Guia resuelta Matemáticas UNAN-MANAGUA

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Aritmética

1. La expresión 311_{+ 3}11_{+ 3}11_{equivale a:}

Solution 1 311_{+ 3}11_{+ 3}11_{= 3 3}11 _{= 3}1 ₃11 _{= 3}1+11_{= 3}12

2. Al número de tres dígitos 2a3 se le suma el número 326 y da el número de tres dígitos 5b9: Si sabemos que el número 5b9 es divisible entre 9, entonces a + b es:

Solution 2 2a3 +326 = 5b9 apartir de aquí podemos podemos deducir que a + 2 = b ( )

Si el número 5b9 es divisible por nueve, signi…ca que la suma de sus dígitos es un múltiplo de nueve, i.e 9 j 5 + b + 9; (b solo puede ser un número entre 0 y 9) 5 + 0 + 9 = 14 5 + 1 + 9 = 15 5 + 2 + 9 = 16 5 + 3 + 9 = 17 5 + 4 + 9 = 18 5 + 5 + 9 = 19

De los cálculos anteriores resulta claro que b = 4; sustituyendo este valor en ( ) y despejando a resulta: a + 2 = 4 a = 4 2 a = 2 Luego la suma es a + b = 2 + 4 = 6

3. A una determinada cantidad le sumo el 10% de sí misma y a la cantidad así obtenida le resto su 10%: ¿Qué porcentaje de la cantidad original me queda?

Solution 3

x cantidad original (10%) (x) = 0:1x su diez porciento

Luego la suma es

x + 0:1x = 1: 1x

1: 1x nueva cantidad obtenida (10%) (1: 1x) = 0:1 (1: 1x) su diez porciento Luego la resta es

1: 1x 0:1 (1: 1x) = 1:1x 0:11x = 0:99x

Multiplicando por 100_x para dejarlo en porcentaje

(0:99x) 100 x = 99:0% 4. Al simpli…car [(9 4) + ( 10 + 3)] ((6) ( 5)) [( 12 + 8) (6 9) (95 90)] el resultado es: Solution 4 [(9 4) + ( 10 + 3)] ((6) ( 5)) [( 12 + 8) (6 9) (95 90)] [(5) + ( 7)] ( 30) [( 4) ( 3) (5)] (5 7) ( 30) (60) ( 2) ( 30) (60) (60) (60) 1

5. ¿Cuántos divisores diferentes tiene el número 2000?

Solution 5

La descomposición en factores primos de 2000 resulta en 2000 = 24 53

así 24 _{posee 5 divisores positivos: 1; 2}1_{; 2}2_{; 2}3_{; 2}4 _{y 5}3 _{cuatro divisores:} 1; 51_{; 5}2_{; 5}3_{; luego los divisores 2}4 ₅3 _son:

1; 2; 22; 23; 24; 51; 52; 53; 2 5; 2 52; 2 53; 22 5; 22 52; 22 53; 23 5; 23 52; 23 53; 24 5; 24 52; 24 53;

Para un total de 20 divisores positivos distintos.

6. Al simpli…car 4 (3)2 6 3p4 + 2 [5 (7) 15 3] 4 12 9: El resultado es: Solution 6 4 (3)2 6 3p4 + 2 [5 (7) 15 3] 4 12 9 = 4 (9) 6 3 (2) + 2 [(35) 5] 4 12 9 = 36 6 6 + 2 (30) 4 12 9 = 6 6 + 60 4 12 9 = 60 4 12 9 = 240 12 9 = 20 9 = 11 7. Simpli…que 1 2 5 3 3 4 3 4₃ 5₆ 17 1 Solution 7 Resolviendo el numerador 1 2 5 3 3 4 = 1 2 5 4 = 2 5 4 = 3 4 3

Resolviendo el denominador 3 4 3 5 6 = 3 10 9 = 27 10 9 = 17 9 Resolviendo toda la fracción compleja

1 2 5 3 3 4 3 4 3 5 6 = 3 4 17 9 = 3 4 9 17 = 27 68 y …nalmente 1 2 5 3 3 4 3 4₃ 5₆ 17 1 = 27 68 17 1 = 459 68 1 = 27 4 1 = 31 4 = 73 4

8. ¿Cuántos números válidos de cinco cifras se pueden escribir usando solo los dígitos 0; 1; 2; 3 y 4?

Solution 8

Para escribir un número válido de cinco cifras el cero no puede ocupar la primera posición, contando de izquierda a derecha, luego el cero tiene 4 posi-ciones posibles y los restantes números cinco posiposi-ciones posibles, así el número total de combinaciones sería

4 5 5 5 5 4 54

9. Pedro tiene 69 años y su edad excede a la de Juan en un 15%: ¿Qué edad tiene Juan?

Solution 9

Sea x la edad de Juan y 0:15x su 15%; luego 69 = x + 0:15x 69 = 1:15x

x = 69 1:15 x = 60 años

10. En una ciudad, 2₃ de los hombres están casados con los 3₅ de las mujeres. Si nunca se casan con forateros , ¿Cuál es la proporción de solteros en dicha ciudad? Solution 10 x proporción de hombres 2 3x : hombres casados y proporción de mujeres 3 5y : mujeres casadas

A partir de la inforación anterior y teniendo presente que son proporciones de un total, podemos plantear el siguiente sistema, recordemos además que un hombre se casa con una única mujer (idealmente)

( x + y = 1 2 3x 3 5y = 0

Reescribiendo la segunda ecuación a una más cómoda

2 3x

3

5y = 0 (15) 10x 9y = 0 y ampli…cando la primera al mutiplicar por 9

x + y = 1 9x + 9y = 9

El nuevo sistema será (

9x + 9y = 9 ( ) 10x 9y = 0 ( )

Sumando ambas ecuaciones y resolviendo para x 19x = 9 x = 9 19 Sustituyendo x en ( ) 10x = 9y 10 9 19 = 9y 9y = 10 9 19 9y = 90 19 y = 90 19 9 y = 10 19

Luego la propoeción de hombres y mujeres casados será 2 3x : 2 3 9 19 = 18 57 = 6 19 3 5y : 3 5 10 19 = 30 95 = 6 19 6 19+ 6 19 = 12 19 12

19 representa la proporción de casados, debe entenderse como: por cada 19 habitantes (hombres y mujeres) 12 están casados. Para determinar los solteros sólo debemos restar la totalidad (1 porque hablamos de proporciones) de la proporción de casados. 1 12 19= 7 19 6

11. El resultado de h 12523 + 1612 + 34313 i1 2 Solution 11

Recordando la de…nición para exponentes racionales axy ₌py_ax tenemos 12523 = 3 q (125)2= 3 q (53₎2₌p3₅6_{= 5}2_{= 25} 1612 ₌ p2_{16 =}p2₄2_{= 4} 34313 = p3343 =p373= 7 Luego, h 12523 + 1612 + 34313 i1 2 = [25 + 4 + 7]12 = 3612 = p36 = 6 12. Obtenga el resultado de (0:027) 13_{+ 256}0:75 ₃ 1_{+ (4:5)}0 Solution 12 (0:027) 13 ₌ 27 1000 1 3 = (27) 1 3 (1000) 13 = (27) 13 ₍₁₀₀₀₎ 1 3 ₌ 1 (27)13 1 (1000)13 = 1 (27)13 ! (1000)13 1 ! 7

(27)13 ₌ p3_{27 =}p3₃3_{= 3} (1000)13 ₌ p3_{1000 =}p3₁₀3_{= 10} luego 1 (27)13 ! (1000)13 1 ! = 1 3 10 1 = 10 3 Rescribiendo el exponente de 2560:75 0:75 = 75 100 = 3 4 calculando 2560:75 resulta en 2560:75= 25634 = 4 q (256)3= 4 q (28₎3_{= 2}24_{= 64}

Por las leyes de los exponentes enteros nos resulta que 3 1 = 1 3 (4:5)0 = 1 Finalmente (0:027) 13 _{+ 256}0:75 ₃ 1_{+ (4:5)}0 ₌ 10 3 + 64 1 3 + 1 = 10 + 192 1 + 3 3 = 204 3 = 68 8

13. ¿Cuál es el valor de a en (3a)5= 248832 ? Solution 13 (3a)5 = 248832 5 q (3a)5 = p5248832 3a = 12 a = 12 3 a = 4

14. Un equipo de jugadores ganó 15 juegos y perdió 5. ¿cuál es la razón ge-ométrica de los juego ganados a los jugados?

Solution 14 15 ganados 5 perdidos 20 total jugados 15 20 = 3 4

15. Si x es un número par y y un número impar. ¿Cuál de la siguientes a …rmaciones siempre es falsa?

Solution 15 x = 2n y = 2n + 1 x + y = (2n) + (2n + 1) = 4n + 1 = 2 (2n) + 1 = 2k + 1 siempre impar x + x = 2n + 2n = 4n = 2 (2n) = 2k siempre par 9

xy 2 =

(2n) (2n + 1)

2 = n (2n + 1) la paridad está en dependencia de n y + y

2 = 2y

2 = y = 2n + 1 siempre impar

16. El mínimo común múltiplo de dos números es 105 y su máximo común divisor es 5. ¿Cuál de los siguientes números puede representar la suma de estos dos números?

Solution 16

(a; b) = 5 [a; b] = 105

de la aritmética sabemos que

ja bj = (a; b) [a; b]

Es decir, el producto de el máximo común divisor y el mínimo común múlti-plo de dos números es igual al valor absoluto de dichos números. Replantendo el problema será

a b = 5 105 a b = 525

esto es, dos números que multiplicados den 525 y además cumplan las condi-ciones pedidas 525 5 105 5 21 3 7 7 1

A partir de esta descomposición, determinamos todos los pares de números cuyo producto es 525, obtrnemos su suma y veri…camos que cumpla las condi-ciones pedidas.

5 + 105 = 110 25 + 21 = 46 15 + 35 = 50 7 + 75 = 82 3 + 175 = 178

es claro que los únicos números que cumplen los requerimientos pedidos son 15 y 35 luego la suma es 50.

17. La maestra distribuyó la misma cantidad de dulces entre cada uno de 5 niños y se quedó 3 para ella misma. No se acuerda cuántos dulces tenía, pero se acuerda que era un múltiplo de 6 entre 65 y 100. ¿cuántos dulces tenía?

