Formación de profesores de matemáticas de secundaria. ¿Qué matemáticas para la enseñanza?

(1)

Formación de profesores de

matemáticas de secundaria.

¿Qué matemáticas para la

enseñanza?

Pedro Gómez Universidad de Granada

pgomez@valnet.es

XV Congreso Nacional de Matemáticas Bogotá, 11 de agosto de 2005

2

¿Qué matemáticas debería saber el

profesor de matemáticas de secundaria?

3

¿Qué matemáticas debería saber el

profesor de matemáticas de secundaria?

¿Cuántas?

4

¿Qué matemáticas debería saber el

profesor de matemáticas de secundaria?

(2)

5

¿Qué matemáticas debería saber el

profesor de matemáticas de secundaria?

¿Cómo?

¿Para qué?

6

¿Qué matemáticas debería saber el

profesor de matemáticas de secundaria?

¿Quién es?

7

¿Qué matemáticas debería saber el

profesor de matemáticas de secundaria?

¿En qué contexto

de formación?

8

¿Qué matemáticas debería saber el

profesor de matemáticas de secundaria?

¿En qué contexto

de formación?

¿Cuántas? ¿Cuáles?

¿Para qué?

¿Cómo?

(3)

9

¿Qué matemáticas debería saber el

profesor de matemáticas de secundaria?

¿En qué contexto

de formación?

¿Cuántas? ¿Cuáles?

¿Para qué?

¿Cómo?

¿Quién es?

¿Que matemáticas para la enseñanza?

¿Cuáles matemáticas? Saber enseñar matemáticas Conocimiento del profesor

Estado del arte

Significados de un concepto matemático Análisis didáctico

Competencias y capacidades del profesor

Conocimiento del profesor Ejemplos ¿Qué conocimiento

de referencia?

¿Qué matemáticas para la enseñanza? Implicaciones y discusión

¿Qué aprendizaje?

Visión funcional

Conocimiento teórico y práctico

Múltiples significados de las matemáticas escolares

Estado del arte

de referencia?

¿Qué aprendizaje?

Visión funcional

Comunidad de

investigadores en matemáticas

Conocimiento matemático

Revistas de investigación

Disciplinares

¿Cuáles matemáticas?

12

(4)

Comunidad académica

Profesores y estudiantes

Formar investigadores

Libros de texto

Notas de clase

Disciplinares

Académicas

¿Formar profesores?

¿Cuáles matemáticas?

13

Aplicadas

Disciplinares

¿Cuáles matemáticas?

14

Académicas

Aplicadas

Disciplinares

Escolares

Comunidad escolar

Profesores y estudiantes

Formar ciudadanos

Libros de texto

¿Cuáles matemáticas?

15

Académicas

Aplicadas

Disciplinares

Escolares

El doble olvido (Klein, 1908)

16

Académicas

Bachiller que entra a la universidad Matemático que llega a la aula

(5)

Estado del arte

de referencia?

¿Qué aprendizaje?

Visión funcional

Saber enseñar matemáticas

18

Saber enseñar

matemáticas

=

matemáticas

Saber

+

enseñar

Saber

Saber enseñar matemáticas

19

Saber enseñar

matemáticas

=

matemáticas

Saber

+

enseñar

Saber

Escolares

Saber enseñar matemáticas

20

Saber enseñar

matemáticas

=

matemáticas

Saber

+

enseñar

Saber

Escolares

Universitarias

(6)

Saber enseñar matemáticas

21

Saber enseñar

matemáticas

=

matemáticas

Saber

+

enseñar

Saber

Escolares

Universitarias

Pedagogía

“Recursos

didácticos”

!

No específicos al

contenido

Entonces,

¿Qué matemáticas debería saber el

profesor de matemáticas de secundaria?

22

Matemáticas

escolares

universitarias

Matemáticas

¿Para qué?

¿Es suficiente?

Estado del arte

de referencia?

¿Qué aprendizaje?

