Instituto politécnico nacional. Análisis Sísmico POR DESEMPEÑO

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Instituto politécnico nacional

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

UNIDAD ZACATENCO

Análisis Sísmico POR DESEMPEÑO

TESIS

QUE PARA OBTENER EL Título DE:

INGENIERO Civil

PRESENTA:

MARIA REYES CASIMIRO

DIRIGIDA POR:

M. en C. ELIù ROSETE CARRANCO

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Primero quiero agradecer a Dios quien me lleno de fuerzas para culminar una meta tan importante en mi vida.

Agradezco a mi asesor el profesor Eliù Rosete Carranco quien confió en mí y compartió sus conocimientos para concluir dicho trabajo.

Agradezco también a mi familia quienes me apoyaron en todas sus formas posibles.

También de forma especial agradezco a mi amigo y compañero quien confió en mí otorgándome así su tiempo para culminar esta etapa de mi vida con tal éxito muchas gracias Ricardo Baltasar Flores Carranza.

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Índice

I.- Relación Momento – Curvatura (Flexión) I.1.- Definición

I.2.- Curvas esfuerzo – deformación de aceros de refuerzo y concreto I.2.1.- Curva esfuerzo – deformación del acero de refuerzo I.2.2.- Curvas esfuerzo – deformación para el concreto. I.3.- Método de las franjas/dovelas

I.3.1.- Desarrollo del procedimiento del método de Franjas/ Dovelas I.3.2.- Ejemplo de aplicación 1

I.3.3.- Programa Momento – Curvatura elaborado en Visual Basic I.3.4.- Ejemplo de aplicación 2

I.4.- Desarrollo del programa de computadora que genera los valores de Momento – curvatura para secciones de concreto reforzado.

II.- Aplicaciones de la relación Momento – Curvatura

II.1.-Obtención de la capacidad de ductilidad por curvatura

II.1.1.- Forma general de una diagrama Momento – Curvatura II.1.2.- Método practico basado en formulas para vigas y columnas

II.1.3.- Ejemplo de aplicación de la obtención del diagrama Momento – curvatura del ejemplo 1.

II.1.4.- Ejemplo de aplicación de la obtención del diagrama Momento – curvatura del ejemplo 2.

II.1.5.- Ductilidad local por curvatura. II.1.6.- Reserva de ductilidad por curvatura. II.1.7.- Redistribución de Momentos.

II.1.8.- Inercias agrietadas.

II.1.9.- Índices de daño sísmico local. II.2.- Sismos que deberán aplicarse a una estructura

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II.2.1.- Sismos de análisis de acuerdo a Vision 2000. II.2.2.- Comportamiento esperado.

III.- Técnica del Pushover utilizando un modelo de plasticidad III.1.- Desarrollo del método

III.1.1.- Ejemplo de aplicación a un marco articulado con las siguientes características:

III.2.- Obtención de la curva de capacidad resistente III.3.- Matriz de rigidez condensada.

III.3.1.- Condensación estática de la matriz de rigidez. III.4.- Matriz de rigideces lateral.

III.4.1.- Vigas y columnas axialmente rígidas. III.5.- Determinación de la curva de capacidad resistente.

III.5.1.- Ejemplo de aplicación obtención de la curva de capacidad resistente

IV.- Aplicación del Pushover a marcos de concreto reforzado mediante el programa del Sap2000 V.- Análisis de resultados V.1.- Esperados V.2.- Obtenidos V.3.- Interpretación de resultados Conclusiones Recomendaciones Bibliografía Índices de figuras Índice de tablas Índice de ejemplos Anexo

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Introducción

En la actualidad las estructuras solo se diseñan para la zona elástica o al inicio de la zona plástica pero no en la zona platica en este trabajo se estudian ambos en secciones de concreto reforzado para encontrar el comportamiento de cualquier sección en dicha zona.

Con ayuda de un programa se pretende obtener el modelo para conocer el comportamiento de un edificio de concreto reforzado como un elemento aplicando cargas laterales hasta llevarlo a la falla por medio de la técnica del pushover.

La importancia de la relación Momento – curvatura es conocer la capacidad por elemento y la ductilidad de la estructura, ya conocida dicha capacidad se requiere conocer las fuerzas que se aplicaran a la estructura para poder hacerlo; se deben conocer las excitaciones que se le deberán aplicar a la estructura para ello la importancia de conocer los diferentes sismos que se mencionan en este trabajo, así como los diferentes niveles de desempeño que estos son ocasionados por dichos sismos.

Este trabajo consta de cuatro capítulos el primero es la “Relación de Momento – curvatura (flexión)”, en este capítulo se define lo que es un dicha relación y lo que es un diagrama de momento – curvatura, se menciona como se obtienen las graficas de esfuerzo deformación tanto para el concreto como para el acero de refuerzo, así también del método de dovelas y el desarrollo de un programa de computadora que genera los valores de momento – curvatura para cualquier sección de concreto reforzado.

En el segundo capítulo denominado “Aplicaciones de la relación momento – curvatura” en este capítulo se obtiene la capacidad de ductilidad por curvatura aquí se elaboraron algunos ejemplos.

El tercer capítulo titulado “Técnica del Pushover utilizando un modelo de elasticidad”. En este capitulo se describe el desarrollo de dicho método, así también se elaboran ejemplos cambiando el tipo de apoyo, uno cuando los apoyos son articulados y otro donde los apoyos se consideran empotrados; así también para poder resolver dichos marcos se resuelven por medio de dos métodos uno el método de las rigideces, elaborado en una hoja de Excel y el otro usando el programa Staad, ambas formas se comparan y se encuentran que existe una proximidad entre ambos métodos.

El cuarto capítulo “Aplicación del método del Pushover a marcos de concreto reforzado mediante el programa del Sap2000; en este capítulo se aplica el método del Pushover a dos marcos de concreto reforzado, mostrando las gráficas que se obtienen de este programa.

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1 I.- Relación Momento – Curvatura (Flexión).

I.1.- Definición

La relación Momento – Curvatura de una sección transversal de un elemento, es la capacidad del elemento entre la razón de la variación de la dirección de una curva entre dos puntos; es el resultado de un análisis con respecto a las graficas esfuerzo – deformación del concreto y del acero. En este trabajo se emplean modelos constitutivos para el concreto (los de Park y Paulay) y para el acero se utilizaron las funciones que se desarrollaron en el artículo de la Revista de Ingeniería sísmica N° 49, 39-50 (1995) “Comportamiento sísmico de estructuras considerando propiedades mecánicas de aceros de refuerzos mexicanos”. Mario E. Rodríguez y Juan Carlos Botero P. Instituto de Ingeniería, UNAM. Dicho artículo es una investigación de tipo experimental que se realizó a un grupo de barras del mercado nacional para conocer su comportamiento, a base de marcos diseñados como marca el reglamento del DF., y los resultados arrojados de dicha investigación mostraron sobre resistencias que podrían llevar a modos de falla del tipo frágil, por lo que deben ser consideradas.

El diagrama Momento – Curvatura, nos permite conocer cuál es la capacidad de ductilidad por curvatura y la máxima capacidad a flexión del elemento Mu .

I.2.- Curva esfuerzo – deformación del acero de refuerzo y concreto. I.2.1.- Curva esfuerzo – deformación del acero de refuerzo

En el análisis de comportamiento sismo resistente y de deformación en estructuras de concreto reforzado, el uso de la grafica esfuerzo – deformación es muy válida, por lo que en este apartado se hace mención sobre el modelo elastoplastico. Este tipo de modelo se puede apreciar en la figura (1), aquí se presentan tres zonas, la primera es la zona elástica que se encuentra comprendida en el intervalo (0 ≤ es < ey) aquí se define el modulo de

elasticidad, la segunda zona es la de fluencia que se encuentra comprendida en el intervalo (ey ≤ es < esh) y finalmente la zona de endurecimiento por deformación la cual está

comprendida en el intervalo (esh ≤ es ≤ esu).

