Funciones Exponenciales MECU 3031

Funciones

Exponenciales



Algunas funciones exponenciales siguen

el siguiente modelo:

𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑎

𝑥

+ 𝑐,

donde a, b, c son números reales tales que

a >0 y a ≠ 1,

y

b ≠ 0

Resumen de comportamiento



La función exponencial, f(x) = ba

x,

(para a , un

número positivo diferente de 1, b > 0 y x

cualquier número real) tiene las siguientes

características

Gráficas

Tracemos las gráficas de 𝐲 𝐡(𝐱) = 𝟏

𝟑

𝒙

También, por propiedades de los exponentes: y = 1 3 𝑥 = 3−1 𝑥 = 3−𝑥 f(x) = 3x

Gráficas (cont.)

Comparemos las gráficas de y h(x) = 1

3

𝑥

f(x) = 3x

Nota que estas funciones

exponenciales tienen en común: 1. el int-y es (0,1)

2. la asíntota horizontal es eje de x o sea y = 0

3. el dominio: todos los reales, campo de valores: y>0

Gráficas (cont.)

Tracemos la gráfica de y = 3x-2

Comparemos las tablas de valores de 3x _{y 3} x-2_:

y = 3x-2 _{es una traslación horizontal de dos}

unidades hacia la derecha de y = 3x _. 1. el dominio: −∞, ∞ , 2. campo de valores: 𝟎, ∞ 3. int-y ya NO es (0,1) 4. la asíntota horizontal y=0

Gráficas (cont.)

Tracemos la gráfica de y = 3

x

_{- 2}

x 𝑦 = 3𝑥 -3 ₂₇1 -2 1₉ -1 1₃ 0 1 1 3 2 9 3 27 Comparemos tablas de valores de 3x _{y 3}x _{– 2 :}

y = 3x_{-2 es una traslación vertical de}

dos unidades hacia la abajo de y = 3x Noten que la traslación vertical mueve también la asíntota

horizontal dos unidades hacia la abajo de y = 3x

1. el dominio: −∞, ∞ , 2. campo de valores: 𝟐, ∞ 3. int-y ya NO es (0,1) 4. la asíntota horizontal es y = -2

Paree cada función con su gráfica.

f(x) =

𝟐

𝒙

_{g(x) =}

𝟐 𝟑 𝒙

h(x) =

𝟑

𝒙

+ 𝟐

_{p(x) =}

𝟒

𝒙−𝟑 a) b) c) _d)

DEFINICION:

Llamamos la constante

𝑒

la base natural.

𝑒

_{es un número irracional.}

f(x) =

𝑒

𝑥



_{la función exponencial natural}

Por ejemplo:

𝒇 𝒙 = −𝟐𝒆

𝒙+𝟏

𝒈 𝒙 =

𝟏

𝟐

𝒆

𝟐𝒙

_{𝒉 𝒙 =}

₃

_𝒆

𝒙

_{− 𝟓}

La constante e

Ejemplo 5:

Graficar 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥, g 𝑥 = 𝑒−𝑥 , h 𝑥 = 𝑒𝑥 − 3

La función exponencial natural

¿Crecientes o decrecientes? • f(x) y h(x) son

_______________ en todo su dominio

• g(x) es _______________ Dominio y campo de valores • Dominio f(x), g(x) y h(x): • Campo de valores de f(x) y g(x) es ______, y el de h(x) es ___________. Asíntota horizontal: • f(x) y g(x): • h(x):

Ej. Utilice su calculadora para aproximar los

valores siguientes a 4 lugares decimales:

𝑎) 𝑒

2

_b)

𝑒

3.55

_{c) 3}

𝑒

0.5

_d)

𝑒

−1

La función de la base natural: e



Aquí se presenta la

gráfica de e

x

_{, al lado de}

2

x

y 3

x

.



Note: dominio: (-∞, ∞)

campo de valores

𝒚 > 𝟎

Interés

Compuesto Continuamente

Una aplicación de la base natural, e, es la fórmula de interés compuesto:

donde P = el principal (la inversión original) r = tasa de interés anual expresado

como un decimal

t = número de años que P se invierte

Ejemplo

 Suponer que $20,000 se depositan en una cuenta que

paga interés compuesto continuamente a una razón de 8% por año.

 Determine el balance en la cuenta luego de 5 años.

Solución:

 Aplicamos la fórmula anterior con P = 20000, r = 0.08 , y

t = 5 :

A = Pert _{= 20,000e}0.08(5)

= 20,000e0.4

Fórmula de crecimiento

La fórmula de interés compuesto es un caso particular de la

formula de crecimiento.

q = q

₀

e

rt ,

donde q es la cantidad final, q₀, es la cantidad inicial, r es la razon de

crecimiento (en decimal) y t la cantidad de años.

Ejemplo: La población de una ciudad en 1970 era 153,800.

Asumiendo que la población crece continuamente a una razón de 5% por año, determine en qué año la población de la ciudad alcanza 1 millón primera vez .

Para la solución aplicamos la fórmula de crecimiento con con…

Ejemplo (cont.)

población inicial: q₀ = 153,800 y razón de crecimiento: r = 0.05 ,

nuestra función de crecimiento es

q = 153,800e(0.05)(t)

Por ejemplo, si t = 30 tenemos

q = 153,800e(0.05)(30)

q ≈ 689,284

Vemos que después de 30 años, todavía no se ha alcanzado el millón.

La población será igual a 1 millón cuando 153,800e(0.05)(t) _{= 1,000,000.}

Ejemplo (cont.)

Usando la calculadora gráfica

153,800e

(0.05)(t)

= 1,000,000.

Ejemplo (cont.)

Usando la calculadora gráfica

153,800e

(0.05)(t)

= 1,000,000.

Teorema

• _{Las funciones exponenciales son crecientes o decrecientes}

en todo su dominio (monotónicas).

• _{Una función monotónica es una función uno-a-uno.}

Si f(x) = ax _{para 0 < a < 1 ó a >1}

se cumplen las siguientes condiciones:

• _{La propiedad uno-a-uno de las funciones exponenciales}

nos permite resolver ecuaciones exponenciales sencillas.

1. 𝑆𝑖 𝑥₁ ≠ 𝑥₂, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑥1 ≠ 𝑎𝑥2

2. 𝑆𝑖 𝑎𝑥1 ≠ 𝑎𝑥2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥

1 ≠ 𝑥2.

(cada valor de dominio tiene una imagen única, las y’s NO se repiten.)

Ejemplos

•

Hallar x tal que 7

3x

_{= 7}

2x + 5

_.

7

3x

_{= 7}

2x + 5

_{; dado}

3

x

= 2

x

+ 5; propiedad uno-a-uno de la

funciones exponenciales

3x

–

2x = 5 restar 2x en cada lado

x

= 5 .

No olviden que siempre pueden resolver con el método gráficos que se presentó en la lección sobre funciones exponenciales naturales.

Ejemplos

Ejemplos

•

_{Resolver para x,}

𝟏

𝟐

x – 3

=

𝟒

𝟐−𝒙

1 2 𝑥−3 = 42−𝑥 𝑑𝑎𝑑𝑜 1 2 𝑥−3 = 1 2 −2 2−𝑥 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 1 2 𝑥−3 = 1 2 −4+2𝑥 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 𝑥 − 3 = 2𝑥 − 4 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑢𝑛𝑜 𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 4−3 = 2𝑥 − 𝑥 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑥 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑑𝑜; 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟 4. 1 = 𝑥