Ad-compacidad

(1)

Julio Garavito

Trabajo de grado para optar por el t´ıtulo

de Matem´

atico

Ad-compacidad

Carlos Antonio Pinz´

on Henao

Dr. N´estor Ra´ul_Pach´_on Director del trabajo

Topolog´ıa, departamento de Matem´

aticas

Bogot´

a, Colombia

(2)

(3)

Indice general

(4)

(5)

En este trabajo de grado presentamos una noción débil de compacidad en espa-cios topológicos, llamada ad-compacidad, y exponemos algunas de sus propieda-des.

La compacidad es uno de los conceptos fundamentales de la topolog´ıa. La búsqueda de generalizaciones y particularizaciones de la compacidad ha sido objeto de estudio en los últimos años, e.g. Compacidad módulo ideales[4][5][6], compacidad definida mediante ideales[7][8], C-compacidad módulo ideales[9] y cl-compacidad[1].

Este trabajo de grado contribuye a dicha labor al explorar las propiedades b´ asi-cas de una generalización de compacidad a la que llamamosad-compacidad. Dichas propiedades básicas se pueden resumir en: caracterización de la ad-compacidad por bases y subbases, funciones que la preservan, subespacios que la heredan y relación entre espacios producto y ad-compacidad.

(6)

(7)

Definici´

on y primeros

ejemplos

Un conjunto es compacto si para todo cubrimiento abierto para éste, existe un subcubrimiento finito. Para definirad-compacidad, mantuvimos la definición original pero reemplazamos los subcubrimientos por estructuras más débiles que aparecen naturalmente mediante el operador de adherencia. Hemos llamado ad-subcubrimientos a dichas estructuras.

Definici´on 1.1 (Ad-subcubrimientos). Si X es un espacio topol´ogio y

{Ui}i∈I es un cubrimiento por abiertos para K ⊆X, entonces toda

sub-colecci´on{Ui}i∈J ⊆ {Ui}i∈I que cumpla Si∈JUi ⊇K es llamada un

ad-subcubrimientode{Ui}i∈I paraK.

Definici´on 1.2(Ad-compacidad). SiX es un espacio topol´ogico yK⊆X, decimos queKesad-compactosi para todo cubrimiento abierto paraK existe un ad-subcubrimiento finito.

Adem´as, cuando X es ad-compacto decimos que el espacio topol´ogico es

ad-compacto.

A partir de esta definici´on es inmediato que todo espacio compacto es ad-compacto porque si K es compacto, entonces para todo cubrimiento {Ui}i∈I

paraK existeJ ⊆I, finito, conS

i∈JUi⊇K, de donde

S

i∈JUi⊇K.

Nota. En un espacio topol´ogicoX, las siguientes proposiciones son equivalentes.

(8)

2. Para todo cubrimiento abierto{Ui}i∈I para K, existe J ⊆ I, finito con {Ui}i∈J ⊇K.1

3. Para todo cubrimiento abierto no vac´ıo{Ui}i∈I paraK, conUi∩K6=∅

para todoi∈I, existeJ ⊆I, finito con{Ui}i∈J⊇K.2

Lo primero a ver es que la propiedad de ad-compacidad no es demasiado d´ebil, es decir que no siempre se posee; y que tampoco es demasiado fuerte, o sea que se puede poseer sin requerir compacidad.

Para ello mostramos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.1. _Rcon la topolog´ıa usual no es ad-compacto.

En efecto:

Sea Un = (n−1, n+ 1) para cada n ∈ Z. {Un}n∈Z es un cubrimiento

abierto para _R. Sin embargo, si J ⊆ _Z es finito, entonces S

n∈JUn =

S

n∈J[n−1, n+ 1] est´a acotado inferiormente por (m´ınJ)−1, y por ende,

S

n∈JUn6=R.

Ejemplo 1.2. Rcon la topolog´ıa de colas abiertas a derecha, C 1, es

ad-compacto y no es ad-compacto.

En efecto:

Sea{Ui}i∈I una colecci´on no vac´ıa de abiertos deC, no vac´ıos y diferentes

deR, conSi∈IUi =R. Para cadai∈I, existeai∈RconUi = (ai,+∞).

1. R es ad-compacto porque (a,+∞) = R para todo a ∈ R, pues los

´

unicos cerrados de (_R,C) son ∅,_R, y todos los de la forma (−∞, x] con x∈R; y el ´unico de estos cerrados que contiene a (a,+∞) esR.

2. _R no es compacto porque si J ⊆ I es finito, entonces S

i∈JUi =

(m´ın{ai:i∈J},+∞)6=R.

1_{La topolog´ıa de colas abiertas a derecha est´}_{a dada por}_C₌_{∅_,

R}∪{(a,+∞) :a∈R}.

A continuaci´on se presentan m´as ejemplos de espacios ad-compactos no com-pactos.

1_{Ello porque}_J_{es finito y porque para todos}_{A, B}_⊆_X,_A_∪_B₌_A_∪_B. 2_{Se puede restringir porque si}_{_U

i}i∈Ies un cubrimiento abierto paraKy se defineI∗=

(9)

Ejemplo 1.3. Como en el ejemplo anterior,

1. R con la topolog´ıa de colas cerradas y abiertas a derecha1 es

2. Rcon la topolog´ıa de colas abiertas a izquierda2es ad-compacto y no

es compacto.

3. R con la topolog´ıa de colas cerradas y abiertas a izquierda3 es

En efecto:

Al igual que en la demostraci´on anterior, en todos los casos ocurre que si U es un abierto no vac´ıo, entoncesU =_R.

1_{Esta topolog´ıa est´}_{a dada por}_{C ∪ {}_[a,₊_∞_{) :}_a_∈

R}.

2_{Esta topolog´ıa est´}_{a dada por}_C?₌_{∅_,

R} ∪ {(−∞, a) :a∈R}.

3_{Esta topolog´ıa est´}_{a dada por}_C?_{∪ {}₍_−∞_{, a] :}_a_∈ R}.

En este punto parece que el hecho de que “para todo abierto no vac´ıoU se tiene U =X” es una caracter´ıstica t´ıpica de los espacios ad-compactos no compactos.

Pero ello no se cumple siempre. Un primer ejemplo de un espacio con estas ca-racter´ısticas se muestra a continuaci´on.

Ejemplo 1.4. En N,1seaτ ⊆ P(X) la colecci´on dada por:

U ∈τ si y solo si para todou∈U se cumple queum´od 2∈U.2

Bajo este contextoτ es una topolog´ıa para_N, _Nes ad-compacto no com-pacto, y existen abiertos cuya adherencia no es_N.

En efecto:

1. τ es una topolog´ıa paraN:

a) ∅ ∈τporque cumple la propiedad “vac´ıamente”, yN∈τporque

{0,1} ⊆N.

b) SiU, V ∈τ y six∈U∩V entoncesxmód 2∈U yxmód 2∈V, luegoxmód 2∈U∩V. As´ı queU∩V ∈τ.

c) Si {Ui}i∈I es una colecci´on de elementos de τ y x ∈ Si∈IUi,

existej∈I conx∈Uj, luego xm´od 2∈Uj, y por endexm´od

2∈S

i∈IUi. As´ı queSi∈IUi∈τ.

2. _Nno es compacto:

(10)

La colecci´on{Un}n∈Nes un cubrimiento abierto paraN, sin embargo,

si J ⊆Nes finito, entonces existek∈N\(J∪ {0,1}), de modo que

k∈Z\ Si∈JUi. Por ende,Si∈JUi6=N.

3. Nes ad-compacto:

Si{Ui}i∈I es un cubrimiento abierto paraN, entonces existeni0 ei1

con 0∈Ui0 y 1∈Ui1.

Para probar que_Nes ad-compacto basta ver que

a) {0}={2n:n∈N}= 2N, y que

b) {1}={2n+ 1 :n∈_N}= 2_N+ 1,

pues de ser as´ı, comoUi0 ⊇ {0}yUi1 ⊇ {1}, entoncesUi0∪Ui1 =N.

Y ello es cierto por lo siguiente.

{0}= 2Nporque:

(⊇). Six∈2Ny siUes un abierto que contiene ax, por definici´on de

abierto, 0∈U, o sea,{0} ∩U 6=∅, y as´ı se concluye quex∈ {0}.

(⊆). Y si x /∈2N,{x,1} ser´ıa un abierto que contiene ax y que no

tiene puntos de{0}, y as´ı se concluye quex /∈ {0}.

De la misma manera se comprueba que{1}= 2N+ 1.

4. Existen abiertos en _Ncuya adherencia no es_N:

{0} es abierto y como se acaba de mostrar{0}= 2_N6=_N.

1_{En este texto}

Nrepresenta al conjunto de los enteros no negativos, o sea aZ≥0.

2_u_m´_{od 2, que se lee “u}_m´_{odulo 2”, es el residuo de}_u_{al dividirse por 2. Por definici´}_on,

um´od 2∈ {0,1}incluso siu <0.

En base al ejemplo anterior, se esperar´ıa que si en N se definieran topolog´ıas

de la misma manera pero respecto al m´odulo 3, o 4, o cualquier otro n´umero mayor que 2, van a aparecer espacios que son ad-compactos no compactos y que contienen abiertos cuya adherencia no es N.

En efecto esto funciona incluso si la topolog´ıa es la corresponsiente al m´odulo 1, salvo que en ese caso la adherencia de todos los abiertos no vac´ıos esNpuesto

que todos contienen a {0}.

A continuaci´on presentamos una justificaci´on de este hecho.

(11)

U ∈τN si y solo si para todo u∈U se cumple queum´odN ∈U.

Bajo este contextoτN es una topolog´ıa paraN,Nes ad-compacto no

com-pacto, y siN >1, existen abiertos cuya adherencia no esN.

Demostraci´on.

1. τN es una topolog´ıa paraN:

Se desarrolla igual que para el caso m´od2, pero reemplazando 2 por N.

2. _Nno es compacto:

Se desarrolla igual que para el caso m´od2, pero reemplazando 2 por N:

Para cada n∈N, seaUn={n, nm´odN}.

La colecci´on {Un}n∈N es un cubrimiento abierto para N, sin embargo, si

J ⊆N es finito, entonces existek ∈ N\(J∪ {0,1, ..., N−1}), de modo

quek∈Z\ Si∈JUi

. Por ende,S

i∈JUi6=N.

3. Nes ad-compacto. Tambi´en es similar al caso m´od2:

Si{Ui}i∈Ies un cubrimiento abierto paraN, entonces existeni0, i1, ..., iN−1,

con n∈Uin para todon < N.

