ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO

(1)

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE

CHIMBORAZO

ESCUELA DE MEDICINA

LÓGICA MATEMÁTICA

DOCENTE:

Dra. Susana Pino MgS.

ESTUDIANTE

:

(2)

Lógica Matemática Dra. Susana Pino MgS.

Página 2

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE

CHIMBORAZO

SÍLABO INSTITUCIONAL

1.

INFORMACIÓN GENERAL

FACULTAD SALUD PÚBLICA ESCUELA MEDICINA CARRERA MEDICINA SEDE RIOBAMBA MODALIDAD PRESENCIAL

SÍLABO DE LOGICA MATEMATICA NIVEL PRIMER NIVEL

PERÍODO ACADÉMICO SEPTIEMBRE 2013 - MARZO 2014

ÁREA CÓDIGO NÚMERO DE CRÉDITOS BÁSICA GENERAL CUATRO

NÚMERO DE HORAS

SEMANAL PRERREQUISITOS CORREQUISITOS 4

Cumplimiento del Sistema Nacional de Nivelación y Admisión (SNNA).

NOMBRE DEL DOCENTE SUSANA DEL PILAR PINO BURGOS NÚMERO TELEFÓNICO 032963026 0997758871

CORREO ELECTRÓNICO Susipinob1955@yahoo.es TÍTULOS ACADÉMICOS DE

TERCER NIVEL

LICENCIADA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN ESPECIALIDAD FISICO- MATEMÁTICO

DOCTORA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN PEDAGOGÍA TÍTULOS ACADÉMICOS DE

POSGRADO MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

2.

DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA

2.1. INDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMA DE LA ASIGNATURA EN RELACIÓN AL PERFIL PROFESIONAL

La carrera de Medicina requiere de la formación de profesionales que efectivicen la calidad de los servicios en salud y sociales generando el bienestar financiero, preocupándose por la educación y entrenamiento de los ejecutores de sus políticas, principios y valores institucionales; por lo que es importante el estudio de Lógica Matemática, para que le permita solucionar los problemas que se presentan en el desarrollo profesional con razonamiento lógico que le conduzcan a la toma efectiva de las decisiones.

La Lógica Matemática es una asignatura teórico - práctico que proporciona a los/ las estudiantes de la escuela de Medicina los conocimientos fundamentales que le servirán para el desarrollo de las capacidades intelectuales, la formación de habilidades y destrezas con la aplicación de métodos y procesos lógicos que le ayuden al planteamiento y la resolución de problemas con eficiencia, oportunidad para que después apliquen estos conocimientos en la vida laboral.

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2.2. CONTRIBUCIÓN DE LA ASIGNATURA EN LA FORMACIÓN DEL PROFESIONAL

La Matemática es una disciplina que permite la formación básica que faculta al futuro médico compenetrarse con conocimientos que son esenciales para la comprensión de posteriores temas relacionados con los más diversos campos de la salud pública y de la investigación científica.

La "Lógica Matemática", considerada como materia del pensum vigente procura enriquecer el conjunto de conocimientos elementales del estudiante, que contribuye al desarrollo de sus facultades intelectuales y en especial, de su capacidad de razonamiento, lo que posibilita encontrar los medios más adecuados para resolver o desarrollar cualquier problema o actividad con eficiencia y oportunidad.

Se considera trabajar con mayor profundidad los contenidos de Lógica Matemática, para la comprensión de problemas que contribuyan al desarrollo de la capacidad de razonamiento, a la formación de habilidades y destrezas con la utilización de métodos y procesos lógicos en el planteamiento y resolución de problemas estrechamente ligados al análisis y comprensión de diferentes problemas que se presentan en la vida cotidiana, y que utilizarán como herramienta en las actividades de la vida profesional.

3.

OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA A. COGNITIVOS

Desarrollar el pensamiento lógico, la capacidad de razonamiento, análisis y síntesis en la resolución de problemas relacionados con su perfil profesional, evaluando críticamente los resultados de una adecuada presentación oral y escrita.

Aplicar los fundamentos matemáticos en la solución de problemas que se presentan en la vida cotidiana y profesional utilizando métodos, técnicas y procedimientos que ayuden a desarrollar el razonamiento deductivo. B. FORMATIVOS

Adquirir una fundamentación sólida con actitudes de orden, perseverancia y gusto por la Matemática que permita a el / la estudiante una adecuada aplicación en la resolución de problemas de la vida real, el desarrollo de valores, capacidades de investigación y de trabajo creativo, productivo para la aplicación en el campo laboral.

Demostrar su capacidad creadora para resolver problemas mediante la utilización de técnicas innovadoras con base en los postulados, axiomas, teoremas y leyes correspondientes.

4.

CONTENIDOS

UNIDADES OBJETIVOS TEMAS

Lógica Matemática y Teoría de Conjuntos

 Utilizar la lógica simbólica para la especificación de problemas.

 Demostrar conocimiento del razonamiento lógico para la solución de problemas.

Proposiciones Definición y clasificación Operaciones y propiedades Aplicaciones Sistemas numéricos

 Aplicar el manejo de números y operaciones aritméticas en el desarrollo de su razonamiento lógico

Números naturales, enteros, racionales y reales

Axiomas

Problemas de Razonamiento Lógico Deductivo e Inductivo

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Razones y Proporciones

 Reconocer si entre dos magnitudes

existe relación de proporcionalidad, directa o inversa

Razones y proporciones Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa Regla de tres simple Regla de tres compuesta.

