CURSO BÁSICO PARA EL DISEÑO DE ELEMENTOS PREFABRICADOS

CURSO BÁSICO PARA EL DISEÑO DE  ELEMENTOS PREFABRICADOS

Ing. David Felipe Rodríguez Díaz

Ing. Rolando Drago

Ing. Juan Juárez Lira

ANTECEDENTES

Antecedentes del Cemento y el Concreto

• 1824: ‐ James Parker, Joseph Aspdin patentan el Cemento Portland, materia que  obtuvieron de la calcinación a alta temperatura de una Caliza Arcillosa. 

• 1845: ‐ Isaac Johnson obtiene el prototipo del cemento moderno, quemando a alta  temperatura una mezcla de caliza y arcilla hasta la formación del ʺclinkerʺ. 

• 1854: El Constructor  William Wilkinson patenta un sistema de armaduras de  hierro para la mejora de construcción  de edificaciones resistentes al fuego.

• 1855: Joseph –Lousi Lambot publicó el libro: Aplicaciones del hormigón al arte de la  construcción, expuesto en la exposición mundial de París del año anterior. 

Construyó una lancha de concreto reforzada con alambres.

• 1861: Francoise Coignet en 1861 ideó la aplicación en estructuras como techos,  paredes, bóvedas y tubos.

• Década de 1860: Joseph Monier patentó varias aplicaciones del concreto.

Antecedentes: Cemento / Concreto

• 1868: ‐ Se realiza el primer embarque de cemento Portland de Inglaterra a los  Estados Unidos. 

• 1871: ‐ La compañía Coplay Cement produce el primer cemento Portland en lo  Estados Unidos. 

• 1894: Se complementan estudios del “Sistema Monier: Armazones de hierro  cubiertos en cemento”  iniciados en 1866 por G.A. Wayss de las empresas Freytag und Heidschuch y Martenstein, los estudios fueron concluidos por Edmond Coignet y De Tédesco.

• 1904: ‐La American Standard For Testing Materials (ASTM), publica por primera vez  sus estándares de calidad para el cemento Portland. 

• 1906: ‐ En C.D. Hidalgo Nuevo Leon se instala la primera fabrica para la producción  de cemento en México, con una capacidad de 20,000 toneladas por año. 

• 1928: El día 2 de Octubre de 1928, Eugenio Freyssinet y su amigo Seailles registraban 

en Paris la patente No 680,547, definiendo con toda precisión la idea teórica de la pre 

compresión permanente de los hormigones o de otras materias y todas sus formas 

posibles de realización.

• Mi suerte, mi gran suerte, ha sido el  ser asediado, desde niño, por una  vocación vehemente. He amado este 

arte de la construcción que he  concebido, tal y como hicieron mis  ancestros artesanos, como modo de 

reducir al mínimo el trabajo  humano necesario para lograr un 

objetivo útil.

Nací constructor. Era para mi tanto  una necesidad ineludible como una 

fuente inagotable de felicidad  imponer al material en bruto esas  formas y estructuras que surgían de 

mi imaginación.

• . Eugène Freyssinet

Eugenio Freyssinet (1879‐1962)

Puente Luzancy

Realizado por Freyssinet de 1941 a 1946 sobre el Rio Marne (Seine‐ Et 

Marne) con un claro de 55 metros de claro, 8 metros de ancho  y 1.22 m en el 

centro del claro Formado por 3 trabes cajón prefabricadas y pretensadas a 

base de Dovelas.

Profesor: Gustave Magnel Universidad de Ghent Bélgica

Publica sus apuntes de Diseño de  Concreto Presforzado y los 

traduce al Inglés.

El Decía:

“Si no puedes diseñar una  estructura de concreto 

Presforzado pensando en  reducción de costos y 

tiempos no la construyas,  sobre todo sé un ingeniero  con conciencia profesional. 

Realiza la estructura 

correcta”.

Puente Walnut Lane Memorial

• Es un puente  en Filadelfia, Pennsylvania construido en 1950.  Fue el primer gran puente de vigas  de concreto pretensado diseñado y construido en los Estados Unidos.

La forma del puente es simple, como muchos puentes en autopistas de los EE.UU. El tablero del  puente con el apoyo de trece vigas de concreto. Estas vigas fueron pretensados   con cables de  postensado formado por cuatro tendones embebidos en el concreto. Aunque este tipo de 

construcción se ha utilizado en Europa, el Walnut Lane Memorial Bridge fue innovador en los  Estados Unidos y dio lugar a la aplicación exitosa de esta tecnología en este país. 

Diseñado por El Prof. Gustave Magnel

Algunos ejemplos

Puentes y Distribuidores Viales

Distribuidor Vial Bicentenario

Puentes de Gran Altura

Pte. Centenario,  Pachuca.

Pte. Tercer Nivel Pte. Ayuntamiento 

2000

Puentes Totalmente Prefabricados

Distribuidor Vial Puerto Marques

• Edificación Estacionamientos Naves Industriales Iglesias

Escuelas Auditorios

Centros Comerciales Bibliotecas

Edificios de Vivienda Agencias Automotrices Función Pública

Hospitales Laboratorios Hoteles

Bancos

Edificios Industriales

Tiendas y Centros Comerciales

Plaza Patriotismo

Tiendas y Centros Comerciales

Plaza Patriotismo

Tiendas y Centros Comerciales

Plaza Patriotismo

Edificios Públicos, Universidades.

Escuelas, Fachadas

Edificios Para Oficinas

Edificios Para Oficinas y Comericio

Oficinas y Espacios Comerciales

Hotel Hilton Tuxtla Gtz.

