Sumas de espacios normados (un tema del curso “An´alisis funcional”)

(1)

Sumas de espacios normados

(un tema del curso “An´

alisis funcional”)

Egor Maximenko,

http://www.egormaximenko.com

Instituto Politécnico Nacional (México) Escuela Superior de F´ısica y Matemáticas

(2)

Prerrequisitos

Espacios normados.

El producto cartesiano de conjuntos.

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El producto cartesiano de espacios vectoriales

Dada una familia (Vj)j∈J de espacios vectoriales complejos,

en el producto cartesiano Q

j∈JVj se definen operaciones vectoriales por componentes:

∀a, b ∈Y j∈J Vj, a + b :=aj + bj_j∈J ∀λ ∈ C ∀a ∈Y j∈J Vj, λa :=λaj_j∈J.

En otras palabras, a + b, λa ∈Q

j∈JVj, y

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Hacia el concepto de la suma de espacios normados

Si (Vj)j∈J es una familia de espacios normados, entonces su suma se define como

cierto subespacio del espacio vectorial Q

j∈JVj, dotado de cierta norma.

La definici´on requiere un par´ametro adicional, p ∈ [1, +∞].

Para evitar sumas no numerables, en lo que sigue suponemos que J es finito o J = N. La definici´on ser´a similar a la definici´on de los espacios `p,

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Hacia el concepto de la suma de espacios normados

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Hacia el concepto de la suma de espacios normados

Para evitar sumas no numerables, en lo que sigue suponemos que J es finito o J = N.

La definición será similar a la definici´on de los espacios `p, pero el j-´esimo componente de la sucesión pertenecer´a a Vj.

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Hacia el concepto de la suma de espacios normados

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Definici´

on

En lo que sigue suponemos que J es un conjunto finito o J = N. Sea (Vj)j∈J una familia de espacios normados. Para p ∈ [1, +∞),

Mp j∈J Vj :=      u ∈Y j∈J Vj:   X j∈J kujkp_j   1/p < +∞      ,

con operaciones componente a componente: (u + w )j := uj+ wj, (λu)j := λuj, y con la norma

N(u) :=   X j∈J kujkp_j   1/p .

Ejercicio. Mostrar que Mp

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Definici´

on

con operaciones componente a componente: (u + w )j := uj+ wj, (λu)j := λuj,

y con la norma N(u) :=   X j∈J kujkp_j   1/p .

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Definici´

on

N(u) :=   X j∈J kujkp_j   1/p .

(11)

Definici´

on

N(u) :=   X j∈J kujkp_j   1/p .

(12)

Definici´

on

Si p = +∞, M+∞ j∈J Vj :=    u ∈Y j∈J Vj: sup j∈J ku_jk_j < +∞    ,

con operaciones componente a componente: (u + w )j := uj+ wj, (λu)j := λuj, y con la norma N(u) := sup

j∈J

kujkj.

Ejercicio. Mostrar que M+∞ j∈J

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Definici´

on

con operaciones componente a componente: (u + w )j := uj+ wj, (λu)j := λuj,

y con la norma

N(u) := sup j∈J

kujkj.

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Definici´

on

j∈J

kujkj.

(15)

Definici´

on

j∈J

kujkj.

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El caso particular J = {1, 2}

Si V1 y V2 son dos espacios normados, entonces V1⊕pV2 es el conjunto V1× V2

con las operaciones componente a componente y con la norma

N (u1, u2) = ku1kp1 + ku2kp2 1/p . Para p = +∞, N (u1, u2)= max{ku1k1, ku2k2}.

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La suma de varias copias del espacio C

Consideremos el caso particular, cuando Vj = C para cada j.

Caso J = {1, . . . , n}: Mp 1≤j≤n C = (Cn, k · kp). Caso J = N: Mp j∈N C = `p.

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La suma de varias copias del espacio C

(19)

La suma de varias copias del espacio C

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La suma de varias copias del espacio C

Caso J = {1, . . . , n}: Mp 1≤j≤n C = (Cn, k · kp). Caso J = N: Mp j∈N C = `p.

(21)

La suma de varias copias del espacio C

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Proyecciones naturales

Sea (Vj)j∈J una familia de espacios normados, y sea p ∈ [1, +∞].

Denotamos por W el espacio Mp

j∈J

Vj y por N la norma en W .

Para cada s en J , definimos Ps: W → Vs,

Ps(u) := us.

Ejercicio.

Demostrar que Ps es un operador lineal, y kPs(u)ks ≤ N(u) para cada u en W . Ejercicio m´as interesante.

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Proyecciones naturales

j∈J

Ps(u) := us.

Ejercicio.

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Proyecciones naturales

j∈J

Ps(u) := us.

Ejercicio.

Demostrar que Ps es un operador lineal, y kPs(u)ks ≤ N(u) para cada u en W .

Ejercicio m´as interesante.

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Proyecciones naturales

j∈J

Ps(u) := us.

Ejercicio.

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