos en a,b  en un espacio euclidiano. En vista del hecho de que este conjunto incluye las funciones continuas en a,b  solo es razonable exigir que la construcción sea concebida de tal modo que el espacio euclidiano resultante tenga a C a,b  como un subespacio. Esto, a su vez, sugiere que se defina a f g• por la fórmula

b a

f g• =

∫

f(x)g(x)dx^.

¿Pero la fórmula anterior produce realmente un producto interior en el conjunto de funciones continuas por tramos en a,b  ? La respuesta desagradable es, NO. Para ver lo que está equivocado, sea n(x) una función que es cero dondequiera en a,b excepto en un número finito de puntos.

Se dice que tal función es una función nula, y tiene la molesta propiedad de que

b 2

a

n(x) dx=0

∫

a pesar del hecho de que n no es la función cero. Esto, por supuesto, invalida el uso de la fórmula cuestionada como un producto interior, ya que, por definición, el producto interior de un vector no cero por sí mismo, no puede ser cero.

Está perfectamente claro, sin embargo, que la dificultad anterior desaparecerá si se pasa por alto el hecho de que una función nula no es idénticamente cero, y se la trata como si lo fuera. Pero entonces, para que sea consistente, deben mirarse también dos funciones continuas por tramos cualesquiera como idénticas, siempre que difieran solamente en un número finito de puntos, y esto es exactamente lo que se requiere para hacer que la fórmula cuestionada dé un producto interior.

4.6. CONVERGENCIA DE SUCESIONES

Definición 11. Se dice que una sucesión

{ } {

xk = x1,x2,...

}

de vectores, en un espacio euclidiano V converge al vector x en V si, y solamente si, x_k x

klim 0

→∞ − = . En este caso se dice que x es el límite de

{ }

xk , denotándose el hecho de que la sucesión

{ }

xk

converge a x, escribiendo

{ }

xk x

klim

→∞ = .

El estudio de convergencia en espacios euclidianos de dimensión finita es esencialmente el mismo que el estudio de convergencia de sucesiones de números reales. Sin embargo, en espacios de dimensión infinita, tales como C a,b , esta situación se vuelve mucho más compleja y, en consecuencia, más interesante, porque entonces el tipo de convergencia definido antes es totalmente distinto del estudiado en cálculo. En efecto se verá momentáneamente, que en un espacio de funciones con producto interior integral, la afirmación

fk f

1 / 2

b 2

k k a k

lí m lí m f (x) f(x) dx 0

→∞ →∞

 

− =   −   =



∫



de ninguna manera es la misma que decir que la sucesión

{ }

fk converge a la función f en cada punto de a,b . En análisis, tal convergencia se conoce como convergencia media para enfatizar que se calcula por integración, lo que, en un sentido, es un proceso de promedio generalizado.

Ejemplo 14. La sucesión de funciones

{

x, x , x ,... converge en la media en ^{2 3}

}

C−1,1 a la función cero, ya que

1 / 2 1 / 2

k 1 2k

k k 1 k

lí m x 0 lí m x dx lí m 2 0

2k 1

→∞ →∞ − →∞

   

− = 

∫

 =  +  = ^.

Aunque

{

x, x , x ,... no converge a cero en cada punto en el intervalo ^{2 3}

}

−1,1 . En efecto, en x=1 la sucesión converge a 1, mientras que en x = −1 no converge (ver figura 1).

Figura 1. Sucesión de funciones del ejemplo 14

4.7. BASES EN ESPACIOS EUCLIDIANOS DE DIMENSIÓN INFINITA

En secciones anteriores se utilizó el proceso de ortogonalización de Gram- Schmidt para demostrar que cada espacio euclidiano de dimensión finita tiene una base ortonormal e₁,...,e_n y que cada vector en tal espacio puede expresarse unívocamente en la forma

x=(x e e• ₁) ₁ +... (+ x e e• _n) _n. (1)

Pero el proceso de Gram-Schmidt puede aplicarse igualmente bien en un espacio euclidiano de dimensión infinita donde puede usarse para dar un conjunto ortonormal infinito e₁,e₂,... . Este hecho sugiere que una versión ampliada de los resultados iniciales, podría aceptarse, y las secciones restantes del presente tema se dedican a realizar esta sugerencia. La forma más obvia para intentar generalizar (1) en presencia de un conjunto ortonormal e₁,e₂,... en un espacio de dimensión infinita V, es reemplazar su segundo miembro por la serie infinita

x e_k e_k

k 1

( )

