Filtros en el dominio espacial

Filtros en el dominio espacial

Lecci´on 05.1

Dr. Pablo Alvarado Moya

CE5201 Procesamiento y An´

alisis de Im´

agenes Digitales

´

Area de Ingenier´ıa en Computadores

Tecnol´

ogico de Costa Rica

Contenido

1

Operaciones sobre los valores de vecindades

2

Teor´ıa de sistemas y filtrado espacial

Linealidad e Invarianza a la traslaci´on

Convoluci´on

Separabilidad

Operaciones espaciales

1

Operaciones geom´etricas

2

Operaciones sobre valores de p´ıxeles

3

Transformaciones de dominio

Operaciones sobre los valores de vecindades

Para imagen de entrada

A

, la imagen de salida

B

es

Teor´ıa de sistemas

Tres tareas b´

asicas

a(x

,

y

)

b(x,

y

)

T

[

_·

]

1

_Simulaci´

_on

de sistemas:

T

y

a

conocidos, determinar

b

Reconstrucci´

on

de se˜

nales:

T

y

b

conocidos, determinar

a

Identificaci´

on

de sistemas:

a

y

b

conocidos, determinar

T

Diferencias de PDI con PDS tradicional

1

la se˜

nales se definen en el espacio y no en el tiempo

2

dos variables independientes espaciales en vez de una

Linealidad

a(x

,

y

)

b(x,

y

)

T

[

_·

]

Si

b

i

(x

,

y) =

T

[a

i

(x

,

y)] entonces

T

[k

1

a

1

(x

,

y) +

k

2

a

2

(x

,

y

)] =

k

1

T

[a

1

(x

,

y

)] +

k

2

T

[a

2

(x

,

y)]

o en general

T

"

_N

X

k

=1

k

i

a

i

(x

,

y)

#

=

N

X

k

=1

k

i

T

[a

i

(x

,

y)] =

N

X

k

=1

k

i

b

i

(x

,

y

)

Invarianza a la traslaci´

on

a(x

,

y

)

b(x,

y

)

T

[

·

]

Si

b(x

,

y) =

T

[a(x

,

y)] entonces:

Sistemas LSI

LSI

:

L

inear and

S

hift

I

nvariant

LTI

:

L

inear and

T

ranslation

I

nvariant

Impulso unitario bidimensional

δ

(x

,

y

) =

δ

(x)

δ

(y) =

(

1 si

x

=

y

= 0

0 en el resto

Propiedad de muestreo:

P´ıxel en posici´on (u

,

v):

f

(x

,

y)

δ

(x

−

u

,

y

−

v)

Imagen como suma de p´ıxeles

f

(x

,

y) =

X

(

u

,

v

)

Convoluci´

on

Sea

T

un sistema LSI

g

(x

,

y) =

T

[f

(x

,

y)] =

T





X

(

u

,

v

)

f

(u

,

v)

δ

(x

−

u

,

y

−

v

)





=

X

(

u

,

v

)

T

[f

(u

,

v

)

δ

(x

−

u

,

y

−

v)]

=

X

(

u

,

v

)

f

(u

,

v)T

[

δ

(x

−

u

,

y

−

v)]

=

X

(

u

,

v

)

f

(u

,

v)h(x

−

u

,

y

−

v

)

=

f

(x

,

y

)

∗

h(x

,

y)

Funci´

on de dispersi´

on puntual

La respuesta al impulso

h(x

,

y) =

T

[

δ

(x

,

y)] llamada en PDI

tambi´en

funci´

on de dispersi´

on puntual

o PSF por

point spread

Pasos de la convoluci´

on

f

(x

,

y

)

∗

h(x

,

y) =

X

(

u

,

v

)

f

(u

,

v)h(x

−

u

,

y

−

v)

Cuatro pasos:

1

Invertir

h

tanto en

x

como en

y

(rotaci´on en 180

◦

)

2

Trasladar origen de

h

invertida a p´ıxel de inter´es en (x

,

y)

3

Multiplicar punto a punto

h

invertida y trasladada con

x

4

Sumar todos los productos anteriores y asignarlos al resultado

Otra interpretaci´

on

Convoluci´

on

f

(x

,

y

)

∗

h(x

,

y) =

X

(

u

,

v

)

f

(u

,

v)h(x

−

u

,

y

−

v)

superposici´on de la PSF desplazada a cada (u

,

v) y amplificada por

Propiedades

Convoluci´

on

Conmutatividad:

a(x

,

y)

∗

b(x

,

y) =

b(x

,

y)

∗

a(x

,

y)

Asociatividad:

a(x

,

y)

∗

b(x

,

y)

∗

c(x

,

y) = [a(x

,

y)

∗

b(x

,

y)]

∗

c(x

,

y)

=

a(x

,

y

)

∗

[b(x

,

y)

∗

c

(x

,

y

)]

Distributividad:

Costo de la convoluci´

on

Imagen

f

(x

,

y

) tiene

R

filas y

C

columnas

h(x

,

y) (kernel, n´

ucleo, m´ascara, PSF) tiene

N

filas y

M

columnas con

x

∈ {

x

i

, . . . ,

x

f

}

,

y

∈ {

y

i

, . . . ,

y

f

}

,

N

=

y

f

−

y

i

+ 1,

M

=

x

f

−

x

i

+ 1

La convoluci´on se puede reescribir

f

(x

,

y)

∗

h(x

,

y

) =

y−y

X

v

=

y−y

x−x

X

u

=

x−x

f

(u

,

v

)h(x

−

u

,

y

−

v)

para recorrer la m´ascara.

Tama˜

no m´ascara:

K

=

NM, tama˜

no imagen:

S

=

RC

Cada p´ıxel:

K

productos,

K

−

1 sumas

Filtro separable

Kernel

h(x

,

y

) separable si

Convoluci´

on con filtro separable

f

(x

,

y

)

∗

h(x

,

y) =

y−y

X

v

=

y−y

x−x

X

u

=

x−x

f

(u

,

v)h

h

(x

−

u)h

v

(y

−

v)

=

y−y

X

v

=

y−y

h

v

(y

−

v)

x−x

X

u

=

x−x

f

(u

,

v)h

h

(x

−

u)

La suma interna

g

x

(x

,

v

) =

x−x

X

u

=

x−x

f

(u

,

v)h

h

(x

−

u) es un filtrado

unidimensional para cada fila

v

de

f

(x

,

y

), y as´ı:

f

(x

,

y

)

∗

h(x

,

y) =

y−y

X

Costo de convoluci´

on separable

P´ıxel en una fila:

M

productos,

M

−

1 sumas

(Producto punto)

Fila:

MC

productos y

C

(M

−

1) sumas

Todas las filas

MRC

=

MS

productos,

RC

(M

−

1) =

S(M

−

1) sumas.

P´ıxel en una columna:

N

productos,

N

−

1 sumas.

Columna:

NR

productos y

R(N

−

1) sumas.

Todas las columnas

NRC

=

NS

productos,

RC

(N

−

1) =

S(N

−

1) sumas.

Comparaci´

on de m´

ascaras separables y no separables

As´

umase

N

=

M

,

R

=

C

(m´ascara e imagen cuadradas)

M´ascara no separable:

R

2

_N

2

_productos,

_R

2

_(N

2

₋

₁₎

M´ascara separable:

R

2

_2N

_productos,

_R

2

_(2N

₋

_{2) sumas}

Correlaci´

on

Correlaci´on:

f

(x

,

y

)

◦

h(x

,

y) =

f

(x

,

y)

∗

h(

−

x

,

₋

y

) =

X

u

,

v

f

(u

,

v

)h(x+u

,

y

+v

)

La m´ascara

no

se rota, como la convoluci´on

Resumen

1

Operaciones sobre los valores de vecindades

2

Teor´ıa de sistemas y filtrado espacial

Linealidad e Invarianza a la traslaci´on

Convoluci´on

Separabilidad

Este documento ha sido elaborado con software libre incluyendo LA_{TEX, Beamer, GNUPlot, GNU/Octave, XFig,}

Inkscape, LTI-Lib-2, GNU-Make y Subversion en GNU/Linux

Este trabajo se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribuci´on-NoComercial-LicenciarIgual 3.0 Unpor-ted. Para ver una copia de esta Licencia, visitehttp://creativecommons.org/licenses/by- nc- sa/3.0/o env´ıe una carta a Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA.