Análisis de incertezas con la línea de cálculo CONDOR-CITVAP.

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(1)PROYECTO INTEGRADOR DE LA CARRERA DE INGENIERÍA NUCLEAR ANÁLISIS DE INCERTEZAS CON LA LÍNEA DE CÁLCULO CONDOR-CITVAP. Pablo Javier Octaviano Ingeniería Nuclear. Villaríno, Eduardo. Ferraro, Diego. Director. Co-director. Miembros del Jurado Eduardo Villarino Diego Ferraro Héctor Lestani Carlos Gho. Lunes 12 de Junio de 2017. Lugar de trabajo - INVAP Sede Bariloche. Instituto Balseiro Universidad Nacional de Cuyo Comisión Nacional de Energía Atómica Argentina.

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(5) Índice de símbolos R. : Observable, parámetro de interés que se puede medir de un reactor nuclear.. X. : Parámetro variable.. X. E(. ): Valor esperado de un parámetro. Var(. X. ): Varianza de un parámetro. VarXi (Xj ) : varianza calculada de. X. X. Xj. : Valor promedio de un parámetro. σX : ~r:. X. .. al variar únicamente. X. .. desviación estandar de un parámetro. vector posición.. E: energía del neutrón.. ø: ujo escalar [. neutrones ]. cm2 seg. Σ:. sección ecaz macroscópica.. A:. operador perdidas y absorciones.. P:. operador producciones.. .. v. X. .. Xi ..

(6) vi. Índice de símbolos Factor de multiplicación efectiva. kef f :. Número adimensional que depende del es-. tado del reactor y de la cantidad y ubicación de los distintos materiales que lo integran. Se lo dene como el número por el que hay que dividir al término de la fuente de sión para obtener una solución estacionaria no nula del ujo neutrónico, en ausencia de una fuente externa de neutrones.. kinf :. factor de multiplicación para una conguración innita. ρinf :. kinf −1 kinf. ∗ 105. [pcm].. αT :. coeciente de realimentación por temperatura isotérmico.. αV :. coeciente de realimentación por vacío.. <A1 ,A2 >: producto interno entre 2 operadores. A1. y. A2 .. Se integra sobre todas. las energías, sobre todo el volumen del reactor y sobre todo el ángulo sólido de. Tm. : espesor de meat de una placa combustible.. Tc. : espesor de cladding de una placa combustible.. Tp. : espesor de una placa combustible.. M5 Wm. : % en peso de Uranio 235 en Uranio. : ancho de meat [cm]. 4π ..

(7) A mi hermana Mariana A mi madre Patricia A mi abuela Evelia A mi padre Mario....

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(9) Índice de contenidos Índice de símbolos. v. Índice de contenidos. ix. Índice de guras. xi. Índice de tablas. xiii. Resumen. xv. abstract. xvii. 1. Introducción. 1. 1.1.. Objetivos. 1.2.. Cálculo de reactores. 1.3.. Datos de ingeniería y datos nucleares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.3.1.. Incertezas en Datos nucleares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.3.2.. Incertezas en ingeniería . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.4.. 1.5.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Tolerancias de fabricación de elementos combustibles tipo placa. 2 2. . . . .. 6. . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.4.1.. Fabricación de combustibles tipo placa. 1.4.2.. Tolerancias y distribuciones de probabilidad. . . . . . . . . . . .. 8. Caso de aplicación: Benchmark de OPAL . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 2. Análisis de incertezas y las distintas metodologías posibles. 13. 2.1.. Teoría de perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.2.. Total MonteCarlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 3. Cálculos con la línea CONDOR-CITVAP 3.1.. Descripción de los códigos, la línea de cálculo y las modicaciones pertinentes para utilizar la metodología TMC. 3.2.. 19 . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 3.1.1.. Descripción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 3.1.2.. Modicaciones pertinentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. ix.

(10) x. Índice de contenidos 3.3.. Análisis y resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 3.3.1.. Observables a nivel de celda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 3.3.2.. Observables a nivel de núcleo. 38. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. Mejoras potenciales para el análisis de incerteza con aplicación a la línea de Cálculo CONDOR-CITVAP 51 4.1.. Latin Hypercube Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. 4.2.. Análisis de sensibilidad por descomposición de varianza . . . . . . . . .. 57. 4.3.. Método híbrido para el cálculo de incertezas. 57. . . . . . . . . . . . . . . .. 5. Conclusiones. 61. A. Cálculos asociados a Teoría de perturbaciones. 63. A.1. Cálculo de reactividad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. A.2. Cálculo de observables expresados como ritmos de reacción lineales. Agradecimientos. . .. 63 64. 71.

(11) Índice de guras 208. Pb. [9 ]. 1.1.. Sección ecaz de scattering del. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.2.. Conformación del Sandwich a partir de. 1.3.. Ilustración del Sandwich. 1.4.. Conformación del combustible nal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.5.. Radiografía de una placa combustible . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.6.. distribución supercial de meat. 9. 1.7.. Histograma de espesor de cladding de una placa de elemento combustible. 1.8.. Esquema tridimensional de la maquinaria utilizada para laminar placas. U3 Si2. 5. . . . . . . . . . . . . . .. 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. combustibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. Imagen de OPAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 1.10. Esquema del primer núcleo de Opal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 2.1.. Distribuciones de probabilidad de distintos parámetros en una sola placa. 18. 3.1.. Esquema representativo de la línea de cálculo CONDOR CITVAP . . .. 20. 3.2.. Modelo de elemento combustible utilizado. . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 3.3.. Modelo de una única placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 3.4.. Análisis de convergencia sampleando el enriquecimiento . . . . . . . . .. 25. 3.5.. Sensibilidad del. 3.6.. Sección ecaz de absorción en función de la energía para distintos sam-. 1.9.. ρinf. frente a 2 variables . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 235 pleos obtenidos con TENDL para el isótopo 92 U 3.7.. . . . . . . . . . . . .. 30. Sección ecaz de absorción en función de la energía para distintos sam-. 27 pleos obtenidos con TENDL para el isótopo 13 Al . . . . . . . . . . . . . 3.9.. 29. Sección ecaz de absorción en función de la energía para distintos sam-. 234 pleos obtenidos con TENDL para el isótopo 92 U 3.8.. . . . . . . . . . . . .. 28. 31. Sección ecaz de absorción en función de la energía para distintos sam-. 1 pleos obtenidos con TENDL para el isótopo 1 H. . . . . . . . . . . . . .. 31. 3.10. Sección ecaz de absorción en función de la energía para distintos sam-. 236 pleos obtenidos con TENDL para el isótopo 92 U. . . . . . . . . . . . .. 32. 3.11. Sección ecaz de absorción en función de la energía para distintos sam-. 238 pleos obtenidos con TENDL para el isótopo 92 U. xi. . . . . . . . . . . . .. 32.

(12) xii. Índice de guras 3.12. Desviación estándar en función de la energía para distintos isótopos. . .. 33. . . . .. 34. 3.14. Histograma de factor de pico para el sampleo de distintos isótopos . . .. 35. 3.13. Histograma de reactividad para el sampleo de distintos isótopos. 3.15. Coeciente de realimentación por temperatura isotérmico variando parámetros de diseño. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 3.16. Coeciente de realimentación por vacío variando parámetros de diseño .. 39. 3.17. Comportamiento de la barra 2 con zoom desde 80 % de inserción . . . .. 41. 3.18. Peso de barra 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.19. Peso de barra 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 3.20. Peso de barra 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 3.21. Peso de barra 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45. 3.22. Peso de barra 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 3.23. Reactividades correspondientes a estados críticos del reactor. . . . . . .. 47. 3.24. Valores máximos, mínimos y medios de la reactividad . . . . . . . . . .. 47. 3.25. Factor de pico correspondiente a estados críticos del reactor. . . . . . .. 48. 3.26. Valores máximos, mínimos y medios del factor de pico . . . . . . . . . .. 48. 4.1.. Comparación entre HCLS y el método Random. . . . . . . . . . . . . .. 52. 4.2.. Histogramas obtenidos por HCLS y por Random . . . . . . . . . . . . .. 53. 4.3.. Reactividad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 4.4.. Factor de pico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. 4.5.. Método híbrido de cálculo de incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. ρinf. [pcm].