Solution 17

Sea x el número total de caramelos, al repartirlos entre 5 niños sobran tres, para la maestra, esto se traduce en

x = 5k + 3

es claro que el número de caramelos repartidos entre los niños debe ser un múltiplo de 5; luego los múltiplos de 5 entre 65 y 100 son

70; 75; 80; 85; 90; 95

ahora, agregamos los tres de la maestra y veri…camos cuál de ellos es múltiplo de 6, cómo asegura la maestra

70 + 3 = _{73 ! 6 - 73} 75 + 3 = _{78 ! 6 j 78 ! 78 = 5 (15) + 3} 80 + 3 = _{83 ! 6 - 83} 85 + 3 = _{88 ! 6 - 88} 90 + 3 = _{93 ! 6 - 93} 95 + 3 = _{98 ! 6 - 98}

de ésta discriminación resulta que: la cantidad de caramelos era 78, repartieron 75 y 3 le quedaron a la maestra.

(El símbolo j se lee divide y - no divide ) 11

18. ¿Cuál de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero?

Solution 18

2003n : la paridad está en dependencia de n n2+ 2003 : la paridad está en dependencia de n

n3 : impar sólo si n es impar 2n2+ 2003 : impar siempre

La suma de un número par 2n2 _{con un número impar (2003) siempre es} un número impar. 19. La solución de _" 5 4 1 2 2 1 1 2 1 !#4 Solution 19 " 5 4 1 2 2 1 1 2 1 !#4 = 5 4 1 4 1 1 2 1 4 = 5 4 3 4 1 2 4 = 5 4 3 4 2 1 4 = 5 4 6 4 4 = [5 6]4 = [ 1]4 = 1

20. Supongamos que 2001 = (n 2)n(n + 1)n 1+ 1 ¿Cuánto vale n, si n es un número entero?

Solution 20 2001 = (n 2)n(n + 1)n 1+ 1 2000 = (n 2)n(n + 1)n 1 2000 2 1000 2 500 2 250 2 125 5 25 5 5 5 1 2000 = 24 53

Como la descomposición en factores primos es única entonces podemos es-cribir (n 2)n(n + 1)n 1= 24 53 luego (n 2)n = 24 de donde n = 4 también podemos escribir

(n + 1)n 1= 53 de donde resulta n 1 = 3 n = 4 21. El resultado de la operación 2 2 5 4 5 +3 13 4 3 4 1 4 1 2 +5 15 24 7 20 11 2 13

Solution 21

Resolviendo para el numerador 2 2 5 4 5 = 8 5 4 5 =8 5 5 4 = 2 3 1 3 4 3 = 8 3 4 3 =8 3 3 4 = 2 luego 2 2 5 4 5 +3 1 3 4 3 = 2 + 2 = 4

Resolviendo para el denominaor 4 1₄ 1 2 = 15 4 1 2 = 15 4 2 1 = 15 2 5 1₅ 24 = 24 5 24 = 24 5 1 24 = 1 5 luego 4 1₄ 1 2 +5 1 5 24 = 15 2 + 1 5 = 77 10 Resolviendo toda la fracción compleja resulta en

4 77 10 7 20 11 2 = (4) 10 77 77 40 = 40 40 = 1

22. Calcular el producto L H sabiendo que L = a + b + c; H = d + c = f + g; siendo a; b; c; d; f; g números naturales y que b f = 91; a d = 18; c d = 16; b g = 39:

Solution 22

b f = 91 = 13 7 b g = 39 = 13 3

de aquí resulta evidente que

b = 13; f = 7; g = 3

por otra parte

a d = 18 = 32 2 c d = 16 = 23 2

de donde podemos concluir que

a = 32= 9; d = 2; c = 23= 8 Finalmente L H = (a + b + c) (f + g) = (9 + 13 + 8) (7 + 3) = (30) (10) = 300

23. Al desarrollar la expresión qpp625a8 2 el resultado es Solution 23 2 4 rq_p 625a8 3 5 2 = hp8625a8i2 = hp854_a8i2 = h512a i2 = 5a2 15

24. El resultado de q ap3 apa es Solution 24 r a3 q apa = r 3 q a3 _ap_a = r 3 qp a6 _a2 _a = 12pa9 = a129 = a34 = p4a3 25. Al desarrollar el binomio q A+pA2 _B 2 + q A pA2 _B 2 2 el resultado es Solution 25

Recordemos que (a + b)2= a2_{+ 2ab + b}2 _{y que (a + b) (a b) = a}2 _b2 2 4 s A +pA2 _B 2 + s A pA2 _B 2 3 5 2 0 @ s A +pA2 _B 2 1 A 2 +2 0 @ s A +pA2 _B 2 1 A 0 @ s A pA2 _B 2 1 A+ 0 @ s A pA2 _B 2 1 A 2 A +pA2 _B 2 + 2 0 @ s A +pA2 _{B A} p_A2 _B 4 1 A + A p A2 _B 2 A +pA2 _{B + A} p_A2 _B 2 + 2 1 2 p A2 _(A2 _B) 2A 2 + p B A +pB 16

26. Una epidemia mató los 5₈ de las reses de un ganadero y luego él vendió los2₃ de las que le quedaban. Si aún tiene 216 reses, ¿cuántas tenía al principio, cuántas murieron y cuántas vendió?

Solution 26

Sea x el número de reses que tenía

Una epidemia mató 5₈x; luego le quedaron 3₈x Vendió 2 3 3 8x = 1 4x

Luego, el total de reses es: las que murieron más las que vendió más las que aún tiene, es decir

x = 5 8x + 1 4x + 216 x 5 8x 1 4x = 216 8x 5x 2x 8 = 216 x 8 = 216 x = (8) (216) x = 1728

Tenía 1728 reses, murieron 5₈x = 5₈(1728) = 1080 y vendió 1₄x = 1₄(1728) = 432:

27. Una galina pone 2 huevos en tres días. ¿cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas pongan dos docenas de huevos?

Solution 27

Vamos a usar la regla de tres compuesta

+ +

1 gallina 2 huevos 3 días 4 gallina 24 huevos x días

+ Luego encontramos x x = (1) (24) (3) (4) (2) = 72 8 = 9 17

28. El 412₃% es equivalente a

Solution 28

Aplicando una regla de tres simple tenemos que 1 100% x 412₃%

el número mixto 412₃ puede escribirse como 125₃ ; luego resolviendo para x tenemos x = 125 3 % 100% = 125 3 1 100 = 125 300 = 5 12

29. Hallar el número cuyo 3.6% vale

3 + 4:2 0:1 1 0:3 21 3 0:3125 Solution 29 3 + 4:2 0:1 1 0:3 21 3 0:3125 = 3 + 4 2 10 1 10 1 3 10 7 3 3125 10000 = 3 + 42 10 10 1 1 10₃ 7_{3 10000}3125 = ₁₀ 3 + 42 3 7 3 3125 10000 = ₃₁₂₅45 10000 = 144 18

luego por regla de tres tenemos x 100% 45 3:6% Resolviendo para x x = 144 100% 3:6% = 14400 3:6 = 4000 19

30. Resuelva la suma s p a + r a2 ₄ a + s p a r a2 ₄ a Solution 30

Podemos reescribir la expresión de modo siguiente v u u u t 0 @ s p a + r a2 ₄ a + s p a r a2 ₄ a 1 A 2

Resolviendo el cuadrado del binomio en la forma (a + b)2= a2_{+ 2ab + b}2 v u u u t 0 @ s p a + r a2 ₄ a 1 A 2 + 2 0 @ s p a + r a2 ₄ a 1 A 0 @ s p a r a2 ₄ a 1 A + 0 @ s p a r a2 ₄ a 1 A 2 v u u u u tpa + r a2 ₄ a + 2 0 B @ v u u t pa 2 r a2 ₄ a !21 C A +pa r a2 ₄ a s p a + r a2 ₄ a p a r a2 ₄ a + 2 r a a 2 ₄ a s 2pa + 2 r a2 _a2_{+ 4} a s 2pa + 2 r 4 a s 2pa +_p4 a s 2 (pa)2+ 4 p_a s 2a + 4 p a 1

31. La operación está de…nida por a b = 2ab 3b en la que a y b son números enteros. ¿cuál es el resultado de [4 ( 1)] ( 3) ?

Solution 31

Aplicando la de…nición de primeramente al corchete de la izquierda

[4 ( 1)] ( 3) = [2 (4) ( 1) 3 ( 1)] ( 3) = [ 8 + 3] ( 3)

= ( 5) ( 3)

Aplicando la de…nición de a la última expresión obtenida [4 ( 1)] ( 3) = ( 5) ( 3)

= 2 ( 5) ( 3) 3 ( 3) = 30 + 9

= 39

32. El conjunto solución de la desigualdad 4 _{j1 xj} 1 es:

Solution 32

Como es una desigualdad de valor absoluto, podemos escribir lo siguiente 4 [ (1 x)] 1 4 + 1 x 1 5 x 1 x 1 5 x 4 x 4

Ahora cuando el valor positivo

4 (1 x) 1 4 1 + x 1 3 + x 1

x 2

luego la solución es

( 1; 2] [ [4; 1) Podemos ver este resultado grá…camente 4 _{j1 xj} 1

33. El valor de x2+ y2 es igual a:

Solution 33

Recordemos la de…nición de valor absoluto

jaj = 8 < : a si a > 0 a si a < 0 0 si a = 0

Aplicando dicha de…nición entonces

x2+ y2 = x2+ y2 = x2+ y2

34. _{El conjunto solución de j2x 3j= jx + 5j es:}

Solution 34

Recordemos que si

jxj = jyj ! x = y ó x = y

Teniendo esto presente podemos escribir j2x 3j = _{jx + 5j} ! 2x 3 = x + 5 ! 2x x = 5 + 3 ! x = 8 ó j2x 3j = _{jx + 5j} ! 2x 3 = (x + 5) ! 2x 3 = x 5 ! 2x + x = 5 + 3 ! 3x = 2 ! x = 2 3

luego tenemos que la solución es 2₃; 8 .

