ESCUELA DE MATEM ´
ATICA
DPTO. DE MATEM ´
ATICA APLICADA
MA 0001 PREC ´
ALCULO
FUNCIONES I
Daniel Mena Gonz´alez
Kattia Rodr´ıguez Ram´ırez
´Indice general
1.
An´alisis de gr´aficas
12.
Funci ´on Polinomial
111. Ra´ıces y factores de funciones de grado mayor o igual a tres . . . 17 2. Acercamiento al C´alculo . . . 25
3.
Funci ´on Racional
271. Fracciones algebraicas racionales . . . 32 2. Divisi ´on de polinomios y fracciones parciales . . . 40 3. Acercamiento al C´alculo . . . 49
4.
Funci ´on Radical
511. Racionalizaci ´on . . . 58 2. Acercamiento al C´alculo . . . 63
Cap´ıtulo
1
An´alisis de gr´aficas
En este cap´ıtulo interesa realizar el estudio de la gr´afica de una funci ´on real a partir de su re-presentaci ´on en el sistema de coordenadas cartesianas, a partir de la lectura y an´alisis de la gr´afica, en cuanto al dominio, ´ambito, imagen, preimagen, coordenadas de intersecci ´on con los dos ejes, ecuaci ´on de la as´ıntota vertical, horizontal u oblicua, intervalos donde la funci ´on es constante, estrictamente creciente y estrictamente decreciente, puntos m´aximos, puntos m´ıni-mos, intervalos donde la funci ´on es convexa (concavidad hacia arriba) o c ´oncava (concavidad hacia abajo), puntos de inflexi ´on, signo de la funci ´on (mayor o menor que cero, mayor o menor que un n ´umero dado).
A continuaci ´on se enuncian algunas definiciones b´asicas, adem´as en el esquema de la figura 1 se presentan algunos contenidos pr´acticos respecto al tema que ayudan a realizar el estudio de la gr´afica de una funci ´on real.
Definici ´on 1
Dada una funci ´on real f :Df → R si ]x1, x2[ ⊆ Df tal que a, b ∈]x1, x2[ donde
a < b si:
f(a) < f(b)se dice que f es unafunci´on estrictamente crecienteen]x1, x2[
f(a) > f(b)se dice que f es unafunci´on estrictamente decrecienteen]x1, x2[
Definici ´on 2
Dada una funci ´on real f :Df → R si ]a, b[ ⊆ Df tal que ∀x ∈ ]a, b[si:
f(x) > 0se dice que f es unafunci´on positivaen]a, b[
f(x) < 0se dice que f es unafunci´on negativaen]a, b[
Ejemplo 1. Considere el trazo de la gr´afica de la funci´on real f y determine el dominio, puntos de intersecci´on con los ejes, ´ambito, una preimagen de−1, el conjunto dondef es estrictamente creciente y constante, el m´aximo def, un punto m´aximo y m´ınimo local, un intervalo dondef es c´oncava, el punto de inflexi´on y la ecuaci´on de la as´ıntota vertical.
f :Df → R
Soluci ´on
Para dar respuesta a los distintos ´ıtemes consultados, se considera la teor´ıa expuesta anteriormente.
a. Dominio: −∞,−7 2 ∪ [−3,+∞[ b. ∩x: (−3,0), (−1,0), (1,0) c. ∩y: (0,1) d. Ambito:´ ]−∞,1] ∪ {2} e. Una preimagen de−1: −2
f. Conjuntof estrictamente creciente: ]−2,0[
g. Conjunto dondef es constante: ]2,+∞[
h. El valor m´aximo def es:2
i. Un punto m´aximo local es:(0,1)
j. Un punto m´ınimo local es:(−2,−1)
k. Un intervalo dondef es c´oncava: ]−1,2[
l. El punto de inflexi´on es:(−1,0)
m. Ecuaci´on de la as´ıntota vertical: x = −7 2
Cabe destacar que cuando se pregunta por conjunto se refiere al mayor intervalo real que cumple la con-dici´on dado.
Ejemplo 2. Considere el trazo de la gr´afica de la funci´on realhy determine el dominio, puntos de in-tersecci´on con los ejes, ´ambito, signo de una imagen, el conjunto dondef es estrictamente decreciente, punto m´ınimo local, un intervalo dondef es convexa, y la ecuaci´on de la as´ıntota oblicua.
h:Dh → R
Soluci ´on
Para dar respuesta a los distintos ´ıtemes consultados, se considera la teor´ıa expuesta anteriormente.
a. Dominio:R− {1}
b. ∩x: (−1,0)
c. ∩y: (0,2)
d. Ambito:´ R
e. Signo de la imagen de−123: negativo
f. Conjuntof estrictamente decreciente: ]1,2.8[
g. Un punto m´ınimo local es:(2.8,4.97)
h. Un intervalo dondef es convexa:]−∞,1[
i. Ecuaci´on de la as´ıntota oblicua si la pendiente es1:y=x+ 1
Ejercicios 1.
I.De acuerdo con la informaci´on de cada gr´afica responda, en los espacios delineados, lo solicitado.
1. f :Df → R 2. h:Dh → R Dominio: Dominio: ∩x: ∩x: ∩y : ∩y: ´ Ambito: Ambito:´
Una preimagen de−1: Imagen de−4:
Conjuntof estrictamente decreciente: Conjuntohestrictamente creciente: Conjunto soluci´onf(x)>0: Conjunto soluci´onh(x)>2: Intervalo donde f es c´oncava: Intervalo dondehes convexa: Ecuaci´on as´ıntota vertical: Ecuaci´on as´ıntota horizontal:
Conjeture:
¿Hacia donde tienden los valores def(x)cuandox
se aproxima a 2 por la izquierda o derecha?
El comportamiento de los valores def(x)cuandox
se aproxima a−3por la izquierda o derecha. ¿Si la funci´onf es continua en el intervalo
3. p:Dp → R 4. m :Dm → R Dominio: Dominio: ∩x: ∩x: ∩y : ∩y: ´ Ambito: Ambito:´
Imagen de4: Una preimagen de3:
Un intervalo dondepes decreciente: Un intervalo dondemes creciente: Conjunto soluci´onp(x)<0: Conjunto soluci´onm(x)>0: Intervalo dondepes convexa: Intervalo dondemes convexa:
Ecuaci´on as´ıntota vertical: Ecuaci´on as´ıntota oblicua si la pendiente es−1:
Ecuaci´on as´ıntota horizontal: Ecuaci´on as´ıntota vertical: Valor num´erico dep(−2)·p(4): Valor num´erico de3m(10):
Conjeture: Conjeture:
¿Hacia donde tienden los valores dep(x)cuandox ¿Qu´e sucede a los valores dem(x)cuandox
Cabe destacar que el signo de una funci ´on se puede responder a partir del trazo de la gr´afica como se trabaj ´o en los ejemplos anteriores, pero tambi´en a partir del criterio de la funci ´on lo cual se explica en la siguiente secci ´on.
Ejercicios Complementarios 1.
1. Determinar a partir de la gr´afica de la funci´onf:
i. Dominio
ii. Ambito´
iii. Intersecciones con los ejes
iv. Intervalos de monoton´ıa. Puntos m´aximos y m´ınimos (locales, absolutos)
v. Intervalos de concavidad. Puntos de inflexi´on.
vi. Ecuaciones de las as´ıntotas (si corresponde)
viii. Signo de la funci´on (f(x)<0,f(x)>0)
a.
c.
e.
f.
Cap´ıtulo
2
Funci ´on Polinomial
Muchos fen ´omenos que se presentan a su alrededor est´an modelados por algunas funciones reales, este cap´ıtulo se dedicar´a a una de ellasla funci´on polinomial; donde, se mencionan algu-nos contenidos algebraicos necesarios para trabajar con este tipo de funci ´on como t´ecnicas de factorizaci ´on, teorema del factor, del residuo y divisi ´on sint´etica.
Una funci ´on polinomial se define como
f :R→R, f(x) = anxn+an−1xn−1+...+a2x2+a1x+a0; dondean, ... , a0 ∈ R,
an6= 0y los exponentes de la variablexson n ´umeros naturales
Las funciones polinomiales se pueden clasificar seg ´un el grado de la variable, por ejemplo:
Funci ´on constante f :R→R, f(x) = a0
Funci ´on lineal f :R→R, f(x) = a1x+a0, cona1 6= 0
Funci ´on cuadr´atica f :R→R, f(x) = a2x2+a1x+a0, cona2 6= 0
Funci ´on c ´ubica f :R→R, f(x) = a3x3+a2x2+a1x+a0, cona3 6= 0
Si el criterio de la funci ´on es de grado mayor o igual que cuatro las funciones se pueden nom-brar comofunci´on de cuarto ordeny as´ı sucesivamente.