Sistemas de unidades

 Utilizar los diferentes sistemas de

unidades, con lo cual podrá convertir un tipo de unidad a otra. Magnitudes fundamentales Unidades fundamentales Unidades derivadas Sistema internacional de Unidades Transformación de unidades. Funciones, ecuaciones: lineal, cuadrática Exponencial y Logarítmica

 Aplicar el razonamiento en la solución de las ecuaciones propuestas mediante la interpretación de los resultados obtenidos

Función lineal y cuadrática. Gráficos Ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales.

Ecuación cuadrática.

Aplicación práctica en problemas

Orígenes de la Estadística Distribución de frecuencias y Medidas

 Utilizar la estadística como herramienta para la presentación de datos y análisis de la información  Describir las características principales de los datos

reunidos.

Orígenes de la Estadística Estadística como parte del Método Científico

La Estadística como una herramienta Forma de recolección de datos Ordenamiento de datos Variables Distribución de frecuencias Medidas de tendencia central, posición y variabilidad

5.

ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS

ACTIVIDADES DE INICIO.- Revisión de tareas y conocimientos previos mediante el interrogatorio, lluvia de ideas, exposición de investigaciones, Motivaciones, diseño de la clase, Retroalimentación.

ACTIVIDADES DE DESARROLLO.- Lectura comentada de texto, exposición y comprensión de nuevos conceptos, construcción del conocimiento mediante talleres con preguntas dirigidas, lluvia de ideas, plenaria. Trabajo grupal para solución de problemas, exposiciones individuales y conjuntas dirigidas a los compañeros de aula. Talleres (educación cooperativa)

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACION.- Resúmenes, conclusiones, retroalimentación, elaboración conjunta. ACTIVIDADES FINALES.- Evaluaciones, autoevaluaciones y coevaluaciones, taller o individualmente construcción de nuevos ejercicios y problemas. Evaluación por unidad pedagógica considerando varios parámetros. Tareas y/o investigaciones para la casa.

6.

USO DE TECNOLOGÍAS

En la ejecución de las clases se emplearán recursos tecnológicos como el programa geogebra para la graficación de las funciones. Además se utilizará

(5)

Página 5

7.

RESULTADOS O LOGROS DE APRENDIZAJE

RESULTADOS O LOGROS DEL APRENDIZAJE

CONTRIBUCION (ALTA,MEDIA,

BAJA)

EL ESTUDIANTE SERÁ CAPAZ DE

a. Aplicación de las Ciencias Básicas de la Carrera. Aplicar los conocimientos científicos básicos sobre los que se fundamenta la Carrera de Medicina, con el propósito de alcanzar y facilitar el aprendizaje de procedimientos, destrezas , métodos y técnicas para el ejercicio profesional

ALTA

Utiliza los conocimientos y habilidades adquiridas para un adecuado desarrollo en el campo laboral.

b. Identificación y definición del Problema. Identificar, analizar y especificar las causas de un problema

ALTA Reconoce de una manera concreta un problema y plantea su solución. c. Solución de Problemas.

Plantear científicamente un problema para priorizar las variables de mayor relevancia y proporcionar alternativas de solución

ALTA

Resuelve cualquier problema que se lo proponga encontrando las mejores alternativas de solución.

d. Utilización de herramientas especializadas. Utilizar adecuadamente técnicas, destrezas y

herramientas relacionados con su área de conocimiento para la solución de problemas

ALTA

Utiliza adecuadamente los principios y técnica que aportan al desarrollo de su pensamiento lógico.

e. Trabajo en equipo.

Aportar e interactuar de manera efectiva interdisciplinariamente para lograr los resultados propuestos

ALTA

Trabaja en equipo para lograr un mejor resultado en el trabajo cooperativo y colaborativo.

f. Comportamiento ético.

Conocer y aplicar valores y códigos de ética en su formación profesional

ALTA Es ético y como tal va de la mano con el avance científico porque se logrará un cambio sustancial.

g. Comunicación efectiva.

Comunicar en forma oral, escrita y digital la información relacionada a su ejercicio

Profesional

ALTA

Domina las diferentes formas de comunicación, y lo utiliza de acuerdo a las áreas de intervención que vaya ejecutar como profesional. h. Compromiso del aprendizaje continuo.

Desarrollar aptitudes, habilidades y hábitos de estudio para la actualización

constante de conocimientos

ALTA

Dispone de una amplia base de datos bibliográfica y acceder de manera permanente a contenidos actualizados. Participa periódicamente en

reuniones de carácter técnico científico.

i. Conocimiento entorno contemporáneo. Analizar con interés el entorno contemporáneo de manera crítica, utilizando fuentes de información actualizada

ALTA

Identifica el problema del momento, proporciona estrategias para solucionar el problema y disminuir las brechas sociales.

8.

AMBIENTES DE APRENDIZAJE

El acto de enseñar requiere establecer un ambiente de aprendizaje propicio para las metas planteadas, con reglas de comportamiento conocidas y aceptadas por los estudiantes, de acuerdo con su estado de desarrollo cognitivo, social y moral.

Aula de clases con facilidades audiovisuales, incluye pizarra de tiza líquida, y pupitres. Computador (CPU, teclado y accesorios) más escritorio docente

Proyector Multimedia y pantalla de proyección

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9.