∞

=

∑

• . (2) Sin embargo, en la ausencia de cualquier información adicional, está claro que no hay razón a priori para suponer que esta serie converge y, mucho menos, que converge a x^*. No obstante, es conveniente tener una notación que exprese el hecho de que (2) se deduce de x, aunque de modo puramente formal. La usada con más frecuencia es

k k

x x e e

k 1

( )

∞

=

∑

•

∼ ,

usándose el símbolo ∼ (el que, de paso, nada tiene que ver con el usado antes, para relaciones equivalentes) para enfatizar que las series en cuestión podrían no converger a x. Por supuesto, en caso de que suceda, se escribe

k k

x x e e

k 1

( )

∞

=

=

∑

• ^,

y se dice que la serie converge en la media a x. En uno u otro caso, los productos interiores x•e_k son llamados las coordenadas o (generalizando) los coeficientes de Fourier de x con respecto al conjunto ortonormal e₁,e₂,...

Está claro que los coeficientes de Fourier de x dependen del conjunto ortonormal con respecto al cual se calculan. No tan claro, pero igualmente ciero, es que (1) puede converger en la media a x para un conjunto ortonormal, pero no para otro. Los ejemplos siguientes ilustran ambos puntos.

Ejemplo 15. Calcule los coeficientes generalizados de Fourier de la función f(x)=x,

−π ≤ ≤ π en x C−π π,  con respecto al conjunto ortonormal senx sen2x

, ,

π π

sen3x π ,...

Solución.

En este caso los coeficientes son

x ek 1

xsenkxdx, k 1,2,...,

π

• = −π =

π

∫

y usando integración por partes, se obtiene

2 , k 1, 3,5,...,

1 xsenkxdx 2 cos k k

k 2

k 2, 4, 6,...

k

π

−π

 π =

π 

= − π =

π − π =

∫

En consecuencia, los coeficientes de Fourier de x con respecto al conjunto ortonormal dado son ( 1)− ^{k 1−} (2 π/ k), y (2) adopta la forma dada por la expresión

sen2x sen3x

x 2 senx ... .

2 3

 

− + −

 

 

∼

En próximos temas se verá que esta serie realmente converge en la media a x, de suerte que se justifica escribir

k 1 k 1

senkx x 2 ( 1)

k

∞ −

=

=

∑

− ^.

Ejemplo 16. Si en el ejemplo anterior se reemplaza al conjunto ortonormal por el conjunto dado por

1 cos x cos 2x

, , ,...,

2π π π

entonces los coeficientes de Fourier son

1 1

xdx 0 y x cos kxdx 0, k 1,2,...

2

π π

−π = −π = =

π

∫

π

∫

^.

Pero todas estas integrales son cero, y en consecuencia (2) se convierte en x∼0. Ahora queda claro que no se tiene una igualdad, ya que

x

1 / 2

1 / 2 3

2 2

x dx 0

3

π

−π

 

  π

=

∫

 =  ≠ ^.

Observación 2. Para desarrollar f en una serie de funciones ortogonales, es necesario que no sea ortogonal a cada elemento del conjunto ortogonal. Para evitar este problema se supondrá, en temas siguientes, que un conjunto ortogonal es completo.

Esto quiere decir que la única función ortogonal a cada miembro del conjunto es la función cero.

4.8. DESIGUALDAD DE BESSEL. IGUALDAD DE PARSEVAL.

TEOREMA 5. Sea e₁,e₂,... un conjunto ortonormal de vectores en un espacio euclidiano V, de dimensión infinita, y sea x un vector arbitrario en V. Entonces

x ek ² x²

k 1

( )

∞

=

• ≤

∑

(desigualdad de Bessel).

Más aún, e₁,e₂,... es una base para V si, y solo si,

x ek ² x²

k 1

( )

∞

=

• =

∑

(igualdad de Parseval).

Demostración. La demostración descansa en el cálculo del valor de la expresión

k k

x x e e

n 2

k 1

( • )

=

−

∑

para cualquier x en V y cualquier entero n. Ahora

k k k k k k

k k j j k k

x x e e x x e e x x e e

x x x e x e x e e x e e

n 2 n n

k 1 k 1 k 1

n n n

k 1 j 1 k 1

( • ) ( • ) ( • )

2 ( • )( • ) ( • ) ( • )

= = =

= = =

   

   

− = −  • − 

   

   

   

= • − + • 

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

(Se ha cambiado el índice de la sumatoria en el primer factor del último término, por conveniencia de cálculo). Pero ya que e es ortonormal, _k e_j•e_k = δ_jk, se sigue que

j j k k j k j k k

x e e x e e x e x e e e x e

n n n n n

2

j 1 k 1 j 1 k 1 k 1

( • ) ( • ) ( • )( • )( • ) ( ) .

