Seminario de Inteligencia Artificial Curso Tema 7: Abducción. Dpto. de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial

Seminario de Inteligencia Artificial Curso 2002–03

Tema 7: Abducci´

on

Joaqu´ın Borrego D´ıaz

Dpto. de Ciencias de la Computaci´on e Inteligencia Artificial

Contenido

x Abducci´on

x Abducci´on indirecta

x Mantenimiento de la verdad con abducci´on u Computaci´on en un ATMS

x Abducci´on en cl´ausulas x Implicantes primos

x Cl´ausulas de soporte minimal x Abducci´on por resoluci´on x Aplicaci´on: diagnosis

Abducci´

on

x Abducci´on: Razonamiento para explicar u Es no mon´otono

x Origen: el silogismo disyuntivo:

G, F→G F

x Razonamiento explicativo:

• G es la observaci´on.

Elementos de un problema de abducci´

on

x Observaci´on: la propiedad que necesita ser explicada x Teor´ıa base: descripci´on del dominio

x Objetivo (1): obtener una explicaci´on

x Objetivo (2): obtener una buena explicaci´on

Diagnosis

x Es una aplicaci´on de la abducci´on x Si tenemos:

• Una especificaci´on de un sistema.

• Una condici´on inicial para esta especificaci´on.

• Unos resultados observables, que pueden ser inesperados.

Encontrar una explicaci´on convincente de qu´e ha ocurrido con el sistema

x La especificaci´on del sistema puede tener una modelizaci´on del fallo o no tenerla:

• Diagnosis por abducci´on (teor´ıa del fallo).

• Diagnosis por consistencia (sin teor´ıa del fallo).

Razonamiento Abductivo

x Sea O un conjunto de observaciones, ∆ es una teor´ıa base y H el conjunto de hip´otesis

permitidas

x Abducci´on directa: Un conjunto de proposiciones E es una explicaci´on abductiva de O

si se satisfacen las siguientes condiciones: 1. E ⊆ H

2. ∆ ∪ E |= O

3. ∆ ∪ E es consistente (es decir, ∆ 6|= ¬VE)

x Explicaci´on:

u (1): s´olo se usan hip´otesis permitidas.

Ejemplo

x Consideremos el conjunto de proposiciones Llueve, Suelo mojado, Regando,

Hace Sol u H = {Llueve,Regando} x ∆ := ½ Llueve→Suelo mojado Regando→Suelo mojado u Explicaciones: • E1 = {Llueve} • E2 = {Regando} • E₁ = {Llueve,Regando}

u No mon´otono: Si a˜nado a ∆ la proposici´on Hace Sol, la explicaci´on E

1 no sirve

x E es una explicaci´on minimal si es una explicaci´on tal que ninguna otra explicaci´on est´a

Abducci´

on indirecta

x Abducci´on indirecta:

1. E ⊆ H

2. ∆ ∪ ¬O |= ¬E 3. ∆ 6|= ¬E

u Car´acter deductivo: El objetivo consiste en encontrar teoremas de ∆ ∪ ¬O que no lo sean de ∆

x Nuevos teoremas: Si P el conjunto de producci´on de hip´otesis (f´ormulas que son

acept-ables como hip´otesis), los nuevos teoremas que a˜nade ψ relativos a ∆ y a P son: New_P(∆, ψ) = P ∩ [Th(∆ + ψ) − Th(∆)]

u Si ψ ≡ ¬O, eligiendo P de manera adecuada, el conjunto New

P(∆, ψ) son las explicaciones u Las explicaciones minimales ≡ teoremas primos: nuevos teoremas que no son consecuencia de

Mantenimiento de la verdad (ATMS)

x De car´acter proposicional

x ∆ es un conjunto de cl´ausulas de Horn

x Las hip´otesis y las observaciones son ´atomos positivos u _{Utilidad de los ATMS: como componentes de los sistemas:}

Resolvedor de problemas ATMS Cl. de Horn Cuestiones Respuestas

Propiedades y ejemplo

x Sirve para explicar las observaciones del sistema x H es un conjunto de ´atomos

x Una teor´ıa base ∆ compuesta por cl´ausulas de Horn del tipo:

p₁ ∧ · · · ∧ p_n→c donde c es un ´atomo ´o ⊥.

x Ejemplo: sea H la teor´ıa base:

a, b→⊥ d, e→c2

a→c₁ c₂→d b, d→c₁ f→c₂ b→d b, e→⊥

Ejemplo

x Representaci´on gr´afica c1 c2 d a b e f

Mecanismo de Inferencia

x Inferencia: c´alculo de la etiqueta de cada nodo u Etiqueta: conjunto de entornos

u Entorno: subconjunto de H

x Propiedades de los entornos de la etiqueta de c:

• Consistencia: Todo entorno X es consistente con ∆ (excepto ⊥)

• Adecuaci´on: Adecuaci´on: ∆ ∪ X |= c

• Completitud: Si ∆ ∪ Y |= c y ∆ ∪ Y 6|= ⊥, entonces existe X en la etiqueta de c tal que X ⊆ Y.

Reglas de computaci´

on de un ATMS

x Las etiquetas se calculan de manera incremental mediante operaciones conjuntistas u Entornos de ⊥: MALOS

x Reglas de computaci´on:

• Cada nodo-hip´otesis es un entorno de s´ı mismo.

• Los nodos OR toman la uni´on de las etiquetas de sus antecesores.

• Los nodos AND hacen el producto cruzado de los entornos de sus ancestros.

• Si una etiqueta est´a subsumida por un entorno MALO, se elimina.

• Si un entorno est´a subsumido por otro, se elimina.

x Se aplican partiendo de los nodos-hip´otesis

x Como el n´umero de posibles entornos es finito, la aplicaci´on de esas reglas encuentra

Computaci´

on del grafo

x Inicializando los entornos de H y calculando los primeros entornos de ⊥, c

1 y c2 c1 c2 d a b e f a b e f d a,b b,e a b,d f d,e

Computaci´

on del grafo (II)

x Grafo final: c1 c2 d a b e f a b e f d a,b b,e a f d,e b b f

Complejidad y limitaciones

x Est´a dise˜nado para cl´ausulas de Horn

x El tama˜no de las etiquetas puede ser exponencial x Incluso el c´alculo de una s´ola etiqueta es NP-duro

Extensi´

on a cl´

ausulas

x Implicantes primos: C es un implicante primo de ∆ si:

• ∆ |= C (implicante)

• No existe otro implicante C0 ( C

x La contenci´on C ⊆ C0 es la subsunci´on proposicional

x Ejemplo: Si ∆ =

½

p ∨ ¬q p ∨ q

¬p ∨ q ¬p ∨ ¬q , el ´unico implicante primo es ¤

x Ejemplo: Si ∆ =

½

¬p ∨ q ¬r ∨ q

p ∨ r , el ´unico implicante primo es q

x Implicantes primos y deducci´on:

Explicaciones con implicantes primos

x Objetivo: Encontrar las explicaciones minimales de cl´ausulas unitarias x Si E = {e

1, . . . ,en} es una explicaci´on, ¬E es una cl´ausula

Propiedad:

x Si π = ¬e

1 ∨ . . . ∨ ¬e1 ∨ c es un implicante primo, entonces por el punto anterior c

debe ser consecuencia de ∆ ∪ {e₁, . . . ,e_n}

u _{e

1, . . . ,en} es consistente con ∆: si no, entonces

∆ |= ¬E

contradicci´on con que π sea primo (an´alogamente es minimal).

x Consequencia: Son equivalentes:

• {e₁, . . . e_n} es una explicaci´on minimal de c, un ´atomo.

Ejemplos y generalizaciones

x Ejemplo: Sea ∆ :=        a→c b→c e₁→a ∨ b e2→b ∨ c u ¬e

1 ∨ c y ¬e1 ∨ c son implicantes primos. Si el conjunto de hip´otesis es H = {e1,e2}, entonces

son explicaciones minimales

x S es una cl´ausula de soporte minimal para C si

1. ∆ |= S ∪ C (es decir, ∆ ∪ ¬C |= S) 2. ∆ 6|= S

Expl. minimales/soporte minimal

x La negaci´on de una cl´ausula de soporte minimal es una explicaci´on minimal

x Si S es de soporte minimal para C, entonces existe un implicante primo Π de ∆ tal que

1. Π ∩ C 6= ∅

2. S = Π \ C

x Para {¬e

2}, Π = {¬e2, c} es un implicante primo

Abducci´

on por resoluci´

on

x Se basa en calcular directamente New

P(∆, ψ), utilizando la resoluci´on lineal: Dados

• ∆ la teor´ıa base

• PH el conjunto productor de hip´otesis, donde cada literal es de la forma ¬a, a ∈ H