Hotel Hilton Tuxtla Gtz.

Data Center en Qro.

• Especiales Estadios

Alcantarillas Prisiones Fachadas

Muros de contención Tanques

almacenamiento

Estructuras Híbridas Aplicaciones de

Presfuerzo

Postensado lineal Postensado Circular Muros M. E.

Túneles

• Puentes

Peatonales

‐ cimentación

‐ subestructura Alfardas y rampas

‐ superestructura

Puentes Vehiculares

‐ subestructura

‐ superestructura

Pasos Inferiores

Pasos a Desnivel, Encauce de Ríos

Pasos a Desnivel, Encauce de Ríos

Areas recuperadas Rio de las Avenidas

Estadio Azteca

Estadio de Atletismos para los Juegos Panamericanos

Guadalajara 2011

Estadio de Atletismos para los Juegos Panamericanos

Guadalajara 2011

• Edificación

Estacionamientos Naves Industriales Iglesias

Escuelas Auditorios

Centros Comerciales Bibliotecas

Edificios de Vivienda Agencias Automotrices Función Pública

Hospitales Laboratorios Hoteles

Bancos

• Puentes

Pasos Inferiores

Puentes Vehiculares

‐ subestructura

‐ superestructura Peatonales

‐ cimentación

‐ subestructura Alfardas y rampas

‐ superestructura

• Especiales

Estadios Alcantarillas Prisiones Fachadas

Muros de contención

Tanques almacenamiento Estructuras Híbridas

Aplicaciones de Presfuerzo Postensado lineal y circular Túneles

Muros M. E.

Estructuras Prefabricadas

Diseño de Concreto Presforzado 

 1ª Parte ‐ Conceptos Básicos del presfuerzo

 2ª Parte ‐ Repaso conceptos de mecánica  de materiales.

 3ª Parte ‐ Propiedades de los Materiales  empleados en prefabricación.

 4ª Parte ‐ Ejercicio de Diseño de Presfuerzo

 5ª Parte ‐ Cálculo de Pérdidas por los 

métodos del AASHTO y del PCI.   

Cálculo de Deformaciones.

6ª Parte – Revisión de Mr, Vr y Deflexiones.

INTRODUCCIÓN

1ª PARTE:

CONCEPTOS  BÁSICOS

CONCEPTO DE PRESFUERZO

DEFORMACIONES DE UN ELEMENTO PRESFORZADO

ETAPAS CARGA Y DEFORMACIÓN DE ELEMENTOS PRESFORZADOS

PRESFUERZO PARCIAL Y PRESFUERZO TOTAL PERDIDAS DE PRESFUERZO

CRITERIOS DE DISEÑO DE ELEMENTOS PRESFORZADOS

PRETENSADO

POSTENSADO

CONCEPTOS BASICOS DEL PRESFUERZO

• El concreto Presforzado consiste en crear deliberadamente esfuerzos permanentes en un elemento estructural para mejorar su comportamiento de servicio y aumentar su resistencia.

• Gracias a la combinación del concreto y el acero de presfuerzo es posible producir en un elemento estructural, esfuerzos y deformaciones que contrarresten total o parcialmente a los producidos por las cargas gravitacionales que actúan en un elemento, lográndose así diseños mas eficientes.

• Puede ser Pretensado o Postensado.

DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLEXIONANTES

• Como trabaja el presfuerzo:

TRABES PRETENSADAS

TRABES POSTENSADAS

+ +

+

+

‐

PRETENSADO

POSTENSADO

PRETENSADO 

El Presfuerzo actúa mediante la adherencia de  los torones al concreto.

Características:

1) Se tensan los torones “antes” del colado.

2) Se requieren de muertos de anclaje o  moldes autotensables.

3) Se aplica a producción en serie en plantas  prefabricadoras.

4) Se reutilizan moldes e instalaciones.

5) El anclaje se da por adherencia.

6) Se requiere enductar torones para controlar  los esfuerzos durante la transferencia.

Se utiliza para:

Trabes de puentes y edificios, Losas extruidas,      

Viguetas, Losas T, TT, TTV.

El presfuerzo se transmite al Elemento por  medio de los anclajes en el extremo del  Elemento.

Características:

1) Se tensan los torones una vez que se ha  realizado el colado.

2) Se realiza en el lugar de la obra  principalmente.

3) Se requiere dejar ductos ahogados y 

ubicados según las trayectorias de cálculo.

4) Una vez colocados y tensados los torones se  requiere inyectar los ductos con mortero  para proteger a los torones.

5) La acción del postensado se ejerce  externamente por medio de anclajes  especiales.

Se Utiliza para:

Dovelas y Trabes para puentes, Losas con  presfuerzo bidireccional,

Diafragmas de puentes, Vigas hiperestáticas.

POSTENSADO 

Viga

Viga

Tendon apoyado Anclaje

Viga Diafragmas Bloque extremo

Solido Gato

Anclaje Gato

Tendon conducto ( a )

( b )

( c ) Losa

Gato

DEFORMACIÓN TIPICA  DE

TRABES PRESFORZADAS:

Contra Flecha y Flecha.

GRAFICA CARGA / DEFORMACION PRESFORZADO

Para prefabricados se debe analizar:

1. Transferencia y desmolde

2. En Transporte de acuerdo a los  apoyos

3. En montaje: Trabajo en sección  simple

4. Condiciones finales: Con 

conexiones, Cargas Permanentes,  Transitorias y Accidentales.

