Capitulo 5 - Cinemática - MRU

(1)

CINEMÁTICA

5

CONCEPTOS FUNDAMENT CONCEPTOS FUNDAMENT CONCEPTOS FUNDAMENT CONCEPTOS FUNDAMENT CONCEPTOS FUNDAMENTALESALESALESALESALES

Móvil.-

Es el cuerpo que realiza el movimiento.

Trayectoria.-

Línea recta o

cur-va que describe un móvil.

Desplazamiento.-

Es aquel

vector que une el punto de

partida con el punto de

llega-da (d r r r

=∆ = ₂− ₁

) su módulo

toma el nombre de distancia.

Espacio Recorrido.-

Longitud

o medida de la trayectoria.

Intervalo de Tiempo.-

Tiempo

empleado en realizarse un

acon-tecimiento. (

∆

t = t

_f

– t

_o

)

Instante.-

Se define así como un intervalo de tiempo pequeño, tan

pe-queño que tiende a cero. (

∆

t) = (t

_f

– t

_o

)

→

0

(2)

MOVIMIENTO MOVIMIENTOMOVIMIENTO MOVIMIENTOMOVIMIENTO

Es aquél fenómeno físico que consiste en el

cam-bio de posición que realiza un cuerpo (móvil) en

cada instante con respecto a un sistema de

refe-rencia, el cual se considera fijo. Se afirma también

que un cuerpo está en movimiento con respecto a

un sistema de coordenadas rectangulares elegido

como fijo, cuando sus coordenadas varían a

medi-da que transcurre el tiempo.

Magnitud vectorial cuyo módulo indica cual es el

espacio recorrido por un móvil en cada unidad de

tiempo. Físicamente, el módulo o valor de la

velo-cidad indica la rapidez con la cual se mueve un

cuer-po. Se representa por “v”.

MEDIDAS DEL MOVIMIENTO MEDIDAS DEL MOVIMIENTOMEDIDAS DEL MOVIMIENTO MEDIDAS DEL MOVIMIENTOMEDIDAS DEL MOVIMIENTO

VELOCIDAD (

v

)

Unidad de velocidad en el S.I.

ACELERACIÓN (a)

Es una magnitud vectorial cuyo módulo mide el

cambio de la velocidad por cada unidad de tiempo.

Físicamente el módulo de la aceleración mide la

rapidez con la cual varía la velocidad. Se

represen-ta por “a”.

metro

segundo m s/

b

g

Unidad de la aceleración en el S.I.

metro

segundo m s

2

d

/

2

i

CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTOCLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO

1.- POR SU TRAYECTORIA

A) Rectilíneo.-

Cuando la trayectoria es una

línea recta.

IMPORTANTE

−

La aceleración aparece cuando varía la

velo-cidad.

−

El sentido del vector aceleración no

necesa-riamente coincide con el sentido del

movi-miento del cuerpo.

B) Curvilíneo.-

Cuando la trayectoria es una

lí-nea curva. Entre las más conocidas tenemos:

2.- POR SU RAPIDEZ

A) Uniforme.-

Cuando el módulo de la

veloci-dad permanece constante.

B) Variado.-

Cuando el módulo de la velocidad

varía con respecto al tiempo.

El sentido del vector velocidad indica siempre el sentido del movimiento.

Circular.- Cuando la trayectoria es una circunferencia.

Parabólico.- Cuando la

(3)

Un cuerpo posee movimiento rectilíneo uniforme

cuando cumple las siguientes condiciones:

A) La trayectoria que recorre es una línea recta.

B) La velocidad (v) es constante.

Ilustración

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)

FÓRMULA QUE RIGE EL M.R.U. FÓRMULA QUE RIGE EL M.R.U. FÓRMULA QUE RIGE EL M.R.U. FÓRMULA QUE RIGE EL M.R.U. FÓRMULA QUE RIGE EL M.R.U.

OBSERVACIÓN

En esta clase de movimiento, el móvil recorre

espacios iguales en tiempos iguales.

OBJETIVO

v dt

=

EXPERIENCIA: MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

MATERIAL A EMPLEARSE

−

Un tubo transparente de 1,50 m de longitud,

aproximadamente.

−

Un corcho o tapón que permita tapar el

extre-mo libre del tubo.

−

4 cronómetros.

−

Una cinta métrica.

NÚMERO DE ALUMNOS:

Cuatro

PROCEDIMIENTO:

1.-

Graduar el tubo de 30 en 30 cm como

mues-tra la figura.

2.-

Llenar el tubo con agua coloreada hasta el

borde.