Aparte de conocer el nombre de las funciones es importante conocer el trazo de la gr´afica para algunas funciones b´asicas, las coordenadas de intersecci ´on con los ejes, as´ı como el ´ambito.
Ejemplo 3. A continuaci´on se muestran las gr´aficas de ciertas funciones polinomiales, observe su trazo y responda la informaci´on solicitada en cada caso.
1. g :R → R, g(x) = x 2. h:R → R, h(x) = x2 ∩x: ∩x: ∩y : ∩y : ´ Ambito: Ambito:´ 3. k :R → R, k(x) = x3 4. m:R → R, m(x) = x4 ∩x: ∩x: ∩y : ∩y : ´ Ambito: Ambito:´
Cuando al criterio de las funciones b´asicas se le aplican algunas transformaciones las coordena-das de intersecci ´on con los ejes cambian, y se necesitan de algunos procedimientos algebraicos para poder determinar ´estas si no se cuenta con el trazo de la gr´afica.
Ejemplo 4. A continuaci´on se muestran algunos ejemplos de funciones reales con sus respectivas gr´afi-cas, observe su trazo y responda la informaci´on solicitada en cada caso.
1. f :R → R, f(x) = 3 2x−5 2. h:R → R, h(x) = −x 2+ 3 ∩x: ∩x: ∩y: ∩y : 3. g :R → R, g(x) = x3−1 4. p: R → R, p(x) = x4+ 1 ∩x: ∩x: ∩y: ∩y :
Ahora bien, si en un ejercicio se da el criterio de la funci ´on pero no su representaci ´on gr´afica, conviene conjeturar acerca del contenido matem´atico que puede utilizar para determinar las coordenadas de intersecci ´on con los ejes:
a. Ejex
b. Ejey
Por ejemplo, para determinar las coordenadas de intersecci ´on de la gr´afica del item2, 3y4del ejemplo2con los ejes coordenados puede utilizar alguna de las t´ecnicas de factorizaci ´on para escribir el criterio de la funci ´on de forma factorizada, de ah´ı que es importante estudiar algunas de esas t´ecnicas (ver figura 1).
Figura 1. T´ecnicas de factorizaci ´on1
Ejemplo 5. Considere las funciones dadas, factorice el criterio y determine los puntos de intersecci´on con el ejex. a. h:R → R, h(x) = −x2+ 3 b. g :R → R, g(x) = x3−1 c. p:R → R, p(x) = x4+ 1 Soluci ´on
Como el criterio de la funci´on hy g est´an formados por polinomios que constan de dos t´erminos se apli-ca la t´ecniapli-ca de diferencia de cuadrados y diferencia de cubos, de acuerdo con la informaci´on de la figura 1.
a. h:R → R, h(x) = −x2+ 3
Al determinar la ra´ız cuadrada de cada uno de los t´erminos del binomio el criterio de la funci´onh
se reescribe como:
h(x) = 3−x2
h(x) = √3−x √
3 +x
Ahora, se iguala el criterio a0y se resuelve la ecuaci´on para determinar los puntos de intersecci´on ejex. 0 = (√3−x)(√3 +x) ⇔0 = √3−x o 0 = √3 +x Aplique el teorema:a·b = 0 ⇔ a = 0, b = 0 ⇔x = ± √3 ∴ ∩x: −√3,0 , √3,0 b. g :R → R, g(x) = x3−1
Al determinar la ra´ız c ´ubica de cada uno de los t´erminos del binomio el criterio de la funci´ong se reescribe como:
g(x) = (x−1) (x2+x+ 1)
Ahora, se iguala el criterio a0y se resuelve la ecuaci´on para determinar los puntos de intersecci´on ejex.
0 = (x−1) (x2+x+ 1) Aplique diferencia de cubos
⇔0 = x−1 o 0 = x2+x+ 1 Aplique el teorema:a·b = 0 ⇔ a = 0, b = 0
⇔x = 1, dado que el trinomiox2+x+ 1tiene∆<0y no tiene ceros reales.
∴ ∩x: (1,0)
Es importante aclarar aqu´ı que para estas dos funciones la calculadora cuenta con el m´odulo de resoluci´on de ecuaciones cuadr´aticas y c ´ubicas. A continuaci´on se muestra la ruta a seguir:
• Tecla MODE
• Tecla 5 (EQN)
• Tecla 3 (ax2+bx+c= 0) o Tecla 4 (ax3+bx2+cx+d= 0)
• Se introduce cada coeficiente num´erico seguido de la tecla =
• Se oprimie la tecla = y se muestran las ra´ıces o soluciones
c. p:R → R, p(x) = x4+ 1
El criterio de la funci´onpcorresponde a una suma de binomios de grado 4y al observar su gr´afica se concluye que s´olo interseca al eje y, lo cual podr´ıa interpretarse como que el polinomio no se factoriza; sin embargo, resulta esto no puede generalizarse puesto que, la t´ecnica de completar el cuadrado (que se analizar´a en la segunda parte del curso) permite obtener su factorizaci´on con dos factores cuadr´aticos irreducibles.
Lo anterior se refiere a quep(x) = x2+√2x+ 1
x2−√2x+ 1
Ejercicios 2.
I.Reescriba los criterios de las funciones dadas con dominio y codominioRde forma factorizada y escriba
los puntos de intersecci´on de la gr´afica de la funci´on con los ejes coordenados, si existen.
a. f(x) = x2−5
b. g(x) =x5+x4+ 3x3+ 3x2+ 2x+ 2
d. p(x) =x4−9
Hasta el momento las funciones que se han trabajado tienen por criterio un polinomio de grado uno, dos o cuatro; a continuaci ´on se presentan algunos polinomios de grado mayor o igual que tres para determinar los puntos de intersecci ´on de la gr´afica de una funci ´on con el ejex, para ello se requiere aplicar otros contenidos los cuales se explican en el siguiente apartado.
2.1.
Ra´ıces y factores de funciones de grado mayor o igual a tres
Para determinar las coordenadas de intersecci ´on con el ejexde la gr´afica de una funci ´on cuyo criterio es un polinomio de grado mayor o igual a tres puede aplicar la t´ecnica de factorizaci ´on usando divisi ´on sint´etica, pero antes es necesario hacer referencia a dos teoremas.
Teorema del residuo:
Teorema
Si un polinomioP(x)se divide por un binomio de la formax−b, conb ∈Rel residuo de la divisi ´on esP(b)
Ejemplo 6. Si el criterio de la funci´onf : R → R, f(x) = 2x3−7x−6se divide por el binomio
(x−3)determine el residuo de esta divisi´on.
Soluci ´on
Si se aplica el teorema anterior el residuo se obtiene al evaluar la funci´on enx = 3, es decir determinar
f(3), as´ı que
f(3) = 2·(3)3−7·3−6
f(3) = 27
Teorema del factor:
Teorema
Ejemplo 7. Para la funci´on p : R → R, p(y) = 2y3 −5y2−y+ 6 determine si las expresiones
y+ 2, y+ 1son factores del criterio de la funci´onp.
Soluci ´on
Si se aplica el teorema del factor, al evaluarp(−2)yp(−1)se debe obtener 0, es decir, se busca verificar que p(y)
y+ 2 y que
p(y)
y+ 1 tengan como residuo cero, as´ı que
p(−2) = 2·(−2)3−5·(−2)2−(−2) + 6 p(−2) =−28 Comop(−2) 6= 0⇒y+ 2 no es un factor dep(y) p(−1) = 2·(−1)3−5·(−1)2−(−1) + 6 p(−1) = 0 Comop(−1) = 0⇒y+ 1 si es un factor dep(y)
Ejemplo 8. Para la funci´onf :R → R, f(x) = 2x3−x2−13x−6determine six= −1
2 es una ra´ız
def(x).
Soluci ´on
Al aplicar los teoremas anteriores se debe evaluar f
−
1 2
y si el residuo es cero esto significa que
x= −1 2 es una ra´ız de laf(x): f − 1 2 = 2 − 1 2 3 − − 1 2 2 −13· − 1 2 −6 f − 1 2 = 0 ⇒ x = −1
2 es una ra´ız o cero de la funci´on, adem´as se puede afirmar que el par ordenado
−1 2 ,0
es una intersecci´on de la gr´afica de la funci´on con el ejex. Por otro lado, se tiene quex+1
Ejemplo 9. Para la funci´ong :R → R, g(y) =y3−4y2+ky−k+ 6 con k ∈
Runa constante si
se sabe quey+ 2es un factor deg(y)determine el valor de la constanteky el criterio de la funci´ong.