Contra flechas Flechas

• Para prefabricados se debe analizar:

1. Transferencia y desmolde

2. En Transporte de acuerdo a los apoyos 3. En montaje: Trabajo en sección simple

4. Condiciones finales: Con conexiones, Cargas  Permanentes, Transitorias y Accidentales.

(1)

(2) (3)

(4)

PRESFUERZO PARCIAL Y TOTAL

El término de presfuerzo parcial se aplica a aquellos elementos que contienen en su armado longitudinal, tanto su refuerzo ordinario como presforzado para resistir el momento flexionante que actúe en este.

A su vez un elemento se considera con presfuerzo total cuando su índice de presfuerzo,

“Ip” esta comprendido entre 0.9 y 1. Si el índice de presfuerzo es menor a 0.9 pero mayor o igual a 0.6, se considera una sección parcialmente presforzada y si el índice de presfuerzo es menor a 0.6 se considera una sección sin presfuerzo, la expresión para obtener el índice de presfuerzo es la siguiente:

Una forma más sencilla de obtener el índice de presfuerzo es con la siguiente formula:

Asp = Área de acero de presfuerzo As = Área de acero de refuerzo

Fsp = Esfuerzo en el acero presforzado cuando alcanza su resistencia Fy = Esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo ordinario

Mrp =  Momento resistente provocado por el acero de preesfuerzo Mrr =  Momento resistente provocado por el acero de refuerzo Ip     =  Índice de presfuerzo

Mrr Mrp

Ip Mrp

 

Fy As

Fsp Asp

Fsp Ip Asp





REFUERZO, PRESFUERZO  PARCIAL Y PRESFUERZO TOTAL

MR

Deflexión A

B C

C Ip       (0.9 – 1)      0.9        Ip       1 Totalmente presforzada B Ip      0.6       Ip       0.9 Parcialmente presforzada A Ip      Ip 0.6       Reforzada o sin presfuerzo







 

 



A B C

Edificacion en sitio

Edificacion Prefabricada

Puentes, Losas o Trabes Refuerzo

Presfuerzo

La magnitud de la fuerza de presfuerzo en un elemento no es constante, sino que esta va perdiendo fuerza durante su vida útil. A este fenómeno se le conoce con el nombre de perdida de preesfuerzo. Existen dos tipos de perdidas de presfuerzo, aquellas que se presentan instantáneamente al aplicar el presfuerzo, y aquellas que dependen del tiempo para que se presenten. También existen pérdidas que dependen de las cargas aplicadas a dichos elementos.

Las perdidas de presfuerzo que son inmediatas:

*Deslizamiento del anclaje: Al momento en que la fuerza pretensora se transfiere de los gatos a los anclajes, las cuñas de fricción que se emplean para sostener los cables de presfuerzo, se deslizan una distancia pequeña antes de sujetar firmemente al cable, provocando que este se afloje perdiendo consecuentemente algo de presfuerzo.

*Por acortamiento elástico del concreto: Al transferirse la fuerza de presfuerzo al concreto, se provoca un acortamiento elástico en este, a medida de que este elemento se va comprimiendo. Dicho acortamiento provoca que los cables de presfuerzo también sufran un acortamiento ocurriendo por tal motivo una perdida de presfuerzo.

*Fricción: Solo en elementos postensados, debido a la curvatura intencional o accidental.

PERDIDAS DE PRESFUERZO

PERDIDAS DE PRESFUERZO

Perdidas de presfuerzo que dependen del tiempo

*Por contracción del concreto: Debido a la perdida de agua del concreto durante el fraguado y endurecimiento, se contrae el concreto ocasionando la pérdida de presfuerzo.

*Por relajamiento del acero esta es una propiedad del acero que se presenta en el momento en que a la pieza se le aplican las cargas de servicio. Se puede decir que el relajamiento es la perdida de esfuerzo de un material que se mantiene esforzado a una longitud constante. La magnitud del relajamiento varia dependiendo del tipo y del grado de acero, aunque las causas principales son el tiempo y la intensidad del esfuerzo inicial.

*Por escurrimiento ó flujo plástico del concreto, el cual es la propiedad de que el material se deforma continuamente bajo un estado de esfuerzo o de carga. Primeramente la deformación es elástica hasta que alcanza un valor constante, y este fenómeno ocasiona perdidas de presfuerzo a lo largo del tiempo.

METODOS PARA ESTIMACION  DE PERDIDAS

A)    METODOS DE 

ESTIMACIÓN   GLOBAL:     

Se aplica en caso  de no tener información  para  evaluar las  perdidas de presfuerzo.  En elementos pretensados se pueden  suponer que la suma de las pérdidas varían entre  20 y 25 % de la  fuerza aplicada por el gato.

En postensados la suma de pérdidas, incluyendo las de fricción se  puede suponer de un 25 a un  30 %  de la fuerza aplicada por el  gato.

Se suma  la contribución de cada una de ellas para obtener la    perdida total.

CRITERIOS PARA SELECCIONAR EL METODO DE EVALUACION DE PERDIDAS

PRETENSADO POSTENSADO

Estimación Preliminar A

Estimación Individual B

Estimación Preliminar A

Estimación Definitiva C

Se efectúan estableciendo como mínimo cuatro intervalos de  tiempo, que toman en cuenta la edad del concreto en la cual  ocurre la perdida.