(13) Índice de tablas 3.1.. Listado de variables en el análisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . .. 26. 3.2.. Tabla de sensibilidad relativa en variables . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 3.3.. Orden de sensibilidad en forma decreciente . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 3.4.. Comparación de valores obtenidos para. . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 3.5.. Comparación de valores obtenidos para el factor de pico . . . . . . . . .. 30. 3.6.. Raíz de la suma de cuadrados, valores presentados en pcm. . . . . . . .. 37. 3.7.. Sampleo simultaneo, valores presentados en pcm . . . . . . . . . . . . .. 37. 3.8.. Resultado del análisis de incertezas en el coeciente de realimentación por temperatura isotérmico. 3.9.. ρinf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. Resultado del análisis de incertezas en el coeciente de realimentación por vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 3.10. Tabla comparativa de resultados obtenidos con resultados experimentales 44. xiii.

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(15) Resumen La motivación del presente trabajo surge de la necesidad de analizar las incertezas asociadas a parámetros de ingeniería, con sus respectivas tolerancias y distribuciones probabilisticas. Tambien se tienen en cuenta las incertezas en datos nucleares, las cuales tienen un impacto directo sobre el cálculo de reactores. Se estudian dos metodologías de análisis de incertezas mostrando las ventajas y desventajas que presenta cada una de ellas y se llega a una conclusión respecto a qué metodología se utilizará en este trabajo. Utilizando dicha metodología, se procede a analizar las incertezas en observables debido a variaciones en parámetros de ingeniería y datos nucleares. Estos resultados podrían ser utilizadas para realizar una realimentación en el diseño de reactores de investigación. Por último, se proponen alternativas y mejoras para hacer más eciente la metodología de análisis de incertezas.. Palabras clave: INCERTEZAS xv.

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(17) abstract The motivation of this project raises from the need of analysing uncertainties asociated with design parameters, with their respective tolerance limits and probability distributions. It is necessary to take into account the uncertainty on nuclear data, which has a direct impact on reactor simulations. Two methodologies of uncertainty analysis are studied, by looking at their advantages and disadvantages. A conclusion is made about which method is more appropiate for this research. Using this methodology, we proceed to analyse the uncertainty of observables due to a variation on engineering parameters and nuclear data. These results could be used to make a feedback on the experimental reactor's design. Finally, we propose alternatives and improvements in order to make the uncertainty analysis methodology more ecient.. xvii.

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(19) Capítulo 1 Introducción El fracaso derrota a los perdedores pero inspira a los ganadores Robert Kiyosaki. El análisis de incertezas en el cálculo de reactores es hoy en día un campo de investigación activo tanto para reactores de investigación como para reactores de potencia. Este análisis tiene implicancias en la integridad de los elementos combustibles dentro de un reactor, el comportamiento de los neutrones dentro del núcleo del reactor, el daño en recipientes de presión, el cálculo de blindaje y radio-protección, almacenamiento de combustibles gastados o la simulación de accidentes. Una de las particularidades del área nuclear es la gran diferencia de escala en las interacciones que se toman en cuenta: desde partículas sub-atómicas (neutrones, protones, etc.) hasta grandes instalaciones (reactores, depósitos de combustibles gastados, etc.) donde se puede ver que efectos a pequeña escala tienen un gran impacto a gran escala. La falta de certeza sobre los parámetros que caracterizan las reacciones que involucran a estas partículas y de los parámetros asociados a componentes (desde los más chicos hasta los más grande dentro del núcleo de un reactor) pueden afectar la dinámica de un reactor nuclear durante transitorios, o pueden hacer que un depósito de almacenamiento de combustibles gastados llegue a la criticidad bajo condiciones especícas. Hace décadas, el hecho de sobre dimensionar los márgenes de seguridad estaba enmascarando el efecto de las incertezas en los datos nucleares, en geometrías con valores inciertos en el reactor y en las composiciones de cada componente que involucraba un reactor. Pero las nuevas condiciones de operación y diseño de las facilidades críticas (cálculos best-estimate, mayor quemado de los elementos combustibles o reducción de costos para almacenamiento de combustibles gastados) ponen a prueba el conocimiento respecto a los datos nucleares,los parámetros de ingeniería en procesos de fabricación de elementos combustibles o elementos estructurales, y el tratamiento de las incertezas asociadas.. 1.

(20) 2. Introducción. 1.1. Objetivos Los objetivos de este proyecto integrador son:. Identicar las incertezas existentes en los parámetros de un reactor, desde dimensiones en componentes estructurales y composiciones en los mismos hasta secciones ecaces.. Hacer un estudio y una comparación de dos metodologías para analizar incertezas, una de ellas conocida como Teoría General de Perturbaciones (GPT por sus siglas en inglés) y otra conocida como Total Montecarlo (TMC).. Analizar las incertezas asociadas a parámetros de fabricación de elementos combustibles, utilizando la metodología TMC, y como modelo al reactor australiano OPAL (Open Pool Australian Lightwater Reactor) [3] diseñado por INVAP. Para esto se recurrirá a la línea de cálculo de reactores y post-procesamiento utilizada por INVAP, que cuenta con los códigos CONDOR, HXS, CITVAP y ARCANE, con asistencia de los programas NJOY y ESINLM[2].. Proponer mejoras en la metología de cálculo utilizada junto con metodologías alternativas, de forma de optimizar los tiempos de cálculo y hacer un análisis con mayor profundidad de las incertezas involucradas en los procesos de fabricación.. 1.2. Cálculo de reactores Las variables necesarias para el análisis de la física de un reactor dependen de la interacción de los neutrones con la materia. Dichas propiedades de la materia están dadas por las secciones ecaces de los materiales y los datos de ingeniería. Estos datos de ingeniería dependen de condiciones operacionales (por ejemplo temperatura, densidad, condiciones del refrigerante, etc) y las secciones ecaces dependen de la energía y la temperatura del material, pero también dependen de ciertos datos especícos como la estructura cristalina y molecular de los materiales en cuestión. Esto hace necesario el desarrollo de modelos que representen la dinámica real de un reactor, ya que se desea conocer el comportamiento de los neutrones dentro del reactor, y cómo estos actúan frente a variaciones de los parámetros mencionados. Para obtener el ujo neutrónico dentro de un reactor nuclear se debe resolver la ecuación de transporte, una ecuación integro-diferencial que cuenta con solución analítica en condiciones muy restrictivas. Pero es una ecuación en la cual se suelen usar muchos métodos y herramientas distintas para resolver casos de interés a través de soluciones aproximadas de la misma..

(21) 3. 1.2 Cálculo de reactores. El ujo neutrónico depende de la posición, el ángulo, la energía del neutrón y el tiempo, por lo que la solución del ujo neutrónico en todo el reactor tomando en cuenta todas estas variables asociadas al sistema requiere una cantidad importante de recursos computacionales. Para el tratamiento de las variables angulares, las mismas pueden ser integradas analíticamente para que el ujo escalar sea directamente calculado; esto se conoce como Método de Probabilidad de Colisión y es útil bajo la aproximación importante de contar con scattering isotrópico. Existen otros métodos como Ordenadas discretas donde se discretiza el ángulo sólido de. 4π en cierto número de direcciones discretas. Por. último, el método de expansión en armónicos esféricos (mejor conocido como método. Pl ,. en el cual se hace un tratamiento analítico de la variable angular), pero tiene. la desventaja de requerir un esfuerzo importante en programación para cada orden de los polinomios. Para el primer orden de este método,. P1 ,. l. considerando scattering. linealmente anisotrópico ,sistemas poco absorbentes y algunas otras aproximaciones que pueden verse en [14], se puede obtener la Ley de Fick, que se utiliza en el método de cálculo conocido como Teoría de Difusión. Respecto a la energía, se utiliza lo que se conoce como esquema multigrupo donde todo el rango energético de neutones es dividido en grupos de energía. La sección ecaz macroscópica condensada de cada grupo cumple con la ecuación 1.1, y con ellas se puede llegar de la ecuación de transporte de neutrones a un sistema de ecuaciones acoplado debido a las secciones ecaces de sión y de scattering de los materiales involucrados.. Z Σg (~r). Z φ(~r, E)dE =. ∆Eg. Σ(~r, E)φ(~r, E)dE. (1.1). ∆Eg. Para analizar la distribución espacial, el reactor se suele dividir en subsistemas pequeños, donde se aproxima la distribución espacial del ujo dentro de cada subsistema a una función constante o lineal. Muchas de las líneas de cálculo disponibles hoy en día usan el hecho de que un reactor nuclear es diseñado usando múltiples elementos combustibles que suelen tener diseños iguales o similares. Esto permite dividir el cálculo del reactor en 2 etapas: La primer etapa conocida como Cálculo de celda, que es llevada a cabo en un subsistema pequeño, por ejemplo un único elemento combustible, pero con una gran resolución espacial y mucho detalle respecto a la distribución energética. En esta etapa, para resolver la ecuación de transporte es necesario utilizar un método de gran precisión (tal es el caso de Probabilidad de colisión, ordenadas discretas o los métodos MonteCarlo). La segunda etapa (conocida como Cálculo de Núcleo ), se lleva a cabo en todo el reactor, pero sin tanto nivel de detalle. Esto es posible debido a la condensa-.

