Especificaciones para el diseño de sistemas de control

(1)

Especificaciones

para el

_{para el}

dise

_dise

ñ

_ñ

o

_o

de

sistemas

_sistemas

de control

_{de control}

Prof. Mariela CERRADA LOZADA

Prof. Mariela CERRADA LOZADA Universidad de Los Andes

Facultad de Ingeniería

Departamento de Sistemas de Control Opción Control y Automatización

(2)

El problema de dise

ñ

_ñ

o

_o

SISTEMA (Planta) ALGORITMO DE CONTROL CONFIGURACION Entradas Salidas Señal de Referencia Estados Señal de Control

(3)

Modelo del Sistema

) ), ( ), ( ( ) ( ) ( ); ), ( ), ( ( ) ( 0 0 t t u t x h t y x t x t t u t x f dt t x d = = = SISTEMA (Planta) u(t) y(t) x(t) Modelo no lineal Linealización ) ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( 0 0 t u D t x C t y x t x t u B t x A dt t x d + = = + = z s K m i +

∏

( ) Sistemas invariantes en el tiempo (1) (2)

(4)

El problema de dise

ñ

o

G(s) u(t) y(t) x(t) G_o(s) r(t)

El comportamiento de un sistema de control depende únicamente de su función de transferencia global G_o(s), y no depende explícitamente de la

0 1 1 0 1 1 ) ( ) ( ) ( α α α β β β + + + + = = ₋ − − − n n n n m m m m o s s s s s R s Y s G ₍₄₎

(5)

El problema de dise

ñ

o

Dos enfoques básicos de diseño usando configuraciones realimentadas: - Menos sensibles a ruidos y perturbaciones de planta.

(a) Se escoge una configuración realimentada y un compensador con parámetros a diseñar. El sistema resultante tiene las especificaciones deseadas

(b) Se determina la función de transferencia Go(s) y luego se escoge la configuración realimentada y se calculan los compensadores,

Se usan controladores (compensadores) descritos por funciones de transferencia propias o estrictamente propias (físicamente realizables) Se garantiza que el sistema de control tenga un “planteamiento

correcto” (para evitar la amplificación de ruidos a alta frecuencia) El sistema debe ser “totalmente estable”

(6)

Criterios de desempe

ñ

_ñ

o

_o

Estabilidad

Estabilidad: es el requerimiento fundamental.: es el requerimiento fundamental. –

– Estabilidad en SLIT:Estabilidad en SLIT:

a. Criterios de Estabilidad de

a. Criterios de Estabilidad de RouthRouth--HurwitzHurwitz (estabilidad absoluta)(estabilidad absoluta) b. Estabilidad en el sentido de

b. Estabilidad en el sentido de LyapunovLyapunov: Segundo M: Segundo Méétodo de todo de LyapunovLyapunov.. c. M

c. Méétodos todos frecuencialesfrecuenciales para el estudio de estabilidad relativa (MF y MG)para el estudio de estabilidad relativa (MF y MG)

-- Estabilidad en sistemas no lineales, invariantes en el tiempo: Estabilidad en sistemas no lineales, invariantes en el tiempo:

a. Estabilidad Local (aproximaciones lineales de los sistemas no

lineales)

b. Estabilidad Global (uso de funciones de

b. Estabilidad Global (uso de funciones de LyapunovLyapunov)) Desempe

Desempeñño en estado estacionarioo en estado estacionario

Precisi

Precisióónn: se debe minimizar el error del sistema debido a entradas de : se debe minimizar el error del sistema debido a entradas de referencia y perturbaciones. La precisi

referencia y perturbaciones. La precisióón es definida en tn es definida en téérminos de constantes rminos de constantes de error (posici

de error (posicióón, velocidad, aceleracin, velocidad, aceleracióón).n).

