23dejuniode2020 http://www.egormaximenko.com EgorMaximenko Teoremadelaconvergenciamon´otona(untemadelcurso“An´alisisreal”)

(1)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Desigualdades y l´ımites Demostraci´on del teorema

Teorema de la convergencia mon´

otona

(un tema del curso “An´

alisis real”)

Egor Maximenko

http://www.egormaximenko.com

Instituto Polit´ecnico Nacional Escuela Superior de F´ısica y Matem´aticas

M´exico

(2)

Plan

1 _Introducci´_on

2 Repaso de prerrequisitos

3 Desigualdades y l´ımites

(3)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Desigualdades y l´ımites Demostraci´on del teorema Objetivo: demostrar el teorema de la convergencia mon´otona

(seguimos el camino de los libros de Bartle y Rudin).

Teorema de la convergencia mon´otona de Lebesgue

Sea (X , F , µ) un espacio de medida

y sea (fn)n∈N una sucesi´on creciente en M(X , F , [0, +∞]). Denotemos por g : X → [0, +∞] a la funci´on l´ımite:

g (x ) := lim n→∞fn(x ). Entonces g ∈ M(X , F , [0, +∞]) y Z X g dµ = lim n→∞ Z X fndµ.

(4)

Introducci´on Repaso de prerrequisitos Desigualdades y l´ımites Demostraci´on del teorema Objetivo: demostrar el teorema de la convergencia mon´otona

(seguimos el camino de los libros de Bartle y Rudin).

(5)

Kundalini a la medida

Propiedad σ-aditiva de medida Continuidad de medida por abajo Propiedad σ-subaditiva de medida Teorema de la convergencia mon´otona Lema de Fatou

Teorema de la convergencia dominada Completez del espacio Lp

(6)

Prerrequisitos:

el concepto de l´ımite de una sucesi´on num´erica,

el supremo puntual de una sucesi´on de funciones medibles es medible, la continuidad de la medida por abajo,

la medida ϕ definida como ϕ(Y ) :=R

Y s dµ, con s simple medible positiva, la integral de Lebesgue de funciones positivas medibles,

(7)

El teorema de la convergencia monótona tiene muchas aplicaciones. Aplicaciones más cercanas , dentro del curso de análisis real:

el lema de Fatou,

la integral de la suma de dos funciones positivas, la integral de una serie de funciones positivas,

la continuidad de la integral de Lebesgue respecto al conjunto de integraci´on, la completez del espacio Lp.

(8)

Sucesiones crecientes de n´

umeros

Una sucesi´on (an)n∈N en R se llama creciente si ∀n ∈ N an≤ an+1.

Una sucesi´on (an)n∈N en R se llama estrictamente creciente si ∀n ∈ N an< an+1.

Proposici´on

Si (an)n∈N es creciente, entonces lim

(9)

Sucesiones crecientes de n´

umeros

Una sucesi´on (an)n∈N en R se llama creciente si ∀n ∈ N an≤ an+1.

Una sucesi´on (an)n∈N en R se llama estrictamente creciente si ∀n ∈ N an< an+1.

Proposici´on

Si (an)n∈N es creciente, entonces lim

(10)

Sucesi´

on creciente de funciones

Sea (fn)n∈N una sucesi´on de funciones X → R. Decimos que esta sucesi´on de funciones es creciente

si para cada punto x en X , la sucesi´on num´erica (fn(x ))n∈N es creciente.

La misma condici´on de manera formal:

∀x ∈ X _{∀n ∈ N} fn(x ) ≤ fn+1(x ).