(22) 4. Introducción ción y homogeneización de secciones ecaces macroscópicas de cada subsistema resuelto en el cálculo de celda. En esta etapa se puede utilizar un método menos preciso para calcular la ecuación de transporte, como el método de Difusión y el método de diferencias nitas para resolver, en forma aproximada, la ecuación de transporte en todo el reactor.. 1.3. Datos de ingeniería y datos nucleares El desarrollo de reactores nucleares para la producción de energía o para usos de investigación requiere de una gran capacidad de modelado para una buena evaluación de seguridad , conabilidad y optimización de costos de tales sistemas. Tambien para la interpretación de benchmarks experimentales necesitados para evaluaciones de seguridad o performance. Un componente esencial en el modelado de estos sistemas son los datos nucleares y los datos de ingeniería, los cuales deben proveer de información completa y precisa. Un benecio que se obtiene de datos más precisos es la reducción de costos en el diseño, desarrollo y operación de reactores nucleares. A través de estos datos, los reactores pueden ser diseñados para alcanzar eciencias altas manteniendo los estándares de seguridad adecuados. Surge entonces la necesidad de conocer las incertezas de todos estos datos, tanto de los datos nucleares como de los parámetros de ingeniería en fabricación y diseño nuclear. Existen distintas fuentes de incertezas en todos estos parámetros; ejemplos de esto son las tolerancias de fabricación para los componentes de un reactor o de un elemento combustible, incertezas en datos nucleares (haciendo énfasis en secciones ecaces) e incertezas durante operación del reactor (por ejemplo, incertezas en la presión o temperatura del reactor, etc.). Existen guías como [8] para el tratamiento de incertezas donde se especica como proceder en dicho análisis.. 1.3.1. Incertezas en Datos nucleares Los datos nucleares, especialmente las secciones ecaces, son parámetros que se conocen con precisión limitada. Dichos valores pueden variar desde un pequeño porcentaje hasta décimas de porcentajes para los isotopos de interés [1]. Un ejemplo de esta variación es presentada en Figura 1.1, la cual representa un sampleo de la sección ecaz de scattering del. 208. Pb extraído de TENDL-2013 donde se muestra en rojo el. valor de referencia de la sección ecaz del. 208. Pb, mientras que se muestra en negro los. 50 casos sampleados. Para mayor detalle acerca de como se almacenan la información asociada a las incertezas en datos nucleares véase [9]..

(23) 5. 1.3 Datos de ingeniería y datos nucleares. Figura 1.1:. Sección ecaz de scattering del. 208. Pb. [9]. Las incertezas de datos nucleares tienen implicancia directa para cálculos neutrónicos tales como el almacenamiento de combustibles gastados, donde es necesario conocer con gran precisión la densidad numérica de los isotopos que allí yacen, como para la determinación de ritmos de reacciones para conocer el comportamiento de venenos quemables, tales como alambres de Cd en los elementos combustibles. En este proyecto integrador se hará un análisis tomando en cuenta los isotopos de Hidrogeno, Aluminio, Uranio 234, Uranio 235, Uranio 236 y Uranio 238.. 1.3.2. Incertezas en ingeniería Las incertezas de ingeniería fueron consideradas de la siguiente forma: Datos de manufactura (en caso que se contara con dicha información). Tolerancias de fabricación de cada parámetro. En este trabajo, solamente se tuvieron en cuenta incertezas asociadas a la fabricación de elementos combustibles..

(24) 6. Introducción. 1.4. Tolerancias de fabricación de elementos combustibles tipo placa En esta sección se explicará brevemente los métodos de fabricación de un elemento combustible tipo MTR con Siliciuro de Uranio disperso en una matriz de Aluminio, y la procedencia de las incertezas en sus especicaciones.. 1.4.1. Fabricación de combustibles tipo placa Para la fabricación de elementos combustibles se sigue la metodología mostrada en Figura 1.2. Con una cantidad determinada de gramos de Uranio y de Silicio, se funden estos 2 materiales para conformar el compuesto. U3 Si2 , el cual sufre procesos de. trituración, molienda y tamizado para conformar el polvo que será usado para armar la placa combustible. Este polvo es mezclado con aluminio para obtener la matriz del combustible disperso, y luego pasa a ser prensado para conformar el compacto.. Uranio. Silicio. Fundición Trituración. Molienda. Tamizado. Polvo Aluminio. Mezclado. Prensado Compacto. Marco. Figura 1.2:. Tapas. Sandwich. Conformación del Sandwich a partir de. U3 Si2.

(25) 1.4 Tolerancias de fabricación de elementos combustibles tipo placa. 7. Una vez conformado el compacto, es colocado dentro de un marco cuya geometría está preestablecida por márgenes de diseño relacionados con la dureza y ductilidad que presentará la placa antes y durante su irradiación en el reactor, se añaden 2 tapas y se suelda para formar el sandwich, puede verse un ejemplo en Figura 1.3. Los procedimientos posteriores a la construcción del sandwich para la fabricación del elemento combustible pueden verse en Figura 1.4.. Figura 1.3:. Ilustración del Sandwich. Se procede a la laminación del sandwich para formar la placa combustible, se verica a través de radiografías que la misma cumpla con las tolerancias de diseño necesarias. En caso que sea aprobada pasa a ser cortada y luego pasa a control de dimensiones para que pueda repujarse y formar así el elemento combustible tipo placa..

(26) 8. Introducción. Sandwich. Soldadura Laminación Radiografía Corte Control Placa. Ensamble. Figura 1.4:. Conformación del combustible nal. 1.4.2. Tolerancias y distribuciones de probabilidad Durante todos estos procesos, existen tolerancias asociadas a cada parámetro, tanto de la placa combustible como del elemento combustible nal. Estos valores son establecidos a través de criterios de diseño, de tal forma que no se comprometa la integridad del elemento combustible y se consiga el mejor rendimiento posible del mismo, un ejemplo de esto es la tolerancia en la densidad del compacto. Se establece un límite máximo de 4.8. gr en la densidad del compacto una vez laminado, ya que se busca cm3. cierta porosidad en el combustible para poder contener productos de sión dentro de la matriz del combustible disperso. Este valor de densidad se asigna como valor máximo posible porque no existen combustibles validados para densidades mayores. La inhomogeneidad a lo largo de la longitud activa de la placa combustible representa otra tolerancia de fabricación, donde se aceptan desviaciones respecto del valor de densidad media de un 25 % en la densidad de los extremos de la placa y de un 12 % en la densidad en la zona media. A este fenómeno se conoce como dogboning y es muy común en los procesos de fabricación de placas combustibles debido al laminado de las mismas, se presenta un ejemplo de esto en Figura 1.6 donde se determina la densidad supercial de la placa laminada, con una radiografía de la misma placa en Figura 1.5.. Figura 1.5:. Radiografía de una placa combustible.