Para determinar la zona de endurecimiento por deformación se utiliza la siguiente expresión (Mander 1984): ƒs = ƒsu + (ƒy - ƒsu) (esu - es/esu - esh)p Donde: ƒy = 4577 kg/cm2 esh = 0.0088 ƒsu = 7491 kg/cm2

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εsu = 0.1171

p = 3.474

I.2.2.- Curvas esfuerzo – deformación para el concreto.

Algunos modelos para la obtención de la curva esfuerzo – deformación del concreto confinado por estribos rectangulares han sido propuestos por investigadores que intentan representar el comportamiento de dicho material, por lo que se pueden mencionar algunos. En la figura (2) se muestra una curva trilineal propuesta por Chan, los puntos OAB representan la curva para el concreto no confinado y los puntos BC depende del esfuerzo transversal. En la figura (3) Blume y otros investigadores adoptan también una curva trilineal, en esta curva el concreto no confinado se encuentra comprendido en los puntos OA hasta 0.85ƒ´c y ABC que a veces se puede reemplazar por una línea recta, pero

depende de la cuantía y del esfuerzo del confinamiento transversal. En la figura (4) se muestra una parábola recomendada por Baker, donde dicha parábola llega hasta un esfuerzo máximo, el cual va a depender del gradiente de deformación a través de la sección y luego una rama horizontal hasta una deformación que depende del gradiente de deformación de la cuantía de acero transversal

En la figura (5) Roy y Sozen sugirieron reemplazar la rama descendente con una línea recta con una deformación en 0.5ƒ´c relacionada linealmente con la cuantía de

acero transversal. La curva de Soliman y Yu se presenta en la figura (6), consiste en una parábola y dos líneas rectas con esfuerzos y deformaciones en los puntos críticos relacionados con la cuantía de acero transversal , con el espaciamiento y con el área confinada. Sargin y otros en la figura (7), han propuesto una ecuación general que proporciona una curva continua esfuerzo – deformación relacionada con la cuantía, el espaciamiento y resistencia de fluencia del acero transversal y además con el gradiente de deformación a través de la sección y la resistencia del concreto.

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Figura 2.- Curva Trilineal propuesta por Chan.

Figura 3.- Curva trilineal propuesta por Blume y otros investigadores Figura 2

Figura 4.- Parábola recomendada por Baker.

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Los investigadores Kent y Park proponen un modelo en donde se reúnen muchas de las características que se propusieron en las curvas anteriores y realizando una serie de pruebas, en la figura (7) podemos apreciar dicho modelo.

Región AB: εc ≤ 0.002

ƒc = ƒ´c{2εs/0.002 – (εc/0.002)2}

Esta parte ascendente de la curva está representada por una parábola de segundo grado y supone que el acero de confinamiento no afecta el perfil de esta parte de la curva o la deformación del esfuerzo máximo. También se supone que el esfuerzo máximo que alcanza el concreto confinado es la resistencia ƒ´c del cilindro. Hay

evidencia de que los estribos rectangulares provocan un aumento en la resistencia: por ejemplo, véanse las figura (3), figura (6) y la figura (7). Sin embargo, este aumento puede ser pequeño, al grado de que en las pruebas de Roy y Sozen figura (5) no se encontró aumento alguno en la resistencia. En la mayoría de los casos, el refuerzo máximo supuesto ƒ´c es conservador.

Región BC: 0.002 ≤ εc ≤ ε20c

Figura 6.- Curva propuesta por Soliman y Yu

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5 ƒc =ƒć[1 – Z(εc – 0.002)] Donde: Z = 0.5/ ε50u + ε50h – 0.002 ε50u = 3 + 0.002 ƒć/ ƒć – 1000 ε50h = ¾ ps√(b´´/ sh) Donde:

ƒ´c = resistencia del cilindro de concreto en lb/plg2 = 0.00689 N/mm2 = 0.070278 kg/cm2

ps = relación del volumen de refuerzo transversal al volumen del núcleo de concreto medido al exterior de los estribos.

b´´ = ancho del núcleo confinado medido al exterior de los estribos. sh = espaciamiento de los estribos.

El parámetro Z define la pendiente de la rama descendente recta. La pendiente de la rama descendente se especifica por la deformación presente cuando el esfuerzo ha caído hasta 0.5 ƒ´c, y se obtiene figura (7) de evidencia experimental existente. La

ecuación para ε50u toma en cuenta el efecto de la resistencia del concreto en la

pendiente de la rama descendente del concreto no confinado, ya que el concreto de alta resistencia es más frágil que el concreto de baja resistencia. La ecuación para ε50h da la ductilidad adicional debida a los estribos rectangulares y se obtuvo de los

resultados experimentales de tres investigaciones, figura (2), figura (5) y figura (6). Un estudio ver figura (5) dio resultados que incluían el efecto del gradiente de deformación a través de la sección (especímenes cargados excéntricamente), pero como el efecto no fue marcado, no aparece en las ecuaciones. Al analizar los resultados de las tres investigaciones se supuso que el recubrimiento se había desconchado ya cuando el esfuerzo había caído hasta la mitad del esfuerzo máximo. Se supuso que el núcleo confinado llega hasta los ejes centrales de los lados de los estribos, aunque es evidente que se tendrá solo un pequeño error si se considera que el núcleo confinado llega hasta el borde exterior de los estribos. Esto podría explicar la presencia de cierto recubrimiento a deformaciones altas:

Región CD: εc ≥ ε20c

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Esta ecuación toma en cuenta la capacidad del concreto de soportar ciertos esfuerzos a deformaciones muy altas.

I.3.- Método de las franjas/dovelas

Este método sirve para encontrar las fuerzas en el concreto por medio de las franjas, y de esta manera encontrar un equilibrio de fuerzas de las fuerzas a compresión y a tensión. Conocidos los modelos se puede desarrollar el siguiente método.

I.3.1.- Desarrollo del procedimiento del método de Franjas/ Dovelas

1.- Se propone la deformación del concreto.

2.-Se propone la profundidad del eje neutro, a un tercio del peralte.

3.- Se calculan las deformaciones sucesivas, dividiendo la deformación entre el número de franjas del área que trabaja a compresión.

4.- Ya obtenidas las deformaciones para cada franja en el área a compresión, se obtiene la deformación en el área que trabaja a tensión, por medio de triángulos semejantes.

5.-Para calcular esto ya podemos obtener los esfuerzos para cada deformación en cada franja, tanto para compresión como para tensión, por medio de las graficas esfuerzo – deformación, tanto para el concreto en el área a compresión como para el acero en el área a tensión.

6.- Obtenidos los esfuerzos generados en el área a compresión, se obtienen las fuerzas y para ello se calcula un promedio de los esfuerzos a compresión, se multiplica por el ancho de la sección y por el ancho de la franja, hasta llegar al final de los esfuerzos que se generan en el área a compresión.

7.- Para obtener la fuerza en el área a tensión, se multiplica el esfuerzo del acero por el área de acero a tensión.

8.- Obtenidas las fuerzas tanto a compresión como a tensión se verifica si existe una igualdad o aproximación, si es así la profundidad del eje neutro es el requerido y se prosigue a calcular los momentos tanto en compresión como en tensión, de lo contrario se reduce la profundidad del eje neutro hasta llegar a dicha igualdad o aproximadamente. 9.- Para obtener el momento provocado por la tensión se usa la siguiente expresión: MT= (h/2 – r) * T

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10.- Para obtener el momento provocado por la compresión se usa la siguiente ecuación: Mcc= (h/2 – r´)*Cc

Para obtener el momento del acero en el área a compresión se usa la siguiente expresión: MCa = (h/2- (0.85*c /2 )* Ca

Figura 8.- Sección y Fuerza del acero a tensión

Figura 9.- Sección y Fuerza del concreto a compresión

Figura 10.- Sección y Fuerza del acero a compresión h/2 -r

r

h/2 -r

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11.- Finalmente se hace la sumatoria de los momentos tanto a compresión como a tensión para obtener el momento máximo.