3.-

Tapar el tubo con el corcho o tapón, de

ma-nera que dentro del tubo quede atrapado

una burbuja (tratar en lo posible que dicha

burbuja sea lo más pequeña que se pueda).

4.-

Colocar el tubo en la posición mostrada, con

la burbuja abajo.

5.-

Al subir la burbuja, tomar el tiempo que

de-mora ésta en recorrer:

0 – 30 cm : 1

er

_alumno

0 – 60 cm : 2

do

_alumno

0 – 90 cm : 3

er

_alumno

0 – 120 cm : 4

to

_alumno

Demostrar que el valor de la velocidad de una

(4)

6.-

Repetir los pasos 4 y 5 (tres veces más) y anotarlas en la tabla.

PROCESO ADICIONAL

En un papel milimetrado hacer el gráfico

d

vs

t

PREGUNTAS

1.-

¿Es constante la velocidad de la burbuja?

2.-

¿Cuánto vale su velocidad?

3.-

¿Qué figura se origina en el gráfico d vs t?

4.-

¿Cuánto vale la pendiente de la recta (en el

gráfico)?

5.-

¿El movimiento de la burbuja es M.R.U.?

d (m)

1

era

_vez

₂

da

_vez

₃

era

_vez

₄

ta

_vez

Promedio

Tiempo

Tiempo (s)

0 - 0,30

0 - 0,60

0 - 0,90

0 - 1,20

(5)

−10

6 m s/

20 6 m s/ 12

5 m s/

−8

5 m s/ 4 5 m s/

TEST

1.- Un móvil que va con M.R.U. inicia su movimiento

en x = 12 m y luego de 8 s está en x = 28 m. Hallar su velocidad.

a) 2 m/s d) 6 m/s

b) 8 m/s e) 7 m/s

c) 4 m/s

2.- Señalar verdadero o falso respecto al M.R.U.

I.- La velocidad es tangente y contraria al movimiento. II.- La aceleración es igual a cero.

III.- El radio de curvatura de la recta de movimiento es considerado infinitamente grande.

a) VVV d) FFF

b) FVV e) VVF

c) FVF

3.- Para el movimiento de la partícula en M.R.U. en la

fi-gura podemos decir que su velocidad media es:

a) d) −4 m/s

b) e) 4 m/s

c)

4.- Para el movimiento de la partícula en M.R.U. en la

fi-gura, podemos decir que su velocidad media es:

a) –5 m/s d)

b) +5 m/s e) N.A.

c)

5.- Los móviles “A” y “B”

parten de las posi-ciones mostradas simultáneamente con v_A = 4 m/s y v_B = 3 m/s. ¿Qué podemos opinar?

Vm=∆x_t ∆

a) “A” llega primero a “P”. b) “B” llega primero a “P”.

c) Ambos llegan simultáneamente a “P”.

d) Falta precisar información para decidir que res-ponder.

e) Ninguno llega.

6.- Se muestran la velocidad de

dos móviles en M.R.U., al cabo de 5 s estarán separados:

a) 10 m d) 25 m

b) 15 m e) 30 m

c) 20 m

7.- Señalamos las velocidades de 4 móviles en M.R.U., al

cabo de 10 s, que alternativa se cumple si salen del mismo punto.

a) A dista de B 40 m d) C dista de D 40 m b) C dista de D 55 m e) A dista de B 25 m c) A dista de B 30 m

8.- La figura muestra dos móviles

en M.R.U. que parten del mis-mo punto. Al cabo de 6 s ¿qué distancia los separa?

a) 78 m d) 18 m

b) 48 m e) N.A.

c) 30 m

9.- Marque la proposición correcta.

a) En el M.R.U. el vector velocidad cambia contínuamente.

b) En el M.R.U. la trayectoria no siempre es una lí-nea recta.

c) En el M.R.U. la aceleración siempre es cero. d) El espacio es una magnitud vectorial. e) Todas las anteriores son falsas.

10.- Marque la proposición

correc-ta según el siguiente esquema. a) El móvil tiene velocidad

constante.

b) La velocidad del móvil aumenta.

c) El cuerpo se detendrá en el plano inclinado. d) La velocidad del móvil disminuye.

(6)

1.- Cuantas horas dura un viaje hasta una ciudad sureña

ubicado a 540 km, si el bus marcha a razón de 45 km/h?

Solución:

PROBLEMAS RESUEL

PROBLEMAS RESUELTOS

TOS

A problemas de aplicación

2.- Un cazador se encuentra a 170 m de un “Blanco” y

efectúa un disparo saliendo la bala con 85 m/s (velo-cidad constante), ¿después de que tiempo hará im-pacto la bala?

