Nombre: ________________________________________ C.I.: _________________________________________
El tiempo previsto para realizar el parcial es de 2 horas. El total es de 40 puntos y deben obtener un mínimo de 16 para permanecer reglamentados. ¡Mucha suerte!
Ejercicio 1 (10 puntos)
La Encuesta Nacional de Juventud realiza un relevamiento de los jóvenes entre 14 y 29 años. Con los datos de la encuesta es posible clasificar a los jóvenes en estudiantes y trabajadores. La probabilidad de encontrar un joven trabajando es 0,48. Por otra parte, se sabe que la probabilidad de encontrar un joven que estudie dado que trabaja es 0,37 y la de encontrar un joven que estudie dado que no trabaja es 0,76. En base a estos datos se le solicita:
1. Encuentre la probabilidad de que un joven de la muestra estudie.
2. Sabiendo que la probabilidad de que un joven estudie y trabaje es de 0,18, calcule la probabilidad de que un joven no estudie ni trabaje.
Ejercicio 2 (10 puntos)
Sea X el volumen en metros cúbicos de gas natural que consume un hogar en un mes. Se sabe que X sigue una distribución Uniforme [a,b], con parámetros a = 5 y b = 15.
1. Hallar la media de metros cúbicos consumidos por mes.
2. Determinar 𝑥!,!", el valor del volumen de metros cúbicos consumidos de gas natural que
acumula una probabilidad de 75% para valores menores o iguales (percentil de la distribución).
3. Calcular la probabilidad de que un hogar consuma entre 8 y 12 metros cúbicos de gas natural en un mes.
Recordar que: 𝑃 𝑋≤𝑥 = 𝑥−𝑎 ∗ ! !!!
ESTADISTICA Y SUS APLICACIONES EN CIENCIAS SOCIALES. Primer parcial – 2016 / Montevideo, 21 de mayo de 2016.
Ejercicio 3 (10 puntos)
La distribución de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias (X, Y) está dada por:
PXY(x,y) Y: 0 1 2
X:
0 0.08 0.05 0.2
2 0.10 0.12 0.12
4 0.15 0.08 0.10
1. ¿Son independientes X e Y? Fundamentar.
2. Hallar 𝑃(𝑋 ≥2/𝑌≥1). (Recordar la definición de probabilidad condicionada) 3. Calcular 𝑃(𝑋+𝑌≤4).
Ejercicio 4 (10 puntos)
El Instituto Nacional de Evaluación Educativa (Ineed) sabe que la media poblacional de las notas de matemática en alumnos de cuarto año de secundaria es 78 y la varianza poblacional es de 60. En base a esta información el Ineed desea determinar:
1. En una muestra de 15 estudiantes, ¿qué tan probable es que la media muestral sea menor a 76,5 puntos?
2. Si la muestra es de 100 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre 77 y 80 puntos?
3. Determine el tamaño de muestra óptimo, si se desea que la discrepancia con la media muestral no sea superior a ±2 puntos, con un nivel de confianza de 95%.
SOLUCION
Solución Ejercicio 1 (10 puntos) 1. 𝑃 𝑇 =0,48→𝑃 𝑇! =0,52 𝑃 𝐸/𝑇 =0,37 𝑃 𝐸/𝑇! =0,76 𝑃 𝐸 =𝑃 𝐸∩𝑇 +𝑃 𝐸∩𝑇! =𝑃(𝐸/𝑇)𝑃(𝑇)+𝑃(𝐸/𝑇!)𝑃(𝑇!) 𝑃(𝐸)=0,37∗0,48+0,76∗0,52=0,5728
La probabilidad de que un joven de la muestra estudie y trabaje es de 0,5728. 2.
𝑃 𝐸!∩𝑇! =𝑃 𝐸! +𝑃 𝑇! −𝑃 𝐸! ∪𝑇!
𝑃 𝐸!∪𝑇! =1−𝑃 𝐸∩𝑇 =1−0,18=0,82
⇒𝑃(𝐸!∩𝑇!)=(1−𝑃(𝐸))+𝑃(𝑇!)−𝑃(𝐸! ∪𝑇!)= 𝑃(𝐸!∩𝑇!)=(1−0,5728)+0,52−0,82=0,1272
La probabilidad de que un joven de la muestra no estudie ni trabaje es de 0,1272.
Solución Ejercicio 2 (10 puntos) 1.
𝐸 𝑋 =𝜇 =!!!! =!!!"! =10
La media de metros cúbicos consumidos en un hogar por mes es de 10. 2.
