matematica ii clase 5

´

Algebra lineal,

funciones de m ´ultiples variables, c ´alculo

diferencial y c ´alculo integral

C ´atedra de Matem ´atica II

M ´etodo de Gauss-Jordan

Clase 5

1 M ´etodo de Gauss-Jordan

Factorizaci ´onLU

M ´etodo de Gauss-Jordan

´Indice

1 _{M ´etodo de Gauss-Jordan}

Factorizaci ´onLU

M ´etodo de Gauss-Jordan

Factorizaci ´on

LU

Calculando la matriz triangular superiorU

Volvamos al sistema que ya resolvimos

x1−2x2=1 x1−2x2=1

3x1+2x2=11 8x2=8

represent ´andolo con su matriz aumentada.

1 −2 1

3 2 11

= [A b]

1 0 −3₁ 1

1 −2 1

3 2 11

=E21[A b]

1 −2 1

0 8 8

= [(E21A) (E21b)]

M ´etodo de Gauss-Jordan

Factorizaci ´on

LU

Calculando la matriz triangular superiorU

Volvamos al sistema que ya resolvimos

x1−2x2=1 x1−2x2=1

3x1+2x2=11 8x2=8

represent ´andolo con su matriz aumentada.

1 −2 1

3 2 11

= [A b]

1 0

−3₁ 1

1 −2 1

3 2 11

=E21[A b]

1 −2 1

0 8 8

= [(E21A) (E21b)]

M ´etodo de Gauss-Jordan

Factorizaci ´on

LU

Calculando la matriz triangular superiorU

Volvamos al sistema que ya resolvimos

x1−2x2=1 x1−2x2=1

3x1+2x2=11 8x2=8

represent ´andolo con su matriz aumentada.

1 −2 1

3 2 11

= [A b]

1 0

−3₁ 1

1 −2 1

3 2 11

=E21[A b]

1 −2 1

0 8 8

= [(E21A) (E21b)]

M ´etodo de Gauss-Jordan

Factorizaci ´on

LU

Calculando la matriz triangular superiorU

Volvamos al sistema que ya resolvimos

x1−2x2=1 x1−2x2=1

3x1+2x2=11 8x2=8

represent ´andolo con su matriz aumentada.

1 −2 1

3 2 11

= [A b]

1 0

−3₁ 1

1 −2 1

3 2 11

=E21[A b]

1 −2 1

0 8 8

= [(E21A) (E21b)]

M ´etodo de Gauss-Jordan

Factorizaci ´on

LU

Calculando la matriz triangular inferiorL

Si nos concentramos en la matrizAresulta que

E21A=

1 0

−3₁ 1

1 −2

3 2

=

1 −2

0 8

=U

Y entonces paraUresulta que

E−1₂₁U=

1 0 +3₁ 1

1 −2

0 8

=

1 −2

3 2

=A

Si definimos la matrizL=E−1₂₁ tenemos la factorizaci ´on m ´as utilizada en ´algebra lineal

M ´etodo de Gauss-Jordan

Factorizaci ´on

LU

Calculando la matriz triangular inferiorL

Si nos concentramos en la matrizAresulta que

E21A=

1 0

−3₁ 1

1 −2

3 2

=

1 −2

0 8

=U

Y entonces paraUresulta que

E−₂₁1U=

1 0

+3₁ 1

1 −2

0 8

=

1 −2

3 2

=A

Si definimos la matrizL=E−1₂₁ tenemos la factorizaci ´on m ´as utilizada en ´algebra lineal

M ´etodo de Gauss-Jordan

Factorizaci ´on

LU

Calculando la matriz triangular inferiorL

Si nos concentramos en la matrizAresulta que

E21A=

1 0

−3₁ 1

1 −2

3 2

=

1 −2

0 8

=U

Y entonces paraUresulta que

E−₂₁1U=

1 0

+3₁ 1

1 −2

0 8

=

1 −2

3 2

=A

Si definimos la matrizL=E−₂₁1tenemos la factorizaci ´on m ´as utilizada en ´algebra lineal

M ´etodo de Gauss-Jordan

Factorizaci ´on

LU

Comentarios acerca de la factorizaci ´onLUen aplicaciones inform ´aticas

La mayoria de las aplicaciones inform ´aticas utilizaLUpara resolver sistemas linealesAx=b:

1 _{calculan las matricesLyU(como hicimos antes)} 2 _{resuelven el sistemaLc=bpara convertirbenc} 3 _{resuelven el sistemaUx=cpara encontrar la soluci ´onx}

buscada.

