MATE Dr. Pedro V squez UPRM. P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 18

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MATE 3171

Dr. Pedro V·squez

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Funciones racionales

DeÖniciÛnUna funciÛn racional es de la forma: r(x) = P(x)

Q(x)

donde P y Q son funciones polinÛmicas.

Nota:En general, las funciones P y Q no tienen factores en com˙n dom(r_{) = f}x ₂R_jQ(x)₆₌0_g

Nota Cuando se graÖca una funciÛn racional, se debe prestar atenciÛn especial a aquellas valores de x que anulan a Q.

Ejemplos

3.7.1 r(x) = x+2

x2_&₄ es una funciÛn racional, dom(r) = fx2Rjx 6= '2g

3.7.2 r(x) = x+2

x2₊_12x3/2 no es una funciÛn racional

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3.7.3 La funciÛn racional f (x) = 1

x, tiene dominio fx 2Rjx6=0g, para graÖcarla considere: x f (x) x f (x) &1/10 1/10 &1/100 1/100 &1/1000 1/1000 # # # #

Se acerca a Se acerca a Se acerca a Se acerca a

x f (x) x f (x)

&10 10

&100 100

&1000 1000

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x f (x) &2 _&1/2 &1 _&1 &1/2 &2 1/2 2 1 1 2 1/2

En el ejemplo anterior se utilizÛ:

S´ımbolo SigniÖcado

x _!a& x se aproxima a a por la izquierda x _!a+ x se aproxima a a por la derecha x _{! &}∞ x va hacia el negativo ∞

x_!∞ x va hacia el positivo ∞

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DeÖniciÛn de asÌntotas

1 _{La recta x} =_{a es una asÌntota vertical de la funciÛn y} =_f (_x)_si

y _{! '}∞ cuando x se acerca a a por la derecha o izquierda.

2 La recta y =b es una asÌntota horizontal de la funciÛn y =f (x)si

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3.7.4 Dada la siguiente gr·Öca

Indique:

a. Interceptos con el eje X: b. Interceptos con el eje Y: c. AsÌntotas verticales: d. AsÌntota horzontal:

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Pasos para hallar las asÌntotas Considere la funciÛn racional:

r(x) = anx n₊_a

n_&1xn&1+ * * * +a1x+a0

bmxm +bm_&1xm&1+ * * * +b1x+b0

1 Las asÌntotas verticales de r son las rectas x =a, donde a es un cero

del denominador, pero no anula al numerador.

2 Las asÌntotas horizontales se hallan de la siguiente manera:

a. Si n<m, entonces r tiene como asÌntota horizontal a la recta y =0.

b. Si n=m, entonces r tiene como asÌntota horizontal a la recta y = an

bm.

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3.7.5 Halle las asÌntotas verticales y horizontal de f (x) = 2x&4 x2_&₂₅ = 2x_&4 (x_&5) (x+5) dom(f) =

AsÌntotas verticales: posibles x =

x = : anula al denominador, pero no al numerador, si lo Ès

AsÌntota horizontal: el grado del numerador es menor que el del denominador, por lo tanto la asÌntota horizontal es la recta y =0. 3.7.6 Halle las asÌntotas verticales y horizontal de

f (x) = x 2₊_2x &8 x2_&₁₆ = (x+4) (x_&2) (x_&4) (x+4) dom(f) =

AsÌntotas verticales: posibles x =

x = : anula al denominador y al numerador, por lo tanto no lo Ès.

x = : anula al denominador, pero no al numerador, si lo Ès.

AsÌntota horizontal: El grado del numerador es igual al del denominador, por lo tanto la asÌntota horizontal es la recta y = 1₁ =1.

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Pasos para graÖcar funciones racionales

1 Factorice al numerador y denominador. 2 _{Halle el dominio de la funciÛn.}

3 _{Encuentre los interceptos con los ejes coordenados.}

4 Determine las asÌntotas verticales y analice el comportamiento de y ,

es decir si se aproxima a _'∞ en cada lado de la asÌntota vertical.

5 Halle la asÌntota horizontal si existe. 6 Bosqueje la gr·Öca de la funciÛn racional.

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3.7.7 Trace la gr·Öca de f (x) = 2x&8

3x+6, indicando su dominio, interceptos con los ejes y asÌntotas.

dom(f) =

Interceptos: X : y =0₎ Y : x =0₎

AsÌntotas:

Vertical: x = , el numerador no se anula. Comportamiento cerca de x =

x _!

el signo de y = 2x&8

3x+6 es y _!

Horizontal (numerador y denominador tienen el mismo grado):

y = =

(11)

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x y

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3.7.8 Trace la gr·Öca de f (x) = 2x 2₊_2x

&4

x2_&_3x_&₄ , indicando su dominio,

interceptos con los ejes y asÌntotas. f (x) = 2x 2₊_2x &4 x2_&_3x_&₄ = 2(x+2) (x_&1) (x_&4) (x+1) dom(f) = Interceptos: X : y =0₎ Y : x =0₎y =

AsÌntotas Verticales: posibles x = , x =

x = , anula al denominador, pero no al numerador, si lo Ès. x = , anula al denominador, pero no al numerador, si lo Ès. Comportamiento cerca de x = , x = x _! el signo de y = 2(x+2) (x&1) (x_&4) (x+1) es y _!

AsÌntota horizontal (numerador y denominador tienen el mismo grado): y = a2

b2

= =

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−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x y

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3.7.9 Trace la gr·Öca de f (x) = x 2₊_3x

x2₊_x_&₆, indicando su dominio,

interceptos con los ejes y asÌntotas. f (x) = x 2₊_3x x2₊_x_&₆ = x(x+3) (x+3) (x_&2) = x x_&2 dom(f) = Interceptos: X : y =0₎ Y : x =0₎

AsÌntotas Verticales: posibles x = , x =

x = , anula al denominador y al numerador, no lo Ès. x = , anula al denominador, pero no al numerador, si lo Ès. Comportamiento cerca de x = , x = x _! el signo de y = x(x+3) (x+3) (x_&2) es y _!

AsÌntota horizontal (numerador y denominador tienen el mismo grado): y = a2

b2

= =

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−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x y

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AsÌntotas oblicuas

Si r(x) = P(x)

Q(x) es una funciÛn racional en la cual el grado del numerador

excede en 1 al grado del denominador, usando el algorÌtmo de la divisiÛn la funciÛn se puede expresar en la forma:

r(x) =ax+b+ R(x)

Q(x)

donde el grado de R es menor que el grado de Q y a ₆₌0, y por lo tanto esto signiÖca que cuando x _!∞,R(x)

Q(x) !0, es decir para valores

grandes de x, la gr·Öca de y =r(x)se aproxima a la gr·Öca de y =ax +b, que se le llama asÌntota oblicua.

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3.7.10 Trace la gr·Öca de f (x) = x 2₊_2x

x_&1 , indicando su dominio, interceptos con los ejes y asÌntotas.

f (x) = x 2₊_2x x_&1 =x+3+ 3 x_&1 dom(f) =R_{& f}1_g Interceptos: X : y =0₎x2+2x =x(x+2) =0₎x =0, x _{= &}2 Y : x =0₎y =0

AsÌntotas Verticales: posibles x =1

x =1, anula al denominador, pero no al numerador, si lo Ès. Comportamiento cerca de x _{= &}1

x_! 1& 1+ el signo de y = x 2₊_2x x_&1 =x+3+ 3 x_&1 es + & + + y _! _&∞ ∞

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−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x y y=x+3 x=1