18_19_BTO1_Mat I-Mat Ap I_PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN POR TIPO DE FUNCIÓN_RESUELTOS

MATEMÁTICAS BACHILLERATO

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN CON SOLUCIONES

FUNCIONES POLINÓMICAS

57. Una agencia inmobiliaria tiene alquilados 200 apartamentos en una ciudad, a 160 euros al mes cada uno. Por cada 5 euros de aumento en el alquiler pierde un inquilino, que se traslada a un apartamento más barato. ¿Cuál es el precio del alquiler que produce un mayor beneficio a la agencia?

58. El valor de una empresa en millones de euros en función del tiempo viene dado por la función v(t) = 9 – (t – 2)2_{, siendo t el número de años trascurridos desde}

que se creó hasta su venta, tres años después. ¿En qué momentos alcanzo el valor de la empresa sus valores máximo y mínimo?

59. Un campesino dispone de 54 000 kg de fruta que puede vender a 0,2 eur/kg. Cada día que pasa el precio aumenta 0,025 eur, pero se le estropean 1000 kg de fruta. Calcula cuándo le interesa vender la remesa para obtener los máximos ingresos posibles y a cuánto ascenderán dichos ingresos.

60. Un agricultor dispone de 400m de alambre con los que quiere vallar un campo rectangular, aprovechando que un río hace ya de valla en un lado. ¿Cómo debe hacerlo para vallar la máxima superficie?

61. Queremos vallar un campo rectangular que está junto a un camino. La valla del lado del camino cuesta 5eur/metro, y la de los otros tres lados 0,625 eur/m. Halla el área del campo de mayor superficie que podemos vallar con 1800eur.

62. La evolución del número de socios de un equipo de fútbol fundado en 1953 viene dada por s(t) = -0,2(2t3 _{- 45t}2 _{- 4200t -60), donde t se expresa en años.}

Calcula el número mínimo y el número máximo de socios que ha tenido el club hasta el año 2008.

63. Una persona ha invertido en acciones de una compañía durante los últimos 10 años. El valor de la cartera a lo largo del tiempo (dinero obtenido más beneficios obtenidos, en miles de euros) viene dado por la expresión

v(t) = (t - 2)2_{(1 - 2t) + 252t + 116, con 0 ≤ t ≤ 10.}

a. Determina los intervalos en los que el valor creció y aquellos en los que decreció

b. El individuo retira sus ingresos a los 10 años. ¿Cuál habría sido

64. Los beneficios de una fábrica de camisas dependen del número de miles de camisas que se fabrican cada día, según la función f(x) = 2x3 _{- 15x}2 _{+ 36x – 19,}

donde x mide el número de miles de camisas fabricadas al día y f(x) la ganancia en miles de euros al mes. Atendiendo al número de máquinas y personal

necesarios, la fábrica puede optar por fabricar un número diario de camisas entre 1000 y 4000. ¿Cuántas camisas debe fabricar al día para obtener beneficio

máximo?

FUNCIONES RACIONALES

15. Una empresa de venta por teléfono ha establecido para sus empleados un incentivo mensual f(x), en euros, en relación con el valor x, en euros, de lo

vendido, siendo

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a. Estudia la continuidad de f(x) e indica si hay algún valor de ventas que la empresa valore especialmente

b. ¿Es el incentivo siempre creciente?

c. ¿Puede un empleado recibir 600 euros de incentivo?¿Y 598? Indica por qué.

16. Una compañía puede producir x cientos de neumáticos de calidad A. Además, por cada x cientos de neumáticos de calidad A, es capaza de producir

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cientos de neumáticos de calidad B, que dejan la mitad de beneficio que los de calidad A.

Por problemas de almacenamiento, la empresa no puede producir más de 550 neumáticos de calidad A.

Halla el número de neumáticos de cada tipo que resulte más rentable producir.

17. Una hoja de papel debe contener 18 cm2 _{de texto impreso. Los márgenes superior}

e inferior deben tener 2cm cada uno y los laterales 1cm. Calcula las dimensiones de la hoja necesaria para que el gasto de papel sea mínimo.

18. Un jardinero desea construir un parterre en forma de sector circular. Si dispone de 20m de alambre para vallarlo, ¿qué radio debe tener el sector para que el parterre tenga la mayor superficie posible?

19. Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base cuadrada, de 500m3 _{de capacidad y que tenga un revestimiento de}

20. ¿Cuáles son las dimensiones de un bote cilíndrico de refresco de 33cl de capacidad para que el gasto de hojalata en su fabricación sea el menor posible?

21. Se desea construir una lata de conservas en forma de cilindro, de área total 150cm2 _{y volumen máximo. Determina su altura y su radio.}

22. Una Ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10m, halla las dimensiones del marco de la de área máxima.

FUNCIONES IRRACIONALES

1. De entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de 10cm de

diámetro, ¿cuál es el de mayor área?

2. ¿Cuáles son las dimensiones del triángulo inscrito en una circunferencia de

radio3cm que tiene mayor área de entre todos los posibles?

http://ggbtu.be/m542611

3. La mitad superior de la siguiente elipse es la gráfica de la función

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