Se cambiaun problema dif´ıcilAx=bpordos problemas f ´acilesLc=byUx=c(porqueLyUson triangulares).

Si luego hay que resolver otro sistema linealAx=d

(Ano cambi ´o):

1 _{¡No hay que recalcular niLniU! ¡Ya se conocen!} 2 _{se resuelve el sistemaLc=dpara convertirdenc} 3 _{se resuelve el sistemaUx=cpara encontrar lanueva}

M ´etodo de Gauss-Jordan

Factorizaci ´on

LU

Comentarios acerca de la factorizaci ´onLUen aplicaciones inform ´aticas

La mayoria de las aplicaciones inform ´aticas utilizaLUpara resolver sistemas linealesAx=b:

1 _{calculan las matricesLyU(como hicimos antes)} 2 _{resuelven el sistemaLc=bpara convertirbenc} 3 _{resuelven el sistemaUx=cpara encontrar la soluci ´onx}

buscada.

Se cambiaun problema dif´ıcilAx=bpordos problemas f ´acilesLc=byUx=c(porqueLyUson triangulares).

Si luego hay que resolver otro sistema linealAx=d

(Ano cambi ´o):

1 _{¡No hay que recalcular niLniU! ¡Ya se conocen!} 2 _{se resuelve el sistemaLc=dpara convertirdenc} 3 _{se resuelve el sistemaUx=cpara encontrar lanueva}

M ´etodo de Gauss-Jordan

Factorizaci ´on

LU

Comentarios acerca de la factorizaci ´onLUen aplicaciones inform ´aticas

La mayoria de las aplicaciones inform ´aticas utilizaLUpara resolver sistemas linealesAx=b:

1 _{calculan las matricesLyU(como hicimos antes)} 2 _{resuelven el sistemaLc=bpara convertirbenc} 3 _{resuelven el sistemaUx=cpara encontrar la soluci ´onx}

buscada.

Se cambiaun problema dif´ıcilAx=bpordos problemas f ´acilesLc=byUx=c(porqueLyUson triangulares).

Si luego hay que resolver otro sistema linealAx=d

(Ano cambi ´o):

1 _{¡No hay que recalcular niLniU! ¡Ya se conocen!} 2 _{se resuelve el sistemaLc=dpara convertirdenc} 3 _{se resuelve el sistemaUx=cpara encontrar lanueva}

M ´etodo de Gauss-Jordan

Factorizaci ´on

LU

Comentarios acerca de la factorizaci ´onLUen aplicaciones inform ´aticas

La mayoria de las aplicaciones inform ´aticas utilizaLUpara resolver sistemas linealesAx=b:

1 _{calculan las matricesLyU(como hicimos antes)} 2 _{resuelven el sistemaLc=bpara convertirbenc} 3 _{resuelven el sistemaUx=cpara encontrar la soluci ´onx}

buscada.

Se cambiaun problema dif´ıcilAx=bpordos problemas f ´acilesLc=byUx=c(porqueLyUson triangulares).

Si luego hay que resolver otro sistema linealAx=d

(Ano cambi ´o):

1 _{¡No hay que recalcular niLniU! ¡Ya se conocen!} 2 _{se resuelve el sistemaLc=dpara convertirdenc} 3 _{se resuelve el sistemaUx=cpara encontrar lanueva}

M ´etodo de Gauss-Jordan

Factorizaci ´on

LU

Comentarios acerca de la factorizaci ´onLUen aplicaciones inform ´aticas

La mayoria de las aplicaciones inform ´aticas utilizaLUpara resolver sistemas linealesAx=b:

1 _{calculan las matricesLyU(como hicimos antes)} 2 _{resuelven el sistemaLc=bpara convertirbenc} 3 _{resuelven el sistemaUx=cpara encontrar la soluci ´onx}

buscada.

Se cambiaun problema dif´ıcilAx=bpordos problemas f ´acilesLc=byUx=c(porqueLyUson triangulares).