I.3.2.- Ejemplo de aplicación 1

Se resuelve la siguiente sección utilizando el método de Franjas/Dovelas Datos de la sección:

Peralte = 55 cm, base = 30 cm, As = 15 cm2, A’s = 5.8 cm2, d’ = 5 cm, r = 5 cm, f´c = 348 kg/cm2, fy = 4577 kg/cm2.

Solución:

La primera profundidad del eje neutro se propone de 24 cm para este ejemplo como se muestran en la figura 11.

Para calcular las deformaciones en el área a compresión se obtienen seis franjas/ dovelas para obtener cada una de estas deformaciones se realiza lo siguiente:

Se toma la deformación máxima que para este ejemplo es 0.003 y se resta 0.003/6 de esta manera se obtienen las siguientes deformaciones:

0.003- (0.003/6) = 0.0025 0.005-(0.003/6) = 0.002 0.002-(0.003/6) = 0.0015

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0.0015-(0.003/6) =0.001 0.001-(0.003/6) =0.0005

Para obtener la deformación del acero en el área a compresión se le resta a 24 cm los 5 cm del recubrimiento obtenido este valor se hace una interpolación como se muestra a continuación:

24 cm = 0.003 19 cm = x

X = (19 cm * 0.003)/24 cm = 0.00237

Para obtener la deformación del acero a tensión se calcula por medio de triángulos semejantes como se muestra a continuación:

24 cm = 0.003 26 cm = x

X = (26 * 0.003)/24 cm = 0.00325

Para obtener los esfuerzos de las deformaciones del concreto se usa la grafica

Grafica 1.- Esfuerzo – Deformación del concreto tomada del libro de Concreto Reforzado de González Cuevas.

Para la deformación 0.0025 corresponde un esfuerzo de 344 kg/cm2

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Para obtener las fuerzas en el área a compresión se realiza lo siguiente:

Se suman los esfuerzos de la deformación 0,003 y 0 .0025, se dividen entre dos y se multiplica por el ancho de franja y por el ancho de la sección.

(316 kg/cm2 + 344 kg/cm2)/2 * 4 cm * 30 cm = 39600 kg = 39.6 Ton (344 kg/cm2 + 348 kg/cm2)/2* 4 cm * 30 cm = 41520 kg =41.5 ton (348 kg/cm2 + 316 kg/cm2)/2* 4 cm * 30 cm = 39840 kg =39.84 ton (316 kg/cm2 + 250 kg/cm2)/2* 4 cm * 30 cm = 33960 kg =33.96 ton (250 kg/cm2 + 156 kg/cm2)/2* 4 cm * 30 cm = 24360 kg =24.36 ton (156 kg/cm2 + 0)/2* 4 cm * 30 cm = 9360 kg =9.36 ton

Grafica 2.- Esfuerzo – Deformación del acero. Figura 12.- Presentación de los esfuerzos en el concreto y acero

Para la deformación 0.00325 corresponde un esfuerzo de 2870 kg/cm2

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Para obtener la fuerza en el acero a compresión, se multiplica el área de acero a compresión por el esfuerzo correspondiente.

F = 5.8 cm2 * 4440 kg/cm2 = 25752 kg = 25.7 ton

Para obtener la fuerza en el acero a tensión, se multiplica el área de acero a tensión por el esfuerzo correspondiente.

F = 15 cm2 * 4870 kg/cm2 = 73050 kg = 73.05 ton

Se suman las fuerzas correspondientes al área a compresión, como sigue: 39.6 + 41.5+39.84+33.96+24.36+9.36+25.7 = 214.3 ton

Ya obtenida la suma de las fuerzas a compresión como a tensión se comparan ambas fuerzas.

214.3 ton > 73.05 ton

Se puede apreciar que las fuerzas son diferentes, por lo que se procede a bajar la profundidad del eje neutro y se repite el procedimiento nuevamente, se detendrá el procedimiento cuando las fuerzas sean iguales o aproximadas.

La profundidad del eje neutro a la que este ejemplo llega al equilibrio es de 6.7 cm

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De la misma manera se fija la deformación εcu = .0004

Figura 15.- Presentación de distribución de deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la deformación 0.0004.

Figura 14.- Presentación de distribución de deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la deformación 0.003

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13 Figura 17.- Presentación de distribución de deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la

deformación 0.0012.

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14 Figura 20.- Presentación de distribución de deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la

deformación 0.0024.

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15 Calculo de momentos: Deformación 0.0004 T = 7.14 ton – m Cc = 6.45 ton – m Ca = 0.67 ton – m Mn = 14. 27 ton – m

Figura 25.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio Para la deformación 0.0004.

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16 Deformación 0.0008 T = 13.06 ton – m Cc = 11.58 ton – m Ca = 1.37 ton – m Mn = 26.02 ton – m Deformación 0.0012 T = 14.17 ton – m Cc = 12.28 ton – m Ca = 1.89 ton – m Mn = 28.35 ton – m Deformación 0.0016 T = 15.19 ton – m Cc = 9.23 ton – m Ca = 6.54 ton – m Mn = 30.97 ton – m

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A continuación se presenta la grafica de Momento vs Deformación del ejemplo 1

Ya obtenida la gráfica Momento – Deformación, se obtiene la gráfica de Momento – Curvatura, para obtener la curvatura se divide la deformación entre la profundidad del eje neutro, haciendo esto se logra a la siguiente gráfica:

Grafica 3.- Momento vs Deformación del ejemplo 1

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20 I.3.4.- Ejemplo de aplicación 2

Se resuelve la siguiente sección utilizando el método de Franjas/Dovelas, utilizando las graficas que se obtienen con el programa que se elaboro pero que se explicara a detalle en más adelante en el Capítulo I.3.3.

Datos de la sección:

Peralte = 80 cm, base = 40 cm, f´c = 250 kg/cm2, fy = 4577 kg/cm2, As = 25 cm2, A´s = 15 cm2.

En primer lugar se obtiene del programa desarrollado la gráfica de esfuerzo – deformación del acero, del modelo propuesto por Botero – Rodríguez.

En segundo lugar se obtiene del programa desarrollado la gráfica de esfuerzo – deformación del concreto, del modelo de Park – Kent.

Grafica 5.- Esfuerzo – Deformación del ejemplo de aplicación 2.

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Se propone una deformación de 0.001

Para obtener las deformaciones del concreto se realiza lo siguiente: 0.001 - (0.001/6) =0.000833333 0.00083333 - (0.001/6)=0.00066667 0.00066667 – (.001/6)= 0.0005 0.0005 – (0.001/6)=0.0003333 0.0003333 – (0.001/6)=0.00016667 0.00016667 - (0.001/6)=0

Tabla 1.- Resumen de valores obtenidos para las deformaciones del concreto.

Eje neutro

26.6666667 cm

Deformaciones Esfuerzos Fuerzas

Espesor de la franja 0.001 187.5 4.44444444 0.00083333 160 30888.8889 0.00066667 136.0937 26319.44 0.0005 109.375 21819.44 0.00033333 69.37498 15888.8871 0.00016667 36.09374 9374.99733 0 0 3208.33244 Σ = 107499.986 kg

Los esfuerzos de cada una de estas deformaciones se obtienen de la siguiente tabla que son los valores obtenidos del programa.

Deformación Esfuerzo 0 0 0.00005 12.34375 0.0001 24.37499 0.00015 36.09374 0.0002 47.49999 0.00025 58.59374 0.0003 69.37498 0.00035 79.84373 0.0004 89.99998 0.00045 99.84373 0.0005 109.375 0.00055 118.5937 0.0006 127.5 0.00065 136.0937 0.0007 144.375 0.00075 152.3437

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22 0.0008 160 0.00085 167.3437 0.0009 174.375 0.00095 181.0937 0.001 187.5

Para obtener las fuerzas se realiza lo siguiente: (187.5 + 160)/2 * 4.44444444*40 = 30888.889 kg (160 + 136.0937)/2 * 4.44444444*40 = 26319.44 kg (136.0937 + 109.375)/2 * 4.44444444*40 = 21819.44 kg (69.37498+ 109.375)/2 * 4.44444444*40 = 15888.887 kg (69.37498+ 36.09374)/2 * 4.44444444*40 = 9374.9973 kg (36.09374)/2 * 4.44444444*40 =3208.3324 kg

Tabla 2.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a compresión.