Visión funcional

Conocimiento del profesor

24 Características de los buenos profesores

Con base en opiniones de los alumnos Con base en el rendimiento de los alumnos

El conocimiento matemático (universitario) del profesor no es un buen indicador del rendimiento de los escolares El pensamiento del profesor: actuación, conocimiento y creencias

(7)

Conocimiento pedagógico de contenido

25 Una solución a los problemas de la igualdad

Saber enseñar matemáticas = saber matemáticas + saber enseñar

“Representa la mezcla de contenido y pedagogía en la comprensión de cómo se organizan, representan y adaptan tópicos, problemas o cuestiones particulares a los diversos intereses y capacidades de los estudiantes y cómo se presentan para la instrucción” (Shulman, 1987, p. 8)

Cierra la brecha entre el conocimiento de las matemáticas académicas y de las matemáticas escolares

Implica una transformación del contenido académico en un contenido a enseñar

Es específico a los temas matemáticas concretos

Creencias del profesor y contexto

Creencias

Sobre las matemáticas, su aprendizaje y su enseñanza Configuran lo que el profesor ve como creíble, posible o deseable

Configuran la selección de metas y planes de acción Contextos

Social, educativo e institucional

Determinan las normas y valores que rigen y definen aquello que se valora como deseable

Restringe las opciones del profesor en su práctica docente 26

Estado del arte

de referencia?

¿Qué aprendizaje?

Visión funcional

Entonces,

¿Qué matemáticas debería saber el

profesor de matemáticas de secundaria?

28

(8)

Entonces,

¿Qué matemáticas debería saber el

profesor de matemáticas de secundaria?

29

¿Para qué?

Para lograr los objetivos de aprendizaje

que se ha impuesto

Entonces,

¿Qué matemáticas debería saber el

profesor de matemáticas de secundaria?

30

¿Para qué?

Para lograr los objetivos de aprendizaje

que se ha impuesto

Estado del arte

de referencia?

¿Qué aprendizaje?

Visión funcional

¿Qué aprendizaje?

32

Multiplicidad de visiones sobre el aprendizaje

Visiones (creencias) sobre

Matemáticas

Enseñanza

(9)

¿Qué aprendizaje?

33

Construcción de significados sociales en el aula

¿Qué significados?

¿Cómo se construyen?

¿Cuál es el papel del profesor?

Diseño, puesta en práctica y evaluación

de actividades en el aula

Estado del arte

de referencia?

¿Qué aprendizaje?

Visión funcional

Significados de un concepto

matemático

35 Contenido Cognitivo Actuación Instrucción Multiplicidad de significados en

las matemáticas escolares

El papel del profesor

36 Analizar el tema matemático

Para recabar, organizar y utilizar información sobre la multiplicidad de

sus significados

Análisis didáctico

Conceptualización de la manera ideal como el profesor diseña, lleva a la prática y evalúa actividades de enseñanza y

(10)

Estado del arte

de referencia?

¿Qué aprendizaje?

Visión funcional

Comprensión Análisis de contenido Contenidos Objetivos Análisis cognitivo Análisis de instrucción Diseño de actividades Puesta en práctica de actividades Análisis de actuación Conocimiento didáctico Creencias Metas Contextos Diseño curricular global Contenidos Comprensión Objetivos Análisis de contenido Análisis

cognitivo instrucciónAnálisis de

Diseño de actividades Puesta en práctica de actividades Análisis de actuación Conocimiento didáctico Contextos Diseño curricular global Creencias Metas Contenidos Comprensión Objetivos Análisis de contenido Análisis

Diseño de actividades Puesta en práctica de actividades Análisis de actuación Conocimiento didáctico Contextos Diseño curricular global Creencias Metas Estructura conceptual Sistemas de representación Fenomenología

(11)

Contenidos Comprensión Objetivos Análisis de contenido Análisis cognitivo Análisis de instrucción Diseño de actividades Puesta en práctica de actividades Análisis de actuación Conocimiento didáctico Contextos Diseño curricular global Creencias Metas Estructura conceptual Sistemas de representación Fenomenología

Identificar los conceptos y procedimientos que conforman la estructura matematica correspondiente al tema

Contenidos Comprensión Objetivos Análisis de contenido Análisis cognitivo Análisis de instrucción Diseño de actividades Puesta en práctica de actividades Análisis de actuación Conocimiento didáctico Contextos Diseño curricular global Creencias Metas Estructura conceptual Sistemas de representación Fenomenología

Establecer las diferentes maneras en que el tema se puede representar

Determinar las relaciones entre los diferentes elementos de la estructura conceptual y entre sus representaciones