Si luego hay que resolver otro sistema linealAx=d

(Ano cambi ´o):

1 _{¡No hay que recalcular niLniU! ¡Ya se conocen!} 2 _{se resuelve el sistemaLc=dpara convertirdenc} 3 _{se resuelve el sistemaUx=cpara encontrar lanueva}

M ´etodo de Gauss-Jordan

Factorizaci ´on

LU

Comentarios acerca de la factorizaci ´onLUen aplicaciones inform ´aticas

La mayoria de las aplicaciones inform ´aticas utilizaLUpara resolver sistemas linealesAx=b:

1 _{calculan las matricesLyU(como hicimos antes)} 2 _{resuelven el sistemaLc=bpara convertirbenc} 3 _{resuelven el sistemaUx=cpara encontrar la soluci ´onx}

buscada.

Se cambiaun problema dif´ıcilAx=bpordos problemas f ´acilesLc=byUx=c(porqueLyUson triangulares).

Si luego hay que resolver otro sistema linealAx=d (Ano cambi ´o):

1 _{¡No hay que recalcular niLniU! ¡Ya se conocen!} 2 _{se resuelve el sistemaLc=dpara convertirdenc} 3 _{se resuelve el sistemaUx=cpara encontrar lanueva}

M ´etodo de Gauss-Jordan

Factorizaci ´on

LU

Comentarios acerca de la factorizaci ´onLUen aplicaciones inform ´aticas

La mayoria de las aplicaciones inform ´aticas utilizaLUpara resolver sistemas linealesAx=b:

1 _{calculan las matricesLyU(como hicimos antes)} 2 _{resuelven el sistemaLc=bpara convertirbenc} 3 _{resuelven el sistemaUx=cpara encontrar la soluci ´onx}

buscada.

Se cambiaun problema dif´ıcilAx=bpordos problemas f ´acilesLc=byUx=c(porqueLyUson triangulares).

Si luego hay que resolver otro sistema linealAx=d (Ano cambi ´o):

1 _{¡No hay que recalcular niLniU! ¡Ya se conocen!} 2 _{se resuelve el sistemaLc=dpara convertirdenc} 3 _{se resuelve el sistemaUx=cpara encontrar lanueva}

M ´etodo de Gauss-Jordan

Factorizaci ´on

LU

Comentarios acerca de la factorizaci ´onLUen aplicaciones inform ´aticas

La mayoria de las aplicaciones inform ´aticas utilizaLUpara resolver sistemas linealesAx=b:

1 _{calculan las matricesLyU(como hicimos antes)} 2 _{resuelven el sistemaLc=bpara convertirbenc} 3 _{resuelven el sistemaUx=cpara encontrar la soluci ´onx}

buscada.

Se cambiaun problema dif´ıcilAx=bpordos problemas f ´acilesLc=byUx=c(porqueLyUson triangulares).

Si luego hay que resolver otro sistema linealAx=d (Ano cambi ´o):

1 _{¡No hay que recalcular niLniU! ¡Ya se conocen!} 2 _{se resuelve el sistemaLc=dpara convertirdenc} 3 _{se resuelve el sistemaUx=cpara encontrar lanueva}

M ´etodo de Gauss-Jordan

Factorizaci ´on

LU

Comentarios acerca de la factorizaci ´onLUen aplicaciones inform ´aticas

La mayoria de las aplicaciones inform ´aticas utilizaLUpara resolver sistemas linealesAx=b:

1 _{calculan las matricesLyU(como hicimos antes)} 2 _{resuelven el sistemaLc=bpara convertirbenc} 3 _{resuelven el sistemaUx=cpara encontrar la soluci ´onx}

buscada.

Se cambiaun problema dif´ıcilAx=bpordos problemas f ´acilesLc=byUx=c(porqueLyUson triangulares).

