Tema 4. Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos

Tema 4

Introducción a la

4.1. Introducción

„

Análisis de Filtros Analógicos

‰ Filtro paso bajo ‰ Filtro paso alto ‰ Filtro paso banda

‰ Filtro paso banda eliminada

1/Cs Ls R₁ V_g(s) _R2 V₀(s)

(

)

)

(

)

(

)

(

0

H

j

ω

s

V

s

V

s

H

g

→

=

→

) (jω H ω

4.1. Introducción

„

Síntesis de Filtros Analógicos

circuito

s

H

→

→

(

)

) (jω H ω Simetría par ‰ Normalización ‰ Transformación de frecuencias

4.2. Atenuación y Plantillas de

Especificación de Filtros

„

H(s): función de transferencia de un filtro.

{ }

{

}

⎩

⎨

⎧

→

∠

→

→

⋅

=

∠

fase

en

respuesta

)

(

amplitud

en

respuesta

)

(

)

(

)

(

( )

ω

ω

ω

ω

ω

j

H

j

H

e

j

H

j

H

j H j

(dB)

a

logarítmic

escala

a

)

(

pasar

atenuación

)

(

ω

ω

α

→

→

H

j

(dB)

)

(

log

20

)

(

1

log

10

)

(

₂

ω

ω

ω

α

H

j

j

H

=

−

⋅

⋅

=

„

Filtro paso bajo ideal. Especificaciones

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

>

≤

=

c c

j

H

ω

ω

ω

ω

ω

,

0

,

1

)

(

) (jω H

ω

c

ω

) (ω α

ω

c

ω

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

>

∞

≤

=

c c

ω

ω

ω

ω

ω

α

,

,

0

)

(

4.2. Atenuación y Plantillas de

Especificación de Filtros

„

Filtro paso bajo real. Especificaciones

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > < < > = a a p p A A j H ω ω ω ω ω , , ) ( ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > > < < = a a p p ω ω α ω ω α ω α , , ) ( ) (jω H

ω

p

ω

ω

_a a

A

p

A

) (ω α

ω

p

ω

ω

_a p αa α transición de banda atenuada banda la de límite atenuada banda paso de banda la de límite paso de banda ⇒ < < ⇒ ⇒ > ⇒ ⇒ < a p a a p p ω ω ω ω ω ω ω ω ω atenuada de banda la en mínima atenuación paso de banda la en máxima atenuación ≡ ≡ a p α α

4.2. Atenuación y Plantillas de

Especificación de Filtros

„

Frecuencia de corte a 3 dB

ω

_c : frecuencia de corte a 3 dB. Se cumple que:

) ( log 20 ) ( 2 ) ( jω Hmax α ω H jω H _c = ⇒ = − ⋅

(

)

20 log 2 20 log

(

)

3 ( ) log 20 2 log 20 ) ( log 20 ) ( max max max dB H H H j H _c c + ⋅ − = ⋅ + ⋅ − = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − = ⋅ − = ω ω α ) ( ) (ω dB α

ω

ω

( ) 3 log 20⋅ _max + − H dB 3 ( max ) log 20⋅ H −

4.2. Atenuación y Plantillas de

Especificación de Filtros

) (jω H

ω

ω

max H 2 max H

„

Objetivo

a) Evitar el manejo de potencias negativas de 10

b) Aprovechar el diseño de un filtro para distintas bandas de frecuencia o para diferentes cargas.

„

Parámetros de normalización

a)

R

₀ : resistencia de normalización b)

ω

₀ : frecuencia de normalización „

Proceso de normalización

4.3. Normalización

)

(

1

)

(

₀ 0

ω

s

H

R

s

H

_N

=

escala de cambio ) ( amplitud de cambio 1 0 0 ⇒ ⇒ ω s H R

„ De esta forma, los valores normalizados de los elementos

circuitales básicos resultan ser:

4.3. Normalización

R Ls Cs 1 0 R R R_N = 0 0 0 0 R L L s L s R L N N ω ω = ⇒ = ⋅ 0 0 0 0 1 1 1 1 _ω ω C s C CR R Cs⋅ ⋅ = _N ⇒ N =

„ La transformación de frecuencias permite aprovechar diseños de

filtros paso bajo para convertirlos en otro tipo de filtros.