Contenidos Comprensión Objetivos Análisis de contenido Análisis

Diseño de actividades Puesta en práctica de actividades Análisis de actuación Conocimiento didáctico Contextos Diseño curricular global Creencias Metas Estructura conceptual Sistemas de representación Fenomenología

Identificar las subestructuras de la estructura matemática que permiten organizar los fenómenos para los que dicha estructura sirve de modelo y establecer las relaciones entre subestructuras y

grupos de fenómenos Contenidos Comprensión Objetivos Análisis de contenido Análisis

Diseño de actividades Puesta en práctica de actividades Análisis de actuación Conocimiento didáctico Contextos Diseño curricular global Creencias Metas Capacidades Competencias Dificultades Posibles caminos_{de aprendizaje}

(12)

Contenidos Comprensión Objetivos Análisis de contenido Análisis cognitivo Análisis de instrucción Diseño de actividades Puesta en práctica de actividades Análisis de actuación Conocimiento didáctico Contextos Diseño curricular global Creencias Metas Capacidades Competencias Dificultades Posibles caminos_{de aprendizaje}

Identificar y caracterizar (en términos de competencias) las capacidades que:

los estudiantes tienen antes de la instrucción

se espera que desarrollen con motivo de la instrucción

Contenidos Comprensión Objetivos Análisis de contenido Análisis cognitivo Análisis de instrucción Diseño de actividades Puesta en práctica de actividades Análisis de actuación Conocimiento didáctico Contextos Diseño curricular global Creencias Metas Capacidades Competencias Dificultades Posibles caminos_{de aprendizaje}

Identificar y prever las dificultades que los escolares pueden encontrar al abordar las tareas

Contenidos Comprensión Objetivos Análisis de contenido Análisis

Diseño de actividades Puesta en práctica de actividades Análisis de actuación Conocimiento didáctico Contextos Diseño curricular global Creencias Metas Capacidades Competencias Dificultades Posibles caminos_{de aprendizaje}

Formular conjeturas sobre los caminos por los que se puede desarrollar el aprendizaje

Punto inicial Punto final

Tareas 2 Dificultades

Posibles caminos de aprendizaje

Capacidades que se pueden poner en juego

Tareas 1 Capacidades

ya desarrolladas

Capacidades que se desea desarrollar

(13)

Contenidos Comprensión Objetivos Análisis de contenido Análisis cognitivo Análisis de instrucción Diseño de actividades Puesta en práctica de actividades Análisis de actuación Conocimiento didáctico Contextos Diseño curricular global Creencias Metas Modelización Resolución de problemas Recursos y materiales Trayectorias hipotéticas

de aprendizaje Análisis y selecciónde tareas

Profesor Tarea Competencias Escolares Objetivos de aprendizaje Acciones Capacidades Busca unos Preve Analiza, selecciona y gestiona Son base para diseño Se expresan en términos de Induce Ejecutan Ponen en juego Contribuyen Desarrollan Tienen y desarrollan Contenidos Comprensión Objetivos Análisis de contenido Análisis

Diseño de actividades Puesta en práctica de actividades Análisis de actuación Conocimiento didáctico Contextos Diseño curricular global Creencias Metas

Comparar previsiones con

lo sucedido en la práctica Evaluar la planificación Caracterizar la comprensión información para nuevo ciclo Contenidos Comprensión Objetivos Análisis de contenido Análisis

Diseño de actividades Puesta en práctica de actividades Análisis de actuación Conocimiento didáctico Contextos Diseño curricular global Creencias Metas

(14)

Estado del arte

de referencia?

¿Qué aprendizaje?

Visión funcional

Contenidos Comprensión Objetivos Análisis de contenido Análisis cognitivo Análisis de instrucción Diseño de actividades Puesta en práctica de actividades Análisis de actuación Conocimiento didáctico Contextos Diseño curricular global Creencias Metas

Entonces,

¿Qué matemáticas debería saber el

profesor de matemáticas de secundaria?

El conocimiento didáctico como el conocimiento necesario para

realizar el análisis didáctico

Entonces,

¿Qué matemáticas debería saber el

profesor de matemáticas de secundaria?