)

(

)

(

)

(

t

y

t

y

t

y

=

_natural

+

_forzada (5)

(7)

Criterios de desempe

ñ

_ñ

o

_o

Precisi

Precisióón (continuacin (continuacióón)n): En t: En téérminos de :rminos de : –

– Si Si r(tr(t) es un escal) es un escalóón n R(sR(s)=a/s. Entonces:)=a/s. Entonces:

) 1 ( ) ( a ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 α β α β α β − = − = = = = ⇒ − = → → a a a e a s G Lim s sY Lim y y a e ss o s s ss ss ss Go(s)

Luego el error de precisi

Luego el error de precisióón sern seráá ““cerocero”” cuando cuando GoGo(0)=1, (es decir (0)=1, (es decir ααoo==ββoo).). Supongamos que deseamos dise

Supongamos que deseamos diseññar ar Go(sGo(s) tal que el error de posici) tal que el error de posicióón sea finito, n sea finito, acotado, entonces: acotado, entonces: ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 γ α β γ α α γα β γα α γα β α γα γ α β α γ α β − > > + − < − < − − ⇒ < − < − < − ⇒ < − a a a a a a a a a

Si consideramos el error relativo:

− β

α

(

1 +

γ

)

>

β

>

α

(

1 −

γ

)

(7)

(8)

Criterios de desempe

ñ

_ñ

o

_o

Precisi

Precisióón (continuacin (continuacióón)n): En t: En téérminos de :rminos de : –

– Si Si r(tr(t) es una rampa ) es una rampa R(sR(s)=a/s)=a/s22_{. Entonces:}_{. Entonces:}

) ( (t) si 0 y Lim y at r t e t ss ss = = _→_∞ = = Go(s) 0 )] ( [ ] ) ( [ ] ) ( [ 0 0 2 0 2 1 0 2 0 2 2 = = = = = = s s aG ds d s s G s a ds d k s s G s a k s s

Calculando los coeficientes de la expansi

Calculando los coeficientes de la expansióón:n:

Y dado que

Y dado que Go(sGo(s) es estable, entonces:) es estable, entonces: t aG aG t k k t y s k s k t y_ss( )= 1 + ₂2 ⇒ _ss( )= ₁+ ₂ = ₀'(0)+ ₀(0)

Se puede encontrar que:

0 0 0 2 0 0 1 1 0 0(0) y (0) ' α β α β α β α − ₌ = G G Entonces, retomando (11): Entonces, retomando (11): (11) (12) (13) (14)

1 )

0 (

si

β

α

=

⇒

=

G

at

y

_ss (15) ) ( a asociados términos ) ( ) ( ₂ ₀ 1 ₂2 G₀ s s k s k s G s a s Y = = + + Consideremos: Consideremos:

(9)

Criterios de desempe

ñ

_ñ

o

_o

1 ) 0 ( ₀ ₀ 0 ≠ ⇒α ≠ β G y

y_ss_ss(t(t) y ) y r(tr(t) tienen la misma ) tienen la misma pendiente pendiente (17) (18) 1 1 0 0 0 0 0 ) 0 ( ' y 1 ) 0 ( β α β α ≠ ⇒ ≠ = ⇒ = G G

Por otro lado, notemos que se tendr

Por otro lado, notemos que se tendráá un error de velocidad finito si:un error de velocidad finito si:

y se tendr

y se tendráá un error de velocidad infinito si:un error de velocidad infinito si:

y

y_ss_ss(t(t) y ) y r(tr(t) NO tienen la misma ) NO tienen la misma pendiente

pendiente

Considerando en este caso el error relativo y asumiendo

Considerando en este caso el error relativo y asumiendo GoGo(0)=1, tenemos un (0)=1, tenemos un inecuaci

inecuacióón para determinar un error finito:n para determinar un error finito:

λ < ⇒ − − = − − = ( 0(0) '0 (0)) (1 _G₀(0))_t _G'₀(0) _G'₀(0) a aG atG at e_ss

Problema de seguimiento (tracking): Cualquier entrada de referencia.

•

(10)

Criterios de desempe

ñ

o

Precisi

Precisióón (continuacin (continuacióón)n): CASO ESPECIAL DE REALIMENTACION: CASO ESPECIAL DE REALIMENTACION –

– DefiniciDefinicióón de las constantes de error para un SLIT realimentadon de las constantes de error para un SLIT realimentado

) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 0 s G s C s G s C s G + = R(s) Y(s) C(s) G(s) + -) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s D s s N s G s C s G l q l l = = donde:

Si C(s)G(s) es tipo 1, entonces el error de posición es “cero” Si C(s)G(s) es tipo 2, entonces el error de velocidad es “cero” Si C(s)G(s) es tipo 3, entonces el error de aceleración es “cero”

y G(0) es estable. Entonces:

Consideremos, que C(s)G(s) es tipo 1, luego:

! ! ! 1 ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) (s = Nl s ⇒G = Nl =

(11)

Criterios de desempe

ñ

o

Precisi

Precisióón (continuacin (continuacióón)n): : Supongamos

Supongamos C(s)G(sC(s)G(s) de tipo 0 y la incorporaci) de tipo 0 y la incorporacióón de una ganancia K:n de una ganancia K:

R(s) Y(s) C(s) G(s) + -Si se elige ! ! ! 1 ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ₀ 0 = ₊ ⇒ G ≠ s N s D s N s G l l l

Observemos que si existen variaciones en N_l(s) y/0 D_l(s) , el sistema NO puede

“seguir” a la referencia!! NO ES UN DISEÑO ROBUSTO!!! R₁(s) K ) ( ) ( 1 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( 10 y t r t G N N D K _ss l l l + ⇒ = ⇒ = =

(12)

Criterios de desempe

ñ

_ñ

o

_o

Precisi

Precisióón (continuacin (continuacióón)n): CASO ESPECIAL DE REALIMENTACION: CASO ESPECIAL DE REALIMENTACION –

– DefiniciDefinicióón de las constantes de error para un SLIT realimentadon de las constantes de error para un SLIT realimentado

R(s) _Y(s)

)

(

;

)

(

;

)

(

;

1

2

s

G

s

Lim

K

A

e

s

sG

Lim

K

A

e

s

G

Lim

K

A

e

o s a a ss o s v v ss o s p p ss → → →

=

+

=

Si r(t) = A (entrada escalón) Si r(t) = A t (entrada rampa)

Si r(t) = (A/2) t2 _{(entrada parábola)}

(7) C(s) G(s)

+

(13)

-Criterios de desempe

Criterios de desempe

ñ

_ñ

o

_o

Respuesta transitoria Respuesta transitoria – – SobredisparoSobredisparo –

– Tiempo de asentamiento o de respuestaTiempo de asentamiento o de respuesta –

– Tiempo picoTiempo pico –

– Tiempo de subidaTiempo de subida

Estas especificaciones

han sido derivadas del

comportamiento comportamiento transitorio de un SLIT transitorio de un SLIT de segundo orden. de segundo orden. En caso de sistema de En caso de sistema de orden superior,

orden superior, ééstos stos

podr

podráán describirse con n describirse con las especificaciones las especificaciones anteriores si existe un anteriores si existe un par de polos par de polos dominantes dominantes

(14)

Dise

ñ

o de Sistemas de Control

Se refiere al proceso de modificación del sistema de control

realimentado, con el fin de alcanzar las especificaciones de estabilidad, precisión y respuesta transitoria deseadas

¿Modificación? consiste en incorporar elementos al sistema

¿Para qué? permiten generar una señal de entrada al sistema, llamada “señal de control”

Señal de Control que “estabiliza” al sistema (cumple requerimientos de

estabilidad) y lo “compensa” (incremento de la precisión y velocidad de respuesta).

Compensar

(15)

Configuraciones de Compensaci

ó

n para

SLIT

1. Compensación en cascada Gp(s) + -R(s) Y(s) Gc(s) Objetivo: Objetivo: Compensar el sistema, a

Compensar el sistema, aññadiendo polos y/o ceros adiendo polos y/o ceros adicionales en lazo abierto.

adicionales en lazo abierto.

Efecto:

--Permite mejorar la respuesta transitoria y la Permite mejorar la respuesta transitoria y la estacionaria de manera

estacionaria de manera independienteindependiente..

--Pueden ser implementados con redes activas Pueden ser implementados con redes activas (amplificadores operacionales) o pasivas (redes

(amplificadores operacionales) o pasivas (redes

RLC). RLC). Compensadores tipo: adelanto de fase, atraso de fase, adelanto-atraso de fase, PI PD PID

(16)

Configuraciones de Compensaci

ó

n para

SLIT

2. Compensación realimentada (minor feedback loop)

Gp(s) + -R(s) Y(s) G₁(s) Objetivo: Objetivo:

Compensar el sistema, modificando los polos del

sistema en lazo cerrado sin aumentar el orden del

sistema.