35. El valor necesario de n para obtener el quinto número primo en 1 + 2 + 22₊ 23_{+ + 2}n _{es igual a:}

Solution 35

Recordemos que los primeros número primos son 2 3 5 7 11 13 17 19

# # # # # # # #

1ro 2do 3ro 4to 5to 6to 7mo 8vo

luego el quinto número primo es 11: Por otro lado evaluemos la suma 1 + 2 + 22= 7

además

11 = 7 + 4 = 7 + 22 = 1 + 2 + 22+ 22

De estos resultados podemos concluir que no existe un entero n en 1 + 2 + 22+23+ +2n_{de manera tal que el resultado sea 11:(no existe n 6= 2; obsérvese} que n es creciente en la sucesión 0; 1; 2; 3; 4; 5; : : :)

36. En el año 1982 la edad de la tierra era de 1:3 1017 _{segundos y la de la} pirámide de Keops, 1:5 1011 _{segundos. La diferencia de edad entre la} tierra y la pirámide en notación cientí…ca es:

Solution 36.

Teniendo presente la de…nición de notación cientí…ca a = c 10n; donde 1 c < 10; y n entero

y las propiedades de los exponentes podemos escribir 1:3 1017 = 1:3 1011+6

= 1:3 106 1011 = (1300 000) 1011

Calculando la diferencia tendríamos

1:3 1017 1:5 1011 = (1300 000) 1011 1:5 1011 = (1300 000 1:5) 1011 = (1299998:5) 1011 = 1:2999985 106 1011 = 1:2999985 1017

37. La luz recorre aproximadamente 3 105_{km por segundo. ¿Cuántos metros} recorrerá en 365 días? El resultado en notación cientí…ca es:

Solution 37

De la física sabemos que

!_{v =} d t

d = !v t ( )

Primero reescribimos la velocidad 3 105_{km=s a metros por segundos}

3 105km s = 3 10 5 1000m 1s = 3 105 10 3_m 1s 3 108m=s

luego el tiempo 365 días a segundos

1 día 86400 segundos 365 días d d =(365) (86400 seg) 1 d = 31536000seg d = 3:1536000 107 seg Aplicando la ecuación ( ) d = 3 108m=s 3:1536000 107s = (3 3:1536000) 108m=s 107s = 9:4608 1015m

38. La velocidad de la luz es aproximadamente de 3 105km=s: La estrella más cercana a la tierra está a 4300 años luz de distacia. La distacia en km y escrita en notación cientí…ca es:

Solution 38

Por el ejercicio anterior sabemos que un año tiene 3:1536000 107_{seg, luego} un año luz es la distancia que recorre la luz durante todo un año, esto es

1 año luz = 3 105km=s 3:1536000 107s = (3 3:1536000) 105km=s 107s = 9:4608 1012km

Luego como se trata de 4300 años tenemos que

(4300) 9:4608 1012km = 4:300 103 9:4608 1012km = (4:300 9:4608) 103 1012km = 40:68144 1015km

= 4:068144 1015km

Nota: la estrella más cercana a la tierra es el sol a 0:0000158125 años luz de distancia, seguida por Próxima Centauri (V645 Centauri) a 4:2420(16) años luz de distancia.

39. Según la constante de Avogadro, 22:4 litros de cualquier gas, en condiciones normales equivale a 6:02 1023_{moléculas de ese gas. Una persona inspira} 3:36 litros de aire y tarda, en la inspiración, 2 segundos. ¿Cuántas molécu-las de aire ha inspirado por cada segundo? Dé la respuesta en notación cientí…ca.

Solution 39

Podemos plantear una regla de tres para resolver el problema, como sigue 22:4 litros 6:02 1023 moléculas

3:36 litros x

resolviendo para x tenemos

x = (3:36 litros) 6:02 10 23 _moléculas 22:4 litros x = 20:2272 10 23 _moléculas 22:4 x = 0:903 1023moléculas 7

en notación cientí…ca x = 9:03 1022 moléculas en un segundo tendríamos 9:03 1022 2 = 4:515 10 22_moléculas

40. El número de átomos de hidrogéno en un mol es la constante de Avogadro, 6:02 1023. Si un mol del elemento tiene 1:01 gramos de masa, la masa de un átomo de hidrogénos es:

Solution 40

Del enunciado del problema podemos establecer las siguientes relaciones 1 mol 6:02 1023_{número de átomos de hidrogéno} 1 mol 1:01 gramos de masa

luego podemos deducir que la masa de un átomo de hidrogéno es 1:01 6:02 1023 = 1:01 6:02 1 1023 = 0:16777 10 23 = 1: 677 7 10 24

esto es, el total de la masa entre el número de átomos.

Teoría de Conjuntos 1. Dadas las expresiones:

I. 3 =_{2 f1; 2; 3g} II. 1_{4 2 1;}1₂;1₃;1₄ III. 0 2

IV. _{El conjunto fx 2 R : 2 x < 5g está escrito por comprensión y es} im-posible describirlo por extensión.

V. _{ffgg = fg}

Podemos a…rmar que:

a) Todas son falsas b) Solamente II y IV son verdaderas c) Todas son verdaderas d) Solamente la II es verdadera

Solución

La relación de pertenencia 2; se establece de un elemento a un conjunto. Así 2 se lee: pertenece a y =2 se lee no pertenece a:

I. _{Por lo anterior esta proposición es falsa, ya que 3 está en el conjunto f1; 2; 3g :} II. Esta proposición es verdadera, ya que se puede ver que 1₄ está en el conjunto

1;1₂;1₃;1₄

III. Esta proposición es falsa ya que representa el conjunto vacío (que es el que no tiene elementos).

IV. _{Esta proposición es verdadera, ya que el conjunto fx 2 R : 2 x < 5g} tiene in…nitos elementos.

V. _{Esta proposición es falsa, ya que el conjunto ffgg posee el elemento fg ; y} el conjunto fg representa el conjunto vacío.

R. b)

2. _{Si F = f0; f1; 2gg ; entonces el número de subconjuntos de F es:}

a) 2 b) 3 c) 4 d) 8

El número de subconjuntos de F = f0; f1; 2gg son: ; f0g ; ffa; bgg ; f0; f1; 2gg

3. _{Sean A = fa; b; cg y B = fa; b; c; dg y las proposiciones:} I. A 2 B II. _{d 2 B} III. b A IV. _{2 A} V. _{fag 2 A}

De éstas, las formuladas incorrectamente son:

a) Todas b) I, III, IV y V c) II d) Ninguna La operación de inclusión ( ; ) se establece sólo entre conjuntos.

I. Esta proposición es falsa ya que la relación que se establece es de pertenencia y A y B representan conjuntos.

II. Esta proposición es verdadera ya que se puede ver que d está en el conjunto B y la relación que se establece es de pertenencia (2):

III. Esta proposición es falsa ya que b es un elemento y la operación que se establece es de inclusión ( ; ).

IV. Esta proposición es falsa ya que representa el conjunto vacío, y la relación que se establece es de pertenencia (2).

V. _{Esta proposición es falsa ya que fag es un conjunto y la relación que se} establece es de pertenencia (2):

R. b)

4. _{El conjunto A = fx 2 Nj0 x < 5g escrito por extensión es:}

a) f0; 1; 2; 3; 4; 5g b) f1; 2; 3; 4g c) f0; 1; 2; 3; 4g d) f1; 2; 3; 4; 5g Contando los números que cumplen con la condición de ser naturales y 0 x < 5; se tienen: 0; 1; 2; 3; 4: Así A = f0; 1; 2; 3; 4g :

R. c)

a) A B _{b) A 2 B} c) _{2 A \ B} d) _{2 A [ B}

Puede verse que A [ B = f ; ; ; ; ; "; ; g, entonces es cierto que 2 A [ B: Como A \ B = f g ; es cierto que 2 A \ B:

6. _{Dados los conjuntos M = fxjx es una vocalg ; N = fxjx es una letra del alfabetog} y P = fxjx es una letra de la palabra "oscuridad"g : Entonces (M \ N) [ P es igual a:

a) fa; i; o; ug b) fs; c; r; dg c) fa; i; o; u; s; c; r; dg d) fa; i; o; s; c; r; e; d; ug M \ N = fa; e; i; o; ug ; P = fo; s; c; u; r; i; d; ag : Entonces (M \ N) [ P = fa; e; i; o; u; c; d; s; rg

R. d)

7. Dados los conjuntos A = f1; 3; 5g ; B = f5; 4; 3; 2; 1g y C = f3; 6; 2g : Expre-samos:

I. B II. _{A \ B = f3g} III. _{A [ C = B} IV. _{A \ B \ C = f3g}

De estas a…rmaciones, son ciertas:

a) Todas b) Solo II c) Solo I y IV d) Solo I, III y IV

I. Esta proposición es verdadera ya que es subconjunto de cualquier conjunto. II. _{Esta proposción es falsa ya que A \ B = f1; 3; 5g :}

III. _{Esta proposición es falsa ya que A [ C = f1; 2; 3; 5; 6g}

IV. _{Esta proposición es verdadera porque efectivamente A \ B \ C = f3g}

R. c)

8. _{Si A = fa; b; c; d; ig ; B = fc; d; e; f; jg y C = fd; h; g; i; jg ; entonces el} dia-grama de Venn que ilustra a estos conjuntos es:

En el diagrama (a) e; f están en el conjunto C, por lo cual este diagrama no cumple la condición que se pide.

En el diagrama (c) los elementos c; d; e; f; j son del conjunto B, y no del conjunto C; por lo cual este diagrama no representa la situación.

En el diagrama (d) los elementos a; b; c; d; i son del conjunto A y no del conjunto B; por lo cual este diagrama no representa la situación.