Para probar queNes ad-compacto basta ver que si 0≤n < N,

a) {n}=NN+n,

pues de ser as´ı, comoUin⊇ {n}, entonces

SN−1

n=0 Uin=N.

Y ello es cierto porque si 0≤n < N,

(⊇). Si x∈NN+ny siU es un abierto que contiene ax, por definici´on

de abierto,n=xm´odN ∈U, o sea,{n} ∩U 6=∅, y as´ı se concluye quex∈ {n}.

(⊆). Si N = 1,n= 0 y es inmediato que 1N+ 0 =N⊇ {0}; y si N >1

y x /∈ NN+n, x 6= n y xm´odN 6= n, luego {x, xm´odN} ser´ıa

un abierto que contiene a xy que no tiene puntos de {n}, y as´ı se concluye que x /∈ {n}.

Por ende{n}=NN+n.

4. SiN >1, existen abiertos en Ncuya adherencia no esN:

{0} es abierto y como se acaba de mostrar,{0}=NN6=N.

(12)

En un intento por generalizar esto mismo a los reales, se puede definir xmódr para x∈Ryr∈R+, como el únicoz∈[0, r) para el cual existe algúnN ∈Z

conN r+z=x. Lamentablemente, en el espacio topol´ogico resultante se pierde la ad-compacidad como se muestra en el ejemplo 1.5.

Ejemplo 1.5. En _R, sear∈_R+_{, y sea}_τ

r dada por:

U ∈τr si y solo si para todou∈U se cumple queum´odr∈U.

Con esta topolog´ıa,_Rno es ad-compacto.

En efecto:

Sear∈R+.

τres una topolog´ıa paraR:

Se desarrolla igual que como se ha hecho en los ejemplos anteriores que involucran la operaci´on m´odulo para definir la topolog´ıa.

Rno es ad-compacto:

Para cada x∈RseaUx={x, xm´odr}.

Sabemos que para todox∈R,Uxes abierto yUx=rZ+(xm´odr) =

r_Z+x.

Es claro que S

x∈RUx =Ry que siJ ⊆Res finito, existez∈[0, r)

con z∈_R\S

i∈JUi, y por ende,Si∈JUi6=R.

¿Por qu´e funciona enNy enZpero no enR?

La caracter´ıstica que tienen los ejemplos anteriores, y que no tiene R, es que

la imagen de la función módN es finita, mientras que la de módr no lo es. Sin embargo,

En_Rcon la topolog´ıaτr, todos los conjuntos de la formaSy∈Y (rZ+y),

donde Y es un subconjunto finito de [0, r) con al menos dos elementos, son ad-compactos no compactos.

Se puede definir otra topolog´ıa similar, basada en una funci´on con imagen finita, que dote de ad-compacidad a los reales.

El siguiente teorema justifica estas dos afirmaciones.

Teorema 1.2. Sea X no vac´ıo, y sea f : X → X una funci´on tal que f(f(x)) =f(x)para todox∈X.

(13)

U ∈τf si y solo si para todo x∈U se cumplef(x)∈U.

Bajo estas condiciones,

1. τf resulta ser una topolog´ıa paraX.

2. A⊆X es ad-compacto si y solo sif(A) es finito.

3. A⊆X es compacto si y solo siAes finito.

4. Si U ⊆ X es abierto no vac´ıo, entonces f(U) consta de un ´unico elemento si y solo si para todo abierto no vac´ıo V ⊆ U se cumple V ⊇U.

Demostraci´on.

1. τf es una topolog´ıa paraX.

a) Es inmediato que∅, X ∈τf.

b) SiU, V ∈τf yx∈U∩V,f(x)∈U yf(x)∈V, luegof(x)∈U∩V,

y as´ı,U∩V ∈τf.

c) Si{Ui}i∈I es una colecci´on de subconjuntos deX con Ui ∈τf para

todo i∈I, y six∈S

i∈IUi, existej∈I conx∈Uj, de donde

f(x)∈Uj ⊆

[

i∈I

Ui.

2. A⊆X es ad-compacto si y solo sif(A) es finito.

→). N´otese que para cada x ∈ X, {x, f(x)} es abierto y {x, f(x)} = f−1₍_{_f_(x)_}₎3_.

Como {{x, f(x)}}x∈Aes un cubrimiento por abiertos para A, existe

J ⊆A, finito, con

A⊆ [ x∈J

{x, f(x)}= [

x∈J

f−1({f(x)}) =f−1 [

x∈J

f(x)

!

=f(J),

luegof(A)⊆f(J).

←). Si f(A) es finito, existeJ ⊆A, finito, conf(A) =f(J). Sea{Ui}i∈I

un cubrimiento arbitrario por abiertos para A.

Para cada x∈ J existeix ∈I con x∈ Uix. Como {x, f(x)} ⊆ Uix

para todox∈J, entonces

[

x∈J

Uix ⊇

[

x∈J

{x, f(x)}= [

x∈J

f−1({f(x)}) =f−1(f(J))⊇A.

(14)

3. A⊆X es compacto si y solo siAes finito.

→). Como{{x, f(x)}}x∈A es un cubrimiento por abiertos paraAyAes

compacto, existeJ ⊆A, finito, conS

x∈J{x, f(x)} ⊇A. Es inmediato

queA es finito.