Solución:

t=12horas

d vt= ⇒ 540 45= t

3.- Dos autos se mueven en sentidos contrarios con

ve-locidades constantes. ¿Después de que tiempo se en-cuentran si inicialmente estaban separados 2 000 m? (velocídad de los autos 40 m/s y 60 m/s).

Solución:

d vt= ⇒ 170 85= t t s=2

❏ De la figura:

e v t_A= _A =40t e v tB= B =60t

4.- Dos autos se mueven en el mismo sentido con

veloci-dades constantes de 40 m/s y 60 m/s. ¿Después de que tiempo uno de ellos alcanza al otro? ver figura.

Solución:

2000=e e_A+ _B

2000 40 60= t+ t ⇒ 2000 100= t

t=20s

❏ De la figura:

e v tA= A =60t e v tB= B =40t

e eA= B+200

60 40 200t= t+ ⇒ 20 200t=

t=10s

OBSERVACIÓN

Tiempo de Encuentro:

e : espacio de separación inicial

tE=_{v v}_Ae _B +

NOTA

(7)

5.- Un móvil “A” que se desplaza con una velocidad de

30 m/s, se encuentra detrás de un móvil “B” a una dis-tancia de 50 m, sabiendo que los móviles se mueven en la misma dirección y sentido, y que la velocidad de “B” es de 20 m/s. ¿Calcular después de qué tiem-po, “A” estará 50 m delante de “B”?

Solución:

OBSERVACIÓN

Tiempo de Alcance:

e : espacio de separación inicial tAL=_{v v}_Ae _B

− v v_A> _B

❏ De la figura:

e v t_A= _A =30t e v tB= B =20t

eA=50+eB+50

30 50 20 50t= + t+ ⇒ 10 100t=

t=10s

1.- Un barco navega rumbo al Norte recorriendo 540 m.

Luego va hacia el Este recorriendo 720 m. Determinar el espacio y distancia que recorrió el barco (en m).

Solución:

B problemas complementarios

2.- Tres móviles pasan simultáneamente por los puntos A,

B, C con velocidades de 10, 15 y 13 m/s. Si la distancia entre A y B es 8 m, y entre B y C es de 32 m. Luego de qué tiempo la distancia entre los móviles serán iguales, si en ese instante guardan el mismo ordenamiento.

Solución:

❏ Espacio = ?

e OA AB= +

e=540 720+

❏ Distancia = ?

d OB=

d=

b

540

g b

2+ 720

g

2

d=900m

8 32+ +e e x3= 1+2 40+v t v t x₃ = ₁ +2 40 13 10 2+ t= t x+

40 3 2+ t x ... (1)=

e e x2= 1+ −8

v t v t x2 = 1+ −8

15 10t= t x+ −8 5t x= −8 ... (2)

t=24s 7

3.- Un muchacho para bajar por una escalera empleó 30 s.

¿Cuánto demoraría en subir la misma escalera si lo hace con el triple de velocidad?

Solución:

❏ De (1) y (2): ❏ Cuando el

muchacho baja

❏ De la figura:

❏ También:

❏ De (1) y (2):

❏ Cuando el

muchacho sube L v=

b g

30 ... (1)

L v t=3

b g

... (2)

t=10s e=1260m

Cuando el muchacho baja

(8)

t h=2

4.- Una persona sale todos los días de su casa a la misma

hora y llega a su trabajo a las 9:00 a.m. Un día se trasla-da al doble de la velocitrasla-dad acostumbratrasla-da y llega a su trabajo a las 8:00 a.m. ¿A que hora sale siempre de su casa?

Solución:

5.- Dos móviles A y B situados en un mismo punto a

200 m de un árbol, parten simultáneamente en la misma dirección. ¿Después de que tiempo ambos móviles equidistan del árbol? (v_A = 4 m/s y v_B = 6 m/s).

Solución:

❏ De la fig (1):

❏ De la fig (2):

Rpta: Sale de su casa a las 7:00 a.m. d vt= ... (α)

d v t=2

b

−1

g

.... (β)

❏ De (α) y (β):

vt v t=2

b

−1

g

fig (1)

6.- Un tren de pasajeros viaja a razón de 36 km/h, al

in-gresar a un túnel de 200 m de longitud demora 50 s en salir de él ¿Cuál es la longitud del tren?