Nos queda entonces el diagrma (b), que como se ilustra es el satisface las condiciones dadas. R. b) 9. _{Si A = f1; 0; f1; 2gg ; entonces se a…rma:} I. _{2 A} II. f0g 2 A III. _{ff1; 2gg} A IV. _{2 2 A}

De tales a…rmaciones las falsas son:

I. Esta proposición es falsa ya que representa el conjunto vacío y la relación que establecen es la de pertenencia (2):

II. _{Esta proposición es falsa ya que f0g representa un conjunto y la relación} que establecen es la de pertenencia (2):

III. Esta proposición es verdadera ya que la inclusión ( ) establecida es entre los conjuntos: ff1; 2gg y A:

IV. _{Esta proposición es falsa porque f1; 2g es un elemento de A y sólo el 2 no} es elemento de A:

R. d)

10. En el lanzamiento de dos dados, se forma el conjunto A, de…nido por: A = f(a; b) : a 2 N; b 2 N; a + b = 6g

¿Cuál es la cardinalidad del conjunto A? a) 25 _b) 10

2 c) 5 d) 52

Observemos los pares ordenados (a; b) que se forman con el lanzamiento de los dos dados:

1 2 3 4 5 6 1 (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) 2 (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) 3 (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) 4 (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) 5 (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) 6 (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6) De estos, los pares que suman 6 son:

(1; 5) ; (2; 4) ; (3; 3) ; (4; 2) ; (5; 1)

Por lo cual el conjunto A está formado por los elementos: A = f(1; 5) ; (2; 4) ; (3; 3) ; (4; 2) ; (5; 1)g : La cardinalidad de un conjunto es el número total de elementos que tiene el

conjunto. Así, el conjunto A posee 5 elementos (que son los que cumplen con la condición a + b = 6:

11. _{Sea el conjunto A = fx 2 Z : jxj 3g escrito por comprensión, entonces su} descripción por extensión es:

a) A = f1; 2; 3g b) A = f0; 1; 2; 3g c) A = f 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3g d) A = f 2; 1; 0; 1; 2g

Probando cada elemento que cumple con la condición x 2 Z : jxj 3; se tiene: 3 _{2 Z : j 3j = 3} 3 2 _{2 Z : j 2j = 2} 3 1 _{2 Z : j 1j = 1} 3 0 _{2 Z : j0j = 0} 3 1 _{2 Z : j1j = 1} 3 2 _{2 Z : j2j = 2} 3 3 _{2 Z : j3j = 3} 3

Así, el conjunto A estaría formado por los elementos: 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; por lo cual A = f 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3g :

R. c)

12. Dados los conjuntos _{; f0g ; f g ; entonces la a…rmación verdadera es:}

a) El primero y el tercero son iguales b) Cada uno es diferente de los otros c) El primero y el segundo son iguales d) Todos son iguales

Aclaramos lo que representa cada conjunto dado: : representa el conjunto vacío. f0g : es un conjunto que tiene 1 elemento el 0: f g : es un conjunto que tiene un elemento el : Así, analizamos cada proposición dada:

a) Es falsa, ya que el conjunto f g tiene un elemento.

b) _{Es verdadera, ya que el conjunto f0g tiene como elemento al 0 y el conjunto} f g tiene como elemento a :

c) _{Es falsa, ya que el conjunto f0g tiene un elemento.} d) _{Es falsa, ya que los conjuntos f0g y f g son diferentes.}

13. _{Sean M = f1; 2; 3; 4g ; N = f1; 2; 3; 4; 5g y L = f1; 2g : Entonces N (M \L)} es igual a:

a) f1; 2g b) f3; 4; 5g c) f1; 2; 3; 4; 5g d)

De los conjuntos dados y de la de…nición de intersección y diferencia de conjuntos se tiene:

M \ L = f1; 2g N _{(M \ L) = f3; 4; 5g}

R. b)

14. _{Dados los conjuntos A = fxjx es una letra anterior a a en el alfabetog ; B =} fxjx 6= xg ; C = xjx2_{= 9 ^ 2x = 4 ; D = fxjx + 8 = 8g donde x es un} número real, entonces podemos a…rmar que:

a) Todos los conjuntos son iguales al vacío b) A = B = C = y D es unitario c) Solamente A y B son conjuntos vacíos d) Ninguno de los conjuntos es vacío

Escribimos por extensión cada uno de los conjuntos dados anteriormente: A = fxjx es una letra anterior a a en el alfabetog = : Ya que en el alfabeto no hay una letra anterior a a:

B = fxjx 6= xg = : Ya que no hay número diferente a sí mismo.

C = xjx2_{= 9 ^ 2x = 4 = : Aqui x = 3 y x = 2; esto muestra que x no} puede ser a la vez estos tres números.

D = fxjx + 8 = 8g : Entonces D = f0g

Por lo escrito anteriormente se puede a…rmar que: A = B = C = y D es unitario.

R. b)

15. _{Sean los conjuntos numéricos N; Z; Q y R: Entonces es cierto que} a) Q Z b) R Q c) Z R d) Z R Solución.

De…nition 1 Sean A y B dos conjuntos. Si ocurre que todo elemento de A pertenece a B, diremos que A está incluido en B, o que A es parte de B, o que A es un subconjunto de B, y escribimos A B:

A _{B () 8x : x 2 A =) x 2 B}

En virtud de ésta de…nición podemos plantear.

a) no es correcta puesto que existen números que están en Q pero no en Z; por ejemplo 1_{2 2 Q; pero} 1_{2 2 Z: b) no es correcta por un argumento análogo}= p

2 2 R; pero p2 =_{2 Q; c) no es correcta porque 2 R; pero 2 Z; d) si es}= correcto puesto que todos los números enteros están incluidos en los números reales.

16. Sean las a…rmaciones: I. _{f1; 4; 3g = f3; 4; 1g} II. _{f1; 3; 1; 2; 3; 2g f1; 2; 3g} III. _{f4g 2 ff4gg}

IV. _{f4g ff4gg} V. _ff4gg

Entonces las correctas son:

a) Todas son correctas excepto la IV b) Solo I y IV son correctas c) Solamente I, II y III d) Solo la IV es correcta Solución.

I. Es correcto puesto que dos conjuntos son iguales si ambos se contienen mutuamente, es decir todos los elementos de uno están en el otro, II. es correcta porque en un conjunto no importan las repeticiones esto es f1; 3; 1; 2; 3; 2g = f1; 2; 3g f1; 2; 3g ; III. es correcta puesto que la notación en llaves indica que es un conjunto, f4g es un elemento del conjunto ff4gg y IV es incorrecta porque para ser subconjunto la notación es el elemento entre llaves, así ff4gg, V. es correcta puesto que el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.

17. Sean los conjuntos

I. El conjunto de rectas paralelas al eje x: II. El conjunto de letras del alfabeto.

III. El conjunto de números que son múltiplos de 5. IV. El conjunto de animales que viven en la tierra. V. El conjunto de números que son raíces de la ecuación.

x35+ 42x23 17x18 2x5+ 19 = 0 VI. El conjunto de círculos que pasan por el origen.

De ellos podemos a…rmar que:

a) Todos son …nitos b) Todos son in…nitos c) Solo I, II y III son in…nitos d) Solo II, IV y V son …nitos

Solución.

La respuesta correcta es d) puesto que el alfabeto es …nito (27 caracteres), las especies animales están registradas por en grupos, familias y especies, y las soluciones de la ecuación x35+ 42x23 17x18 2x5+ 19 = 0; están determinadas por el teorema fundamental del algebra, es decir que tiene exactamente 35 raíces. 18. _{Sean los conjuntos A = fa; b; c; dg ; B = ff; b; d; gg y las siguientes}

opera-ciones entre conjuntos. I. _{A [ B = ff; gg}

II. _{A \ B = fa; b; c; d; f; gg} III. A _{B = fa; b; cg} IV. B _{A = ff; b; gg}

Entonces se a…rma que:

a) Todas son incorrectas b) Todas son correctas c) Solo III es correcta d) Solo IV es incorrecta

Recordemos las de…niciones de algunas operaciones entre conjuntos A [ B = fxjx 2 A _ x 2 Bg

A \ B = fxjx 2 A ^ x 2 Bg A B = _{fxjx 2 A ^ x =2 Bg} En virtud de éstas de…niciones podemos escribir

A [ B = fa; b; c; d; f; gg A \ B = fb; dg

A B = _{fa; cg} B A = _{ff; gg} Luego resulta que todas son incorrectas.

19. El conjunto A es subconjunto del conjunto B si: a) Al menos un elemento de A es elemento de B. b) Todo elemento de A es elemento de B. c) Ningún elemento de B está en A. d) Algún elemento de B estáen A.

Solución.

De la de…nición de subconjunto podemos establecer que b) es la correcta. 20. En el diagrama de Venn está sombreado una parte. La operación sombreada

es:

Solución.

21. _{Si U = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10g ; A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g y B = f2; 4; 6; 8; 10g ;} entonces A B es el conjunto:

a) f7; 8; 9; 10g b) f1; 3; 5g c) f8; 10g d) f7; 9g

Solución.

Recordemos la de…nicón de complemento A = fxjx 2 U ^ x =2 Ag luego

A = _{f7; 8; 9; 10g} B = _{f1; 3; 5; 7; 9g} A B = _{f8; 10g}

22. _{Sea N = fxjx es un número naturalg ; Z = fxjx es un número enterog ; Q =}

I. Los númerosp3; ;p7; e 2:7182 yp2 son ejemplos de números racionales. II. Los números 3.75, 2.131311313. . . , 25 y p144 son números que se pueden

expresar como fracciones. III. Q Q

IV. N Z Q R De ellas las falsas son:

a) I y II b) II y III c) II y IV d) I y III

Solución.

I. Es incorrecta puesto que todos esos números son irraciones no perteneccen a Q:

II. Es correcta puesto que

3:75 = 3 + 0:75 = 3 + 75 100 = 3 + 3 4 = 15 4 2:131313 : : : = 2 + 0:131313 : : : = 2 +13 99 = 211 99 25 = 25 1 p 144 = 12 =12 1 III. Es falso puesto que 1_{2 2 Q ^}1_{2 2 Q}=

IV. Es correcta los números naturales, enteros y racionales están incluidos en los números reales, los naturales en los enteros, los enteros en los racionales. 23. Dados los intervalos de números reales M = [ 3; 5) ; S = (3; 8) ; T = [0; 4]

y W = ( 7; 8] ; y las a…rmaciones: I. M S II. S W III. _{M [ S = S} IV. _{7 2 W} V. T W VI. _{M \ T = T}

Podemos concluir que:

a) Todas son falsas b) Las verdaderas son la II, V y VI c) Todas son verdaderas d) Solo la IV es verdadera

Solución.