SISTEMA DE EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA ACTIVIDADES A EVALUAR PRIMER PARCIAL SEGUNDO PARCIAL TERCER PARCIAL EVALUACIÓN PRINCIPAL SUSPENSIÓN Exámenes 2 3 3 12 20 Lecciones 1 1 1 Tareas grupales 1 1 1 Exposiciones y defensas 1 1 1 Fichas de Observación 1 1 1 Trabajo de Investigación 1 1 1 Portafolios Aula Virtual 1 2 2 Otros

TOTAL 8 PUNTOS 10 PUNTOS 10 PUNTOS 12 PUNTOS 20 PUNTOS

10.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

MATEMÁTICA BÁSICA POR COMPETENCIAS: M.Sc. MAURICIO ALMEIDA ALGEBRA ELEMENTAL: Schaum

MATEMATICA BASICA: Dr. Ángel Urquizo ARITMÉTICA 2: Repeto

LÓGICA CONJUNTOS ESTRUCTURALES: Proaño Viteri MATEMÁTICA FINANCIERA: José Luis Villalobos MATEMÁTICA FINANCIERA: Frank Ayres, Jr. ESTADÍSTICA GENERAL: Murray y Spiegel ESTADÍSTICA BÁSICA: Ec. Marcelo Andrango COMPLEMENTARIA

CHARLES LEHMANN, Algebra, Ed Limusa LECTURAS RECOMENDADAS

http://www.slideshare.net/motas/software-libre-para-ensear-o-aprender-matemtica-presentation http://www.promonegocios.net/motivación/historias-que-motivación-6htm http://www.lyrics-house.com/top_artists/?gclid=CNTZnfL46q0CFQxW7AodyW8X4w

FIRMA DEL DOCENTE DE LA ASIGNATURA

INTRODUCCIÓN DEL MÓDULO

El objetivo de este módulo es proporcionar las herramientas básicas para desenvolverse en la solución de aquellos temas matemáticos, que están estrechamente ligados al análisis y comprensión de las diferentes problemas que se presentan en la vida cotidiana y en el desempeño de algunas funciones donde es necesario aplicar los conocimientos adquiridos con el estudio de la Lógica Matemática.

El presente trabajo pretende motivar a los estudiantes para que con ayuda de la “lógica matemática”, sea capaz de encontrar las relaciones entre los diferentes esquemas de aprendizaje, para que de esta manera tenga una buena estructura cognitiva. Se considera que si el alumno sabe lógica matemática puede relacionar estos conocimientos, con los de otras áreas para de esta manera crear conocimiento.

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Página 7

UNIDAD I

LÓGICA MATEMÁTICA OBJETIVO

 Lograr tener un conocimiento básico para asimilar el contenido de matemática financiera.  Aplicar conceptos básicos de proposiciones progresiones en la solución de problemas.

Es una ciencia que estudia los métodos o procedimientos y establece los principios fundamentales para establecer si un razonamiento correcto o incorrecto, proporciona reglas y técnicas para determinar si es válido o no el argumento dado por medio del desarrollo de una secuencia lógica, usando premisas, hipótesis que nos llevan a la obtención de un determinado enunciado con un valor de verdad.

Existen dos tipos básicos de razonamiento: Inductivo y Deductivo

Inductivo: Si va de casos particulares a un caso general. Ejemplo: Si observamos varios partidos de básquet y luego afirmamos “los jugadores profesionales de baloncesto son altos”, se parte de casos particulares para llegar a una conclusión general.

Deductivo: Si partimos de una ley general que conocemos inferimos la veracidad o falsedad de un caso particular. Ejemplo: Si sabemos que los cuerpos caen a la tierra por la fuerza de gravedad que existe, decimos si soltamos una tiza, ésta caerá al suelo.

También se cuenta con el razonamiento intuitivo que consiste en realizar una aseveración sin tener pruebas suficientes, sólo basada en las experiencias, presentimientos o apreciaciones. La intuición es sumamente útil para plantear hipótesis cuya veracidad intuimos verificar.

ACTIVIDAD: Ponga 5 ejemplos de cada tipo de razonamiento, aplicados a la vida real. Enunciado: Es la expresión verbal o escrita que tiene sentido completo pueden ser:

Informativas: Mañana es martes

Descriptivas: La bandera ecuatoriana tiene 3 colores Explicativa: Si el cielo está nublado es señal que va a llover

Exclamativas: Te quiero

Interrogativas: ¿Cómo te llamas? Imperativas: Cierra la puerta Desiderativas: Ojala haga sol

Una proposición es una expresión lingüística declarativa de cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verdad verdadero (1) o falso (0) pero no ambos a la vez.

p: La tierra es plana q: París está en Francia

Expresivas

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r: 5+ 8 = 11

s: ¿Cómo te llamas? No es una proposición porque no se puede determinar el valor de verdad. Es un enunciado expresivo

t: El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto. u: 15 es divisible por 7

m: ¿Cuánto dinero tienes? No es proposición por ser un enunciado interrogativo, no se puede decir si es verdadero o falso.

ACTIVIDAD:

1.

Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones lógicas, excluyendo aquellas que no lo son P1 : El rectángulo tiene paralelos... P2 : El MCD de 8 es 12 y 24 ...

P3 : (-3) 2

+ 52= 34 ... P4 : ¿Qué hora es ? ...

P5 : El 7 es divisor de 360... P6 : Riobamba capital de Chimborazo ...

P7 : Es falso que 1+1 = 3 …….. P8 : ¿Están contentos ? ...

P9 : 4 ≠ ni menor que 2 …….. P10 : Esta fruta está verde ...

2.

