Funciones Reales de Varias Variables

(1)

11

Funciones Reales de

Varias

Variables

(2)

22

Contenidos

• Habilidades

• Función de dos variables.

• Gráfica de una función real de dos variables.

• Curvas de nivel.

• Límite.

• Continuidad.

• Derivadas Parciales.

ir

ir ir ir ir

ir

(3)

33

Habilidades

• Define el concepto de función real de dos y tres variables.

• Determina el dominio de una función real y lo representa gráficamente.

• Traza la gráfica de una función real de dos variables reales.

• Relaciona la regla de correspondencia de una función con su gráfica.

• Determina las curvas (superficies) de nivel de una

función real de dos (tres) variables.

(4)

44

Habilidades

inicio

• Calcula el límite de una función.

• Determina la no existencia del límite de una función real de dos variables reales.

• Establece la continuidad de una función real en un punto.

• Define el concepto de derivada parcial.

• Calcula derivadas parciales.

• Interpreta geométricamente el concepto de derivada parcial.

• Calcula derivadas parciales de segundo orden.

• Verifica que una función dada es solución de una

ecuación en derivadas parciales.

(5)

55

Funciones de Varias Variables.

Definición: Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un conjunto D, un número real único denotado por f(x,y).

El conjunto D es el Dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma f, es decir



^f (^x, ^y)/(^x, ^y) ^D



(6)

66

Ejemplos.

1. Halle los dominios de las siguientes funciones y grafíquelos.

a) f ( x , y )  y2  x

  

² ² ⁴



b) f x , y  ln x  y  1

Ln( x y )

c) f ( x , y )

y x

 

 

2. Evalué la función del inciso (a) en f(0,0) ,f(1,1) y f(2,-1), en caso sea posible. Justifique su respuesta.

inicio

(7)

77

Gráfica de una función de dos variables.

Definición: Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y, z) de R³ tales que z = f(x,y) y (x,y) está en D.

(8)

88

Ejemplo

inicio

2. Grafique las siguientes funciones y determine el dominio y la imagen.

2 2

4

a) f ( x , y )   y  x



² ²



9

b) z   x  y

(9)

99

Curvas de nivel.

(10)

1010

O

Definición: Las curvas de nivel de una función f de dos variables, son las curvas con ecuaciones f(x,y)=k, donde k es una constante (que pertenece a la imagen de f).

(11)

1111

Ejemplos

2 2

a) f ( x , y )  x  y

2 2

b) f ( x , y )  x  y

3. Trace la gráfica y las curvas de nivel de:

4. Una lamina de metal plana está situada en un plano XY y la temperatura T (en grados centígrados) en el punto (x, y) es inversamente proporcional a la distancia del punto (x, y) al origen.

a) Describa las isotermas

b) Suponiendo que la temperatura en el punto P(4 ; 3) es 40 grados

centígrados, encuentre una ecuación de la isoterma correspondiente a la temperatura de 20 grados centígrados.

(12)

1212

Ejemplos

5. Describa y trace las superficies de nivel de la función:

2 2

2 f ( x , y , z )  x  y  z

inicio

(13)

1313

-1,0 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1

-1 0,455 0,759 0,829 0,842 0,829 0,759 0,455 -0,5 0,759 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759 -0,2 0,829 0,989 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829 0 0,841 0,990 1,000 1,000 0,990 0,841 0,2 0,829 0,986 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829 0,5 0,876 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759 1 0,455 0,759 0,829 0,841 0,829 0,759 0,455

TABLA1 Valores de f(x,y)

-1,0 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1

-1 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000 -0,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,600 -0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,923 0 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,923 0,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,600 1 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000

TABLA 2 Valores de f (x,y)

Límites

  

² ²



2 2

1 sen x y

f ( x , y )

x y

 



 

² ^{g( x , y )} ^x₂² ^y²₂

x y

 



(14)

1414

Límites

Definición: Sea f una función de dos variables cuyo dominio D incluye puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces decimos que el límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (a,b) es L y escribimos

tal que siempre que

y

0 ,

0  



  

_ ^{f x , y}

 

^ ^L ^{ }



^{x , y}



^ ^D ⁰ ^



^x ^ ^a



² ^



^y ^ ^b



² ^{ }

_{x ,y}

^lim

 _ _a,b

^{f x , y}   ^ ^L

(15)

1515

Interpretación geométrica de los límites

X Z



 L L  L

(16)

1616

Determina la no existencia del límite de una función real.

Definición: Si cuando por una trayectoria C₁ y cuando por otra trayectoria C_2,, donde , entonces

no existe.

 

1

f x , y  L

1 2

L  L

_{x ,y}

^lim

 _ _a,b

^{f x , y}  



^{x , y}



^



^{a, b}



 

2

f x , y  L



^{x , y}



^



^{a, b}



a b

y

(17)

1717

Ejemplos

inicio

6. Muestre que no existe

^{x ,y} ^{0 0}^,  ² ⁴

lim xy

x y





^{x ,y} ^{0 0}^,  ² ²

lim xy

x y





   

2 2

0 0

x ,y ,

x y

lim

^

x y





(18)

1818

Continuidad

Definición: Una función f de dos variables, se denomina continua en (a,b) si

Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto (a,b) de D

    ^f

   

^x ^y ^a ^b

b a y

x lim , ,

,

, 



Nota:

Las funciones polinomicas y racionales son continuas en su dominio

   

2 2

1 2

2 2

1 0

x ,y ,

lim x xy y

x y

lim x y



   

 





inicio

(19)

1919

Derivadas parciales.

Sea z=f(x,y), definida en el dominio D del plano XY y sea (x₀ ,y₀) un punto de D. La función f(x, y₀) depende

solamente de x y está definida alrededor de x_0.

Si la derivada existe, el valor de la derivada es llamado

derivada parcial de f(x,y),con respecto a x en el punto (x₀,y₀) y se denota por

 

 ₀, ₀

0 0,

y

x x

ó z y x x

f



(20)

2020

Definición de derivada parcial con respecto a x.

  

0 0

 

0 0



0 0 x 0

f x x , y f x , y f x , y lim

x ^{ } x

  

 

 

(21)

2121

Del mismo modo, la derivada de f con respecto a y en (a,b) , denotada por f_y(x₀ ,y₀), se obtiene

dejando x fija (x=x₀).

    

0 0

 

0 0



0 0 0 0 0

y y

f x , y y f x , y f x , y f x , y lim

y ^{ } y

  

  

 

Definición de derivada parcial con respecto a y.

(22)

2222

Ejemplos

1. Si f(x,y)=4-x²-2y², encuentre f_x(1,1), f_y(1,1), e interprete estos números como pendientes.

3 2 2

a) f ( x , y )  ( x  y )

2

b) f ( x , y )  xe

y^

 ysenx

3x 2

c) f ( x , y , z )  xe z  xz  ln( yz )

2. Obtenga las primeras derivadas parciales de f

(23)

2323

Derivadas parciales respecto a x y a y.

Fin

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