Una visión funcional desde la perspectiva de las competencias profesionales del profesor

Lo importante es determinar lo que el profesor debe ser capaz de hacer en su práctica docente

El análisis didáctico permite identificar y caracterizar algunas de las capacidades del profesor

55

Capacidades para el análisis de contenido

Identificar los conceptos y procedimientos que conforman la estructura matematica correspondiente al tema

Determinar las relaciones entre los diferentes elementos de la estructura conceptual y entre sus representaciones

Identificar las subestructuras de la estructura matemática que permiten organizar los fenómenos para los que dicha

estructura sirve de modelo y establecer las relaciones entre subestructuras y grupos de fenómenos

(15)

Capacidades para el análisis cognitivo

A partir del análisis de contenido, establecer: las competencias que se quieren desarrollar los focos de interés que se han de tratar

las capacidades que los escolares tienen antes de la instrucción las capacidades que se espera que los escolares desarrollen con motivo de la instrucción

las tareas que conforman la instrucción (ver más adelante) las dificultades que los escolares pueden encontrar al abordar esas tareas

las hipótesis sobre los caminos por los que se puede desarrollar el aprendizaje

57

Capacidades para el análisis de instrucción

Para efectos de analizar y seleccionar las tareas que conforman la instrucción, el profesor ha de ser capaz de analizar una tarea con el propósito de:

identificar las capacidades que se pueden poner en juego cuando los escolares la aborden

identificar las competencias a las que esas capacidades, con la tarea en cuestión, pueden contribuir

establecer los posibles caminos de aprendizaje que los escolares pueden recorrer cuando aborden la tarea, y evaluar la pertinencia de la tarea a partir de esta información

58

Capacidades para el análisis de actuación

Una vez que se ha realizado la instrucción y que el profesor ha observado y registrado lo que sucedió en su interacción con los estudiantes, él ha de ser capaz de:

comparar las previsiones que se hicieron en la planificación con lo que sucedió cuando esa planificación se puso en práctica en el aula

establecer los logros y deficiencias de la planificación (actividades y tareas) en su puesta en práctica en el aula caracterizar el aprendizaje de los escolares con motivo de la puesta en práctica de las actividades, y

producir información relevante para una nueva planificación 59

Estado del arte

de referencia?

¿Qué aprendizaje?

Visión funcional

(16)

Ejemplos de trabajos de grupos de futuros

profesores en Granada

Simetría

Relaciones métricas del triángulo Poliedros: el cubo Continuación 61

Simetría

Historia Análisis de contenido Estructura conceptual Sistemas de representación Fenomenología Análisis cognitivo Capacidades y competencias 62

Ejemplos de trabajos de grupos de futuros

profesores en Granada

Simetría

Relaciones métricas del triángulo Poliedros: el cubo

Continuación

63

Relaciones métricas del triángulo

Análisis de contenido Historia Estructura conceptual Sistemas de representación Fenomenología Análisis cognitivo Capacidades - competencias Análisis de instrucción 64

(17)

Ejemplos de trabajos de grupos de futuros

profesores en Granada

Simetría

Relaciones métricas del triángulo Poliedros: el cubo Continuación 65

Poliedros: el cubo

Análisis de contenido Estructura conceptual Sistemas de representación Fenomenología Análisis cognitivo Capacidades - Competencias 66

Estado del arte

de referencia?

¿Qué aprendizaje?

Visión funcional

Entonces,

¿Qué matemáticas debería saber el

profesor de matemáticas de secundaria?

Conocimiento versus competencias

Saber versus saber hacer (resolver problemas) Conocimiento “teórico” versus conocimiento práctico

Conocimiento práctico como la capacidad para poner en juego el conocimiento teórico para resolver problemas

Pero,

¿cuál conocimiento teórico? ¿Cómo se desarrolla?

(18)

Conocimiento teórico y conocimiento

práctico, ejemplo

Dos capacidades del análisis de contenido (en un tema concreto)

Determinar las relaciones entre los diferentes elementos de la estructura conceptual y entre sus representaciones Requiere del conocimiento teórico de las nociones de estructura conceptual y de sistema de representación

Requiere de la capacidad para analizar un tema concreto desde la perspectiva de esas nociones

69

Estado del arte

de referencia?

¿Qué aprendizaje?

Visión funcional

¿Qué conocimiento de referencia?

71 Matemáticas

escolares ? universitariasMatemáticas ¿Qué significa conocer las matemáticas escolares?

Ser capaz de analizar un tema concreto (concepto, estructura matemática) para

recabar, organizar y utilizar sus múltiples significados con el propósito de

diseñar, llevar a la práctica y evaluar actividades de enseñanza y aprendizaje que

aseguren algún grado de certidumbre sobre el logro de los objetivos de aprendizaje

¿Qué conocimiento de referencia?