(27) 9. 1.4 Tolerancias de fabricación de elementos combustibles tipo placa. Figura 1.6:. Figura 1.7:. distribución supercial de meat. Histograma de espesor de cladding de una placa de elemento combustible. Estos límites de diseño indican que existe mucha variabilidad respecto a la inhomogeneidad de la placa, un ejemplo en [10] se presenta en Figura 1.6.. 12. En estos procesos de fabricación de elementos combustibles se asignan tolerancias. 1 Las escalas en dicha gura muestran mayor opacidad ante mayor densidad supercial en la placa 2 Para mayor información respecto a dichas radiografías véase [10].

(28) 10. Introducción. Figura 1.8:. Esquema tridimensional de la maquinaria utilizada para laminar placas combusti-. bles. a cada parámetro y los controles se realizan únicamente para determinar si los valores se encuentran dentro del rango aceptado. No se toma en cuenta la variabilidad de cada parámetro o cualquier posible distribución de probabilidad que tuviese, un ejemplo de esto es el espesor de cladding de la placa combustible, como puede verse en Figura 1.7. El espesor de cladding es un parámetro que presenta tolerancia asimétrica, y una distribución de probabilidad triangular. Esto indica que al momento de laminar la placa, se deforma para luego ser enderezada con un espesor que presenta una distribución de probabilidad. Este proceso se muestra en Figura 1.8. A pesar de que la placa se encuentre dentro de las tolerancias aceptables, esto repercute directamente en observables como la reactividad del elemento combustible debido a que, manteniendo el pitch entre elementos combustibles, se está cambiado la relación de moderación al tener canales más pequeños o más grandes entre placas, y por consecuencia menor cantidad de agua cercana a las placas. Al igual que el espesor de cladding de una placa combustible, existen otros parámetros que cuentan con su respectiva función de probabilidad. La masa de Uranio o de Silicio dentro de cada compacto presentan distribuciones de probabilidad y tolerancias asimétricas que determinan la composición dentro de la placa combustible, y así también diere la cantidad de Uranio 235 por gramo de Uranio. Debido a variabilidades como esta, se debe establecer una metología de cálculo y análisis de incertezas para ver.

(29) 1.5 Caso de aplicación: Benchmark de OPAL. 11. como afecta la aleatoriedad de cada parámetro a los observables de un reactor.. 1.5. Caso de aplicación: Benchmark de OPAL. Figura 1.9:. Imagen de OPAL. En el presente trabajo, se aplicará el análisis de incertezas al reactor de investigación que representa el estado del arte de la tecnología. Para esto se ha seleccionado el modelado del reactor OPAL,mostrado en Figura 1.9. OPAL es un reactor de investigación multipropósito de 20 MWth, construido y licenciado por INVAP entre los años 2000 y 2006. El reactor presenta facilidades de irradiación, las cuales son utilizadas para la producción de radioisotopos con nes industriales y medicinales, para el análisis de materiales y muestras usando la técnica de activación neutrónica y la activación por neutrones retardados, y para la irradiación de silicio para la producción de semiconductores. El reactor cuenta además con una fuente de neutrones fríos para estudios asociados a ciencias de los materiales y su núcleo se encuentra rodeado por reector de agua pesada [3].. Figura 1.10:. Esquema del primer núcleo de Opal. El núcleo del reactor consta de 16 elementos combustibles de bajo enriquecimiento tipo MTR, cuyo combustible se fabrica de Siliciuro de Uranio, y es moderado y refri-.

(30) 12. Introducción. gerado utilizando agua liviana. El primer núcleo del reactor contaba con 3 elementos combustibles distintos que se diferenciaban por la cantidad de gramos de siliciuro de uranio presente en el combustible disperso, se muestra un esquema de esta conguración en Figura 1.10. El sistema de apagado de este reactor está constituido por: Un primer sistema de parada de actuación rápida, el cual está conformado por 5 barras de control de Hafnio, 4 de ellas tipo placa y una 5ta barra de control central con forma de cruz, la cual es usada como barra de regulación. Un segundo sistema independiente, diverso y redundante que consta del drenaje del agua pesada presente en el recipiente del reactor. El agua pesada drenada se lleva a un tanque de almacenamiento de agua pesada, donde todo el sistema es presurizado con Helio gaseoso. Habiendo establecido el reactor sobre el cual se realizará un análisis de incertezas, se debe seleccionar la metodología para analizar la variación de parámetros de diseño dentro del reactor..

(31) Capítulo 2 Análisis de incertezas y las distintas metodologías posibles All you need in life is ignorance and condence, then success is sure Mark Twain, en una carta (1887). En este capítulo se explicarán las posibles metodologías para el análisis de incertezas. Se analizará un ejemplo para demostrar la practicidad de estos métodos de cálculo y se mencionarán los fundamentos teóricos, las ventajas y las desventajas de cada una de ellos. Se consideran observables a parámetros como el peso de barras, el factor de pico o la reactividad del núcleo o de cada elemento combustible en particular. Aquellos parámetros denotados. X. hacen referencia a composiciones dentro una placa combustible o. a medidas geométricas dentro de un elemento combustible. Para analizar incertezas existen métodos que, computacionalmente, son más sencillos que GPT y TMC. Una opción es hacer un análisis conservativo de un observable. R. respecto de algún parámetro. Xkmin y Xkmax , los cuales representan límites denidos por la tolerancia del parámetro Xk , entonces para conocer la variabilidad de R = f (Xk ) frente a Xk se calculan R1 = f (Xkmin ) y R2 = f (Xkmax ). Este tipo de cálculos resulta representativo cuando el observable R cuenta con una dependencia monótona con Xk . En ese caso, los valores de R1 y R2 representan las condiciones El parámetro. Xk. Xk .. puede tomar valores entre. extremas de dicho observable. Los problemas que surgen con este método de análisis de incertezas son los siguientes:. No se toma en cuenta la distribución de probabilidad correspondiente al parámetro. Xk ,. la cual inuye directamente en los valores posibles de. 13. R..

(32) 14. Análisis de incertezas y las distintas metodologías posibles Dado el caso que el observable valores de. R1. y. R2. R. no tenga dependencia monótona con. Xk ,. los. podrían no representar las condiciones extremas de dicho. observable. Se debe determinar, en una instancia previa a los cálculos, la condición más conservativa, lo cual no es sencillo cuando se toman en cuenta muchos observables a la vez. Ciertos parámetros. Xi ,Xj ,Xk ,etc., pueden variar ocasionando un aumento. de algún observable (por ejemplo: la reactividad del núcleo o el peso de las barras), pero disminuyendo simultaneamente otro observable de importancia (por ejemplo: el factor de pico). Se torna imperativo implementar metodologías para análisis de incertezas capaces de calcular efectos no lineales donde se tomen en cuenta las distribuciones de probabilidad de los parámetros de diseño del reactor. De esta forma, se logra conocer el comportamiento de un observable como respuesta ante variación en dichos parámetros.. 2.1. Teoría de perturbaciones Considerando la ecuación 2.1 de transporte de neutrones para un reactor crítico asociado en k, escrita en forma de operadores, se puede conocer el comportamiento de la población neutrónica en cualquier sistema a analizar.. Aφ =. P φ kef f. (2.1). Esta ecuación puede representar cualquier forma de la ecuación de transporte con cualquier esquema de discretización, tanto espacial como en energías (a través del esquema multigrupo) y en variables angulares, por lo que. φ. puede representar el ujo. de un grupo en cierto número de grupos en un volumen nito o en un punto dado en un reactor, con direcciones especícas. La ecuación 2.1 representa un medio multiplicativo sin fuentes de neutrones, estacionario y cuyo factor de multiplicación. kef f. puede ser distinto de 1. Esta ecuación. utiliza un concepto que se conoce como reactor crítico asociado, el cual es un reactor cticio, similar al reactor que se analiza, pero con modicaciones en algún parámetro de manera tal que sea necesariamente crítico. En el caso especíco de un reactor crí-. tico asociado en k se modica el operador de producciones dividiendo por el factor de multiplicación, por lo que en lugar de plantear en 2.1 un operador se utiliza un operador. P kef f. P. de producciones,. . Gracias a esto se puede analizar la ecuación de transporte. kef f distinto de 1. Se dene un operador adjunto para el ujo φ ; el cual se conoce como ujo adjunto, + denotado φ , y cumple con las propiedades presentes en ecuación 2.2 y ecuación 2.3. en estado estacionario para reactor con un.