Efecto:

--Permite mejorar la respuesta transitoria, sin Permite mejorar la respuesta transitoria, sin embargo usado sin compensaci

embargo usado sin compensacióón en la cadena n en la cadena

B(s) + -Realimentación de velocidad

bs

s

B

(

)

=

(17)

Restricciones

Ruido y perturbaciones: Ruido y perturbaciones: y(t) r(t) P1 _P2 P3 G1(s) G2(s) + + + + + +

-Un buen sistema de control debe ser capaz de seguir la entrada de

Planta nominal: Considera el peor caso en el cual puede estar la planta

Planta perturbada: Considera el estado actual de la planta

La función de transferencia nominal es usada en el diseño y la diferencia entre la planta nominal y la perturbada es considerada como una perturbación interna

(18)

Restricciones

Compensadores propios y planteamiento correcto:

–

– Los compensadores usados en el diseLos compensadores usados en el diseñño deben tener funciones de transferencia o deben tener funciones de transferencia propias:

propias:

No se requieren operaciones puras de diferenciaci

No se requieren operaciones puras de diferenciacióónn

Son realizables f

Son realizables fíísicamente (tienen asociada una ecuacisicamente (tienen asociada una ecuacióón diferencial de estado)n diferencial de estado)

–

– Un sistema de control puede no tener una funciUn sistema de control puede no tener una funcióón de transferencia n de transferencia Go(sGo(s) propia ) propia a

aúún cuando todos sus componentes tengan funciones de transferencian cuando todos sus componentes tengan funciones de transferencia propias propias (ver ejemplo 6.5.1) (ver ejemplo 6.5.1)

s

G

₀

(

)

=

−

0 .

5

Supongamos 1 ) ( ; 2 ) 1 ( ) ( 2 1 ₊ = ₊ + − = s s s G s s s G Es impropia!! ¿Implicaciones prácticas?

Supongamos la existencia de un ruido P1(t)=0.01sin(10000t) y r(t)=sin t. Entonces:

t t t t dt d t y 10000 cos 50 cos 5 . 0 ) 10000 sin 01 . 0 (sin 5 . 0 ) ( − − = + − =

(19)

Restricciones

Compensadores propios y planteamiento correcto (Continuaci

Compensadores propios y planteamiento correcto (Continuacióón...)n...) Definici

Definicióón: n: Un sistema se dice Un sistema se dice bienbien--planteadoplanteado o o propio en lazo cerradopropio en lazo cerrado si si las funciones de transferencia de cada posible par entrada

las funciones de transferencia de cada posible par entrada--salida del salida del sistema es propio. sistema es propio.

0 )

(

∞

≠

Δ

En el caso de un sistema realimentado, el sistema está bien-planteado si y solo si: Δ Función característica ∞ → + = ∞ Δ s s G s G ( ) ( ) 1 ) ( ₁ ₂

Para el caso del diagramas de bloques anterior

1 ) ( ; 2 ) 1 ( ) ( ₂ 1 ₊ = ₊ + − = s s s G s s s G Δ₍∞₎ =₁−₁= ₀ 1 2 ) ( ; 2 ) 1 ( ) ( ₂ 1 ₊ = ₊ + − = s s s G s s s G Δ(∞) =1−2 = −1 Bien-planteado!!! Si Si

Si G2(s) es estrictamente propia y G1(s) es propia la condición (8) se cumple!!!

(8) Determinante en la fórmula

(20)

Restricciones

Compensadores propios y planteamiento correcto (Continuaci

Compensadores propios y planteamiento correcto (Continuacióón...)n...)

2 3 4 ) ( ; 1 1 ) ( ; 2 ) 2 ( ) ( ₂ ₃ 1 ₊ + = + + = + = s s s G s s s G s s G y(t) r(t) P1 _P2 P3 G1(s) G2(s) + + + + + + -G3(s) ) 5 4 ( ) 2 ( ) ( 0 + + = s s s G

Compensadores propios necesidad de evitar el uso de diferenciación!! Bien-planteado!! PD

(21)

Restricciones

Estabilidad Total:

Definici

Definicióón:n: Un sistema se dice totalmente estable si y solo si la funciUn sistema se dice totalmente estable si y solo si la funcióón de n de transferencia en lazo cerrado de cada posible par entrada

transferencia en lazo cerrado de cada posible par entrada--salida es estable.salida es estable.