←). Es claro que siAes finito entonces es compacto.

4. SiU ⊆X es abierto no vac´ıo, entoncesf(U) consta de un ´unico elemento si y solo si para todo abierto no vac´ıoV ⊆U se cumpleV ⊇U.

→). SeanV ⊆U abierto no vac´ıo,v∈V, yu∈U. Supongamos quef(U) consta de un ´unico punto, es decir,f(U) ={f(u)}.

Comof(u) =f(v) yf(v)∈V, entonces

V ⊇ {f(v)}=f−1({f(v)}) =f−1({f(u)})⊇U.

←). Supongamos que existen a, b ∈ U con f(a) 6= f(b). Sabemos que

{a, f(a)} es un abierto no vac´ıo con {a, f(a)} ⊆ U. Sin embargo, dado que{a, f(a)}=f−1({f(a)})+{b}, se sigue que{a, f(a)}+A.

Nota. En este espacio se cumplen las siguientes propiedades

1. Para todox∈X,{x, f(x)}es abierto4_porque_f_(x)_{∈ {}_{x, f(x)}_}_y_f_(f_{(x)) =}

f(x)∈ {x, f(x)}.

2. Para todox∈X,{x, f(x)}=f−1₍_{_f(x)_}_).

⊇). Sea z ∈f−1₍_{_f_(x)_}_{), y sea} _U _{un abierto con} _z _∈_U_{. Como} _f_{(x) =}

f(z) yf(z)∈U, se tienef(x)∈U. LuegoU∩{x, f(x)} ⊇ {f(x)} 6=∅.

⊆). Sea z ∈ {x, f(x)}. Como {z, f(z)} es un abierto que continene a z,

{z, f(z)}∩{x, f(x)} 6=∅, de donde∅ 6=f({z, f(z)})∩f({x, f(x)}) =

{f(z)} ∩ {f(x)}, es decir, f(z) =f(x).

(15)

Caracterizaci´

on por bases y

subbases

Al igual que la compacidad, la ad-compacidad puede ser caracterizada a partir de cubrimientos b´asicos.

Teorema 2.1 (Caracterizaci´on de ad-compacidad por abiertos b´asicos).

Si X es un espacio topol´ogico y K ⊆ X, entonces K es ad-compacto si y solo si para todo cubrimiento de K por abiertos b´asicos, existe un ad-subcubrimiento finito.

Demostraci´on.

Veamos que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. K es ad-compacto, o sea, todo cubrimiento abierto para K tiene un ad-subcubrimiento finito.

2. Todo cubrimiento por abiertos b´asicos paraKtiene un ad-subcubrimiento finito.

(→). Es inmediato que si K es ad-compacto y {Bi}i∈I es un cubrimiento de

abiertos b´asicos paraK, existeJ ⊆I, finito, con S

i∈JBi⊇K, pues

in-dependientemente de que{Bi}i∈I sea un cubrimiento de abiertos b´asicos,

es un cubrimiento de abiertos.

(←). Supongamos que para todo cubrimiento de abiertos b´asicos{Bi}i∈I para

K, existeJ ⊆I, finito, conS

i∈JBi⊇K.

Sea {Ui}i∈I un cubrimiento de abiertos para K. Para cadax∈K, existe

ix∈I conx∈Uix, y existe un abierto b´asicoBxconx∈Bx⊆Uix.

Como{Bx}x∈K es un cubrimiento de abiertos b´asicos paraK, existeH ⊆

K, finito, conS

(16)

As´ı, dado queBx⊆Uix para todox∈H, entonces siendoJ ={ix :x∈

H}, se tiene queS

i∈JUi⊇

S

x∈HBx⊇K, dondeJ ⊆I es finito.

Sin embargo, aunque podemos caracterizar la compacidad sólo con cubrimientos subbásicos según el lema de Alexander, para el caso de la ad-compacidad es ne-cesario añadir una condición adicional. Dicha condición no resulta muy estricta, según mostramos al final de la demostración del teorema.

Teorema 2.2 (Equivalente del lema de Alexander para ad-compacidad).

Sea(X, τ)un espacio topol´ogico, yS una subbase paraτ tal que para todo par de abiertos no disjuntosU, V ∈ S se cumpleU∩V =U∩V. Entonces,

K⊆X es ad-compacto si y solo si para todo cubrimiento por abiertos en

S paraK existe un ad-subcubrimiento finito.

Demostraci´on.

Veamos que bajo las condiciones enunciadas, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. K es ad-compacto, o sea, todo cubrimiento abierto para K tiene un ad-subcubrimiento finito.

2. Todo cubrimiento paraKpor abiertos subb´asicos tiene un ad-subcubrimiento finito.

(→). Es inmediato que siK es ad-compacto, y{Si}i∈I es un cubrimiento por

abiertos subb´asicos paraK, existeJ⊆I, finito, conS

i∈JSi⊇K, pues

in-dependientemente de que{Si}i∈I sea un cubrimiento por abiertos subb´

asi-cos, es un cubrimiento abierto.

(←). Supongamos queK no es ad-compacto y que al mismo tiempo se cumple que para todo cubrimiento de abiertos subb´asicos{Si}i∈I para K, existe

J ⊆I, finito, conS

i∈JSi ⊇K.