Si luego hay que resolver otro sistema linealAx=d (Ano cambi ´o):

1 _{¡No hay que recalcular niLniU! ¡Ya se conocen!} 2 _{se resuelve el sistemaLc=dpara convertirdenc} 3 _{se resuelve el sistemaUx=cpara encontrar lanueva}

M ´etodo de Gauss-Jordan

´Indice

1 _{M ´etodo de Gauss-Jordan}

Factorizaci ´onLU

M ´etodo de Gauss-Jordan

Resoluci ´on de sistemas por Gauss-Jordan

El m ´etodo de Gauss-Jordan

2x1+4x2−2x3=2 2x1+4x2−2x3=2

4x1+9x2−3x3=8 1x2+1x3=4

−2x1−3x2+7x3=10 4x3=8

[A b] = 



2 4 −2 2

4 9 −3 8

−2 −3 7 10



 f2−2f1; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

−2 −3 7 10



 ;

f3+f1; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

0 1 5 12





f3−f2; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

0 0 4 8



=[U z]

M ´etodo de Gauss-Jordan

Resoluci ´on de sistemas por Gauss-Jordan

El m ´etodo de Gauss-Jordan

2x1+4x2−2x3=2 2x1+4x2−2x3=2

4x1+9x2−3x3=8 1x2+1x3=4

−2x1−3x2+7x3=10 4x3=8

[A b] = 



2 4 −2 2 4 9 −3 8

−2 −3 7 10 

 f2−2f1; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

−2 −3 7 10



 ;

f3+f1; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

0 1 5 12





f3−f2; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

0 0 4 8



=[U z]

M ´etodo de Gauss-Jordan

Resoluci ´on de sistemas por Gauss-Jordan

El m ´etodo de Gauss-Jordan

2x1+4x2−2x3=2 2x1+4x2−2x3=2

4x1+9x2−3x3=8 1x2+1x3=4

−2x1−3x2+7x3=10 4x3=8

[A b] = 



2 4 −2 2 4 9 −3 8

−2 −3 7 10 

 f2−2f1; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

−2 −3 7 10 

 ;

f3+f1; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

0 1 5 12





f3−f2; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

0 0 4 8



=[U z]

M ´etodo de Gauss-Jordan

Resoluci ´on de sistemas por Gauss-Jordan

El m ´etodo de Gauss-Jordan

2x1+4x2−2x3=2 2x1+4x2−2x3=2

4x1+9x2−3x3=8 1x2+1x3=4

−2x1−3x2+7x3=10 4x3=8

[A b] = 



2 4 −2 2 4 9 −3 8

−2 −3 7 10 

 f2−2f1; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

−2 −3 7 10 

 ;

f3+f1; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

0 1 5 12 



f3−f2; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

0 0 4 8



=[U z]

M ´etodo de Gauss-Jordan

Resoluci ´on de sistemas por Gauss-Jordan

El m ´etodo de Gauss-Jordan

2x1+4x2−2x3=2 2x1+4x2−2x3=2

4x1+9x2−3x3=8 1x2+1x3=4

−2x1−3x2+7x3=10 4x3=8

[A b] = 



2 4 −2 2 4 9 −3 8

−2 −3 7 10 

 f2−2f1; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

−2 −3 7 10 

 ;

f3+f1; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

0 1 5 12 



f3−f2; 



2 4 −2 2 0 1 1 4 0 0 4 8



=[U z]

M ´etodo de Gauss-Jordan

Resoluci ´on de sistemas por Gauss-Jordan

El m ´etodo de Gauss-Jordan

2x1+4x2−2x3=2 2x1+4x2−2x3=2 4x1+9x2−3x3=8 1x2+1x3=4

−2x1−3x2+7x3=10 4x3=8

[A b] = 



2 4 −2 2 4 9 −3 8

−2 −3 7 10 

 f2−2f1; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

−2 −3 7 10 

 ;

f3+f1; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

0 1 5 12 



f3−f2; 



2 4 −2 2 0 1 1 4 0 0 4 8



=[U z]

M ´etodo de Gauss-Jordan

Resoluci ´on de sistemas por Gauss-Jordan

El m ´etodo de Gauss-Jordan

2x1+4x2−2x3=2 2x1+4x2−2x3=2 4x1+9x2−3x3=8 1x2+1x3=4

−2x1−3x2+7x3=10 4x3=8

[A b] = 



2 4 −2 2 4 9 −3 8

−2 −3 7 10 

 f2−2f1; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

−2 −3 7 10 

 ;

f3+f1; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

0 1 5 12 



f3−f2; 



2 4 −2 2 0 1 1 4 0 0 4 8



=[U z]

M ´etodo de Gauss-Jordan

Resoluci ´on de sistemas por Gauss-Jordan

El m ´etodo de Gauss-Jordan

2x1+4x2−2x3=2 x1=−1

1x2+1x3=4 x2=2

4x3=8 x3=2

[U c]= 



2 4 −2 2

0 1 1 4

0 0 4 8





f1−4f2; 



2 0 −6 −14

0 1 1 4

0 0 4 8



 ;

f1+6₄f3; 



2 0 0 −2

0 1 1 4

0 0 4 8



 f2−14f3; 



2 0 0 −2

0 1 0 2

0 0 4 8



 ;

;

1 2f1;

1 4f3;





1 0 0 −1

0 1 0 2

0 0 1 2



M ´etodo de Gauss-Jordan

Resoluci ´on de sistemas por Gauss-Jordan

El m ´etodo de Gauss-Jordan

2x1+4x2−2x3=2 x1=−1

1x2+1x3=4 x2=2

4x3=8 x3=2

[U c]= 



2 4 −2 2 0 1 1 4 0 0 4 8





f1−4f2; 



2 0 −6 −14

0 1 1 4

0 0 4 8



 ;

f1+6₄f3; 



2 0 0 −2

0 1 1 4

0 0 4 8



 f2−14f3; 



2 0 0 −2

0 1 0 2

0 0 4 8



 ;

;

1 2f1;

1 4f3;





1 0 0 −1

0 1 0 2

0 0 1 2



M ´etodo de Gauss-Jordan

Resoluci ´on de sistemas por Gauss-Jordan

El m ´etodo de Gauss-Jordan

2x1+4x2−2x3=2 x1=−1

1x2+1x3=4 x2=2

4x3=8 x3=2

[U c]= 



2 4 −2 2 0 1 1 4 0 0 4 8





f1−4f2; 



2 0 −6 −14

0 1 1 4

0 0 4 8



 ;

f1+6₄f3; 



2 0 0 −2

0 1 1 4

0 0 4 8



 f2−14f3; 



2 0 0 −2

0 1 0 2

0 0 4 8



 ;

;

1 2f1;

1 4f3;





1 0 0 −1

0 1 0 2

0 0 1 2



M ´etodo de Gauss-Jordan

Resoluci ´on de sistemas por Gauss-Jordan

El m ´etodo de Gauss-Jordan

2x1+4x2−2x3=2 x1=−1

1x2+1x3=4 x2=2

4x3=8 x3=2

[U c]= 



2 4 −2 2 0 1 1 4 0 0 4 8





f1−4f2; 



2 0 −6 −14

0 1 1 4

0 0 4 8



 ;

f1+6₄f3; 



2 0 0 −2 0 1 1 4 0 0 4 8



 f2−14f3; 



2 0 0 −2

0 1 0 2

0 0 4 8



 ;

;

1 2f1;

1 4f3;





1 0 0 −1

0 1 0 2

0 0 1 2



M ´etodo de Gauss-Jordan

Resoluci ´on de sistemas por Gauss-Jordan

El m ´etodo de Gauss-Jordan

2x1+4x2−2x3=2 x1=−1

1x2+1x3=4 x2=2

4x3=8 x3=2

[U c]= 



2 4 −2 2 0 1 1 4 0 0 4 8





f1−4f2; 



2 0 −6 −14

0 1 1 4

0 0 4 8



 ;

f1+6₄f3; 



2 0 0 −2 0 1 1 4 0 0 4 8



 f2−14f3; 



2 0 0 −2 0 1 0 2 0 0 4 8



 ;

;

1 2f1;

1 4f3;





1 0 0 −1

0 1 0 2

0 0 1 2



M ´etodo de Gauss-Jordan

Resoluci ´on de sistemas por Gauss-Jordan

El m ´etodo de Gauss-Jordan

2x1+4x2−2x3=2 x1=−1

1x2+1x3=4 x2=2

4x3=8 x3=2

[U c]= 



2 4 −2 2 0 1 1 4 0 0 4 8





f1−4f2; 



2 0 −6 −14

0 1 1 4

0 0 4 8



 ;

f1+6₄f3; 