Soluci ´on
Comoy+ 2es un factor deg(y)al aplica el teorema del factor esto significa queg(−2) = 0:
g(−2) = (−2)3−4·(−2)2+ (−2)·k−k+ 6 0 =−18−3k
18 =−3k
−6 =k
Luego, al sustituir el valor dek =−6en el criterio de la funci´on se obtieneg(y) =y3−4y2−6y+12 Ahora bien, conociendo los dos teoremas ( del residuo y del factor), hace falta enunciar el pro-cedimiento de la divisi ´on sint´etica para factorizar o para determinar las ra´ıces del criterio de una funci ´on.
El procedimiento de ladivisi´on sint´eticase fundamenta en que sibes unara´ızo uncerode un po-linomio en una variable entonces(x−b)es una factor del polinomio y por ende un factor de la factorizaci ´on completa del criterio de la funci ´on. La divisi ´on sint´etica es un m´etodo abreviado en donde se trabaja con los coeficientes num´ericos del polinomio y se utilizan las operaciones aritm´eticas de multiplicaci ´on y suma.
Para determinar el valor de b que hace cero a una funci ´on polinomial f : R → R, f(x) =
anxn+an−1xn−1+...+a2x2+a1x+a0; conan, ... , a0 ∈ Z,an 6= 0donde el grado den > 1hay
que determinar loscocientes c
d
entre losdivisores del t´ermino constante(a0)del polinomiocon
los divisores del coeficiente del t´ermino de mayor exponente (an) , llamadocoeficiente principal. A
este resultado se le conoce comoteorema de las ra´ıces racionales. Para realizar este procedimiento el criterio de la funci ´on debe estar ordenado en forma descendente.
Ejemplo 10. Para la funci´on g : R → R, g(x) = 2x3 −x2 −13x−6 determine los puntos de
intersecci´on de la gr´afica con los ejes coordenados, si existen.
Soluci ´on
Para determinar el par ordenado de intersecci´on con el ejeybasta con determinar la imagen de 0, dado que es un elemento del dominio de la funci´on:
g(0) = 2·(0)3−(0)2−13·0−6
g(0) =−6
⇒ ∩y: (0,−6)
Para determinar el par ordenado de intersecci´on de la gr´afica de la funci´on con el eje x se utiliza la divisi´on sint´etica, teorema del residuo y del factor, para ello hay que determinar todos los divisores del coeficiente de grado cero (t´ermino constante) y los divisores del coeficiente principal en el criterio de la funci´ong(x) = 2x3−x2−13x−6.
Los divisores de6son{±1, ±2, ±3, ±6}
Los divisores de2son {±1, ±2}
Las posibles ra´ıces o ceros racionales son
±1, ±2, ±3, ±6, ±1 2, ± 3 2
Cabe indicar que las posibles ra´ıces racionales enteras son {±1, ±2, ±3, ±6}y las racionales no enteras son ±1 2, ± 3 2
Realice la divisi´on sint´etica con cada una de las posibles ra´ıces racionales, aquella donde el residuo de la divisi´on sea cero significa que ya tiene un cero de la funci´on.
2 -1 -13 -6 1 2 1 -12 2 1 -12 - 18
Note quex= 1no es un cero de la funci´on porque el residuo es−18y no0
Esto implica que debe continuar probando hasta determinar los ceros de la funci´on, si es que los hay. 2 -1 -13 -6 -2
-4 10 6 2 -5 -3 0
Note quex=−2es un cero de la funci´ong porque el residuo es0
Busque si la funci´on tiene otros ceros, para ello puede continuar con divisi´on sint´etica o bien ana-lizar el ∆de la expresi´on 2x2 −5x−3 que es el polinomio resultante despu´es de realizar la primera divisi´on donde el residuo es cero.
2 -5 -3 3 6 3 2 1 0
x= 3es otro cero de la funci´ong porque el residuo es0
Luego, se obtiene la expresi´on2x+ 1y el valor que la hace cero es x= −1 2 ∴ ∩x son (−2,0), (3,0) y − 1 2 ,0
Ejemplo 11. Para la funci´onp:R → R, p(x) = x4+7x3+17x2+17x+6 determine la factorizaci´on
completa del criterio y las coordenadas de intersecci´on de la gr´afica con el ejex.
Soluci ´on
Para determinar la factorizaci´on del criterio de la funci´on se utiliza divisi´on sint´etica, el teorema del re-siduo y del factor, por eso hay que determinar todos los divisores del coeficiente de grado cero (6) y los divisores del coeficiente principal (1) para la funci´on.
Los divisores de6son{±1, ±2, ±3, ±6}
Los divisores de1son {±1}
Las posibles ra´ıces o ceros racionales son {±1, ±2, ±3, ±6}
Realice la divisi´on sint´etica con cada una de las posibles ra´ıces racionales, aquella donde el residuo de la divisi´on sea cero significa que ya tiene un cero de la funci´on.
1 7 17 17 6 -1 -1 -6 -11 -6 1 6 11 6 0
x=−1es un cero depporque el residuo es0yx+ 1es un factor
Contin ´ue probando hasta determinar otros ceros de la funci´on, si es que los hay. 1 6 11 6 -2
-2 -8 -6 1 4 3 0
x=−2es otro cero de la funci´on porque el residuo es0y el factor esx+ 2
Busque si la funci´on tiene otros ceros, para ello puede seguir haciendo uso de divisi´on sint´etica o puede analizar el∆de la expresi´onx2+ 4x+ 3que es el polinomio resultante despu´es de realizar la segunda divisi´on donde el residuo es cero.
Observe los factores dep(x)
p(x) =x4+ 7x3 + 17x2+ 17x+ 6
p(x) = (x+ 1)(x+ 2)(x2+ 4x+ 3) como el∆ > 0puede usar inspecci´on para factorizar
el trinomio cuadr´atico
p(x) = (x+ 1)(x+ 2)(x+ 1)(x+ 3)
Para determinar las coordenadas de intersecci´on de la gr´afica de la funci´on con el ejex, basta con determinar las preimagenes de0, as´ı se tiene que
0 = (x+ 1)2(x+ 2)(x+ 3)
⇔0 = x+ 1 ∨ 0 = x+ 2 ∨ 0 = x+ 3 Aplique el teorema:a·b = 0 ⇔ a = 0, b = 0
⇔x= −1 ∨ x= −2 ∨ x= −3
∴ ∩x son (−3,0), (−2,0) y (−1,0)
Ejercicios 3.
I.Considere las funciones dadas en su m´aximo dominio y codominioRreescriba los criterios de las
fun-ciones en forma factorizada, y determine los puntos de intersecci´on de la gr´afica de la funci´on con el eje
x.
a. f(x) = x2(x+ 2)−5(x+ 2)
b. g(x) = 4x3−4x3−x+ 1
c. h(x) = 3x4−4x3−2x2−5x+ 2
d. p(x) = (x3+ 8)−4(x+ 2)
II.Considere las funciones con dominio y codominioR, determine si la expresi´on dada es un factor de la
funci´on.
a. f(x) = x3+ 5x2+ 6x+ 8, (x−4)
b. g(x) = 2x4−x3+x2−2x−6, (2x−3)
III. Para la funci´onp : R → R, p(m) = 2m3− 1
6km
2−3km+ 9 con k ∈
Runa constante, si se
sabe quem = 3es una ra´ız dep(m)determine el valor de la constanteky el criterio de la funci´onp.
IV.Para la funci´onr :R → R, r(x) =x4−7x2+ 12compruebe six=√3es un cero de la funci´on,
Ejercicios Complementarios 2.
1. Factorice completamente el criterio de las funciones dadas con dominioR.
a. f(x) =x4+ 2x3−x−2 b. P(x) = −14x2+ 23x−3 c. g(x) = 4x3−3x+ 1 d. h(x) = 6x8+ 17x4+ 12 e. j(t) = (t3−125)−(t−5)3 −5t3(t−5) f. m(x) = 9x4−63x3 + 10x5+ 4x2+ 12x g. Q(x) = x2(x−√5) + 4(x2−5) h. M(t) = (t+ 1)3 + (t−3)3
Factorizaci´on con sustituci´on
Considere el criterio de la funci´onk(x) =x43 −13x 2 3 + 36.