Ver cuáles son enunciados o proposiciones verdaderos o falsos según corresponda :

a)

( ) 3+2= 8 f) ( ) Deseo saber a dónde vas.

b)

( ) La tierra es redonda. g) ( ) Chimborazo es una provincia del Ecuador

c)

( ) ¿Quiénes van al paseo? h) ( ) Si x+ 1 = 5 entonces x=4

d)

( ) 0/0 = 1 i) ( ) El hombre llegó a Plutón

e)

( ) 10 x 4 = 40 j) ( ) El perro es un cuadrúpedo

1.1 CLASES DE PROPOSICIONES

Existen proposiciones: Simples, compuestas, abiertas

Son proposiciones simples o atómicas las que no pueden ser subdivididas en otras proposiciones, es decir tienen un solo enunciado o aseveración.

Ejemplo: p: “3 es un número primo”

q: “ la suma de los ángulos internos en un triángulo es 180º”

Las proposiciones compuestas o moleculares son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples, ligadas por operativos lógicos.

Ejemplos p: 12 es un número divisible para 4 y para dos p: 12 es un número divisible para 4

q: 12 es divisible para dos El conectivo lógico es y

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Página 9

Proposiciones abiertas son expresiones o enunciados que contienen una o más variables y no podemos inferir directamente su valor de verdad, por lo que es necesario sustituir las variables y obtener luego su valor de verdad.

Ejemplo: p: “x+2 = 5”

q: “x es un número primo”

ACTIVIDAD

Clasifique las proposiciones e indique su valor de verdad.

a) Si el triángulo es isósceles entonces tiene dos lados iguales y dos ángulos iguales. b) Juan trabajo y estudia entonces es un buen profesional competente.

c) n es par si y solo si es divisible para dos

d) El oxígeno es un compuesto del agua y x = 7 es la solución de la ecuación 2x = 14 e) Si el triángulo es isósceles entonces tiene dos lados iguales y dos ángulos iguales. f) Aquella manzana es una planta o un plátano.

c) n es par si y solo si es divisible para dos.

d) El oxígeno es un compuesto del agua y x = 7 es la solución de la ecuación 2x = 14

1.2 CONECTIVOS U OPERADORES LÓGICOS

En la lógica simbólica los conectivos lógicos llamados también signos de enlace siendo los más utilizados: SÍMBOLOS METALÓGICOS SÍMBOLOS LÓGICOS OPERACIONES LÓGICAS

No ~ o Negación Y ^ Conjunción O V Disyunción O V Disyunción exclusiva entonces → Condicional si y sólo si ↔ Bicondicional

no y no; ni y ni Conjunción negativa o barra de Shaffer /

1.3 OPERACIONES LÓGICAS

NEGACIÓN: Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición ~p que es verdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p".

Además se puede traducir como: “jamás”,”nunca”, “ni”, “in”, “i”

~p : el vidrio no es transparente p: el vidrio es transparente ~q : 18 es un número irracional q: 18 es un número racional

r : lo culparon por documentado ~r: Lo culparon por indocumentado

A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de

(10)

Página 10

los valores de las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones.

Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente:

A continuación se describen las principales operaciones lógicas entre dos proposiciones p, q y sus tablas de verdad:

Conjunción: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p л q, y se lee "p y q".

Disyunción: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera, y falsa cuando las dos proposiciones son falsas. Se escribe p v q, y se lee "p o q".

Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p v q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco.

p ~p 1 0 0 1 p ~p V F F V p q p л q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 p q p лq V V V V F F F V F F F F p q p v q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 p q p v q V V V V F V F V V F F F p q p v q 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 p q p v q V V F V F V F V V F F F

(11)

Página 11

Condicional: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la condición necesaria q es falsa. Se escribe p→q, y se lee "si p entonces q".

Bicondicional: es la proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe p ↔ q, y se lee "si y sólo si p entonces q

Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es siempre verdadero (1) independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen.

Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre falso 0 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen.

Una paradoja, indecisión o contingencia es una proposición a la que no se le puede asignar valores verdaderos o falsos a la vez; suelen estar relacionadas con incorrecciones en el lenguaje lógico. EQUIVALENCIAS LÓGICAS

Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en función de las proposiciones elementales que lo componen; esta definición equivale a decir que la proposición es una tautología.

Por ejemplo, las proposiciones p → q y ~ p v q son equivalentes.

Esta ley se llama "ley del contra recíproco", y se usa en los razonamientos por reducción al absurdo. p q p→ q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 P q p → q V V V V F F F V V F F V p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V p q p ↔ q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

(12)

Página 12

RESUMEN DE LAS TABLAS DE VERDAD

p q ~ p p л q p v q p → q p ↔ q p ѵ q p ↓ q v v f f v f v f f v f v v f v f v v v f v f v v v f f v f v v f f f f v Determinar el valor de verdad por medio de tablas [(p ^ q) ^ r ] ↔ [p ^ ( q ^ r) ]

p q r p л q q л p (p л q) л r (p л (q л r ) [(p л q) л r ]↔[p л ( q л r) ] V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F F F F V V F F F F F F V F V V F V F F V F V F F F F F V F F V F F F F V F F F F F F F V ARGUMENTOS LÓGICOS

Un argumento lógico es un razonamiento en el que a partir de una serie de enunciados llamados premisas se obtiene un resultado llamado conclusión. Se dice que un argumento es válido si asumiendo que todas las premisas son verdaderas la conclusión también es. Cuando un razonamiento no es válido se dice que es un sofisma.

Para demostrar la validez de un argumento debemos partir del hecho de que tenemos las proposiciones p1 л

p2 л p3 л……. pn para llegar a la conclusión q por medio de las leyes de las proposiciones lógicas,

escribiendo todas las premisas p1 de la forma p →q encadenando dichas proposiciones (una a continuación de

otra) y procurando que ninguna proposición esté negada.