Si (fn)n∈N es una sucesi´on creciente de funciones, entonces sup

n∈N

(11)

Sucesi´

on creciente de funciones

si para cada punto x en X , la sucesi´on num´erica (fn(x ))n∈N es creciente. La misma condici´on de manera formal:

∀x ∈ X _{∀n ∈ N} fn(x ) ≤ fn+1(x ).

n∈N

(12)

Sucesi´

on creciente de funciones

si para cada punto x en X , la sucesi´on num´erica (fn(x ))n∈N es creciente. La misma condici´on de manera formal:

∀x ∈ X _{∀n ∈ N} fn(x ) ≤ fn+1(x ).

n∈N

(13)

El supremo de una sucesi´

on de funciones medibles

Proposici´on

Sea (fn)n∈N una sucesi´on en M(X , F , R). Definimos g : X → R,

g (x ) := sup n∈N

fn(x ).

(14)

La continuidad de la medida por abajo

Proposici´on

Sea (X , F , µ) una medida y sea (An)n∈N una sucesi´on creciente en X . Pongamos B := [ n∈N An. Entonces µ(B) = lim n→∞µ(An).

(15)

La continuidad de la medida por abajo

Proposici´on

Sea (X , F , µ) una medida y sea (An)n∈N una sucesi´on creciente en X . Pongamos B := [ n∈N An. Entonces µ(B) = lim n→∞µ(An).

(16)

La medida definida como una integral

SM(X , F , [0, +∞)) := funciones simples medibles positivas.

Proposici´on Sea s ∈ SM(X , F , [0, +∞)). Definimos ϕ : F → [0, +∞], ϕ(Y ) := Z Y s dµ.

(17)

La integral de Lebesgue de funciones medibles positivas

Dada f en M(X , F , [0, +∞]), Φf := n s ∈ SM(X , F , [0, +∞)) : s ≤ fo. Entonces Z X f dµ := sup Z X s dµ : s ∈ Φf .

(18)

Propiedades mon´

otonas de la integral de Lebesgue

Proposici´on

Sean f , g ∈ M(X , F , [0, +∞]) tales que f ≤ g . Entonces

Z X f dµ ≤ Z X g dµ.

(19)

Observaci´

on crucial sobre l´ımites y desigualdades

Sea y ∈ [0, +∞) y sea (xn)n∈N∈ [0, +∞)N. Supongamos que

lim

n→∞xn≥ y .

(20)

Lema elemental 1

Sean y ∈ [0, +∞), c ∈ (0, 1), (xn)n∈N∈ [0, +∞]N. Supongamos que lim

n→∞xn≥ y .

Entonces existe un m en N tal que xm ≥ cy .

Demostraci´on. Caso y = 0: trivial. Supongamos y > 0. L := lim

n→∞xn. Entonces

cy < y ≤ L.

Pongamos ε := L − cy . Entonces ε > 0, luego _{∃k ∈ N ∀n ≥ k L − ε < x}n< L + ε. Definimos m := k. Entonces

(21)

Lema elemental 1

n→∞xn≥ y .

cy < y ≤ L.

Pongamos ε := L − cy . Entonces ε > 0, luego _{∃k ∈ N ∀n ≥ k L − ε < x}n< L + ε. Definimos m := k. Entonces

(22)

Lema elemental 1

n→∞xn≥ y .

cy < y ≤ L.

Pongamos ε := L − cy . Entonces ε > 0, luego ∃k ∈ N ∀n ≥ k L − ε < xn< L + ε.

Definimos m := k. Entonces

(23)

Lema elemental 1

n→∞xn≥ y .

cy < y ≤ L.

Pongamos ε := L − cy . Entonces ε > 0, luego ∃k ∈ N ∀n ≥ k L − ε < xn< L + ε. Definimos m := k. Entonces

(24)

Lema elemental 2

Sean a, b ∈ [0, +∞] tales que a ≥ cb para todo c en (0, 1). Entonces a ≥ b. Demostraci´on. Si b = +∞, entonces a = +∞, y la desigualdad se cumple.

Consideremos el caso b < +∞.

Razonando por reducci´on al absurdo, supongamos que a < b.

c0 :=

a + b

2b .

Entonces c0 ∈ (0, 1). Por la suposici´on, debe ser a ≥ c0b. Pero

c0b = a + b 2b · b = a + b 2 > a. Contradicci´on.