Note que no es una funci´on polinomial pero si se realiza unasustituci ´onel criterio puede tomar la apariencia de una polinomial.
Observe que x43 = x2· 2
3 y usando la propiedad de potencias ymn = (ym)n = (yn)m entonces se
tiene a convenienciax43 =
x23
2
. Al reescribir el criterio se obtiene
k(x) =x23
2
−13x23 + 36
se evidencia que la expresi´onx23 est´a repetida en dos t´erminos, por ello la sustituci´on que se hace
Con lo anterior se obtiene una nueva funci´on con criterio
q(t) = t2−13t+ 36
¿Cu´al es la factorizaci´on de este nuevo criterio?
Por lo tanto, el criterio de la funci´onkse puede expresar como
k(x) = ( )( )
2. Factorice el criterio de la funci´on definida pors(x) = 3(x+ 4)2+ (x+ 4)−2haciendo una
susti-tuci´on. ¿ Puede resolverse el ejercicio de otra forma?
4. Determine el criterio de una funci´on polinomial f que satisfaga las condiciones dadas. Utilice el teorema del factor.
a. Grado 4; coeficiente dex4es 1; ceros−2,±1,4
b. Grado 3; ceros−4,3,0;f(−2) = −36
5. Si el criterio de la funci´onT est´a dado porT(x) = x3−8x+m y tiene como factor al polinomio
x+ 3, determine el valor dem.
6. Determine el o los valores dek ∈Rpara que el residuo de la divisi´on entref(x) = 3x2−4kx+ 1
y d(x) = x + 3 sea −20. Las funciones f y d se consideran definidas en su dominio m´aximo y codominioR
7. Sif(x) =x2−3x−1se divide pord(x) =x−c, c∈ R, se tiene que el residuo es3. Determine el o los valores dec
8. Considere la funci´onP definida porP(y) = y4−(3 +k)y3 + (2 + 3k)y2−2ky, conk ∈
Runa
constante.
a. Verifique que0yk son ceros deP(y).
b. Determine la factorizaci´on completa deP(y)
c. Determine los otros ceros deP(y)
9. Determine los puntos de intersecci´on con los ejes de las gr´aficas de las siguientes funciones dado su criterio y con dominioR
a. P(x) = 8−x3
c. T(x) = x4−12x3+ 48x2−64x d. G(t) = −1 4 (t−2) 2(t+ 2)2 e. R(x) =x4−9x2 f. S(t) = 1−t6
2.2.
Acercamiento al C´alculo
En el curso de C´alculo para determinar el l´ımite al infinito de criterios de funciones formadas por el cociente de funciones polinomiales se utiliza la t´ecnica de obtener un factor del criterio de la funci ´on polinomial que no es com ´un a todos los t´erminos del mismo. De hecho, el factor es la potencia mayor de la variable del polinomio.
A continuaci ´on se muestra c ´omo proceder con el criterio de la funci ´onq(x) =−x3+x2−3x+ 1:
1. El factor que se desea obtener esx3
2. El otro factor se obtiene dividiendo cada t´ermino con el factorx3
3. Se tiene queq(x) =x3 −x3 x3 + x2 x3 − 3x x3 + 1 x3
4. Como paso final se simplifica y el criterio toma la aparienciaq(x) =x3
−1 + 1 x − 3 x2 + 1 x3
Ejemplo 12. Calcular el l´ımite dado por l´ım
x→−∞
−x3+x2−3x+ 1
x2+ 1
Soluci ´on
Para calcular el l´ımite se utiliza lo explicado en este apartado.
l´ım x→−∞ −x3+x2−3x+ 1 x2+ 1 = x→−∞l´ım x3 −1 + 1 x − 3 x2 + 1 x3 x2 1 + 1 x2 = l´ım x→−∞ x −1 + 1 x − 3 x2 + 1 x3 1 + 1 x2 = +∞
Nota: una expresi´on como l´ım
x→−∞
1
x es igual a cero cuandoxtiende a± ∞.
Ejercicios 4.
Escriba el criterio de cada funci´on como producto de dos factores tal y como se realiz´o en el ejemplo anterior. a. M(x) =−6x2−12x+ 1−4 5x 3 b. N(x) =−3x2+ 4x+ 5 c. Q(x) = 2x4−3x2+ 1
Cap´ıtulo
3
Funci ´on Racional
Este cap´ıtulo se dedicar´a al estudio de algunas caracter´ısticas de la funci´on racional en cuan-to a su gr´afica, dominio, as´ıncuan-totas, intersecciones con los ejes; adem´as, se mencionan algunos contenidos algebraicos necesarios para trabajar con este tipo de funci ´on como simplificaci ´on, suma y resta de fracciones algebraicas racionales, divisi ´on de polinomios, y fracciones parciales.
Una funci ´on racional se define como
f : R− {x ∈ R/ Q(x) = 0} → R, f(x) = P(x)
Q(x) dondeP(x), Q(x) son
polinomios
Es importante notar que el m´aximo dominio de una funci ´on racional est´a formado por el con-junto de los n ´umeros reales menos los valores que hacen cero al denominador; es decir, hay que determinar las restricciones al resolver una ecuaci ´on que depende del grado del polinomio del denominador.
Ejemplo 1. Para las siguientes funciones dadas determine el m´aximo dominio de cada una de ellas.
a. h:Dh → R, h(x) = 2 x−3 b. g :Dg → R, g(x) = 1 4x2−25 c. p:Dp → R, p(x) = 1 x3−1 Soluci ´on
Hay que buscar las restricciones para cada una de la funciones.
a. Para la funci´onhhay que resolver
x−3 = 0
⇔ x = 3
∴ Dh = R − {3}
b. Para la funci´ong hay que resolver
4x2−25 = 0 ⇔ x2 = 25 2 ⇔ x = ± 5 2 ∴ Dg = R − −5 2, 5 2
c. Para la funci´onphay que resolver
x3−1 = 0
⇔x3 = 1
⇔ x = 1
∴ Dp = R − {1}
Es importante conocer el trazo de la gr´afica para la funci ´on est´andar racional, y las coordenadas de intersecci ´on con los ejes, as´ı como el ´ambito de la funci ´on.
Ejemplo 2. A continuaci´on se muestra la gr´afica de una funci´on racional, observe su trazo y responda la informaci´on solicitada en cada caso. Justifique sus respuestas.
f :Df → R, f(x) = 1 x Dominio: ∩x: ∩y: ´ Ambito:
Como pudo observar en el ejemplo2, el trazo de la gr´afica de esta funci ´on racional no interseca
a los ejes. Justifique este resultado .
Para determinar las coordenadas de intersecci ´on de la gr´afica de la funci ´on con el ejex, hay que resolver la ecuaci ´on:
0 = P(x)
Q(x)
⇔ P(x) = 0, conQ(x) 6= 0
Ejemplo 3.
Determine los puntos de intersecci´on de la gr´afica de la funci´ong :R − {3} → R, g(x) = x
3−2x
x−3
con los ejes coordenados si existen.
Soluci ´on
a. ∩x: (x,0), para la funci´onghay que resolver
0 = x
3−2x
x−3
⇔ 0 = x3−2x, conx−3 6= 0
⇔ 0 = x x−√2 x+√2 Aplique: factor com ´un y diferencia de cuadrados
⇔0 = x ∨ 0 = x−√2 ∨ 0 = x+√2 Aplique el teorema:a·b = 0 ⇔ a = 0, b = 0
⇔x= 0 ∨ x= √2 ∨ x= −√2
∴ ∩x son −√2,0, (0,0), √2,0
b. ∩y : (0, y) Note que ya la obtuvo anteriormente pues(0,0)es tambi´en intersecci´on con ejey
Adem´as, la gr´afica de una funci ´on racional puede presentar as´ıntotas verticales, horizontales u oblicuas (algunas veces llamada inclinada).
La gr´afica de la funci ´on del ejemplo 2, g:R − {0} → R, g(x) = 1
x tiene as´ıntota vertical y
horizontal, cuyas ecuaciones est´an dadas por: x= 0 (valor que hace cero al denominador del criterio de la funci ´on) y y= 0 (dado que no existe la imagen de0).
Para determinar si una recta de la formax=ces una as´ıntota vertical de la gr´afica de la funci ´on racional determine si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
Definici ´on 3
las im´agenes de la funci ´on tienden a ±∞ (toman valores infinitamente peque ˜nos o grandes) cuando el valor de x tiende ac+(se leecpor la derecha) y esto es quextoma valores cercanos a cpero mayores, o a c− (se leec por la izquierda), es decir, que x
toma valores cercanos acpero menores.
