La Ecuación de la Recta
1. Explicar el concepto de pendiente.
2. Determinar la pendiente de una recta.
3. Identificar los elementos que determinan una recta.
4. Dada una recta en un plano de coordenadas, deducir una ecuación
5. Identificar las diferentes formas de determinar la ecuación de una recta.
6. Determinar las posiciones relativas de dos rectas.
OBJETIVOS:
En resumen:
Formas de la ecuación de una recta:
• Forma punto pendiente: y-y
1=m(x-x
1)
• Forma pendiente ordenada y = mx+b al origen
• Forma general Ax + By + C = 0
• Recta vertical x = a
• Recta horizontal y = b
20 40 60 80
P. E.
• La recta se la vincula con una ecuación de primer grado o lineal, dentro de sus
aplicaciones se tienen: problemas de costos-ingresos y ganancia, la oferta y demanda, la valoración de un activo a lo largo del tiempo, etc.
• La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas
• Se denota con la letra m.
Introducción:
• La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la
recta con la dirección positiva del eje de abscisas. Sean P1 (x1; y1) y (x2;
y2), P2 dos puntos de una recta, no paralela al eje Y
La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es
Ejemplo
Plano Cartesiano
L
1L 2
0 x
y
Pendiente de una recta l
• ¿Cuál de las rectas está más inclinada?
• ¿Cómo medimos esa
inclinación?
Tipos de pendiente
x y
m = 0
x y
NO existe m (Indefinida)
x y
x
y m > 0 m < 0
Ejemplo:
Representación gráfica de:
y = 2x + 3
1
Si un punto (x,y) pertenece a -2
esta recta, entonces se debe
cumplir la igualdad al reemplazarlo en la ecuación.
Ejemplo: (1,5) pertenece a y = 2x +3
Gráfica de la recta
Para graficar una recta dada su ecuación, basta encontrar dos puntos de ella.
x y 0 3 2 7
y 2 - y 1 x 2 - x 1 Cálculo de la pendiente de una recta
0 x y
P
1(x
1;y
1)
P 2 (x 2 ; y 2 )
x=x 2 - x 1
y=y 2 - y 1
m =
Sea l una recta no vertical que pasa
por los puntos P 1 (x 1 ;y 1 ) y P 2 (x 2 ; y 2 ).
Ejemplos
• Ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de estos segmentos:
1. A(-6; 1) y B(1; 2) 2. C(-1; 4) y D(3; 1)
3. E(3; 2) y F(8; 2)
4. G(2; 1) y H(2; -3)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
m
AB= 1/7
m
CD= -3/4
m
EF= 0
m
GH= ¿?
x
y
Conclusiones
1. Si m>0 la recta l es creciente 2. Si m<0 la recta l es decreciente
3. Toda recta horizontal tiene m = 0
4. Las rectas verticales no tienen
pendiente definida.
La ecuación de la recta de pendiente m, y punto de paso (x
1, y
1) es:
(x 1 , y 1 ) y - y 1 = m(x - x 1 )
X Y
Ecuación de la recta 1.
La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es:
y = mx + b b
X Y
Ecuación de la recta 2.
Ecuación de la recta 3.
• ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
La gráfica de una ecuación lineal:
Ax + By + C = 0, es una recta, y recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal.
Ax + By + C = 0
EJEMPLOS A DESARROLLAR
Hallar la pendiente y la ecuación general de la recta que pasa por los puntos:
A (-1,1) B (3,4)
m= 4-1 / 3+1 = 3/4
Y-Y1= m(x-X1) Y-1= ¾ (X+1)
4(Y-1) = 3(X+1) 4Y-4 = 3X+3
4Y-4-3X-3 = 0 -3X +4Y -7= 0
4Y= 3X+7
Y= 3/4X+7/4 Y= MX+B
Determinar la ecuación general de la recta que pasa por el punto (-2,3) y es paralela a la recta 2x-3y=0
Ejercicios
SE APLICA MODELO PUNTO PENDIENTE Y-Y1 =m(X-X1) CUANDO SE CONOCE UN PUNTO OSEA X1 Y1
Ejercicios:
1. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3.
2. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-6;1) y (1;4).
3. Determine la pendiente y la intersección con el eje y de la recta determinada por la ecuación x- 9 = 5y+3.
4. Determine la ecuación general de la recta que pasa por (3; -1) y
(-2;-9).
recta recta // ecuación horizontal al eje X y = b
recta recta // ecuación
vertical al eje Y x = a
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