• Observaciones, O.

encontrar C ⊆ P_H tal que ∆ ∪ ¬O ` C

x Soluci´on: Resoluci´on con residuo:

1. Hallar la forma clausal de ∆ y de ¬VO

2. Hacer resoluci´on lineal partiendo de ¬VO como cl´ausula top y como cl´ausulas de entrada las de ∆

Ejemplo

x Sea ∆ la teor´ıa 1. ¬Mo(A,B, C,t) ∨ Libre(A, t + 1) ∨ Libre(B, t + 1) 2. ¬Libre(B, t + 1) ∨ Sobre(B, C,t + 1) 3. ¬Libre(A, t + 1) ∨ Sobre(B, C,t + 1) 4. ¬Mo(A,C, B,t) ∨ Libre(B, t + 1) ∨ Libre(A, t + 1) x H = {Mo(A, B,C), Mo(A, C, B)} x P H ≡ {¬Mo(A,B, C), ¬Mo(A, C,B), ¬Mo(A, B,C) ∨ ¬Mo(A, C,B)}

Explicando la observaci´

on

x Observaci´on: O = Sobre(B,C, t + 1) x Resoluci´on lineal:

1. {¬Sobre(B, C, t + 1)}

2. {¬Libre(B, t + 1)} [Res. con (2)] 3. {¬Mo(A, B,C, t),Libre(A, C, t + 1)} [Res. con (1)] 4. {¬Mo(A, B,C, t),Sobre(B, C, t + 1)} [Res. con (3)]

5. {¬Mo(A, B,C, t)} [Res. con la l´ınea (1)]

Estudio del m´

etodo

x Cuando trabajamos con proposiciones, es completo para encontrar alguna explicaci´on x No es correcto para calcular µNew

P(∆, ¬O),

u _{Hay que comprobar que ∆ +¬D es consistente (en caso contrario, es consecuencia de ∆).} x No es eficiente, a no ser que se ordenen los literales de la cl´ausula a resolver

u Soluci´on: ordenar cada cl´ausulas, salt´andose literales de P

H (resoluci´on SOL)

u Es completo para calcular New

P(∆,¬O)

x No calcula s´olo los implicantes primos

u Pero se puede calcular los implicantes primos, si se calculan todos.

Aplicaci´

on: diagnosis

x Supongamos que tenemos como teor´ıa la descripci´on del circuito:

a_1 x_1 a_2 x_2 o_1 f_1 u    Xorg(X1), Xorg(X2) Andg(A1), Andg(A2)

La teor´ıa base

x Declarando las conexiones:

               I(1, F1) = I(1, X1), I(2, F1) = I(2,X1) I(1, F1) = I(1, A1), I(2, F1) = I(2,A1) I(3, F1) = I(2, X2), I(3, F1) = I(1,A2) O(1, X1) = I(1, X2), O(1, X1) = I(2,A2) O(1, A2) = I(1, O1), O(1, A1) = I(2,O1) O(1, X2) = O(1, F1), O(1, O1) = O(2,F1) x Funciones de verdad: f_a(0, 0) = 0, f_a(0, 1) = 0, . . . f_o(0, 0) = 0, f_o(0, 1) = 1, . . . fx(0, 0) = 0, fx(0, 1) = 1, . . .

Comportamiento normal de las puertas l´

ogicas:

x Componente AND:

∀x(Andg(x) ∧ ¬Anormal(x)→O(1, x) = f_a(I(1, x),I(2, x)))

x Componente OR:

∀x(Org(x) ∧ ¬Anormal(x)→O(1, x) = f_o(I(1, x),I(2, x)))

x Componente XOR:

Comportamiento defectuoso:

x En algunos problemas se puede describir el comportamiento defectuoso

x En el nuestro especificaremos el comportamiento defectuoso de las puertas l´ogicas u Para especificar errores en las conexiones es m´as ´util la representaci´on del circuito del tema 2 x Especificaci´on del cortocircuito de una conexi´on Xor ´o Or:

u Usamos el predicado de funcionamiento anormal,

∀x(Org(x) ∨ Xorg(x) ∧ Anormal(x)→O(1,x) = In(2,x))

u En principio, es posible que no dispongamos de una axiomatizaci´on de este tipo x En nuestro caso, no sabemos nada acerca de las puertas And

