Identidades Trigonométricas

Identidades Trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

Notación: se define sen2α como (sen α)2. Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.

De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si _sen ₂1 _{la conversión}

propuesta en la tabla indica que   2  ₂3

sen -1

cos , aunque es posible que _cos ₂3_{. Para} obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.

Funciones de ángulos negativo

 

- sen

 



sen  cos

 

- cos

 

 tan

 

- tan

 



 

- Cot

 



cot  sec

 

- sec

 

 csc

 

- Csc

 



Relación pitagórica

sen

2





cos

2





1

Identidad de la razón







cos

sen

tan



Fórmulas de adición.



 



sencos cos sen

sen    cos







coscossen sen





      tan tan 1 tan tan tan    





      t co t co tan cot cot    1

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco. En

términos de

Sen Cos Tan cotan Sec Csc



sen sen _1cos2

tan 1 tan 2_   1_cot2_ 1   sec sec2 1   Csc 1  Cos sen2 1 Cos tan 1_ 2_ 1 t co 1 Cot 2_   sec 1   Csc Csc2 1   Tan sen 1 sen 2_   _cos s co 1_ 2  Tan _ cot 1 sec2_1 Csc2 1 1    cot   sen sen2  1 cos 1 Cos 2_   tan_ 1  cot sec2 1 1   Csc21  Sec sen 1_ 2_ 1  cos 1 tan2 1   cot cot 1 2 _ Sec Csc Csc 2 1     Csc  ses 1 cos 1_ 2_ 1   tan tan 1 2 cot2_  1 sec sec 2 1     Csc

Identidades de ángulos múltiples

 Si Tnes el n-ésimo Polinomio de Chebyshev entonces cos

 

nx Tn



cos

 

x



 Formula de De Moivre: cos

 

nx i sen

 

nx 



cos

 

x i sen

 

x



Identidades para ángulos doble, triple y medio

Pueden obtenerse remplazándolo y por

x

(o sea

sen



x



x





sen

2

x

) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la fórmula de De Moivre cuando

n



2

.

Fórmula del ángulo doble

 

 

      2 tan 1 tan sen cos sen sen    2 2 2 2                   2 2 tan 1 tan cos sen cos cos cos sen -cos cos         2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2

 

   ₂ tan 1 tan tan   2 2

 

2 2 cot tan Cot  

Fórmula del ángulo triple

  sen sen  sen 3 4 3 3   _{ }    cos cos cos 3 _4 3 _3

 

    2 3 tan 1 tan tan tan 3 3 3   

Fórmula del ángulo medio

2 cos 2 sen   1  2 cos 2 cos   1  cos 1 sen 2 tan cos 1 cos 2 tan cot Csc 2 tan                  1  _{ } cot csc 2 cot  

Producto infinito de Euler:

      sen 2 cos 8 cos 4 cos 2 cos n n                           

_

 1 

Identidades para la reducción de exponentes

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para

sen

2

x

y

cos

2

x

.

Sen

2

2

cos

-1

sen

2

 



4

3

sen

-3sen

sen

3

 





Cos

2

2

cos

1

cos

2









4 sen3 -3sen cos3    16 cos 3 s co cos 10 cos5  5  5 Otros 8 4 cos -1 cos sen2 2  8 2 sen cos sen 3 3 3 

Paso de producto a suma

Puede probarse usando el teorema de la suma para desarrollar los segundos miembros.









2

cos

cos

cos

cos





























2

cos

cos

sen

sen





























2

sen

sen

cos

sen





























2

sen

sen

sen

cos





















Deducción de la identidad









2

cos

cos

cos

cos





















Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:









cos



cos



sen



sen



cos







Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:









cos



cos



sen



sen



cos

.

i















cos



cos



sen



sen



cos

.

ii







Si tomamos la ecuación i y despejamos

cos

 cos



nos queda que:

















cos

cos

sen

sen

cos

.

iii







Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación

ii

al miembro izquierdo de la ecuación

iii

, y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación

ii

en el lado derecho de la ecuación

iii

(al sumar la misma cantidad a ambos miembros de la ecuación la nueva ecuación sigue siendo cierta), quedaría:

































cos

sen

sen

cos

cos

cos

sen

sen

cos

-cos













Simplificando el elemento

sen

 sen



y sumando

cos

 cos



quedaría:





















cos



cos





cos



cos

2

Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½

queda:









2













cos



cos





cos



cos

Nota:

 Este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.