A´s

compresión

0.00081 2100 31500 15

Σ = 138.999 ton

Esta grafica es la misma de la página 20.

La fuerza se obtiene al multiplicar el esfuerzo por el área de acero a compresión

Grafica 7.- Obtención del valor del acero a compresión marcado con una línea de color negro.

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2100 kg/cm2 * 15 cm2 =31500 kg

Tabla 3.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a tensión.

Deformaciones Esfuerzos Fuerzas As tensión

0.0018 3150 78750 25

Σ = 78.75 ton

Para obtener la deformación del acero se hace una interpolación para obtener el valor requerido

0.001= 26.666667 x = 48.333333

Por lo tanto x = (0.001*48.3333333)/26.66666667 = 0.0018

Para obtener el esfuerzo se usa la grafica del acero La grafica 8 es la misma de la página 20

Grafica 8.- Obtención del valor del acero a tensión marcado con una línea de color negro.

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Eje

neutro 20.5 cm

Espesor de la franja 0.001 187.5 3.416666667 0.00083333 160 23745.8333 0.00066667 136.0937 20233.0695 0.0005 109.375 16773.6945 0.00033333 69.37498 12214.582 0.00016667 36.09374 7207.0292 0 0 2466.40557 Σ = 82640.6141 Kg

Tabla 5.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a compresión. Deformaciones Esfuerzos Fuerzas

A´s

compresión

0.00081 2100 31500 15

Σ = 114.140614 Ton

0.0026 4577 114425 25

Σ = 114.425 ton

Obtención de momentos: Momento en el área a tensión

MT = (80/2 – 5)* 114.425 ton = 4004.875 ton/cm = 40.048 Ton/m

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Momento en el concreto

MCc = (80/2 – 5)* 82.64 ton = 2892.4 ton/cm = 28.924 Ton/m

Momento en el acero a compresión

MCa = (80/2 – 20.5*0.85/2)* 31500kg = 985556.25kg/cm = 9.85 Ton/m

Mn =78.81 T-m

Para la deformación de 0.001 el momento es:

Mn= 78.82 Ton - m

A continuación se propone la deformación de 0.002 Tabla 7.- Resumen de valores obtenidos para las

deformaciones del concreto.

Eje

neutro 26.6666667

Espesor de la franja 0.002 250 4.444444444 0.00166667 242.3437 43763.8844 0.00133333 219.375 41041.6622 0.001 187.5 36166.6667 0.00066667 136.0937 28763.8844 0.00033333 69.37498 18263.8827 0 0 6166.66489 Σ = 174166.645

Figura 36.- Fuerza del concreto a compresión de la deformación 0.001

(34)

26

A´s

compresión

0.0016 3150 47250 15

Σ = 221.416645 Ton Tabla 9.- Resumen del valor obtenido para la

deformación del acero a tensión.

0.0036 4577 114425 25

Σ = 114.425 Ton

Eje

neutro 11 cm

Espesor de la franja 0.002 250 1.833333333 0.00166667 242.3437 18052.6023 0.00133333 219.375 16929.6857 0.001 187.5 14918.75 0.00066667 136.0937 11865.1023 0.00033333 69.37498 7533.8516 0 0 2543.74927 Σ = 71843.7412

A´s

compresión

0.0012 3150 47250 15

Σ = 119.093741 Ton Tabla 12.- Resumen del valor obtenido para la

deformación del acero a tensión.

0.011 4777.527 119438.175 25

(35)

27

Obtención de momentos: Momento en el área a tensión

MT = (80/2 – 5)* 119.43 ton = 4180.05 ton/cm = 41.80 Ton/m

MCa = (80/2 – 11*0.85/2)* 47250 kg = 1669106 kg/cm = 16.69106 Ton/m

Para la deformación de 0.002 se obtiene el momento:

Mn =83.61 T-m

Figura 38.- Fuerza del acero a compresión de la deformación 0.002

(36)

28

Ahora se propone la deformación de 0.003

Eje

neutro 26.6666667 Deformaciones Esfuerzos Fuerzas Espesor de la franja

0.003 237.1391 4.444444444 0.0025 243.5696 42729.6622 0.002 250 43872.8533 0.0015 234.375 43055.5556 0.001 187.5 37500 0.0005 109.375 26388.8889 0 0 9722.22222 Σ = 203269.182

Deformaciones Esfuerzos Fuerzas A´s compresión

0.002549 4577 68655 15

Σ = 271.924182 Ton

Tabla 15- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a tensión.

0.0054 4577 114425 25

Σ = 114.425 Ton

Eje

neutro 9.8

Espesor de la franja 0.003 237.1391 1.633333333 0.0025 243.5696 15703.1509 0.002 250 16123.2736 0.0015 234.375 15822.9167 0.001 187.5 13781.25 0.0005 109.375 9697.91667 0 0 3572.91667 Σ = 74701.4245

(37)

29

Deformaciones Esfuerzos Fuerzas A´s compresión

0.0017 4200 63000 15

Σ = 137.701424 Ton

0.0199 5496.703 137417.575 25

Σ = 137.417575 Ton Obtención de momentos:

Momento en el área a tensión

MT = (80/2 – 5)* 137.41 ton = 4809.35 ton/cm = 48.09 Ton/m

MCc = (80/2 – 5)* 74.7 ton = 2614 ton/cm = 26.14 Ton/m

MCa = (80/2 – 9.8*0.85/2)* 63000 kg = 2257605 kg/cm = 22.57 Ton/m Figura 41.- Fuerza del acero a compresión de la deformación 0.003

(38)

30

Para la deformación de 0.003 se obtiene el momento:

Mn =96.8 T-m

Para la deformación de 0.004

Eje

neutro 26.6666667

Espesor de la franja 0.004 224.2782 4.444444444 0.00333333 233.2809 40671.92 0.00266667 241.6404 42215.2267 0.002 250 43701.3689 0.00133333 219.375 41722.2222 0.00066667 136.0937 31597.2178 0 0 12097.2178 Σ = 212005.173

A´s

compresión

0.00255 4577 68655 15

Σ = 280.660173 Ton

0.0054 4577 114425 25

Σ = 114.425 ton

(39)

31

Eje

neutro 9.8

Espesor de la franja 0.004 224.2782 1.633333333 0.00333333 233.2809 14946.9306 0.00266667 241.6404 15514.0958 0.002 250 16060.2531 0.00133333 219.375 15332.9167 0.00066667 136.0937 11611.9775 0 0 4445.72753 Σ = 77911.9012

A´s

compresión

0.0023 4577 68655 15

Σ = 146.566901 Ton

0.026 5893.072 147326.8 25

Σ = 147.3268 ton Obtención de momentos:

Momento en el área a tensión

MT = (80/2 – 5)* 147.32 ton = 5156.2 ton/cm = 51.56 Ton/m

(40)

32

MCa = (80/2 – 9.8*0.85/2)* 68655 kg =2460251 kg/cm = 24.60 Ton/m

Para la deformación de 0.004 el momento es:

Mn =103.42 T-m

(41)

33 I.3.3.- Programa Momento – Curvatura elaborado en Visual Basic

Programa que obtiene el diagrama Momento – Curvatura de secciones de concreto reforzado con área de acero en dos lechos.

Grafica 9.- Momento vs Deformación del ejemplo 2

(42)

34

Datos introducidos por el usuario:  Peralte de la sección.  Recubrimiento inferior.  Recubrimiento superior.  Ancho de la sección.  f´c del concreto.  Recubrimiento izquierdo.  Recubrimiento derecho.  Diámetro de estribos.  Separación de estribos.

 Espaciamiento para las deformaciones del concreto.  Espaciamiento para las deformaciones del acero.  Acero a compresión.

 Acero a tensión.  Número de franjas.

