La variaci´
on total de una funci´
on
(un tema del curso “An´
alisis real”)
Egor Maximenko
http://www.egormaximenko.com Instituto Polit´ecnico Nacional Escuela Superior de F´ısica y Matem´aticas
M´exico
Particiones de un intervalo
Sean a, b ∈ R. Se dice que τ es una partici´on del intervalo [a, b] si τ es una tupla de la forma
τ = (τ0, τ1, . . . , τn),
donde
a = τ0≤ τ1≤ · · · ≤ τn= b.
P(a, b) := el conjunto de todas las particiones del intervalo [a, b].
Ejemplo.
Particiones de un intervalo
Sean a, b ∈ R. Se dice que τ es una partici´on del intervalo [a, b] si τ es una tupla de la forma
τ = (τ0, τ1, . . . , τn),
donde
a = τ0≤ τ1≤ · · · ≤ τn= b.
P(a, b) := el conjunto de todas las particiones del intervalo [a, b].
Ejemplo.
Particiones de un intervalo
Sean a, b ∈ R. Se dice que τ es una partici´on del intervalo [a, b] si τ es una tupla de la forma
τ = (τ0, τ1, . . . , τn),
donde
a = τ0≤ τ1≤ · · · ≤ τn= b.
P(a, b) := el conjunto de todas las particiones del intervalo [a, b].
Ejemplo.
“La variaci´
on de una funci´
on asociada a una partici´
on”
Sabs(f , τ ) := n X j=1 |f (τj) − f (τj−1)|.La variaci´
on total de una funci´
on en un intervalo
Varba(f ) := sup τ ∈P(a,b) Sabs(f , τ ), esto es, Varba(f ) := sup (τ0,...,τn)∈P(a,b) n X j=1 Sabs(f , τ ).Proposici´on (la variaci´on total de una funci´on Lipschitz continua)
Sea f : [a, b] → R una funci´on Lipschitz continua con coeficiente L:
∀x , y ∈ [a, b] |f (x ) − f (y )| ≤ L|x − y |.
Entonces
Varba(f ) ≤ L(b − a).
Demostraci´on. Para cada τ = (τ0, . . . , τn) en P(a, b),
Sabs(f , τ ) = n X j=1 |f (τj) − f (τj−1)| ≤ n X j=1 L(τj − τj−1) = L n X j=1 (τj− τj−1) = L(b − a).
Proposici´on (la variaci´on total de una funci´on Lipschitz continua)
Sea f : [a, b] → R una funci´on Lipschitz continua con coeficiente L:
∀x , y ∈ [a, b] |f (x ) − f (y )| ≤ L|x − y |.
Entonces
Varba(f ) ≤ L(b − a).
Demostraci´on. Para cada τ = (τ0, . . . , τn) en P(a, b),
Sabs(f , τ ) = n X j=1 |f (τj) − f (τj−1)| ≤ n X j=1 L(τj − τj−1) = L n X j=1 (τj− τj−1) = L(b − a).
Ejemplo de una funci´
on continua con variaci´
on total infinita
0 1/2 1/2 −1/2 f : [0, 1] → R, f (x ) := x cosx1, x ∈ (0, 1]; 0, x = 0.Ejemplo de una funci´
on continua con variaci´
on total infinita
f (x ) := x cos1x, x ∈ (0, 1]; 0, x = 0.Para cada n en N, consideremos la partici´on
τ(n):= 0, 1 nπ, 1 (n − 1)π, . . . , 1 π, 1 . Sabs(f , τ(n)) = n−1 X j=1 (−1)j+1 (j + 1)π − (−1)j jπ = n−1 X j=1 1 π(j + 1)+ n−1 X j=1 1 jπ ≥ 2 π n−1 X j=2 1 j. Luego Varba(f ) ≥ sup n∈N Sabs(f , τ(n)) ≥ sup n∈N 2 π n−1 X j=2 1 j = 2 π ∞ X j=2 1 j + ∞.
La parte positiva y la parte negativa de un n´
umero real (repaso)
Para cada t en R, Pos(t) := t, t ≥ 0, 0, t < 0; Neg(t) := 0, t ≥ 0, −t, t < 0. Propiedades:Pos(t) − Neg(t) = t, Pos(t) + Neg(t) = |t|, 0 ≤ Pos(t) ≤ |t|, 0 ≤ Neg(t) ≤ |t|. Notemos que la parte negativa de t es un n´umero no negativo.