El problema de la diagnosis

x Problema: conociento las entradas y salidas del circuito, si ´esta es defectuosa, encontrar

una explicaci´on

u Encontrar una conjunci´on α de ´atomos del tipo Anormal(c) y ¬Anormal(c) tal que

∆ ∪ Entradas ∪ {α} |= Observaciones

x Ejemplo:

• Entrada: I(1,f) = 1,I(2, f) = 0, I(3,f) = 1

Ejemplo de explicaci´

on no minimal

x Ejemplo de explicaci´on no minimal:

Anormal(b₁) ∧ Anormal(b₂) ∧ ¬Anormal(a₁)∧ ∧Anormal(a₂) ∧ Anormal(o₁)

x No es minimal. Las minimales son:

Anormal(X₁) ∧ ¬Anormal(A₁) ∧ Anormal(O₁)

Anormal(X₁) ∧ ¬Anormal(A₁) ∧ ¬Anormal(A₂)

X1 X2 A1 A2 O1 ¿Explicaci´on? 1 1 1 1 1 No 1 1 1 1 0 No 1 1 1 0 1 No 1 1 1 0 0 No 1 1 0 1 1 Si 1 1 0 1 0 No 1 1 0 0 1 Si 1 1 0 0 0 Si 1 0 1 1 1 No 1 0 1 1 0 No 1 0 1 0 1 No 1 0 1 0 0 No 1 0 0 1 1 Si 1 0 0 1 0 No 1 0 0 0 1 Si 1 0 0 0 0 Si 0 1 1 1 1 No 0 1 1 1 0 No 0 1 1 0 1 No 0 1 1 0 0 No 0 1 0 1 1 Si 0 1 0 1 0 No 0 1 0 0 1 Si 0 1 0 0 0 No 0 0 1 1 1 No 0 0 1 1 0 No 0 0 1 0 1 No 0 0 1 0 0 No

Diagnosis por consistencia

x El modelo anterior no es general

u Necesita de una teor´ıa del fallo: c´omo se comporta la puerta defectuosa

x En general est´a especificada su buen funcionamiento, pero no su mal funcionamiento x Sin teor´ıa de fallo, podr´ıamos afirmar que todas las componentes fallan

u Sin embargo, es importante encontrar una explicaci´on minimal

u Sea ∆ la base de conocimiento (puede contener teor´ıa de fallo o no). Encontar un conjunto

minimal de componentes D tal que el conjunto

{Anormal(c) : c ∈ D} ∪ {¬Anormal(c) : c ∈/ D} Sea consistente con ∆ ∪ Entradas ∪ Observaciones

u _{Una explicaci´on no minimal es {Anormal(X}

1),Anormal(X2),Anormal(A1),Anormal(O1)}

u Explicaci´on minimal Anormal(X

1)

Diagnosis para el ejemplo

x Se obtienen tres:

• {Anormal(X₁)}

• {Anormal(X₂), Anormal(A₂)} • {Anormal(X₂), Anormal(O₁)}

x Diferencias con el m´etodo abductivo:

• En el caso abductivo, poca teor´ıa de fallo, pocas explicaciones (por ejemplo, no dice acerca de la anormalidad de puertas AND)

X1 X2 A1 A2 O1 ¿Consistente? 1 1 1 1 1 Si 1 1 1 1 0 Si 1 1 1 0 1 Si 1 1 1 0 0 Si 1 1 0 1 1 Si 1 1 0 1 0 Si 1 1 0 0 1 Si 1 1 0 0 0 Si 1 0 1 1 1 Si 1 0 1 1 0 Si 1 0 1 0 1 Si 1 0 1 0 0 Si 1 0 0 1 1 Si 1 0 0 1 0 Si 1 0 0 0 1 Si 1 0 0 0 0 Si 0 1 1 1 1 Si 0 1 1 1 0 Si 0 1 1 0 1 Si 0 1 1 0 0 No 0 1 0 1 1 Si 0 1 0 1 0 Si 0 1 0 0 1 Si 0 1 0 0 0 No 0 0 1 1 1 No 0 0 1 1 0 No 0 0 1 0 1 No 0 0 1 0 0 No 0 0 0 1 1 No 0 0 0 1 0 No 0 0 0 0 1 No 0 0 0 0 0 No

Bibliograf´ıa

x K. Konolige: Abductive theories in AI. en Principles of Knowledge reasonning CSLI pub.