Ayudant´ıa Integrales M´
ultiples
1er Semestre 2013
Integrales dobles, triples y teorema cambio de variable
Profesor: Juan Bahamondes Ayudante: Paz Palma Contreras
1. Invirtiendo el orden de integraci´on calcule:
2 Z
1
x3
Z
x
√
xydydx+
8 Z
2 8 Z
x
√
xydydx
Soluci´on
Figura 1:
Para invertir el orden de integraci´on se debe describir la nueva regi´on R∗ en funci´on de la variable x. A
diferencia de la integral que se muestra en el enunciado, la regi´on de integraci´on se divide en dos, tal que :
R=R1∩ R2
R1=
(x, y)∈R2: 1≤x≤2, x≤y≤x3
R2=
(x, y)∈R2: 2≤x≤8, x≤y≤8
En cambio, la regi´onR∗ es posible describirla de forma ´unica, sin divirla en m´as regiones, de forma :
Ahora, resolviendo la integral:
8 Z
1
y
Z
y1/3
√
xydxdy=
8 Z
1
1
y
y
Z
y1/3
√
ududyHaciendo u=xy ydu=ydx
=
8 Z
1
1
y
"
2 3 ·u
3/2
y
y1/3
#
dy= 2 3
8 Z
1
1
y
(xy)3/2
y
y1/3
dy
=2 3
8 Z
1
1
y
h
·(y·y)3/2−(y1/3·y)3/2idy= 2 3
8 Z
1
1
y
·y3−y2dy
=2 3
8 Z
1
·y2−y
dy= 2 3
"
y3
3 −
y2
2
8
1 #
=2 3
83
3 − 82
2 − 1 3 −
1 2
=2 3 ·
833 6
=833 9
2. Eval´ue la siguiente integral doble y dibuje la regi´onD
Z Z
D
(x+y+ 1)dA, D=(x, y)∈R2:y≥x2+ 2x∧y≤3∧y≤3x+ 6 (1)
Soluci´on
Lo primero a decidir para resolver el problema es elegir el orden de integraci´on que sea m´as simple de ver o
de resolver. Para esto, se dibuja la regi´onD
Figura 2:
Para este ejemplo, se tienen dos alternativas: dividir la regi´onDen dos subregiones tipo 1 o dividirla en dos
subregiones tipo 2
Cuando la regi´on D es dividida por la recta x = −1, se obtienen dos subregiones de tipo 1, o sea,
D=D1∪ D2, donde:
D1= (x, y)∈R2:−2≤x≤ −1 ∧ x2+ 2x≤y≤3x+ 6
Gr´aficamente es:
Figura 3: Separaci´on del DominioDen dos subregiones de tipo 1
Por lo tanto, evaluando en (1):
I=
Z Z
D
(x+y+ 1)dA =
−1 Z
−2 3x+6
Z
x2+2x
(x+y+ 1)dydx+
1 Z
−1 3 Z
x2+2x
(x+y+ 1)dydx
=
−1 Z
−2
xy+y
2
2 +y
3x+6
x2+2x
dx+
1 Z
−1
xy+y
2
2 +y
3
x2+2x
dx = −1 Z −2
x 3x+ 6−x2−2x+1
2 (3x+ 6)
2−(x2+ 2x)2
+ 3x+ 6−x2−2x
dx+ + 1 Z −1
x 3−x2−2x
+1 2 3
2−(x2+ 2x)2+ 3−x2−2x dx = −1 Z −2 −x 4
2 −3x
3+5x2
2 + 25x+ 24
dx+ 1 Z −1 −x 4
2 −3x
3
−5x2+x+15 2 dx = −x 5 10 − 3x4
4 +
5x3
6 +
25x2
2 + 24x
−1 −2 + −x 6 60 − 3x5
20 + 5x4
24 + 25x3
6 + 12x
2 1 −1 dx = 29 60+ 172 15
∴I=
Z Z
D
(x+y+ 1)dA= 239 20
donde:
DA= (x, y)∈R2:−1≤y≤0∧ −1−
p
y+ 1≤x≤ −1 +py+ 1
DB = (x, y)∈R2: 0≤y≤3∧
y−6
3 ≤x≤ −1 +
p
y+ 1
Gr´aficamente,
Figura 4: Separaci´on del DominioDen dos subregiones de tipo 2
Evaluando en (1):
I=
Z Z
D
(x+y+ 1)dA=
0 Z
−1
−1+√y+1 Z
−1−√y+1
(x+y+ 1)dxdy+
3 Z
0
−1+√y+1 Z
y−6 3
(x+y+ 1)dydx
=
0 Z
−1 x2
2 +xy+x