SeaZ la colecci´on de todos los cubrimientos{Ui}i∈I abiertos para Kque

no tienen ad-subcubrimientos finitos, o sea, de aquellos para los cuales no existeJ ⊆I, finito, conS

i∈JUi⊇K.

Veamos que existe un cubrimiento de abiertosC que es maximal enZ.

1. Z no puede ser vac´ıo porque de ser as´ı,Kser´ıa ad-compacto.

(17)

Si Les vac´ıa, cualquier elemento deZ puede servir como cota supe-rior. Entonces supongamos queLno es vac´ıa.

Sea M =S

l∈Ll. Es claro que paro todal ∈L, l ⊆M, y por ende,

dado queL6=∅, queM es un cubrimiento de abiertos paraK. Resta ver que no existem⊆M, finita, conS

U∈mU ⊇K.

Supongamos que s´ı existe talm. Llamemosm={V1, V2, ..., Vn}. Para

cadai∈ {1, ..., n}existeLi ∈Lcon Vi ∈Li. Como Lest´a ordenado

linealmente por inclusi´on, existe unj∈ {1, ..., n}tal queLi⊆Ljpara

todoi∈ {1, ..., n}. Tenemos quem⊆Lj es finito y queS n

i=1Vi⊇K.

EntoncesLj ∈/ L, imposible.

As´ı que podemos aplicar el lema de Zorn y concluir que existe un elemento maximalC paraZ.

Ello implica que si V es un abierto con V /∈C, entonces C∪ {V} ∈/ Z, luegoC∪ {V}tiene una subcolecci´on finitaC0? necesariamente de la

for-maC0?=C0∪ {V}, conSU∈C?

0 U⊇K.

ConsideremosC∩ S. SiS

U∈C∩SU ⊇K, entonces por hip´otesis, existir´ıa

F ⊆C∩ S ⊆C, finita, conS

u∈FU ⊇KyK ser´ıa ad-compacto. As´ı que

S

U∈C∩SU +K.

Sea x ∈ K con x /∈ S

U∈C∩SU. Como

S

U∈CU ⊇ K, existe V ∈ C

con x ∈ V. De igual manera, como S es una subbase para X, existen S1, S2, ..., Sn∈ S con x∈S1∩S2∩ · · · ∩Sn⊆V.

Como C∩ S no cubre a x, entonces para todo i ∈ {1,2, ..., n}, Si ∈/ C.

Por ende, para cada i, existe Ci ⊆ C finito y tal que SU∈C?

i U ⊇ K,

donde C?

i = {Si} ∪Ci. Esto implica entre otras cosas, que para todo

i∈ {1,2, ..., n},S

U∈CiU ⊇K\Si.

Pero entonces, si llamamosF =Sn

i=1Ci yF?=F∪ {V}, se tiene que

[

U∈F

U =

n

[

i=1

[

U∈Ci

U =

n

[

i=1

[

U∈Ci

U ⊇ n

[

i=1

K\Si=K\ n

\

i=1

Si,

de donde

[

U∈F?

U =V ∪ [ U∈F

U ⊇V ∪ K\ n \ i=1 Si ! .

As´ı, como sabemos por hip´otesis queTn

i=1Si=

Tn

i=1Si, entonces tenemos

Tn

i=1Si⊆V, de donde

S

U∈F?U ⊇K. Esto contradice queC∈Z, con lo

(18)

Como mencionamos, la condici´on adicional que exige el teorema 2.2 a la subbase

S no es tan estricta como parece. De hecho, todos los ejemplos tratados en este texto la satisfacen, seg´un se muestra en seguida.

Ejemplo 2.1. R cumple la condici´on con la subbase S ={(−∞, a) :a∈ R} ∪ {(a,+∞) :a∈R}.

En efecto:

Sia, b∈Rya < bentonces

1. (−∞, a)∩(−∞, a) = (−∞, a),

2. (a,+∞)∩(a,+∞) = (a,+∞),

3. (−∞, b)∩(a,+∞) = (a, b) = [a, b] = (−∞, b]∩[a,+∞) = (−∞, b)∩

(a,+∞),

4. (−∞, b)∩(−∞, a) = (−∞, a) = (−∞, a] = (−∞, b]∩(−∞, a] = (−∞, b)∩(−∞, a), y

5. (b,+∞)∩(a,+∞) = (b,+∞) = [b,+∞) = [b,+∞)∩[a,+∞) = (b,+∞)∩(a,+∞).

Ejemplo 2.2. (_R,C) cumple la condici´on con la subbaseS=C.

En efecto:

Sia, b∈Rya < bentonces

(b,+∞)∩(a,+∞) = (b,+∞) =R=R∩R= (b,+∞)∩(a,+∞).

Ejemplo 2.3. Si (X, τf) es un espacio topol´ogico definido por el

teore-ma 1.2, entonces cumple la condici´on con la subbase S ={{x, f(x)}:x∈

X}.

En efecto:

Seanx, y∈X con{x, f(x)} ∩ {y, f(y)} 6=∅. Necesariamente se cumple que f(x) =f(y).

(19)

Funciones que preservan

ad-compacidad

¿Qu´e propiedades debe cumplir una funci´on con dominio ad-compacto para que su imagen sea ad-compacta?

Afortunadamente, la ad-compacidad se preserva f´acilmente por funciones. Co-mo Co-mostrareCo-mos en seguida en el teorema 3.1, basta con que sean continuas y sobreyectivas para lograr este prop´osito.

Teorema 3.1. SiX es ad-compacto y f :X →Y es continua y sobreyec-tiva, entoncesY es ad-compacto.

Demostraci´on.

Sea{Ui}i∈I un cubrimiento abierto paraY. Comof es continua,Bi=f−1(Ui)

es abierto para cadai∈I. Adem´as,{Bi}i∈I es un cubrimiento abierto paraX.

Ya queX es ad-compacto, existeJ ⊆I, finito, conS

i∈JBi =X. As´ı,

[

i∈J

Ui=

[

i∈J

f(Bi)⊇

[

i∈J

f Bi

=f [

i∈J

Bi

!

=f(X),

y comof es sobreyectiva,S

(20)

(21)

Subespacios ad-compactos

En esta secci´on presentamos las propiedades que debe cumplir un subconjunto de un espacio ad-compacto, para que herede la ad-compacidad.

Un primer resultado es el siguiente.

Teorema 4.1. Si X es un espacio topol´ogico ad-compacto y Y ⊆ X es cerrado y abierto, entoncesY es ad-compacto.

Demostraci´on.

Sea {Ui}i∈I un cubrimiento abierto para Y. Llamemos Ui? =Yc, y sea I? =

I∪ {i?_}_{. Como}_Yc _{es abierto,}_{_U

i}i∈I? es un cubrimiento de abiertos paraX,

luego existeJ?_⊆_I?_{, finito, con}S

i∈J?Ui=X y con i?∈J?.1

SeaJ =J?\ {i?}. ComoS

i∈J?Ui=Ui?∪S_i

∈JUi=Yc∪Si∈JUi, entonces

[

i∈J

Ui ⊇

[

i∈J?

Ui

!

\Yc₌_X_\_Yc₌ _Ycc

=int(Y) =Y,

y por ende,Y es ad-compacto.

Sin embargo, el rec´ıproco de este teorema no se cumple necesariamente, como se muestra a continuaci´on.

Ejemplo 4.1. Aunque_R con la topolog´ıa de colas abiertas a derecha es ad-compacto y aunqueK = (−∞,0) no es abierto ni cerrado, K es ad-compacto.

En efecto:

(22)

Es inmediato dado que (a,+∞) =Rpara todoa∈R(ver el ejemplo 1.2).

Otro resultado importante es el siguiente.

Teorema 4.2. Sea X un espacio Hausdorff. TodoA⊆X ad-compacto es cerrado.

Demostraci´on.

Sea u∈Ac_{. Como}_X _{es Hausdorff, para cada}_x_∈_A_{existen abiertos}_V

x, yUx,

disjuntos, conu∈Ux, yx∈Vx. ComoS_x_∈_AVx⊇AyAes ad-compacto, existe

J ⊆A, finito, conS

x∈JVx⊇A.

Es claro que U =T

x∈JUx es abierto y que u∈ U. Ahora, A∩U =∅ porque

si z∈A∩U entonces existex∈J con z∈Vx y conz ∈Ux. Esto implica que

Vx∩Ux6=∅, contradicci´on.

De ah´ı que u∈U ⊆Ac, con lo que, Ac es abierto, o lo que es lo mismo, Aes cerrado.

Adem´as, el teorema 4.1 puede ser generalizado para conjuntos abiertos y g-cerrados.

Definici´on 4.1(g-cerrado[3]). Un subconjuntoAde un espacio topol´ogico (X, τ) es g-cerradosiA⊆U para todo abiertoU conA⊆U.

Teorema 4.3. SiX un espacio topol´ogico ad-compacto yY ⊆X es abierto y g-cerrado, entoncesY es ad-compacto.

Para este teorema ofrecemos dos demostraciones distintas.

Demostraci´on 1.

Sea{Va}a∈Auna colecci´on de subconjuntos abiertos deX, tal queA⊆Sa∈AVa.

ComoA es g-cerrado, se tiene queA⊆S

a∈AVa.

EntoncesX = X\A

∪S

a∈AVa , y ya queX es ad-compacto, existeA0⊆A,

finito, conX = X\A

∪S

a∈A0Va.

Pero como X\A=X\int A

yA⊆int A

(23)

X\A

∪ [

a∈A0

Va⊆(X\A)∪

[

a∈A0

Va.

Por lo tanto,X = (X\A)∪S

a∈A0Va, y as´ıA=A∩X ⊆

S

a∈A0Va.

EntoncesAes ad-compacto.

Demostraci´on 2.

Dado que Y es abierto, Y \Y es cerrado. Como Y es g-cerrado y Y \Y es cerrado, entoncesY debe ser cerrado (demostrado en [3]).

(24)

(25)

Espacios producto y

ad-compacidad

Los teoremas mostrados a continuaci´on son un resumen de la relaci´on entre los espacios producto y la ad-compacidad.

Teorema 5.1. Si un producto de espacios topol´ogicos es ad-compacto en-tonces cada espacio factor lo es.

Demostraci´on.

Sea{(Xi, τi)}i∈I una colecci´on de espacios topol´ogicos.

LlamemosX =Q

i∈IXi, y seaj ∈I. La j-´esima proyecci´on,pj:X→Xj dada

por pj((xi)i∈I) = xj, es una funci´on continua y sobreyectiva [2]. Como X es

ad-compacto,Xj tambi´en lo es.