0 ; 1 1 ) ( ; ) 1 ( ) 1 ( ) ( ₂ 1 = − = + − = P s s G s s s G ) 2 ( 1 ) ( 0 = ₊ s s G _Estable!! ¿Implicaciones?

1. Cancelación de polos y ceros inestables

y(t) r(t) P G1(s) G2(s) + + + -) 1 ( ) (s = s+

(22)

Restricciones

Estabilidad Total (continuaci

Estabilidad Total (continuacióón):n):

Un sistema es totalmente estable si y solo si los polos de

Un sistema es totalmente estable si y solo si los polos de Go(sGo(s) y sus polos ) y sus polos escondidos son todos estables.

escondidos son todos estables.

Un sistema no es totalmente estable si existe una cancelaci

Un sistema no es totalmente estable si existe una cancelacióón polon polo--cero inestable!!cero inestable!! Cancelaci

Cancelacióón imperfecta: Una cancelacin imperfecta: Una cancelacióón exacta es imposible en la prn exacta es imposible en la prááctica!!ctica!!

0 ; 1 1 ) ( ; ) 1 . 1 ( ) 9 . 0 ( ) ( ₂ 1 = − = + − = P s s G s s s G ) 9674 . 0 )( 0674 . 2 ( 9 . 0 ) ( 0 ₊ ₋ − = s s s s G _Inestable!! ¿Implicaciones?

1. Cancelación imperfecta de polos y ceros inestable

y(t) r(t) P G1(s) G2(s) + + +

(23)

-Restricciones

Restricciones

Estabilidad Total (continuaci

Estabilidad Total (continuacióón):n):

¿Implicaciones?

2. Cancelación de polos y ceros estables

0 ; ) 100 1 . 0 ( 3 ) ( ; ) 2 ( ) 100 1 . 0 ( ) ( ₂ ₂ 2 1 ₊ = ₊ ₊ = + + = P s s s G s s s s s G ) 3 2 ( 3 ) ( ₂ 0 = ₊ ₊ s s s G 0 ; ) 2 ( ) 99 09 . 0 ( ) ( 2 1 = + + + = P s s s s s G ) 297 27 . 200 2 . 103 1 . 2 ( 297 27 . 0 3 ) ( ₄ ₃ ₂ 2 0 ₊ ₊ ₊ ₊ + + = s s s s s s s G -0.05 +10.001i -0.05 -10.001i -0.9996 + 1.404i -0.9996- 1.404i -0.045 + 9.95i -0.045 - 9.95i -1 + 1.414i -1 - 1.414i polos polos ceros Amplitude Step Response 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 From: U(1) To: Y(1)

(24)

Cancelación de polos y ceros estables

Salida debida a la perturbación Efecto de la perturbación

Si ocurre una cancelación de polos-ceros estables muy cercanos al eje imaginario O con partes imaginarias grandes los ruidos o perturbaciones pueden excitar una

(25)

Restricciones

Saturaci Saturacióón:n: ¿Implicaciones? 0 ; ) 1 ( ) 2 ( ) ( ; 2 ) ( ₂ 1 = − + = = P s s s s G s G ) 4 ( ) 2 ( 2 ) ( ₂ 0 ₊ ₊ + = s s s s G 1 -1 0.5 -0.5 u e y(t) r(t) P G1(s) G2(s) + + + -u u

(26)

Sensibilidad

) (s G Δ ) ( ) ( 1 ) ( ) ( s H s G s G s T + = + -R(s) Y(s) G(s) H(s) Consideremos: 1 ) ( ) (s H s >> G

Si para las frecuencias de interés, entonces T(s)≈ _H1₍_s₎ ⇒Y(s)≈ _HR(₍s_s)₎ Si H(s)=1, entonces , aún para variaciones en la planta!!!Y(s) ≈ R(s)

Consideremos una perturbación en la planta, entonces sin realimentación:

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) (s G s G s Y s G s G s R s G s R s G s R s G ≈ +Δ ⇒ = +Δ = +Δ ) ( ) ( ) (s G s R s Y = Δ Δ

(27)

Sensibilidad

¿Qué ocurre en lazo cerrado?