„ 4.4.1. Transformación paso bajo – paso alto

„ Especificaciones del filtro paso alto

4.4. Transformación de Frecuencias

ω

ω

ω

λ

ω

′

−

=

⇒

=

02 2 0

s

Plano complejo

Paso bajo Plano complejo_{Paso alto}

)

(

ω

α

′

ω

′

p

α

a

α

p

ω

′

a

ω

′

c d

„ Al hacer filtros de respuesta al impulso real, la atenuación y el

módulo de la función de transferencia son simétricas, mientras que la respuesta en fase es antisimétrica. Por tanto, es suficiente con realizar especificaciones en el semiplano positivo de

frecuencias.

„ Para bajas frecuencias, la atenuación debe ser muy elevada (la

zona rayada es una zona prohibida para el filtro paso alto).

„ Para altas frecuencias, la atenuación debe ser baja.

„ La banda de transición, , sigue siendo necesaria,

pues –como sabemos- no existen filtros reales de pendientes abruptas.

4.4. Transformación de Frecuencias

a

p

ω

ω

4.4. Transformación de Frecuencias

ω

p ω − ' p ω p ω ' p ω −

_ω

_' PA PB a a a a a ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω α ω α = ′ ≥ ⇒ ′ ≤ − ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ − = ′ ′ ≤ ′ > ′ 2 0 2 0 2 0 ) (

c

p p p p p ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω α ω α = ′ ≤ ⇒ ′ ≥ − ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ − = ′ ′ ≥ ′ < ′ 2 0 2 0 2 0 ) (

d

) (ω α

ω

p α a α c d ' 2 0 p ω ω p ω = ' 2 0 a ω ω a ω =

4.4. Transformación de Frecuencias

Ls Cs 1 2 0 2 0 1 ω λ λ ω = ⋅ ⋅ C C „ Transformación en circuitos λ ω2 0 = s ₂ 0 1 ω C L = C L ₀2 1 ω L C = λ ω2 0 ⋅ L 2 2 0 1 1 ω ω L C L C L C = → = → En resumen:

„ 4.4.2. Transformación paso bajo – paso banda

„ Especificaciones del filtro paso banda

4.4. Transformación de Frecuencias

2 1

'

'

;

'

'

₂ 0 2 0 2 2 0 2 p p

B

B

s

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

λ

ω

λ

+

_⇒

₌

−

₌

_⋅

=

Paso bajo Paso banda

)

'

(

ω

α

'

ω

p α 1 a α ' 1 p ω ' 1 a ω c d e ' 2 p ω ' 2 a ω 2 a α

4.4. Transformación de Frecuencias

ω

p ω − p ω ' 1 p ω −

'

ω

' 2 p ω − ' 2 p ω + ' 1 p ω + a a a a B ω ω ω ω ω ω ≤ ⇒ ≥ 2− 1 = 1 ' ' ' '

c

p p p p p B ω ω ω ω ω ω ω ≤ ≤ ⇒ ≤ 2− 1 = 2 1 ' ' ' ' '

d

a a a a B ω ω ω ω ω ω ≥ ⇒ ≥ 2 − 1 = 2 ' ' ' '

e

2 1 2 1 ' ' ' ' 2 0

ω

p

ω

p

ω

a

ω

a

ω

= ⋅ = ⋅ Suponemos que se cumple la condición de simetría: En caso de no cumplirse, se ajusta 1 '_a ω

)

(

ω

α

ω

p α a

α

c d p ω ω_a e

Se toma el peor caso:

(

,

)

max α α

4.4. Transformación de Frecuencias

Ls Cs 1 λ ω λ λ ω λ λ B C B C B C B C 2 0 2 0 2 1 1 + = + „ Transformación en circuitos λ ω λ B s 2 0 2 + = C L 2 0 1 ω C B L = B C C₁ = λ ω λ λ ω λ λ B L B L B L B L 2 0 2 0 2 + = + B L L₁ = ₂ 0 1 _ω L B C =

4.4. Transformación de Frecuencias

Ls Cs 1 „ En resumen C L 2 0 1 ω C B L = B C C₁ = B L L₁ = ₂ 0 1 _ω L B C =

„ 4.4.2. Transformación paso bajo – banda eliminada

„ Especificaciones del filtro de banda eliminada

4.4. Transformación de Frecuencias

2 1

'

'

;

'

'

₂ 0 2 2 0 2 0 2 a a

B

B

s

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

λ

λ

₌

_⋅

−

=

⇒

+

=

Paso bajo Banda eliminada

)

'

(

ω

α

'