Como se muestra en seguida, el rec´ıproco del teorema anterior requiere una con-dición adicional para cumplirse. Esta condición es similar a la que se exige en la caracterización de ad-compacidad por abiertos subbásicos (Ver teorema 2.2).

Para la demostraci´on del teorema 5.2 ser´a necesario hacer uso de los siguientes lemas.

Lema 5.1. Sea {Xi}i∈I una colecci´on de espacios topol´ogicos.

Para todoAi⊆Xi con i∈I, se cumplepi−1(Ai) =p−i1(Ai).

(26)

Sea Ak⊆Xk conk∈I. LlamemosYk =Ak, yYi=Xi para todoi6=k.

Comop−_k1(Ak) =Qi∈IYi, entonces

p−_k1(Ak) =

Y

i∈I

Yi=

Y

i∈I

Yi=p−_k1(Ak).

Lema 5.2. Sea{Xi}i∈I una colecci´on de espacios topol´ogicos tal que para

todo par de abiertos no disjuntosU, V ∈τi, se cumple queU ∩V =U∩V,

para todoi∈I.

Entonces para todos Uk ⊆ Xk y Vj ⊆ Xj con j, k ∈ I y con p−k1(Vk)∩

p_j−1(Uj)6=∅, se cumple quepk−1(Vk)∩pj−1(Uj) =p−k1(Vk)∩p−j1(Uj).

En efecto:

Sean p−_k1(Vk) yp−j1(Uj) no disjuntos. Llamemos Yk =Vk, Yi =Xi para todo

i6=k,Zj=Uj yZi=Xi para todoi6=j.

N´otese que

1. p−_k1(Vk) =Qi∈IYi, y

2. p−_j1(Uj) =Qi∈IZi.

Entonces:

1. Sik=j, se tiene que Yi∩Zi =Xi∩Xi =Xi=Yi∩Zi para todoi6=k,

y que Uk∩Zj =Vk∩Uj =Vk∩Uj =Yk∩Zj por la hip´otesis adicional

del lema.

LuegoQ

i∈IYi∩Zi=Qi∈IYi∩Zi.

2. Sik6=j, se tiene queYi∩Zi =Xi∩Xi=Xi=Yi∩Zipara todoi6=k, j,

queYk∩Zk =Vk∩Xk=Vk=Yk∩Zk, y queYj∩Zj=Xj∩Uj =Uj=

Yj∩Zj.

Luego tambi´en se cumple queQ

i∈IYi∩Zi=Qi∈IYi∩Zi.

(27)

p−_k1(Vk)∩p−j1(Uj) =

Y

i∈I

Yi∩

Y

i∈I

Zi

=Y

i∈I

Yi∩

Y

i∈I

Zi

=Y

i∈I

Yi∩Zi

=Y

i∈I

Yi∩Zi

=Y

i∈I

Yi∩Zi

=Y

i∈I

Yi∩

Y

i∈I

Zi

=p−_k1(Vk)∩p−j1(Uj).

Teorema 5.2. Si{Xi}i∈I es una colecci´on de espacios ad-compactos y en

cada uno ocurre que para todo par de abiertos no disjuntosU, V ∈ τi, se

cumple queU∩V =U∩V, entonces el producto Q

i∈IXi tambi´en es

ad-compacto.

Demostraci´on.

LlamemosX =Q

i∈IXi. Sabemos que S ={p−i1(Vi) : i∈I yVi ∈τi} es una

subbase paraX.

Sea C un cubrimiento por abiertos subb´asicos para X sin ad-subcubrimientos finitos.

Sea i∈ I, y sea Ci ={Vi ∈τi :pi−1(Vi)∈ C}. Si existiera Zi ⊆Ci, finito, tal

queS

U∈ZiU ⊇Xi, por el lema 5.1 se cumplir´ıa que

[

Vi∈Zi

p−_i 1(Vi) =

[

Vi∈Zi

p−_i 1 Vi

=p−_i1 [

Vi∈Zi

Vi

!

=p−_i1(Xi)

=X,

de donde se concluir´ıa que{p−_i 1(Vi) :Vi∈Zi} es un ad-subcumbrimiento finito

(28)

As´ı que para todo i∈ I, Ci no tiene ad-subcubrimientos finitos. No obstante,

Xies ad-compacto para todoi∈I, luego debe existirxi∈Xiconxi∈/ S_U_∈_C_iU.

Sea x= (xi)i∈I. Como se cumple que xi ∈/ SU∈CiU para todo i ∈ I,

enton-ces x /∈ S

U∈CU, y esto es imposible dado que C es un cubrimiento para X.

Conclu´ımos que todo cubrimiento por abiertos subb´asicos paraX tiene un ad-subcubrimiento finito.

Para aplicar el equivalente del lema de Alexander para ad-compacidad, s´olo ha-ce falta ver que para todo par de abiertos no disjuntosU, V ∈S, se cumple que U∩V =U∩V. Pero esto es inmediato de el lema 5.2

Un comentario que debe rescatarse es que el teorema 5.2 es v´alido sobre el espacio producto con latopolog´ıa producto. Como se muestra a continuaci´on, con latopolog´ıa caja no se cumple necesariamente dicho teorema.