La parte positiva y la parte negativa de un n´
umero real (repaso)
Para cada t en R, Pos(t) := t, t ≥ 0, 0, t < 0; Neg(t) := 0, t ≥ 0, −t, t < 0. Propiedades:Pos(t) − Neg(t) = t, Pos(t) + Neg(t) = |t|, 0 ≤ Pos(t) ≤ |t|, 0 ≤ Neg(t) ≤ |t|.
La parte positiva y la parte negativa de un n´
umero real (repaso)
Para cada t en R, Pos(t) := t, t ≥ 0, 0, t < 0; Neg(t) := 0, t ≥ 0, −t, t < 0. Propiedades:Pos(t) − Neg(t) = t, Pos(t) + Neg(t) = |t|, 0 ≤ Pos(t) ≤ |t|, 0 ≤ Neg(t) ≤ |t|. Notemos que la parte negativa de t es un n´umero no negativo.
La variaci´
on positiva y la variaci´
on negativa
asociadas a una funci´
on y una partici´
on
S+(f , τ ) := n X j=1 Pos(f (τj) − f (τj)), S−(f , τ ) := n X j=1 Neg(f (τj) − f (τj)).
De las propiedades de Pos y Neg obtenemos
S+(f , τ ) − S−(f , τ ) = f (b) − f (a), S+(f , τ ) − S−(f , τ ) = Sabs(f , τ ),
La variaci´
on positiva y la variaci´
on negativa
asociadas a una funci´
on y una partici´
on
S+(f , τ ) := n X j=1 Pos(f (τj) − f (τj)), S−(f , τ ) := n X j=1 Neg(f (τj) − f (τj)).
De las propiedades de Pos y Neg obtenemos
S+(f , τ ) − S−(f , τ ) = f (b) − f (a), S+(f , τ ) − S−(f , τ ) = Sabs(f , τ ),
La variaci´
on positiva y negativa de una funci´
on
PVarba(f ) := sup τ ∈P(a,b) S+(f , τ ), NVarba(f ) := sup τ ∈P(a,b) S−(f , τ ).Proposici´on (relaci´on entre PVar y NVar)
Sea f : [a, b] → R. Entonces PVarba(f ) = NVarba(f ) + f (b) − f (a).
Demostraci´on. Para cada τ en P(a, b),
S+(f , τ ) = S−(f , τ ) + f (b) − f (a).
Ojo: en cada lado hay solo un t´ermino que depende de τ . Pasamos al supremo sobre τ y obtenemos el resultado.
La variaci´
on positiva y negativa de una funci´
on
PVarba(f ) := sup τ ∈P(a,b) S+(f , τ ), NVarba(f ) := sup τ ∈P(a,b) S−(f , τ ).Proposici´on (relaci´on entre PVar y NVar)
Sea f : [a, b] → R. Entonces PVarba(f ) = NVarba(f ) + f (b) − f (a).
Demostraci´on. Para cada τ en P(a, b),
S+(f , τ ) = S−(f , τ ) + f (b) − f (a).
Ojo: en cada lado hay solo un t´ermino que depende de τ . Pasamos al supremo sobre τ y obtenemos el resultado.
La variaci´
on positiva y negativa de una funci´
on
PVarba(f ) := sup τ ∈P(a,b) S+(f , τ ), NVarba(f ) := sup τ ∈P(a,b) S−(f , τ ).Proposici´on (relaci´on entre PVar y NVar)
Sea f : [a, b] → R. Entonces PVarba(f ) = NVarba(f ) + f (b) − f (a).
Demostraci´on. Para cada τ en P(a, b),
S+(f , τ ) = S−(f , τ ) + f (b) − f (a).
Ojo: en cada lado hay solo un t´ermino que depende de τ . Pasamos al supremo sobre τ y obtenemos el resultado.
Proposici´on (Var en t´erminos de PVar y NVar)
Sea f : [a, b] → R. Entonces
Varba(f ) = PVarba(f ) + NVarba(f ).
Un intento malo de demostraci´on. Usamos la igualdad
Sabs(f , τ ) = S+(f , τ ) + S−(f , τ ).
En el lado derecho tenemos la suma de dos expresiones que dependen de τ . Si pasamos al supremo sobre τ , solo obtenemos ≤:
sup
Proposici´on (Var en t´erminos de PVar y NVar)
Sea f : [a, b] → R. Entonces
Varba(f ) = PVarba(f ) + NVarba(f ).