−1+√y+1
−1−√y+1
dy+
3 Z
0 x2
2 +xy+x
−1+√y+1
y−6 3
dy
=
0 Z
−1 h
2 (y+ 1)32 −2py+ 1
i
dy+
3 Z
0
(y+ 1)32 −py+ 1−7y
2
18 + 11y
6
dy
=−8 15 +
749 60
∴I=
Z Z
D
(x+y+ 1)dA=239 20
3. Determine la masa de la placa limitada por las curvas y= 3x2
2 −6x+ 4 yy = 2|x−2|, cuya densidad var´ıa
de acuerdo a la funci´onρ(x, y) = 1 + 2x
Soluci´on
El c´alculo de la masa se obtiene de la integral doblem=RRDρ(x, y)dA, por lo tanto:
m=
Z Z
D
(1+2x)dA
Por otro lado seg´un la definici´on de valor absoluto:
|x−2|=
(
x−2 six−2≥0
2−x six−2<0
Entonces,
y=
(
2x−4 six≥2
4−2x six <2
Gr´aficamente la regi´onDcorresponde a:
Figura 5:
Es evidente que la regi´onDdebe dividirse en dos regiones de tipo 1, tal queD=D1∪ D2. Entonces:
m=
Z Z
D
ρ(x, y)dA=m=
Z Z
D1
ρ(x, y)dA+m=
Z Z
D2
ρ(x, y)dA
donde,
D1= (x, y)∈R2: 0≤x≤2 ∧ 3
2x
2
−6x+ 4≤y≤ −2x+ 4
D1= (x, y)∈R2: 2≤x≤4 ∧
3 2x
Figura 6: Separaci´on del DominioDen dos subregiones de tipo 1
Entonces:
m=
Z 2
0
Z −2x+4
3
2x2−6x+4
(1 + 2x)dydx+
Z 4
2
Z 2x−4
3
2x2−6x+4
(1 + 2x)dydx
=
Z 2 0
((1 + 2x)y)|−32x+4 2x2−6x+4
dx+
Z 4 2
((1 + 2x)y)|23x−4 2x2−6x+4
dx
=
Z 2 0
−3x3+13x
2
2 + 4x
dx+
Z 4 2
−3x3+29x
2
2 −8x−8
dx
=
−3
4x
4+13x 3
6 + 2x
2
2
0
+
−3
4x
4+29x 3
6 −4x
2−8x
4
2
=40 3 +
80 3
∴m=
Z Z
D
ρ(x, y)dA= 40
4. Eval´ue la integral triple RRR
B(xyz)dV, dondeB es la regi´on del primer octante comprendido entre los conos
cuyas ecuaciones sonz=p2(x2+y2) yz=p
(x2+y2), y el planoz= 4
Soluci´on
Lo primero es graficar el recinto B.
Figura 7: Intersecci´on de las superficies dadas.
Graficando lo mismo pero ahora en un planoXZ o XY se tiene:
Figura 8: Corte en un planoXZ del s´olido formado por las superficies dadas.
Seg´un la figura, la variable z toma diferentes valores a la salida del recinto B, por lo que la integral triple
queda de la forma:
Z Z Z
B
(xyz)dV =
Z Z
D1
Z 4 √
x2+y2
(xyz)dzdA+
Z Z
D2
Z 2( √
x2+y2)
√
x2+y2
(xyz)dzdA (2)
B en el planoXY corresponde a la regi´onD1=D1A∪ D1B donde:
D1A=
n
(x, y)∈R2: 0≤x≤√8,p
8−x2≤y≤p16−x2o
D1B=
n
(x, y)∈R2:√8≤x≤4,0≤y≤p16−x2o
Gr´aficamente,
Figura 9: Proyecci´on de la regi´onBcon l´ımite superiorz= 4:D1
Con la figura anterior, se establece el siguiente orden de integraci´on de la integral planteada en 2, de forma
que:
Z Z
D1
Z √
x2+y2
(xyz)dzdA=
Z
√
8
0 Z
√
16−x2
√
8−x2
Z 4 √
x2+y2
(xyz)dzdydx+
Z 4
√
8 Z
√
16−x2
0
Z 4 √
x2+y2
(xyz)dzdydx (3)
Para definir el segundo orden de integraci´on en la integralRR
D2
R √
2(x2+y2)
√
x2+y2 (xyz)dzdA, se proyecta el recinto
B sobre el planoXY obteni´endose una circunferencia.
