Var E E x f x dx E. E[aX + b] = b + a E[X] Var[aX + b] = a Var[X] 83) Mendel pg158 Sea la función de densidad de una variable aleatoria continua

Texto completo

(1)

1.1

Continuas

1.1.1

Genéricas

Función de distribución:

X

F (x) P(X x)

=

Función de densidad:

(

X

)

( )

X

d F (x)

f (x)

f x dx 1

dx

∞ −∞

=

M

=

Media y Varianza:

( )

( )

( )

( )

2 [X] 2 2 2 [X] [X ] [X] [X]

E

x f x dx

Var

E

E

x f x dx

E

∞ −∞ ∞ −∞

=

=

=

Transformaciones:

2

E[aX b] b a E[X]

Var[aX b] a Var[X]

+

= + ⋅

+

=

Probabilidades:

( )

( )

( )

b X X a P(a x b)≤ ≤ =

f x dx =⎡F b −F a ⎤

83)Mendel pg158 Sea la función de densidad de una variable aleatoria continua

2 cy 0 y 2 f(Y) 0 resto ⎧ ≤ ≤ = ⎨ ⎩

a) Determinar c para que sea una densidad válida. b) Calcular P(1≤Y≤2).

c) Calcular P(1<Y<2).

84)Mendel pg160 Sea la función de densidad de la variable aleatoria continua que representa el tiempo que tarda un ratón en salir de un laberinto (b es el mínimo tiempo posible). 2

b

0 b y

y

f

(Y)

0

resto

≤ ≤

= ⎨

⎪⎩

(2)

2

85)Mendel pg163 Sea la función de densidad de la variable aleatoria continua

2

3

y

0 y

f

(Y)

8

0

resto

= ⎨

⎪⎩

a) Demostrar que es una densidad válida. b) Calcular E(Y).

c) Calcular Var(Y).

86)Freund pg93 Sea la función de densidad de la variable aleatoria continua

3y ke 0 y f(Y) 0 resto − ⎧ ≤ = ⎨ ⎩

a) Determinar k para que sea una densidad válida. b) Calcular P(0,5≤Y≤1).

c) Calcular E(Y) d) Calcular Var(Y).

87)Freund pg93 Sea la función de densidad de la variable aleatoria continua

y e 0 y f(Y) = ⎨⎧0resto≤ ⎩ a) Calcular la mediana de Y. b) Calcular E(Y)

c) Calcular el percentil del 90%.

88)Viedma pg87 La vida de un determinado virus tiene una distribución dada por:

3

k

1 y

y

f

(Y)

0

resto

= ⎨

⎪⎩

a) Determinar k para que sea una densidad válida. b) Calcular F(Y).

c) Calcular P(Y>50). d) Calcular E(Y>50).

89)Sea una variable aleatoria continua cuya función viene dada por:

3y

0

y 0

F

(Y)

1 ke

y 0

<

= ⎨

a) Determinar k para que sea una densidad válida. b) Calcular E(Y).

(3)

90)Sea la función de densidad de la variable aleatoria continua cy 0 Y 3 f(Y) c(6 y) 3 Y 6 0 resto ≤ < ⎧ ⎪ = − ≤ ≤ ⎪ ⎩

a) Determinar c para que sea una densidad válida. b) Calcular A=P(Y>3).

c) Calcular B=P(1,5≤Y≤4,5). d) ¿Son independientes A y B?

91)Mont 4.25 Sea la función de densidad de la variable aleatoria continua

y

3 y 5

f

(Y)

8

0

resto

≤ ≤

= ⎨

⎪⎩

a) Calcular E(Y). b) Calcular Var(Y). c) Calcular med(Y). d) Calcular RI(Y).

92)Bean pg139 Sea la función de densidad de la variable aleatoria continua

y

e 0 y

f(Y) = ⎨⎧0

λ

−λ resto≤ ⎩

y sea la función U=Y2+1 a) Calcular E(Y).

(4)

4

1.1.2

Uniforme

Enunciado:

X

U

[

a,b

]

Función de densidad:

( )

⎪⎩

=

resto

0

b

x

a

a

b

1

x

f

X

Función de distribución:

X

0

x a

x a

F (x)

a x b

b a

1

x b

<

⎪ −

=

⎨ −

≤ ≤

>

⎪⎩

Media y Varianza:

(

)

2 [X] [X]

b a

b a

E

; Var

2

12

=

=

93)Freund pg 211 Sea una v.a. Uniforme U[a,b] a) Comprobar que P(X<a+p(b-a))=p

94)Freund pg 211 Un paracaidista cae en cualquier punto del segmento comprendido entre los puntos A y B

a) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga el triple de lejos de A que de B? 95)Mendel 4.5 El tiempo invertido en la reparación de una máquina es X≈U[1,5]

horas. El gasto por inactividad es:

C

=C

0

+C

1

X

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se tarde más de 2 horas en reparar? b) Calcular E[C].

c) Calcular Var[C].