= = = = =

   

  • = = •

   



∑



∑ ∑∑ ∑

Entonces

x x e e_{k k} x x e_k

n 2 n

2 2

k 1 k 1

( • ) ( )

= =

−

∑

= −

∑

• . (3)

Para demostrar la desigualdad de Bessel, es suficiente con observar que

k k k

x x e e x x e

n 2 n

2 2

k 1 k 1

0 ( • ) ( )

= =

≤ −

∑

= −

∑

•

para todo x en V y toda n. En consecuencia

x ek x

n 2 2

k 1

( )

=

• ≤

∑

para toda n, y las sumas parciales de la serie x ek ² k 1

( )

∞

=

∑

•

forman una sucesión no decreciente (acotada) de números reales no negativos. Por un teorema bien conocido del cálculo se concluye que esta serie converge y que

x ek x

n 2 2

k 1

( )

=

• ≤

∑

^.

Terminando la demostración ahora se supone que e₁,e₂,... es una base ortonormal para V. Entonces, se sabe que

k k

x x e e

k 1

( )

∞

=

=

∑

• ^.

Por lo tanto

k k

x x e e

n 2

n k 1

lím ( ) 0

→∞ =

−

∑

• = ^,

y se sigue de (3) que

x x ek

2 n 2

n k 1

lím ( ) 0

→∞ =

 

 − • =

 



∑

 ^.

Por tanto

x ek ² x²

k 1

( )

∞

=

• =

∑

^,

que es la igualdad de Parseval. Finalmente, ya que los eslabones de esta cadena de razonamientos son reversibles, se concluye que e₁,e₂,... es una base siempre que la igualdad de Parseval se satisfaga, y la demostración está completa.

4.9. PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE

Ejemplo 17. y '' y+ =0, y(0) =0, y( ) π =0. Solución.

Para resolver este ejemplo simplemente se aplican las condiciones de frontera a la solución general c senx₁ +c cos x₂ para deducir que c₂ =0 y que c es arbitraria. Así, ₁ y=csenx donde c es una constante arbitraria, es una solución general de este problema particular.

Se dirá que las condiciones de frontera dadas, son homogéneas siempre que

1 2 0

γ = γ = . Las soluciones de un problema con valor en la frontera, que considera un operador diferencial lineal L :δ →C a,b  , están íntimamente ligadas a las soluciones de la ecuación

Ly= λy, (4) donde λ es un parámetro desconocido. En este marco, se requiere encontrar todos los valores de λ para los cuales (4) admite soluciones no triviales en δ, y luego encontrar las soluciones correspondientes a estas λ. Se puede observar que (4) puede volver a escribirse (L− λI)y =0, donde I indica la transformación identidad que envía cada función en C a,b  sobre sí misma, o como a (x)y '' a (x)y '2 + 1 +a (x)0 − λy=0 si

2

2 1 0

L =a (x)D +a (x)D+a (x).

Así, para cada valor de λ, (4) es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, y el conjunto solución de cualquier problema (homogéneo) con valor en la frontera que considere esta ecuación, es el espacio nulo, en δ, del operador

L− λI.

Ejemplo 18. Resuelve el problema con valor en la frontera

y ''+ λ =y 0, y(0) =0, y( ) π =0. (5) Solución.

Aquí, δ es el espacio de todas las funciones dos veces continuamente diferenciables en 0,π

 

  que se anulan en los puntos extremos del intervalo, y L es el operador lineal de segundo orden −D².(El signo menos se ha introducido únicamente para simplificar los resultados finales. Sin él, los valores adecuados de λ serían negativos.) Se distinguen tres casos, según que λ =0, λ <0 y λ >0.

Caso I. λ =0. Aquí la ecuación diferencial tiene a c₁ +c x₂ como su solución general, y las condiciones de frontera implican que c₁ =c₂ =0. Así, (5) no tiene soluciones no triviales cuando λ =0.

Caso 2. λ <0. Ahora, y=c e₁ ^−λx +c e₂ ^{− −λx}, y las condiciones de frontera dan otra vez y≡0.

Caso 3. λ >0. Aquí, la solución general de y ''+ λ =y 0 es

y=c sen₁ λ +x c cos₂ λx, (6) y las condiciones de frontera dan el par de ecuaciones c₂ =0, c sen₁ λπ =0.

Así, (5) admite soluciones no triviales si, y solamente si, sen λπ =0; esto es, si, y solamente si, λ asume uno de los valores λ =_n n², donde n=1, 2,...