Ejemplo Exprese la siguiente proposición ~[(p v q) л (q л r)] utilizando solo el conectivo → Para cumplir con la condición es necesario cambiar el conectivo л por el conectivo v Ya que utilizando la ley de la implicación es posible pasar del conectivo V al conectivo → ~[(p v q) л (q л r)] es equivalente por la ley de Morgan a [~ (p v q) v ~ (q л r)]

Considerando las proposiciones ~ (p v q) y ~ (q л r) como p y q respectivamente y utilizando la ley de la implicación obtenemos [ (p v q) ] → [ ~ (q л r)] esta expresión se podría escribir utilizando la ley de Morgan y luego la de implicación nuevamente obtendríamos [~p →q) → (q → ~r)] y está escrita solo con el conectivo →

ACTIVIDAD:

1. Sea n : hace calor q : está nublado traduzca las formas proposicionales de los siguientes enunciados al metalenguaje :

(13)

Página 13

a) ~n b) n v q c) n q d) n q e) n q f ) n q g) ( n ) h) ( n v q ) n 2. Determinar el valor de verdad de la proposición ( p q ) p q utilizando las tablas 3. Demostrar por medio de las tablas de verdad que :

a) n q n q b) n q ( n q ) ( n q) 4. Verifique que ( n q ) ( n v q ) es una tautología

5. Verifique que ( n q ) (n v q) es una contradicción 6. Establezca las tablas de verdad de las siguientes proposiciones :

a) ( n q ) ( n v q) b) ( n v q) ( ( n q ) ( n q )) 7. Demostrar utilizando las tablas de verdad la siguiente equivalencia p (q r) (p q) (p r)

8. Determinar si la proposición es una tautología ( p q ) ( p q)

REFUERZO Nº 1

1.- Ponga ejemplos de proposiciones, que se cumpla con cada una de las tablas de verdades de las operaciones lógicas.

2.- Sean; p: 3 > 1, q: 1+ 3 = 5, r: 2 + 1 = 3. Enuncie con palabras las siguientes proposiciones. a)

p

q

r

b)

˜

p

q

˜

p

q

c)

q

r

q

p

d)

q

r

˜p

e)

˜

p

q

˜

r

3.- Determine el valor de verdad de las proposiciones del numeral anterior

4.- Escriba con símbolos las siguientes proposiciones, si se sabe que; p: 5 7, q: 1 + 1 = 2, r: 3 + 2 = 5, s: 4 - 2 = 5

a) 5 7 entonces 1 + 1 = 2 y 3 + 2 = 5

b) 5 7 si y solo si 1 + 1 = 2 y 3 + 2 = 5 o 4 - 2 = 5 c) 1 + 1 = 2 o 3 + 2 = 5; pero no ambos

d) Ni 5 7 implica que 1 + 1 = 2, ni 3 + 2 = 5 o 4 - 2 = 5

]

[

p

q

r

(método por pasos) d)

˜

p

q

r

p

r

(método por pasos)

(14)

d)

P

Q

R

˜

Q

˜

P

R

e)

P

Q

R

˜

Q

˜

P

R

f)

P

Q

˜

P

Q

g)

˜

P

˜

P

h)

P

Q

˜

P

Q

i)

P

Q

˜

Q

˜

P

a)

p

q

r

b)

˜

p

q

˜

p

q

(15)

Página 15

c)

q

r

q

p

d)

q

r

˜p

e)

˜

p

q

˜

r

˜ 3.- Determine el valor de verdad de las proposiciones del numeral anterior 4.- Escriba con símbolos las siguientes proposiciones, si se sabe que; p: 5 7, q: 1 + 1 = 2, r: 3 + 2 = 5, s: 4 - 2 = 5

e) 5 7 entonces 1 + 1 = 2 y 3 + 2 = 5

f) 5 7 si y solo si 1 + 1 = 2 y 3 + 2 = 5 o 4 - 2 = 5 g) 1 + 1 = 2 o 3 + 2 = 5; pero no ambos

h) Ni 5 7 implica que 1 + 1 = 2, ni 3 + 2 = 5 o 4 - 2 = 5

Q

o)

P

Q

R

˜

Q

˜

P

R

p)

P

Q

R

˜

Q

˜

P

R

q)

P

Q

˜

P

Q

r)

˜

P

˜

P

s)

P

Q

˜

P

Q

t)

P

Q

˜

Q

˜

P

u)

P

P

Q

P

Q

P

1.4.1 NOCIÓN INTUITIVA DE CONJUNTO

Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se caracterizan en algo común. En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto.

La noción simple de una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica de las matemáticas y fue Georg Cantor en los años 1870 quien primero llamó la atención de los matemáticos a este respecto.

Un conjunto es la reunión de objetos bien definidos y diferenciados entre si, que se llaman elementos del mismo.

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota .

Ejemplos de conjuntos:

ø: el conjunto vacío, que carece de elementos. N: el conjunto de los números naturales. Z: el conjunto de los números enteros. Q : el conjunto de los números racionales. R: el conjunto de los números reales. C: el conjunto de los números complejos.

(17)

Página 17

1.4.2 DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Hay dos formas de determinar conjuntos.

Por extensión ó Forma Tabular: Cuando se enlista cada uno de los elementos que comprende el conjunto. A = { a, e, i, o, u }

B = { 0, 2, 4, 6, 8 } C = { c, o, n, j, u, t, s }

En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento.