M S es falsa porque _{3 2 M ^} 3 =_{2 S: S} W es verdadero, nótese que todo elemento de S está incluido en W: M [ S = S es falso porque 3 2 M [ S pero 3 =_{2 S: 7 2 W falso porque W es abierto por la izquierda luego no} contiene a ese extremo, es decir a 7: T W es verdadera todos los elementos de T están en W: M \ T = T verdadero, nótese que todo T está contenido en M:

24. _{Sea U = fn 2 N : n 10g ; A = fx 2 U : x 5g ; B = f1; 4; 7; 10g y C =} fx 2 U : x es par y menor que 8g : Entonces (A C) \ (C B) es:

a) f2; 6g b) f1; 3; 7g c) f1; 3; 5g d) Solución. (A C) = _{f1; 3; 5g} (C B) = _{f2; 6g} (C B) = _{f1; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10g} (A _{C) \ (C} B) = _{f1; 3; 5g}

25. _{Dados los conjuntos A = fx : x 2 R; (x} 1) (x 2) (x _{3 = 0)g ; B = x : x 2 R; x}2 _{1 = 0 :} La diferencia simétrica de A y C es:}

Solución.

Recordemos la de…nición de diferencia simétrica A4B = (A B) [ (B A)

Escribiendo los conjuntos A y B por extensión tenemos A = _{f1; 2; 3g}

B = _{f 1; 1g} luego tenemos que

(A [ B) = f 1; 1; 2; 3g (A \ B) = f1g

A4B = (A [ B) (A \ B) = f 1; 2; 3g

26. Dado un conjunto cualquiera A, no es cierto que: a) _{A \ =}

b) _{A [ =} c) _{A [ A = A} d) A \ A = A

Solución.

A [ = es falsa porque la unión exige que estén todos los elementos de ambos conjuntos, por tanto A [ no puede ser vacío.

27. Sean los conjuntos arbitrarios A, B, C. Las siguientes leyes de conjuntos tienen su nombre apropiado.

I. A [ A Idempotencia

II. _{A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) Asociatividad} III. (A) = A Ley de involución

IV. _{(A [ B) = A \ B Ley de D´ Morgan.} De ellas:

a) Todas tienen su nombre correcto b) Solo la segunda es correcta c) Solamente la II es incorrecta d) Todas son incorrectas

La única incorrecta es la II, puesto que

A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) es la ley distributiva.

28. _{A = fx 2 Z : jx + 3j 2g ; B = x 2 R : x es solución de la ecuación x}2 _{7x 8 = 0} y C = x 2 N : x2 _{x 56 = 0 : Entonces (B [ C) (A \ B) = C}

a) Eso es totalmente cierto b) Eso es totalmente falso c) (B [ C) (A \ B) = A d) (B [ C) (A \ B) = B

Solución.

En principio debemos escribir cada conjunto por extensión, así A = fx 2 Z : jx + 3j 2g

Debemos entonces resolver la desigualdad jx + 3j 2; aquí tenemos dos casos:

x + 3 2 _{_} (x + 3) 2 resolviendo la primera desigualdad tenemos

x + 3 2 x+ 2 3

x 1

Para la segunda desigualdad

(x + 3) 2

x 3 2

x 2 + 3

x 5

x 5

así la solución está en el intervalo

5 x 1 Así,

Al escribir B por extensión resulta B = x 2 R : x es solución de la ecuación x2 7x 8 = 0 x2 7x 8 = 0 (x 8) (x + 1) = 0 (x 8) = _{0 _ (x + 1) = 0} x = _{8 _ x = 1} B = f 1; 8g C por extensión, C = _{x 2 N : x}2 x 56 : x2 x 56 = 0 (x 8) (x + 7) = 0 (x 8) = _{0 ^ (x + 7) = 0} x = _{8 ^ x = 7} C = _f8g

Realizando las operaciones (B [ C) (A \ B) = C

A = _{f 5; 4; 3; 2; 1g} B = _{f 1; 8g} C = _f8g B [ C = f 1; 8g A \ B = f 1g (B [ C) (A \ B) = f8g = C

29. Dados A y B conjuntos cualesquiera, el resultado de (A _{B) \ B es:}

Obsérvese la parte sombreada que representa la diferencia y al conjunto B, es claro que no comparten elementos, luego su intersección es vacia.

30. En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron aritmética, 6 hombre aprobaron literatura, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso, hay 16 hombres en total, 5 aprobaron los 2 cursos, 11 aprobaron sólo aritmética, ¿cuántas mujeres aprobaron solo literatura?

Solución.

Organicemos los datos en un tabla de doble entrada

aritmética literatura ambos reprobados total

hombres 2 4 5 5 16

mujeres 9 2 0 8 19

total 11 6 5 13 35

Obsérvese que para completar la tabla, si 7 hombres aprueban literatura y 5 hombres aprueban ambos cursos, entonces sólo 2 hombres deben aprobar únicamente el curso de aritmética. De aquí resulta claro que únicamente dos mujeres aprueban literatura.

Álgebra

1. Si los coe…cientes del polinomio a5x5+ a4x4+ a3x3+ a2x2+ a1 cumplen la relación de recurrencia a1= 1; ak+1= 3ak+ 1; para k 1 entonces a5 es igual a:

Solución

Usando el algorítmo ak+1 = 3ak + 1 tenemos que el número siguiente se obtiene multiplicando el anterior por tres y agregándole uno, así los coe…cientes serían: a1 = 1 a2 = 3 (1) + 1 = 4 a3 = 3 (4) + 1 = 13 a4 = 3 (13) + 1 = 40 a5 = 3 (40) + 1 = 121

2. La expresión algebraica (x + y)3 3x2_{y 3xy}2 _{es igual a:}

Solución

Recordemos de los productos notables que

(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3 entonces podemos escribir

(x + y)3 3x2y 3xy2 = x3+ 3x2y + 3xy2+ y3 3x2y 3xy2 = x3+ y3 + 3x2y 3x2y + 3xy2 3xy2 = x3+ y3+ 0 + 0

3. Si x4 _y4_{= z}3_{y x}2_{+ y}2_{= 8; entonces} z3

8 es igual a: Solución

Recordemos la diferencia de cuadrados

x2 y2= (x + y) (x y)

aplicando esto a la primera igualda tenemos

x4 y4= x2+ y2 x2 y2 = z3

sustituyendo en esta última igualdad x2_{+ y}2_{= 8} x2+ y2 x2 y2 = z3

(8) x2 y2 = z3

aplicando nuevamente diferencia de cuadrados (8) x2 y2 = z3 (8) (x + y) (x y) = z3 (x + y) (x y) = z

3 8

despejando y reordenando nos resulta que z3

8 = (x + y) (x y)

4. _{Si x < 2; entonces jx 2j + jx 3j es igua a:}

Solución

Si x < 2 entonces x puede tomar cualquier valor del siguiente conjunto de número reales

en todo caso ocurre que (x 2) < 0; es decir el resultado es un número negativo, luego su valor absoluto será

jx 2j = (x 2) = 2 x

Analogamente ocurre para x 3; si se resta cualquier número de los que puede tomar x con tres, entonces (x 3) < 0 luego su valor absoluto

jx 3j = (x 3) = 3 x Y …nalmente la suma será

jx 2j + jx 3j = (2 x) + (3 x) = 5 2x

= 2x + 5

5. Para que la suma de dos polinomios de grado 2 sea un polinomio de grado 1 se debe cumplir:

Solución

Sean los polinomio de grado 2

a1x2+ a2x + c b1x2+ b2x + c0

Consideremos que su suma es igual a un polinomio de grado 1, esto es a1x2+ a2x + c1 + b1x2+ b2x + c2 = kx + c3

entonces debe ocurrir que

a1x2_{+ b1x}2 _{= 0} (a2x + b2x) = kx

(c1+ c2) = c3 Es decir, que los terminos de x2 deben eliminarce

a1x2+ b1x2 = 0 a1x2 = b1x2

a1 = b1

6. Dado el polinomio lineal f (x) = x 1₂; la suma f (x) + f x +1₄ + f x +2₄ + f x +3₄ es igual a: Solución f (x) = x 1 2 f x + 1 4 = x + 1 4 1 2 = x 1 4 f x + 2 4 = x + 2 4 1 2 = x + 0 f x + 3 4 = x + 3 4 1 2 = x + 1 4

Luego la suma buscada es x 1 2 + x 1 4 + x + 0 + x + 1 4 = 4x 1 2

7. Si multiplicamos n2_{+ 1 veces el número real a, el reultado …nal es:}

Solución

La de…nición de potencia nos dice que n veces

z }| {

a a a a a a = an

Si aplicamos esto a nuestro caso tenemos n2+1 veces

z }| {

a a a a a a = an2+1

8. El polinomio p (x) = x3 _x2_{+ x 1 se anula en 1, luego p (x) es divisible} por.

Teorema del factor: Un polinomio f (x) tiene un factor x c si y sólo si f (c) = 0

Aplicando el teorema del factor al caso que nos ocupa tenemos que p (1) = 13 12+ 1 1

= 1 1 + 1 1 = 0

entonces p (1) = 0; según el teorema el polinomio tiene un factor (es divisible por) x 1: (sug. haga la división)

9. Las primeras 17 letras en la alineación del genoma humano son

A C A A T G T C A T T A G C G A T

donde A = Adenina, C = Citosina, G = Guanina, T = Timina. Si consider-amos a estas letras como variables y admitimos la conmutatividad del producto "yuxtaposición", estas 17 letras pueden reducirse al monomio:

Solución Recordemos que n veces z }| { a a a a a a = an Secuencia original A C A A T G T C A T T A G C G A T A C A2 T G T C A T2 A G C G A T Aplicando la propiedad conmutativa

C A A2 _{T T G C A A T}2 _{C G G A T}

aplicando potenciación

C A3 T2 G C A2 T2 C G2 A T

Aplicando repetidamente estos pasos llegaremos a obtener la ordenación A A3 _A2 _{C C C G G}2 _T2 _T2 _T

Finalmente

10. Si x + y = 1 y xy = 1, ¿Cuál será el valor de x3+ y3?

Solución

El cubo de un binomio es

(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3

A partir de esto podemos escribir

(1)3= x3+ y3+ 3x2y + 3xy2 ( )