72 Matemáticas

escolares ? universitariasMatemáticas ¿Qué significa conocer las matemáticas escolares?

Ser capaz de analizar un tema concreto (concepto, estructura matemática) para

recabar, organizar y utilizar sus múltiples significados con el propósito de

diseñar, llevar a la práctica y evaluar actividades de enseñanza y aprendizaje que

aseguren algún grado de certidumbre sobre el logro de los objetivos de aprendizaje

múltiples significados ¿Cuáles significados?

(19)

Estado del arte

de referencia?

¿Qué aprendizaje?

Visión funcional

Múltiples significados de las matemáticas escolares

74 Contenido

Cognitivo

Actuación

Instrucción

Múltiples significados de las matemáticas escolares

75 Contenido Cognitivo Actuación Instrucción Estructura conceptual Sistemas de representación Fenomenología

Múltiples significados de las matemáticas escolares

76 Contenido Cognitivo Actuación Instrucción Estructura conceptual Sistemas de representación Fenomenología Capacidades Competencias Dificultades Posibles caminos

(20)

Múltiples significados de las matemáticas escolares

de aprendizaje Modelización Resolución de problemas Recursos y materiales Trayectorias hipotéticas de aprendizaje Análisis y selección de tareas

Múltiples significados de las matemáticas escolares

de aprendizaje Modelización Resolución de problemas Recursos y materiales Trayectorias hipotéticas de aprendizaje Análisis y selección de tareas Análisis de actuaciones: capacidades y competencias Evaluar la planificación Caracterizar la comprensión 79 Contenido Cognitivo Actuación Instrucción Estructura conceptual Sistemas de representación Fenomenología Capacidades Competencias Dificultades Posibles caminos

de aprendizaje Modelización Resolución de problemas Recursos y materiales Trayectorias hipotéticas de aprendizaje Análisis y selección de tareas Análisis de actuaciones: capacidades y competencias Evaluar la planificación Caracterizar la comprensión

Múltiples significados de las matemáticas escolares

Especificidad

Especificidad: Todas estas nociones se

ponen en juego con respecto a un tema

matemático concreto

No son nociones ni de las matemáticas

universitarias, ni de las matemáticas

escolares

Pertenecen a un campo disciplinar

concreto:

la didáctica de la matemática

Otras nociones necesarias

de aprendizaje Modelización Resolución de problemas Recursos y materiales Trayectorias hipotéticas de aprendizaje Análisis y selección de tareas Análisis de actuaciones: capacidades y competencias Evaluar la planificación Caracterizar la comprensión Historia Espistemología Teorías de aprendizaje de las matemáticas Modelos de enseñanza Evaluación La noción de currículo

(21)

Estado del arte

de referencia?

¿Qué aprendizaje?

Visión funcional

Matemáticas escolares Matemáticas universitarias ¿Qué conocimiento de las matemáticas escolares?

Logro de unos objetivos de aprendizaje

Competencias y capacidades para realizar la práctica docente

Teórico Práctico

Matemáticas universitarias Matemáticas escolares

Diseño, puesta en práctica y evaluación de actividades de enseñanza y aprendizaje

Visiones

Didáctica de la matemática

¿Qué matemáticas para la enseñanza?

¿Para qué?

Análisis didáctico: significados didácticos de un concepto

Conocimiento

Puesta en práctica en temas concretos

Estado del arte

de referencia?

¿Qué aprendizaje?

Visión funcional

Implicaciones

84 Diseño de licenciaturas de matemáticas

Formación inicial de profesores Formación permanente de profesores Práctica docente del profesor

(22)

¿Y el resto de los aspectos

de la prática docente?

Me he centrado en la problemática de la planificación de una unidad didáctica o una hora de clase

He considerado solamente aquellos aspectos que son específicos a la enseñanza y aprendizaje de temas concretos No he considerado toda la problemática de la gestión de clase, que es muy importante

Aunque el análisis didáctico es un procedimiento complejo, se basa en principios que pueden ponerse en juego inclusive en la interacción en clase: es posible pensar en realizar “análisis didácticos sobre la marcha”

Éste es un proyecto en proceso y algunas ideas se están desarrollando actualmente