ω

1 p α a α ' 1 p ω ' 1 a ω c d e ' 2 p ω ' 2 a ω 2 p α

4.4. Transformación de Frecuencias

p p p p B _ω ω ω ω ω ω = − ≤ ⇒ ≤ 1 2 1 ' ' ' '

c

a a a a a B _ω ω ω ω ω ω ω = − ≥ ⇒ ≤ ≤ 1 2 2 1 ' ' ' ' '

d

p p p p B _ω ω ω ω ω ω = − ≤ ⇒ ≥ 1 2 2 ' ' ' '

e

2 1 2 1 ' ' ' ' 2 0

ω

a

ω

a

ω

p

ω

p

ω

= ⋅ = ⋅ Suponemos que se cumple la condición de simetría: En caso de no cumplirse, se ajusta 1 '_p ω

)

(

ω

α

ω

p α a

α

c d p ω ω_a e

Se toma el peor caso:

(

,

)

min α α α =

ω

p ω − p ω ' 1 p ω −

'

ω

' 2 p ω − ' 2 p ω + ' 1 p ω + 0 ω − ω₀

4.4. Transformación de Frecuencias

λ ω λ λ ω λ λ ω λ λ LB LB B L B L B L 2 0 2 0 2 2 0 2 1 1 + = + = + ⋅ „ Transformación en circuitos 2 0 2 ω λ λ + = B s Cs 1 C Ls L 2 0 1 ω LB L = LB C₁ = 1 λ ω λ λ ω λ ω λ λB _{C B CB CB} C 2 0 2 0 2 2 0 2 1 + = + = + ⋅ CB L₁ = 1 ₂ 0 1 _ω CB C =

4.4. Transformación de Frecuencias

„ En resumen Cs 1 C Ls L 2 0 1 ω LB L = LB C1 = 1 CB L₁ = 1 ₂ 0 1 ω CB C =

4.5. Teoría de la Aproximación

„ Se aplicará al prototipo paso bajo. Si deseamos diseñar otro

tipo de filtro, debemos realizar el siguiente proceso:

Filtros PA, PB, BE

Convertir especificaciones para prototipo paso bajo.

Transformación de frecuencias Diseñar prototipo paso bajo Especificar componentes del PB Transformar al circuito definitivo: PA, PB, BE

4.5. Teoría de la Aproximación

„ a) Concepto de función aproximante

„ Nuestro objetivo es hallar una función racional que se aproxime a

la respuesta en frecuencia del filtro paso bajo ideal. Para

simplificar los cálculos, se normaliza a la frecuencia de corte a 3 dB (

ω

_c) 2

)

(

j

ω

H

c c s s ω ω ω ω = = 2 ) (jω H_I

ω

c

ω

1

Filtro paso bajo ideal

2 ) (jω H_I ω 1 1 2 ) (jω H

4.5. Teoría de la Aproximación

„ De esta forma, buscaremos que se cumpla:

al menos en las zonas de interés.

„ Esta función, siempre tendrá la forma:

„ Siendo así la función aproximante buscada, que será de

tipo polinómico o cociente de polinomios.

„ Deberá cumplir que:

„ Según sea tendremos un tipo de aproximación u otro.

2 2

)

(

)

(

j

ω

H

j

ω

H

≈

_I

)

(

1

1

)

(

2 ₂

ω

ω

D

j

H

+

=

)

(

2

ω

D

1 ) 0 ( acotado) (ó

0

)

(

0 2

=

_{⇒ ≈} → H j

D

ω

ω

)

(

2

ω

D

4.5. Teoría de la Aproximación

„ b) Filtros de Butterworth

„ La aproximación de Butterworth es la más simple de las posibles;

es una aproximación de máxima planicidad, o máximamente plana.

„ Esto significa, desde un punto de vista matemático, que la mayor

cantidad posible de derivadas de la función aproximada sean iguales (en el límite cuando ), a las de la función que se desea aproximar, (filtro paso bajo ideal).

2

)

(

j

ω

H

0

→

ω

2

)

(

j

ω

H

_I 2 ) (jω H

ω

1 ₂ ) (jω H_I c

ω

Mejor aproximación en ω=0 Mejor aproximación en ω>>0

4.5. Teoría de la Aproximación

„ En este caso, , con:

Respuesta en frecuencia de Butterworth normalizada (se normaliza respecto a la frecuencia de corte a 3 dB,

ω

_c)

n

D

2 2

)

(

ω

=

ω

filtro

del

orden

polinomio

del

grado

2

≡

≡

n

n

n

j

H

2 ₂

1

1

)

(

ω

ω

+

=

4.5. Teoría de la Aproximación

„ Polos de (normalizados)

Es decir, se encuentran en una circunferencia de radio unidad, en el semiplano complejo izquierdo (estabilidad del filtro)

Existen tablas con los polos ya calculados para diferentes órdenes.