B)   ESTIMACIÓN  INDIVIDUAL:

C)   ESTIMACIÓN POR EL  MÉTODO DE 

INTERVALOS

CRITERIOS DE DISEÑO DE ELEMENTOS PRESFORZADOS

ESFUERZOS PERMISIBLES ^• TRANSFERENCIA

• SERVICIO

• ACERO DE PRESFUERZO

• FLEXION

• FLEXOCOMPRESION

• APLASTAMIENTO

• FUERZA CORTANTE

• TORSION

ESTADOS LIMITE DE SERVICIO

ESTADOS LIMITE DE FALLA

ESFUERZOS PERMISIBLES

Existen ciertas restricciones en cuanto a los esfuerzos máximos a que pueden ser sujetados tanto el concreto como el acero de los elementos pretensados y estos son los siguientes:

 Los esfuerzos permisibles en el concreto inmediatamente después de la transferencia del presfuerzo, y antes de las perdidas de presfuerzo dependiente del tiempo deben ser menores a:

*Esfuerzo a la fibra extrema a compresión 0.6 f’ci

*Esfuerzo en la fibra extrema a tensión 0.8 f’ci

*Esfuerzo en la fibra extrema de tensión,

en los extremos del elemento simplemente apoyado 1.6 f’ci

 f´ci = En Kg/cm², es la resistencia a compresión del concreto a la edad en que ocurre la transferencia. Esto ocurre en el concreto pretensado en el momento de que se cortan los cables o se disipa la presión del gato.

 Cuando el esfuerzo a tensión excede a este valor, se requiere de acero de refuerzo en esta área de la sección para que resista la fuerza total de tensión.

1.1) ESFUERZOS PERMISIBLES EN LA TRANSFERENCIA

• Los esfuerzos máximos cuando se aplican las cargas muertas y vivas de servicio son:

o Esfuerzo a la fibra extrema a compresión  0.45 f’c o Esfuerzo en la fibra extrema a tensión 0.6     f’c

o Estos valores pueden excederse con tal que se justifique que el comportamiento estructural del elemento será el correcto, y siempre y cuando el valor a tensión no sea mayor a  3.2    f’c

• En el caso de que el valor a tensión sea mayor a este, se puede colocar acero de refuerzo en la fibra a  tensión, de tal forma que se considera un elemento parcialmente presforzado si su índice de 

presfuerzo así lo indica.

• f´c = Kg/cm²

o Debidos a la fuerza aplicada por el gato    0.8FSR    (15, 200 Kg/cm²) o Inmediatamente después de la transferencia 0.7FSR     (13,300 Kg/cm²)

• FSR= Es el esfuerzo resistente del acero de presfuerzo, (19,000 Kg/cm²)

ESFUERZOS PERMISIBLES

1.2) ESFUERZOS PERMISIBLES EN SERVICIO

1.3) ESFUERZOS PERMISIBLES EN EL ACERO DE PRESFUERZO

MECANICA DE MATERIALES

2ª  PARTE:

REPASO

UNIDADES/ CONCEPTOS BASÍCOS

LEY DE HOOKE / MÓDULO DE ELASTICIDAD MOMENTO DE PRIMER  ORDEN DE UN ÁREA  Y  CENTROIDE

MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN O  MOMENTO DE INERCIA

ECUACIÓN GENERAL DE ESFUERZOS  (ESCUADRÍA)

CALCULO DE ESFUERZO EN ELEMENTOS  PRESFORZADOS

RESUMEN DE ETAPAS Y ESFUERZOS

CONCEPTOS BASICOS / UNIDADES

Pa, MPa mm.

mm.

mm³

(N mm) , (KN ml) N KN.

Kg./cm² cm cm cm³

Kg. cm, Kg.m, Ton.m Kg, Ton.

Módulo de elasticidad Inercia

Centroide

Módulo de Sección Momento Flexiónante Cortante

E I C S M

V

Kg/cm² Limite de capacidad.

Fuerza por unidad de área RESISTENCIA

Y ESFUERZO

mm.

cm,m Cambio de forma, ley de Hooke

DEFORMACIÓN

mm.²

1cm ² = 100 mm ² cm.², m²

1m² = 10,000 cm² Las dimensiones que quedan

comprendidas dentro de un cuerpo.

AREA

Newton, KN 1N = 0.10197 Kgf Kg/ml x 0.00981=Kn/ml Kg., Ton

1 Kgf = 9.81 N

1 Ton/ml x 9.81 = 9.81 KN/ml Acción capaz de producir un

movimiento ó deformación FUERZA

UNIDADES

MKS SI DEFINICIÓN

CONCEPTO

m2

1Pa  1N

2 2

. 10

1 cm

MPa  Kg

2

1x106

1MPa  N/M MPa

, Pa

4

MPa 0986 . 0 cm 1 Kg

2 

4

LEY DE HOOKE : 

MÓDULO DE ELASTICIDAD

Ley de  Hooke

(Robert Hooke matemático Ingles 1635‐1703 )







 

E

 

Para estructuras dentro del rango elástico tenemos que el esfuerzo  es directamente proporcional a la deformación  ε

E = Módulo  de elasticidad ó módulo de Young [ Kg/ cm² ]

Tomas Young científico Ingles (1773‐1829 )

Parámetro que caracteriza el comportamiento elástico de los materiales y Se obtiene experimentalmente mediante una prueba de tracción.