(33) 15. 2.1 Teoría de perturbaciones. (A+ −. P+ + )φ = 0 kef f. (2.2). < φ+ , Hφ >=< H+ φ+ , φ > donde. H. (2.3). representa un operador lineal cualquiera.. El ujo adjunto también se conoce como importancia debido a la interpretación física que el mismo tiene. El operador. φ+. muestra que tan importante es un neutrón. en un punto determinado del espacio, a una energía dada. Con esta magnitud física se pueden calcular perturbaciones a un sistema crítico, las cuales implican modicaciones de poca magnitud en los operadores presentados en ecuación 2.1. Perturbaciones a parámetros relevantes en el diseño de un reactor pueden ser calculadas usando GPT (General Perturbation Theory), el caso mas notorio es el cálculo de reactividad introducida por una perturbación en el reactor partiendo de un estado crítico del reactor. (kef f = 1).. Se puede demostrar que, bajo pequeñas perturbaciones,. el cambio de reactividad producido por un cambio en las secciones ecaces en cualquier punto del reactor se puede calcular con la ecuación 2.4. Un análisis más profundo de como obtener esta ecuación se encuentra en apéndice A.. < φ+ , (δA − kδP )φ > kef f − 1 ef f ) ≈ δ( ) = δρ = − − δ( kef f kef f < φ+ , Pφ > 1. (2.4). Este tipo de aplicaciones resultan útiles ya que se puede calcular desde coecientes de re-alimentación, ya sea por temperatura o por vacío, hasta la magnitud de una inserción de reactividad al cambiar materiales dentro de un reactor. A su vez, teoría de perturbaciones puede calcular los cambios de muchos otros observables cuando las perturbaciones son pequeñas, tal es el caso del. βef f. de un reactor o el tiempo medio. entre siones. Se puede perturbar cualquier observable R que pueda ser descripto como + ,H φ> <S + ,φ> 1 donde H1 y H2 representan operadores R =< S + , φ >, R = <S1+ ,φ> o R = <φ <φ+ ,H2 φ> 2 + + + lineales similares a H, A o P; y S , S1 y S2 representan operadores vectoriales, denomidando aquellos que cumplen con la condición de que el producto interno con el ujo neutrónico sea un escalar. Un cálculo con teoría de perturbaciones para observables de este tipo se presenta en el apéndice A en la sección A.2. Eventualmente cada observable cuyo comportamiento se quiera investigar, debe ser expresado de la forma. < S + , φ >,. donde. S+. se conoce como fuente de importancia.. Para aplicar la propiedades de los operadores adjuntos, se debe resolver un sistema de ecuaciones similar a la ecuación A.11 en Apéndice A. A nes prácticos, este cálculo es computacionalmente tan costoso como el cálculo de ujo neutrónico. Debido a esto, GPT no presenta una mejora signicativa si se desea calcular un número pequeño de.

(34) 16. Análisis de incertezas y las distintas metodologías posibles. perturbaciones. Surge entonces otro problema de que cada observable, dependiendo de como es expresado matemáticamente, cuenta con una fórmula distinta para calcular perturbaciones en el mismo, por lo que para cada uno de ellos se debe desarrollar un cálculo particular. Esto lleva a que la implementación de GPT en los códigos de cálculo sea más compleja. Otro problema asociado al cálculo de perturbaciones es que GPT presenta muchas aproximaciones al momento de calcular las mismas. Partiendo de la hipotesis de pequeñas perturbaciones, GPT ofrece un método estimativo que no es exacto, y cuyo error crece a medida que dichas perturbaciones en el reactor son muy grandes.. 2.2. Total MonteCarlo La segunda metodología de análisis, conocida como Total Montecarlo (TMC), se basa en el modelado de la variabilidad de los parámetros del reactor usando las distribuciones de probabilidad de cada parámetro.. Xk se genera con una cantidad M de sampleos un valor medio Xk y luego se calcula χk = XkX−Xk ∗100; la gura 2.1 muestra histogramas de la variable k χk para algunos parámetros. Para cada parámetro. El método tiene un principio mucho mas simple que el que aplica GPT. Si se desea conocer la variación de un observable frente a las incertezas asociadas y las distintas distribuciones de probabilidad se samplean parámetros de entrada (como ser la geometría del elemento combustible, la composición dentro del meat de cada placa, el radio de los alambres de Cd, etc.), se recalcula el reactor con estos nuevos parámetros de entrada y se hace un análisis estadístico sobre los resultados obtenidos. A pesar de esto, con los años los cálculos han comenzado a ser cada vez más complejos y ha acrecentado la necesidad de que cada vez sean más precisos; por lo que el tiempo de cálculo ha aumentado exponencialmente. El problema que tiene este enfoque es que si las variaciones son demasiado chicas, los cambios producidos por estas perturbaciones en parámetros de entrada pueden quedar dentro del error de cálculo, en cuyo caso este método cuenta con una limitación cuando las perturbaciones son demasiado chicas. Referencias como [4] hacen énfasis en que una de las principales desventajas de estos códigos es el tiempo empleado. Si se desea repetir un análisis de sensibilidad de algún observable frente a un parámetro especíco, se debe aplicar la siguiente metodología:. Dejar un parámetro libre para samplear.. Dejar ja todos los otros parámetros involucrados..

(35) 17. 2.2 Total MonteCarlo Calcular la cantidad. N. necesaria de simulaciones del reactor para conseguir una. estadística conable. Hacer un análisis estadístico sobre los observables.. Tomando en cuenta una cantidad una cantidad. N. d. de variables, donde cada variable cuenta con. de simulaciones, se necesitaría cada vez más simulaciones si se desea. conocer la sensibilidad ante una mayor cantidad de variables. Además este método es ineciente debido a que muchos observables que son recalculados no son sensibles ante variaciones, y muchos de los cálculos resultan inútiles. La ventaja principal de esta metodología es la posibilidad de analizar distintos observables simultáneamente. Simplemente se simula una cantidad. N. de casos , cada. uno variando parámetros de diseño (por ejemplo: calcular un reactor con distintos espesores de cladding en todas las placas de todos los elementos combustibles), y se hace un análisis estadístico sobre un observable (por ejemplo: el. kinf. del elemento. combustible). Por otra parte, se pueden ver otros observables como el factor de pico, el ujo en cierta región de un reactor o el cambio en el quemado de un combustible en particular. Estos observables no pueden ser analizados con facilidad utilizando GPT <S1+ ,φ> + o ya que no todos ellos pueden ser expresados de la forma R =< S , φ >, R = <S2+ ,φ> + ,H1 φ> . R = <φ <φ+ ,H2 φ> Aparte de esto, TMC es de fácil implementación y permite analizar cualquier efecto no lineal que existiera en la dinámica del reactor. Por todas estas razones, en este trabajo se utilizará la metodología de TMC para análisis de incertezas en el reactor OPAL..

(36) 18. Análisis de incertezas y las distintas metodologías posibles. Figura 2.1:. Distribuciones de probabilidad de distintos parámetros en una sola placa.

(37) Capítulo 3 Cálculos con la línea CONDOR-CITVAP Buscando optimizar el diseño del núcleo de un reactor, se puede sacar mucha información importante de análisis de sensibilidad y de análisis de incertezas, donde puede analizarse el comportamiento que tienen ciertos observables frente a un determinado parámetro de ingeniería. Para el análisis del modelo de OPAL, se utilizó la línea de cálculo usada por INVAP, validada y empleada para cálculos de varios reactores construidos y en construcción en la actualidad.. 3.1. Descripción de los códigos, la línea de cálculo y las modicaciones pertinentes para utilizar la metodología TMC En esta sección se hará una descripción de los códigos y programas utilizados en este proyecto integrador y la función de cada uno de ellos, se presenta un esquema indicativo en Figura 3.1 y para mayor detalle respecto a dicha línea de cálculo y extensiones hacia otros códigos véase referencia [11].. 3.1.1. Descripción Para obtener la información de las secciones ecaces microscópicas de cada material y de cada isótopo, se utilizan las bibliotecas de datos nucleares ENDF/B cuyas secciones ecaces son previamente validadas para el uso en el cálculo de reactores. Esta biblioteca no cuenta con una estructura de datos de forma tal que códigos como CONDOR puedan utilizarla, razón por la cual dichas bibliotecas son procesadas por códigos como NJOY; el cual genera bibliotecas WIMS de 69 grupos o bibliotecas. 19.