 Usando

iii

y el resultado anterior se obtiene también:









2     

 sen cos  cos 

sen Notar el

Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:



Arcoseno

es la función inversa del seno de un ángulo. Se nota

arcsen



. El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor. La función

arcoseno

real es una función



-

1,1

 



0

,

2





, es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:























































1

x

1

x

1

-x

x

x

x

1

x

2

-arcsen

2

7

6

4

2

5

3

1

5

4

3

2

1

3

2

1

3 5 7











Arcocoseno

es la función inversa del coseno de un ángulo. Se nota

arccos



. El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor. Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:

arcsen









arsen



2



Arcotangente

es la función inversa de la tangente de un ángulo. Se nota arctan . El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor. A diferencia de las anteriores la función

arcotangente

está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es:











































-1

x

con

1,

x

con

x

x

x

2

1

x

x

x

x

x

arctan





5 3 7 5 3

5

1

3

1

1

7

5

3





.























0

x

si

,

0

x

si

,

cot

ar

arctan

2

2



















 















-1

arctan

arctan

arctan

Series de potencias

A partir de la definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analíticas cuya serie de Maclaurin viene dada por:

 





!



x

!

x

!

x

!

x

!

k

x

sen

k k k

7

5

3

1

1

2

1

3 5 7 0 1 2

















  



 

 

!



x

!

x

!

x

!

x

!

k

x

cos

k k k

6

4

2

0

2

1

2 4 6 0 2















 



Estas identidades son a veces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por sí misma.

Relación con la exponencial compleja

Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las funciones trigonométricas según la fórmula de Euler:

e

i



cos





i

sen



Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función exponencial y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas:

2

e

e

cos

i i 









;

i

2

e

e

sen

i i 









A partir de ecuaciones diferenciales

Las funciones seno y coseno satisfacen la igualdad:

y







y

Es decir, la segunda derivada de cada función es la propia función con signo inverso. Dentro del espacio funcional de dos dimensiones V, que consiste en todas las soluciones de esta ecuación,

 La función seno es la única solución que satisface la condición inicial



y



   

0

,

y

0

  



1,

0

Y

Dado que las funciones seno y coseno son linealmente independientes, juntas pueden formar la base de V. Este método para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de Euler. Además esta ecuación diferencial puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno, con ella también se pueden probar las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno. Además, la

observación de que el seno y el coseno satisfacen

y







y

implica que son funciones eigen del operador de la segunda derivada.

La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no lineal

y





1



y

2 satisfaciendo la condición inicial y(0) = 0. Existe una interesante prueba visual de que la función tangente satisface esta ecuación diferencial.

Referencias:

Stewart, J. “Cálculo. Trascendentes tempranas”.Cengage Learning. Sexta edición. 2008. Texto guía del curso. Stewart. Weisstein, E.W: CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. Chapman & Hall 1999

Heath, Sir Thomas (1921) (en inglés). A history of Greek Mathematics vol. 1. Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918. «Esquema del desarrollo histórico de la matemática» págs. pág. 6. Universidad Nacional del Nordeste.

J J O'Connor y E F Robertson. «Abu Abdallah Mohammad ibn Jabir Al-Battani» (en inglés) (html). Consultado el 08-06-2008. «La trigonometria àrab, Al-Battani, Abu’l-Wafa, Ibn Yunus, Nasir al-Tusi» (en catalán) (html). Consultado el 08-06-2008. «Al-Kashi, Gamshid ibn Messaoud» (en francés).

Viète, François (1579). Canon mathematicus seu ad triangula. Lutetia Mettayer. OCLC165919384.

Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach (1968). A History of Mathematics. New York: Estados Unidos: John Wiley & Sons. pp. 439–445. ISBN 0-471-54397-7.