Entonces,
D2=n(x, y)∈R2: 0≤x≤√8,0≤y≤p
8−x2o
Resultando:
Z Z
D2
Z √
2(x2+y2)
√
x2+y2
(xyz)dzdA=
Z
√
8
0 Z
√
8−x2
0 Z
√ 2(x2+y2)
√
x2+y2
Figura 10: Proyecci´on de la regi´onBcontenida entre los conos :D2
Usando ( 3) y ( 4) en ( 2)y resolviendo :
I=
Z Z Z
B
(xyz)dV =
Z √ 8 0 Z √
16−x2
√
8−x2
Z 4 √
x2+y2
(xyz)dzdydx+
Z 4
√
8 Z
√
16−x2
0
Z 4 √
x2+y2
(xyz)dzdydx+
+ Z √ 8 0 Z √
8−x2
0 Z
√
2(x2+y2) √
x2+y2
(xyz)dzdydx
= Z √ 8 0 Z √
16−x2
√
8−x2
xyz 2 2 4 √
x2+y2
dydx+ Z 4 √ 8 Z √
16−x2
0 xyz 2 2 4 √
x2+y2
dydx+ + Z √ 8 0 Z √
8−x2
0 xyz 2 2 √
2(x2+y2)
√
x2+y2
dydx = Z √ 8 0 Z √
16−x2
√
8−x2
−x3y
2 −
xy3
2 + 8xy
dydx+ Z 4 √ 8 Z √
16−x2
0
−x3y
2 −
xy3
2 + 8xy
dydx+ + Z √ 8 0 Z √
8−x2
0
x3y
2 + xy3 2 dydx = Z √ 8 0 −x 3y2
4 −
xy4
8 + 4xy
2 √
16−x2
√
8−x2
dx+ Z 4 √ 8 −x 3y2
4 −
xy4
8 + 4xy
2 √
16−x2
0 dx+ + Z √ 8 0
x3y2
4 − xy4 8 √
8−x2
0 dx = Z √ 8 0
8xdx+
Z 4
√
8 x5
8 −4x
3+ 32x dx+ Z √ 8 0
8x−x 5
8
dx
= 4x2
√
8 0 +
x6
48−x
4+ 16x2 4 √ 8 +
4x2−x 6 48 √ 8 0
= 32 +32 3 +
∴m=
Z Z Z
B
(xyz)dV = 64
5. Calcular la masa del s´olido comprendido entre los paraboloides z =p4(x2+y2) yz = 8−p
4(x2+y2) ,
cuya densidad viene dada por ρ(x, y) =x+y+ 1
Soluci´on
Figura 11: Intersecci´on paraboloides.
En la figura 11 se muestra el s´olidoB. N´otese que la variablez que define al s´olido, mantiene las funci´on de
entrada y de salida. Esto permite establecer los l´ımites para la primera integraci´on parcial.