(38) 20. Cálculos con la línea CONDOR-CITVAP. Figura 3.1:. Esquema representativo de la línea de cálculo CONDOR CITVAP. HELIOS; y el código ESINLM; que genera bibliotecas en formato ESIN a partir de ENDF/B y cuenta con la capacidad de añadir isótopos de ENDF/B a bibliotecas generadas por NJOY. Las bibliotecas ESIN son aquellas utilizadas por CONDOR para el cálculo de celda. El código CONDOR es aquel utilizado para los cálculos a nivel de celda. CONDOR adquiere la biblioteca necesaria y resuelve aproximaciones a la ecuación de transporte en 2 dimensiones para cualquier geometría usando el método de Probabilidad de Colisión y el método de Respuesta Heterogenea. En este método todo el sistema se divide en subsistemas y la distribución neutrónica en cada subsistema es calculada a través de Probabilidad de Colisión. Una vez hecho esto, todos los subsistemas son acoplados..

(39) 3.1 Descripción de los códigos, la línea de cálculo y las modicaciones pertinentes para utilizar la metodología TMC 21 De esta forma, CONDOR puede modelar geometrías complicadas en forma rápida y precisa, así también puede calcular secciones ecaces en función del quemado que serán utilizadas por otros códigos en la etapa de cálculo de núcleo. CONDOR cuenta además con una herramienta para post-procesamiento gráco llamada POSCON, la cual permite gracar el sistema que se está simulando en geometría 1D o 2D, y tambien puede gracar variables en función del quemado del combustible y de la energía de los neutrones. Habiendo completado los cálculos a nivel de celda, CONDOR condensa y homogeneiza los materiales para exportar secciones ecaces macroscopicas que serán utilizadas por el programa HXS. Este programa permite generar bibliotecas que serán usadas en etapas posteriores por el código CITVAP para cálculo de núcleo. HXS puede almacenar y procesar secciones ecaces en función del quemado del combustible, de la temperatura, de las densidades, de las concentraciones de impurezas, etc. Para el cálculo de núcleo se toma en cuenta grandes dimensiones espaciales, por lo cual se utiliza el método de Difusión para conocer el ujo neutrónico. CITVAP es un código desarrollado a partir del código CITATION II para Difusión, y lo que permite es un manejo más sencillo e intuitivo del código CITATION a través de distintos comandos. CITVAP puede resolver geometrías 1D, 2D y 3D con formas geométricas hexagonales, rectangulares, cilindricas y triangulares; y cuenta además con muchas otras capacidades de cálculo para optimización de diseño y seguimiento de operación de reactores. Por último se encuentra el programa de post-procesamiento ARCANE, el cual maneja las bases de datos provenientes de CITVAP en formato STORM v2.0. A través de este programa se pudo hacer un análisis estadístico de todos los observables del modelo del reactor OPAL.. 3.1.2. Modicaciones pertinentes Para realizar el análisis de incertezas a través de la metodología TMC se hicieron algunas modicaciones a los códigos utilizados:. Se añadió la posibilidad de generar números pseudoaleatorios a los códigos CONDOR y CITVAP. Los mismos cuentan con la capacidad de generar números pseudoaleatorios con distribución uniforme o normal dentro de un rango especícado por el usuario; en el caso de la distribución normal también se debe especicar el valor medio y la desviación estándar de dicha distribución.. Se añadió a CONDOR y a CITVAP la posibilidad de que el usuario dena una semilla, la cual se utiliza para la generación de números pseudoaleatorios..

(40) 22. Cálculos con la línea CONDOR-CITVAP Se añadió a CONDOR la capacidad de incluir distintas secciones ecaces para un mismo isótopo, de forma que se tome en cuenta la incerteza en las secciones ecaces. Gracias a todas estas modicaciones, se pudo analizar variaciones aleatorias en. parámetros de diseño de elementos combustibles utilizando TMC.. 3.2. Modelo Para analizar la incerteza y sensibilidad de algún observable frente a variaciones en parámetros de diseño del elemento combustible, se utilizaron los modelos de elemento combustibles en los cuales se variaban en forma aleatoria distintos parámetros. Se considera como parámetro por balance a aquel parámetro que queda jado a través de otros parámetros variables. Se muestra en una lista aquellos parámetros tomados en cuenta: 1. Parámetros jos: Pitch entre placas combustibles. Longitud activa. Pitch entre elementos combustibles. 2. Parámetros variables:. a ) Geometría: Ancho y espesor del marco del elemento combustible. Espesor y ancho de placas, tanto de placas internas como de placas externas. Radio de los alambres de Cd. Distancia entre placa y meat. Ancho y espesor del slot de cada placa. Ancho del slot donde se encuentra el alambre de Cd.. b ) Composición: Masa de Uranio, ya sea para combustibles tipo 1, tipo 2 o estándar. Enriquecimiento de Uranio. Masa de Silicio en el compacto. Masa de Aluminio en el compacto. Impurezas..

(41) 23. 3.2 Modelo Porcentaje de Uranio 234 y 236. 3. Parámetros por balance:. a ) Geometría: Espesor de meat. Dimensión de los canales de agua. Ancho de meat.. b ) Composición: Masa total del compacto. Masa de Uranio 238. Se muestra un ejemplo del modelo de elemento combustible utilizado en Figura 3.2a, con un zoom en la sección mostrada que puede verse con más detalle en Figura 3.2b.. (a). Vista frontal de elemento combustible. (b) Figura 3.2:. Zoom a la vista frontal. Modelo de elemento combustible utilizado. Para ciertos análisis realizados, se optó por un modelo más simplicado de una única placa combustible reejada en todas las direcciones. Este modelo se puede ver en Figura 3.3. Para el análisis a nivel de núcleo se utilizó el ciclo 1 del reactor, cuya conguración de núcleo presenta 3 tipos de combustibles que dieren por la cantidad de uranio utilizada para fabricar el compacto de cada placa. Se denominan combustibles. tipo 1, combustibles tipo 2 y combustibles estándar, de los cuales el combustible tipo 1 presenta la menor cantidad de Uranio en el compacto y el combustible estándar presenta la mayor cantidad de Uranio..

(42) 24. Cálculos con la línea CONDOR-CITVAP. Figura 3.3:. Modelo de una única placa. 3.3. Análisis y resultados En esta sección se presentarán los resultados obtenidos, haciendo un análisis tanto a nivel de celda como a nivel de núcleo. Se separará en 2 secciones, una en la que se presenten todos aquellos resultados habiendo utilizado únicamente el modelo de elemento combustible calculado por CONDOR, ya sea el elemento combustible completo o la placa simple, y en otra sección se presentarán los resultados correspondientes al cálculo de celda efectuado por CONDOR seguido con un cálculo de núcleo efectuado por CITVAP.. 3.3.1. Observables a nivel de celda El problema de la convergencia Con la metodología TMC se busca conocer el valor promedio y la desviación estandar del observable a estudiar, con el n de analizar el comportamiento que tendrá el mismo frente a perturbaciones. Dada una cantidad. M. de sampleos realizados, se puede. calcular el valor promedio y la desviación estándar a través de la ecuación 3.1.. PM R= σR = El valor de medida que. M. R. i=1. Ri. (3.1). M PM. − R)2 ) (M − 1). i=1 (Ri. depende del sampleo y del número de casos tomados en cuenta. A. aumenta,. R. se hace cada vez más próximo a. E(R). y el valor de. R.