96) Canavos 5.19 Sea X una v.a. U[a,b]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la variable tome un valor que esté a más de 1 desviación típica de la media?

(5)

1.1.3

Exponencial

Enunciado:

X

Exp(

λ

) ,

λ

0

Función de densidad:

x X e x 0 f (x) 0 resto −λ ⎧λ ≥ = ⎨ ⎩

Función de distribución:

x X 1 e x 0 F (x) 1 resto −λ ⎧ − ≥ = ⎨ ⎩

Media y Varianza:

[X] [X] 2 1 1 E = ; Var = λ λ

Propiedades:

Si

X Exp( )

aX Exp

a

λ

⎛ ⎞

λ

⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )

( )

(

)

( )

1 1 1 2 2 2

X

Exp

Si

X

X

Gamma 2,

X

Exp

λ ⎪

+

λ

λ ⎪⎭

( )

( )

( 1 2)

(

)

1 1 1 2 X X 2 2

X

Exp

Si

min

Exp

X

Exp

+

λ ⎪

λ + λ

λ ⎪⎭

Es el equivalente continuo de la geométrica

No tiene memoria (memoryless)

97)Peña pg176 La vida media de un componente es de 8 meses (Exp)

a) Calcular la probabilidad de que el componente viva entre 3 y 12 meses. b) Calcular el percentil del 95% para la vida media.

98)Una determinada pieza de un motor se estropea una media de una vez cada diez días, si la distribución del tiempo entre fallos es exponencial

a) Calcular la probabilidad de que se estropeé antes de 15 días. b) Calcular la probabilidad de que esté funcionando más de 20 días.

99)Kohler 33 pg291 El tiempo invertido es repostar en una gasolinera es una exponencial de media 2 minutos

a) Calcular P(t<1). b) Calcular P(t<4). c) Calcular P(2<t<6). d) Calcular P(t>5).

(6)

6

100) Kohler 35 pg291 Un quirófano no puede quedarse sin luz. Se exige que la

probabilidad de que esto ocurra ha de ser menor del 1%. Se tienen grupos electrógenos cuya MTBF (Mean Time Between Failures es decir vida media) es de 500 horas.

a) Calcular la probabilidad de fallo si el grupo entra a funcionar durante un apagón de 10 horas.

b) Calcular la probabilidad de fallo si el grupo entra a funcionar durante dos apagones de 10 horas.

c) Ídem si se compran dos grupos y hay 10 apagones de 5horas al año. d) Ídem si se compran sólo un grupo y hay 10 apagones de 5horas al año. 101) Romera 47 El importe de la reclamación de una determinada póliza sigue una

distribución Exp(λ), y la reclamación en el 90% de los casos es de 150€ o menos, a) Calcular E[Y].

b) P[50≤Y≤100].

102) Romera 48 La reclamación media de una póliza es de 200€ y sigue una distribución Exp(λ), calcular

a) P[Y ≤ 250]. b) Percentil del 80%.

103) Considérese una distribución exponencial de media 2000 a) Si se trunca en el punto m, calcular su esperanza.

(7)

1.1.4

Gamma

Enunciado:

X

Gamma(r ,

λ

) o también Gamma(

α

=r ,

β

=1/

λ

)

Función de densidad:

( )

( )

x r r 1 x 1 X X x e x 0 x e x 0 r f (x) f (x) r 0 resto 0 resto − − −λ α− β α ⎧ ⎧λ ⋅ ⋅ ⎪ ≥ ⎪ Γ = ⇔ = ⎨ β ⋅ Γ ⎪ ⎪ ⎩

Función de distribución:

( )

( )

n x n r 1 X n 0

x

e

x 0

S x

n!

1

resto

−λ = − =

λ

= ⎨

Media y Varianza:

2 [X] [X] 2 r r E = ⇔ αβ ; Var = ⇔ αβ λ λ

Propiedades:

Si

X Gamma(r, )

aX Gamma r,

a

λ

λ

( )

( )

(

)

(

)

1 1 1 2 1 2 2 2

X

Gamma r ,

Si

X

X

Gamma r

r ,

X

Gamma r ,

λ ⎪

+

+

λ

λ ⎪⎭

104) Sea una variable aleatoria cuya función de densidad viene dada por:

( )

y 1 Y

y

e

y 0

f (y)

0

resto

− α− β α

⎪⎪

= ⎨ β ⋅ Γ α

⎪⎩

a) Deducir E(Y). b) Deducir Var(Y).