Solución:

De la figura: d dB= A+2x v t v t x_B = _A +2

t x=

6 4 2t t x= + ⇒ 2 2t x=

... (1) d xA+ =200

4t x+ =200

❏ (1) en (2): ❏

❏

... (2)

4t t+ =200 t=40s

La distancia que recorre el tren es el mismo que reco-rre el punto A.

7.- De Lima a Huacho hay aproximadamente 160 km; de

Lima a Barranca hay 200 km, un auto va de Lima con velocidad constante saliendo a las 8 a.m. y llega a Ba-rranca al medio día. ¿A qué hora habrá pasado por Huacho?

Solución:

d vt=

200+ =L 10 50

b g

L=300m

8.- Un auto debe llegar a su destino a las 7:00 p.m., si

viaja a 60 km/h llegará una hora antes, pero si viaja a 40 km/h llegará una hora después. Si en ambos ca-sos la hora de partida es la misma, encontrar dicha hora de partida.

❏ Lima a Barranca:

❏ Lima a Huacho:

Dato: velocidad constante = 50 km/h

Rpta: Pasó por Huacho a las 11.2 a.m. ó 11h₁₂m_a.m.

d vt=

200 4=v

b g

⇒ v=50km h/

d vT=

(9)

Solución:

10.- Dos móviles se mueven con M.R.U. en dos carreteras

que se cruzan en 90° simultáneamente del punto de cru-ce con velocidades v₁ = 4 m/s y v₂ = 2 m/s. Si las carrete-ras están desniveladas 10 m. ¿Qué tiempo después, la distancia de separación entre móviles es de 90 m?

❏ De la figura (1):

❏ De (b) y (c):

Rpta: La hora de partida será las 2:00 p.m. d vt= ... (a)

d=60 1

b

t−

g

... (b)

d=40 1

b

t+

g

... (c)

60 1 40 1

b

t− =

g

b

t+

g

⇒ t h=5

9.- Dos trenes corren en sentido contrario con

velocida-des de v₁ = 15 m/s y v₂ = 20 m/s. Un pasajero del pri-mer tren (el de v₁) nota que el tren 2 demora en pasar por su costado 6 s. ¿Cuál es la longitud del segundo tren? (Se supone que el pasajero está inmóvil miran-do a través de la ventana).

Solución:

❏ Supongamos que el pasajero se encuentra en la

parte delantera del tren (1)

❏ Sabemos que el tren (1) se mueve con velocidad

de 15 m/s y el tren (2) con velocidad de 20 m/s, pero en sentido contrario.

Respecto al pasajero. ¿Qué velocidad creerá él, que tiene el tren (2)?. La respuesta es (15 + 20) es decir 35 m/s, y esto es lógico pues el pasajero verá moverse al tren (2) con mayor rapidez.

Visto esto, podemos suponer al tren (1) en reposo, pero el tren (2) tendrá una velocidad de 35 m/s.

❏ Tren (2) a punto de pasar por el pasajero,

❏ Tren (2) ya pasó por completo al pasajero.

❏ Para el pasajero: e vt₌ _⇒ L₌35 6

_{b g}

L=210m fig. (1)

fig. (2)

(10)

PROBLEMAS PROPUESTOS

A problemas de aplicación

Solución:

1.- Dos móviles parten de un punto A en direcciones

per-pendiculares con velocidades constantes de 6 m/s y 8 m/s respectivamente. ¿Determinar al cabo de que tiempo se encontrarán separados 100 m?

Rpta. 10 s

2.- Un móvil que va con M.R.U. inicia su movimiento

en: x = −12 m y luego de 8 s está en x = +28 m, hallar

su velocidad. Rpta. 5 m/s

3.- Javier un joven estudiante, desea saber a qué

distan-cia se encuentra el cerro más próximo, para lo cual emite un grito y cronómetro en mano, comprueba que el eco lo escucha luego de 3 s. ¿Cuál es esa distancia en metros? (v_sonido= 340 m/s).

Rpta. 510 m

4.- Dos atletas parten juntos en la misma dirección y

sen-tido con velocidades de 4 m/s y 6 m/s, después de 1 minuto. ¿Qué distancia los separa?

Rpta. 120 m

5.- Hallar el espacio que recorre una liebre en 10 s. Si en

un quinto de minuto recorre 40 m más. Rpta. 200 m

❏ Por motivos didácticos tomaremos parte de las

carreteras los lados AB y CD de un paralelepípedo.