Por Comprensión ó Forma Constructiva: cuando se da una característica o propiedad que se cumpla en todos los elementos del conjunto.

A = { x/x es una vocal }

B = { x/x es un número par menor que 10 } C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }

En el cuadro comparativo se indican las formas de determinación de conjuntos

Un conjunto se suele denotar encerrando a sus elementos entre llaves, si se define por extensión, o por comprensión. Por ejemplo:

A = {1,2,3, ... ,n} B = {p є Z | p es par}

1.5 TIPOS DE CONJUNTOS

Por extensión Por comprensión A = { a, e, i, o, u } A = { x/x es una vocal }

B = { 0, 2, 4, 6, 8 } B = { x/x es un número par menor que 10 } C = { c, o, n, j, u, t, s } C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos } D = { 1, 3, 5, 7, 9 } D = { x/x es un número impar menor que 10 } E = { b, c, d, f, g, h, j, . . . } E = { x/x es una consonante }

(18)

Página 18

CONJUNTO VACÍO: Es el que carece de elementos. Se suele llamarle conjunto nulo, y se le denota por el símbolo ø o { }, pero no ambos.

A = { x/x є N x < - 5} A = { } A = Ø B = { x / xes un mes que tiene 53 días} B = { } B = Ø C = { x / x3 = 8 y x es impar } C = { } C = Ø D = { x / xes un día de 90 horas } D = { } D = Ø

CONJUNTO UNIVERSAL: Contiene a todos los elementos posibles. Es un término relativo. Se le denota por la letra U.

* Sean los conjuntos:

A = { aves } B = { peces } C = { conejos } D = { monos }

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es U = {animales} Gráficamente se representa por un rectángulo

Denominado diagramas de VENN * Sean los conjuntos:

E = { mujeres } F = { hombres }

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Es U = {seres humanos} Gráficamente se representa por un rectángulo

tal como se observa a continuación. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS IGUALDAD DE CONJUNTOS

Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B.

En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa.

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B = {3, 4, 1,2} D = {1, 2, 2, 3, 4, 4,} F = {u, o} A = B C = D E = F

Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A B y B A; esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica). La relación entre conjuntos iguales se denomina igualdad.

INCLUSIÓN DE CONJUNTOS

Se dice que A está contenido en B o también que A es un subconjunto de B y se denota A B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a єA лa єB. La relación entre estos dos conjuntos se conoce con el nombre de inclusión.

CONJUNTOS DISJUNTOS: Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son disjuntos. La relación se llama disyunción.

Conjuntos disjuntos Conjuntos no disjuntos A = { 2, 4, 6 } M = { o, p, q, r, s } B = { 1, 3, 5 } N = { s, t, v, u } A y B son disjuntos. M y N no son disjuntos.

C = { x/x es una letra del alfabeto} P = { x/x es una letra de la palabra aritmética } D = { x/x es un número } Q = { x/x es una letra de la palabra algebra } C y D son disjuntos P y Q no son disjuntos

CONJUNTOS INTERSECANTES: Si dos conjuntos A y B tienen por lo menos un elemento común y otros que no son comunes entonces A y B son intersecantes. La relación se llama intersecancia.

Conjuntos intersecantes

M = { o, p, q, r, s } N = { s, t, v, u }

M y N son intersecantes por tener en común la letra s. P = { x/x es una letra de la palabra aritmética } Q = { x/x es una letra de la palabra algebra } P y Q son intersecantes

PARTES DE UN CONJUNTO O CONJUNTO POTENCIA El conjunto formado por todos los subconjuntos A se llama partes

La familia de todos los subconjuntos de un conjunto M se llama Conjunto Potencia de M. Se le denota como 2n .

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2n= { {1}, {2}, {1, 2}, ø} entonces 22 = 4 elementos N = { 1, 2, 3 } El conjunto N tiene 3 elementos 2n = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1,2,3}, ø} entonces 23 = 8 elementos ACTIVIDAD a. Conjunto es :... ... b. El conjunto es vacío cuando:...

c. Si el conjunto A que tiene 4 elementos el conjunto de partes estará formado por... subconjuntos

d. Cuando A B B A se dicen que los conjuntos son :... e. Los conjuntos son intersecantes cuando: ……… f. Al conjunto que se expresa con la característica común está determinado por: …… g. Si A = {x/x es país fronterizo con Ecuador} El conjunto esta expresado por ... h. Los conjuntos tienen relación de inclusión cuando:……… 2. Los conjuntos escriba por tabulación:

a) El conjunto de los días de la semana b) Los números impares menores de 11

c) Los números pares mayor que 10 y menor que 20 d) Los números primos menores de 15

3. Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso a) 6 { 2, 4, 5, 6, 9 }

b) y { o, p, q, x } c) x { o, p, q, y }

d) Perú { países de Europa } e) Amazonas { ríos de América }

4. Clasifique los siguientes conjuntos, según corresponda : a) A = { x / x es día de la semana}

b) B = { vocales de la palabra vals} c) C = { x N y x = x}

d) D = { x / x es un habitante de la luna} e) E = { x N / x < 15}

f) F = { x N y 5 < x < 5 } g) G = { x N y x > 15}

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1.4 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.