Por otro lado podemos calcular cada variable xy = _{1 ! x =} 1 y xy = _{1 ! y =} 1 x

Sustituyendo estas dos últimas igualdades en ( ) y reduciendo, tenemos 1 = x3+ y3+ 3x2y + 3xy2 1 = x3+ y3+ 3x2 1 x + 3 1 y y 2 1 = x3+ y3+ 3x + 3y 1 = x3+ y3+ 3 (x + y) 1 = x3+ y3+ 3 (1) 1 = x3+ y3+ 3 1 3 = x3+ y3 x3+ y3 = 2

11. Dos enteros a > 1 y b > 1 satisfacen ab + ba = 57: Determinar la suma a + b:

Por simple inspección es facil notar que 25 = 32 52 = 25 25+ 52 = 32 + 25 25+ 52 = 57 a partir de este cálculo podemos escribir que

a _{! 2 y b ! 5} a + b = 2 + 5 a + b = 7

12. Dada la expresión algebraica x3_y2_{+ x}2_y2_{; los valores de x e y para obtener} 64 son:

Solución

x3y2+ x2y2 = x2y2(x + 1) = 64 y2 = 64

x2_{(x + 1)}

Como 64 es un número par, entonces los número x y y deben ser números pares. Fijemos x = 2 (nótese que lo elegimos negativos, puesto que 64 también lo es ) y2 = 64 x2_{(x + 1)} y2 = 64 ( 2)2( 2 + 1) y2 = 64 (4) ( 1) y2 = 64 4 y2 = 16 p y2 ₌ p₁₆ y = 4

Como tenemos dos raices evaluamos para elegir la adecuada x3y2+ x2y2= ( 2)3( 4)2+ ( 2)2( 4)2= 64

luego los número buscados son x = 2 y y = 4:

13. Los valores naturales de x e y para la expresión 1 + x + xy + x2_y2 _{dé el} menor número par positivo son:

Solución

El menor número par positivo es 2

1 + x + xy + x2y2 = 2 x + xy + x2y2 = 2 1 x 1 + y + xy2 = 1 1 + y + xy2 = 1 x y + xy2 = 1 x 1 y + xy2 = 1 x x

Ahora, observamos algunas cosas, x no puede ser cero, tampoco puede ser neg-ativo, discriminando el numerador es fácil ver que x debe ser 1; así

y + xy2 = 1 x x y + y2 = 0 y (1 + y) = 0

y = 0 ó y = 1

Evaluando los números x = 1 y y = 0 para comprobar 1 + x + xy + x2y2 = 2 1 + 1 + (1) (0) + (1)2(0)2 = 2 1 + 1 = 2 2 = 2

14. Si a = 1; b = 3; c = 5; entonces

a + b _{ja bj} jaj + jbj + jcj es igual a:

Solución

De…nition 1 _{El valor absoluto de un número real, a; representado por jaj ; se} de…ne como sigue.

1) si a _{0; entonces jaj = a:} 2) _{si a < 0, entonces jaj = a:} a + b _{ja bj} jaj + jbj + jcj = ( 1) + 3 _{j( 1) 3j} j 1j + j3j + j5j = ( 1) + 3 j 4j j 1j + j3j + j5j = 2 4 1 + 3 + 5 = 2 9 15. La expresión p3an3_+3n2_+5n+3 ; a 2 R y n 2 N; es: Solución

Por la propiedad de la potencia ax+y_{= a}x _ay_{, podemos escribir}

3 p an3_+3n2_+5n+3 = p3an3_+5n+3n2₊₃ = p3an3_+5n p3 a3n2 p3 a3 = p3an3_+5n an2 a ( )

la anterior simpli…cación nos acaba de arrojar luz sobre los dos últimos radi-cales, los cuales tiene raiz cúbica exacta, ahora veremos que ocurre con el radica

3

p an3_+5n

n n3_{+ 5n}

1 _{! 1}3_{+ 5 (1) = 1 + 5 = 6} 2 _{! 2}3_{+ 5 (2) = 8 + 10 = 18} 3 _{! 3}3_{+ 5 (3) = 27 + 15 = 42} 4 _{! 4}3_{+ 5 (4) = 64 + 20 = 84}

Si observamos la tabla anterior, podemos ver que la expresión n3_{+5n siempre} da un número múltiplo de 3, esto es

3jn3+ 5n ! n3+ 5n = 3k ( ) luego en el radical 3 p an3_+5n =p3a3k_{= a}k

Esto signi…ca que la expresión p3an3_+3n2_+5n+3

es raíz cúbica exacta. Nota_{: Demostración de 3jn}3_{+ 5n 8n 2 N}

Aplicaremos el principio de inducción matemática sobre n: 3jn3_{+ 5n es equivalente a n}3_{+ 5n = 3k}

Para n = 1; tenemos 13_{+ 5(1) = 6 = 3 2, de donde 3jn}3_{+ 5n es verdadero} para n = 1:

Hipótesis inducctiva 3jn3+ 5n 8n 2 N es verdadero. Tesis de inducción 3j (n + 1)3+ 5 (n + 1) 8n 2 N

(n + 1)3+ 5 (n + 1) = n3_{+ 3n}2_{+ 3n + 1 + 5n + 5} = n3+ 5n + 3n2+ 3n + 6

n3_{+ 5n es múltiplo de 3 por hipótesis de inducción, 3n}2_{+ 3n = 3 n}2_{+ n} es evidente que es múltiplo de 3 y claramente 3 divide a 6; luego la suma de tres múltiplos de 3 es un múltiplo de 3; esto es 3j (n + 1)3+ 5 (n + 1) 8n 2 N es verdadero.

16. Las raíces de la ecuación ax2+ bx + c = 0 serán recíprocas si:

Supongamos las raíces x1 y x2; ambas raíces de la ecuación dada, ahora vamos a reducir la ecuación dada, así

ax2+ bx + c = 0 a ax 2₊ b ax + c a = 0 x2+ b ax + c a = 0 ( )

la ecuación ( ) es la ecuación reducida de la ecuación ax2+ bx + c = 0; obsérvese que la ecuación ( ) es de la forma

x2+ px + q = 0

y sabemos que para estas ecuaciones debemos encontrar dos números que multiplicados nos den q y sumados p; es decir que si existen sus raíces, digamos x1 y x2; entonces

x1 x2= q x1+ x2= p Aquí podemos tomar

b a = p

c a = q

Si la condición es que x1 = x12, es decir que sean recíprocas las raíces,

entonces x1 = 1 x2 ! x1 x2= 1 x1 x2 = q = 1 c a = 1 c = a

17. Si n es un entero positivo, la igualdad m4 _km2_{n + n}2 n _{= m}2 _n 2n se cumple si k toma el valor:

Solución

Apliquemos el cuadrado del binomio a la parte derecha, así h

ahora igualemos este resultado a lo que inicialmente teníamos m4 km2n + n2 n= m4 2m2n + n2 n

raíz n-ésima a ambos lados y listo

n q (m4 _km2_{n + n}2₎n ₌ qn (m4 _2m2_{n + n}2₎n m4 km2n + n2 = m4 2m2n + n2 k = 2 18. El producto (px + y +px + y z) (px + y px + y z) es igual a: Solución

Obsérvese con atención que lo que tenemos es una diferencia de cuadrados de la forma (a + b) (a b) = a2 b2; luego al hacer el producto resulta

p

x + y +px + y z px + y px + y z = px + y 2 px + y z 2 = x + y (x + y z)

= x + y x y + z = z

19. El coe…ciente del término lineal del producto (ax b) (cx + d) x es: Solución

Si hacemos el producto de forma directa obtenemos la expresión

(ax b) (cx + d) x = acx3+ adx2 bcx2 bdx = acx3_{+ (ad bc) x}2 _bdx

aquí el término lineal es bdx; luego su coe…ciente es bd: Observación:

Si el producto es simplemente (ax b) (cx + d) ; omitiendo la x que aparece al …nal tendriamos

(ax b) (cx + d) = acx2 bd + adx bcx = acx2+ (ad bc) x bd

en este caso el término lineal es (ad bc) x; luego su coe…ciente es ad bc: (esta es la respuesta de la guía, tenga en cuenta la aclaración)

20. Si 2 es raíz del polinomio x3 _x2 _{14x + 24, entonces la factorización} completa de éste es:

Solución

Theorem 2 Un polinomio f (x) tiene un factor x c si y sólo si f (c) = 0 Si 2 es raíz de x3 _x2 _{14x + 24; entonces anula al polinomio cuando x = 2:} Así podemos aplicar el teorema anterior con c = 2 y como factor x 2:

Hacemos ahora la división

x3 x2 14x + 24 x 2

resulta como cociente el polinomio x2_{+ x 12; luego podemos escribir} x3 x2 14x + 24 = (x 2) x2+ x 12

= (x 2) (x + 4) (x 3)

lo cual es su factorización completa.