Procedimiento:

1.- El programa comienza pidiendo los datos de entrada que se mencionaron al inicio de este apartado, lo primero que calcula son las graficas de los esfuerzos y deformaciones para el concreto y el acero.

2.- Con estos valores ya disponibles el programa comienza a calcular las deformaciones en el concreto, en este programa esta propuesta la profundidad del eje neutro a un tercio del peralte y la deformación del concreto se propone para .004/40, el 40 es el numero de valores que se desean conocer, considerando una deformación máxima de .004 como la deformación máxima del concreto a compresión.

3.- Obtenidas las deformaciones del concreto obtiene los esfuerzos y calcula las fuerzas. 4.- Así también calcula las deformaciones del acero primero en el área a compresión, así como su esfuerzo y fuerza, de la misma manera calcula la deformación del acero a tensión, su esfuerzo y su fuerza.

5.- Obtenidos estos valores realiza la sumatoria de las fuerzas a tensión y a compresión y si son iguales o aproximadas calcula los momentos, de lo contrario vuelve al inicio disminuyendo la profundidad del eje neutro hasta que obtenga dicha igualdad o aproximación, encontrada esta igualdad, calcula los momentos y vuelve al inicio a calcular para otra deformación, esto lo ejecutara hasta llegar a la deformación máxima que es de .004 deformación máxima del concreto a compresión.

6.- Los valores de las deformaciones, de los momentos y de las profundidades de eje neutro se guardan en un archivo.

(43)

35 II.- Aplicaciones de la relación Momento – Curvatura

Una de las aplicaciones es la obtención de ductilidad por curvatura y la máxima capacidad a flexión del elemento MU.

II.1.- Obtención de la capacidad de ductilidad por curvatura

Si un elemento tiene muy poca capacidad de ductilidad por curvatura va a presentar una falla frágil cuando la estructura ingrese al rango no lineal, lo cual no es deseable. Lo ideal es que tenga un valor alto de μФ para que la edificación disipe la mayor cantidad

de energía, para que sea posible la redistribución de momentos y de esa manera trabajen todos los elementos en una forma.

II.1.1.- Forma general de una diagrama Momento - Curvatura

El punto A, se alcanza cuando el concreto llega a su máximo esfuerzo a la tensión; es el comienzo del rango elástico.

El punto Y, se determina cuando el acero a tensión alcanza el punto de fluencia, definido por un esfuerzo fy, y una deformación εy.

El punto S, se obtiene cuando el acero a tensión se encuentra al inicio de la zona de endurecimiento, es decir al final de la plataforma de fluencia.

El punto U, se halla cuando el concreto llega a su máxima deformación útil a compresión εu. No es la falla de la sección del elemento.

Fórmulas aproximadas.

Grafica 11.- Puntos principales del diagrama Momento - Curvatura A

Y S

(44)

36

Para encontrar los puntos principales A, Y, U del diagrama momento curvatura, existen fórmulas aproximadas que se pueden utilizar cuando no se dispone de un programa

II.1.2.- Método practico basado en formulas para vigas y columnas de concreto reforzado. Punto A MA = I/C1(ƒct + P0/A) A = bh ФA = MA/Ec I Donde:

C1: Es la distancia del centro de gravedad de la sección a la fibra más tensionada.

ƒct: Es el esfuerzo máximo a tensión del concreto.

I: Es el momento de inercia de la sección. P0: Es la fuerza axial a compresión.

Ec: Modulo de elasticidad del concreto.

A: Área de la sección. Punto Y MY = 0.5ƒć bd2[(1 + βc – η)η0 + (2 – η ) p1 + (η - 2βc)αcp1] βc = d´/d η = 0.75/1 + αy (εc / ε0)0.7 αy = εy / ε0 η0 = P0 / bdƒć p1 = Asƒy / bdƒć p´1= A´sƒy / bdƒć εc = Фyd – εy ≤ εu αc = (1 - βc ) εc / εy - βc ≤ 1 Фy = [ 1.05 + ( C2 – 1.05 ) η0 / 0.03 ] εy / (1- k)d k= √( p1 + p´1 )2 1 / 4αy2 + ( p1 + βc p´1) 1 / 2αy

(45)

37

C2 = 1 + (0.45 / (0.84 + p1))

Las formulas indicadas fueron propuestas por Y. Park tienen un respaldo teórico y experimental basado en el ensayo de 400 elementos.

Donde:

d´= Es el recubrimiento del armado a compresión.

ε0 = Es la deformación del concreto asociado a la máxima resistencia. Punto U MU = (1.24 – 0.15 p1 – 0.5 η0 )My Фu = μФ Фy μФ = (εp / ε0 )0.218pw – 2.15 exp(0.654 pw + 0.38) εp = 0.5 εb + 0.5 √ εb2 + θs2 εb = [ C1 + (C2 – C1) η0 / 0.3] Фy C1 = 1.05 Para p´1 ≠0 C1 = 1 + 1.9 p12.4 Para p´1 =0 C2 = 1 + 0.45 / (0.85 + 2 p´1 - p1 ) θs = 0.002 / ((L/d ) – 0.05) u< 5 o L / d > 4 θs = 0.002 / ((L/d ) – 0.05) [1 + 0.27(u-5)] u>5 y 2.5< L / d < 4 θs = 0.002 / ((L/d ) – 0.05)[1 + 0.185(u-5)/√pw-0.4] u> 5 y L / d<2.5 u = Tb / ƒ´c Donde:

pw: Es la cuantía de confinamiento transversal en porcentaje. Si pw > 2% se considera pw = 2. Por otra parte la ductilidad por curvatura μФ será igual a 1 si el valor que

resulta al aplicar la respectiva ecuación es menor a la 1. θs: Es la rotación por corte.

(46)

38

L: Es la longitud del elemento.

II.1.3.- Ejemplo de aplicación para la obtención del diagrama Momento – curvatura del ejemplo 1.

Ocupando los mismos ejemplos de las secciones antes resueltas, se calcularon los puntos notables del diagrama Momento – Curvatura. Por medio del formulario y después con el programa que se diseño.

Datos de la sección: H= 55 cm, b = 30 cm, As = 15 cm2, A´s = 5.8 cm2, f´c = 348 kg/cm2, d´= 5 cm. Punto A MA = I/C1(ƒct ) I = ((0.30 m * 0.553 m)/12) + (0.2252 m*0.00058 m2) + (0.2252 m*0.0015 m2) I = 0.004264 m4 MA = 3480 T/m * 0.1*(0.004264 m4/0.275 m) MA =5.39 T-m ФA = 5.39 T-m/(2100000 * 0.004264 m4) ФA = 0.000601 1/m Punto Y βc = d´/d βc = 5.0 cm/55 cm βc = 0.090 η = 0.75/1 + αy (εc / ε0)0.7 η = (0.75 / (1 +0.9523))*(0.001575/0.0021)0.7 η = 0.3140 αy = εy / ε0 αy = 0.002/0.0021 αy = 0.9523

(47)

39 p1 = Asƒy / bdƒć p1 = (15 cm2 * 4577 kg/cm2)/(30 cm * 50 cm * 348 kg/cm2) p1 = 0.1315 p´1= A´sƒy / bdƒć p´1= (5.8 cm2 * 4577 kg/cm2)/(30 cm * 50 cm * 348 kg/cm2) p´1= 0.0508 εc = Фyd – εy ≤ εu εc = (0.0065 * 0.55 m) – 0.002 εc = 0.001575 αc = (1 - βc ) εc / εy - βc ≤ 1 Фy = εy / (1- k)d Фy = 0.002/((1-0.4474)*0.55) Фy = 0.0065 1/m k= √( p1 + p´1 )2 1 / 4αy2 + ( p1 + βc p´1) 1 / 2αy k= (√(0.18232 /4*0.95232) + ((0.1315 + 0.090 + 0.0508)/0.9523) ) – (0.1823 / 2*0.9523) k= 0.4474 αc = ((1 – 0.090 ) (0.001575/0.0020)) – 0.090 αc = 0.6266 MY = 0.5ƒć bd2[(1 + βc – η)η0 + (2 – η ) p1 + (η - 2βc)αcp1] MY = 0.5*3480 *0.30* 0.502*[((2-0.3140)*0.1315) + (0.3140 – (2*0.090)*0.6266*0.0508] MY = 29.48 T-m Punto U C1 = 1.05 εb = [ C1 + (C2 – C1) η0 / 0.3] Фy εb = (1.05 * 0.0062) εb = 0.00651 εp = 0.5 εb + 0.5 √ εb2 + θs2

(48)

40 εp = 0.5*0.00651 + 0.5 √ 0.006512 + 0.00017392 = 0.0065 θs = 0.002 / ((L/d ) – 0.05) θs = 0.002 / ((6.0/0.50) - 0.5) θs = 0.0001739 MU = (1.24 – 0.15 p1 – 0.5 η0 )My MU = (1.24 – (0.15 *0.1315)) MU = 35.97 T-m Фu = μФ Фy Фu = 0.0065* μФ = (εp / ε0 )0.218pw – 2.15 exp(0.645 pw + 0.38) μФ = (0.0065 /0.0021 )0.218*3.5 – 2.15 exp(0.645 *3.5 + 0.38) =2.9 μФ = 2.9 Фu = 0.0065*2.9 = 0.01891/m

Con el programa se obtuvo la siguiente grafica donde se muestran los puntos principales:

Grafica 12.- Grafica Momento – Curvatura generada en el programa elaborado para el ejemplo 1

U Y

(49)

41 II.1.4.- Ejemplo de aplicación de la obtención del diagrama Momento – curvatura del ejemplo 2.

Datos de la sección: H= 80 cm, b = 40 cm, As = 25 cm2, A´s = 15 cm2, f´c = 250 kg/cm2, d´= 4 cm. Punto A MA = I/C1(ƒct ) I = ((0.40 m * 0.803 m)/12) + (0.3552 m*0.0025 m2) + (0.3552 m*0.0015 m2) I = 0.01757 m4 MA = 2500 T/m * 0.1*(0.01757 m4/0.40 m) MA =10.98 T-m ФA = 10.98 T-m/(2100000 * 0.01757 m4) ФA = 0.000297 1/m Punto Y βc = d´/d βc = 5.0 cm/80 cm βc = 0.0625

(50)

42 η = 0.75/1 + αy (εc / ε0)0.7 η = (0.75 / (1 +0.9523))*(0.00032/0.0021)0.7 η = 0.1029 αy = εy / ε0 αy = 0.002/0.0021 αy = 0.9523 p1 = Asƒy / bdƒć p1 = (25 cm2 * 4577 kg/cm2)/(40 cm * 75 cm * 250 kg/cm2) p1 = 0.1525 p´1= A´sƒy / bdƒć p´1= (15 cm2 * 4577 kg/cm2)/(40 cm * 76 cm * 250 kg/cm2) p´1= 0.09033 εc = Фyd – εy ≤ εu εc = (0.0029 * 0.80 m) – 0.002 εc = 0.00032 Фy = εy / (1- k)d Фy = 0.002/((1-0.4529)*0.80) Фy = 0.0045 1/m k= √( p1 + p´1 )2 1 / 4αy2 + ( p1 + βc p´1) 1 / 2αy k= (√(0.242832 /4*0.95232) + ((0.1525 + 0.0625 + 0.09033)/0.9523) ) – (0.24283 / 2*0.9523) k= 0.4529 αc = ((1 – 0.0625 ) (0.00032/0.0020)) – 0.0625 αc = 0.0875 MY = 0.5ƒć bd2[(1 + βc – η)η0 + (2 – η ) p1 + (η - 2βc)αcp1] MY = 0.5*2500 *0.40* 0.752*[((2-0.1029)*0.1525) + (0.1029 – (2*0.0625)*0.0875*0.09033] MY = 81.39 T-m

(51)

43 Punto U C1 = 1.05 εb = [ C1 + (C2 – C1) η0 / 0.3] Фy εb = (1.05 * 0.0045) εb = 0.004725 εp = 0.5 εb + 0.5 √ εb2 + θs2 εp = 0.5*0.004725 + 0.5 √ 0.0047252 + 0.00017392 = 0.0045 θs = 0.002 / ((L/d ) – 0.5) θs = 0.002 / ((6.0/0.50) - 0.5) θs = 0.0001739 MU = (1.24 – 0.15 p1 – 0.5 η0 ) My MU = (1.24 – (0.15 *0.1525)) 81.39 MU = 99.06 T-m Фu = μФ Фy μФ = (εp / ε0 )0.218pw – 2.15 exp(0.645 pw + 0.38) μФ = (0.0045 / 0.0021)0.218*1.2 – 2.15 exp(0.645*3.5 + 0.38) = 4.85 μФ = 4.85 Фu = 0.0045 * 1 = 0.0218

Con el programa se obtuvo lo siguiente grafica donde se muestran los puntos principales:

Grafica 14.- Grafica de Momento – Curvatura generada en el programa ejemplo 2

U Y

(52)

44 II.1.5.- Ductilidad local por curvatura

II.1.5.- Ductilidad local por curvatura

La ductilidad por curvatura μФ, es el cociente de la curvatura última Фu y la curvatura de

fluencia Фy, también llamada capacidad de ductilidad de una sección.

La curvatura última se determina considerando la deformación máxima del concreto a la compresión, en este trabajo se consideró a 0.004.

La curvatura de fluencia se determina cuando el acero fluye se busca que deformación tiene el concreto cuando este tiene una deformación de 0.0021.

μФ = Фu / Фy

Para las secciones resueltas en los ejemplos anteriores se calcula su capacidad de ductilidad por curvatura obteniendo los siguientes valores:

Primer ejemplo μФ = Фu / Фy μФ =0.00033 /.00019 μФ = 1.73 μФ = 0.00045/0.00019 μФ = 2.36

(53)

45 Segundo ejemplo μФ = Фu / Фy μФ = 0.000264/0.000144 μФ = 1.83 μФ = 0.000358/0.000144 μФ = 2.48

II.1.6.- Reserva de ductilidad por curvatura

En el siguiente apartado, se habla sobre los sismos de análisis con los cuales se debe verificar el desempeño estructural de una edificación (el cual se puede definir como la capacidad que tienen los elementos estructurales para soportar los sismos en relación al tipo de especificaciones para la cual fueron diseñados). Ahora bien, ante los sismos denominados raro y muy raro, por el Comité VISION 2000, en son muy severos la estructura va ingresar al rango no lineal. Sea Md, el momento actuante debido a uno de

los dos sismos indicados, el cual es mayor que My, asociado a Md se tiene la curvatura

Фd. Se define la demanda de ductilidad por curvatura μd, con la siguiente ecuación:

μd = Фd / Фy

Por otra parte, se define la reserva de ductilidad por curvatura μ, como la

diferencia entre la capacidad de ductilidad y la demanda de ductilidad, por curvatura:

μr = (Фu / Ф)/(Фd / Фy)

Mientras más alta sea la reserva de ductilidad por curvatura de los diferentes elementos que conforman una estructura, mejor será el comportamiento sísmico que se espera en la edificación, toda vez que se permitirá la redistribución de momentos, se obligará a que otros elementos adyacentes a los que están sobrecargados absorban parte de las cargas, aliviando de esta manera las zonas recargadas.

(El cual es un comité, que fue creado por la SEAOC, Asociación de Ingenieros Estructurales de California. Su finalidad fue saber cuál es el desempeño que se espera de una estructura ante un determinado evento sísmico, desempeño que es función del uso que tenga la edificación. El trabajo realizado por el Comité Vision 2000 fue publicado en dos volúmenes. El Volumen I, Se definen los sismo de análisis, Niveles de desempeño expresados en términos cualitativos para la estructura, para elementos no estructurales y para diferentes sistemas de instalaciones que conforman la edificación. También define el marco conceptual para el diseño por desempeño. El Volumen II, es un informe preliminar del sismo de Northirdge de 1994, que ratifica la necesidad de contar en el futuro con procedimientos de análisis sísmicos basados en el desempeño)

(54)

46 II.1.7.- Redistribución de Momentos.

Para que se dé la redistribución de momentos (cuando a un elemento se le aplica una carga se debe hacer una distribución en los extremos para que exista un equilibrio interno provocado por las fuerzas externas y si se sigue incrementando esta distribución se seguirá realizando) , es necesario que los elementos tengan suficiente reserva de ductilidad por curvatura, en las secciones criticas que son los extremos de los elementos.

Un principio fundamental para la redistribución, es que la suma de momentos de las vigas, antes de la redistribución, es igual a la suma de momentos de las vigas, después de la redistribución. En consecuencia no se admite ninguna modificación a la sumatoria de momentos. La redistribución, se puede realizar de la siguiente manera:

 Redistribución de momentos a través de un nodo.

Aquí la redistribución se lleva cabo median de la siguiente forma, si el momento negativo se reduce en un porcentaje en ese mismo porcentaje se debe incrementar el momento positivo para que el nodo no se altere.

 Redistribución de momentos en vigas que involucran redistribución de acciones entre las columnas.

En este caso se realiza lo anterior para las vigas, ya obtenido eso busca el equilibrio en el nodo en cual se modifica los momentos en las columnas lo que nos lleva a encontrar nuevos cortantes sobre las columnas.

Para lograr el equilibrio ante cargas verticales la viga se considera como simplemente apoyada.

Las secciones de las vigas, cuyos elementos se han reducido debido a las redistribución, ingresan al rango no lineal, en forma anticipada pero tienen suficiente reserva de ductilidad por rotación, lo que permite que el concreto trabaje a grandes deformaciones y la sección rote inelásticamente transmitiendo las acciones a otros elementos.

II.1.8.- Inercias agrietadas.

Una vez que se tiene la relación momento – curvatura de una sección, definida por un modelo numérico, se puede encontrar la rigidez a flexión EI, para diferentes condiciones a las cuales puede estar sujeto el elemento.

 Si la sección no experimenta daño, significa que estrictamente el momento actuante es menor que el Momento de agrietamiento (MA), en este caso se tiene:

EI = MA/ФA = EIg

Donde Ig es la inercia no agrietada de la sección transversal del elemento y E es el

modulo de elasticidad del material.

Si en la grafica anterior, se une el punto Y, con el origen se determina la rigidez a flexión agrietada EIcr.

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47

EIcr = My/Фy

Ante un sismo muy severo, la estructura va a sufrir daño. En consecuencia, el análisis sísmico para estos eventos se realiza considerando la inercia agrietada Icr.

Los códigos establecen estos valores en función del nivel de desempeño estructural esperado de la edificación.

Para los ejemplos resueltos anteriormente EIcr = My/Фy

EIcr = 31.45/.0234

EIcr = 1344.01

EIcr = 83.98/.0171

EIcr = 4911.11

Código ecuatoriano de la construcción CEC – 2000

 Icr = 0.5 Ig Para Vigas

 Icr = 0.8 Ig Para Columnas

 Icr = 0.2 Ig Para Muros estructurales

Normativa Sismo Resistente de Colombia NSR – 98

 Estado limite de Servicio.

o Icr = 0.5 Ig Para Vigas o Icr = 1.0 Ig Para Columnas

o Icr = 1.0 Ig Para Muros no fisurados o Icr = 0.5 Ig Para Muros fisurados

o Icr = 0.35 Ig Para Losas, en sistema losa – columna

 Estado limite de Resistencia.

o Icr = 0.35 Ig Para Vigas o Icr = 0.70 Ig Para Columnas

o Icr = 0.70 Ig Para Para Muros no fisurados o Icr = 0.35 Ig Para Muros fisurados

o Icr = 0.25 Ig Para Losas, en sistemas losa – columna

En la norma NSR – 98 se puede apreciar que el valor de Icr depende del Estado de

Diseño, si se espera poco daño (Estado limite de servicio) los valores de Icr son

más altos en relación a cuando se espera más daño (Estado limite de Resistencia). En el Reglamento de Construcción del Distrito Federal se menciona lo siguiente:

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 Icr = 0.5 Ig Para Vigas

 Icr = 0.5 Ig Para Muros agrietados

 Icr = 1 Ig Para Columnas

 Icr = 1 Ig Para Muro no agrietados

II.1.9.- Índices de daño sísmico local.

La tendencia del diseño sísmico resistente es cuantificar el comportamiento no lineal que se espera de una edificación y esto entre otras cosas significa, calcular el índice de daño a nivel sección de los elementos, a nivel de piso y a nivel de la estructura. En el presente aparatado se estudia la evaluación del índice de daño a nivel de sección, también denominado índice de daño local y se desea presentar un modelo muy sencillo basado únicamente en las relaciones momento curvatura.

Si el momento actuante Md, indicado anteriormente es igual al momento de fluencia

My, el índice de daño es igual a cero y si el momento actuante Md es igual a Mu, el

índice de daño es igual a uno. Por otra parte, si se considera una variación lineal del índice de daño, hipótesis del modelo de daño, se tiene que:

ID = (Md - My) /(Mu - My)

En forma similar, se puede definir otro modelo de cálculo del índice de daño ID, en

función de la curvatura: ID = (Фd - Фy) /(Фu - Фy)

Se necesita conocer las excitaciones que va a recibir la estructura, por conocer el índice de daño, para ello es importante conocer los tipos de sismos que se pueden presentar por lo que a continuación se presentan dichos sismos.

II.2.- Sismos que deberán aplicarse a una estructura II.2.1.- Sismos de análisis de acuerdo a Vision 2000.

Se definen los sismos de análisis, niveles de desempeño expresados en términos cualitativos para la estructura, para elementos no estructurales y para diferentes sistemas de instalaciones que conforman la edificación. También define el marco conceptual para el diseño por desempeño. El Volumen II, es un informe preliminar del sismo de Northirdge de 1994, que ratifica la necesidad de contar en el futuro con procedimientos de análisis sísmicos basados en el desempeño.

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Las Normas que están vigentes en la mayoría de los códigos y normativas sísmicas, tienen un objetivo principal, que la estructura tengan buen comportamiento inelástico ante un sismo severo, el mismo que se define mediante estudios de peligrosidad sísmica, considerando una vida útil de la estructura de 50 años con un 10% de probabilidad de excedencia. Este sismo tiene un periodo de retorno que esta alrededor de los 475 años. Para este evento, que tiene muy poca probabilidad de registrarse durante la vida útil de la estructura, se desea que la edificación disipe la mayor cantidad de energía y no colapse, de tal forma que el objetivo principal de la mayor parte de los códigos es salvar vidas para el sismo severo.

El objetivo mencionado en el párrafo anterior se cumple en la práctica en estructuras bien diseñadas, pero solo cuando se presentan sismos de menor magnitud con aceleraciones menores a las esperadas, pero cuando se presentan sismos severos el daño estructural y no estructural es demasiado grande; de tal manera que las pérdidas registradas han sido cuantiosas. Por este motivo es fundamental una vez que se ha terminado de diseñar los elementos estructurales verificar el desempeño que va a tener la edificación ante sismos de menor intensidad y que de seguro se van a registrar durante la vida útil de la estructural, hay que verificar el desempeño en términos estructurales y económicos.

El comité Vision 2000, definió cuatro sismos de análisis, los mismos que se presentan en la siguiente tabla.

Tabla 25.-Sismos de análisis con base a la clasificación de VISION 2000

Sismo Vida útil

Probabilidad de excedencia

Periodo de retorno

Frecuente 30 años 50% 43 años

Ocasional 50 años 50% 72 años

Raro 50 años 10% 475 años

Muy raro 100 años 10% 970 años

Desde un punto de vista riguroso lo que se estableció son los parámetros para definir los estudios de peligrosidad sísmica tendientes a obtener 4 eventos, denominados sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro.

Al observar el periodo de retorno del sismo frecuente, se aprecia que este evento si se va a registrar durante la vida útil de una edificación que por lo regular es de 50 años.

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50 II.2.2.- Comportamiento esperado.

Las siguientes definiciones se presentan en el FEMA con la finalidad de conocer el nivel de desempeño

Nivel de desempeño: Intención después del sismo, condición de un edificio. Es un punto bien definido sobre una escala midiendo cuanta perdida es causada, por el daño del sismo. Además de damnificados, la perdida puede ser en términos de propiedades y capacidad operacional.

Rango de desempeño: Rango o banda de Desempeño, es decir, un nivel esperado. Designación de rangos y niveles de desempeño. El Desempeño está separado en descripciones de daño de sistemas Estructurales y No – Estructurales.

Designaciones estructurales de S-1 al S-5

S-1: Nivel de Desempeño Inmediatamente Ocupacional.

S-2: Rango de Desempeño Control de daño (entre los niveles de Seguridad de Vida y el Inmediatamente Ocupacional).

S-3: Nivel de Desempeño Seguridad de Vida.

S-4: Rango de Desempeño Seguridad Limitada (entre los niveles de Seguridad de Vida y Prevención de Colapso).

S-5: Nivel de desempeño Prevención de Colapso. S-6: Desempeño estructural No considerado. Designación No estructural de N-A asta N-D: N-A: Nivel de Desempeño Operacional.

N-B: Nivel de Desempeño Inmediatamente Ocupacional, N-C: Nivel de Desempeño Seguridad de Vida.

N-D: Nivel de Desempeño Peligro Reducido. N-E: Desempeño No considerado.

Nivel de Desempeño de un edificio.

La combinación de un nivel de Desempeño Estructural y un nivel de Desempeño No Estructural para una completa descripción de un nivel de daño general.

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51 Nivel Operacional

Reserva de utilidad de servicios mantiene funciones: daño muy pequeño

(S1 + NA)

Nivel Inmediatamente Ocupacional El edificio recibe una "Etiqueta verde"

Seguro

para ocupar, indice de inspeccion; alguna

reparación menor. (S1 + NB)

Nivel Seguridad de Vida La estructura permanece estable y tiene significante reserva de capacidad

el daño No estructural peligroso es controlado.

(S3 + NC)

Nivel Prevención de Colapso El edificio permanece vertical pero solo escasamente: algún otro daño

o perdida es aceptable. (S5 + NE)

Desempeño mas alto, perdidas menores

Desempeño mas bajo

En la siguiente tabla se indica una descripción de acuerdo a la FEMA (Federal Emergency Management Agency) sobre los diferentes niveles de desempeño, expresado en términos de los efectos que un sismo puede dejar en las edificaciones.

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52 Tabla 26.- NEHRP Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings

Nivel de desempeño Descripción

Inmediatamente Ocupacional (S-1)

Estado de daño después del sismo

en el cual el daño estructural muy limitado ha ocurrido. Las columnas y sistemas resisten la fuerza lateral del edificio todos conservan su rigidez y resistencia muy cercana antes del sismo. El riesgo de amenaza de vida es muy bajo, aunque pueden ser apropiadas algunas reparaciones menores, esto generalmente no es importante para ser ocupada.

Seguridad de vida (S-3)

Estado de daño antes del sismo, en el cual ha ocurrido un daño estructural significante, pero existe un margen contra cualquiera de los dos colapsos estructurales parcial o total permanece. Algunos elementos y componentes estructurales son severamente dañados, pero esto no ha resultado en grandes fallas ni escombros peligrosos dentro o fuera del edificio. Los daños pueden ocurrir durante el sismo, de cualquier modo eso es esperado para el riesgo general de amenaza de vida, así tal un resultado de daño estructural muy bajo eso deberá ser posible para reparar la estructura. De cualquier modo por razones económicas esto no puede ser práctico, mientras el daño de la estructura no tiene un riesgo de colapso inminente. Es prudente implementar reparaciones estructurales o instalar apuntalamiento temporal preferentemente para reocuparlo.

Prevención de Colapso (S-5)

Significa que el edificio está sobre el borde

experimentando el colapso parcial o total. El daño inicial de la estructura ha ocurrido.

Incluyendo potencialmente una degradación significante en la rigidez y la resistencia en el sistema resistiendo la fuerza lateral. Una gran deformación permanente lateral de la estructura para un grado más limitado de

degradación en la capacidad cargando la carga vertical. De cualquier modo todos los componentes significantes del sistema deberán continuar para cargar demandas de cargas de gravedad. Riesgo significante de lesiones debido a los riegos de caídas de escombros estructurales pueden existir. La estructura no puede ser técnicamente practica para reparar y no es segura para re ocupar, así tal como la actividad de réplica puede inducir al colapso.

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53 Control de daño (S-2)

Significa que el rango continuo que implica menos daño que el definido para el nivel de seguridad de vida, pero más que el definido para el nivel inmediatamente ocupacional. El diseño para desempeño de Control de daño puede ser deseable para minimizar el tiempo de

reparación y la interrupción de operación. Así tal como un significado parcial para protección de equipo valioso y contenidos o para preservar características históricas importantes cuando el costo de diseño de ocupación inmediata es excesivo. El criterio de aceptación para este rango puede ser obtenido por interpolación entre los valores provistos para el nivel inmediatamente ocupacional (S-1) y el nivel de seguridad de vida (S-3).

Seguridad limitada (S-4)

Rango continuo del estado de daño entre el nivel de Seguridad de vida y Prevención de colapso. El diseño de los parámetros para este rango pueden ser obtenidos por interpolación entre el valor de valores provistos

para los niveles de Seguridad de vida (S-3) y Prevención de Colapso (S-5).

No considerado (S-6)

Algunos propietarios pueden desear la dirección exacta de vulnerabilidades no estructurales en un programa de rehabilitación, por ejemplo parapetos vigorizantes o anclaje de contenedores de almacenamiento de materiales peligrosos, sin direccionamiento del desempeño de la propia estructura. Semejantes programas de rehabilitación son a veces atractivos porque pueden permitir una reducción significante en el riesgo sísmico para un costo relativamente bajo. El desempeño actual de la estructura con respecto a los requisitos de las guías no es conocido y puede variar desde un colapso potencial de peligro para una estructura capaz de alcanzar el nivel de desempeño inmediatamente ocupacional.

De acuerdo al uso que va a tener una estructura, el Comité Vision 2000, ha presentado un nivel mínimo de desempeño, el mismo en la tabla siguiente, para tres tipos de edificaciones: básica, esencial y de seguridad critica.

La visión a futuro del diseño sísmico de estructuras, consiste en verificar el desempeño en términos estructurales y económicos que va a tener la edificación para cada uno de los sismos indicados en la siguiente tabla, de acuerdo al uso de la misma. Esta verificación se realiza sobre la base de las distorsiones máximas permitidas, en base al grado de daño local y global de la estructura y en base al índice de desempeño. El costo de construcción es una variable importante que no se debe descuidar en las decisiones que se adopten, es muy probable que inicialmente se tenga una estructura con un bajo costo pero que va a sufrir demasiado daño en elementos no estructurales ante un sismo frecuente y el costo de reparación sea tan grande a más de las molestias que esto conlleva que quizás se decida en hacer una estructura más resistente.

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54 Tabla 27.- Tipos de sismos de análisis y su desempeño

Sismo de análisis Operacional Inmediatamente operacional Seguridad de vida Prevención de colapso Frecuente ♦ Ocasional ● ♦ Raro ♣ ● ♦ Muy raro ♣ ● ♦

♦ Edificaciones básicas, como residencias y oficinas

● Edificaciones esenciales, como hospitales, cuarteles, estaciones de bomberos, etc. ♣ Edificaciones de seguridad critica

En la nueva filosofía de diseño sísmico, el análisis estático no lineal, es el soporte de varias metodologías que se han propuesto para encontrar la respuesta sísmica de una edificación y dentro de este análisis la determinación de la capacidad resistente, es la base del análisis.