(43) 25. 3.3 Análisis y resultados. comienza a ser independiente de la cantidad de sampleos realizados, en forma análoga con. σR .. A partir de este punto, se arma que es irrelevante continuar con el sampleo. debido a que cada. Ri. calculado no tendrá un peso importante en el valor de. R.. Se. puede visualizar este comportamiento con un ejemplo en Figura 3.4 donde se analizó la variación de. ρinf. frente a valores aleatorios de enriquecimiento de Uranio en una placa. combustible.. Figura 3.4:. Análisis de convergencia sampleando el enriquecimiento. Figura 3.4 fue calculada usando el modelo de la placa única mostrado en Figura 3.3 por el corto tiempo de cálculo que implicaba. El valor presentado corresponde al valor promedio de. ρinf. en pcm y a su desviación estándar en pcm.. Para calcular cada promedio y desviación estándar, se hizo un total de 200 sampleos y, para cada uno de ellos, se calculó la reactividad del sistema. Luego, de esos 200 casos se tomó una cantidad. N. de casos elegidos en forma aleatoria y se calculó el promedio. y desviación estándar. Se puede ver en la gura que tanto el valor promedio como la desviación estandar dejan de depender del número de casos a partir de 190 casos, se puede tomar entonces que para 200 casos los observables convergen a su valor nal.. Sensibilidad El análisis de sensibilidad es un estudio que provee información importante al diseñador; en este punto se puede ver cuanto altera cada variable a nuestro observable, y de esta forma, se puede hacer una optimización en el diseño viendo cuales parámetros son importantes y cuales no. Se utilizó el modelo en Figura 3.3, el cual equivale a un análisis de sensibilidad a nivel de celda. Esto impide que se obtengan valores absolutos de senbilidad debido a que debería continuarse el análisis a nivel de núcleo, pero brinda información relativa entre parámetros a nivel de celda..

(44) 26. Cálculos con la línea CONDOR-CITVAP Se presenta en la tabla 3.1 las variables utilizadas para el análisis de sensibilidad,. se consideró por simplicidad que todas ellas representan variables con distribuciones normales con valores medios y desviaciones estándar indicados, y que se encuentran truncadas en los valores mínimos y máximos mostrados. Variable. Valor mínimo. Valor máximo. Valor Medio. Desviación estándar. Unidades. Radio de cd izquierdo. 0.02455. 0.02475. 0.02465. 0.002. cm. Ancho del slot de cd izquierdo. 0.06. 0.065. 0.06. 0.0029. cm. Radio de cd derecho. 0.02455. 0.02475. 0.02465. 0.002. cm. Ancho del slot de cd derecho. 0.06. 0.065. 0.06. 0.00289. cm. Ancho de placa. 7.46. 7.5. 7.5. 0.0058. cm. Ancho de meat. 6.86. 7.1. 7.0. 0.058. cm. Espesor de placa (meat). 0.128. 0.135. 0.1322. 0.00404. cm. Espesor de cladding. 0.037. 0.03848. 0.037. 8.5E-4. Masa de Uranio 234. 0.143. 0.159. 0.15. 0.007. %. Masa de Uranio 235. 19.64. 19.9. 19.804. 0.104. %. Masa de Uranio 236. 0.175. 0.285. 0.2064. 0.0455. %. Masa de Silicio. 8.06. 8.56. 8.19. 0.106. %. Masa de Aluminio. 91.17. 97.18. 92.50. 2.01. %. Impurezas ( % boro equivalente). 6.8733e-04. 7.4577e-04. 7.1655e-04. 6.3126e-05. Tabla 3.1:. cm. gr Uranio 234 gr Uranio gr Uranio 235 gr Uranio gr Uranio 236 gr Uranio gr Silicio gr Uranio gr Aluminio gr Uranio. % boro equivalente. Listado de variables en el análisis de sensibilidad. A pesar que algunas variables parezcan en principio, poco importantes, puede presentar variaciones cuyos efectos sean relevantes. Un ejemplo de este tipo de variables es el ancho del slot donde se encuentra el alambre Cd, el cual puede alterar en la cantidad de agua dentro del elemento combustible. Una disminución en este ancho cuenta con un efecto de sacar moderador de zonas cercanas del meat y del alambre de Cd, y colocar aluminio donde antes no había. Dicho efecto se puede ver tambien en variables tales como el espesor del cladding de cada placa o el ancho de la placa en sí; de esto se puede concluir que la cantidad de agua que verá cada placa del elemento combustible está directamente relacionada con algunas de estas variables en cuestión. Esto sucede no sólo para la cantidad de agua circundante al elemento combustible, sino también con muchos otros parámetros. Otro ejemplo es la inuencia que tiene samplear el espesor de una placa con respecto al espesor del meat. En esta relación, hay 3 parámetros considerados: espesor de meat,. espesor de placa, y espesor de cladding, los cuales están interrelacionados.. Tm + 2Tc = Tp Esto lleva a que se puedan samplear solamente 2 de estas variables y la tercera sea calculada por balance. Al momento de analizar sensibilidad, existen 3 posibles formas de calcular estos parámetros.. 1. Mantener. Tm. constante, muestrear. Tp. y calcular. Tc. por balance..

(45) 27. 3.3 Análisis y resultados 2. Mantener. Tp. constante, muestrear. Tc. 3. Mantener. Tc. constante, muestrear. Tm. y calcular y calcular. Tm. por balance.. Tp. por balance.. En estos 3 casos, se está analizando el comportamiento de un observable frente a cambios de materiales, debido a que se altera la cantidad que hay de un material (por ejemplo disminuyendo el agua cercana a la placa al aumentar el espesor de meat), pero se compensa con otro material distinto (por ejemplo más combustible al haber mayor espesor de meat). y del factor de pico utilizando la variable χK presentada ∂ρinf considerando que en el capítulo 2. El cálculo consiste en aproximar el valor de ∂χK Se analizará el valor de. ρinf ∝ χK ,. ρinf. y proceder en forma análoga para el factor de pico:.

(46)

(47) s

(48) ∂ρinf

(49) V arXK (ρinf )

(50)

(51)

(52) ∂χK

(53) ≈ V ar(χK ). (3.2). Se muestra en tabla 3.2 las variables sampleadas en orden descendiente de sensibilidad para el factor de pico y la reactividad del elemento combustible.. Factor de pico. Reactividad (ρinf ). 1. ancho de meat. 1. masa de uranio 235. 2. ancho de plate. 2. ancho de meat. 3. radio de cd izquierdo. 3. radio de cd izquierdo. 4. radio de cd derecho. 4. radio de cd derecho. 5. masa de uranio 235. 5. ancho de plate. 6. espesor de cladding. 6. espesor de cladding. 7. ancho del slot de cd izquierdo. 7. masa de aluminio. 8. ancho del slot de cd derecho. 8. espesor de meat. 9. espesor de meat. 9.ancho del slot de cd izquierdo. 10. masa de aluminio. 10.ancho del slot de cd derecho. 11. masa de silicio. 11. masa de uranio 234. 12. impurezas ( % boro equivalente). 12. impurezas ( % boro equivalente). 13. masa de uranio 234. 13. masa de silicio. 14. masa de uranio 236. 14. masa de uranio 236. Tabla 3.2:. Tabla de sensibilidad relativa en variables. Como puede verse en la tabla 3.2, cuando se analiza. ρinf , el parámetro más sensible. resulta ser la masa de uranio 235 presente en la placa, mientras que para el factor de pico el parámetro más sensible resulta ser el ancho del meat. Esto demuestra que no es trivial determinar la condición más conservativa al momento de analizar incertezas, debido a que ciertos parámetros maximizan algunos observables pero no presentan.