(25)

Lema elemental 2

Sean a, b ∈ [0, +∞] tales que a ≥ cb para todo c en (0, 1). Entonces a ≥ b. Demostraci´on. Si b = +∞, entonces a = +∞, y la desigualdad se cumple. Consideremos el caso b < +∞.

c0 :=

a + b

2b .

(26)

Lema elemental 2

c0:=

a + b

2b .

(27)

Lema elemental 2

c0:=

a + b

2b .

Entonces c0∈ (0, 1). Por la suposici´on, debe ser a ≥ c0b.

Pero c0b = a + b 2b · b = a + b 2 > a. Contradicci´on.

(28)

Lema elemental 2

c0:=

a + b

2b .

Entonces c0∈ (0, 1). Por la suposici´on, debe ser a ≥ c0b. Pero

(29)

(30)

Demostraci´on, la parte trivial.

Para cada n en N, de la condici´on fn≤ fn+1 se sigue que

Z X fndµ ≤ Z X fn+1dµ. La sucesi´on (R

Xfndµ)n∈N es creciente, luego tiene un l´ımite.

α := lim n→∞

Z

X fndµ.

Para cada n en N, tenemos fn≤ g , as´ı que

Z X fndµ ≤ Z X g dµ.

Pasamos al l´ımite cuando n tiende a infinito:

α ≤ Z

X g dµ.

Falta demostrar que α ≥R

Xg dµ.

(31)

Demostraci´on, empezamos la parte principal.

Supongamos que s ∈ Φg, esto es, s ∈ SM(X , F , [0, +∞)) y s ≤ g . Entonces ∀x ∈ X lim

n→∞fn(x ) = g (x ) ≥ s(x ).

Supongamos que c ∈ (0, 1). Por el Lema elemental 1,

∀x ∈ X _{∃n ∈ N} fn(x ) ≥ c s(x ). (1)

Definimos

Bn:= {x ∈ X : fn(x ) ≥ cs(x )}.

Entonces (Bn)n∈N es una sucesi´on creciente en F . La afirmaci´on (1) significa que

∞

[

n=1

Bn= X .

(32)

Continuamos la demostraci´on. Hemos mostrado que ∞ [ n=1 Bn= X , donde Bn:= {x ∈ X : fn(x ) ≥ cs(x )}. Definimos ϕ : F → [0, +∞], ϕ(Y ) := Z Y s dµ.

Entonces ϕ es una medida. Aplicamos la continuidad de ϕ por abajo: lim n→∞ Z Bn s dµ = lim n→∞ϕ(Bn) = ϕ(X ) = Z X s dµ.

Por la monoton´ıa de la integral,

Z X fndµ ≥ Z Bn fndµ ≥ c Z Bn s dµ.

Pasamos al l´ımite cuando n → ∞: α ≥ c

Z

X s dµ.

(33)

Z

X s dµ.

(34)

Z

X s dµ.

(35)

Z

X s dµ.

(36)

Demostraci´on, la parte final. Hemos mostrado que ∀s ∈ Φg ∀c ∈ (0, 1) α ≥ c

Z

X s dµ.

Por el Lema elemental 2,

∀s ∈ Φg α ≥ Z

X s dµ.

Luego α es una cota superior del conjunto

Z

X

s dµ : s ∈ Φg

.

Aplicamos la definici´on del supremo y luego la definici´on deR

para funciones positivas:

α ≤ sup Z X s dµ : s ∈ SM(X , F , [0, +∞)), s ≤ f = Z X g dµ.

(37)

Consecuencia:

R(2)

como l´ımite de

R(1)

Sabemos que para toda funci´on f ∈ M(X , F , [0, +∞])

existe una sucesi´on (sn)n∈N con valores en SM(X , F , [0, +∞)) tal que

sn% f .

Ahora el teorema de la convergencia mon´otona garantiza que

Z X f dµ = lim n→∞ Z X sndµ. Más aún, el l´ımite de la sucesión de integralesR

X sndµ no depende de la elecci´on de la sucesi´on (sn)n∈N.