Una recta de la forma y = b es una as´ıntota horizontal de la gr´afica de la funci ´on racional cuando:
Definici ´on 4
las im´agenes de la funci ´on tienden a b cuando el valor de x tiende a±∞
Una recta de la formay=mx+bes una as´ıntota oblicua de la gr´afica de la funci ´on racional si:
Definici ´on 5
las im´agenes de la funci ´on tienden o se aproximan a las im´agenes de la rectay=mx+b
cuando el valor de x tiende a±∞
Ejemplo 4. A continuaci´on se muestran las gr´aficas de ciertas funciones racionales, observe su trazo y responda la informaci´on solicitada en cada caso.
g :Dg → R, g(x) = 2 + 1 x+ 1 h:Dh → R, h(x) = x2−2x+ 1 x+ 1 Dominio: Dominio: ∩x: ∩x: ∩y: ∩y: ´ Ambito: Ambito:´
Ecuaci´on As´ıntotas: Ecuaci´on As´ıntotas:
k:Dk → R, k(x) = 1 x2 m:Dm → R, m(x) = x x+ 2 Dominio: Dominio: ∩x: ∩x: ∩y: ∩y: ´ Ambito: Ambito:´
Despu´es de estudiar algunas gr´aficas de funciones racionales cabe preguntarse ¿qu´e contenidos matem´aticos puede utilizar para reescribir el criterio de la funci ´on de la izquierda (ver cuadro1) como el de la derecha? Para ello considere las funciones en su m´aximo dominio y con codominio R: i(x) = (x−3) x(x−3)(2x+ 1)
7
−
→
i1(x) = 1 x(2x+ 1) h(r) = r 3+r2−25r−25 r2−257
−
→
h1(r) =r+ 1 p(x) = 3 2x − 2 x+ 17
−
→
p(x) = −x+ 3 2x(x+ 1) q(a) = a 2−2a+ 1 a+ 17
−
→
q(a) = a−3 + 4 a+ 1 m(t) = −3t−9 t2−t−27
−
→
m(t) = −5 t−2+ 2 t+ 1 Cuadro 1.En este curso el estudiante debe ser capaz de expresar el criterio de una funci ´on racional en forma simplificada, mediante una sola fracci ´on, mediante fracciones m´as simples los cuales se estudiar´an en los siguientes apartados.
3.1.
Fracciones algebraicas racionales
Para simplificar el criterio de una funci ´on racional o para reducir dos o m´as criterios de una funci ´on formados por fracciones algebraicas racionales se utiliza el concepto de simplificaci ´on y el de suma y resta de fracciones algebraicas racionales. Para ello analice la informaci ´on del esquema de la figura 2.
Figura 2. Operaciones con expresiones algebraicas racionales1 Ejemplo 5. Simplifique al m´aximo el criterio de las siguientes funciones.
a. f : R → R, f(x) = x 3 −8 2x2+ 4x+ 8 b. g :R − −√3,√3 → R, g(x) = x− √ 3 x2 −3 Soluci ´on
Para simplificar los criterios de las funciones compruebe si se puede aplicar alguna t´ecnica de factoriza-ci´on y aplique alguno de los procedimientos enunciados en el esquema de la figura 2.
a. Note que no hay ning ´un valor dexque haga cero al denominador de la funci´onf, por eso el domi-nio de la funci´on esR
f(x) = x
3 −8
2x2+ 4x+ 8
f(x) = (x−2)(x
2+ 2x+ 4)
2(x2+ 2x+ 4) Factorice por: diferencia de cubos y factor com ´un
f(x) = (x−2)
2 Aplique la ley de cancelaci´on
Por lo tanto, el nuevo criterio de la funci´on simplificado corresponde a f1 : R → R, f1(x) =
x−2 2
b. Note que la funci´ong si se eval ´ua enx=−√3, x =√3su resultado tiene cierta forma, observe:
g(x) = x− √ 3 x2−3 g(√3) = √ 3−√3 √ 32 −3 g(√3) = 0
0 Esta expresi´on se conoce con el nombre de forma indeterminada
Esto significa que g(√3)no est´a definida, en el trazo de la gr´afica de la funci´on no existe el par ordenado √3, g(√3) lo que aparece es un agujero (ver figura 3). Esta forma indeterminada se estudia con detalle en la parte de l´ımites en el curso de C´alculo. Adem´as, en este caso la gr´afica de la funci´ong tiene una as´ıntota verticalx=−√3 y la ecuaci´on de la as´ıntota horizontal esy= 0
Figura 3.
Al evaluar la funci´ongenx= −√3se tiene
g(x) = x− √ 3 x2−3 g(−√3) = − √ 3−√3 −√32−3 g(−√3) = −2 √ 3 0
Como el criterio de la funci´on tiene por denominador 0 esto indica que al acercarse a x = −√3
por la izquierda o por la derecha las im´agenes tienden a−∞ o ∞ respectivamente, por lo que
x=−√3 es la ´unica as´ıntota vertical.
Luego de analizar el comportamiento de la funci´on se aplica alguna de las t´ecnicas de factorizaci´on para simplificar el criterio de la funci´ongy eliminar la forma indeterminada 0
0. g(x) = x− √ 3 x2−3 g(x) = x− √ 3 x−√3 x+√3, conx 6= √ 3 g(x) = 1
x+√3 La cual corresponde a una nueva funci´on
∴ g1 : R −
−√3 → R, g1(x) =
1
x+√3
Donde su gr´afica corresponde al trazo de la figura 4 y no aparece el agujero.
Figura 4.
Ejemplo 6. Reescriba el criterio de las siguientes funciones mediante una sola fracci´on y determine su dominio m´aximo. a. p: Dp → R, p(x) = 3 2x − 2 x+ 1 b. g : Dg → R, g(x) = x−1 x2−7x+ 12 + 2 −4x+x2
Soluci ´on
Para poder simplificar los criterios de las funciones hay que aplicar los procedimientos enunciados en el esquema de la figura 2.
a. p(x) = 3 2x−
2
x+ 1 Se determina el m´ınimo denominador com ´un
p(x) = 3(x+ 1)−2·2x
2x(x+ 1) Se homogenizan las fracciones
p(x) = 3x+ 3−4x
2x(x+ 1) Se realizan las operaciones en el numerador
p(x) = 3−x
2x(x+ 1) Se simplifica
Para determinar el m´aximo dominio note que la funci´onpest´a formada por la resta de dos funcio-nes racionales y hay que utilizar la siguiente definici´on:
Definici´on
Considere las funcionesf : Df → R yg : Dg → R donde (f − g) (x) =f(x) − g(x),
(f − g) : Df ∩ Dg → R
La definici´on anterior indica que para determinar el m´aximo dominio de una resta de funciones hay que hallar el dominio de cada una de las funciones involucradas y luego buscar la intersecci´on entre ellos. As´ı que:
p(x) = 3 2x− 2 x+ 1 donde p1(x) = 3 2x y p2(x) = 2 x+ 1 Luego, Dp1 =R − {0} Dp2 =R − {−1} ∴ p: R − {0} ∩ R − {−1} → R, p(x) = −x+ 3 2x(x+ 1) p: R − {−1, 0} → R, p(x) = −x+ 3 2x(x+ 1)
b. g(x) = x−1
x2 −7x+ 12 +
2
−4x+x2 Se factoriza los denominadores
g(x) = x−1
(x−4)(x−3)+ 2
x(x−4)
g(x) = (x−1)·x + 2·(x−3)
x(x−4)(x−3) Se homogenizan las fracciones
g(x) = x
2 −x+ 2x−6
x(x−4)(x−3) Se realizan las operaciones en el numerador
g(x) = x
2+x−6
x(x−4)(x−3) Se simplifica
Como la funci´ongest´a formada por la suma de dos funciones racionales para determinar el m´aximo dominio hay que utilizar:
Definici´on
Considere las funcionesf : Df → R yg : Dg → R donde (f + g) (x) =f(x) + g(x),
(f + g) : Df ∩ Dg → R
Al aplicar la definici´on anterior se tiene:
g(x) = x−1 x2 −7x+ 12 + 2 −4x+x2 donde g1(x) = x−1 x2−7x+ 12 y g2(x) = 2 −4x+x2 As´ı, Dg1 =R − {3,4} Dg2 =R − {0,4} ∴ g : R − {3,4} ∩ R − {0,4} → R, g(x) = x 2+x−6 x(x−4)(x−3) g : R − {0, 3, 4} → R, g(x) = x 2+x−6 x(x−4)(x−3)
Ejemplo 7. Considere la funci´on t : R → R, t(x) = x3 + 5x. Simplifique al m´aximo el criterio de la
funci´onT, definida en su dominio m´aximo y codominioR, conT(h) = t(x+h)−t(x)
h
Soluci ´on
Primero note que la expresi´on t(x+h) corresponde a la imagen de x +h en la funci´on t, es decir,
Por otro lado,(x+h)3 corresponde a un binomio de Newton (producto notable), cuyo desarrollo
corres-ponde ax3+ 3x2h+ 3xh2+h3.