Un intento malo de demostraci´on. Usamos la igualdad
Sabs(f , τ ) = S+(f , τ ) + S−(f , τ ).
En el lado derecho tenemos la suma de dos expresiones que dependen de τ . Si pasamos al supremo sobre τ , solo obtenemos ≤:
sup
Proposici´on (Var en t´erminos de PVar y NVar)
Sea f : [a, b] → R. Entonces
Varba(f ) = PVarba(f ) + NVarba(f ).
Una demostraci´on correcta. Para cada τ en P(a, b)
Sabs(f , τ ) = S+(f , τ ) + S−(f , τ ) = 2S−(f , τ ) + f (b) − f (a).
Ojo: en cada lado hay solo un t´ermino que depende de τ . Pasamos al supremo sobre τ en P(a, b):
Varba(f ) = 2 NVarba(f ) + f (b) − f (a).
Proposici´on (Var en t´erminos de PVar y NVar)
Sea f : [a, b] → R. Entonces
Varba(f ) = PVarba(f ) + NVarba(f ).
Una demostraci´on correcta. Para cada τ en P(a, b)
Sabs(f , τ ) = S+(f , τ ) + S−(f , τ ) = 2S−(f , τ ) + f (b) − f (a).
Ojo: en cada lado hay solo un t´ermino que depende de τ . Pasamos al supremo sobre τ en P(a, b):
Varba(f ) = 2 NVarba(f ) + f (b) − f (a).
Proposici´on (la variaci´on total de una funci´on creciente)
Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente. Entonces
PVarba(f ) = f (b) − f (a), NVarba(f ) = 0,
Varba(f ) = f (b) − f (a).
Demostraci´on. Para cada τ = (τ0, . . . , τn) en P(a, b),
para cada j en {1, . . . , n} tenemos f (τj) − f (τj−1) ≥ 0.
Sabs(f , τ ) = S+(f , τ ) = n X j=1 (f (τj) − f (τj−1)) = f (τn) − f (τ0) = f (b) − f (a), S−(f , τ ) = n X j=1 0 = 0.
Proposici´on (la variaci´on total de una funci´on creciente)
Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente. Entonces
PVarba(f ) = f (b) − f (a), NVarba(f ) = 0,
Varba(f ) = f (b) − f (a).
Demostraci´on. Para cada τ = (τ0, . . . , τn) en P(a, b),
para cada j en {1, . . . , n} tenemos f (τj) − f (τj−1) ≥ 0.
Sabs(f , τ ) = S+(f , τ ) = n X j=1 (f (τj) − f (τj−1)) = f (τn) − f (τ0) = f (b) − f (a), S−(f , τ ) = n X j=1 0 = 0.
Proposici´on (la variaci´on total de una funci´on creciente)
Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente. Entonces
PVarba(f ) = f (b) − f (a), NVarba(f ) = 0,
Varba(f ) = f (b) − f (a).
Demostraci´on. Para cada τ = (τ0, . . . , τn) en P(a, b),
para cada j en {1, . . . , n} tenemos f (τj) − f (τj−1) ≥ 0.
Sabs(f , τ ) = S+(f , τ ) = n X j=1 (f (τj) − f (τj−1)) = f (τn) − f (τ0) = f (b) − f (a), S−(f , τ ) = n X j=1 0 = 0.
Proposici´on (la variaci´on total de una funci´on decreciente)
Sea f : [a, b] → R una funci´on decreciente. Entonces
PVarba(f ) = 0,
NVarba(f ) = f (a) − f (b), Varba(f ) = f (a) − f (b).
En otras palabras, si f es mon´otona,
Proposici´on (la variaci´on total de una funci´on decreciente)
Sea f : [a, b] → R una funci´on decreciente. Entonces
PVarba(f ) = 0,
NVarba(f ) = f (a) − f (b), Varba(f ) = f (a) − f (b).
En otras palabras, si f es mon´otona,
Ejercicio complicado.
Sean f : [a, b] → R, a < c < b. Demostrar que
Varba(f ) = Varca(f ) + Varbc(f ), PVarba(f ) = PVarca(f ) + PVarbc(f ), NVarba(f ) = NVarca(f ) + NVarbc(f ).