Ejemplo 5.1. Para cadak ∈Z>0, sea Xk = (Z, τfk), dondefk : Z→Z

está dada porfk(n) =nmódk. (En el teorema 1.2 está la definición

pre-cisa deτfk).

Xdotado de la topolog´ıa producto es un espacio ad-compacto, sin embargo, al dotarlo con la topolog´ıa caja deja de serlo.

En efecto:

1. Como se mostr´o en el ejemplo 2.3, para cada k ∈ _N, Xk es

ad-compacto.

Veamos que para todo N ∈Z>0 se cumple queU∩V =U∩V para

todos U, V ∈τfN con U∩V 6=∅.

(29)

sabemos que

U∩V =f_N−1(fN(U))∩fN−1(fN(V))

=f_N−1(fN(U)∩fN(V))

={n∈Z:fN(n)∈(fN(U)∩fN(V))}

={n∈_Z: (∃u∈U)(∃v∈V)(fN(n) =fN(u) yfN(n) =fN(v))}

={n∈Z: (∃u∈U)(∃v∈V)(fN(u) =fN(v) =fN(n))}

={n∈Z:fN(n)∈U yfN(n)∈V}

={n∈Z:fN(n)∈U∩V}

=f_N−1(fN(U∩V))

=U∩V .

LuegoX es ad-compacto por el teorema 5.2.

2. Si se dota aX con la topolog´ıa caja, conideremos el cubrimiento

C=

(₊_∞ Y

i=1

{nk, nkm´odk}

)

(n1,n2,...)∈X

.

Es claro queC cubre aX.

Supongamos que existeJ⊆X, finito, con

X= [

(n1,n2,...)∈J

+∞

Y

i=1

{nk, nk m´odk},

o sea,

X = [

(n1,n2,...)∈J

(Z+n1,2Z+n2,3Z+n3, ...).

Pero esto es imposible, pues si tomamos un enteroN > |J|y supo-nemos que

[

(n1,n2,...)∈J

NZ+nN =Z=

N

[

k=1

NZ+k,

se tendr´ıa que

N >|J| ≥

{NZ+nN}(n1,n2,...)∈J

=N,

(30)

(31)

Cl-compacidad y

ad-compacidad

En un trabajo de grado previo se defini´o otra forma d´ebil de compacidad, lla-madacl-compacidad[1], de la siguiente manera.

Definici´on 6.1(Cl-compacidad [1]). Un espacio topol´ogicoX es llamado

cl-compactosiK es compacto para todoK⊆X compacto.

Los siguientes ejemplos muestran que cl-compacidad no implica ad-compacidad, y viceversa, respectivamente.

Ejemplo 6.1. Rno es ad-compacto pero es cl-compacto.

En efecto:

1. Como se mostr´o en el ejemplo 1.1,Rno es ad-compacto.

2. Res cl-compacto porque por el teorema de Heine-Borel, siK⊆Res

compacto entonces es cerrado y acotado, luegoK=Kes compacto.

Ejemplo 6.2. (R,C) es ad-compacto pero no es cl-compacto.

En efecto:

1. Como se mostr´o en el ejemplo 1.2, (_R,C) es ad-compacto.

(32)

abier-tos para K, existei ∈I con 0∈Ui, en cuyo caso,K ⊆Ui, puesUi

es una cola o esR.

No obstante,K=Rno es compacto seg´un el ejemplo 1.2. As´ı que R

no es cl-compacto.

Ejemplo 6.3. _N con la topolog´ıa m´odulo 2 es ad-compacto y no es cl-compacto.

En efecto:

1. Como se mostr´o en el ejemplo 1.4,_Nes ad-compacto.

2. El conjunto K ={0,1} es compacto porque es finito. Sin embargo, como se mostr´o en el ejemplo 1.4,K=Nno es compacto.

(33)

[1] J.D. Rodr´ıguez,Espacios Cl-compactos. Trabajo de grado, Escuela Colom-biana de Ingenier´ıa Julio Garavito.

[2] S.W. Davis,Topology. Mc-Graw Hill. 2005. P´ag. 64.

[3] N. Levine, Generalized closed sets in topology, Rendiconti del Circolo Ma-tematico di Palermo, 19:1 (1970).1

[4] R.L. Newcomb, Topologies wich are compact modulo an ideal, Ph. Disser-tation, Univerity of California at Snata Barbara, 1967.

[5] D.V. Rancin, Compactness modulo an ideal, Soviet Math Doklady, 13:1 (1972), 193-197.

[6] T.R Hamlett y D. Jancovii,Compactness with respect to an ideal, Bollettino dell’Unione Matematica Italiana, 7:48 (1990), 849-861.

[7] R. Hosny,Some types of compactness via an ideal, International Journal of Scientific and Engineering Research, 4:5 (2013), 1293-1296.2

[8] A.A. Nasef,Some classes of compactness in terms of ideals, Soochow Tour of Math, 27:3 (2001), 343-352.

[9] M.K. Gupta y T. Noiri, C-Compactness modulo an ideal, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. (2006), 1-12.3

1_{Vista previa disponible en}_{http://link.springer.com/article/10.1007\%2FBF02843888} 2_Disponible _en _{http://www.ijser.org/researchpaper}

%5CSOME-TYPES-OF-COMPACTNESS-VIA-IDEAL.pdf