2 0 0 −2 0 1 1 4 0 0 4 8



 f2−14f3; 



2 0 0 −2 0 1 0 2 0 0 4 8



 ;

; 1

2f1;

1 4f3;





1 0 0 −1 0 1 0 2 0 0 1 2



M ´etodo de Gauss-Jordan

Resoluci ´on de sistemas por Gauss-Jordan

El m ´etodo de Gauss-Jordan

2x1+4x2−2x3=2 x1=−1 1x2+1x3=4 x2=2

4x3=8 x3=2

[U c]= 



2 4 −2 2 0 1 1 4 0 0 4 8





f1−4f2; 



2 0 −6 −14

0 1 1 4

0 0 4 8



 ;

f1+6₄f3; 



2 0 0 −2 0 1 1 4 0 0 4 8



 f2−14f3; 



2 0 0 −2 0 1 0 2 0 0 4 8



 ;

; 1

2f1;

1 4f3;





1 0 0 −1 0 1 0 2 0 0 1 2



M ´etodo de Gauss-Jordan

´Indice

1 _{M ´etodo de Gauss-Jordan}

Factorizaci ´onLU

M ´etodo de Gauss-Jordan

Inversi ´on de matrices por Gauss-Jordan

InvertirAde 3×3 implica resolver 3 sistemas de ecuaciones lineales

A= 



2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

  A −1 =   ? ? ? ? ? ? ? ? ?    

2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

    ? ? ? ? ? ? ? ? ?  =  

1 0 0 0 1 0 0 0 1









2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

    ? ? ?  =   1 0 0    

2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

    ? ? ?  =   0 1 0    

2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

M ´etodo de Gauss-Jordan

Inversi ´on de matrices por Gauss-Jordan

InvertirAde 3×3 implica resolver 3 sistemas de ecuaciones lineales

A= 



2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

  A −1 =   ? ? ? ? ? ? ? ? ?    

2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

    ? ? ? ? ? ? ? ? ?  =  

1 0 0 0 1 0 0 0 1









2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

    ? ? ?  =   1 0 0    

2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

    ? ? ?  =   0 1 0    

2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

M ´etodo de Gauss-Jordan

Inversi ´on de matrices por Gauss-Jordan

InvertirAde 3×3 implica resolver 3 sistemas de ecuaciones lineales

A= 



2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

  A −1 =   ? ? ? ? ? ? ? ? ?    

2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

    ? ? ? ? ? ? ? ? ?  =  

1 0 0 0 1 0 0 0 1









2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

    ? ? ?  =   1 0 0    

2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

    ? ? ?  =   0 1 0    

2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

M ´etodo de Gauss-Jordan

Inversi ´on de matrices por Gauss-Jordan

Aplicando operaciones elementales de fila a la matriz aumentada



 

2 −1 0 1 0 0 −1 2 −1 0 1 0 0 −1 2 0 0 1



  f2+

1 2f1;



 

2 −1 0 1 0 0 0 3₂ −1 1₂ 1 0 0 −1 2 0 0 1



 

;

f3+2₃f2;



 

2 −1 0 1 0 0 0 3

2 −1 1

2 1 0

0 0 4

3 1 3 2 3 1    f2+

3 4f3;

;



 

2 −1 0 1 0 0 0 3₂ 0 3₄ 3₂ 3₄ 0 0 4₃ 1₃ 2₃ 1



 

f1+2₃f2;



 

2 0 0 3₂ 1 1₂ 0 3₂ 0 3₄ 3₂ 3₄ 0 0 4₃ 1₃ 2₃ 1

   ; ; ; 1

2f1; 2 3f2; 3 4f3;



 

1 0 0 3 4

1 2

1 4

0 1 0 1

2 1

1 2

0 0 1 1 4 1 2 3 4   

M ´etodo de Gauss-Jordan

Inversi ´on de matrices por Gauss-Jordan

Aplicando operaciones elementales de fila a la matriz aumentada



 

2 −1 0 1 0 0 −1 2 −1 0 1 0 0 −1 2 0 0 1



  f2+

1 2f1;



 

2 −1 0 1 0 0 0 3₂ −1 1₂ 1 0 0 −1 2 0 0 1



 