21. El polinomio x4 _{1 se descompone completamente en el producto de:} Solución

Note que podemos expresar el polinomio como una diferencia de cuadrados x4 1 = x2 1 x2+ 1

luego un factor de estos engendra otra diferencia de cuadrados x4 1 = x2 1 x2+ 1

= (x 1) (x + 1) x2+ 1

22. La factorización de (x + 1)3+ (y + 6)3 es: Solución

Apliquemos la factorización para la suma de cubos a3+ b3= (a + b) a2 ab + b2

(x + 1)3+ (y + 6)3 = (x + 1 + y + 6)h(x + 1)2 (x + 1) (y + 6) + (y + 6)2i = (x + y + 7)h(x + 1)2 (x + 1) (y + 6) + (y + 6)2i

luego observemos que quedan unos binomios al cuadrado (x + 1)2 = x2+ 2x + 1 (x + 1) (y + 6) = 6x y xy 6

(y + 6)2 = y2+ 12y + 36

sumando y reduciendo términos semejantes nos queda

(x + 1)3+ (y + 6)3 = (x + y + 7)h(x + 1)2 (x + 1) (y + 6) + (y + 6)2i

= (x + y + 7) x2+ 2x + 1 6x y xy 6 + y2+ 12y + 36 = (x + y + 7) x2 xy 4x + y2+ 11y + 31

23. Un factor de 5t 12 + 2t2 _{es t + 4 y el otro es} Solución

Es su…ciente con hacer la división para encontrar el otro factor 2t2+ 5t 12 t + 4

2t2 8t 2t 3 3t 12

3t + 12 0

24. Si el producto de los monomios x2nyn y xmy es igual a x 2y3; entonces los valores de m y n son respectivamente:

Solución

Haciendo el producto y aplicando la inyectividad de la función exponencial, tenemos

x2nyn (xmy) = x 2y3 x2n+myn+1 = x 2y3

como las bases son invariantes, resulta 2n + m = 2

n + 1 = 3

resolviendo este sistema resulta,

n + 1 = _{3 ! n = 3} 1 n = 2 2n + m = 2 2 (2) + m = 2 4 + m = 2 m = 2 4 m = 6

Así, los números buscados son, m = 6 y n = 2:

25. Para que la factorización de 2y2_{+ 9y s sea (2y + k) (y 2k) ; s y k deben} valer respetivamente:

Solución

Hagamos el producto directo de (2y + k) (y 2k) ; esto es (2y + k) (y 2k) = 2y2 3ky 2k2

2y2 _{+ 9y s}

# # #

2y2 _{3ky 2k}2 como la factorización es única resulta claro pensar que

3ky = 9y k = 9 3 k = 3 s = 2k2 s = 2k2 s = 2 ( 3)2 s = 2 (9) s = 18 luego s = 18 y k = 3: 26. El resultado de (am+n_{+ b}m n_{) (b}m n _am+n_{) es:} Solución

Apliquemos la diferencia de cuadrados

bm n+ am+n bm n am+n = bm n 2 am+n 2 = b(2)(m n) a(2)(m+n) 27. El producto de ap2 _b1 3 3 con ap2_{+ b}1 3 3 es igual a: Solución

Haciendo el producto y aplicando regla de los exponentes resulta ap2 b13 3 ap2+ b13 3 =h ap2 b13 a p 2_{+ b}1 3 i3

luego lo que está dentreo del corchete es una diferencia de cuadrados h ap2 b13 _a p 2_{+ b}1 3 i3 = ap2 2 b13 2 3

a esta última expresión aplicamos el cubo del binomio ap2 2 _b1 3 2 3 = ap2 2 3 _{3 a}p2 2 2 _b1 3 2 + 3 ap2 2 _b1 3 2 2 b13 2 3 = a6p2 3a4p2b23 _{+ 3a}2 p 2_b4 3 _b2 28. Al simpli…car la expresión 1 2 _x12 2 x 1 +_x1 obtenemos: Solución

Resolvamos el denominador de la primera fracción compleja 2 1 x2 = 2x2 ₁ x2 luego 1 2 _x12 = _2x12 ₁ x2 = x 2 2x2 ₁

Ahora resolvemos el denominador de la segunda fracción compleja 1 + 1 x = x + 1 x luego 2 x 1 + 1_x = 2 x x+1 x = 2 x + 1

…nalmente 1 2 _x12 2 x 1 +_x1 = x2 2x2 ₁ 2 x + 1 = x 2_{(x + 1) 2 2x}2 ₁ (2x2 _{1) (x + 1)} = x 3_{+ x}2 _4x2_{+ 2} (2x2 _{1) (x + 1)} = x 3 _3x2_{+ 2} (2x2 _{1) (x + 1)}

29. El inverso multiplicativo de la fracción algebraica x2+ 1 2(x + y) (x4 ₁₎2_(x2 _y2₎ en su forma más simpli…cada es:

Solución

El invero multiplicativo de esta fracción es sencillamente el recíproco, es decir x4 ₁ 2 _x2 _y2 (x2_{+ 1)}2_{(x + y)} = x4 _{1 x}4 _{1 (x + y) (x y)} (x2_{+ 1) (x}2_{+ 1) (x + y)} = x 4 _{1 x}4 _{1 (x y)} (x2_{+ 1) (x}2_{+ 1)} = x 2_{+ 1 x}2 _{1 x}2_{+ 1 x}2 _{1 (x y)} (x2_{+ 1) (x}2_{+ 1)} = x2 1 x2 1 (x y) = x2 1 2(x y) 30. La expresión 2x 1+ 3y 1 5x 1 _7y 1 1

2x 1+ 3y 1 5x 1 _7y 1 1 = 5x 1 _7y 1 2x 1_{+ 3y} 1 = 5 x 7 y 2 x+ 3 y = 5y 7x xy 2y+3x xy = 5y 7x 2y + 3x 31. Si f (x) = 10 x 1; x1= 1 + 1 k; x2= 1 + 1 k2; donde k 6= 1; k 2 Z+; entonces Solución f (x) = 10 x 1 ! f (x1) = 10 1 + 1_k 1 = 10 1 k = 10k f (x) = 10 x 1 ! f (x2) = 10 1 + _k12 1 = 10₁ k2 = 10k2 luego f (x1) < f (x2)

32. Supongamos que x1 y x2 son las raíces de la ecuaciòn ax2+ bx + c; _{(a 6= 0)} la expresiòn 1 x2 1 + 1 x2 2 expresada en funciòn de las raíces, es igual a:

Solución

Note antes que todo que la expresiòn puede reescribirse como 1 x2 1 + 1 x2 2 = x 2 2+ x21 x2 1 x22 ( )

La idea fundamental aquì serà calcular tanto numerador como denomiador por separado y luego realizar la divisiòn.

Toda raíz de una ecuacón cuadrática puede escribirse en la forma x = b

p

b2 _4ac 2a

Luego para cada raíz dada tenemos x1 =

b pb2 _4ac 2a

(2ax1)2 = b pb2 _4ac 2

4a2x2₁ = 2b2 4ac 2bpb2 _{4ac (1)}

si consideramos la raíz x1 eventualmente encontraremos al análogo a lo an-terior, esto es

4a2x2₂= 2b2 4ac 2bpb2 _{4ac (2)}

Ahora vamos a sumar las expresiones (1) y (2) 4a2_x2 1 = 2b2 4ac 2b p b2 _4ac 4a2_x2 2 = 2b2 4ac 2b p b2 _4ac 4a2 _x2 1+ x22 = 4b2 8ac ( 4) a2 _x2 1+ x22 = b2 2ac Después de todas esas simpli…caciones encontramos que

x2₁+ x2₂=b 2 _2ac

a2 que es precisamente el numerador de ( ) :

Ahora volvamos a considerar nuestra ecuación original ax2+ bx + c; y en-contremos su ecuación reducidad dividiéndola toda por a:

ax2_{+ bx + c !} a ax 2₊b ax + c a ! x2+ px + q

con p = _ab y q = _ac; si x1 y x2son raíces de la ecuación original, también lo son de su ecuación reducida. Recordemos que al resolver la ecuación reducida por factorización encontramos que

x1 x2 = q x1+ x2 = p

la primera de estas condiciones es lo que necesitamos x1 x2 = q ! (x1 x2)2= q2 (x1 x2)2 = c a 2 ! x21 x22= c2 a2

y asì tenemos el denominador de nuestra esxpresión ( ) ; …nalmente 1 x2 1 + 1 x2 2 =x 2 2+ x21 x2 1 x22 = b2 2ac a2 c2 a2 = b 2 _2ac c2

33. Si r + 1 r

2

= 3 entonces r3₊ 1

r3 es igual

Solución. Consideremos el desarrollo de r +1_r 3 esto es r +1 r 3 = 3r +3 r + 1 r3 + r 3 = r3+ 1 r3 + 3 r + 1 r ( )

Ahora consideremos la expresión r +1_r 3 como sigue r +1 r 3 = r +1 r 2 r +1 r

la expresión al cuadrado es 3; así, podemos escribir r +1

r 3

= 3 r +1 r

Igualando esta última expresión con ( ) ; resulta r3+ 1 r3 + 3 r + 1 r = 3 r + 1 r r3+ 1 r3 = 3 r + 1 r 3 r + 1 r r3+ 1 r3 = 0 34. El valor de la expresión q 24p_x4_{+ y}4 _es:

Solución. Recordemos que en radicales anidados podemos multiplicar los índices de los radicales, es decir, pn mp_{x =} n mp_{x; luego}

q

24p_x4_{+ y}4 _{= 2}2qp_x4_{+ y}4 = 4p4

35. La racionalización del denominador de la expresión 1 x23 y 2 3 da como resultado:

En principio reescribiremos los exponentes racionales como radicales 1

x23 y23

= _p3 1 x2 p3

y2

como la expresión a racionalizar es un radical de índice 3, multiplicaremos numerador y denominador por la expresión p3

x4₊p3 _x2_y2₊p3 _y4_{; esto es} 1 3 p x2 p3 y2 = 1 3 p x2 p3 y2 3 p x4₊p3 _x2_y2₊p3 _y4 3 p x4₊p3 x2_y2₊p3 y4 = 3 p x4₊p3 x2_y2₊p3 y4 3 p x2 p3 _y2 p3 x4₊p3 _x2_y2₊p3 _y4 = 3 p x4₊p3 _x2_y2₊p3 _y4 x2 _y2 = x 4 3 + x23y23 + y43 x2 _y2 36. La simpli…cación de la expresión 6 q (x y + z)26 r 1 x y + z 1 4 6 p x y + z +px y + z p3_{x y + z} da como resultado:

Solución. Como la expresión no tiene paréntesis, entonces tomamos en cuenta los ordenes de prioridad, primero división y multiplicación luego suma y resta. 6 q (x y + z)26 r 1 x y + z 1 4 6 p x y + z +px y + z p3_{x y + z} 6 r 1 x y + z(x y + z) 2 1 4 6 p x y + z + 6 q (x y + z)3 6 q (x y + z)2 6 p x y + z 1 4 6 p x y + z +p6_{x y + z} 2p6_{x y + z} 1 4 6 p x y + z 7 4 6 p x y + z

37. La expresión n2pa a33

a53

a(2n 1)3

es igual a: sugerencia: 13+ 33+ + (2n 1)3= n2 2n2 1

Solución. La cantidad subradical es un producto de potencias de la misma base, así que podemos escribir

n2p a a33 a53 a(2n 1)3 = n2pa13₊₃3_{+ +(2n 1)}3 = n2pan2_(2n2 ₁₎ = n2 q a(2n2 _{1) n}2 = a(2n2 1)

38. La raíz quinta de la raíz cuarta de la raíz cuadrada de la raíz cuadrada de a2_{+ b}2 _{es igual a:}

Solución. Traducimos del lenguaje ordinario al lenguaje común, y procedemos anidando las raices hacia atras.