(54) 28. Cálculos con la línea CONDOR-CITVAP. mucho efecto en otros. Se presenta en Figura 3.5 una comparación entre 2 parámetros sensibles para. ρinf ,. que son el ancho de meat y el enriquecimiento. De forma que sean. χWm [ %] y χM5 [ %]. A los costados se muestran histogramas correspondientes a los valores de ρinf en cada caso, y en la parte inferior de la gura se muestran los histogramas de χWm [ %] y χM5 [ %] solapados. comparables entre ellos, se presenta. Figura 3.5:. Se puede ver que. ρinf. ρinf. en función de. Sensibilidad del. ρinf. frente a 2 variables. presenta una mayor desviación estándar variando. M5 , esto se debe a que la dispersión que tiene Wm M5 .. Wm. que. es mucho mayor que la que presenta. Teniendo esto en cuenta, se puede ver que al momento de analizar la sensibilidad de un observable, existe la posibilidad de que el estimador de sensibilidad, por ejemplo. ∂R , no sea lo sucientemente representativo para ver las variables que producen una ∂χK mayor desviación estándar.. Sensibilidad por Datos Nucleares Se analizó la sensibilidad de 2 observables a nivel de celda utilizando el modelo presentado en Figura 3.3. A través de secciones ecaces de un mismo isótopo, se estudió el comportamiento. ρinf ante variaciones en las secciones ecaces corres1 27 235 238 236 234 pondientes a los isótopos de 1 H , 13 Al , 92 U , 92 U , 92 U y 92 U . Se muestra en las guras del factor de pico y la reactividad. Figura 3.6 a Figura 3.11 ejemplos de secciones ecaces de absorción sampleadas para los isótopos mencionados. Dicho muestreo fue realizado a través de TENDL. Por otra parte, se muestra en tabla 3.3 el orden de sensibilidad de cada observable en forma decreciente. Se presenta en Figura 3.12 la desviación estándar de la sección ecaz de absorción para cada isótopo en función de la energía del neutrón..

(55) 29. 3.3 Análisis y resultados. Figura 3.6:. Sección ecaz de absorción en función de la energía para distintos sampleos obte-. 235. nidos con TENDL para el isótopo 92. 1. U. Reactividad. Factor de pico. Uranio 235. Hidrogeno. 2. Hidrogeno. Aluminio. 3. Uranio 238. Uranio 235. 4. Uranio 234. Uranio 234. 5. Aluminio. Uranio 238. 6. Uranio 236. Uranio 236. Tabla 3.3:. Orden de sensibilidad en forma decreciente. Se puede ver que la sensibilidad del factor de pico diere respecto a la sensibilidad de. ρinf ,. esto puede verse en forma más clara en Figura 3.14 y Figura 3.13, las. cuales presentan histogramas correspondientes a 200 casos de sampleo de cada isótopo manteniendo jas las secciones ecaces del resto. Se presenta en tabla 3.4 y tabla 3.5 una comparación entre valores mínimos, máximos, promedios y desviaciones estándar para los 2 observables analizados previamente, sampleando distintos isótopos y un caso en el cual fueron sampleados todos los isótopos simultaneamente..

(56) 30. Cálculos con la línea CONDOR-CITVAP. Figura 3.7:. Sección ecaz de absorción en función de la energía para distintos sampleos obte-. 234. nidos con TENDL para el isótopo 92. U. Mínimo[pcm]. Máximo[pcm]. Promedio[pcm]. Desviación Estándar[pcm]. Aluminio. 3,21E+04. 3,22E+04. 3,21E+04. 1,53E+01. Hidrogeno. 3,18E+04. 3,22E+04. 3,20E+04. 9,19E+01. Uranio 234. 3,21E+04. 3,22E+04. 3,21E+04. 2,27E+01. Uranio 235. 3,18E+04. 3,25E+04. 3,21E+04. 1,26E+02. Uranio 236. 3,21E+04. 3,21E+04. 3,21E+04. 1,85E+00. Uranio 238. 3,20E+04. 3,22E+04. 3,21E+04. 2,78E+01. Todos. 3,16E+04. 3,26E+04. 3,20E+04. 1,70E+02. Tabla 3.4:. Comparación de valores obtenidos para. ρinf. Mínimo. Máximo. Promedio. Desviación Estándar. Aluminio. 1,0131E+00. 1,0139E+00. 1,0135E+00. 1,550E-04. Hidrogeno. 1,0133E+00. 1,0153E+00. 1,0142E+00. 5,018E-04. Uranio 234. 1,0135E+00. 1,0136E+00. 1,0135E+00. 1,688E-05. Uranio 235. 1,0133E+00. 1,0136E+00. 1,0135E+00. 5,586E-05. Uranio 236. 1,0135E+00. 1,0135E+00. 1,0135E+00. 1,146E-06. Uranio 238. 1,0135E+00. 1,0135E+00. 1,0135E+00. 1,529E-05. Todos. 1,0132E+00. 1,0153E+00. 1,0141E+00. 5,373E-04. Tabla 3.5:. Comparación de valores obtenidos para el factor de pico.

(57) 31. 3.3 Análisis y resultados. Figura 3.8:. Sección ecaz de absorción en función de la energía para distintos sampleos obte-. 27. nidos con TENDL para el isótopo 13 Al. Figura 3.9:. Sección ecaz de absorción en función de la energía para distintos sampleos obte-. 1. nidos con TENDL para el isótopo 1 H.

(58) 32. Figura 3.10:. Cálculos con la línea CONDOR-CITVAP. Sección ecaz de absorción en función de la energía para distintos sampleos. 236. obtenidos con TENDL para el isótopo 92. Figura 3.11:. U. Sección ecaz de absorción en función de la energía para distintos sampleos. 238. obtenidos con TENDL para el isótopo 92. U.

(59) 3.3 Análisis y resultados. Figura 3.12:. Desviación estándar en función de la energía para distintos isótopos. 33.

(60) 34. Cálculos con la línea CONDOR-CITVAP. (a). (b) Figura 3.13:. Histograma. Zoom a la sección central. Histograma de reactividad para el sampleo de distintos isótopos.

(61) 35. 3.3 Análisis y resultados. (a). (b) Figura 3.14:. Histograma. Zoom a la sección central. Histograma de factor de pico para el sampleo de distintos isótopos.

(62) 36. Cálculos con la línea CONDOR-CITVAP. Independencia entre variables Una forma de propagación de errores a través del análisis de sensibilidad es la suma cuadrática de las desviaciones estándar producidas por cada variable. Si se desea conocer la varianza de un observable respecto a n parámetros y se cuenta con un análisis de sensibilidad previo como el que se presentó en sección 3.3.1, se puede calcular la desviación estándar de dicho observable en forma analítica sin necesidad de hacer un sampleo que involucre a todas las variables simultaneamente. Dicha ecuación se presenta en ecuación 3.3. V ar(R) = V arX1 (R) + V arX2 (R) + · · · + V arXn (R). (3.3). El problema con este método de propagación de errores se basa en la suposición de la independencia entre variables. Al samplear muchas variables simultaneamente, surgen comportamientos no lineales que llevan a una dependencia entre los parámetos de diseño. En esta sección se analizará dicho comportamiento, y se demostrará que existe una dependencia entre las variables, por lo que la ecuación 3.3 no aplica en un análisis de incertezas con modelos complejos y comportamientos no lineales. Se presenta en tablas 3.6 y 3.7 los valores obtenidos al analizar el comportamiento de la reactividad. ρinf. sampleando 2 variables por separado, y luego sampleando variables. simultaneamente. Para una mayor simplicidad para leer las tablas, se presenta un listado con los parámetros numerados en forma arbitraria. En la diagonal principal de las tablas 3.7 y 3.6 se encuentra la desviación estandar de. ρinf. (en pcm) obtenidas haciendo el sampleo únicamente de la variable con índice. correspondiente a dicha celda. Entonces el elemento (2,2) de dicha tabla, correspondiente a. 3, 37E + 00. pcm, se corresponde con la desviación estándar de. ρinf. habiendo. sampleado únicamente la variable 2 de la lista (que, en este caso, corresponde al ancho del slot izquierdo en el que se encuentra el alambre de Cd ). En la tabla 3.6, cada elemento fuera de la diagonal principal (elemento (I,J) con I distinto de J) cumple la siguiente ecuación:. q σ( I, J) = σI2 + σJ2 Mientras que en 3.7 cada elemento (I,J) resulta de calcular la desviación estándar de. ρinf. habiendo sampleado la variable I y la variable J simultaneamente.. En estas tablas se pueden ver ciertos valores que dieren considerablemente, por lo que se deben tomar en cuenta tanto efectos no lineales como dependencia entre las variables..