De la Ec. 1





 E Ec . 1 

Ec _  L 2

. A

Ec . 3   P

Deformación  Unitaria

Esfuerzo

Sustituyendo Ec.2 y 

Ec. 3 en Ec. 1 Despejando  



AE P L 



AE

 PL



MOMENTO DE PRIMER ÓRDEN DE UN ÁREA “Q” 

Momento de Primer Orden: Centroide de un área:

Momento de primer orden del Área  A respecto a X

Análogamente  el momento de primer orden respecto a Y

A y  Qx A

 Qy X

El eje centroidal de una área irregular ó compuesta es igual a la suma de Momentos Estáticos de las áreas en que se divide entre la suma total del Área.

ydA Qx  

dA Qy   _{A X}



0 X

y

X

Y

0 X

y

A

c A

dA X

Y

EJEMPLO:  MOMENTO DE PRIMER ÓRDEN Y CENTROIDE

1) Cálculo del Momento de Primer orden:

2) Localización del eje centroidal 20

Y=46

60

y

C

20 20

A

y =30 2

x

d =24

d =162

2

A1

y =70 1 1

40

SECCIÓN b h A  y Q=A  y

A1

A2

80

40

20

60

1,600

2,400

70

30

112,000

72,000

∑ = 4,000 cm²       184,000 cm³

cm 6 000 4

, 4

000 ,

184 



 At

y Qx

MOMENTO DE SEGUNDO ÓRDEN  Ó MOMENTO DE INERCIA.

Radio de giro

Momento de Inercia es una medida escalar que  refleja la distribución de la masa de un cuerpo  en  rotación respecto al eje de giro.  

Indica la resistencia de un cuerpo a rotar respecto 

de un eje determinado

A

I

r

^

2

1

Ad

I Ix  x 

dA x

Iy   _A

dA y

Ix   _A

0 X

y

A

dA

X

Y

0 X

y

A

dA c

d

X¹

Teorema de los ejes 

paralelos

EJEMPLO DE MOMENTO DE INERCIA Ix

Seleccionamos un elemento de área diferencial dA como una  franja horizontal de longitud b y espesor dy,  como todos los  puntos de las franjas están a la misma distancia y del eje X, el  momento de inercia de la franja respecto  dicho eje es:

Integrando desde

2

2 2

2

3 2

2

3 1

h

h h

h

y bdy by

dA y Ix















12 12

1 ₃

h bh

bh A

r

) ( dI x  y

dA  y

bdy

3 3

3

12 1 8

8 3

1

(

^

) ^



Radio de giro ry

2 2

hasta h

h 

b



h

y

0 x

b h

y

0 x

h 2

dy y h

2

EJEMPLO: Determine el Ix del área mostrada con  respecto al eje centroidal x

1) Localización del eje centroidal

SECCIÓN b h A  y Q=A  y

A1

A2

80

40

20

60

1,600

2,400

70

30

112,000

72,000

4 2

2

11 2 720,000 2400x16 1,334,400cm 2

2

2

I x A

I



 





d

x

∑ = 4,000 cm²       184,000 cm³

4 3

3

1

x80x20 53,333.3cm

12 1 12

x 1

I ^{ bh  }

[ Dimensiones en cm]

2)       MOMENTO DE INERCIA Momento de Inercia del Área 1

2 2 1

1

53,333 1600x24

1 A 1 ) 1

I

x (

I ^{ x  d  }

Momento de Inercia del Área 2

000 , 720 60

x 40 12 x

1 12

1 2

3 3

11

) x I

(

4 2

1

333 , 309 , 2 400 , 334 , 1 933 ,

x

I x

I

I x



 







 





cm 6 000 4

, 4

000 ,

184 



 Ai

y

20

Y=46

60

y

C

20 20

A

y =30 2

x

d =24

d =162

2

A1

y =70 1 1

40

 974,933cm

Momento de Inercia Total

PROPIEDADES GEOMETRICAS 

DE AREAS PLANAS

PROPIEDADES GEOMETRICAS  DE LA SECCIÒN

y1 y2

C

73.84 73.5

63.8 51.00

39.00

y2 (cm)

81.3 61.5

51.2 40.07

32.00

y1 (cm)

21,565,200 10,261,070

5,257,638 2,056,660

926,273

I (cm4)

6,463 4,974

3,629 2,325

71

A (cm²)

V IV

III II

I

Peralte _{91 115 135 160}

1,743

Wo (Kg/m)

418 558 871 1,194 1,551

TRABES TIPO AASHTO

TIPO

PROPIEDADES GEOMETRICAS  DE LA SECCIÒN

TIPO PERALTE

NU 900

90

NU 1100

110

NU 1350

135

NU 1600

160

NU 1800

180

NU 2000

200

A (cm²) ^{4,168.32 4,467.40 4,841.06 5,214.74 5,513.81 5,812.88}

I (cm4) 4,589,490.94 7,587,024.8 12,584,091.18 19,083,461.65 25,445,392.49 32,906,923.52

y1 (cm) ^{40.89 49.78 60.96 72.14 81.28 90.68}

y2 (cm) ^{49.11 60.22 74.04 87.87 98.72 109.32}

Wo

(Kg/m) ^{1,000 1,072 1,161 1,251 1,323 1,395}

TRABES TIPO NEBRASKA

y1 y2

C

97.5 122.5

18

PROPIEDADES GEOMETRICAS  DE LA SECCIÒN

TRABES TIPO CAJÒN

PERALTE 85 115 135 150 170

A = cm² ^{5,142.7 5,737.7 6,095.5 6,367 6,734}

I =cm4 ^{4,905,294 10,541,098 15,669,164 20,306,424 27,602,737}

y1=cm ^{51.6 69.2 80.6 89.1 100.3}

y2=cm ^{33.4 45.8 54.4 60.9 69.7}

Wo

Kg/m ^{1,234 1,377 1,463 1,528 1,616}

C

y2

y1 200

15 9

ECUACION GENERAL  DE LA ESCUADRIA

I x My

x Mc

σ

σ



 I

C  I

Esfuerzo flexionante.