Recordando que la densidad de una uniforme se calcula (base por altura): 𝑃 𝑋 ≤𝑥 = 𝑥−𝑎 ∗ 1
𝑏−𝑎
Buscamos el valor de 𝑥 que hace que la densidad sea 0,75. Por lo tanto: 𝑃 𝑋 ≤𝑥!,!" = 𝑥!,!"−𝑎 ∗ 1 𝑏−𝑎 =0,75 𝑥!,!"−5 ∗ 1 15−5=0,75 𝑥!,!"−5=0,75∗10⇒𝑥!,!"=12,5 3.
𝑃(8<𝑋 ≤12) es igual al área bajo la densidad entre 8 y 12.
𝑃 8<𝑋 ≤12 =𝑃 𝑋 ≤12 −𝑃 𝑋 ≤8 =12−5 15−5− 8−5 15−5= 12−8 10 =0,4
La probabilidad de que un hogar consuma entre 8 y 12 metros cúbicos de gas natural por mes es de 0,4.
Solución Ejercicio 3 (10 puntos) 1.
X e Y son independientes si se cumple 𝑃!" 𝑥,𝑦 = 𝑃! 𝑥 ×𝑃! 𝑦 para todo 𝑥,𝑦. En este
caso no se cumple, ya que tenemos 𝑃!" 0,0 =0,08≠𝑃! 0 ×𝑃! 0 = 0,33×0,33= 0,109. Con que en un caso solo no se cumpla la condición, las variables no son independientes. 2. 𝑃(𝑋≥2/𝑌≥1) = 𝑃(𝑋≥2∩𝑌≥1) 𝑃(𝑌≥1) 𝑃 𝑋≥2/𝑌≥1 =𝑃!" 2,1 + 𝑃!" 2,2 + 𝑃!" 4,1 + 𝑃!" 4,2 𝑃! 1 +𝑃! 2 𝑃 𝑋≥2/𝑌≥1 =!,!" ! !!,!" ! !,!".!"! !.! ! !,!" = 0,627. 3.
Se trata de una variable aleatoria nueva 𝑍=𝑋+𝑌, y se pide calcular 𝑃(𝑍 ≤ 4).
Lo primero es encontrar el recorrido de la nueva variable, la cual puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. La cuantía de 𝑍 se obtiene sumando la probabilidades de los pares de (X,Y) que nos dan cada una de las sumas:
𝑃! = 0,08𝑠𝑖 𝑍=0 0,05𝑠𝑖 𝑍=1 0,2+0,1=0,3 𝑠𝑖 𝑍=2 0,12 𝑠𝑖 𝑍=3 015+012=0,27 𝑠𝑖 𝑍=4 0,08 𝑠𝑖 𝑍=5 0,1 𝑠𝑖 𝑍=6 Por tanto: 𝑃 𝑋+𝑌≤4 =𝑃 𝑍≤4 =𝑃! 0 +𝑃! 1 +𝑃! 2 +𝑃! 3 +𝑃! 4 = =0,08+0,05+0,3+0,12+0,27 = 0,82 Solución Ejercicio 4 (10 puntos)
1.
Como conocemos la varianza poblacional, y aunque n<30, tenemos que: 𝑋−𝜇! 𝜎!!/𝑛 = 𝑋−78 60/ 15~𝑁(0,1) 𝑃 𝑋<76,5 =𝑃 !!!" !" !" <!",!!!" !" !" =𝑃 𝑍≤−0,75 =𝑃 𝑍>0,75 = 1−𝑃 𝑍≤0,75 =1−Φ! 0,75 =1−0,7734=0,2266
En una muestra de 15 alumnos, la probabilidad de que la media muestral de las notas sea inferior a 76,5 es de 0,2266.
2.
Dado que conocemos la varianza poblacional y que la muestra es grande, sabemos que:
𝑋−𝜇! 𝜎!!/𝑛 = 𝑋−78 60/100~𝑁(0,1) 𝑃 77<𝑋≤80 =𝑃 !!!!"!" !"" <!!!"!" !"" <!"!!"!" !"" =𝑃 −1,29<𝑋 ≤2,58 = 𝑃 𝑋 ≤2,58 −𝑃 𝑋 ≤−1,29 =Φ! 2,58 −Φ! −1,29 =0,9951−0,0985=0,8966
En una muestra de 100 alumnos, la probabilidad de que la media muestral de las notas se encuentre entre 77 y 80 puntos es de 0,8966.
3.
Si 𝛼=0,05→1−!!=0,975. Debemos buscar el valor de tabla en donde se acumula una probabilidad de 0,975 de una distribución normal (0,1). El valor de una tabla normal (0,1) donde se acumula la probabilidad 0,975 es el valor 1,96. Por lo tanto, para hallar el tamaño de muestra óptimo solamente alcanza con sustituir los valores en la fórmula: 𝑛 = ! !!!! ! ! !! !! = !,!"!×!" !! =57,62
Con una muestra de 58 alumnos se tiene con un 95% de confianza que la media muestral de las notas de los alumnos va a ser de 78.