La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como:

A - B = {x / x A y x B} Mediante un diagrama de Venn - Euler:

Cuando no tienen Cuando tienen Cuando todos los elementos de un

elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto

1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A - C b) B - C c) A - B Tenemos:

a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g } A - C = { a, b, c, e }

Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y C

b) B = {a, e} y C = { d, f, g } B - C = { a, e }

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c) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e } A - B = { b, c, d }

Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y B

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:

A' = { x/x U y x A } a) Sean U = { m, a, r, t, e } y A = { t, e }

Su complemento de A es: A' = { m, a, r } En forma gráfica:

b) Sean U = { letras de la palabra aritmética}y B = { vocales palabra vida } Determinado por extensión tenemos

U = { a, r, i, t, m, e, c } B = { i, a } Su complemento de B es: B' = { r, t, m, e, c } En forma gráfica:

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Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:

UNIÓN DE CONJUNTOS

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:

A U B = {x / x A o x B} En forma gráfica:

Cuando no tienen Cuando tienen algunos Cuando todos los elementos de un

elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto

1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas respectivos: a) A U C b) B U C c) A U B Tenemos: a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 } A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }

Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C b) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }

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Representación gráfica de la unión de conjuntos B y C c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 }

A U B = { , 1, , 3, , 5 }

Representación gráfica de la unión de conjuntos A y B

INTERSECCIÓN DE CONJUNTO

Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir: A B = { x / x A y x B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:

Cuando tienen Cuando no tienen Cuando todos los elementos de un

elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto

1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A C b) B C c) A B Tenemos:

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 } A C = { , }

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b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }

B C = { }

Representación gráfica de la intersección de conjuntos B y C

c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 } A B = { , }

Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y B

ACTIVIDAD

1) Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso a) 6 { 2, 4, 5, 6, 9 } ( ) b) y { o, p, q, x } ( ) c) x { o, p, q, y } ( ) d) Perú { países de Europa } ( ) e) Amazonas { rios de América } ( )

2) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacios, unitarios, finitos, infinitos? a) A = { x / x es día de la semana} . . . b) B = { vocales de la palabra vals} . . . c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} . . . d) D = { x / x es un habitante de la luna} . . . e) E = { x N / x < 15} . . .

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f) F = { x N y 5 < x < 5 } . . . g) G = { x N y x > 15} . . . h) H = { x N y x = x} . . . i) I = { x / x es presidente del Océano Pacífico} . . . j) J = { x / x es número de caballos total de Riobamba} . . . 3. ANALICE, SEÑALE Y JUSTIFIQUE LA RESPUESTA CORRECTA 1) Un conjunto es una colección...

de objetos no definidos

bien definida de objetos de cualquier clase de términos no definido

2) ¿Cuántas formas hay para determinar un conjunto? Hay una forma

Hay cuatro formas Hay dos formas

3) A = {x/x es país fronterizo con Ecuador} El conjunto esta por ... Comprensión

Extensión Tabular

4) B = {x/x es una vocal de Internet} El conjunto es ... Unitario.

Infinito. Finito.

5) Los que representan conjuntos disjuntos son ... A = {e, m, a, i, l} y B = {c, o, r, e} C = {3, 6, 9} y D = {4, 8, 12} E = {2, 4, 8} y F = {3, 4, 5} 6) La unión de conjuntos de A = {c, h, a, t} y B = {c, h, a, r, l} A U B = {c, h, a} A U B = {a, c, h, l, r, t} A U B = {l, r, t} 7) La intersección de conjuntos de A = {n, e, w, s} y B = {n, o, t, i, c, a} Es un conjunto vacío Es un conjunto unitario Es un conjunto universal

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8) La diferencia de conjuntos de A = {c, h, a, t} y B = {c, h, a, r, l} A - B = { c, h, a } A - B = { r, l } A - B = { t }

9) Si U = {letras de la palabra evaluación} y A = {vocal de la palabra internet}. El complemento de A es A' = {n, t, r}

A' = {a, c, l, n, o, u, v} A' = {v, a, l, u, c}

10. Dadas las siguientes notaciones: a ∈ A, a ∉ A, C ⊂ D, ∅ ⊂ A, F ⊃ E, A – B =E. A=B, A Ս B = C, A Ո B = D, De un ejemplo que ilustre cada notación.

11. Dados A ={4,6,8,10,12}, B={3,5,7,9} y C={4,7,5,10,11} y Ա={x ∈ N:2< X < 13} halle: a) A ∪ B b) (A ∩ B) ∪ C c) (A - B ) ∩ (B - C) d) (A - B)ª - Bª e) C - (A∪ B ) f) [(A∪B)ª ∩ (C - B)ª]

1. Se hace una encuesta en un supermercado a 33 clientes que se encuentran haciendo compras, 3 de ellas no usan jabones del tipo A, ni B, peor C, 15 usan jabones solo del tipo A o solo del tipo C, las personas que usan jabones A y B son la mitad de los que usan jabones B y C y estos últimos exceden en 5 a las personas que usan jabones solo del tipo B, el número de personas que utilizan jabones B es 3 veces mayor que el que usan solo A, no hay personas que usen A, B y C. Determine:

a) ¿Cuál de los jabones es el más usado? b) ¿Cuántas personas usan los jabones A, B o C? c) ¿Cuántas usan los tres jabones?

d) ¿Cuántas utilizan A o B pero no C? e) ¿Cuántas no usan jabones B?

f) ¿Cuántas utilizan jabones A y B pero no C? g) ¿Cuántas no consumen A o B?