La masa se obtiene como:
m=
Z Z
D
Z 8− √
4(x2+y2)
√ 4(x2+y2)
(x+y+z+ 1)dzdA (5)
Siendo D la proyecci´on del s´olido en el plano XY. Para determinar la ecuaci´on de la curva que delimita la
regi´onD, es necesario resolver el sistema:
(
z= 8−p
4(x2+y2)
z=p4(x2+y2)
Se obtiene
Es as´ı que se puede definir la regi´onDcomo:
D=n(x, y)∈R2:−1≤x≤1,−p
1−x2≤y≤p1−x2o
Entonces, (5) queda:
m=
Z 1 0
Z
√
1−x2
−√1−x2
Z √
4(x2+y2)
8−√4(x2+y2)
(x+y+z+ 1)dzdydx
Resolviendo, (5) queda:
m=
Z 1
−1 Z
√
1−x2
−√1−x2
(x+y+ 1)z+z
2
2
8−4(x2+y2)
4(x2+y2)
dydx
=
Z 1
−1 Z
√
1−x2
−√1−x2
−8x3−8x2y−40x2−8xy2+ 8x−8y3−40y2+ 8y+ 40
dydx
=
Z 1
−1
−8x3y−4x2y2−40x2y−8xy 3
3 + 8xy−2y
4−40y3
3 + 4y
2+ 40y
√
1−x2
−√1−x2
dx
=
Z 1
−1
−80p(1−x2)3
3 −
32x3√1−x2
3 −8x
2p
1−x2+32x √
1−x2
3 + 80
p
1−x2 !
dx
=20π
∴m=
Z Z Z
B
(x+y+z+ 1)dV = 20π
6. Calcular
Z Z
R
3xydA
dondeRes la regi´on limitada por las rectasx−2y= 0,x−2y=−4,x+y+ = 4 yx+y+ = 1
Soluci´on
Es f´acil identificar la regi´on de integraci´on y tambi´en notar lo tedioso que ser´ıa su c´alculo con integrales de
tipo 1 o tipo 2.
Para este caso entonces, es conveniente usar un cambio de variables adecuado, el que viene dado por las rectas
que limitan a la regi´onR.
Entonces:
u=x+y; v=x−2y
Ahora, para obtener el jacobiano, es necesario dejarxey en funci´on deuyv. Para ello se resuelve:
u=x+y =⇒x=13(2u+v)
v=x−2y y= 1
Figura 12: Regi´on de integraci´on.
J =det
∂x ∂u
∂x ∂v
∂y ∂x
∂y ∂v
=det
3 2
1 3
1
3 −
1 3
=−2
3 − 9 3 =−
1 3
Entonces:
Z Z
R
= 3xydA=
Z Z
R∗
3·1
3(2u+v)· 1
3(u−v)· − 1 3dA
=1 9
Z Z
R∗
3·(2u+v)(u−v)dA
Los l´ımites de integraci´on se obtienen directamente de las rectas del enunciado, es decir
1≤u≤4∧ −4≤y≤0
As´ı,
= 1 9
Z 4
1 Z 0
−4
(2u2−uv−v2)dvdu
= 1 9
Z 4
1
2u2v−v 2u
2 −
v3
3
0
−4
du
= 1 9
Z 4 1
8u2+ 8u−64
3
du
= 1
8u3
+ 4u2−64u
∴I=
Z Z
R
3xydA= 164 9
7. Calcular, usando un cambio de variables apropiado
Z Z
D
cos(x2+ 2xy+ 4y2)dA (7)
dondeD=(x, y)∈R2:x2+ 2xy+ 4y2≤4
Soluci´on
El cambio de variable se obtiene generalmente de las curvas que forman la regi´onD
En este caso, es conveniento reordenar la regi´onD
=⇒x2+ 2xy+ 4y2≤4
x2+ 2xy+y2+ (p(3)y)2≤4 (x+y)2+ (p(3)y)2≤4
u2+v2≤4 (8)
o sea u=x+y yv=p(3)y=⇒x=u−√v
3 ∧y=
v
√
3 el Jacobiano corresponde a:
J =det
∂x ∂u
∂x ∂v
∂y ∂x
∂y ∂v
=det
1 −√1
3
0 √1
3
= √1
3
Entonces la integral (7) se re-escribe como:
I=
Z Z
D
cos(x2+ 2xy+ 4y2)dA=
Z Z
D∗
1
√
3cos(u
2
+v2)dudv
Usando coordenadas polares (ya que la expresi´on (8) corresponde a una circunferencia)
I=
Z 2π 0
Z 2 0
1
√
3cos(r
2)·rdrdθ
=
2π·√1
3
Z 2
0
cos(a)·da
2
=√π
3 sin(a)|
2 0
∴I=
Z Z
D
cos(x2+ 2xy+ 4y2)dA= π·sin√ (4)