;

f3+2₃f2;



 

2 −1 0 1 0 0 0 3

2 −1 1

2 1 0

0 0 4

3 1 3 2 3 1    f2+

3 4f3;

;



 

2 −1 0 1 0 0 0 3₂ 0 3₄ 3₂ 3₄ 0 0 4₃ 1₃ 2₃ 1



 

f1+2₃f2;



 

2 0 0 3₂ 1 1₂ 0 3₂ 0 3₄ 3₂ 3₄ 0 0 4₃ 1₃ 2₃ 1

   ; ; ; 1

2f1; 2 3f2; 3 4f3;



 

1 0 0 3 4

1 2

1 4

0 1 0 1

2 1

1 2

0 0 1 1 4 1 2 3 4   

M ´etodo de Gauss-Jordan

Inversi ´on de matrices por Gauss-Jordan

Aplicando operaciones elementales de fila a la matriz aumentada



 

2 −1 0 1 0 0 −1 2 −1 0 1 0 0 −1 2 0 0 1



  f2+

1 2f1;



 

2 −1 0 1 0 0 0 3₂ −1 1₂ 1 0 0 −1 2 0 0 1



 

;

f3+2₃f2; 

 

2 −1 0 1 0 0 0 3

2 −1 1 2 1 0 0 0 4

3 1 3 2 3 1    f2+

3 4f3;

;



 

2 −1 0 1 0 0 0 3₂ 0 3₄ 3₂ 3₄ 0 0 4₃ 1₃ 2₃ 1



 

f1+2₃f2;



 

2 0 0 3₂ 1 1₂ 0 3₂ 0 3₄ 3₂ 3₄ 0 0 4₃ 1₃ 2₃ 1

   ; ; ; 1

2f1; 2 3f2; 3 4f3;



 

1 0 0 3 4

1 2

1 4

0 1 0 1

2 1

1 2

0 0 1 1 4 1 2 3 4   

M ´etodo de Gauss-Jordan

Inversi ´on de matrices por Gauss-Jordan

Aplicando operaciones elementales de fila a la matriz aumentada



 

2 −1 0 1 0 0 −1 2 −1 0 1 0 0 −1 2 0 0 1



  f2+

1 2f1;



 

2 −1 0 1 0 0 0 3₂ −1 1₂ 1 0 0 −1 2 0 0 1



 

;

f3+2₃f2; 

 

2 −1 0 1 0 0 0 3

2 −1 1 2 1 0 0 0 4

3 1 3 2 3 1    f2+

3 4f3;

; 

 

2 −1 0 1 0 0 0 3₂ 0 3₄ 3₂ 3₄ 0 0 4₃ 1₃ 2₃ 1



 

f1+2₃f2;



 

2 0 0 3₂ 1 1₂ 0 3₂ 0 3₄ 3₂ 3₄ 0 0 4₃ 1₃ 2₃ 1

   ; ; ; 1

2f1; 2 3f2; 3 4f3;



 

1 0 0 3 4

1 2

1 4

0 1 0 1

2 1

1 2

0 0 1 1 4 1 2 3 4   

M ´etodo de Gauss-Jordan

Inversi ´on de matrices por Gauss-Jordan

Aplicando operaciones elementales de fila a la matriz aumentada



 

2 −1 0 1 0 0 −1 2 −1 0 1 0 0 −1 2 0 0 1



  f2+

1 2f1;



 

2 −1 0 1 0 0 0 3₂ −1 1₂ 1 0 0 −1 2 0 0 1



 

;

f3+2₃f2; 

 

2 −1 0 1 0 0 0 3

2 −1 1 2 1 0 0 0 4

3 1 3 2 3 1    f2+

3 4f3;

; 

 

2 −1 0 1 0 0 0 3₂ 0 3₄ 3₂ 3₄ 0 0 4₃ 1₃ 2₃ 1



 

f1+2₃f2; 

 

2 0 0 3₂ 1 1₂ 0 3₂ 0 3₄ 3₂ 3₄ 0 0 4₃ 1₃ 2₃ 1

   ; ; ; 1 2f1; 2 3f2; 3 4f3;



 