Para cualquier distancia  Y

Depende solo de la geometría de la sección  transversal y se conoce como módulo elástico  de sección y se denota por S

C S  I



S

 M







A x P

σ ^{ }

Esfuerzo Axial.

ECUACION GENERAL  DE LA ESCUADRIA

2

2 x

Iy y My

Ix Mx A

a P

σ ^{   }

Ecuación General de la escuadría

 

Sy My Sx

Mx A

a P

σ ^{   }

σ a

y

x

P

Mx= Py1 My= Px1

x1 y1

x2

y2

Mx= Py My= Px

• EQUILIBRIO DE FUERZAS

Externas FUERZAS EN UN CUERPO  

Internas

Entre dos cuerpos se genera una fuerza en el punto en que se tocan.

Equilibrio = exteriores + interiores = 0

DISEÑO

EXTERIORES INTERIORES

Simplemente apoyado:

Empotrado:

Cantiliver:

APOYOS

ESFUERZOS EN ELEMENTOS  PRESFORZADOS

PARAMETROS GEOMETRICOS

Etapa Área Propiedades Concreto

Sección Simple A_ss Iss

Iss Sss =  

Y1 ó Y2

F’ci

Sección Compuesta A_sc Isc

Isc Ssc = 

Y1”c , Y2”c ó Y2*

F’c

h^ss h^sc

nb^e

Asp

e¹

Y1

Y2

Sección Simple

Sección Compuesta

Y^2"c Y2*

Y^1"c Y^1"c

p = Esfuerzo debido al presfuerzo axial.

pe= Esfuerzo debido al presfuerzo excéntrico.

pp= Esfuerzo debido al peso propio en sección simple.

f= Esfuerzo debido al peso del firme.

mc= Esfuerzo debido al peso de la carga muerta.

cv= Esfuerzo debido al peso de la carga viva.

Sección Simple Sección Compuesta

ESFUERZOS EN ELEMENTOS  PRESFORZADOS

p pe ^pp ^f ^mc ^cv 

REVISION ESFUERZOS  PERMISIBLES CON f´ci=0.8 f’c

REVISION ESFUERZOS  PERMISIBLES CON f’c

TRANSFERENCIA SERVICIO

(1)

(2) (3)

(4)

COLADO  DEL FIRME

(1) (1) (2) (3) (4) (4)

ESFUERZOS EN ELEMENTOS  PRESFORZADOS

1) ESFUERZOS ENE EL CONCRETO DEBIDO AL PRESFUERZO

Siempre que el concreto y el acero de un elemento estén trabajado dentro del rango elástico, se pueden calcular los esfuerzos tanto de la fibra inferior como de la superior del

elemento provocados por la fuerza presforzante inicial mediante la superposición de los efectos axiales y de flexión, por lo que:

(‐) Compresión (+) Tensión





A = Área de la sección simple

e = Excentricidad del presfuerzo medida desde el centroide de la sección simple Y1 = Distancia medida del centroide de la sección simple a la fibra inferior.

Y2 = Distancia medida del centroide de la sección simple a la fibra superior I = Momento de inercia de la sección del elemento de la sección simple

2 1

2 1

I Y e P A P

I Y e P A P

i i

i i

















2) En el momento en que se transfiere la fuerza presforzante al elemento, se presenta una contaflecha en éste, lo que provoca que el elemento en vez de tener toda la superficie inferior de este como apoyo, solo le queden algunos puntos de apoyo en los extremos, por lo que el peso propio de la pieza provoca esfuerzos inmediatamente después de la aplicación de la fuerza presforzante y estos se calculan de la siguiente manera:

ESFUERZOS EN ELEMENTOS  PRESFORZADOS

Esfuerzos debidos al presfuerzo

2 2

1 1

2

I Y Mo I

Pe A

P

I Y Y Mo I Pe A

i P





















(1) (2)

(1) Esfuerzo debido al presfuerzo (2) Esfuerzo debido al peso propio

3) El siguiente estado de esfuerzos que se debe analizar es el momento en que se le aplica el firme a la sección. Sin embargo, al encontrarse este en estado fresco, es una carga que en este momento debe ser absorbida solamente por la sección simple del elemento, por lo que se presentan los siguientes esfuerzos.

Mf = Momento flexionante debido al peso del firme.

ESFUERZOS EN ELEMENTOS  PRESFORZADOS

) 2 ) (

2 (

) ) (

1 (

2 2

1 1 1

I Y Y M

I Y Mo I Pe A P

I Y Y M

I Y Mo I Pe A P

firme firme

























W

4) Una vez que el firme ha adquirido su resistencia necesaria, se aplican las cargas muertas y  vivas  adicionales. La sección se debe de revisar para ver que esfuerzos se presentan, ya incluyendo la  sección compuesta. 

ESFUERZOS EN ELEMENTOS  PRESFORZADOS

* 2 2

1 1

)

* ( 2

2 ) (

2 ) 2 (

1 ) (

) 1 (

Ic Y

Mcv Mcm

Ic

c Y Mcv Mcm

I

Y Mf Y Mo

I Pe A

P

Ic

c Y Mcv Y Mcm

I Mf Y Mo

I Pe A

P

C C

 

 

 







 

 













causado por las cargas muerta Mcv = Momento flexionante  causado por las cargas vivas

El subíndice “ c ” en algunas letras  significa que es de la sección 

compuesta.

s2* = Fibra superior, incluyendo el  firme de la pieza

Y2* = Distancia a la fibra superior,  ya incluyendo el firme de la sección 

W

+ W

Ejemplo 1:    Presfuerzo axial

EJEMPLO   1) .‐ CALCULAR el ESFUERZO   en L/2 y en APOYOS debidos a P

P

L=6.0 mts.