❏ Al formar el triángulo DFE, se tiene:

❏ Ahora, en el triángulo DEB:

L=

b g b g

2t2+ 4t2 L=2 5t

902 2₌_L ₊102

90 2 52₌

_d

_t

_i

2₊102

8100 20 100₌ _t2₊

8000 20₌ _t2

t2₌₄₀₀

t=20s

6.- Una moto y un auto se encuentran a una distancia

de 1 000 m. Si parten simultáneamente en la misma dirección y con velocidades de 25 m/s y 15 m/s res-pectivamente. ¿En que tiempo se produce el en-cuentro?

Rpta. 25 s

7.- Dos móviles con velocidades constantes de 40 y

25 m/s parten de un mismo punto, y se mueven en la misma recta alejándose el uno del otro. ¿Des-pués de cuanto tiempo estarán separados 13 km? Rpta. 200 s

8.- Un móvil debe recorrer 300 km en 5 h, pero a la mitad

del camino sufre una avería que lo detiene 1 h, ¿con que velocidad debe continuar su viaje para llegar a tiempo a su destino?

Rpta. 100 km/h

9.- Dos móviles se mueven en línea recta con velocidades

constantes de 10 m/s y 20 m/s, inicialmente separados por 15 m. ¿Qué tiempo transcurre para que el segundo después de alcanzar al primero se aleje 15 m? Rpta. 3 s

10.- Dos móviles con velocidades constantes parten

(11)

dife-rencia de sus velocidades de 108 km/h. Hallar la dis-tancia que los separa después de 30 s.

Rpta. 900 m

1.- Un auto vá de una ciudad a otra en línea recta con

velocidad constante a razón de 30 km/h, pensando cubrir la travesía en 8 h. Pero luego de 3 h, el auto se malogra; la reparación dura 1 h, ¿con qué velocidad debe proseguir para que llegue a su destino con 1 h de adelanto?

Rpta. 50 km/h

2.- Un tren de pasajeros viaja a razón de 72 km/h y tiene

una longitud de 100 m. ¿Qué tiempo demorará el tren en cruzar un túnel de 200 m?

Rpta. 15 s

3.- “A” y “B” realizan una carrera de 300 m, con

velocida-des constantes en módulo de 5 m/s y 10 m/s. Al llegar “B” a la meta regresa donde “A” y luego así sucesiva-mente hasta que “A” llega a la meta. ¿Qué espacio to-tal recorrió “B”?

Rpta. 600 m

4.- Dos móviles se desplazan en la misma pista con

ve-locidades constantes. Luego de 10 s el móvil “A” gira 180° y mantiene su rapidez constante. ¿Qué tiempo emplean hasta encontrarse desde las posiciones in-dicadas?

Rpta. 15 s

5.- Dos móviles están en “A” y “B” en la misma recta. El

primero parte de “A” hacia “B” a las 7 a.m. a razón de 90 km/h, el segundo parte de “B” hacia “A” a las 12 m. Si se encuentran a las 3 p.m. Hallar AB, sabiendo ade-más que el espacio del primero es al del segundo como 2 es a 1.

Rpta. 1 080 km

B problemas complementarios

6.- Un alumno sale de su casa todos los días a las 7:00 y se

dirige al colegio a velocidad constante v₁ llegando siempre a las 8:00. Si el alumno un día sale de su casa a las 7:15 y a medio camino observa que no llegará a tiempo por lo que aumenta su velocidad a v₂ (cte), lle-gando finalmente a tiempo. Determinar v₂/v₁.

Rpta.

7.- Dos autos separados a una distancia, parten

simul-táneamente con velocidades constantes de 30 m/s y 20 m/s en el mismo sentido para luego encontrarse en un punto “P”. Si el segundo auto partiese 2 s des-pués, el encuentro de los autos sería “x” m antes de “P”, calcular “x”.

Rpta. 120 m

8.- Un alpinista se encuentra entre dos montañas y

emi-te un grito. Si registra los ecos después de 3 s y 4 s de haber emitido el grito. ¿Cuál será la distancia que se-para las montañas? velocidad del sonido en el aire, considerar 340 m/s.

Rpta. 1 190 m

9.- Un avión desciende con velocidad constante de

100 km/h bajo un ángulo de 16° con el horizonte. ¿Qué tiempo tardará su sombra en llegar a tocar un objeto que se encuentra a 4 km? (cos 16° = 24/25).

Rpta. 150 s

10.- Dos trenes de longitudes diferentes van al

encuen-tro por vías paralelas con velocidades v₁ y v₂ demo-rando en cruzarse 20 s. Si van al encuentro con velo-cidades v₁ y (8/5)v₂ respectivamente demoran en cru-zarse 15 s. ¿Cuánto tiempo tardarán en crucru-zarse si viajan en la misma dirección con velocidades v₁ y v₂ respectivamente.