5 s 4 rq_p (a2_{+ b}2_{) =} 80p (a2_{+ b}2₎ = a2+ b2 1 80

39. _{Dadas las ecuaciones 2x + 3y = 4 y 2kx + 3ky = 4k; k 6= 0; el conjunto de} todas las soluciones es:

Solución. La segunda ecuación es múltiplo de la primera en un factor k; así estas serán rectas paralelas. Luego

2x + 3y = 4 3y = 4 2x

y = 4 2x 3

x; puede tomar valores arbitrarios y los de y están determinados por y = 4 2x

3 : Así, el conjunto solución será x; 4 2x

3 : x 2 R y = 4 2x₃

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 3 4

x

y

40. El conjunto solución del sistema de ecuaciones es: jx 1j + jy 5j = 1

y _{jx 1j = 5}

Solución. Recordemos la de…nición de valor absoluto jaj = a; si a_{a; si a < 0}= 0

Debemos considerar entonces los casos positivos y los negativos. Primero que los valores absolutos sean positivos

(x 1) + (y 5) = 1 y (x 1) = 5 Reduciendo

x + y = 7 y x = 4 resolviendo este sistema por eliminación

2y = 11 y = 11 2 si y =11₂; entonces x + y = 7 x = 7 y x = 7 11 2 x = 3 2

sol. 3₂;11₂ La segunda combinación es jx 1j + jy 5j = 1 (x 1) + (y 5) = 1 x + 1 + y 5 = 1 x + y = 5 Para la segunda ecuación

y _{jx 1j = 5} y [ (x 1)] = 5 y + x 1 = 5 x + y = 6 Así formamos el sistema de ecuaciones

x + y = 5 x + y = 6 eliminando x; resulta 2y = 11 y = 11 2 si y = 11 2; entonces x + y = 6 x = 6 y x = 6 11 2 x = 1 2 luego, sol. 1₂;11₂

La solución al sistema original es 3₂;11₂ ; 1₂;11₂ :

41. Hallar tres números, sabiendo que el segundo es mayor que el primero en la misma cantidad que el tercero es mayor que el segundo, que el producto de los dos menores es 85 y que el producto de los dos mayores es 115. Solución. En principio traducimos del lenguaje ordinario al lenjuaje algebraico

x1 : primer número x2 : segundo número x3 : tercer número x2 > x1 y x3> x2 x2 x1 = x3 x2 x1 x2 = 85 (1) x2 x3 = 115 (2)

Teniendo en cuenta todas estas relaciones, resolvemos las ecuaciones. Primero dividamos las dos ecuaciones

x2 x3 x1 x2 = 115 85 x3 x1 = 23 17 x3 = x1 23 17 ( ) Por otro lado consideremos la proporción

x2 x1 = x3 x2 x2₂ = x1 x3( ) Sustituyendo ( ) en ( ) resulta x2₂ = x1 x1 23 17 x2₂ = x2₁ 23 17 x2 = x1 r 23 17( )

Sustituyendo ( ) en (1) x1 x2 = 85 x1 x1 r 23 17 ! = 85 x2₁ r 23 17 = 85 x2₁ = q85 23 17 x1 = v u u tq85 23 17 x1 = 8:5

Sustituyendo este valor en las ecuaciones (1) y (2) resulta x1 x2 = 85 (8:5) x2 = 85 x2 = 85 8:5 x2 = 10 x2 x3 = 115 (10) x3 = 115 x3 = 115 10 x3 = 11:5 Sol. (8:5; 10; 11:5) 42. El sistema kx + y = 1 x + ky = 5 tiene solución única si:

Solución. Recordemos que según la regla de Cramer, un sistema de dos vari-ables tiene solución única si el determinante de la matriz de coe…cientes no es cero, esto es

k 1 1 k 6= 0 k 1 1 k = k 2 1 6= 0

k2 _{1 6= 0, esto obliga a k a tomar valores distintos de 1 y 1:k 6= 1; 1} 43. La suma de dos números es 666 y si se divide el mayor entre el menor el

cociente es 5 y el residuo 78. Dichos números son:

Solución. En principio traducimos del lenguaje ordinario al lenjuaje algebraico

x1 : primer número (mayor) x2 : segundo número (menor)

x1+ x2 = 666 (1) x1 = 5x2+ 78 (2) x1+ x2 = 666 x1 5x2 = 78

Resolvemos el sistema por eliminación, multilplicando por ( 1) la ecuación (2) para eliminar x x1+ x2 = 666 x1+ 5x2 = 78 6x2 = 588 x2 = 588 6 x2 = 98 Sustituyendo en (2) x1 5x2 = 78 x1 = 78 + 5x2 x1 = 78 + 5 (98) x1 = 568 Sol.(568; 98)

44. Si suponemos que el cociente intelectual de Einstein era 170 y si éste se calcula al dividir la edad mental por la edad cronológica multiplicado por 100, la edad mental de Einstein cuando publicó en 1905 su teoría sobre el efecto fotoeléctrico era:

Solución. El coe…ciente intelectual (IQ), edad mental (EM ) y la edad cronológ-ica (EC)

IQ = EM EC 100

Si publicó su teroría del efecto fotoeléctrico en 1905 y según su biografía nació en 1879; entonces su edad cronológica era

1905 1879 = 26 Luego, IQ = EM EC 100 EM = IQ 100 EC EM = 170 100 26 EM = 44:2

45. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo, pero hace cinco años era cuatro veces más joven. ¿cuántos años tiene?

Solución. En principio traducimos del lenguaje ordinario al lenjuaje algebraico

x : edad actual del padre y : edad actual del hijo Planteamos el sistema x = 3y x 5 = 4 (y 5) Simpli…cando x 3y = 0 (1) x 4y = 15 (2)

Resolvemos por eliminación, multiplicando por ( 1) la ecuación (1) para eliminar x:

x + 3y = 0 x 4y = 15 (2) y = 15

y = 15 luego, el hijo tiene 15 años.

46. Un grupo de amigos fue a tomar unos refrescos y unas empanadas, y lo pusieron todo en una cuenta que ascendió a 36 córdobas. Todos iban a pagar por igual, pero tres de ellos se habían ido, por lo que a cada uno le tocó pagar 1 córdoba más. ¿cuántas personas conformaban el grupo original?

Solución. Digamos que x representa el número de personas en el grupo nx = 36 (n lo consumido por cada uno) (x 3) (n + 1) = 36 (se van 3 y agregan un córdoba) Despejemos n de la primera ecuación y sustituimos en la segunda, así

nx = 36 ! n = 36 x (x 3) (n + 1) = _{36 ! (x} 3) 36 x + 1 = 36 ! (x 3) 36 x + 1 = 36 ! (x 3) 36 + x x = 36 ! (x 3) (36 + x) = 36x ! 36x + x2 108 3x = 36x ! x2 3x 108 = 0

Llegamos a una ecuación cuadrática, factorizando resulta en x2 3x 108 = 0

(x 12) (x + 9) = 0

x = _{12 _ x = 9} tomamos la solución positiva, así habían 12 personas.

47. Un hombre entró en la cárcel para cumplir una condena. Para que su castigo fuera más duro no le dijeron cuanto tiempo tendría que estar allí dentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente y el preso le había caído bien.

Preso:¡vamos! ¿puedes darme una pequeña pista sobre el tiempo que tendré que estar en este lugar?

Carcelero:¿cuántos años tienes? Preso: veinticinco

Carcelero: yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, ¿qué día naciste? Preso: Hoy es mi cumpleaños

Carcelero: Increíble. ¡también es el mío!. Bueno, por si te sirve de ayuda te diré (no es que deba, pero lo haré) que el día que yo sea exactamente el doble de viejo que tú, ese día saldrás. ¿cuánto tiempo dura la condena del preso?

Solución.

Digamos que x es la edad del carcelero y y la edad del preso, esto sería x = 54

y = 25

Luego podemos establecer una relación entre las edades x y = 54 25

x = 29 + y

recordemos, que el preso saldrá cuando la edad del carcelero sea el doble que la del preso, es decir

2y = 29 + y 2y y = 29

y = 29

48. La suma de las cuatro raíces de la ecuación ax2+bx+c = 0 y ax2 bx+c = 0; con a 6= 0 y b2 4ac > 0 es igual a:

Solución. Las raíces de toda ecuación cuadrática están dadas por x = b

p

b2 _4ac 2a

Para la primera ecuación las raíces serán x1= b

p

b2 _4ac 2a

Para la segunda ecuación, tenemos x2= ( b)

p

b2 _4ac 2a

Luego la direncia será x1+ x2 = b p b2 _4ac 2a ! + b p b2 _4ac 2a ! x1+ x2 = 0

49. El número de soluciones de la ecuación x2 _{5 jxj + 2 = 0; si x 6= 0 es:} solución. Recordando la de…ción de valor absoluto podemos plantear lo

sigu-iente

x2 5x + 2 = 0 x2+ 5x + 2 = 0

hemos obtenido dos ecuaciones cuadráticas distintas, como cada una tiene 2 soluciones, la ecuación original poseerá 4 soluciones.

50. Si x es un número real distinto de cero, la solución de la proporción jxj₁₈ = x 7

Solución. jxj 18 = x 7 12 12 jxj = 18 (x 7) 12 jxj = 18x 126 12 jxj 18x + 126 = 0

Por la de…nición de valor absoluto, podemos plantear 12x 18x + 126 = 0 12x 18x + 126 = 0

Resolviendo la primera ecuación

12x 18x + 126 = 0 6x + 126 = 0 6x = 126 x = 126 6 x = 21

Para el segundo caso

12x 18x + 126 = 0 30x + 126 = 0 30x = 126 x = 126 30 x = 21 5 Evaluando la primera solución en la proporción resulta

jxj 18 = x 7 12 j21j 18 = 21 7 12 21 18 = 14 12 21 12 = 18 14