2. 18 Oficinistas están sellando una tarjeta de “golazo”, les falta por marcar el partido entre T. Universitario y D. Quito, como no llegan a un acuerdo deciden realizar una votación para decidirse por el que tenga más votos; cada uno de estos oficinistas pueden votar por el triunfo, el empate o por las tres posibilidades, el resultado obtenido es el siguiente: los votos por el triunfo del Quito son ¼ de los votos por el empate, el técnico obtiene 8 veces el número de votos que los que se deciden por el triunfo del Quito (por solo el Quito). 5 oficinistas no se deciden entre estos equipos (no votan), el total de votos es igual al número de oficinistas que están sellando la tarjeta “Golazo”. Se pregunta:

a) ¿Cuántos votos logro el técnico? b) ¿Cuántos votos logro el Quito? c) ¿Cómo van a marcar en la tarjeta?

3. Entre un grupo de personas conversan sobre tres películas (A, B y C) y determinan que 4 personas no han visto ninguna de las tres, la mitad del número de personas que han visto solo B es igual al que han visto C, las que han visto A y B es una tercera parte de los que solo B. 7 personas han visto la película A y 5 han visto solo A. Las personas que ven C no ven ninguna otra película. Determine:

a) ¿Cuántas personas han visto A y B? b) ¿Cuántas han visto B o C?

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c) ¿Cuántas han visto solo A o solo B o solo C? d) ¿Cuántas personas no han visto B?

4. Se hace una encuesta entre 25 personas sobre los barrios (A, B, C, D) en que más les gustaría vivir, y se encontró que ninguna persona dijo que les gustaría vivir en cualquiera de tres barrios, el número de personas que les gustaría vivir en C y D es igual al de personas que les agradaría solo en C y es el mismo que el de personas que les gustaría vivir en A y B y es igual a la mitad de los que les gustaría vivir solo en B, 7 personas vivirían en A, 20 personas vivirían en B o C o D, todas las personas encuestadas eligieron al menos un barrio, 13 personas eligieron vivir en B o C. Determine:

a) ¿A cuántas personas les gustaría vivir en C? b) ¿Cuántas personas eligieron un solo barrio?

5. A 11 personas les gusta los productos C, a 26 personas les gusta los productos A, B o C a 20 personas no les gustan los productos A, a 7 personas les gusta B pero no A, a 12 personas les gusta B, el número de personas que les gusta C es igual al de las personas que les gusta A. El mismo número de personas que les gusta A y B es igual al de personas que no les gusta ningún producto. Además se conoce que no hay personas que les agraden los tres productos. Encuentre:

a) ¿A cuántas personas les gusta A y B? b) ¿A cuántas personas no les gusta B?

c) ¿A cuántas personas les gusta uno solo de los productos? d) ¿A cuántas personas les gusta dos productos?

6. Se realizó una encuesta entre consumidores de colas que dio los siguientes resultados: 14 personas toman coca-cola y sprite, 11 personas beben solo sprite, a 9 personas les gusta solo fanta, a 5 personas les gusta las tres colas; el número de personas que beben solo “coca-cola y fanta” es igual al de personas que toman solo “fanta y sprite”, se conoce además que el número de personas que toman sprite es 3 más de los que toman fanta y 3 más de los que toman coca-cola; a 40 personas toman otro tipo de colas.

Se pregunta:

a) ¿Cuántas personas toman coca-cola y fanta? b) ¿Cuántas personas toman solo coca-cola? c) ¿Cuantas toman cualquiera de estas colas?

7. En un sondeo realizado a 123 empleados de una empresa se obtuvieron los siguientes datos: 49 poseen casa, 50 tienen automóvil, 42 finca, 14 casa y automóvil, 19 casa y finca, 24 automóvil y finca, 9 poseen los tres bienes y 93 por lo menos uno de los tres bienes. Se desea saber: ( utilice los diagramas de Ven ) a) El número de personas que no tienen ninguno de los tres bienes.

b) El número de personas que tiene uno de los tres bienes c) El número de personas que sólo tiene casa.

d) El número de personas que tienen automóvil y finca solamente.

8. En un curso de la universidad hay 100estudiantes de los cuales 28 estudian Química, 35 estudian trigonometría, 33 Algebra, 15 Química y Trigonometría, 8 Química y Álgebra; 9 Trigonometría y Álgebra y 7 estudian Química, Trigonometría y Álgebra

a) ¿Cuántos no estudian ninguna materia? b) ¿cuántos estudian sólo Trigonometría? c) ¿Cuántos estudian sólo Química? d) ¿Cuántos estudian sólo Álgebra.?

9. 190 Estudiantes van a una biblioteca en la que hay 115 libros de Hall y Knight, 80 libros Mataix, 80 libros de Ardura, 20 estudiantes solicitan los libros de Hall y Knight y Mataix, 30 estudiantes piden los libros de Hall y Knight y Ardura, 40 estudiantes solicitan los libros de Mataix y Ardura, cada estudiante lleva por lo menos un libro.

a) ¿Cuántos estudiantes piden los tres libros?

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c) ¿Cuántos estudiantes piden Hall y Knight o Ardura?

d) ¿Cuántos estudiantes piden Hall y Knight y Ardura o Mataix y Hall y Knight?

10. Se reparten 180 productos del tipo A, B y C entre 125 personas de tal manera que a cada persona le corresponde al menos un productos, 15 personas recibieron productos solo del tipo A y B, 35 recibieron A y C o B y C; el número de personas que recibieron solo A excede en 10 al de personas que recibieron solo B, el número de personas que recibieron A es igual al número de personas que recibieron B y es igual al de personas que recibieron C. Se pide:

a) ¿Cuántas recibieron los tres tipos de productos? b) ¿Cuántas recibieron solo productos del tipo C? c) ¿Cuántas recibieron productos de tipo A y B?