) ( ) ( )) ( ) ( ( 1 )) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( 1 )) ( ) ( ( ) ( R s s H s G s G s G s G s Y s H s G s G s G s G s T Δ + + Δ + = ⇒ Δ + + Δ + =

Considerando que entonces: Y(s) =Y(s)+ ΔY(s)

) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( 1 )) ( ) ( ( ) ( R s s H s G s G s R s H s G s G s G s G s Y + − Δ + + Δ + = Δ ) ( )) ( ) ( 1 ))( ( ) ( ) ( ) ( 1 ( )) ( )) ( ) ( ) ( 1 )( ( )) ( ) ( 1 ))( ( ) ( ( ) ( R s s H s G s H s G s H s G s H s G s H s G s G s H s G s G s G s Y + Δ + + Δ + + − + Δ + = Δ ) ( )) ( ) ( 1 ))( ( ) ( ) ( ) ( 1 ( ) ( ) ( R s s H s G s H s G s H s G s G s Y + Δ + + Δ = Δ

(28)

Sensibilidad

Sin considerar la realimentación, entonces

La SENSIBILIDAD se define como el cambio porcentual en la FT del sistema de control en LC respecto al cambio porcentual en algún parámetro ó FT del sistema en LA. + -R(s) Y(s) G(s) H(s) Consideremos: ) ( ) ( 1 ) ( ) ( s H s G s G s T + = T G G T G G T T S_GT Δ Δ = Δ Δ = _{En el límite:}

T

G

T

S

_GT

∂

=

Función de sensibilidad del _{sistema !!}

1

1 )

(

)

(

s

=

G

s

⇒

S

=

G

=

T

_GT

(29)

Sensibilidad

Calculando se tiene que:

Observe el rol de la condición !!

T

G

T

S

_GT

∂

=

GH

S

T

H

T

S

_HT _HT

+

−

=

⇒

∂

=

1

2 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( GH GH GH GH G T + = + − + = ∂ ∂ GH S GH G G GH S_GT _GT + = ⇒ + + = 1 1 1 ) 1 ( 1 2 G(s)H(s) >>1

Atención: Recuerde las condiciones de estabilidad para un aumento considerable de la magnitud de GH !!!!

Por otro lado, haciendo cálculos similares se obtiene que:

Observe de nuevo el rol de la condición G(s)H(s)>>1 ¿¿Qué se concluye??

(30)

Sensibilidad

) ( 1 ) ( α + = s s G 1 1 ) ( + + = α s s T + -R(s) Y(s) G(s) 1 ) ( + + − = α α α s s ST 2 ) 1 ( 1 + + − = ∂ ∂ α α s T ?? ) (s = S_αT

(31)

Sensibilidad

) 1 ( ) ( + = s s K s G K s s K s T + + = ₂ ) ( + -R(s) Y(s) G(s) K s s s s s ST_K + + + = ₂( 1) ) ( 2 2 2 ) ( ) ( K s s K K s s T + + − + + − = ∂ ∂ α ?? ) (s = S_KT =

(32)

Sensibilidad

(33)

Sensibilidad

Consideremos: ) ( 1 1 s G S_GT + = ) ( 1 ) ( ) ( s G s G s T + = Observemos que: 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 1 ) ( = + + + = + s G s G s G s T S_GT + -R(s) Y(s) G(s)

T(s), FT en lazo cerrado, es la función de sensibilidad complementaria

S y T no pueden ser pequeñas en magnitud al mismo tiempo !!

Si “S” es pequeña, entonces:

T

(

s

)

≈

1 ⇒

Y

(

s

)

≈

R

(

s

)

En general, es pequeña a altas frecuencias, en sistemas fisicamente realizables (sistemas que se comportan como filtros pasa-bajo). Entonces:

) (s G

(34)

Sensibilidad

Consideremos: _r(t) _y(t) P Gc(s) Gp(s) + + + -Entonces:

a. Se requiere en bajas frecuencias para disminución de la sensibilidad del sistema en cuanto a cambios en Gp(s)

b. Aumentar la ganancia de lazo a través de Gc(s) para rechazo de ruidos (perturbaciones externas). Si entonces

p c p c G G G G s R s Y + = 1 ) ( ) ( p c p G G G s P s Y + = 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) (s G s >> G_c _p 1 ) ( ) (s G s >> G_c _p c G s P )( s Y( ) _≈ 1

(35)

Sensibilidad

Consideremos: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (s D₂ s G s D₁ s G s G s R s Y = + _p + _c _p y(t) r(t) D1(t) Gc(s) Gp(s) + + + -D2(t) D3(t) H(s) + + + +