1 0 0 3 4

1 2

1 4

0 1 0 1

2 1

1 2

0 0 1 1 4 1 2 3 4   

M ´etodo de Gauss-Jordan

Inversi ´on de matrices por Gauss-Jordan

Aplicando operaciones elementales de fila a la matriz aumentada



 

2 −1 0 1 0 0 −1 2 −1 0 1 0 0 −1 2 0 0 1



  f2+

1 2f1;



 

2 −1 0 1 0 0 0 3₂ −1 1₂ 1 0 0 −1 2 0 0 1



 

;

f3+2₃f2; 

 

2 −1 0 1 0 0 0 3

2 −1 1 2 1 0 0 0 4

3 1 3 2 3 1    f2+

3 4f3;

; 

 

2 −1 0 1 0 0 0 3₂ 0 3₄ 3₂ 3₄ 0 0 4₃ 1₃ 2₃ 1



 

f1+2₃f2; 

 

2 0 0 3₂ 1 1₂ 0 3₂ 0 3₄ 3₂ 3₄ 0 0 4₃ 1₃ 2₃ 1

   ; ; ; 1

2f1; 2 3f2; 3 4f3;



 

1 0 0 3 4

1 2

1 4 0 1 0 1

2 1 1 2 0 0 1 1

4 1 2 3 4   

M ´etodo de Gauss-Jordan

Inversi ´on de matrices por Gauss-Jordan

Aplicando operaciones elementales de fila a la matriz aumentada



 

2 −1 0 1 0 0 −1 2 −1 0 1 0 0 −1 2 0 0 1



  f2+

1 2f1;



 

2 −1 0 1 0 0 0 3₂ −1 1₂ 1 0 0 −1 2 0 0 1



 

;

f3+2₃f2; 

 

2 −1 0 1 0 0 0 3

2 −1 1 2 1 0 0 0 4

3 1 3 2 3 1    f2+

3 4f3;

; 

 

2 −1 0 1 0 0 0 3₂ 0 3₄ 3₂ 3₄ 0 0 4₃ 1₃ 2₃ 1



 

f1+2₃f2; 

 

2 0 0 3₂ 1 1₂ 0 3₂ 0 3₄ 3₂ 3₄ 0 0 4₃ 1₃ 2₃ 1

   ; ; ; 1

2f1; 2 3f2; 3 4f3;



 

1 0 0 3 4

1 2

1 4 0 1 0 1

2 1 1 2 0 0 1 1

4 1 2 3 4   

M ´etodo de Gauss-Jordan

Inversi ´on de matrices por Gauss-Jordan

Finalmente conocemos todos los 9 coeficientes deA−1

A

z }| {



 

2 −1 0

−1 2 −1

0 −1 2



 

A−1 z }| { 

 

3 4

1 2

1 4 1

2 1

1 2 1

4 1 2

3 4



 =

I z }| { 

 

1 0 0 0 1 0 0 0 1



M ´etodo de Gauss-Jordan

Repaso de ideas clave

1 _{El m ´etodo de eliminaci ´on de Gauss factoriza}A_comoLU_.

2 El m ´etodo de eliminaci ´on de Gauss-Jordan contin ´ua eliminando hasta convertirAen una matriz m ´as simpleR.

M ´etodo de Gauss-Jordan

Repaso de ideas clave

1 _{El m ´etodo de eliminaci ´on de Gauss factoriza}A_comoLU_.

2 El m ´etodo de eliminaci ´on de Gauss-Jordan contin ´ua eliminando hasta convertirAen una matriz m ´as simpleR.

M ´etodo de Gauss-Jordan

Repaso de ideas clave

1 _{El m ´etodo de eliminaci ´on de Gauss factoriza}A_comoLU_.

2 El m ´etodo de eliminaci ´on de Gauss-Jordan contin ´ua eliminando hasta convertirAen una matriz m ´as simpleR.

M ´etodo de Gauss-Jordan

Problema 9

Ejemplo

EncontrarA−1_{por Gauss-Jordan empezando conA=}

2 3 4 7

.

[A I] =

2 3 1 0 4 7 0 1

;

2 3 1 0

0 1 −2 1

(esto es[U L−1_])

;

2 0 7 −3

0 1 −2 1

;

1 0 7₂ −3₂

0 1 −2 1