105) Mendel 4.88 Sea una variable aleatoria de función de densidad dada por: 2 2y 4y e y 0 f(Y) 0 resto − ⎧ ⋅ ≥ = ⎨ ⎩ a) Identificarla. b) Calcular E(Y). c) Calcular Var(Y).

(8)

8

Beta

Enunciado:

X

Beta(r , s)

Función de densidad:

(

)

( )

s 1 r 1 X

x

1 x

0 x 1

f (x)

r,s

0

resto

− −

⋅ −

≤ ≤

=

Β

siendo

B

(r,s) la función Beta definida, si

r

y

s

son enteros, como:

( )

r,s

( ) ( )

r

(

)

s

(

r 1 ! s 1 !

(

) (

)

)

r s r s 1 !

Γ ⋅ Γ − ⋅ −

Β = =

Γ + + −

o, en cualquier caso, como:

( )

1 r 1

(

)

s 1 0 r,s z− 1 z − dz Β =

Función de distribución:

Media y Varianza:

(

) (

)

[X] [X] 2 r r s E ; Var r s r s r s 1 ⋅ = = + + ⋅ + +

Propiedades:

( )

( )

( )

1 1 2 1 2

X

Gamma r,

X

Si

Beta r,s

X

Gamma s,

X

X

λ

⎪ ⇒

λ

+

107) Mendel 4.91 Sea una variable aleatoria de función de densidad dada por:

(

)

2 3

k y

1 y

0 y 1

f

(Y)

0

resto

⎧⎪ ⋅ ⋅ −

≤ ≤

= ⎨

⎪⎩

a) Calcular k para que sea una densidad válida.

108) Mendel 4.92 Sea una variable aleatoria de función de densidad dada por:

(

)

2 12 y 1 y 0 y 1 f(Y) 0 resto ⎧ ⋅ ⋅ − ≤ ≤ = ⎨ ⎩ a) Identificar. c) Calcular E(Y). d) Calcular Var(Y). e) Calcular P(y≥0,4).

(9)

109) Mendel 4.97 El coste de inactividad de una máquina viene expresado por

C

= 10+20Y+4Y

2

,

siendo Y la duración de las averías distribuido de la forma

(

)

2 1 y 0 y 1 f(Y) 0 resto ⎧ ⋅ − ≤ ≤ = ⎨ ⎩ a) Calcular E(C). b) Calcular Var(C).

110) Canavos 5.25 Sea una variable aleatoria Y ≈ Beta(2,3) a) Calcular P(Y<0,10).

b) Calcular P(Y<0,25). c) Calcular P(Y<0,50). d) Calcular P(Y∈E[Y] ± 1σY). e) Calcular P(Y∈E[Y] ± 2σY).

(10)

10

1.1.5

Pareto

Enunciado:

X

Pareto(s,

β

)

Función de densidad:

s 1 X

s

1

x

x 0

f (x)

0

resto

− −

⎧ ⎛

⎪ ⎜

= β

⎨ ⎝

β

Función de distribución:

s X

0

x 0

S (x)

x 0

x

<

= ⎨⎛

β

⎪⎜

β +

Media y Varianza:

(

) (

)

2 [X] [X] 2

E

; Var

s 1

s 1

s 2

β

β

=

=

Propiedades:

(

)

( )

( )

( )

X |

Exp

Si

X Pareto s,

Gamma s,

Λ = λ ≅

λ ⎪

β

Λ ≅

β ⎪⎭

es decir una exponencial cuyo parámetro (media) es a su vez una v.a.

de tipo Gamma, da como resultado un Pareto.

111) Bean pg235 Se supone que el tamaño de las reclamaciones de un determinado tipo de póliza es exponencial. La incertidumbre se asume suponiendo que el parámetro de dicha exponencial es una Gamma(3,2),

a) Calcular la probabilidad de que una reclamación se superior a 4.

b) Comparar el resultado con el obtenido suponiendo que las reclamaciones fueran exponencial de parámetro constante (e igual a la media de la Gamma).

112) Bean pg276 Un grupo de pólizas tiene una probabilidad de reclamación del 25%. Cuando éstas se producen son Pareto(3,10),

a) Calcular la probabilidad de que una póliza elegida al azar tenga una reclamación mayor que 50.

b) Calcular la probabilidad de que una póliza elegida al azar tenga una reclamación menor que 10.

c) Calcular la función de distribución de las reclamaciones. d) Calcular E[R] y Var[R].

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