Los binomios de Newton (∆ ±)n, n ∈ N, n ≥ 2se pueden desarrollar con la ayuda del tri´angulo de Pascal, el cual permite determinar los coeficientes num´ericos, donde el valor n indica el nivel en el tri´angulo.
Las potencias para cada t´ermino est´an determinadas as´ı: la mayor potencia es n y las restantes van en forma descendente, adem´as si considera cada expresi´on∆pqse debe cumplir quep+q =n
Retomando el ejercicio, se tiene que
T(h) = t(x+h)−t(x) h = (x+h) 3+ 5(x+h)−(x3+ 5x) h = x 3+ 3x2h+ 3xh2+h3+ 5x+ 5h−x3−5x h
= 3x 2h+ 3xh2+h3+ 5h h = h(3x 2+ 3xh+h2+ 5) h , h6= 0 = 3x2+ 3xh+h2+ 5 Ejercicios 1.
I. Simplifique al m´aximo los criterios de las funciones en su m´aximo dominio y codominioR. Adem´as,
determine la ecuaci´on de la as´ıntota vertical para el ´ıtemaybas´ı como los valores dexdonde el trazo de la gr´afica de la funci´on presenta agujeros.
a. h(x) = r 3 +r2−25r−25 (r−5)(r2+r) b. g(x) = x−3 x3−27 c. g(h) = G(x+h)−G(x) h siG(x) = 2 x2
II.Determine el m´aximo dominio de los criterios de las funciones con codominioR.
a. f(x) = 3x x+ 1 − 1 x−4 b. g(x) = x+ 2 x + 2 x− x+ 3 x−2
III.Reescriba los criterios de las funciones dadas mediante una sola fracci´on.
a. f(x) = 2x x+ 2 − x x2−4 b. g(x) = x+ 2 x2−2x − 1 x + x+ 3 x−2
IV. Determine los puntos de intersecci´on de la gr´afica de la funci´on con los ejes coordenados para los criterios de las funciones dadas.
a. f(t) = t 3−t2−2t t+ 2 b. g(u) = 1 u+ 2 − 1 u
Para trabajar ejemplos de criterios de funciones como los indicados en el cuadro 1 (q ym ) es necesario aplicar otros contenidos los cuales se explican a continuaci ´on.
3.2.
Divisi ´on de polinomios y fracciones parciales
En C´alculo al trabajar con criterios de funciones racionales algunas veces conviene expresar-los mediante fracciones m´as simples lo cual se logra utilizando la divisi ´on de polinomios o bien fracciones parciales. Tambi´en es posible determinar la ecuaci ´on de as´ıntotas horizontales y obli-cuas empleando la division de polinomios.
Dado el criterio de una funci ´on f(x) = P(x)
Q(x) se tienen dos casos:
a. Si el polinomio del numerador tiene el gradomayoroigualal polinomio del denominador se realiza una divisi ´on de polinomios para reescribir el criterio comof(x) =C(x) +R(x)
Q(x),
donde C(x) es el resultado del cociente y R(x) es el residuo. En algunos casos hay que verificar si la fracci ´on R(x)
Q(x) puede descomponerse en fracciones parciales. Conviene
re-cordar el procedimiento a seguir para realizar la divisi ´on:
1. El dividendo (numerador del criterio de la funci ´on) y el divisor (de-nominador del criterio de la funci ´on) deben estar ordenados en forma descendente (del mayor exponente de la variable al menor), de no ser as´ı se completa con un cero la expresi ´on que falte.
2. Se divide el primer t´ermino del dividendo entre el primer monomio del divisor y el resultado que se obtiene ser´a el primer t´ermino del cociente. 3. Se multiplica el resultado del paso 2 por el divisor y se coloca debajo del dividendo para proceder a realizar la resta. Para ello tome en cuenta que se deben cambiar los signos al restar un polinomio de otro.
4. El resultado de la resta es el nuevo dividendo con el cual vamos a repetir los pasos 2 y 3.
5. La divisi ´on concluye hasta que el grado del polinomio obtenido en el residuo sea menor que el grado del polinomio del cociente.
b. Si el grado del polinomioQ(x)es mayor que el deP(x)y el polinomioQ(x)puede facto-rizarse con alg ´un factor de la forma:(px+q)ndonde el polinomio lineal es irreducible, o
(px2+qx+r)mdonde el polinomio cuadr´atico es irreducible. El proceso para expresar el
criterio de una funci ´on comof(x) = 4x+ 3
x2−x enf(x) =
−3
x +
7
x−1 recibe el nombre de
”descomposici´on en fracciones parciales”. Conviene explicitar el procedimiento a seguir para realizar la descomposici ´on en fracciones:
1. Factorizar completamente el polinomio del denominador del criterio de la funci ´on.
2. Determinar qu´e tipo de factores se han obtenido en el paso 1:
Lineales y todos distintos(x, x−a)
Potencias de lineales[(x−a)2]
Cuadr´aticos y todos distintos[(ax2 +b),(cx2+bx+d)] Potencias de cuadr´aticos[(ax2+b)2]
Combinaci ´on de los tipos[x,(x−b),(x−a)2, ...]
3. A cada factor le corresponde una fracci ´on en la descomposici ´on de la expresi ´on original:
Si el factor es lineal (con o sin potencia), el numerador es una constan-te:A, B, ...,; por ejemplo: f(x) = A
x + B
(x−a)
Si el factor es cuadr´atico (con o sin potencia), el numerador es una expresi ´on lineal: Ax+B; por ejemplo: f(x) = Ax+B
(ax2+bx+c)
En el caso de los factores con potencias colocar tantas fracciones como potenciasmenoresoigualeshayan del factor:
f(x) = A (ax+b)1 + A2 (ax+b)2 + ... Ak−1 (ax+b)k−1 + Ak (ax+b)k
4. Luego, se iguala el criterio de la funci ´on dada con las fracciones del paso 3, para determinar los valores de las constantes, para ello es necesario homogenizar las fracciones, agrupar t´erminos semejantes y aplicar ciertos conocimientos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Ejemplo 8. Para la funci´onp : R − {1} → R, p(x) = 19x
2−10x3+x5−14x+ 6
criterio en la formap(x) = C(x) + R(x)
Q(x).
Soluci ´on
Para dar respuesta al ejercicio hay que utilizar el procedimiento de divisi´on de polinomios porque el grado del numerador es mayor que el del denominador.
p(x) = 19x
2−10x3+x5−14x+ 6
x2+ 1−2x
p(x) = x
5+ 0x4−10x3+ 19x2−14x+ 6
x2−2x+ 1 Ordenar en forma descendente
Realizar la divisi´on de polinomios
x5 +0x4 −10x3 +19x2 −14x +6 x2−2x+ 1 −x5 2x4 −x3 x3+ 2x2−7x+ 3 0 2x4 −11x3 +19x2 −14x +6 −2x4 4x3 −2x2 0 −7x3 +17x2 −14x +6 7x3 −14x2 +7x 0 3x2 −7x +6 −3x2 +6x −3 0 −1x +3 ∴ p(x) = x3+ 2x2−7x+ 3 + −x+ 3 x2−2x+ 1
Ejemplo 9. Considere la funci´on f : R− {−1} → R, f(x) = x
2−x
x+ 1 . Determine la ecuaci´on de la
as´ıntota oblicua.
Soluci ´on
Es importante destacar que se sabe que existe dicha recta pues los polinomios difieren en uno sus grados y el de grado mayor est ´a en el numerador
x2 −x x+ 1 −x2 −x x−2 −2x 2x +2 2 Por lo tantof(x) = x 2−x x+ 1 =x−2 + 2 x+ 1
La ecuaci´on de la as´ıntota oblicua esy=x−2
Observe la gr´afica de la funci´on def:
La justificaci´on de este procedimiento se basa en que para valores muy grandes o muy peque ˜nos de x
en f (se dice tiende a ±∞), las im´agenes respectivas tienden a aproximarse a las im´agenes en la recta
y=x−2.
Por ejemplo, si x = 100 se tiene que f(100) = 100
2 −100
100 + 1 ≈ 98.01 y evaluando en la recta y =
100−2 = 98
Adicionalmente, se puede determinar que la gr´afica tiene una as´ıntota vertical con ecuaci´onx =−1ya que es la restricci´on de la funci´on y su criterio no se simplifica.
Ejemplo 10. Considere la funci´on f : R− {1} → R, f(x) = −x
3
x3−1. Determine la ecuaci´on de la
as´ıntota horizontal.
Soluci ´on
Es importante destacar que se sabe que existe dicha recta pueslos polinomios tienen el mismo grado
−x3 x3−1 x3 −1 −1 −1 Por lo tantof(x) = −x 3 x3−1 =−1 + −1 x3−1
La ecuaci´on de la as´ıntota horizontal esy=−1
Observe la gr´afica de la funci´on def:
En forma similar al ejemplo anterior, para valores muy grandes o muy peque ˜nos dexenf(se dice tiende a±∞), las im´agenes respectivas tienden a aproximarse a las im´agenes en la rectay=−1.
Por ejemplo, six= 100se tiene quef(−100) = −(−100)
3
(−100)3 −1 ≈ −0.999999y en la rectay =−1
Adem´as, la gr´afica tiene una as´ıntota vertical con ecuaci´onx= 1ya que es la restricci´on de la funci´on y su criterio no se simplifica.
Ejemplo 11. Para la funci´onh : R − {0,1} → R, h(x) = 2x
2−x+ 1
x(x−1)2 expresar el criterio de la
funci´on en fracciones m´as simples.
Soluci ´on
Para dar respuesta al ejercicio hay que utilizar el procedimiento de descomposici´on en fracciones parcia-les porque el grado del numerador es menor que el del denominador. Adem´as, el denominador del criterio de la funci´on est´a factorizado con factores lineales y uno de ellos con potencia, as´ı que para resolver el ejercicio se aplica el procedimiento#3 y#4 para fracciones parciales.
h(x) = 2x 2−x+ 1 x(x−1)2 2x2 −x+ 1 x(x−1)2 = A x + B x−1 + C
2x2 −x+ 1
x(x−1)2 =
A·(x−1)2+Bx(x−1) +Cx
x(x−1)2 Se homogeniza el miembro de la derecha 2x2 −x+ 1 x(x−1)2 = Ax2−2Ax+A+Bx2−Bx+Cx x(x−1)2 Se realizan operaciones 2x2 −x+ 1 x(x−1)2 = (A+B)x2+ (−2A+−B+C)x+A
x(x−1)2 Se agrupan t´erminos semejantes
Ahora, para que dos fracciones algebraicas racionales sean iguales basta con igualar los numerado-res pues los denominadonumerado-res son los mismos, as´ı que
2x2−x+ 1 = (A+B)x2+ (−2A+−B+C)x+A (1)
Se igualan los coeficientes num´ericos de ambos polinomios y se forman las siguientes ecuaciones
2 = A+B (2)
−1 =−2A−B+C (3)
1 = A (4)
Luego, al sustituirA = 1en la ecuaci´on(2)se obtiene 1 =B
Al sustituirA= 1, B = 1 en la ecuaci´on(3)se obtiene 2 =C
Por lo tanto, la descomposici´on del criterio de la funci´on en fracciones m´as simples corresponde a:
h(x) = 2x 2−x+ 1 x(x−1)2 h(x) = 1 x + 1 x−1 + 2 (x−1)2
Conviene indicar que no siempre las ecuaciones que quedan se resuelven tan f´acil como las de este ejemplo, por eso para determinar los valores de las constantesA, B, ....tambi´en se hace asignando valores a la variable, ya que la identidad(1) es cierta para cualquier valor de x en particular los valores que hacen cero a cada uno de los factores del denominador.
Ejercicios 2.
I.Considere las siguientes funciones reales, determine cu´al o cu´ales de ellas pueden descomponerse en la formap(x) =C(x) + R(x) Q(x), C(x)6= 0, justifique su respuesta. a. q:R − {−1} → R, q(x) = 1 x+ 1 b. r:R − {−2,2} → R, r(a) = 2a+ 7 a2−4 c. p:R − {2,3} → R, p(a) = a 2−3a a2−5a+ 6
II.Para las funciones dadas exprese el criterio en la formap(x) = C(x) + R(x)
Q(x), C(x)6= 0. a. q:R − {−1} → R, q(x) = x 2−2x+ 1 x+ 1 b. r:R − −√7,√7 → R, r(a) = a 3−3a2+a+ 4 a2−7
III.Determine la descomposici´on en fracciones parciales del criterio de cada funci´on.
a. m:R − {−1,2} → R, m(t) = −3t−9
t2−t−2
b. f :R − {1} → R, f(t) = t
2+ 5
(t−1)(t2 +t+ 1)
IV.Determine la ecuaci´on de cada as´ıntota de la gr´afica de las siguientes funciones.
a. m:R − {−3,4} → R, m(x) = 2x 2+ 3 x2−x−12 b. m:R − {0} → R, m(x) = x 4−2x2+ 1 x3+x2+x
Ejercicios Complementarios 3.
1. Reescriba el criterio de la funci´onf de la formaf(x) = C(x) + R(x)
Q(x), C(x) 6= 0 conC, Q, R
polinomios, en caso de ser posible y determine la ecuaci´on de las as´ıntotas, seg ´un corresponda. En algunos casos utilizar divisi´on sint´etica.Considere las funciones definidas en su respectivo dominio.
a. f(x) = 2x 4−x3−3x2+ 7x−12 x2−3 b. f(x) = 9x+ 4 2x−5 c. f(x) = −5x 4+ 3 x3−3x+ 9 d. f(x) = 7x+ 2 2x2−x−4 e. f(x) = 3x 3−5x2−4x−8 2x2+x f. f(x) = 3x 5−6x2+ 7 x+ 2 g. f(x) = 27x 4−9x3 + 3x2+ 6x+ 1 x+ 1 3 h. f(x) = 4x 3−6x2+ 8x−3 2x−1
2. Simplifique al m´aximo el criterio de la funci´on. En algunos casos necesita realizar operaciones con expresiones algebraicas racionales.
a. f(x) = x 2−25 x3−125;Df =R− {5} b. g(x) = 10 + 3x−x 2 x4+ 2x3 ;Dg =R− {−2,0} c. h(x) = 5x 3 + 9x2−7x+ 1 10x2+ 13x−3 ;Dh =R− −3 2 , 1 5 d. t(x) = 12x 2x+ 1 − 3 2x2+x + 5 x;Dt=R− −1 2 ,0 e. m(t) = t 2+ 1 t−2 − t3−6t2+ 1 t2−t−2 ;Dm =R− {−1,2} f. p(u) = 1 u+ 2 −3 4 u −u ;Dp =R− {−2,0,2}
g. P(h) = q(x+h)−q(x) h ; siq(x) =x 2−3xyD P =R− {0} h. T(h) = j(x+h)−j(x) h ; sij(x) = 1 x3 yDT =R− {0}, x6= 0
3. Determine la descomposici´on en fracciones parciales del criterio de las funciones. Considere cada funci´on definida en su respectivo dominio.
a. T(u) = 8u−1 (u−2)(u+ 3) b. F(x) = x+ 34 x2−4x−12 c. G(t) = 2t 2−t+ 1 t2(t−1)2 d. M(x) = 16x+ 16 x(x−4)(x2+ 4) e. P(u) = 4u 3 −u2 + 15u−29 2u3−u2+ 8u−4 f. A(x) = 5x 3−3x2+ 7x−3 (x2+ 1)2 g. H(x) = 2x 2−x+ 7 (x−6)(x2+x+ 5) h. J(t) = 6t−1 t3(2t−1)
4. Determine los puntos de intersecci´on con los ejes de la gr´afica de las siguientes funciones dado su criterio. a. f(t) = t 3−3t2+ 4 t2+ 3t+ 2 b. g(x) = 3 7x−2 − 9 3x+ 1 c. p(t) = −3 t+ 4 + 7 t−4 − −5t+ 4 t2−16 d. j(x) = x x+ 1 2 − 2x x+ 1 −8
5. Descubra y comente el error del siguiente ejercicio cuya indicaci´on es: “Descomponer en fracciones parciales el criterio de la funci´onT”.