Consideremos la ausencia del sensor (H(s)=0, Lazo abierto). Entonces:

a. La señal D2(s) no es rechazada

(36)

Sensibilidad

Consideremos ahora el lazo cerrado:

) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ₁ ₂ D₃ s s H s G s G s H s G s G s D s H s G s G s D s H s G s G s G s R s H s G s G s G s G s Y p c p c p c p c p p c p c + + + + + + + = y(t) r(t) D1(t) Gcs) Gp(s) + + + -D2(t) D3(t) H(s) + + + +

Teniendo en cuenta que y ₁ ₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎ , entonces:

1 s H s G s G S p c T G= ₊ ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( s H s G s G G s G s T p c p c + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (s T s R s S s G s D s S s D s T s H s D s Y = + + +

(37)

Sensibilidad

Ejemplo. Consideremos H(s)=1 y la existencia de la entrada (ruido) D1(s). Entonces, analizando error E(s):

1 ) ( 1 ) ( ) ( ) (s G s H s >> ⇒ S s << G_c _p ) ( 1 ) ( s H s T ≈ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (s T s R s S s G s D₁ s S s D₂ s T s H s D₃ s Y = + _p + +

y dado que si , luego:

a. El ruido D2 es rechazado

b. , entonces el ruido D3 no es rechazado c. La perturbación D1(s) pasa a través de Gp(s)

Teniendo en cuenta que

) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ₁ ) ( 1 D s s G s G s G s E p c p s D ₊ − =

(38)

Sensibilidad

Si D1(s) es del tipo escalón, entonces:

Supongamos Gc(s)Gp(s) de tipo 1, por ejemplo: Estudiando el error en estado estable:

s s G s G s G s E p c p s D 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 + − = ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 0 0 ) ( 0 1 G s G s s G Lim s s G s G s G s Lim s sE Lim p c p s p c p s s D s + − = + − = → → → ) ( ) ( ) ( 1 b s a s K s G_c + + = ) ( ) ( ) ( 2

β

α

+ + = s s s K s G_p Entonces: a K b K b s sE Lim e _D _s s 1 1 2 ) ( 0 1 ( ) − − = = →

∞ Es finito y sólo depende de los parámetros de Gc(s)!!!

(39)

Sensibilidad

Observemos que p c p s GG G Lim e + = → ∞ 1 0 1 ) ( 1 ) ( ) (s G s >> ⇒ S s <<

G_c _p para , se tiene que Entonces, si c G e_∞ ≈ 1 0 → s

Luego la entrada (ruido) D1 será rechazado si Gc >>1

(40)

Sensibilidad

Ejemplo: Sistema de control de la dirección un barco

y(t) r(t) P Gc(s) Gp(s) + + + -) 10 * 8624 . 6 ( 10 * 6847 . 4 ) ( ₃ 4 − − + = s s s G_p ) 10 * 9648 . 4 ( ) 10 * 0071 . 1 ( 7498 . 1 ) ( ₂ 2 − − + + = s s s G_c Planta nominal ) 10 * 8624 . 6 ( 10 * 6217 . 5 ) ( ₃ 4 2 ₋ − + = s s s

G_p _{Cambio del 20% en la ganancia}

) 10 * 2349 . 8 ( 10 * 6847 . 4 ) ( ₃ 4 3 − − + = s s s G_p 10 * 6847 . 4 −4 =

Cambio del 20% en el polo LA Cambio del 20% en el polo LA

grados t r( )=10 Dinámica del barco u

Controlador del ángulo del timón del barco

Angulo de cabecera

(41)

Sensibilidad

(42)

Sensibilidad

Sensibilidad para el cambio en la ganancia de la planta

(43)

Sensibilidad

Sensibilidad para el cambio en la ganancia de la planta, considerando un aumento de la ganancia de Gc (5 veces) Observemos el cambio en la magnitud de la sensibilidad !! ¿Qué significa?

(44)

Sensibilidad

Sensibilidad para el cambio en la ganancia de la planta, considerando un aumento de la ganancia de Gc ¿Qué significa este resultado en relación con el cambio en la función de sensibilidad?

(45)

Sensibilidad

(46)

Sensibilidad

Rechazo al ruido D1

(47)

Sensibilidad

Rechazo al ruido D1 y a la perturbación en la planta