2

)

(

j

ω

H

n

k

e

s

n n k j k

1,

2,

...

,

2 ) 1 2 (

=

=

⎭⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − π n=2 σ ω j n=3 σ ω j

4.5. Teoría de la Aproximación

„ Función de transferencia (normalizada)

También existen tablas con los coeficientes del polinomio de Butterworth normalizados.

„ Desnormalización

„ Se aplica el cambio de variable:

)

(

s

H

1

...

1

)

(

...

)

(

)

(

1

)

(

1 1 1 2 1

+

+

+

+

=

−

⋅

⋅

−

⋅

−

=

₋ −

s

a

s

a

s

s

s

s

s

s

s

s

H

_n n n n

1

...

1

)

(

1 1 1

⎟⎟

+

+

+

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

₋ − c n c n n c

s

a

s

a

s

s

H

ω

ω

ω

n c

j

H

2 ₂

1

1

)

(

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

ω

ω

ω

4.5. Teoría de la Aproximación

„ Determinación del orden del filtro

A medida que ‘n’ aumenta, es más abrupta la transición de la banda de paso a la banda atenuada.

n c

j

H

2 ₂

1

1

)

(

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

ω

ω

ω

(

)

10

log

1

(

)

2

dB

n c

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⋅

=

ω

ω

ω

α

c ω ) ( ) (

ω

dB

α

ω

p α a

α

p ω ω_a

4.5. Teoría de la Aproximación

Despejamos

ω

_c :

Según la figura, debe cumplirse que:

n c n c n n c 2 1 10 ) ( 10 ) ( 2 2 2 10 ) (

1

10

1

10

1

10

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

⇒

−

=

⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

ω α ω α ω α

_ω

ω

ω

ω

ω

ω

n p c p p p 2 1 10

₁

10

)

(

)

1

(

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

⇒

=

⇒

=

α

ω

ω

α

ω

α

ω

ω

n a c a a a 2 1 10

₁

10

)

(

)

2

(

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

⇒

=

⇒

=

α

ω

ω

α

ω

α

ω

ω

4.5. Teoría de la Aproximación

Igualando (1) y (2) obtenemos el orden del filtro requerido, ‘n’: ⇒ − = − ⇒ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⇒ ≡ 1 10 1 10 1 10 1 10 ) 2 ( ) 1 ( 10 2 10 2 2 1 10 2 1 10 a p a p n a n p n a n p α α α α

ω

ω

ω

ω

⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⇒ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⇒ 1 10 1 10 log log 2 1 10 1 10 10 10 10 10 2 a p a p a p n a p n _α α α α

ω

ω

ω

ω

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = a p a p n ω ω α α log 2 1 10 1 10 log 10 10

Donde el orden del filtro de Butterworth será la parte

4.5. Teoría de la Aproximación

„ c) Filtros de Chebyshev

„ El principal problema de la aproximación de Butterworth es que el

error respecto a la curva ideal es mínimo en las cercanías del origen, pero se incrementa considerablemente en la zona de la frecuencia de corte a 3 dB.

„ Otro criterio de aproximación es el de Chebyshev, que considera

que todas las frecuencias de la banda de paso son igualmente

importantes. Así, se admite cierta atenuación y ondulación (rizado) en la banda de paso, pero se consigue una mejor aproximación para

ω

_c .

4.5. Teoría de la Aproximación

„ En este caso, , con:

2 ) (jω H

ω

1 2 ) (jω H_I c

ω

Esta aproximación también es denominada aproximación de

rizado de amplitud constante en

la banda de paso

)

(

)

(

2 2 2

ω

ε

ω

n

C

D

=

)

(

1

1

)

(

2 _{2 2}

ω

ε

ω

n

C

j

H

+

=

Respuesta en frecuencia de _{Chebyshev normalizada}

(respecto a ω_p)

≡

≡

≡

)

(

ω

ε

n

C

n

constante que determina el rizado en la banda de paso (real) orden del filtro

4.5. Teoría de la Aproximación

„ Polinomios de Chebyshev (normalizados)