W=2 t/ml.

P=90 tons

أ ) Propiedades geométricas

4 3

3 15 60 270,000

12 1 12

I

000 3

, 30 9

000 , 270

S

3 2

2

000 , 6 9

60 15 6

S

Ó

أأ ) Elementos Mecánicos

ton.m 8

6 2 8

WL

9

M

000Kgcm ,

900

2

2 100 /

900 000 ,

90 kg cm

cm Kg A

C   P    



100kg/cm2

9,000 900,000 S

M I

fc

ft 

أv) Esfuerzos en L/2 debido a W ESTADO DE ESFUERZOS

أأأ) Esfuerzos debido al presfuerzo axial.

ESTADOS DE ESFUERZOS EN EL EXTREMO





Solo actúa la fuerza preforzante ya que el Momento en el extremo es 0

c = 3 0 c = 3 0 E N 6 0

-1 0 0 K g /cm . C a rg a P re s fu e rzo W

A x ia l

P re sf.

E xcé n tric o T o ta l.

+ + 0 c

c

t

c =

2 0 0 K g /cm .

-1 0 0 K g /cm . = 0 K g /cm .

2

2 2

2

= 1 0 0 K g /cm .² 1 5 cm







Presfuerzo Axial

Presf.

Excéntrico

+ o = c

= 100 Kg/cm.²

=100Kg/cm.²

o +

W

S M A

fc P

ft    

CASO 2)  .‐ VIGA CON PRESFUERZO EN EL LIMITE DEL NUCLEO CENTRAL

Estado de Esfuerzos en L/2  



 S

M S

Pe A

P 

fi =  Esfuerzo en la  fibra inferior fs = Esfuerzo en la fibra superior





fs fi

L=6 m W=2 t/ml.

P=45 ton 60

15 P=45 ton

P

h/6 e=10

( + )  Tensión ( ‐ )   Compresión

Presfuerzo

Axial Presf.

Excéntrico

+ c c

45,000

t

= ^- 900 45,000 x 10

9,000

- -

+ ^900,000_9,000

Cargas Externas

t c

Fibra Super = - 50 Kg/cm²

+

+ 50 Kg/cm²

c

t +

t c

=

- 100 Kg/cm² - 100 Kg/cm²

Fibra Inferior = - 50 Kg/cm² - 50 Kg/cm² + 100 Kg/cm²

W=2 t/ml.

P=22.5 ton 60

15

P=22.5 ton e=0.25

e=25 cm L=6 m

CASO 3) .‐ PRESFUERZO UBICADO A 5 cm. DE LA FIBRA INFERIOR

S M S

Pe A

- P fs

fi    

Esfuerzos al centro del claro

9,000 900,000 9,000

22,500x25 900

22,500

-  



2

2

100kg/cm

cm 62.5 Kg

cm

-25 Kg  



+ 37.5 Kg/cm²

c

t +

t c

=

- 100 Kg/cm² - 62.5 Kg/cm²

t c

- 87.5 Kg/cm²

+

COMPRESIÓN

TENSIÓN

‐ COMPRESIÓN + TENSIÓN

T C

Partiendo de la base de que la compresión debe ser igual a la fuerza de tensión de los elementos,  la profundidad del bloque de esfuerzos a compresión, se puede calcular de la siguiente manera:

Finalmente el momento resistente de la sección está dado por la siguiente expresión: 

* Esta expresión esta afectada por un factor de reducción que en este caso para elementos a  flexión, su valor es de 0.9, de tal forma que la expresión queda de la siguiente manera:

Mn Mr 0 . 9

* 

FLEXION  

(*)

Se puede calcular de una forma aproximada el acero de preesfuerzo a la falla con la siguiente  expresión, siempre que el esfuerzo efectivo en este no sea menor a   0.5 FSR.

Para elementos con cables adheridos.

fsp = Esfuerzo en el refuerzo presforzado a la resistencia nominal.

fsr = Resistencia especificada en el acero de presfuerzo (19,000 Kg/cm²)

r

f’’c = Resistencia del concreto = 0.85 f*c; f*c= 0.8 f´c.

El porcentaje de acero esta dado por: 

Ap = Área de presfuerzo en el área de tensión del elemento b   = Ancho de la cara compresión

d    = Peralte efectivo de la sección

FLEXION  

RESISTENCIA AL CORTANTE  

En elementos presforzados donde los cables están adheridos, la resistencia al cortante del concreto  está dado por la siguiente expresión:

Fr  = Factor de resistencia, el cual para el cortante es igual a 0.8 b  = Al ancho del alma

d = Peralte efectivo de la sección f*c = 0.8 f’c

dp = a la distancia de la fibra extrema a compresión al centroide de los cables de preesfuerzo M = Momento flexionante

V  = Fuerza cortante

Sin embargo el valor mínimo de    Vcr = 0.5Fr d b Y no debe ser mayor a       Vcr = 1.3Fr b d

c

f *

c

f *

En secciones con preesfuerzo parcial se aplican las siguientes ecuaciones para obtener la  capacidad del concreto al cortante según el caso: 

El refuerzo por tensión diagonal en vigas presforzadas estará formada por  estribos perpendiculares al eje de la pieza, de grado no mayor a 4200 Kg/cm2, o por malla electrosoldada  cuyo valor de fluencia no debe ser mayor a 4200 Kg/cm2.

La separación de los estribos cuando Vu es mayor a Vcr, está dada por la siguiente ecuación:

Av = Área transversal del refuerzo por tensión comprendido en una distancia S.

= Es el ángulo que forma el refuerzo transversal con el eje de la pieza. 



RESISTENCIA AL CORTANTE  

Para la separación de los estribos en elementos totalmente presforzados existen las siguientes  limitaciones: 

*Esta no debe ser menor a 5 cm 

*Si Vu es mayor que Vcr pero menor o igual que :

*La separación no debe ser mayor que 0.75 h h  = peralte total de la pieza

*Si Vu es mayor la expresión  (b)

*La separación de los estribos no deberá ser mayor que 0.37h

*Vu nunca debe ser mayor a:

) (

* )

)(

( 5 .

1 Fr b d f c        b

c f

d b

Fr ( )( ) * 5

. 2

RESISTENCIA AL CORTANTE  

En el caso de que la sección sea parcialmente presforzada, la separación de los  estribos se calcula con la misma ecuación, y las limitaciones serán las siguientes:

*La separación no debe ser menor de 5 cm

*Si Vu es mayor que Vcr, pero menor o igual a :

*La separación máxima de los estribos no debe ser mayor que 0.5 d

*Si Vu es mayor que la expresión (c), la separación máxima de los estribos es   de 0.25d

En ningún caso se permite que Vu sea mayor que:

) (

* )

)(

( 5 .

1 Fr b d f c      c

c f d b

Fr ( )( ) * 0

. 2

RESISTENCIA AL CORTANTE  

MATERIALES

3ª  PARTE:

CARACTERÍSTICAS  DE LOS MATERIALES

CONCRETO.

VALORES DE DISEÑO Y MÓDULO DE  ELASTICIDAD.

TORÒN, E, Fpu.

ACERO DE REFUERZO.

ACERO ESTRUCTURAL.

MALLA ELECTROSOLDADA.

CONCRETO

Simple  Reforzado

Presforzado CONCRETO

Para resistir tensiones se emplea acero de refuerzo, el   acero  

restringe el desarrollo de grietas originadas por la poca resistencia a la  tensión. También el refuerzo aumenta la resistencia del elemento, para  reducir las deformaciones debidas a las cargas de larga duración y  para proporcionar confinamiento

.

Resistencia a la compresión, pero débil a la tensión

Es la  modalidad del concreto reforzado, en la que se crea un estado  de esfuerzos a compresión ante la aplicación de las cargas. De este  modo, los esfuerzos  de tensión  y producidos por las acciones  quedan  contrarrestados ó reducidos.

El concreto que se usa para presforzar se caracteriza por tener mayor resistencia con  respecto al utilizado  en las construcciones ordinarias. Los valores comunes se encuentran   de f´c=350 Kg/cm² a f´c=500 Kg/cm² . 

Se requiere  de tales resistencias para poder hacer la transferencia del presfuerzo cuando

haya alcanzado un f´ci = 280 Kg/cm² .

VALORES PARA DISEÑO DE ACUERDO 

A LAS  NTC‐CONCRETO.

VALORES MEDIDOS DE MÓDULO 

DE ELASTICIDAD. E  K f ' c

CARACTERISTICAS DEL CONCRETO

EFECTO DE LA RELACIÓN AGUA – CEMENTO..

La resistencia del cemento depende del la relación  agua / cemento;    A  mayor  relación agua /  cemento, menor resistencia.      

CONTRACCIÓN POR SECADO

Uno de los efectos del fraguado del concreto es la  disminución de volumen del mismo, esto es por la  evaporación del agua excedente de la que se requiere para la hidratación  del cemento. Esta contracción  es proporcional a la cantidad de agua empleada en la mezcla, si se requieren contracciones mínimas,  la  relación agua‐ cemento debe ser mínima.       

RELACIÓN DE POISSON

La relación entre deformación transversal y la longitudinal y su  valor varia de 0.15 a 0.20.        DEFORMACIÓN POR FLUJO PLASTICO

Debido a la presencia de esfuerzos permanentes, las partículas que forman el concreto sufren un  reacomodo  que modifica las  dimensiones  de los elementos. Depende de la magnitud de las 

cargas permanentes; de las mezclas; de las condiciones  de curado y de la  edad en  que el concreto  empieza a ser cargado.       

CARACTERISTICAS DEL CONCRETO



E =



0.000050 e2 (0.40



s



s



s

S2 - S1 e2 - 0.000050

CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN  DE TORÓN (diferentes diámetros)

E =  2,000,000 Kg/cm² Fsr ò Fpu= 19,000 Kg/cm² A(

)= 0.987 cm²

El esfuerzo de fluencia se calcula con la  deformación unitaria del 1%. Para el  toròn de ø ½” = 17,000 a 17,500 Kg/cm²  para acero normal y de baja relación respectivamente

El esfuerzo máximo al que  se tensan  es  igual a 0.8 fsr para toròn de ½” =  15,200 Kg / cm2 

Se utilizan principalmente aceros de Baja  relación  ò LO‐LAX.

ACERO DE REFUERZO

Es común  el uso de acero de refuerzo en elementos de concreto presforzado para tomar los  esfuerzos cortantes y de torsión, los esfuerzos por temperatura, los esfuerzos de tension durante la  transferencia, los esfuerzos durante el transporte y dar confinamiento.