T(x) = x
2+ 1
x(x−1)
Primero se tiene queT(x) = x
2+ 1 x(x−1) = A x + B x−1
Luego realizando la suma de fraccionesT(x) = x
2+ 1 x(x−1) = A x + B x−1 = A(x−1) +Bx x(x−1)
Sustituyendox= 0yx= 1en la ecuaci´on anterior se concluye queA=−1yB = 2 Entonces la descomposici´on esT(x) = x 2+ 1 x(x−1) = −1 x + 2 x−1
Corroborando si se realiz´o correctamente el procedimiento se nota que
−1 x + 2 x−1 = −(x−1) + 2x x(x−1) = x+ 1 x(x−1) 6=T(x)
¿D´onde se cometi´o un error?
3.3.
Acercamiento al C´alculo
La divisi ´on de polinomios est´a ´ıntimamente relacionada con dos contenidos del curso de C´alcu-lo:as´ıntota oblicua e integraci ´on.
Cuando se trabaja el tema de integraci ´on se ense ˜na un m´etodo denominadofracciones parciales
el cual se trabaj ´o en este cap´ıtulo.
Ejemplo 12. Resolver la integral
Z x4+ 2x3+ 6x2+ 20x+ 6
x3+ 2x2+x dx.
Soluci ´on
Se inicia realizando la divisi´on de polinomios para obtener
x4+ 2x3 + 6x2+ 20x+ 6 x3+ 2x2+x =x+ 5x2+ 20x+ 6 x3+ 2x2+x As´ı Z x4+ 2x3+ 6x2+ 20x+ 6 x3+ 2x2+x dx = Z x+5x 2+ 20x+ 6 x3+ 2x2+x dx
La fracci´on resultante de la divisi´on se descompone en fracciones parciales obteniendo
5x2 + 20x+ 6 x3+ 2x2+x = 6 x + −1 x+ 1 + 9 (x+ 1)2 Finalmente Z x+ 5x 2+ 20x+ 6 x3+ 2x2+x dx= Z x+ 6 x + −1 x+ 1 + 9 (x+ 1)2dx
Hasta el punto anterior corresponde a los procedimientos algebraicos aplicados al criterio de la funci´on y lo que sigue es propiamente la aplicaci´on del concepto de integral indefinida
Cap´ıtulo
4
Funci ´on Radical
Otra funci ´on que conviene estudiar es la funci´on radical, para ello se presenta algunas carac-ter´ısticas acerca del dominio, representaci ´on gr´afica, intersecciones con los ejes; adem´as, se hace referencia al contenido de racionalizaci ´on necesario para simplificar el criterio de una funci ´on formado por el cociente de expresiones radicales en el numerador, en el denominador o ambos de la fracci ´on.
Una funci ´on radical se define como
f :Df → R, f(x) = n
p
P(x) donde P(x) es un polinomio y n ∈ N− {1}
Es importante notar que el m´aximo dominio de una funci ´on radical depende del ´ındicende la expresi ´on:
Sin es un n ´umero par el m´aximo dominio de la funci ´on son todos los n ´umeros reales que cumplenP(x)>0, es decir hay que resolver una inecuaci ´on que depende del grado del polino-mio. Para efectos de este curso, determinar los valoresxque satisfacenP(x)>0corresponde a determinar el signo positivo o cero de la funci ´onP
Sines un n ´umero impar el m´aximo dominio de la funci ´on es R.
Ejemplo 1. Para las siguientes funciones dadas determine el m´aximo dominio de cada una de ellas.
a. h:Dh → R, h(x) = √ 6x−12 b. g :Dg → R, g(x) = 5 √ 3x−5 c. p:Dp → R, p(x) = 4 √ 3−8x d. m:Dm → R, m(x) = √ x2−2x+ 15 51
Soluci ´on
Hay que determinar el ´ındice de cada expresi´on radical, para el ejercicio a, c, d el ´ındice es un n ´umero par de ah´ı que se resuelve una inecuaci´on para el dominio de la funci´on, pero en el item b el m´aximo dominio de la funci´on es Rpor tratarse de un ´ındice impar.
a. Para la funci´onhhay que resolver
6x−12 > 0
⇔ 6x > 12
⇔ x > 2
∴ Dh = [2,+∞[
c. Para la funci´onphay que resolver
3−8x > 0
⇔ 3−8x > 0
⇔ −8x > −3 Note que el coeficiente de la variable tiene signo ”−”
⇔ −8x −8 6
−3
−8 Observe el cambio que se realiz´o al signo de la desigualdad
⇔ x 6 3 8 ∴ Dp = −∞, 3 8
d. Para la funci´onmhay que hallar el conjunto soluci´on deP(x) = x2−2x+ 15 >0.
ComoP es una funci´on cuadr´atica, el discriminante brinda informaci´on valiosa para determinar el dominio dem
Note que∆ = (−2)2−4·1·15 =−56, indicando que no hay ra´ıces reales para la funci´on y por
ende no se factoriza el criterio.
Otro elemento importante es quea= 1, con lo cual la gr´afica es convexa (c´oncava hacia arriba) Lo anterior permite asegurar que la funci´onsiempretoma valores positivos, para todox∈ Ry se puede corroborar con la gr´afica deP
Es as´ı que se puede afirmar que el dominio de la funci´onmcorresponde aRen vista que la funci´on
P siempre tiene signo positivo o bienP(x)≥0se cumple para todox∈R
Para una funci´on cuadr´aticaf :R→R, f(x) =ax2+bx+c, cona >0y∆<0,
se tiene quef(x)>0of(x)≥0se cumple para todox∈R
Si a < 0 y∆ < 0entonces f(x) < 0o f(x) ≤ 0se cumple para todox ∈ R. Se debe indicar que este caso no tiene sentido para determinar el dominio m´aximo de una funci´on radical, por la desigualdad planteada.
Sia >0y∆ = 0entonces solof(x)≥0se cumple para todox∈R.
Es importante conocer el trazo de la gr´afica para la funci ´on est´andar radical, y los puntos de intersecci ´on de la gr´afica con los ejes coordenados, as´ı como el ´ambito de la funci ´on.
Ejemplo 2. A continuaci´on se muestra la gr´afica de dos funciones radicales, observe su trazo y responda la informaci´on solicitada en cada caso. Justifique sus respuestas.
p:Dp → R, p(x) = √ x r :Dr → R, r(x) = 3 √ x Dominio: Dominio: ∩x: ∩x: ∩y: ∩y: ´ Ambito: Ambito:´
Para determinar la intersecci ´on de la gr´afica de la funci ´on con el ejex, hay que resolver ecua-ciones con radicales, como:
0 = √x ⇔ (0)2 = (√x)2 ⇔ 0 =|x| ⇔ 0 =x pues x > 0 ∴ ∩x(0,0) 0 = √3 x ⇔ (0)3 = (√3 x)3 ⇔ 0 =x ∴ ∩x(0,0) Ejemplo 3.
Determine los puntos de intersecci´on de la gr´afica de la funci´on
g :
9 5,+∞
→R, g(x) =x−3−√5x−9con los ejes, si existen.
Soluci ´on
∩x: (x,0), para la funci´onghay que resolver
0 =x−3−√5x−9 ⇔ −x+ 3 =√5x−9 ⇔ (−x+ 3)2 = √5x−92 ⇔ x2−6x+ 9 = |5x−9| ⇔ x2−6x+ 9 = 5x−9 pues x > 9 5 ⇔ x2−11x+ 18 = 0 ⇔ x= 2ox= 9
Considere que el o los valores que se obtienendeben pertenecer al dominio de la funci ´on y tener como imagen el valor cero.
En este caso2∈[4,+∞[y9∈[4,+∞[perog(2) =−2yg(9) = 0
∴ ∩x: (9,0)
∩y: (0, y), pero note que06∈
9 5,+∞
Puede corroborar lo anterior con la gr´afica deg
Ejemplo 4.
Com-plete los espacios delineados para determinar los puntos de intersecci´on de la gr´afica de la funci´on
g :R→R, g(x) = √3
4x+ 8 + 2con ambos ejes.
Soluci ´on
∩x: (x,0), para la funci´onghay que resolver
... = √3 4x+ 8 + 2 ⇔ −2 = √3 4x+ 8 ⇔ (−2)3 = ... ⇔ ... = 4x+ 8 ⇔ ... = 4x ⇔ −4 = x
∩y: (0, y), para la funci´ong hay que determinar la imagen de cero, as´ı que
g(0) = ... g(0) = ...
∴ ∩x corresponde a ... y ∩ y corresponde a ...
Ejercicios 1.
I. Elabore un esquema donde explique los procedimientos necesarios para resolver una ecuaci´on con ra-dicales, para ello considere lo expuesto en el ejemplo 3 y 4.