En la práctica, se calcula de forma recurrente:

)

cos

cos(

)

(

ω

=

n

⋅

−1

ω

C

_n

)

(

)

(

2

)

(

₁ 1

ω

ω

ω

−

ω

+

=

n

−

n n

C

C

C

Es una función pseudotranscendente, que varía entre ±1

... 3 4 ) 1 2 ( 2 ) ( 1 2 ) ( ) ( 1 ) ( 3 2 3 2 2 1 0

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

− = − − ⋅ = − = = = C C C C

4.5. Teoría de la Aproximación

PROPIEDADES

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

>

≤

→

<

=

1

1

)

(

1

)

(

ω

ω

ω

ω

n n

C

C

Oscilante Crece monótonamente

[

]

[

cosh

(

)

]

cosh

)

(

1

)

(

cos

cos

)

(

1

1 1

ω

ω

ω

ω

ω

ω

− −

⋅

=

⇒

>

⋅

=

⇒

<

n

C

n

C

n n 2 ) (jω H

ω

p ω a a _ω ω ω =

[

]

[

cosh ( )

]

cosh ) ( ) ( cos cos ) ( 1 1 ω ω ω ω − − ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ n C n C n n Banda de paso Banda atenuada

4.5. Teoría de la Aproximación

„ Polos de (normalizados)

Los polos se encuentran situados sobre una elipse, en el semiplano complejo izquierdo (estabilidad del filtro)

2

)

(

j

ω

H

n k n k a j n k a s_k , ... 2, 1, 2 ) 1 2 ( cos ) cosh( 2 ) 1 2 ( sen ) ( senh = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − ⋅ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − ⋅ − =

π

π

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⋅

=

−

ε

1

senh

1

₁

n

a

Existen tablas para calcularlos

n=3

σ ω

4.5. Teoría de la Aproximación

„ Función de transferencia (normalizada)

Se realiza como anteriormente.

„ Desnormalización

Se realiza como anteriormente.

„ Determinación de .

)

(

s

H

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

=

p n

C

j

H

ω

ω

ε

ω

2 2 2

1

1

)

(

ε

( )

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

⋅

=

⋅

=

p n

C

j

H

ω

ω

ε

ω

ω

α

2 2 2

10

log

1

)

(

1

log

10

4.5. Teoría de la Aproximación

„ Determinación de (cont.)

ε

( )

{

2 2

}

{

2

}

1

log

10

)

1

(

1

log

10

ε

ε

α

ω

α

ω

ω

=

_{p p}

=

_p

=

⋅

+

C

_n

=

⋅

+

1 ) 0 ( cos2 n⋅ =

1

10

1

10

10 10 2

=

−

⇒

=

−

p p α α

ε

ε

) (

ω

α

ω

p α a

α

p ω Δ dBω_a

{

2

}

1 log 10 ε α_p = ⋅ +

El parámetro se elige según el valor requerido para (también llamado “error en la banda de paso”,

en dB = Δ dB), que resultará ser la amplitud de rizado máxima permitida.

ε

p α

4.5. Teoría de la Aproximación

„ Determinación del orden del filtro

Banda de paso: Banda atenuada:

)

1

(

1

10

)

1

log(

10

)

(

)

(

10 2 2

⇒

=

−

+

⋅

=

=

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

=

=

p p p p p p α

ε

ε

α

ω

α

ω

ω

α

ω

α

)

2

(

1

log

10

)

(

)

(

_{2 2}

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

⋅

=

=

⎭

⎬

⎫

=

=

p a n a a a a a

C

ω

ω

ε

α

ω

α

ω

ω

α

ω

α

1

10

cosh

cosh

1

10

10 2 2 1 10 2 2

=

−

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⇒

−

=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

⇒

a − a p a p a n

n

C

α α

ω

ω

ε

ω

ω

ε

4.5. Teoría de la Aproximación

„ Determinación del orden del filtro (cont.)

2 10 1

10

1

cosh

cosh

ε

ω

ω

₌

α

−

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

⋅

⇒

− a p a

n

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

⇒

− − p a a

n

ω

ω

ε

α 1 10 1

cosh

1

10

cosh

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

=

⇒

− − p a p a

n

ω

ω

α α 1 10 10 1

cosh

1

10

1

10

cosh

(

1

)

ln ) ( cosh 2 ) cosh( 2 1 = + − + = − − x x x e e x x x NOTA: