Universidad de la Rep ´ublica C ´alculo 1
Facultad de Ingenier´ıa - IMERL Segundo Semestre 2016
Pr ´actico 5 - Derivaci ´on, primera parte
En este practico se aceptar´an como regla las siguiente derivadas(ex)0=ex, (sin(x))0= cos(x), (cos(x))0=−sin(x) (1)
1.
Derivaci ´on
1. Calcular, a partir de la definici ´on, las derivadas de las siguientes funciones
a) f(x) =xn b) f(x) = n X k=0 akxk c) f(x) = 1 xn d) f(x) = √ x
2. Las ecuaciones (1) pueden deducirse apartir de algunas hip ´otesis a) Seaf(x) =exprobar quef0(x) =exasumiendo quef0(0) = 1
b) Probar que (sin(x))0= cos(x) asumiendo que (cos(x))0 =−sin(x). Probar que (cos(x))0 =−sin(x)
asu-miendo que (sin(x))0= cos(x)
c) Adem´as apartir de (1) y utilizando la regla de la cadena se pueden obtener m´as resultados. Calcular (log(x))0
.
3. Seaf , g:I→Rdos funciones dondeIes un intervalo abierto tal quef ygson derivables enI a) Probar que la funci ´onh:I→Rdefinida porh(x) =f(x) +g(x) es derivable yh0(x) =f0(x) +g0(x) b) Probar que la funci ´onh:I→Rdefinida porh(x) =f(x)g(x) es derivable yh0(x) =f(x)g0(x)+f0(x)g(x) c) Probar que sif(x),0∀x∈I entonces la funci ´onh:I →Rdefinida porh(x) = 1
f(x) es derivable y
h0(x) = f 0
(x) f(x)2
d) Suponga quef(I)⊂I. Probar que la funci ´onh(x) =g◦f(x) es derivable y queh0
(x) =g0
(−f(x))f0
(x) e) 1) Probar que sif es invertible,f(p) =qyf0(p),0, entonces la funci ´onh=f−1 es invertible y
ademash0(q) =f01(p)
2) De un ejemplo de una funci ´onf invertible y derivable pero que su inversa no sea derivable. f) Seah:I→Rfuncion cualquiera. Probar que si enaexisten las derivadas laterales, esto es,
l´ım x→a+ h(x)−h(a) x−a , xl´ım→a+ h(x)−h(a) x−a entonceshes continua ena.
Probar que si las derivadas laterales son iguales entonceshes derivable ena
4. a) Seaf :R→Rtal que existeL= l´ım h→0
f(x0+2h)−f(x0)
h .
1) Probar o refutar, a partir de la definici ´on, quef es derivable enx0. 2) Suponiendo quef es derivable enx0, ¿qu´e relaci ´on hay entreLyf0(x0)? b) Seag:R→Rtal que existeK= l´ım
h→0
g(x0+h)−g(x0−h)
h .
2) Suponiendo queges derivable enx0, ¿qu´e relaci ´on hay entreKyg0(x0)? 5. Sean las siguientes funciones de reales (en su m´aximo dominio):
f(x) =x2, g(x) =x 2+ 5
3x+ 1, h(x) =e x.
Calcule las derivadas de las siguientes funciones:g,f g,f h,gh,g◦f,h◦g,f ◦g,f ◦h.
6. Sif yg son funciones derivables en todo su dominio, halle las siguientes derivadas en funci ´on de las derivadas def yg:
a) f(g(x) +x) b) f(x)
g2(x) + 1 c)
q
(f(x))2+ (g(x))2 d) (f(x))g(x)
7. Determinara, b, c, d∈Rpara que la funci ´onf sea derivable
f(n) = sin(πx) six <0 ax3+bx2+cx+d si 0≤x≤2 2x−1 six >2
8. Probar que la funci ´onf :R→Rdefinida por
f(x) =
(
x2 six∈Q 0 six<Q
es derivable solo en 0
9. a) Calcular las derivadas de las siguientes funciones
a) sin(x) cos(x) b) xlog(x)−x c) tan(x)
b) Probar las siguientes igualdades de funciones trigonometricas
a) (arctan(x))0= 1 1 +x2 b) (arcsin(x)) 0 =√ 1 1−x2 c) (arc cos(x)) 0 =−√ 1 1−x2
10. Calcular las derivadas, cuando existan, de las siguientes funciones
a) sin(x+x2) b) x
1− |x| c)
sin(x) 1 + cos(x)
!2
d) cos(xsin(x)) + sin(cos(x2))
e) sin x3 sinsin(x)x3 f) sin x x− x x−sin(x) g) (x2−x+ 2)100 h) log(x2+x+ 2) i) sin cos(x) x !
j) sin(|x|) k) cos(|x|) l) log r sin(x) + 2 x2+ 2 m) log( |tan(x)|)
11. Calcular los siguientes l´ımites
a) l´ım x→0 ex2−1 xα b) xl´ım→1 log(x) (x−1)α c) l´ımx→0 sin(αx) sin(x) discutiendo segunα∈R+
12. Calcular las sucesionesan=f(n)(0), es decir la derivada enesima, para las siguientes funciones a) f(x) =ex b) f(x) =xk c) f(x) = cos(x) d) f(x) = sin(x) e) f(x) = 1 1−x f) f(x) = √ x+ 1 g) f(x) = log(x+ 1)
13. Determinar hasta que orden es derivable en 0 la siguiente funcione, apartir de los parametrosnyk.
g(n,k)(x) =
(
xnsin(x1k) six,0
0 six= 0 14. Seaϕ:R→Rla funci ´on definida por
ϕ(x) = ( e −1 1−x2 si |x|<1 0 en otro caso Probar queϕtiene derivadas de todos los ordenes y queϕ(m)(1) = 0
2.
Modelos
1. Si un gas en un cilindro se mantiene a temperatura constanteT, la presi ´onP se relaciona con el volumen
V mediante la f ´ormulaP = nRT
V−nb+
an2
V2 dondea, b, n, Rson constantes. Calcule dVdP
2. Para el ejercicio 4 de la secci ´on 6(Modelos) del Pr´actico 4. calcularF0.
FijasV yR1 determianr la funci ´onGque asocia a cadaR1 el correspondienteI (recordar que la ley de Ohm determinaV=IR). CalcularG0.
3. Cuando un satelite explorra la tierra, solo tiene acceso a una parte de la superficie. Algunos de ellos cuentan con sensores que pueden medir el anguloθque se muestra en la siguiente figura
donderes el radio de la Tierra,hla distancia del satelite a la superficie terrestre, yθel ´angulo entre el segmento que une el satelite y el centro de la Tierra con el segemento tangente a la Tierra que pasa por el satelite.
a) Calcularhpara queθ=π3.
b) SeaFla funci ´on que asigna a cadahsu correspondienteθ. Calcular Im(F).
Probar queFes monotona. Calcular l´ımh→+∞F(h).
c) Calcular el ritmoθen funci ´on de la distanciah, es decirF0.
d) Los satelites de navegacion global, como el GPS, orbitan entre 2000 y 35786 km de altura. Determi-nar los angulos m´ınimos y m´aximos para estosh. Comparar com l´ımx→+∞F(θ).
e) Suponga ahora que se quiere obtener un angulo fijoθ0∈Im(F). Determine la funci ´onGque asigna a cada anguloθsu correspondienteh.
CalcularGyG0
4. En este ejercicio se intentara definir la velocidad de los engranajes. Para un engranaje lo importante es cuanto gira, y no la velocidad puntal en cada lugar del mismo.
Suponga por ejemplo que para el engranaje de la figura (figura de la izquierda) se sabe que el gira a una velocidad constante y que el engrange tarda 12 segundos en dar una vuelta entera, cuanto tarda un diente para avanzar al siguiente lugar?
Para definir la velocidad de un engranaje se marcan 2 puntos, O0, el origen de la circunferencia, otro auxiliar O que servira para medir los ´angulos. Estos dos puntos estan en el plano y se mantandran siempre en el mismo lugar. Se pinta un puntop en el engranaje (la circunferencia), este si se movera en funci ´on del tiempo, luego define una funci ´onp(t). Por ´ultimo definimos la funci ´onθcomoθ(t) es el angulo que formanO, O0, p(t). Hay una peque ˜na ambiguedad en esta definici ´on que pasaremos por alto. Definimos asi la velocidad del engranage comoθ0
Para la siguiente figura numeramos los engranages de forma descendente y notemosθi a una funci ´on de angulo para el engranajei. Suponga que movemos voluntariamente el engrange 1. Determinar las velocidadesθi0en relaci ´on aθ01
Suponga ahora un engranaje mueve una cinta horizontal. Relacionar la velocidad del engranaje con al de la cinta, cuidado no solo depende deθ0
.
3.
Ejercicios complementarios
1. Funciones convexas.
Seaf :I→Runa funci ´on, dondeIes un intervalo oR, decimos quef es convexa si∀x, y∈I,∀t∈[0,1] se cumple quef(tx+ (1−t)y)≤tf(x) + (1−t)f(y). En otras palabras, dados dos puntos del grafico def si
se traza el segmento de recta por ellos, el gr´afico def nunca esta por arriba del ´el
En este ejerciciof :I→Rsera convexa
a) SeaJ el intervalo definido porJ={y :−y∈I}, probar que la funcionh:J →Rdefinida porh(y) =
f(−y) es convexa
b) Probar que en el caso de quef sea mon ´otona creciente enI, dadoa∈I la funci ´on
ga(x) =
(
f(a) six≤a
f(x) six > a
es convexa
c) Probar quef es continua
d) Probar que existen las derivadas laterales, esto es, l´ım x→a+ f(x)−f(a) x−a , xl´ım→a+ f(x)−f(a) x−a .
e) Dar ejemplos de funciones convexas mon ´otonas y no mon ´otonas
f) SeaJ⊂Iun intervalo cerrado, como f es continua tiene m´aximo enJ, probar que el m´aximo deJ se
da en uno de los extremos deJ.
2. Sif es tres veces derivable yf0(x),0 se define la derivada de Schwarz def como
Df =f 000 (x) f0 (x) − 3 2 f00(x) f0 (x) ! a) Demostrar queD(f ◦g)(x) =Df(g(x))(g0)2(x) +Dg(x)
3. a) Seaf :R→Runa funci ´on impar, tal quef0(4) = 5. Probar quef debe ser derivable en−4 y calcular
f0
(−4).
En caso de ser derivable en 0, puede afrimar algo def0(0)
b) Seaf :R→Runa funcion par, tal quef0(4) = 5. Probar quef debe ser derivable en−4 y calcular
f0(−4).
